6885:
4507:
6871:
6909:
983:
6897:
743:
751:
552:
1395:
2953:
than conventional moments, and existence of higher L-moments only requires that the random variable have finite mean. One disadvantage of L-moment ratios for estimation is their typically smaller sensitivity. For instance, the
Laplace distribution has a kurtosis of 6 and weak exponential tails, but a
2961:
of this data set is taken it will be highly influenced by this one point: however, if the L-scale is taken it will be far less sensitive to this data value. Consequently, L-moments are far more meaningful when dealing with outliers in data than conventional moments. However, there are also other
560:
275:
978:{\displaystyle \lambda _{4}={\frac {\ 1\ }{4}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{4:4}\ \}-3\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{3:4}\ \}+3\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:4}\ \}-\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:4}\ \}\ {\Bigr )}~.}
3727:
are generalizations of L-moments that give zero weight to extreme observations. They are therefore more robust to the presence of outliers, and unlike L-moments they may be well-defined for distributions for which the mean does not exist, such as the
2366:
2017:
1738:
2901:
L-moments are statistical quantities that are derived from probability weighted moments (PWM) which were defined earlier (1979). PWM are used to efficiently estimate the parameters of distributions expressable in inverse form such as the
2815:
412:
2989:
Some appearances of L-moments in the statistical literature include the book by David & Nagaraja (2003, Section 9.9) and a number of papers. A number of favourable comparisons of L-moments with ordinary moments have been reported.
2977:
Another advantage L-moments have over conventional moments is that their existence only requires the random variable to have finite mean, so the L-moments exist even if the higher conventional moments do not exist (for example, for
1190:
1529:
84:. Just as for conventional moments, a theoretical distribution has a set of population L-moments. Sample L-moments can be defined for a sample from the population, and can be used as estimators of the population L-moments.
1178:
2437:
2550:
738:{\displaystyle \lambda _{3}={\frac {\ 1\ }{3}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{3:3}\ \}-2\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:3}\ \}+\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:3}\ \}\ {\Bigr )}}
404:
106:
3002:
with constant L-moment ratios. More complex expressions have been derived for some further distributions for which the L-moment ratios vary with one or more of the distributional parameters, including the
2879:
1080:
1045:
340:
4457:
2629:
2589:
2444:
4010:
Landwehr, J.M.; Matalas, N.C.; Wallis, J.R. (1979). "Probability weighted moments compared with some traditional techniques in estimating Gumbel parameters and quantiles".
2677:
2023:
1744:
1535:
4197:
Delicado, P.; Goria, M. N. (2008). "A small sample comparison of maximum likelihood, moments and L-moments methods for the asymmetric exponential power distribution".
547:{\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ 1\ }{2}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:2}\ \}-\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:2}\ \}\ {\Bigr )}}
2962:
better suited methods to achieve an even higher robustness than just replacing moments by L-moments. One example of this is using L-moments as summary statistics in
2712:
1390:{\displaystyle \lambda _{r}={\frac {1}{\ r\cdot {\tbinom {n}{r}}\ }}\ \sum _{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}}\ (-1)^{r-j}{\binom {r-1}{j}}\ x_{j}~.}
3959:
1422:
3890:
4450:
1105:
2395:
6006:
4423:
4045:
2469:
6511:
355:
4572:
4443:
3696:
The notation for the parameters of each distribution is the same as that used in the linked article. In the expression for the mean of the
270:{\displaystyle \lambda _{r}={\frac {\ 1\ }{r}}\sum _{k=0}^{r-1}(-1)^{k}{\binom {r-1}{k}}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X_{r-k:r}\ \}\ ,}
6661:
2998:
The table below gives expressions for the first two L moments and numerical values of the first two L-moment ratios of some common
6285:
4926:
6059:
2954:
larger 4th L-moment ratio than e.g. the student-t distribution with d.f.=3, which has an infinite kurtosis and much heavier tails.
1412: element subset, and yields formulas of the form below. Direct estimators for the first four L-moments in a finite sample of
6498:
3016:
4224:
Alkasasbeh, M. R.; Raqab, M. Z. (2009). "Estimation of the generalized logistic distribution parameters: comparative study".
4144:
3776:
Hosking, J.R.M. (1990). "L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics".
4921:
4621:
2881:
which is called the "coefficient of L-variation", or "L-CV". For a non-negative random variable, this lies in the interval
2986:). A finite variance is required in addition in order for the standard errors of estimates of the L-moments to be finite.
2827:
5525:
4673:
4432:
lightweight Python includes functions for fast calculation of L-moments, trimmed L-moments, and multivariate L-comoments.
2999:
3960:"Probability weighted moments: Definition and relation to parameters of several distributions expressed in inverse form"
4112:
6308:
6200:
3873:
3020:
6913:
6486:
6360:
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4577:
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3457:
3379:
3083:
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2983:
4416:
4037:
6595:
5807:
5614:
5503:
5461:
4278:
Jones, M. C. (2009). "Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages".
2938:
5535:
6935:
6838:
5797:
4700:
4072:"Key structural features of Boreal forests may be detected directly using L-moments from airborne lidar data"
3709:
3641:
6389:
6338:
6323:
6313:
6182:
6054:
6021:
5847:
5802:
5632:
4484:
3803:
Hosking, J.R.M. (1992). "Moments or L moments? An example comparing two measures of distributional shape".
2922:
There are two common ways that L-moments are used, in both cases analogously to the conventional moments:
72:, termed the L-scale, L-skewness and L-kurtosis respectively (the L-mean is identical to the conventional
6940:
6901:
6733:
6534:
6458:
5759:
5513:
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4646:
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6333:
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5998:
5978:
5886:
5597:
5415:
4898:
4770:
4566:
2945:
In addition to doing these with standard moments, the latter (estimation) is more commonly done using
2361:{\displaystyle \ell _{4}={\frac {1}{\ 4\cdot {\tbinom {n}{4}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl }\ x_{(i)}\ }
2012:{\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{\ 3\cdot {\tbinom {n}{3}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl }\ x_{(i)}\ }
1733:{\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{\ 2\cdot {\tbinom {n}{2}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl }\ x_{(i)}\ }
1052:
1017:
317:
6350:
6118:
5839:
5764:
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5542:
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5400:
5388:
5381:
5089:
4810:
4478:
2957:
As an example consider a dataset with a few data points and one outlying data value. If the ordinary
2934:
2907:
2598:
2558:
6833:
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5172:
5084:
4775:
4614:
4467:
4174:
3523:
2966: (EVT). This application shows the limited robustness of L-moments, i.e. L-statistics are not
2949:
methods; however using L-moments provides a number of advantages. Specifically, L-moments are more
2821:
2649:
1087:
300:
41:
3866:
Distributional analysis with L-moment statistics using the R environment for statistical computing
6742:
6355:
6295:
6232:
5870:
5854:
5592:
5454:
5444:
5294:
5208:
3004:
2971:
17:
4160:
Serfling, R.; Xiao, P. (2007). "A contribution to multivariate L-moments: L-comoment matrices".
6780:
6710:
6503:
6440:
6195:
6082:
5079:
4976:
4883:
4762:
4661:
4342:
Ulrych, T. J.; Velis, D. R.; Woodbury, A. D.; Sacchi, M. D. (2000). "L-moments and C-moments".
4169:
346:
6805:
6747:
6690:
6516:
6409:
6318:
6044:
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5372:
5350:
5309:
5274:
5241:
5187:
5162:
5117:
5056:
5016:
4818:
4641:
4407:
4251:
Jones, M. C. (2004). "On some expressions for variance, covariance, skewness and L-moments".
3165:
2810:{\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{4}}\left(\ 5\ \tau _{3}^{2}-1\ \right)\leq \tau _{4}<1~.}
2646:
Tighter bounds can be found for some specific L-moment ratios; in particular, the L-kurtosis
1098:
The sample L-moments can be computed as the population L-moments of the sample, summing over
6728:
6303:
6252:
6228:
6190:
6108:
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4795:
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4538:
4359:
3982:
3907:
3838:
Hosking, J.R.M. (2006). "On the characterization of distributions by their L-moments".
3820:
3785:
3008:
2958:
2946:
2927:
997:
303:
61:
45:
4435:
4390:
2970:, as a single extreme value can throw them off, but because they are only linear (not
6884:
6795:
6765:
6757:
6577:
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3986:
3869:
2950:
1524:{\displaystyle \ell _{1}={\frac {1}{\ {\tbinom {n}{1}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ x_{(i)}\ }
1005:
6820:
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5437:
5139:
4966:
4730:
4725:
1400:
Grouping these by order statistic counts the number of ways an element of an
1173:{\displaystyle \left\{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}\right\},}
4023:
3978:
3903:
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2432:{\displaystyle \ {\tbinom {\boldsymbol {\cdot }}{\boldsymbol {\cdot }}}\ }
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5021:
5001:
4981:
4971:
4740:
4305:
Royston, P. (1992). "Which measures of skewness and kurtosis are best?".
3741:
3272:
2545:{\displaystyle \tau _{r}=\lambda _{r}/\lambda _{2},\qquad r=3,4,\dots ~.}
53:
5674:
5154:
4854:
4785:
4735:
4710:
4630:
4518:
3911:
3824:
3789:
2974:), they are less affected by extreme values than conventional moments.
399:{\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X\ \}}
33:
4377:
Elamir, Elsayed A. H.; Seheult, Allan H. (2003). "Trimmed L-moments".
3941:
5827:
5679:
5299:
5094:
5006:
4991:
4986:
4951:
4588:
3958:
Greenwood, J.A.; Landwehr, J.M.; Matalas, N.C.; Wallis, J.R. (1979).
2448:
3816:
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5751:
5725:
5705:
4956:
4747:
4070:
Valbuena, R.; Maltamo, M.; Mehtätalo, L.; Packalen, P. (2017).
3957:
2443:. Sample L-moments can also be defined indirectly in terms of
40:
are a sequence of statistics used to summarize the shape of a
4599:
27:
Statistical sequence characterizing probability distributions
3928:
Wang, Q.J. (1996). "Direct sample estimators of L-moments".
4690:
4104:
Regional
Frequency Analysis: An Approach Based on L-moments
73:
4071:
1011:
The first two of these L-moments have conventional names:
4341:
349:. In particular, the first four population L-moments are
4465:
4376:
3888:
Jones, M.C. (2002). "Student's simplest distribution".
2993:
60:, and can be used to calculate quantities analogous to
2720:
2403:
2295:
2260:
2228:
2190:
2158:
2120:
2056:
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1020:
754:
563:
415:
358:
320:
109:
6512:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
2874:{\displaystyle \ \tau =\lambda _{2}/\lambda _{1}\ ,}
5974:
3891:Journal of the Royal Statistical Society, Series D
3868:, Create Space Independent Publishing Platform, ,
3778:Journal of the Royal Statistical Society, Series B
2941:to the L-moments rather than conventional moments.
2873:
2809:
2671:
2623:
2583:
2544:
2431:
2360:
2011:
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465:
449:
380:
211:
190:
6927:
6060:Multivariate adaptive regression splines (MARS)
4223:
3680:
3669:
3598:
3576:
3499:
3342:
3264:
3192:
2824:, but based on L-moments, can also be defined:
4424:National Institute of Standards and Technology
4046:National Institute of Standards and Technology
3426:
4615:
4451:
4422:reference manual, vol. 1, auxiliary chapter.
4253:Journal of Statistical Planning and Inference
4196:
4134:
4100:
3840:Journal of Statistical Planning and Inference
2419:
2406:
2319:
2298:
2284:
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1935:
1914:
1903:
1882:
1865:
1844:
1793:
1780:
1691:
1670:
1656:
1635:
1584:
1571:
1465:
1452:
1239:
1226:
4379:Computational Statistics & Data Analysis
4199:Computational Statistics & Data Analysis
4159:
956:
931:
916:
891:
873:
848:
830:
805:
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697:
682:
657:
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614:
531:
506:
491:
466:
393:
381:
258:
227:
2933:To derive estimators for the parameters of
4660:
4622:
4608:
4458:
4444:
3953:
3951:
3883:
3881:
5273:
4173:
4107:. Cambridge University Press. p. 3.
4065:
4063:
4005:
4003:
3923:
3921:
1047:is the "mean", "L-mean", or "L-location",
929:
924:
889:
884:
846:
841:
803:
798:
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690:
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3767:
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3759:
3757:
2638:L-moment ratios lie within the interval
4304:
3948:
3878:
3837:
3802:
3775:
87:
14:
6928:
6586:KaplanâMeier estimator (product limit)
4135:David, H. A.; Nagaraja, H. N. (2003).
4060:
4000:
3918:
6659:
6226:
5973:
5272:
5042:
4659:
4603:
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4277:
4250:
3887:
3831:
3796:
3754:
2896:
2463:, or scaled L-moments, is defined by
76:). Standardised L-moments are called
6896:
6596:Accelerated failure time (AFT) model
3927:
3000:continuous probability distributions
2994:Values for some common distributions
6908:
6191:Analysis of variance (ANOVA, anova)
5043:
1180:hence averaging by dividing by the
1093:
1008:(finite analog to the derivative).
992:th L-moment are the same as in the
24:
6286:CochranâMantelâHaenszel statistics
4912:Pearson product-moment correlation
2454:
2447:, which leads to a more efficient
2410:
2302:
2267:
2235:
2197:
2165:
2127:
2063:
1953:
1918:
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1848:
1784:
1674:
1639:
1575:
1456:
1345:
1230:
988:Note that the coefficients of the
194:
25:
6952:
4401:
4101:Hosking, JRM; Wallis, JR (2005).
1086:The L-scale is equal to half the
6907:
6895:
6883:
6870:
6869:
6660:
4505:
4491:cumulative distribution function
4162:Journal of Multivariate Analysis
2414:
2411:
1404: element sample can be the
1075:{\displaystyle \ \lambda _{2}\ }
1040:{\displaystyle \ \lambda _{1}\ }
335:{\displaystyle \ \mathbb {E} \ }
6545:Least-squares spectral analysis
4578:probability-generating function
4370:
4335:
4298:
4271:
4244:
4217:
4190:
4153:
4128:
4094:
2514:
1102:-element subsets of the sample
5526:Mean-unbiased minimum-variance
4629:
4030:
3858:
2624:{\displaystyle \ \tau _{4}\ ,}
2584:{\displaystyle \ \tau _{3}\ ,}
2350:
2344:
2001:
1995:
1722:
1716:
1513:
1507:
1323:
1313:
178:
168:
13:
1:
6839:Geographic information system
6055:Simultaneous equations models
4391:10.1016/S0167-9473(02)00250-5
4076:Remote Sensing of Environment
3747:
3719:
2672:{\displaystyle \ \tau _{4}\ }
2555:The most useful of these are
6022:Coefficient of determination
5633:Uniformly most powerful test
4485:probability density function
4426:, 2006. Accessed 2010-05-25.
4292:10.1016/j.stamet.2008.04.001
4238:10.1016/j.stamet.2008.10.001
2820:A quantity analogous to the
2445:probability weighted moments
56:) analogous to conventional
7:
6591:Proportional hazards models
6535:Spectral density estimation
6517:Vector autoregression (VAR)
5951:Maximum posterior estimator
5183:Randomized controlled trial
3735:
3679:
3668:
3597:
3575:
3498:
3495:
3425:
3422:
3341:
3338:
3263:
3260:
3191:
3188:
3157:
3152:
10:
6957:
6351:Multivariate distributions
4771:Average absolute deviation
4567:moment-generating function
4265:10.1016/j.jspi.2003.09.001
4211:10.1016/j.csda.2007.05.021
4184:10.1016/j.jmva.2007.01.008
3852:10.1016/j.jspi.2004.06.004
100:th population L-moment is
6865:
6819:
6756:
6709:
6672:
6668:
6655:
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6609:
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6567:
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6382:
6373:
6339:Structural equation model
6294:
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5737:
5701:
5692:
5675:Score/Lagrange multiplier
5660:
5613:
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5475:
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5281:
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5108:
5090:Sample size determination
5055:
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4637:
4562:
4514:
4503:
4479:probability mass function
4474:
4468:probability distributions
4088:10.1016/j.rse.2016.10.024
3805:The American Statistician
3710:EulerâMascheroni constant
3017:generalized extreme value
2935:probability distributions
310:from the distribution of
299:th smallest value) in an
6834:Environmental statistics
6356:Elliptical distributions
6149:Generalized linear model
6078:Simple linear regression
5848:HodgesâLehmann estimator
5305:Probability distribution
5214:Stochastic approximation
4776:Coefficient of variation
4012:Water Resources Research
3967:Water Resources Research
3930:Water Resources Research
2980:Student's t distribution
2917:
2889:and is identical to the
2822:coefficient of variation
1416: observations are:
1088:Mean absolute difference
42:probability distribution
6494:Cross-correlation (XCF)
6102:Non-standard predictors
5536:LehmannâScheffĂŠ theorem
5209:Adaptive clinical trial
4573:characteristic function
4410:Jonathan R.M. Hosking,
4280:Statistical Methodology
4226:Statistical Methodology
4139:(3rd ed.). Wiley.
4024:10.1029/WR015i005p01055
3979:10.1029/WR015i005p01049
3904:10.1111/1467-9884.00297
2972:higher-order statistics
2451:for their computation.
6890:Mathematics portal
6711:Engineering statistics
6619:NelsonâAalen estimator
6196:Analysis of covariance
6083:Ordinary least squares
6007:Pearson product-moment
5411:Statistical functional
5322:Empirical distribution
5155:Controlled experiments
4884:Frequency distribution
4662:Descriptive statistics
4321:10.1002/sim.4780110306
4308:Statistics in Medicine
2875:
2811:
2673:
2625:
2585:
2546:
2433:
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2105:
2013:
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1525:
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1174:
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1041:
979:
739:
548:
400:
336:
271:
167:
92:For a random variable
6806:Population statistics
6748:System identification
6482:Autocorrelation (ACF)
6410:Exponential smoothing
6324:Discriminant analysis
6319:Canonical correlation
6183:Partition of variance
6045:Regression validation
5889:(JonckheereâTerpstra)
5788:Likelihood-ratio test
5477:Frequentist inference
5389:Locationâscale family
5310:Sampling distribution
5275:Statistical inference
5242:Cross-sectional study
5229:Observational studies
5188:Randomized experiment
5017:Stem-and-leaf display
4819:Central limit theorem
4356:10.1007/s004770050004
3864:Asquith, W.H. (2011)
2876:
2812:
2674:
2626:
2586:
2547:
2434:
2363:
2085:
2014:
1806:
1735:
1597:
1526:
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1392:
1175:
1077:
1042:
980:
740:
549:
401:
337:
272:
141:
80:and are analogous to
6936:Moment (mathematics)
6729:Probabilistic design
6314:Principal components
6157:Exponential families
6109:Nonlinear regression
6088:General linear model
6050:Mixed effects models
6040:Errors and residuals
6017:Confounding variable
5919:Bayesian probability
5897:Van der Waerden test
5887:Ordered alternative
5652:Multiple comparisons
5531:RaoâBlackwellization
5494:Estimating equations
5450:Statistical distance
5168:Factorial experiment
4701:Arithmetic-Geometric
3713:0.5772 1566 4901 ...
3021:generalized logistic
2968:resistant statistics
2964:extreme value theory
2828:
2713:
2650:
2599:
2559:
2470:
2441:binomial coefficient
2396:
2024:
1745:
1536:
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1191:
1182:binomial coefficient
1106:
1053:
1018:
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561:
413:
356:
318:
107:
88:Population L-moments
82:standardized moments
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6724:Methods engineering
6405:Seasonal adjustment
6173:Poisson regressions
6093:Bayesian regression
6032:Regression analysis
6012:Partial correlation
5984:Regression analysis
5583:Prediction interval
5578:Likelihood interval
5568:Confidence interval
5560:Interval estimation
5521:Unbiased estimators
5339:Model specification
5219:Up-and-down designs
4907:Partial correlation
4863:Index of dispersion
4781:Interquartile range
3730:Cauchy distribution
3698:Gumbel distribution
2767:
46:linear combinations
6941:Summary statistics
6821:Spatial statistics
6701:Medical statistics
6601:First hitting time
6555:Whittle likelihood
6206:Degrees of freedom
6201:Multivariate ANOVA
6134:Heteroscedasticity
5946:Bayesian estimator
5911:Bayesian inference
5760:KolmogorovâSmirnov
5645:Randomization test
5615:Testing hypotheses
5588:Tolerance interval
5499:Maximum likelihood
5394:Exponential family
5327:Density estimation
5287:Statistical theory
5247:Natural experiment
5193:Scientific control
5110:Survey methodology
4796:Standard deviation
4539:standard deviation
4408:The L-moments page
3675:(3) - 3 = 0.1699
3013:generalized Pareto
2984:degrees of freedom
2959:standard deviation
2947:maximum likelihood
2928:summary statistics
2897:Related quantities
2871:
2807:
2753:
2737:
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2358:
2324:
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2187:
2149:
2077:
2009:
1975:
1940:
1908:
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1661:
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1309:
1244:
1170:
1072:
1037:
998:binomial transform
975:
735:
544:
396:
332:
267:
62:standard deviation
6923:
6922:
6861:
6860:
6857:
6856:
6796:National accounts
6766:Actuarial science
6758:Social statistics
6651:
6650:
6647:
6646:
6643:
6642:
6578:Survival function
6563:
6562:
6425:Granger causality
6266:Contingency table
6241:Survival analysis
6218:
6217:
6214:
6213:
6070:Linear regression
5965:
5964:
5961:
5960:
5936:Credible interval
5905:
5904:
5688:
5687:
5504:Method of moments
5373:Parametric family
5334:Statistical model
5264:
5263:
5260:
5259:
5178:Random assignment
5100:Statistical power
5034:
5033:
5030:
5029:
4879:Contingency table
4849:
4848:
4716:Generalized/power
4597:
4596:
4497:quantile function
4146:978-0-471-38926-2
4044:(documentation).
4040:. NIST Dataplot.
3942:10.1029/96WR02675
3936:(12): 3617â3619.
3725:Trimmed L-moments
3692:
3691:
2939:method of moments
2867:
2833:
2803:
2776:
2752:
2746:
2736:
2731:
2725:
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2668:
2655:
2617:
2604:
2577:
2564:
2538:
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2417:
2401:
2357:
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2317:
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2250:
2212:
2180:
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2118:
2108:
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2081:
2070:
2048:
2008:
1989:
1979:
1968:
1933:
1901:
1863:
1839:
1829:
1804:
1802:
1791:
1769:
1729:
1710:
1700:
1689:
1654:
1630:
1620:
1595:
1593:
1582:
1560:
1520:
1501:
1476:
1474:
1463:
1447:
1408:th element of an
1383:
1370:
1360:
1312:
1255:
1254:
1250:
1248:
1237:
1215:
1082:is the "L-scale".
1071:
1058:
1036:
1023:
1006:finite difference
1000:, as used in the
971:
961:
955:
936:
915:
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872:
853:
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810:
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773:
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721:
702:
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6139:Homoscedasticity
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5873:(KruskalâWallis)
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5783:
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5712:
5699:
5698:
5670:Likelihood-ratio
5662:Parametric tests
5640:Permutation test
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5384:
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5282:
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5252:Quasi-experiment
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4679:
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