3892:
1343:
1122:
2626:
3546:
860:
4503:
5263:
1133:
5418:
BĂŒrmann, Hans
Heinrich, "Formules du dĂ©veloppement, de retour et d'integration," submitted to the Institut National de France. BĂŒrmann's manuscript survives in the archives of the Ăcole Nationale des Ponts et ChaussĂ©es in Paris. (See ms.
895:
1481:
1868:
3887:{\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}
2249:
3535:
320:
4802:
4072:
3169:
705:
483:
4337:
2942:
1617:
3551:
2254:
1138:
2734:
1551:
5051:
4330:
1338:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ and}}\\n^{\overline {k}}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}}
4005:
1955:
4613:
4209:
4989:
5043:
4867:
150:
4129:
3311:
2241:
2092:
2028:
5394:
BĂŒrmann, Hans
Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum," submitted in 1796 to the Institut National de France. For a summary of this article, see:
4672:
4644:
634:
2168:
4920:
3418:
1705:
4256:
2057:
667:
may be applied. Actually, the machinery from analytic function theory enters only in a formal way in this proof, in that what is really needed is some property of the
4566:
1117:{\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,}
561:
5373:
3929:
1647:
197:
99:
5293:
4699:
2797:
4534:
3444:
3373:
3347:
3251:
2197:
515:
2118:
4719:
2770:
1374:
1738:
2621:{\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\leftz^{n},\end{aligned}}}
5323:
gives coefficients of the composition of two formal power series in terms of the coefficients of those two series. Equivalently, it is a formula for the
5311:
In the
LaplaceâErdelyi theorem that gives the asymptotic approximation for Laplace-type integrals, the function inversion is taken as a crucial step.
574:
and can be generalized in various ways: It can be formulated for functions of several variables; it can be extended to provide a ready formula for
3452:
208:
4727:
4010:
855:{\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}
4498:{\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}
331:
4724:
Removing the root splits a binary tree into two trees of smaller size. This yields the functional equation on the generating function
3020:
2816:
1556:
5618:
5336:
672:
5623:
5613:
5533:
5258:{\displaystyle B_{n}=C(z)={\frac {1}{n}}(w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}
2637:
1489:
683:
is a formal power series, then the above formula does not give the coefficients of the compositional inverse series
5589:
4261:
3941:
1876:
4583:
4137:
5429:
5320:
5593:
5453:
4925:
522:
4994:
668:
5608:
5330:
4809:
4077:
3259:
2202:
2062:
1981:
4653:
4625:
44:
2123:
648:
115:
5382:
4875:
3378:
1665:
4217:
5428:
A report on BĂŒrmann's theorem by Joseph-Louis
Lagrange and Adrien-Marie Legendre appears in:
2033:
596:
4539:
3898:
644:
528:
20:
5397:
3904:
1622:
167:
69:
5385:(Note: Although Lagrange submitted this article in 1768, it was not published until 1770.)
5271:
4677:
2775:
4510:
3423:
3352:
3323:
3227:
2173:
491:
8:
5433:
MĂ©moires de l'Institut
National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques
5400:[Attempt at a simplified analysis; an extract of an abridgement by Mr. BĂŒrmann].
2097:
1476:{\displaystyle g_{n}=\sum _{F{\text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,}
656:
571:
1863:{\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}
488:
The theorem further states that this series has a non-zero radius of convergence, i.e.,
5481:
5480:
Aguiar, Marcelo; Ardila, Federico (2017). "Hopf monoids and generalized permutahedra".
4704:
3215:
16:
Formula for the Taylor series expansion of the inverse function of an analytic function
5556:
2742:
659:; the complex formal power series version is a consequence of knowing the formula for
5575:
5572:
5553:
5529:
5511:
Proceedings of the 1997 international symposium on
Symbolic and algebraic computation
664:
40:
5506:
5408:]. Vol. 2. Leipzig, Germany: SchĂ€ferischen Buchhandlung. pp. 495â499.
5398:"Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn BĂŒrmann"
5356:
3932:
1349:
652:
36:
5502:
5444:
5374:"Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries"
5358:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
886:
5300:
570:
If the assertions about analyticity are omitted, the formula is also valid for
5602:
3317:
1975:
1366:
651:, both in the late 18th century. There is a straightforward derivation using
32:
4674:
is either a leaf of size zero, or a root node with two subtrees. Denote by
3530:{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}
315:{\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},}
5448:
4258:
can be expanded into a power series and inverted. This gives a series for
200:
5355:
M. Abramowitz; I. A. Stegun, eds. (1972). "3.6.6. Lagrange's
Expansion".
4797:{\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}
4647:
4067:{\displaystyle 2.58\ldots \cdot 10^{-6}<z<2.869\ldots \cdot 10^{6}}
5457:. Cambridge University Press; 4th edition (January 2, 1927), pp. 129â130
885:, then an explicit form of inverse coefficients can be given in term of
660:
5378:
Histoire de l'Académie Royale des
Sciences et Belles-Lettres de Berlin
1974:
There is a special case of
Lagrange inversion theorem that is used in
5580:
5561:
478:{\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left.}
2970:
can be quite complicated. A simpler version of the formula replaces
5486:
3164:{\displaystyle H(g(z))=H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}
1365:, the last formula can be interpreted in terms of the faces of
5551:
5383:
https://archive.org/details/uvresdelagrange18natigoog/page/n13
5524:
Harris, John; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael (2008).
5430:"Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann,"
1873:
By convergence tests, this series is in fact convergent for
1714:
by means of the Lagrange inversion formula for the function
1957:
which is also the largest disk in which a local inverse to
5395:
5333:
for another theorem sometimes called the inversion theorem
5570:
5354:
4074:) can also be derived by series inversion. The function
2937:{\displaystyle H(g(z))={\frac {1}{n}}(H'(w)\phi (w)^{n})}
1612:{\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}
5306:
5523:
5371:
4731:
5274:
5054:
4997:
4928:
4878:
4812:
4730:
4707:
4680:
4656:
4628:
4586:
4542:
4513:
4340:
4264:
4220:
4140:
4080:
4013:
3944:
3907:
3549:
3455:
3426:
3381:
3355:
3326:
3262:
3230:
3023:
2819:
2778:
2745:
2640:
2252:
2205:
2176:
2126:
2100:
2065:
2036:
1984:
1879:
1741:
1668:
1625:
1559:
1492:
1377:
1136:
898:
708:
687:
directly in terms for the coefficients of the series
599:
531:
494:
334:
211:
170:
118:
72:
5500:
5337:Formal power series#The Lagrange inversion formula
5287:
5257:
5037:
4983:
4914:
4861:
4796:
4713:
4693:
4666:
4638:
4607:
4560:
4528:
4497:
4324:
4250:
4203:
4123:
4066:
3999:
3923:
3886:
3529:
3438:
3412:
3367:
3341:
3305:
3245:
3163:
2936:
2791:
2764:
2728:
2620:
2235:
2191:
2162:
2112:
2086:
2051:
2022:
1949:
1862:
1699:
1641:
1611:
1545:
1475:
1337:
1116:
854:
628:
555:
509:
477:
314:
191:
144:
93:
5507:"A sequence of series for the Lambert W function"
5246:
5228:
5198:
5172:
2772:is an operator which extracts the coefficient of
1790:
1772:
5600:
3600:
2806:A generalization of the formula is known as the
2729:{\displaystyle g(z)={\frac {1}{n}}\phi (w)^{n},}
2515:
2303:
349:
4572:in the above series. For example, substituting
1656:For instance, the algebraic equation of degree
1546:{\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}
43:. Lagrange inversion is a special case of the
4325:{\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}
5479:
5402:Archiv der reinen und angewandten Mathematik
3253:that is implicitly defined by the equation
1969:
4000:{\displaystyle |\ln(z)-1|<{4+\pi ^{2}}}
1950:{\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},}
5485:
5466:Eqn (11.43), p. 437, C.A. Charalambides,
1732:, resulting in a formal series solution
5396:Hindenburg, Carl Friedrich, ed. (1798).
593:; and it can be generalized to the case
5501:Corless, Robert M.; Jeffrey, David J.;
5406:Archive of pure and applied mathematics
5601:
5327:th derivative of a composite function.
3316:We may use the theorem to compute the
2799:in the Taylor series of a function of
2631:which can be written alternatively as
5571:
5552:
5307:Asymptotic approximation of integrals
4608:{\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}
4204:{\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}
3205:
4984:{\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}
2953:is an arbitrary analytic function.
691:. If one can express the functions
517:represents an analytic function of
13:
5232:
5176:
5038:{\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}
4763:
4659:
4631:
3728:
3589:
2467:
2292:
1776:
1764:
815:
740:
249:
14:
5635:
5545:
4862:{\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}
4536:can be computed by substituting
5517:
5372:Lagrange, Joseph-Louis (1770).
4617:
4124:{\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}
3306:{\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}
2236:{\displaystyle f(g(z))\equiv z}
2087:{\displaystyle \phi (0)\neq 0.}
2023:{\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}
1964:
1460:
1101:
783:
777:
5528:. Springer. pp. 185â189.
5526:Combinatorics and Graph Theory
5494:
5473:
5470:Chapman & Hall / CRC, 2002
5460:
5438:
5422:
5412:
5388:
5365:
5361:. New York: Dover. p. 14.
5348:
5144:
5131:
5128:
5109:
5093:
5087:
5081:
5068:
5026:
5013:
5007:
5001:
4969:
4959:
4953:
4947:
4938:
4932:
4903:
4897:
4888:
4882:
4847:
4840:
4822:
4816:
4741:
4735:
4701:the number of binary trees on
4667:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
4639:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
4596:
4590:
4523:
4517:
4489:
4476:
4363:
4344:
4308:
4289:
4280:
4268:
4245:
4233:
4189:
4186:
4180:
4168:
4156:
4150:
4112:
4099:
4090:
4084:
3972:
3962:
3956:
3946:
3874:
3861:
3743:
3733:
3607:
3563:
3557:
3391:
3385:
3336:
3330:
3289:
3283:
3272:
3266:
3240:
3234:
3155:
3152:
3146:
3129:
3123:
3117:
3102:
3095:
3089:
3083:
3077:
3064:
3058:
3055:
3049:
3043:
3037:
3024:
2931:
2922:
2915:
2909:
2903:
2892:
2889:
2870:
2854:
2851:
2845:
2839:
2833:
2820:
2759:
2746:
2714:
2707:
2701:
2682:
2666:
2660:
2654:
2641:
2593:
2584:
2577:
2571:
2522:
2505:
2493:
2391:
2385:
2310:
2266:
2260:
2224:
2221:
2215:
2209:
2186:
2180:
2151:
2145:
2136:
2130:
2075:
2069:
2046:
2040:
2017:
2011:
1994:
1988:
1939:
1927:
1908:
1896:
1889:
1881:
1842:
1830:
1815:
1803:
1426:
1416:
1328:
1310:
1304:
1292:
1198:
1186:
1148:
1095:
1077:
1049:
1027:
1017:
971:
961:
793:
787:
718:
712:
614:
608:
547:
541:
504:
498:
452:
446:
437:
431:
356:
289:
285:
279:
267:
221:
215:
186:
180:
133:
127:
88:
82:
1:
5435:, vol. 2, pages 13â17 (1799).
5342:
5619:Theorems in complex analysis
3938:A series that converges for
2163:{\displaystyle f(a)=f(0)=0.}
1276:
989:
164:, expressing it in the form
145:{\displaystyle f'(a)\neq 0.}
59:is defined as a function of
50:
7:
5454:A Course of Modern Analysis
5314:
4915:{\displaystyle C(z)=B(z)-1}
3413:{\displaystyle f(w)=we^{w}}
1700:{\displaystyle x^{p}-x+z=0}
671:, and a more direct formal
640:is a multivalued function.
63:by an equation of the form
10:
5640:
5468:Enumerative Combinatorics,
5331:Lagrange reversion theorem
4991:Applying the theorem with
4251:{\displaystyle z+\ln(1+z)}
3935:of the Lambert function).
3213:
2956:Sometimes, the derivative
1651:
699:in formal power series as
643:The theorem was proved by
589:for any analytic function
25:Lagrange inversion theorem
5624:Theorems in combinatorics
5614:Theorems in real analysis
3224:function is the function
2808:LagrangeâBĂŒrmann formula
2052:{\displaystyle \phi (w)}
1970:LagrangeâBĂŒrmann formula
629:{\displaystyle f'(a)=0,}
45:inverse function theorem
29:LagrangeâBĂŒrmann formula
5590:BĂŒrmannâLagrange series
4561:{\displaystyle \ln x-1}
4131:satisfies the equation
556:{\displaystyle z=f(a).}
152:Then it is possible to
108:is analytic at a point
5321:FaĂ di Bruno's formula
5289:
5259:
5039:
4985:
4916:
4863:
4798:
4767:
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