12142:
6880:
11214:
22:
12137:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}
1233:
21155:
6833:
6822:
4776:
20605:
43:
6400:
12550:
4211:
18258:
22844:
21150:{\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}
17100:
664:
1206:
11058:
22809:
623:
9975:
22745:
22777:
20154:
6817:{\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}
4771:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}
12227:
17916:
15544:
1533:
16763:
13042:
8004:
10777:
8377:
7418:
9646:
17817:
19830:
18675:
10434:
12545:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}
19692:
25476:
18253:{\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}
25206:
15120:
17095:{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}}
15388:
9125:
19305:
23281:
4115:
19735:
function has been employed in the field of fluid flow in porous media to model the tilt of an interface separating two gravitationally segregated fluids in a homogeneous tilted porous bed of constant dip and thickness where the heavier fluid, injected at the bottom end, displaces the lighter fluid
5234:
7047:
13894:
12903:
5622:
11053:{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}
7800:
7806:
18463:
2478:
9970:{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}
8178:
7649:
7185:
5876:
8535:
3778:
22627:
16479:
14361:
6389:
16284:
17612:
3346:
25210:
20149:{\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}
8160:
19714:
onset film thickness. This is the calculated thickness of an epitaxial film, where due to thermodynamic principles the film will develop crystallographic dislocations in order to minimise the elastic energy stored in the films. Prior to application of
Lambert
16091:
18474:
15916:
21622:
The transcendental equation that appears in the determination of the propagation wave number of an electromagnetic axially symmetric surface wave (a low-attenuation single TM01 mode) propagating in a cylindrical metallic wire gives rise to an equation like
10131:
23489:
15382:
24967:
14782:
10116:
17315:
8824:
19034:
15247:
19736:
that is produced at the same rate from the top end. The principal branch of the solution corresponds to stable displacements while the −1 branch applies if the displacement is unstable with the heavier fluid running underneath the lighter fluid.
19459:
14894:
11219:
16603:
14988:
14560:
26042:
5401:
3485:
1213:
function, showing all branches. The black curves (including the real axis) form the image of the real axis, the orange curves are the image of the imaginary axis. The purple curve and circle are the image of a small circle around the point
17564:
15539:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}
14997:
13667:
11203:
25639:
20290:
A peculiarity of the solution is that each of the two fundamental solutions that compose the general solution of the Schrödinger equation is given by a combination of two confluent hypergeometric functions of an argument proportional to
17420:
1158:
computer algebra system realized that "the
Lambert W function has been widely used in many fields, but because of differing notation and the absence of a standard name, awareness of the function was not as high as it should have been."
14670:
8968:
15743:
10752:
23052:
12897:
10590:
3908:
24616:
23033:
12785:
5006:
23958:
20610:
14466:
3173:
6893:
21874:
13037:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}\,du}
9268:
8920:
20285:
15640:
22188:
17836:
function is used to solve equations in which the unknown quantity occurs both in the base and in the exponent, or both inside and outside of a logarithm. The strategy is to convert such an equation into one of the form
13778:
7999:{\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}
28592:
24452:
14201:
13345:
12662:
5433:
22492:
7655:
18964:
6229:
18273:
13772:
9424:
8611:
22323:
14208:
9488:
8372:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}
5976:
14056:
13455:
13204:
7510:
7413:{\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}
24944:
24804:
2278:
7516:
13541:
10782:
21738:
17182:
5691:
27490:
Braun, Artur; Baertsch, Martin; Schnyder, Bernhard; Koetz, Ruediger (2000). "A Model for the film growth in samples with two moving boundaries – An
Application and Extension of the Unreacted-Core Model".
13973:
13121:
9631:
16757:
12232:
11103:
8399:
8183:
7811:
7190:
4907:
4216:
3606:
352:
20349:
2647:
21280:
18841:
Granular and debris flow fronts and deposits, and the fronts of viscous fluids in natural events and in laboratory experiments can be described by using the
Lambert–Euler omega function as follows:
24282:
16326:
6249:
17812:{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}}
16137:
8669:
22455:
two-body gravity problem in 1 + 1 dimensions (one spatial dimension and one time dimension) for the case of unequal rest masses, as well as the eigenenergies of the quantum-mechanical
19464:
19039:
17921:
17617:
16768:
8404:
6898:
3611:
2283:
27671:
Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis; Ion Anghel; Shigeru
Furuichi (2019). "Encodings for the calculation of the permutation hypoentropy and their applications on full-scale compartment fire data".
24144:
20416:
including n quantum loops. The first order, n=1, solution is exact (at that order) and analytical. At higher orders, n>1, there is no exact and analytical solution and one typically uses an
9544:
25867:
21336:
8733:
18804:
2926:
23689:
3220:
20201:
function appears in a quantum-mechanical potential, which affords the fifth – next to those of the harmonic oscillator plus centrifugal, the
Coulomb plus inverse square, the Morse, and the
8729:
3875:
21394:
20533:
18670:{\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }
8023:
2719:
15958:
10429:{\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}
21980:
16486:
9365:
21551:
15793:
929:
27518:
Asadian, M; Saeedi, H; Yadegari, M; Shojaee, M (June 2014). "Determinations of equilibrium segregation, effective segregation and diffusion coefficients for Nd+3 doped in molten YAG".
23336:
21470:
15256:
19801:
14679:
9986:
2843:
20171:
The centroid of a set of histograms defined with respect to the symmetrized
Kullback–Leibler divergence (also called the Jeffreys divergence ) has a closed form using the Lambert
17191:
1865:
27602:
Braun, Artur; Briggs, Keith M.; Boeni, Peter (2003). "Analytical solution to
Matthews' and Blakeslee's critical dislocation formation thickness of epitaxially grown thin films".
22066:
20410:
20202:
24209:
19687:{\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}
15784:
3536:
25471:{\displaystyle W_{-1}(z)={\begin{cases}Y_{k}(y),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-1,-2,\ldots ,-7),\\V_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-8,-9,-10),\end{cases}}}
24329:
23602:
15129:
24670:
24049:
23838:
23784:
18727:
3055:
1725:
1587:
1013:
21790:
14791:
23732:
14903:
14475:
2976:
2554:
2020:
25908:
24492:
23328:
17901:
9309:
8961:
6050:
5259:
843:
27848:
de la Madrid, R. (2017). "Numerical calculation of the decay widths, the decay constants, and the decay energy spectra of the resonances of the delta-shell potential".
25201:{\displaystyle W_{0}(z)={\begin{cases}X_{k}(x),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=1,2,\ldots ,17),\\U_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=18,19),\end{cases}}}
21421:
15115:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}
6091:
25903:
25786:
25750:
25714:
25678:
23528:
16680:
6013:
3388:
1765:
424:
287:
28986:
23995:
16128:
2507:
24836:
23562:
21904:
17603:
17462:
16644:
14095:
13550:
13240:
11098:
2189:
2121:
2054:
1971:
26184:
26156:
26100:
26073:
25817:
25503:
24699:
21770:
19394:
function provides an exact solution for a gas phase thermal activation process where growth of carbon film and combustion of the same film compete with each other.
19332:
17321:
9137:
8828:
6123:
2268:
17453:
16317:
15949:
1632:
22104:
14569:
9120:{\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{\!-1}\!\!\!\!-\,1\approx 0.56714329\quad }
2748:
2087:
1662:
1044:
963:
19447:
19300:{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left\end{aligned}}}
12565:
26918:
26820:
26128:
21490:
19352:
3000:
2795:
2237:
2213:
2147:
1937:
1913:
1889:
1789:
1189:
1146:
1119:
1092:
1068:
28523:
23276:{\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}
4110:{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}
19420:
15646:
10619:
9369:
8548:
22227:
9428:
12792:
10463:
5229:{\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}
24497:
22898:
7042:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}
12673:
27152:
23842:
18988:
is the unified model parameter consisting of several physical and geometrical parameters of the flow, flow height and the hydraulic pressure gradient.
14371:
3089:
1603:. The darker boundaries of a particular region are included in the lighter region of the same color. The point at {−1, 0} is included in both the
20205:– exact solution to the stationary one-dimensional Schrödinger equation in terms of the confluent hypergeometric functions. The potential is given as
21795:
13889:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du}
6879:
5617:{\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}
20211:
15550:
9560:
7795:{\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}
24334:
18458:{\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}
14104:
13248:
27686:
F. Nielsen, "Jeffreys
Centroids: A Closed-Form Expression for Positive Histograms and a Guaranteed Tight Approximation for Frequency Histograms"
21562:
18847:
6131:
28177:
Scott, T. C.; Mann, R. B.; Martinez Ii, Roberto E. (2006). "General
Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert
13676:
2473:{\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos y-y\sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y)\\\end{aligned}}}
21:
27119:, inspection of said lemma reveals that this assumption is unused. The lower bound is in fact x > 0. The reason for the branch switch at
26757:
Scott, TC; Babb, JF; Dalgarno, A; Morgan, John D (Aug 15, 1993). "The calculation of exchange forces: General results and specific models".
7644:{\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}
5887:
21566:
13979:
13357:
13127:
7424:
28865:
27655:
24841:
24704:
8615:
26952:
21589:
20420:
to furnish an approximate solution. However, for second order, n=2, the Lambert function provides an exact (if non-analytical) solution.
28803:
26854:
9492:
5871:{\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}
13461:
28593:"Precise and fast computation of Lambert W function by piecewise minimax rational function approximation with variable transformation"
21668:
17109:
29011:
24952:
Toshio Fukushima has presented a fast method for approximating the real valued parts of the principal and secondary branches of the
8673:
8530:{\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}
3773:{\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}
28377:
Scott, T. C.; Aubert-Frécon, M.; Grotendorst, J. (2006). "New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion".
27556:
Asadian, M; Zabihi, F; Saeedi, H (March 2024). "Segregation and constitutional supercooling in Nd:YAG Czochralski crystal growth".
22622:{\displaystyle e^{-cx}=a_{0}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}}
13900:
13048:
28052:
Floratos, Emmanuel; Linardopoulos, Georgios (2015). "Large-Spin and Large-Winding Expansions of Giant Magnons and Single Spikes".
27328:
More, A. A. (2006). "Analytical solutions for the Colebrook and White equation and for pressure drop in ideal gas flow in pipes".
22359:
are real distinct constants, the roots of the quadratic polynomial. Here, the solution is a function which has a single argument
16685:
9313:
4824:
298:
25819:
values that determine the subdomains. With higher degree polynomials in these rational functions the method can approximate the
20297:
19366:
function is employed in the field of neuroimaging for linking cerebral blood flow and oxygen consumption changes within a brain
2564:
22723:
19402:
In the crystal growth, the negative principal of the Lambert W-function can be used to calculate the distribution coefficient,
16474:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}
14356:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}
6384:{\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}
29136:
Chatzigeorgiou, I. (2013). "Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation".
27903:"Phase-separating binary polymer mixtures: the degeneracy of the virial coefficients and their extraction from phase diagrams"
26986:
Chatzigeorgiou, I. (2013). "Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation".
29020:
21224:
20437:
16279:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}
28959:
24213:
29198:
29062:
26246:
Fukushima also offers an approximation with 50 bits of accuracy on 64-bit floats that uses 8th and 7th degree polynomials.
26517:
20358:
function also appears in the exact solution for the bound state energy of the one dimensional Schrödinger equation with a
28683:
28722:
24053:
22010:
21605:
3341:{\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}
27286:
25829:
21285:
19749:
4815:
18738:
8155:{\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}
2851:
1267:
function except that the spacing between sheets is not constant and the connection of the principal sheet is different
1232:
26872:
23607:
22210:) in lower dimensions, in fact a link (unknown prior to 2007) between these two areas, where the right-hand side of (
16086:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}
28480:
3810:
27637:
Colla, Pietro (2014). "A New Analytical Method for the Motion of a Two-Phase Interface in a Tilted Porous Medium".
21341:
20478:
20441:
15911:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}
2658:
22843:
20183:
Solving for the optimal group size to pool tests so that at least one individual is infected involves the Lambert
29233:
21908:
7089:
26569:
Lehtonen, Jussi (April 2016), Rees, Mark (ed.), "The Lambert W function in ecological and evolutionary models",
23484:{\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}
21495:
19382:
function is employed in the field of chemical engineering for modeling the porous electrode film thickness in a
15377:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}
9272:
8924:
854:
14777:{\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}}
10111:{\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}
3081:
570:
28708:
27999:
Floratos, Emmanuel; Georgiou, George; Linardopoulos, Georgios (2014). "Large-Spin Expansions of GKP Strings".
27365:"An Analytical Solution for the Time-Dependent Flow in Simple Branch Hydraulic Systems with Centrifugal Pumps"
26615:
26369:
22468:
21426:
17310:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du}
1163:
612:
21604:
The total time of the journey of a projectile which experiences air resistance proportional to its velocity
21201:
In the calculation of the phase diagram of thermodynamically incompatible polymer mixtures according to the
19758:
2802:
1674:
The range plot above also delineates the regions in the complex plane where the simple inverse relationship
29223:
574:
27081:
19031:
function provided an exact solution to the flow rate of fluid in both the laminar and turbulent regimes:
8819:{\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}
1798:
26527:
26471:
22694:
673:
578:
28120:
Mendonça, J. R. G. (2019). "Electromagnetic surface wave propagation in a metallic wire and the Lambert
22456:
20388:
20359:
19719:
for this problem, the critical thickness had to be determined via solving an implicit equation. Lambert
15242:{\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}}
1154:
for equal charges—a fundamental problem in physics. Prompted by this, Rob Corless and developers of the
1151:
29247:
24151:
15752:
5250:
3899:
28616:
27265:
Robert M., Corless; David J., Jeffrey; Donald E., Knuth (1997). "A sequence of series for the Lambert
24296:
23569:
21193:). (The upper solution may not be relevant.) If they have opposite signs, there will be one solution.
9640:
The principal branch of the Lambert function can be represented by a proper integral, due to Poisson:
27644:
22716:
function in fundamental physical problems are not exhausted even for the standard case expressed in (
19003:. This factor is used to determine the pressure drop through a straight run of pipe when the flow is
14889:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}
28924:
28409:
25244:
24998:
24623:
24002:
23791:
21645:
clump together the geometrical and physical factors of the problem), which is solved by the Lambert
19854:
16598:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}
14983:{\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}}
14555:{\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}}
27200:
26838:
26522:
26450:
26405:
26037:{\displaystyle W_{0}(z)\approx X_{1}(x)={\frac {\sum _{i}^{4}P_{i}x^{i}}{\sum _{i}^{3}Q_{i}x^{i}}}}
23736:
18686:
5396:{\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}
3073:
3009:
1679:
1541:
1429:
along the negative real axis. This branch cut separates the principal branch from the two branches
973:
28629:
21775:
20452:
The s-wave resonances of the delta-shell potential can be written exactly in terms of the Lambert
3496:
27271:
Proceedings of the 1997 international symposium on Symbolic and algebraic computation - ISSAC '97
23696:
21592:, the proportion of susceptible and recovered individuals has a solution in terms of the Lambert
3480:{\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}
3183:
2936:
2514:
1980:
189:
24459:
23296:
17864:
6018:
806:
28919:
28892:
28671:
28641:
28404:
26833:
21399:
20371:
19020:
17559:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}
13662:{\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}
11198:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}
6883:
The product logarithm Lambert W function W 2(z) plotted in the complex plane from −2−2i to 2+2i
6055:
4157:
29207:
27795:
Deur, Alexandre; Brodsky, Stanley J.; De Téramond, Guy F. (2016). "The QCD running coupling".
26897:
25872:
25755:
25719:
25683:
25647:
25634:{\displaystyle x={\sqrt {z+1/e}},\quad u=\ln {z},\quad y=-z/(x+1/{\sqrt {e}}),\quad v=\ln(-z)}
23497:
20440:
to the Schwarzschild coordinates. For this reason, it also appears in the construction of the
19027:
between two reservoirs with varying free surface levels, using centrifugal pumps. The Lambert
17415:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}
16649:
5984:
1734:
393:
256:
28846:
26969:
26506:
23967:
23330:, it may be approximated by the quadratic-rate recursive formula of R. Iacono and J.P. Boyd:
22472:
22207:
19000:
16100:
4121:
2486:
1503:
745:
27639:
PROCEEDINGS, Thirty-Eighth Workshop on Geothermal Reservoir Engineering, Stanford University
24811:
23537:
21879:
17573:
16614:
14665:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}
14065:
13210:
2159:
2096:
2029:
1946:
29108:
29030:
28497:
28396:
28343:
28200:
28143:
28071:
28018:
27867:
27814:
27730:
27611:
27565:
27527:
27337:
27231:
26766:
26736:
26654:
26578:
26162:
26134:
26078:
26051:
25795:
24677:
21743:
21553:
shows that the spectral energy density is dependent on the dimensionality of the universe.
20429:
20375:
19310:
6096:
4149:
2246:
1194:
565:. It can be used to solve various equations involving exponentials (e.g. the maxima of the
185:
145:
28737:
17429:
16293:
15925:
10767:
There are several useful definite integral formulas involving the principal branch of the
1608:
8:
27723:"Boosting test-efficiency by pooled testing for SARS-CoV-2—Formula for optimal pool size"
27670:
21202:
21168:
have the same sign there will be either two solutions or none (or one if the argument of
5410:. Equivalently, the latter can be written in the form of a Taylor expansion of powers of
2727:
2066:
1641:
1023:
942:
554:
29112:
28501:
28400:
28347:
28204:
28147:
28075:
28022:
27871:
27818:
27734:
27615:
27569:
27531:
27411:
27341:
26770:
26582:
26546:
22776:
22744:
12555:
where the two integral expressions are equivalent due to the symmetry of the integrand.
6832:
29163:
29145:
29124:
29098:
28945:
28870:
Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2"
28838:
28461:
28422:
28386:
28359:
28333:
28302:
28259:
28216:
28190:
28159:
28133:
28087:
28061:
28034:
28008:
27929:
27902:
27883:
27857:
27830:
27804:
27753:
27722:
27581:
27439:
27392:
27364:
27292:
27063:
27013:
26995:
26944:
26903:
26878:
26805:
26701:
26642:
26624:
26596:
26113:
24961:
23043:
22864:
22808:
22199:
21475:
20379:
19425:
19337:
18996:
15738:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}
10747:{\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}
10122:
2985:
2755:
2222:
2198:
2132:
1922:
1898:
1874:
1774:
1502:
is the complex plane. The image of the real axis is the union of the real axis and the
1495:
1174:
1131:
1104:
1077:
1053:
29189:
28355:
27623:
27504:
27475:
27458:
27095:
26258:
function is implemented in many programming languages. Some of them are listed below:
24289:
one can determine the maximum number of iteration steps in advance for any precision:
22467:
Analytical solutions of the eigenenergies of a special case of the quantum mechanical
9980:
Another representation of the principal branch was found by Kalugin–Jeffrey–Corless:
29159:
29054:
29016:
29006:
28937:
28830:
28573:
28541:
28363:
28163:
28091:
27934:
27887:
27834:
27758:
27699:
J. Batson et al., "A COMPARISON OF GROUP TESTING ARCHITECTURES FOR COVID-19 TESTING".
27585:
27431:
27396:
27384:
27282:
27067:
27055:
27009:
26948:
26882:
26868:
26782:
26600:
26340:
22701:'s notion of a "false derivative" provides exact multiple roots to special cases of (
22386:
22203:
20383:
12892:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du}
11068:
11064:
10585:{\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}
3573:
1264:
758:
754:
153:
29167:
28949:
28842:
28465:
28306:
28263:
28220:
28083:
28038:
27974:
27953:
27879:
27443:
27017:
26705:
26678:
26677:
Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. (1996).
24611:{\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}
21792:. The orthogonal trajectories of this family are given by the differential equation
29155:
29116:
28978:
28929:
28910:
Francis; et al. (2000). "Quantitative General Theory for Periodic Breathing".
28884:
28822:
28596:
28563:
28553:
28513:
28505:
28453:
28418:
28414:
28351:
28294:
28251:
28208:
28151:
28079:
28026:
27979:
27969:
27924:
27914:
27875:
27822:
27748:
27738:
27619:
27577:
27573:
27539:
27535:
27500:
27470:
27423:
27376:
27345:
27296:
27274:
27219:
27047:
27005:
26936:
26896:
Bronstein, Manuel; Corless, Robert M.; Davenport, James H.; Jeffrey, D. J. (2008).
26860:
26774:
26693:
26634:
26586:
26275:
23494:
Lajos Lóczi proves that by using this iteration with an appropriate starting value
23028:{\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}
22381:
are parameters of that function. In this respect, the generalization resembles the
20417:
20413:
19745:
19405:
4182:
723:
235:
29128:
28783:
28426:
27036:"New approximations to the principal real-valued branch of the Lambert W-function"
21653:
1898, already contained an iterative method to determine the value of the Lambert
12780:{\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}}
29039:
29026:
28954:(Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
28488:
28278:
28235:
27743:
27590:
27544:
27412:"From Blood oxygenation level dependent (BOLD) signals to brain temperature maps"
27227:
27223:
26800:
Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J. (1993). "Lambert's
26650:
23953:{\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},}
19450:
19024:
14461:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}
3168:{\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}
1048:
and obtained a convergent series solution for the resulting equation, expressing
631:
608:
566:
28601:
28030:
4677:
28933:
28509:
27826:
27685:
27380:
22382:
21869:{\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}
19387:
9128:
4997:
2931:
Inside the regions bounded by the above, there are no discontinuous changes in
1155:
788:
762:
193:
175:
29120:
28558:
28212:
27427:
27349:
27252:
Function and Its Applications to Mathematical Problems of Physics (in Russian)
27051:
26940:
25905:
can be approximated to 24 bits of accuracy on 64-bit floating point values as
9263:{\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}
8915:{\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}
1123:
and some manipulation, the standard form of the Lambert function is obtained.
29241:
29058:
28834:
28577:
27919:
27388:
27108:
27059:
26786:
21205:, the solutions for binodal and tie-lines are formulated in terms of Lambert
20465:
20280:{\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}
19383:
15635:{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int (t+1)dt}
12147:
The third identity may be derived from the second by making the substitution
4993:
3886:
558:
28888:
28457:
28298:
28255:
27035:
26591:
22183:{\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}
12217:(where the integral does not converge), the principal branch of the Lambert
1498:
and their ranges are disjoint. The range of the entire multivalued function
29217:
28941:
28799:
27938:
27762:
27435:
26532:
24447:{\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}
22440:
20163:
function can be employed in order to solve other transcendental equations.
14196:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}
13340:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}
12657:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}
3210:.) As a consequence, that gets the following formula for the derivative of
716:
604:
149:
42:
25:
The product logarithm Lambert W function plotted in the complex plane from
28440:
Maignan, Aude; Scott, T. C. (2016). "Fleshing out the Generalized Lambert
28244:
SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation)
27278:
26864:
21492:
is the number of degrees of freedom for spatial translation. The solution
28518:
26719:
26352:
22698:
19711:
19010:
18959:{\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}
6224:{\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}
125:
28391:
28195:
27984:
27111:
Note: although one of the assumptions of the relevant lemma states that
19370:, to the corresponding blood oxygenation level dependent (BOLD) signal.
13767:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du}
3783:(The last equation is more common in the literature but is undefined at
192:, who considered a related problem in 1758. Building on Lambert's work,
29182:
National Institute of Science and Technology Digital Library – Lambert
28982:
28826:
28568:
27201:"Bernstein, Pick, Poisson and related integral expressions for Lambert
26697:
26646:
26323:
9419:{\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}
8606:{\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}
4153:
4145:
635:
562:
28338:
28183:
AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)
28155:
28106:
22318:{\displaystyle e^{-cx}=a_{0}\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right),}
21599:
21212:
9483:{\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}
5971:{\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}
5672:
A number of non-asymptotic bounds are known for the Lambert function.
663:
28763:
28542:"Guaranteed- and high-precision evaluation of the Lambert W function"
26778:
26629:
26512:
21561:
The classical finite-size corrections to the dispersion relations of
19004:
18992:
14051:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}
13450:{\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}
13199:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}
12157:
and the first can also be derived from the third by the substitution
7505:{\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}
7067:
741:
29227:
29009:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
28479:
Scott, T. C.; Lüchow, A.; Bressanini, D.; Morgan, J. D. III (2007).
27459:"Analytical Solution to a Growth Problem with Two Moving Boundaries"
26638:
24939:{\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}
24799:{\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}
19723:
turns it in an explicit equation for analytical handling with ease.
18995:, the Lambert W function is part of the explicit formulation of the
29150:
28696:
28138:
27862:
27809:
27775:
27708:
27696:
27656:
D. J. Jeffrey and J. E. Jankowski, "Branch differences and Lambert
27310:
27000:
20423:
18263:
This last equation has the desired form and the solutions for real
3569:
611:, an opened-form solution for the time-course kinetics analysis of
29103:
29072:
28066:
28013:
27363:
Pellegrini, C. C.; Zappi, G. A.; Vilalta-Alonso, G. (2022-05-12).
27199:
Kalugin, German A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M. (2012).
26976:, JIPAM, Theorem 2.7, page 7, volume 9, issue 2, article 51. 2008.
1221:; the red curves are the image of a small circle around the point
1205:
1197:) functions, the first published proof did not appear until 2008.
722:
The name "product logarithm" can be understood as this: Since the
622:
27780:
barrier – an exactly solvable confluent hypergeometric potential"
27457:
Braun, Artur; Wokaun, Alexander; Hermanns, Heinz-Guenter (2003).
26299:
26287:
22436:
20468:
that are constant with temperature then the equilibrium constant
19707:
13536:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx}
6394:
Roberto Iacono and John P. Boyd enhanced the bounds as follows:
28660:
27236:
See Theorem 3.4, p. 821 of published version (p. 5 of preprint).
26895:
26737:"De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus"
21733:{\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}
21649:
function. The first solution to this problem, due to Sommerfeld
17177:{\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1}
6093:. The bound allows many other bounds to be made, such as taking
26311:
22671:
is a function of the eigenenergy and the internuclear distance
26423:
Special functions section of the GNU Scientific Library (GSL)
26048:
is defined with the transformation above and the coefficients
20192:
11074:
The second identity can be derived by making the substitution
5675:
Hoorfar and Hassani showed that the following bound holds for
1150:
function provides an exact solution to the quantum-mechanical
225:, which is a complex-valued function of one complex argument.
28376:
27998:
27362:
26745:
Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae
26724:
Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica
26409:
26380:
25792:-values are listed in the referenced paper together with the
19367:
13968:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}
13116:{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}
9626:{\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}
29181:
28998:
28277:
Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J.; Zhang, W.Z. (2014).
27720:
27517:
26856:
The Lambert W Function: Its Generalizations and Applications
17910:
is an unknown real number) can be solved by rewriting it as
1200:
937:
Once Euler had solved this equation, he considered the case
934:
Both authors derived a series solution for their equations.
28478:
26497:
function is also available on the homepage of István Mező.
26388:
25464:
25194:
21660:
21617:
20178:
20142:
16752:{\displaystyle {\frac {d}{du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}
4902:{\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}
4148:. The function defined by this series can be extended to a
347:{\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.}
27489:
27264:
26613:
Chow, Timothy Y. (1999), "What is a closed-form number?",
22481:) is replaced by a ratio of infinite order polynomials in
20447:
20365:
20344:{\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}
8545:
The following are special values of the principal branch:
2642:{\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}
1532:
24956:
function without using any iteration. In this method the
20412:
is computed perturbatively, the order n corresponding to
20159:
This application shows that the branch difference of the
1666:(gray) region. Horizontal grid lines are in multiples of
28797:
28684:"Scipy.special.lambertw — SciPy v0.16.1 Reference Guide"
28276:
26799:
26676:
25788:
are rational functions whose coefficients for different
22425:) and thus the solution reduces to that of the standard
27246:
Dubinov, A. E.; Dubinova, I. D.; Saǐkov, S. K. (2006).
26756:
21275:{\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }
21196:
10718:
10706:
10692:
10680:
10666:
10654:
10556:
10544:
10530:
10518:
10504:
10492:
10369:
10354:
10340:
10325:
10311:
10296:
10282:
10267:
10253:
10238:
10224:
10212:
10198:
10186:
10172:
10160:
744:, it makes sense to call the inverse "function" of the
27794:
27082:"Lambert function: Identities (formula 01.31.17.0001)"
26922:
function from a result of Rosenlicht and of Liouville"
24277:{\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},}
19744:
The equation (linked with the generating functions of
19428:
19408:
19011:
Time-dependent flow in simple branch hydraulic systems
18228:
18083:
17977:
12056:
12015:
11979:
11915:
11849:
11752:
11681:
11600:
11535:
10721:
10709:
10695:
10683:
10669:
10657:
10559:
10547:
10533:
10521:
10507:
10495:
10372:
10357:
10343:
10328:
10314:
10299:
10285:
10270:
10256:
10241:
10227:
10215:
10201:
10189:
10175:
10163:
9906:
9771:
9718:
8794:
6858:=−1. The diagonal line represents the intervals where
6352:
5180:
4077:
4052:
4027:
1470:
and a branch cut along the entire negative real axis.
357:
When dealing with real numbers only, the two branches
28863:
28051:
27245:
27198:
26906:
26808:
26493:
C++ code for all the branches of the complex Lambert
26165:
26137:
26116:
26081:
26054:
25911:
25875:
25832:
25798:
25758:
25722:
25686:
25650:
25506:
25213:
24970:
24844:
24814:
24707:
24680:
24626:
24500:
24462:
24337:
24299:
24216:
24154:
24056:
24005:
23970:
23845:
23794:
23739:
23699:
23610:
23572:
23540:
23500:
23339:
23299:
23173:
23055:
22901:
22572:
22527:
22495:
22230:
22107:
22013:
21911:
21882:
21798:
21778:
21746:
21671:
21498:
21478:
21429:
21402:
21344:
21288:
21227:
20608:
20481:
20464:
If a reaction involves reactants and products having
20391:
20300:
20214:
19833:
19761:
19462:
19340:
19313:
19037:
18850:
18741:
18689:
18477:
18276:
17919:
17867:
17615:
17576:
17465:
17432:
17324:
17194:
17112:
16766:
16688:
16652:
16617:
16489:
16329:
16296:
16140:
16103:
15961:
15928:
15796:
15755:
15649:
15553:
15391:
15259:
15132:
15000:
14906:
14794:
14682:
14572:
14478:
14374:
14211:
14107:
14068:
13982:
13903:
13781:
13679:
13553:
13464:
13360:
13251:
13213:
13130:
13051:
12906:
12795:
12676:
12568:
12230:
11217:
11101:
10780:
10622:
10466:
10134:
9989:
9649:
9563:
9495:
9431:
9372:
9316:
9275:
9140:
8971:
8927:
8831:
8736:
8676:
8618:
8551:
8402:
8181:
8026:
7809:
7658:
7519:
7427:
7188:
6896:
6403:
6252:
6134:
6099:
6058:
6021:
5987:
5890:
5694:
5436:
5262:
5009:
4827:
4818:. Keeping only the first two terms of the expansion,
4214:
3911:
3813:
3609:
3499:
3391:
3223:
3092:
3012:
2988:
2939:
2854:
2805:
2758:
2730:
2661:
2567:
2517:
2489:
2281:
2249:
2225:
2201:
2162:
2135:
2099:
2069:
2032:
1983:
1949:
1925:
1901:
1877:
1801:
1777:
1737:
1682:
1644:
1611:
1544:
1193:
function cannot be expressed in terms of elementary (
1177:
1134:
1107:
1080:
1056:
1026:
976:
945:
857:
809:
396:
301:
259:
28709:"Lambert W Functions - GNU Scientific Library (GSL)"
28320:
Farrugia, P. S.; Mann, R. B.; Scott, T. C. (2007). "
28176:
27409:
12221:
function can be computed by the following integral:
10125:
representation also holds for the principal branch:
8664:{\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}
761:
rather than inverse function.) It is related to the
553:
function's branches cannot be expressed in terms of
91:(principal branch), the lower branch (magenta) with
28233:
27790:
27788:
27555:
27456:
27410:Sotero, Roberto C.; Iturria-Medina, Yasser (2011).
27174:, so it cannot flip the order of its return values.
21600:
Determination of the time of flight of a projectile
19739:
1162:Another example where this function is found is in
757:, it is multivalued and thus W is described as the
667:The modulus of the principal branch of the Lambert
28481:"The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions"
28104:
26912:
26814:
26178:
26150:
26122:
26094:
26067:
26036:
25897:
25861:
25811:
25780:
25744:
25708:
25672:
25633:
25470:
25200:
24938:
24830:
24798:
24693:
24664:
24610:
24486:
24446:
24323:
24276:
24203:
24139:{\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}
24138:
24043:
23989:
23952:
23832:
23778:
23726:
23683:
23596:
23556:
23522:
23483:
23322:
23275:
23027:
22621:
22317:
22182:
22060:
21974:
21898:
21868:
21784:
21764:
21732:
21545:
21484:
21464:
21415:
21388:
21330:
21274:
21149:
20527:
20404:
20343:
20279:
20148:
19795:
19686:
19441:
19414:
19346:
19326:
19299:
18958:
18798:
18721:
18669:
18457:
18252:
17895:
17811:
17597:
17558:
17447:
17414:
17309:
17176:
17094:
16751:
16674:
16638:
16597:
16473:
16311:
16278:
16122:
16085:
15943:
15910:
15778:
15737:
15634:
15538:
15376:
15241:
15114:
14982:
14888:
14776:
14664:
14554:
14460:
14355:
14195:
14089:
14050:
13967:
13888:
13766:
13661:
13535:
13449:
13339:
13234:
13198:
13115:
13036:
12891:
12779:
12656:
12544:
12136:
11197:
11052:
10746:
10584:
10428:
10110:
9969:
9625:
9539:{\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}
9538:
9482:
9418:
9359:
9303:
9262:
9119:
8955:
8914:
8818:
8723:
8663:
8605:
8529:
8371:
8154:
7998:
7794:
7643:
7504:
7412:
7041:
6816:
6383:
6223:
6117:
6085:
6044:
6007:
5970:
5870:
5616:
5395:
5228:
4901:
4770:
4109:
3869:
3772:
3530:
3479:
3340:
3167:
3049:
2994:
2970:
2920:
2837:
2789:
2742:
2713:
2641:
2548:
2501:
2472:
2262:
2231:
2207:
2183:
2141:
2115:
2081:
2048:
2014:
1965:
1931:
1907:
1883:
1859:
1783:
1759:
1719:
1656:
1626:
1581:
1183:
1140:
1113:
1086:
1062:
1038:
1007:
957:
923:
837:
753:as "product logarithm". (Technical note: like the
577:distributions) and also occurs in the solution of
418:
346:
281:
238:. These functions have the following property: if
28319:
25862:{\displaystyle -1/e\leq z\leq 2.0082178115844727}
24960:function is evaluated as a conditional switch of
21423:is the spectral energy energy density, one finds
21331:{\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}
9102:
9101:
9100:
9099:
9090:
1263:. The plot is similar to that of the multivalued
1169:Although it was widely believed that the Lambert
711:) follows the canonical reference on the Lambert
29239:
28798:Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.;
27951:
27785:
27601:
27127:> 1 there are always two solutions, −ln
21303:
21233:
20424:Exact solutions of the Einstein vacuum equations
19806:can be solved by means of the two real branches
19390:for electrochemical energy storage. The Lambert
18799:{\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}
5406:which is, in general, a Laurent series of order
3790:). One consequence of this (using the fact that
2921:{\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.}
1401:The branch point for the principal branch is at
28234:Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J. (2013).
27317:. Ontario Research Centre for Computer Algebra.
26765:(4). American Institute of Physics: 2841–2854.
26747:. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921.
23684:{\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}
22439:field, from which is derived the metric of the
20432:solution of the Einstein vacuum equations, the
15513:
15473:
15462:
15451:
15091:
15062:
13862:
13822:
13010:
12970:
12959:
12948:
11063:The first identity can be found by writing the
715:function by Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey and
29135:
29040:"A New Elementary Function for Our Curricula?"
27591:https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2024.127605
27545:https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028
26985:
26979:
8724:{\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}
3870:{\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}
848:Euler transformed this equation into the form
28324:-body Gravity and the Schrödinger Equation".
27900:
27709:A.Z. Broder, "A Note on Double Pooling Tests"
27158:cannot distinguish a value of ln x/x from an
27034:Iacono, Roberto; Boyd, John P. (2017-12-01).
21389:{\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}
20528:{\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}
19023:, in the study of time dependent transfer of
6887:A few identities follow from the definition:
4978:
2714:{\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.}
28439:
27847:
26793:
20459:
630:function in the complex plane, plotted with
27369:Arabian Journal for Science and Engineering
27327:
22849:Superimposition of the previous three plots
22681:) with its specialized cases expressed in (
22216:) is replaced by a quadratic polynomial in
21975:{\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}
20193:Exact solutions of the Schrödinger equation
9360:{\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}
4943:, has an approximation of the same form as
791:in 1783 that discussed the special case of
28236:"Asymptotic series of Generalized Lambert
27901:Bot, A.; Dewi, B.P.C.; Venema, P. (2021).
27188:. Cambridge University Press. p. 450.
27109:https://isa-afp.org/entries/Lambert_W.html
27033:
27029:
27027:
21546:{\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}
17742:
17666:
17658:
17508:
17504:
17367:
17363:
17277:
17273:
17237:
17233:
17143:
17142:
17141:
17140:
17058:
17054:
17031:
16989:
16985:
16953:
16903:
16817:
16809:
16532:
16528:
16373:
16369:
16184:
16180:
16005:
16001:
15840:
15836:
15693:
15689:
15597:
15593:
15435:
15431:
15303:
15299:
15178:
15177:
15176:
15175:
15044:
15040:
14941:
14940:
14939:
14938:
14838:
14834:
14728:
14727:
14726:
14725:
14616:
14612:
14513:
14512:
14511:
14510:
14418:
14414:
14255:
14251:
14143:
14139:
14018:
14014:
13939:
13935:
13817:
13813:
13715:
13711:
13597:
13596:
13595:
13594:
13500:
13496:
13287:
13283:
13166:
13162:
13087:
13083:
12942:
12938:
12831:
12827:
12720:
12719:
12718:
12717:
12604:
12600:
5667:
3382:, gives the following equivalent formula:
1126:In 1993, it was reported that the Lambert
924:{\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}
693:The notation convention chosen here (with
29149:
29102:
28923:
28600:
28590:
28567:
28557:
28517:
28408:
28390:
28337:
28194:
28137:
28065:
28012:
27983:
27973:
27952:Cardoso, T. R.; de Castro, A. S. (2005).
27928:
27918:
27861:
27808:
27752:
27742:
27474:
27212:Integral Transforms and Special Functions
26999:
26929:Integral Transforms and Special Functions
26837:
26672:
26670:
26668:
26666:
26664:
26628:
26590:
22143:
21569:can be expressed in terms of the Lambert
21556:
19224:
19108:
18779:
18705:
17651:
17497:
17356:
17226:
16802:
16521:
16362:
16173:
15994:
15829:
15682:
15586:
15424:
15292:
15033:
14827:
14605:
14451:
14407:
14244:
14132:
14007:
13958:
13928:
13879:
13806:
13757:
13704:
13604:
13526:
13489:
13276:
13155:
13106:
13076:
13027:
12931:
12882:
12820:
12593:
12528:
12390:
11941:
11874:
11778:
11706:
11367:
11274:
11023:
10940:
10858:
9925:
9106:
3848:
3629:
1271:There are countably many branches of the
1201:Elementary properties, branches and range
1099:After taking derivatives with respect to
967:. Taking limits, he derived the equation
28996:
28864:Chapeau-Blondeau, F.; Monir, A. (2002).
28761:
28119:
27797:Progress in Particle and Nuclear Physics
27131:and another one that you'd get from the
26720:"Observationes variae in mathesin puram"
26568:
23042:function may also be approximated using
21661:Orthogonal trajectories of real ellipses
21618:Electromagnetic surface wave propagation
21221:Wien's displacement law is expressed as
20179:Pooling of tests for infectious diseases
19422:, and solute concentration in the melt,
6878:
6831:
4181:; this holomorphic function defines the
3880:
1531:
1231:
1204:
662:
638:along the negative real axis, ending at
621:
41:
20:
29089:function for applications in physics".
29084:
29037:
29012:NIST Handbook of Mathematical Functions
28909:
28672:ProductLog - Wolfram Language Reference
27239:
27024:
22854:
22435:) expresses the equation governing the
21465:{\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}
20588:equals a given value as follows, where
20448:Resonances of the delta-shell potential
20366:Exact solution of QCD coupling constant
19373:
12558:
3557:, and many other expressions involving
2558:is the non-positive real axis, so that
1536:Regions of the complex plane for which
29240:
29220:with Halley's and Fritsch's iteration.
29073:Veberic, D., "Having Fun with Lambert
28723:"Lambert W function - Boost libraries"
27321:
26743:, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L.
26661:
22724:atomic, molecular, and optical physics
22457:double-well Dirac delta function model
21994:function expresses exact solutions to
19796:{\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}
19710:for the determination of the critical
6234:In 2013 it was proven that the branch
4152:defined on all complex numbers with a
2980:, and those regions specify where the
2838:{\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}
2272:in polar coordinates, it is seen that
1307:being the main (or principal) branch.
1152:double-well Dirac delta function model
561:, for instance, in the enumeration of
29047:Australian Senior Mathematics Journal
28957:
28815:Advances in Computational Mathematics
28735:
28539:
28279:"Numerics of the Generalized Lambert
27721:Rudolf Hanel, Stefan Thurner (2020).
27636:
27183:
27177:
27040:Advances in Computational Mathematics
26898:"Algebraic properties of the Lambert
26686:Advances in Computational Mathematics
21876:whose general solution is the family
20580:) is not zero the value or values of
19706:function is employed in the field of
19019:function is employed in the field of
15514:
15474:
15463:
15452:
15092:
15063:
13863:
13823:
13011:
12971:
12960:
12949:
10762:
800:The equation Lambert considered was
783:Lambert first considered the related
615:is described in terms of the Lambert
28642:"lambertw - specfun on Octave-Forge"
26852:
26612:
22867:, with successive approximations to
22486:
22221:
22101:are real constants. The solution is
22004:
21197:Phase separation of polymer mixtures
19697:
19015:The principal branch of the Lambert
18984:is the channel downstream position,
17827:
3076:, one can show that all branches of
3004:function is simply invertible, i.e.
1860:{\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}
1425:, with a branch cut that extends to
787:in 1758, which led to an article by
29208:Corless et al. Notes about Lambert
28546:Applied Mathematics and Computation
27166:from the same value from the other
23286:given in Corless et al. to compute
22863:function may be approximated using
21608:in exact form by using the Lambert
10771:function, including the following:
5881:They also showed the general bound
4947:approaches zero, with in this case
1321:is defined for all complex numbers
16:Multivalued function in mathematics
13:
29081:) Function" arXiv:1003.1628 (2010)
27139:that would feed the same value to
24315:
23588:
22722:) as seen recently in the area of
22589:
22544:
22419:) can be factored and reduced to (
22061:{\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r)}
21985:
21319:
21268:
21265:
21262:
21259:
21256:
20436:function is needed to go from the
20405:{\displaystyle \alpha _{\text{s}}}
19269:
18833:function is of any integer order.
12007:
11971:
11901:
11839:
11729:
11662:
11586:
11525:
11455:
11394:
11298:
11232:
10983:
10898:
9635:
9019:
9014:
8994:
8382:With Euler's iterated exponential
5534:
5308:
5055:
4882:
4644:
4623:
3950:
2809:
14:
29259:
29175:
28997:Roy, R.; Olver, F. W. J. (2010),
28661:Maxima, a Computer Algebra System
24204:{\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:}
22693:) is related to a large class of
22471:, namely the (three-dimensional)
21772:is parameterized by eccentricity
20438:Eddington–Finkelstein coordinates
19397:
15779:{\displaystyle t=W\left(w\right)}
10757:
8540:
8016:if the correct branch is chosen).
4816:Stirling number of the first kind
4676:
2845:, so that the inequality becomes
785:Lambert's Transcendental Equation
29160:10.1109/LCOMM.2013.070113.130972
29068:from the original on 2022-10-10.
28992:from the original on 2022-10-10.
28762:Sörngård, Johanna (2024-07-28),
28591:Fukushima, Toshio (2020-11-25).
28529:from the original on 2017-09-22.
27697:https://arxiv.org/abs/2005.03051
27010:10.1109/LCOMM.2013.070113.130972
26974:Function and Hyperpower Function
26958:from the original on 2015-12-11.
26571:Methods in Ecology and Evolution
24324:{\displaystyle x\in (e,\infty )}
23597:{\displaystyle x\in (e,\infty )}
22842:
22807:
22775:
22743:
22667:are distinct real constants and
19740:Bernoulli numbers and Todd genus
18836:
16611:Introduce substitution variable
12670:Introduce substitution variable
8008:(which can be extended to other
3898:around 0 can be found using the
209:there is one branch, denoted by
29091:Computer Physics Communications
28777:
28755:
28729:
28715:
28701:
28690:
28676:
28665:
28654:
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28609:
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28533:
28472:
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28370:
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28270:
28227:
28170:
28113:
28098:
28084:10.1016/j.nuclphysb.2015.05.021
28045:
27992:
27975:10.1590/S1806-11172005000400007
27945:
27894:
27880:10.1016/j.nuclphysa.2017.03.006
27841:
27769:
27714:
27702:
27690:
27679:
27664:
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27630:
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27549:
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27303:
27258:
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27102:
27088:
27074:
26962:
25606:
25558:
25537:
25424:
25312:
25169:
25066:
22475:. Here the right-hand side of (
22190:Generalizations of the Lambert
21576:
19726:
19357:
17822:
11790:
9932:
9116:
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7712:
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7564:
7487:
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7291:
7234:
7090:inverse trigonometric functions
7070:, it does not always hold that
6366:
3449:
3294:
3137:
671:function, colored according to
75:. The upper branch (blue) with
29015:, Cambridge University Press,
28784:István Mező - Personal webpage
28419:10.1016/j.chemphys.2005.10.031
27954:"The blackbody radiation in a
27776:A.M. Ishkhanyan, "The Lambert
27578:10.1016/j.jcrysgro.2024.127605
27540:10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028
26889:
26846:
26826:The Maple Technical Newsletter
26750:
26741:Acta Acad. Scient. Petropol. 2
26729:
26712:
26606:
26562:
26102:are given in the table below.
25950:
25944:
25928:
25922:
25892:
25886:
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25769:
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25733:
25703:
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25667:
25661:
25628:
25619:
25600:
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25375:
25369:
25349:
25271:
25263:
25257:
25233:
25227:
25185:
25128:
25120:
25114:
25094:
25025:
25017:
25011:
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24981:
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24870:
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24752:
24746:
24730:
24724:
24665:{\displaystyle x\in (-1/e,0):}
24656:
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24545:
24539:
24523:
24517:
24481:
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24400:
24382:
24376:
24360:
24354:
24318:
24306:
24233:
24227:
24195:
24161:
24130:
24127:
24118:
24106:
24094:
24085:
24073:
24067:
24044:{\displaystyle x\in (-1/4,0):}
24035:
24012:
23908:
23883:
23862:
23856:
23833:{\displaystyle x\in (-1/e,0):}
23824:
23801:
23756:
23750:
23718:
23706:
23675:
23672:
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23645:
23639:
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23591:
23579:
23517:
23511:
23463:
23457:
23414:
23408:
23387:
23381:
23362:
23356:
22613:
22594:
22568:
22549:
22393:but it belongs to a different
22055:
22043:
21969:
21966:
21941:
21922:
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21747:
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20678:
20644:
20626:
19843:
19837:
19677:
19662:
19653:
19638:
19598:
19592:
19571:
19556:
19519:
19504:
19493:
19487:
19278:
19259:
19144:
19114:
18930:
18921:
18915:
18909:
18901:
18892:
18886:
18880:
18860:
18854:
18793:
18767:
18407:
18392:
18389:
18377:
18307:
18292:
18289:
18277:
18243:
18224:
18193:
18178:
18175:
18163:
18152:
18137:
18134:
18122:
18112:
18105:
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18036:
18021:
18011:
18004:
17973:
17939:
17927:
17794:
17788:
17766:
17760:
17718:
17712:
17687:
17681:
17635:
17629:
17592:
17586:
17481:
17475:
17340:
17334:
17210:
17204:
17125:
16786:
16780:
16633:
16627:
16584:
16578:
16556:
16550:
16505:
16499:
15623:
15611:
15153:
15081:
15075:
14919:
14699:
14491:
14184:
14178:
14157:
14150:
14123:
14117:
14084:
14078:
13998:
13992:
13955:
13943:
13919:
13913:
13797:
13791:
13744:
13732:
13695:
13689:
13572:
13569:
13563:
13521:
13515:
13480:
13474:
13442:
13436:
13413:
13407:
13398:
13387:
13381:
13370:
13364:
13328:
13322:
13301:
13294:
13267:
13261:
13229:
13223:
13146:
13140:
13103:
13091:
13067:
13061:
12922:
12916:
12869:
12857:
12811:
12805:
12764:
12752:
12695:
12692:
12686:
12645:
12639:
12618:
12611:
12584:
12578:
12251:
12245:
11806:
11791:
11744:
11734:
11677:
11667:
11354:
11342:
11256:
11250:
11175:
11163:
10922:
10916:
10639:
10633:
10483:
10477:
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10006:
10000:
9947:
9939:
9856:
9838:
9682:
9673:
9515:
9506:
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9286:
9257:
9251:
9223:
9217:
9187:
9181:
9157:
9151:
8988:
8982:
8944:
8938:
8488:
8473:
8452:
8437:
8416:
8410:
8115:
8109:
8091:
8085:
8051:
8045:
8036:
8030:
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7960:
7851:
7845:
7824:
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7478:
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7303:
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7253:
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5901:
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5455:
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5359:
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5273:
5112:
5100:
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5020:
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4887:
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4652:
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4229:
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3958:
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3713:
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3620:
3519:
3513:
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3435:
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3279:
3267:
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2662:
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2306:
2009:
1987:
1854:
1832:
1823:
1811:
1708:
1686:
1570:
1548:
1236:Plot of the imaginary part of
896:
884:
688:
324:
318:
250:are any complex numbers, then
188:. The function is named after
1:
29085:Veberic, D. (2012). "Lambert
28791:
28736:Adler, Avraham (2017-04-24),
27624:10.1016/S0022-0248(02)00941-7
27505:10.1016/S0009-2509(00)00143-3
27476:10.1016/S0307-904X(02)00085-9
26616:American Mathematical Monthly
23779:{\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}
22739:function on the complex plane
21213:Wien's displacement law in a
20203:inverse square root potential
20166:
19334:is the initial flow rate and
18722:{\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}
9548:Special values of the branch
6827:
5000:) series expansions at zero:
3067:
3050:{\displaystyle W(n,ze^{z})=z}
1769:implies that there exists an
1720:{\displaystyle W(n,ze^{z})=z}
1582:{\displaystyle W(n,ze^{z})=z}
1463:, there is a branch point at
1008:{\displaystyle \ln x=cx^{a}.}
98:is the graph of the function
82:is the graph of the function
27744:10.1371/journal.pone.0240652
27330:Chemical Engineering Science
27224:10.1080/10652469.2011.640327
26970:Inequalities on the Lambert
22712:Applications of the Lambert
22695:delay differential equations
21785:{\displaystyle \varepsilon }
20442:Kruskal–Szekeres coordinates
18821:are complex constants, with
7120:, one of which is of course
3531:{\displaystyle W'_{0}(0)=1.}
1346:is defined for all non-zero
579:delay differential equations
335: for some integer
7:
29138:IEEE Communications Letters
28866:"Evaluation of the Lambert
28602:10.13140/RG.2.2.30264.37128
28540:Lóczi, Lajos (2022-11-15).
28356:10.1088/0264-9381/24/18/006
28126:American Journal of Physics
28107:"Mathematica, Version 12.1"
26988:IEEE Communications Letters
26500:
26249:
23727:{\displaystyle x\in (0,e):}
22718:
22703:
22689:
22683:
22677:
22635:
22477:
22431:
22421:
22415:
22331:
22212:
22074:
18980:is the debris flow height,
18829:not equal to zero, and the
18680:Generally, the solution to
6243:can be bounded as follows:
3541:
3062:
2971:{\displaystyle W(n,ze^{z})}
2549:{\displaystyle W(n,ze^{z})}
2015:{\displaystyle W(n,ze^{z})}
1917:. The value of the integer
626:Main branch of the Lambert
10:
29264:
28934:10.1161/01.cir.102.18.2214
28877:IEEE Trans. Signal Process
28510:10.1103/PhysRevA.75.060101
27827:10.1016/j.ppnp.2016.04.003
27381:10.1007/s13369-022-06864-9
27254:. RFNC-VNIIEF. p. 53.
27143:; these must crossover at
26726:, Band III, 128–168, 1758.
26679:"On the LambertW function"
26518:Lagrange inversion theorem
25823:function more accurately.
24487:{\displaystyle x\in (0,e)}
23323:{\displaystyle x\geq -1/e}
22463:charges in one dimension.
17896:{\displaystyle 3^{x}=2x+2}
17858:For example, the equation
9304:{\displaystyle W_{0}(e)=1}
8956:{\displaystyle W_{0}(0)=0}
7116:has two real solutions in
6045:{\displaystyle x\geq -1/e}
5251:Lagrange inversion formula
4979:Integer and complex powers
4921:, defined in the interval
3900:Lagrange inversion theorem
1893:depends upon the value of
1527:
838:{\displaystyle x=x^{m}+q.}
778:
375:suffice: for real numbers
29121:10.1016/j.cpc.2012.07.008
29038:Stewart, Seán M. (2005).
28559:10.1016/j.amc.2022.127406
28213:10.1007/s00200-006-0196-1
27729:. 15, 11 (11): e0240652.
27558:Journal of Crystal Growth
27520:Journal of Crystal Growth
27428:10.1007/s11538-011-9645-5
27350:10.1016/j.ces.2006.04.003
27052:10.1007/s10444-017-9530-3
26941:10.1080/10652460802332342
26404:
24964:on transformed varibles:
24674:for the principal branch
23534:For the principal branch
21416:{\displaystyle \rho _{T}}
20460:Thermodynamic equilibrium
6086:{\displaystyle x=y\ln(y)}
6052:, with equality only for
2241:are real, and expressing
1164:Michaelis–Menten kinetics
613:Michaelis–Menten kinetics
200:function per se in 1783.
27920:10.1021/acsomega.1c00450
27673:Acta Technica Napocensis
27418:(Submitted manuscript).
26968:A. Hoorfar, M. Hassani,
26556:
26523:Experimental mathematics
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21996:transcendental algebraic
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6008:{\displaystyle y>1/e}
4144:, as may be seen by the
3074:implicit differentiation
1975:is at the branch cut of
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282:{\displaystyle we^{w}=z}
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28617:"LambertW - Maple Help"
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28105:Wolfram Research, Inc.
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26528:Holstein–Herring method
25494:are transformations of
23990:{\displaystyle W_{-1}:}
21665:The family of ellipses
16123:{\displaystyle v=e^{u}}
7179:Some other identities:
7176:is the other solution.
5668:Bounds and inequalities
4912:The other real branch,
2502:{\displaystyle n\neq 0}
1506:, the parametric curve
107:. The minimum value of
29228:GNU Scientific Library
29199:Computing the Lambert
27958:-dimensional universe"
27186:Mathematical constants
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