19445:
1658:
6568:
7144:
1196:
18658:
1230:
5985:
6579:
2801:
27:
21619:
19440:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+x_{3}^{2}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\end{aligned}}}
2811:
1653:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{aligned}}}
2486:
6563:{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}
12404:
7139:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}
9311:
3438:
21037:
13323:
16526:
2039:
11804:
8929:
12856:
2837:
8161:
25632:
5974:
25246:
18301:
17303:
5656:
21614:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\}~\mathrm {d} t\\&\qquad -\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right|_{0}^{T}\end{aligned}}}
13908:
24124:
8572:
11162:
11497:
2754:
12867:
7870:
5401:
1960:
1071:
16186:
2481:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=-q\end{aligned}}}
8918:
26018:
11793:
10646:
12399:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{11,1}&={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}\right)~;~~N_{22,2}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}\right)\\N_{12,1}&={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)~;~~N_{12,2}={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)\end{aligned}}}
24559:
9306:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\\M_{22}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\\M_{12}&=-D(1-\nu ){\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\end{aligned}}}
12415:
16175:
15373:
3433:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~dx_{3}~d\Omega =\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~\delta \varepsilon _{\alpha \beta }~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\left~d\Omega \end{aligned}}}
23535:
15909:
7885:
25257:
18527:
5725:
24830:
21026:
18012:
17014:
5469:
23212:
16765:
13535:
23887:
10918:
8335:
10929:
11173:
2520:
13318:{\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)=0\\&\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)=0\\&w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}+2(1-\nu )~w_{,1212}^{0}+\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\end{aligned}}}
9703:
21993:
7625:
5210:
23274:
23254:
23234:
16521:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&=A~{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{1}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}=0\\M_{11}&=-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x_{1}^{4}}}={\cfrac {q}{D}}\\\end{aligned}}}
1724:
779:
10145:
8631:
25705:
11508:
10361:
26351:
19749:
9938:
24289:
24819:
12851:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}\right)\\M_{22,22}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222}^{0}\right)\\M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}(1-\nu )~w_{,1212}^{0}\end{aligned}}}
15920:
15192:
23304:
15664:
8156:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
25627:{\displaystyle {\begin{aligned}-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}&\left(w_{,1111}+\nu ~w_{,2211}+2(1-\nu )~w_{,1212}+\nu ~w_{,1122}+w_{,2222}\right)=\\&-q(x,t)+2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.\end{aligned}}}
3635:
18312:
5969:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
25241:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}+\nu ~w_{,2211}\right)\\M_{22,22}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}+w_{,2222}\right)\\M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}(1-\nu )~w_{,1212}\end{aligned}}}
18296:{\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}
17298:{\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}
5651:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}
249:
22749:
22372:
13903:{\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{1,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu )~u_{2,12}^{0}=0\\&u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{2,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu )~u_{1,12}^{0}=0\\&w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\end{aligned}}}
745:
20644:
534:
22997:
18001:
16550:
24119:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}
8567:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}
11157:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
10666:
11492:{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}
17607:
4081:
17003:
2749:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\quad \quad N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q&=0\quad \quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\end{aligned}}}
8319:
24278:
9478:
7865:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }~u_{3,\beta })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&=u_{3,3}\end{aligned}}}
5396:{\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}
21630:
1955:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
5187:
1066:{\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
4890:
8913:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{1-\nu }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}
26013:{\displaystyle {\begin{aligned}-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}&\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=\\&-q(x,t)+2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.\end{aligned}}}
9958:
11788:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}
10641:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}
26121:
7351:
The
Kirchhoff-Love constitutive assumptions lead to zero shear forces. As a result, the equilibrium equations for the plate have to be used to determine the shear forces in thin Kirchhoff-Love plates. For isotropic plates, these equations lead to
19476:
9761:
5203:
The boundary conditions that are needed to solve the equilibrium equations of plate theory can be obtained from the boundary terms in the principle of virtual work. In the absence of external forces on the boundary, the boundary conditions are
24554:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}
23297:
The governing equations simplify considerably for isotropic and homogeneous plates for which the in-plane deformations can be neglected. In that case we are left with one equation of the following form (in rectangular
Cartesian coordinates):
15539:
14286:
24593:
16170:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}}
15368:{\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}
7441:
4765:
4423:
20042:
14762:
26484:
23530:{\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}\right)=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}
5718:
do not appear in the equilibrium equations it is implicitly assumed that these quantities do not have any effect on the momentum balance and are neglected. The remaining stress-strain relations, in matrix form, can be written as
15904:{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}}
5038:
7346:
18647:
3472:
18522:{\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }~\delta {\dot {u}}_{\alpha }+{\dot {u}}_{3}~\delta {\dot {u}}_{3}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}
23783:
14404:
22926:
7234:
21021:{\displaystyle \delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left~\mathrm {d} A\right\}~\mathrm {d} t+\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\mathrm {d} A\right|_{0}^{T}}
128:
26588:
23207:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}
22383:
22004:
16760:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}
631:
14627:
417:
17618:
23865:
10913:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\implies N_{11,1}+N_{21,2}=0~,~~N_{12,1}+N_{22,2}=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\implies M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=0\end{aligned}}}
20516:
17329:
10294:
3646:
16811:
14985:
22989:
8175:
15143:
13527:
9698:{\displaystyle \sigma _{11}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{11}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{22}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{22}\,.}
23674:
15555:
Under certain loading conditions a flat plate can be bent into the shape of the surface of a cylinder. This type of bending is called cylindrical bending and represents the special situation where
24165:
21988:{\displaystyle \delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\}~\mathrm {d} t}
15656:
7557:
7494:
26110:
15077:
5453:
25710:
25262:
24835:
23002:
21042:
18663:
16555:
16191:
13540:
12872:
12420:
11809:
10671:
8934:
8180:
7890:
7630:
5474:
5215:
5101:
4810:
4130:
3651:
2842:
2525:
2044:
1729:
1235:
1156:
784:
14131:
5088:
5096:
25697:
4805:
24157:
10140:{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}=0\,.}
409:
13960:
13450:
13388:
10346:
2787:
20554:
26346:{\displaystyle D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}+{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.}
281:
19744:{\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{2}:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\rho ~dx_{3}=0~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}
14013:
9933:{\displaystyle \sigma _{11}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{11}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{22}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{22}\,.}
9441:
5689:
1101:
14815:
569:
16803:
15184:
20584:
5716:
120:
9753:
1186:
15419:
4797:
1693:
7617:
7591:
24814:{\displaystyle M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}+q(x,t)=2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.}
1713:
768:
22787:
15411:
14139:
19468:
14083:
10202:
10175:
4949:
2031:
623:
596:
369:
342:
315:
14056:
9470:
8595:
4922:
2004:
20636:
20610:
7358:
4434:
4138:
24585:
23581:
3464:
2512:
23558:
19760:
14785:
14654:
8619:
26362:
4957:
7253:
3630:{\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}
18538:
23685:
14297:
244:{\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.}
22744:{\displaystyle \delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t}
22367:{\displaystyle \delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t}
22795:
7159:
740:{\displaystyle \mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }}
529:{\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}
26495:
17996:{\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}
14415:
16536:
The dynamic theory of thin plates determines the propagation of waves in the plates, and the study of standing waves and vibration modes.
23794:
17602:{\displaystyle K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}
4076:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\left~d\Omega \\&+\int _{\Gamma ^{0}}\left~d\Gamma \end{aligned}}}
1220:
For the situation where the strains in the plate are infinitesimal and the rotations of the mid-surface normals are less than 10° the
20053:
16998:{\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}
8314:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+_{,\alpha }+q&=0\end{aligned}}}
10210:
26356:
For small deformations, we often neglect the spatial derivatives of the transverse acceleration of the plate and we are left with
14823:
22938:
15088:
24273:{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.}
13455:
22932:
23589:
15558:
7505:
7452:
26029:
14996:
5409:
74:. The theory assumes that a mid-surface plane can be used to represent a three-dimensional plate in two-dimensional form.
4089:
1113:
30:
Deformation of a thin plate highlighting the displacement, the mid-surface (red) and the normal to the mid-surface (blue)
14088:
5182:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q&=0\end{aligned}}}
5046:
4885:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}
1208:
The original theory developed by Love was valid for infinitesimal strains and rotations. The theory was extended by
21624:
Again, since the variations are zero at the beginning and the end of the time interval under consideration, we have
25640:
24132:
2832:
For the situation where the strains and rotations of the plate are small the virtual internal energy is given by
381:
13919:
13393:
13331:
10305:
9472:. Using the stress-strain relations for the plates, we can show that the stresses and moments are related by
8169:
If the strain-displacement relations take the von Karman form, the equilibrium equations can be expressed as
2762:
20524:
26706:
257:
14787:
is a distributed transverse load (per unit area). Substitution of the expressions for the derivatives of
26666:
14632:
Solutions of this equation for various geometries and boundary conditions can be found in the article on
13968:
1221:
284:
9319:
5664:
1079:
14790:
4770:
For the case where there are no prescribed external forces, the principle of virtual work implies that
67:
26711:
1974:
1195:
542:
16773:
15534:{\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}
15151:
7876:
1209:
23273:
23253:
23233:
20559:
5694:
103:
9711:
1164:
47:
14649:
For a transversely loaded plate without axial deformations, the governing equation has the form
7875:
Then the kinematic assumptions of
Kirchhoff-Love theory lead to the classical plate theory with
4773:
1666:
14281:{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w={\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}}
7596:
7570:
287:
8166:
This theory is nonlinear because of the quadratic terms in the strain-displacement relations.
1698:
753:
375:
22757:
15381:
7436:{\displaystyle Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}w^{0})\,.}
4760:{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left~d\Gamma }
4418:{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left~d\Gamma }
26615:, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
24159:
are the in-plane strains. The strain-displacement relations for
Kirchhoff-Love plates are
19453:
14061:
10180:
10153:
4927:
2800:
2009:
601:
574:
347:
320:
293:
84:
straight lines normal to the mid-surface remain normal to the mid-surface after deformation
26:
22377:
Integration by parts and invoking zero variation at the boundary of the mid-surface gives
20037:{\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\left~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}
14757:{\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=q\implies M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=q}
14032:
9446:
8580:
4898:
1980:
8:
26691:
26479:{\displaystyle D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,.}
23224:
20615:
20589:
10352:
24567:
23563:
3446:
2494:
26681:
23543:
14770:
8622:
8604:
8598:
2810:
43:
39:
539:
This displacement can be decomposed into a vector sum of the mid-surface displacement
26686:
26671:
26661:
14633:
51:
5033:{\displaystyle \delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{\Omega ^{0}}q~\delta w^{0}~d\Omega }
24564:
The governing equation for an isotropic and homogeneous plate of uniform thickness
23223:
Solutions of these equations for some special cases can be found in the article on
17320:
10661:
For an isotropic, homogeneous plate under pure bending the governing equations are
7341:{\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}
2790:
71:
59:
18642:{\displaystyle u_{\alpha }=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~u_{3}=w^{0}}
97:
1104:
23875:
Derivation of dynamic governing equations for isotropic
Kirchhoff-Love plates
5463:
The stress-strain relations for a linear elastic
Kirchhoff plate are given by
344:
are the
Cartesian coordinates on the mid-surface of the undeformed plate, and
26700:
22789:
acting normal to the surface of the plate, the virtual external work done is
1189:
23778:{\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.}
14399:{\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}={\cfrac {q}{D}}}
26676:
9949:
20:
81:
straight lines normal to the mid-surface remain straight after deformation
23881:
For an isotropic and homogeneous plate, the stress-strain relations are
23560:
is the bending stiffness of the plate. For a uniform plate of thickness
22921:{\displaystyle \delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{0}^{T}\left\mathrm {d} t}
8329:
For an isotropic and homogeneous plate, the stress-strain relations are
7567:
If the rotations of the normals to the mid-surface are in the range of 10
7229:{\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}
625:
direction. We can write the in-plane displacement of the mid-surface as
63:
26489:
Then, in direct tensor notation, the governing equation of the plate is
17313:
Derivation of equations governing the dynamics of
Kirchhoff-Love plates
26583:{\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q(x,y,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,.}
21998:
For the dynamic case, the variation in the internal energy is given by
16544:
The governing equations for the dynamics of a
Kirchhoff-Love plate are
24824:
Differentiation of the expressions for the moment resultants gives us
23227:. The figures below show some vibrational modes of a circular plate.
10150:
Here we have assumed that the in-plane displacements do not vary with
3466:
and the stress resultants and stress moment resultants are defined as
24283:
Therefore, the resultant moments corresponding to these stresses are
14622:{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left={\frac {q}{D}}\,.}
1965:
Therefore, the only non-zero strains are in the in-plane directions.
16:
Theory used to determine the stresses and deformations in thin plates
23860:{\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.}
13913:
In direct tensor notation, the governing equation of the plate is
77:
The following kinematic assumptions that are made in this theory:
26656:
14291:
In rectangular
Cartesian coordinates, the governing equation is
14133:. Following the procedure shown in the previous section we get
1973:
The equilibrium equations for the plate can be derived from the
87:
the thickness of the plate does not change during a deformation.
26613:
On the small free vibrations and deformations of elastic shells
20511:{\displaystyle \delta K=\int _{\Omega ^{0}}\left~\mathrm {d} A}
4924:
that is normal to the mid-surface and directed in the positive
20638:. Hence, after switching the sequence of integration, we have
8324:
1199:
Displacement of the mid-surface (left) and of a normal (right)
14085:
direction is applied to the plate, the governing equation is
10289:{\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}
4799:. The equilibrium equations for the plate are then given by
55:
14980:{\displaystyle -{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left=q\,.}
22991:. Hence the governing balance equations for the plate are
22984:{\displaystyle \delta U=\delta K+\delta V_{\mathrm {ext} }}
18006:
We use the following notation in the rest of this section.
14644:
Derivation of equilibrium equations for transverse loading
7619:, the strain-displacement relations can be approximated as
15138:{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}
1212:
to situations where moderate rotations could be expected.
25637:
Since the order of differentiation is irrelevant we have
13522:{\displaystyle w_{,2211}^{0}=w_{,1212}^{0}=w_{,1122}^{0}}
13328:
Since the order of differentiation is irrelevant we have
4951:
direction, the external virtual work due to the load is
2827:
Derivation of equilibrium equations for small rotations
26067:
26042:
25744:
25719:
25296:
25271:
25168:
25143:
25030:
25005:
24892:
24867:
24381:
24356:
23963:
23951:
23669:{\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}
23627:
23602:
22931:
From the principle of virtual work, or more precisely,
17696:
17684:
17404:
17392:
16501:
16489:
16453:
16429:
16389:
16365:
16296:
16272:
16237:
16220:
16012:
15987:
15746:
15728:
15506:
15491:
15464:
15452:
15034:
15009:
14858:
14833:
14571:
14556:
14529:
14517:
14483:
14471:
14444:
14432:
14383:
14371:
14243:
14218:
14184:
14172:
12773:
12748:
12625:
12600:
12477:
12452:
12305:
12275:
12154:
12124:
12001:
11983:
11856:
11838:
11600:
11575:
11255:
11237:
11005:
10993:
10453:
10428:
8723:
8698:
8411:
8399:
7562:
4895:
If the plate is loaded by an external distributed load
2437:
2408:
2366:
2337:
2300:
2271:
2234:
2212:
2183:
2161:
2124:
2102:
2073:
2051:
1977:. For a thin plate under a quasistatic transverse load
26070:
26045:
25747:
25722:
25299:
25274:
25171:
25146:
25033:
25008:
24895:
24870:
24493:
24424:
24384:
24359:
24298:
24063:
23994:
23966:
23954:
23896:
23630:
23605:
17699:
17687:
17407:
17395:
16504:
16492:
16456:
16432:
16392:
16368:
16299:
16275:
16240:
16223:
16124:
16055:
16015:
15990:
15929:
15855:
15786:
15749:
15731:
15673:
15509:
15494:
15467:
15455:
15037:
15012:
14861:
14836:
14574:
14559:
14532:
14520:
14486:
14474:
14447:
14435:
14386:
14374:
14246:
14221:
14187:
14175:
13763:
13709:
13623:
13569:
13078:
12931:
12776:
12751:
12628:
12603:
12480:
12455:
12308:
12278:
12157:
12127:
12004:
11986:
11859:
11841:
11712:
11643:
11603:
11578:
11517:
11364:
11295:
11258:
11240:
11182:
11105:
11036:
11008:
10996:
10938:
10565:
10496:
10456:
10431:
10370:
8837:
8766:
8726:
8701:
8640:
8511:
8442:
8414:
8402:
8344:
7769:
7654:
7446:
Alternatively, these shear forces can be expressed as
7063:
6916:
6802:
6676:
6588:
6435:
6288:
6195:
6069:
5994:
5917:
5791:
5734:
2440:
2411:
2369:
2340:
2303:
2274:
2237:
2215:
2186:
2164:
2127:
2105:
2076:
2054:
1753:
1192:
expansion of the displacement around the mid-surface.
1107:
to the mid-surface, then in the Kirchhoff-Love theory
26498:
26365:
26124:
26032:
26023:
If the flexural stiffness of the plate is defined as
25708:
25643:
25260:
24833:
24596:
24570:
24292:
24168:
24135:
23890:
23797:
23688:
23592:
23566:
23546:
23307:
23000:
22941:
22798:
22760:
22386:
22007:
21633:
21040:
20647:
20618:
20592:
20562:
20527:
20056:
19763:
19479:
19456:
18661:
18541:
18315:
18015:
17621:
17332:
17017:
16814:
16776:
16553:
16189:
15923:
15667:
15651:{\displaystyle u_{1}=u_{1}(x_{1}),u_{2}=0,w=w(x_{1})}
15561:
15422:
15384:
15195:
15154:
15091:
14999:
14826:
14793:
14773:
14657:
14418:
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11176:
10932:
10669:
10656:
Derivation of equilibrium equations for pure bending
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9764:
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7628:
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7508:
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7455:
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131:
106:
26105:{\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}}
23788:
For free vibrations, the governing equation becomes
16531:
15072:{\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}}
5448:{\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}
1203:
4125:{\displaystyle N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }}
1151:{\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}}
26640:Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S., (1959),
26582:
26478:
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26104:
26012:
25691:
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25240:
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15533:
15405:
15367:
15178:
15137:
15071:
14990:Noting that the bending stiffness is the quantity
14979:
14809:
14779:
14756:
14621:
14409:and in cylindrical coordinates it takes the form
14398:
14280:
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14125:
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8625:. The moments corresponding to these stresses are
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5181:
5083:{\displaystyle \delta U=\delta V_{\mathrm {ext} }}
5082:
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3458:
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2025:
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363:
336:
309:
275:
243:
114:
26698:
26626:Theory and analysis of elastic plates and shells
21031:Integration by parts over the mid-surface gives
15082:we can write the governing equation in the form
14024:
1215:
25251:Plugging into the governing equations leads to
12861:Plugging into the governing equations leads to
4086:The symmetry of the stress tensor implies that
371:is the coordinate for the thickness direction.
17612:Therefore, the variation in kinetic energy is
25692:{\displaystyle w_{,2211}=w_{,1212}=w_{,1122}}
24587:in the absence of in-plane displacements is
13965:where we have assumed that the displacements
9948:For an isotropic and homogeneous plate under
1161:Note that we can think of the expression for
290:with origin on the mid-surface of the plate,
91:
24152:{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}
17323:of kinetic energy) of the plate is given by
8325:Isotropic quasistatic Kirchhoff-Love plates
773:Then the Kirchhoff hypothesis implies that
22754:If there is an external distributed force
17319:The total kinetic energy (more precisely,
16424:
16420:
16267:
16263:
15378:For symmetrically loaded circular plates,
14690:
14686:
10842:
10838:
10707:
10703:
404:{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}
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23758:
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23662:
23523:
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15527:
15361:
15131:
14973:
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14615:
14325:
13955:{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}
13445:{\displaystyle u_{2,21}^{0}=u_{2,12}^{0}}
13383:{\displaystyle u_{1,12}^{0}=u_{1,21}^{0}}
10341:{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}
10133:
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9915:
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7545:
7429:
5458:
237:
5090:then leads to the equilibrium equations
2809:
2799:
1968:
1718:Using the kinematic assumptions we have
1194:
25:
19:For broader coverage of this topic, see
2905:
2894:
2782:{\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}
727:
697:
667:
516:
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466:
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263:
227:
202:
177:
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26699:
26636:
26634:
20549:{\displaystyle \delta u_{\alpha }^{0}}
16539:
15550:
5198:
100:of a point in the undeformed plate be
19470:through the thickness of the plate,
276:{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}
26618:
10923:and the stress-strain relations are
9952:, the governing equations reduce to
7563:Small strains and moderate rotations
3443:where the thickness of the plate is
2491:where the thickness of the plate is
770:takes the values 1 and 2 but not 3.
26631:
23292:
16180:and the governing equations become
14008:{\displaystyle u_{1}^{0},u_{2}^{0}}
10355:. The bending moments are given by
4428:Another integration by parts gives
2804:Bending moments and normal stresses
13:
26513:
26503:
23813:
23803:
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17245:
17191:
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15228:
15224:
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14817:into the governing equation gives
14154:
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1445:
1328:
1313:
1291:
1276:
1103:are the angles of rotation of the
1096:{\displaystyle \varphi _{\alpha }}
893:
878:
14:
26723:
16532:Dynamics of Kirchhoff-Love plates
14810:{\displaystyle M_{\alpha \beta }}
14029:If a distributed transverse load
1204:Quasistatic Kirchhoff-Love plates
571:and an out-of-plane displacement
62:. This theory is an extension of
26628:, CRC Press, Taylor and Francis.
23272:
23252:
23232:
16770:where, for a plate with density
1006:
801:
637:
422:
394:
386:
133:
108:
22935:for a deformable body, we have
21407:
16425:
16419:
16268:
16262:
9943:
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9842:
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9583:
5370:
5361:
5318:
5309:
5255:
5246:
2665:
2664:
2558:
2557:
2033:direction, these equations are
564:{\displaystyle u_{\alpha }^{0}}
36:Kirchhoff–Love theory of plates
26605:
26549:
26531:
26445:
26433:
26204:
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26094:
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25855:
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9708:At the top of the plate where
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70:using assumptions proposed by
42:that is used to determine the
1:
26599:
15179:{\displaystyle (r,\theta ,z)}
14025:Bending under transverse load
5455:is an effective shear force.
2808:
2798:
1216:Strain-displacement relations
66:and was developed in 1888 by
23871:
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17309:
14640:
10652:
5711:{\displaystyle \sigma _{33}}
2823:
115:{\displaystyle \mathbf {x} }
7:
26667:Infinitesimal strain theory
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26644:, McGraw-Hill New York.
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