3073:
20:
2496:
4248:
3068:{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}}
3826:
1347:
The equations describing how scattering data evolves over time occur as solutions to a 1st order linear ordinary differential equation with respect to time. Using varying approaches, this first order linear differential equation may arise from the linear differential operators (Lax pair, AKNS pair),
4508:
107:
problem, at least in the case of equations of one space dimension. This formulation can be generalized to differential operators of order greater than two and also to periodic problems. In higher space dimensions one has instead a "nonlocal" Riemann–Hilbert factorization problem (with
3327:
3780:
3566:
2381:
2210:
4243:{\displaystyle {\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}}
85:; the initial solution is transformed to scattering data (direct scattering transform), the scattering data evolves forward in time (time evolution), and the scattering data reconstructs the solution forward in time (inverse scattering transform).
1297:
The direct scattering transform generates initial scattering data; this may include the reflection coefficients, transmission coefficient, eigenvalue data, and normalization constants of the eigenfunction solutions for this differential equation.
4303:
4708:
589:
140:, found that solitary waves had the elastic properties of colliding particles; the waves' initial and ultimate amplitudes and velocities remained unchanged after wave collisions. These particle-like waves are called
934:
481:
179:. This approach has also been applied to different types of nonlinear equations including differential-difference, partial difference, multidimensional equations and fractional integrable nonlinear systems.
3123:
4875:
1348:
a combination of the linear differential operators and the nonlinear differential equation, or through additional substitution, integration or differentiation operations. Spatially asymptotic equations (
1831:
1631:
1109:
2033:
3831:
2501:
1739:
1549:
3572:
3358:
2216:
2045:
830:
1280:
270:
1473:
1337:
3785:
The solutions to these differential equations, determined using scattering and bound-state spatially asymptotic Jost functions, indicate a time-constant transmission coefficient
1195:
986:
2485:
2437:
1375:
66:
uses wave scattering data to construct the function responsible for wave scattering. The direct and inverse scattering transforms are analogous to the direct and inverse
3115:
353:
1971:
1929:
23:
The 3-step algorithm: transform the initial solution to initial scattering data, evolve initial scattering data, transform evolved scattering data to evolved solution
5521:
Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1974), "Korteweg-deVries equation and generalization. VI. Methods for exact solution.",
305:
4752:
4556:
783:
4787:
4295:
3818:
1887:
676:
391:
1132:
1026:
753:
726:
230:
210:
5389:
Konopelchenko, B.G.; Dubrowsky, V.G. (1991). "Localized solitons for the
Ishimori equation". In Sattinger, David H.; Tracy, C.A.; Venakides, Stephanos (eds.).
3350:
1046:
1006:
957:
699:
641:
621:
6029:
4514:
4503:{\displaystyle F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}}
136:, a nonlinear partial differential equation describing these waves. Later, N. Zabusky and M. Kruskal, using numerical methods for investigating the
4564:
488:
835:
5981:
5668:
5412:
Oono, H. (1996). "N-Soliton solution of Harry Dym equation by inverse scattering method.". In
Alfinito, E.; Boiti, M.; Martina, L. (eds.).
137:
4933:
3322:{\displaystyle \gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}}
3352:
differential operator generates an eigenfunction which can be expressed as a time-dependent linear combination of other eigenfunctions.
408:
4795:
1289:, developed by Ablowitz, Kaup, Newell, and Segur, are an alternative to the Lax differential operators and achieve a similar result.
6017:
6313:
151:. Lax, Ablowitz, Kaup, Newell, and Segur generalized this approach which led to solving other nonlinear equations including the
1755:
1554:
5946:
1054:
5748:
5606:
5583:
5509:
5486:
5423:
5400:
5342:
5319:
5251:
5228:
1976:
5886:
1642:
164:
5801:
6123:
4928:
3775:{\displaystyle \partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}
3561:{\displaystyle \partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}
2376:{\displaystyle c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}
2205:{\displaystyle c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}
104:
5871:
4891:
152:
6308:
5661:
1489:
1393:. The solution to this integral equation leads to the solution, u(x,t), of the nonlinear differential equation.
1200:
The Lax operators are chosen to make the multiplicative operator equal to the nonlinear differential equation.
4886:
1114:
The Lax operators combine to form a multiplicative operator, not a differential operator, of the eigenfuctions
791:
160:
148:
133:
89:
5831:
1206:
5299:
1407:
235:
43:
1304:
5976:
5791:
5703:
756:
71:
1140:
6323:
5821:
5654:
5436:
6303:
1390:
121:
5902:
5264:
962:
6165:
6023:
5770:
144:
and arise in nonlinear equations because of a weak balance between dispersive and nonlinear effects.
5355:
5156:
6128:
6096:
2442:
2394:
1351:
6242:
5691:
5191:
6190:
3084:
88:
This algorithm simplifies solving a nonlinear partial differential equation to solving 2 linear
6001:
5986:
5951:
5796:
147:
Gardner, Greene, Kruskal and Miura introduced the inverse scattering transform for solving the
55:
310:
6180:
5876:
4896:
679:
643:, are linear ordinary differential operators with coefficients that may contain the function
78:
36:
1934:
1892:
275:
6247:
6216:
5866:
5623:
5565:
5542:
5367:
5276:
5168:
4901:
156:
4716:
4520:
768:
8:
6318:
6206:
5923:
5726:
5371:
5280:
5172:
4757:
4265:
3788:
1857:
646:
361:
6175:
6073:
6068:
6063:
5913:
1386:
1117:
1011:
738:
704:
215:
195:
120:
described a "wave of translation" or "solitary wave" occurring in shallow water. First
117:
3117:
relate the right and left Jost functions and right and left normalization constants.
5996:
5677:
5602:
5579:
5505:
5482:
5456:
5452:
5419:
5396:
5338:
5315:
5247:
5224:
4911:
959:
describes how the eigenfunctions evolve over time, and generates a new eigenfunction
356:
168:
125:
97:
93:
67:
5354:
Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967).
401:
The differential equation's solution meets the integrability and Fadeev conditions:
6185:
5758:
5741:
5571:
5530:
5448:
5375:
5307:
5284:
5203:
5176:
3335:
1031:
991:
942:
684:
626:
606:
82:
40:
5311:
100:
for many otherwise difficult to solve nonlinear partial differential equations.
6273:
6155:
5956:
5596:
5552:
5538:
5499:
5476:
5413:
5390:
5332:
5241:
5218:
761:
129:
5379:
5288:
5180:
6278:
6268:
6211:
6160:
6058:
6044:
5991:
5881:
5775:
5736:
5570:. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 22. Basel: Birkhäuser.
19:
5575:
6297:
6263:
6170:
5859:
5826:
5731:
5460:
3820:, but time-dependent reflection coefficients and normalization coefficients.
2487:
733:
6226:
6118:
6101:
5854:
5763:
5534:
5207:
4916:
4906:
4703:{\displaystyle K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0}
584:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|))|u(x)|\ dx\ <\infty }
176:
172:
5554:
On the
Determination of a Differential Equation from Its Spectral Function
5192:"The Inverse Scattering Transform—Fourier Analysis for Nonlinear Problems"
6052:
1846:
1286:
929:{\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}
59:
28:
5074:
5072:
47:
116:
The inverse scattering transform arose from studying solitary waves.
6221:
5907:
5753:
5696:
5646:
5418:. World Scientific Publishing Company Pte Limited. pp. 241–248.
5069:
5634:
5120:
600:
476:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty }
16:
Method for solving certain nonlinear partial differential equations
5641:
5108:
5918:
5084:
141:
4870:{\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}}
5437:"Soliton physics and the periodic inverse scattering transform"
5155:
Ablowitz, M. J.; Kaup, D. J.; Newell, A. C.; Segur, H. (1973).
5022:
5478:
Solitons, Nonlinear
Evolution Equations and Inverse Scattering
5190:
Ablowitz, M.J.; Kaup, D.J.; Newell, A.C.; Segur, H. (1974).
5012:
5010:
307:
is a solution of a nonlinear partial differential equation,
5008:
5006:
5004:
5002:
5000:
4998:
4996:
4994:
4992:
4990:
1854:). The scattering data includes transmission coefficients
1826:{\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }
1626:{\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}
108:
convolution instead of multiplication) or a d-bar problem.
187:
5520:
5353:
5300:"Inverse Scattering Transform and the Theory of Solitons"
5132:
5078:
1401:
The nonlinear differential
Korteweg–De Vries equation is
1104:{\displaystyle {\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\ }
4987:
5642:
Inverse
Scattering Transform and the Theory of Solitons
5475:
Ablowitz, Mark J.; Clarkson, P. A. (12 December 1991).
5189:
5154:
5126:
5114:
5598:
Mathematical
Principles of Optical Fiber Communication
5388:
5265:"Nonlinear waves and the Inverse Scattering Transform"
5090:
5059:
5057:
5055:
5053:
5051:
5049:
4977:
4975:
4973:
4971:
4969:
4760:
4719:
4523:
4268:
3791:
3338:
3087:
2445:
2397:
2028:{\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}
1979:
1937:
1895:
1860:
1758:
1557:
1396:
1354:
1120:
1034:
1014:
994:
965:
945:
838:
771:
741:
707:
687:
649:
629:
609:
364:
313:
238:
4967:
4965:
4963:
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4959:
4957:
4955:
4953:
4951:
4949:
4798:
4567:
4306:
3829:
3575:
3361:
3126:
2499:
2219:
2048:
1645:
1492:
1410:
1307:
1209:
1143:
1057:
794:
491:
411:
278:
218:
198:
5498:
Bullough, R. K.; Caudrey, P. J. (11 November 2013).
1389:
equation combines the scattering data into a linear
5841:
Integrable PDEs/Classical integrable field theories
5046:
4880:
2386:
1734:{\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}
5356:"Method for Solving the Korteweg-deVries Equation"
5034:
4946:
4869:
4781:
4746:
4702:
4550:
4502:
4289:
4242:
3812:
3774:
3560:
3344:
3321:
3109:
3067:
2479:
2431:
2375:
2204:
2027:
1965:
1923:
1881:
1825:
1733:
1625:
1543:
1467:
1369:
1331:
1274:
1189:
1126:
1103:
1040:
1020:
1000:
980:
951:
928:
824:
777:
747:
720:
693:
670:
635:
615:
583:
475:
385:
347:
299:
264:
224:
204:
103:The inverse scattering problem is equivalent to a
5557:. American Mathematical Society. p. 253-304.
4789:to the nonlinear partial differential equation.
4253:
1377:) simplify solving these differential equations.
1342:
192:The independent variables are a spatial variable
6295:
5474:
5246:. Cambridge University Press. pp. 604–620.
5243:Complex Variables: Introduction and Applications
1744:
6030:Six-dimensional holomorphic Chern–Simons theory
5497:
5096:
1380:
6010:
5304:Encyclopedia of Complexity and Systems Science
1292:
5662:
5395:. American Mathematical Soc. pp. 77–90.
5330:
5239:
5220:Solitons and the Inverse Scattering Transform
5216:
5157:"Method for Solving the Sine-Gordon Equation"
5138:
5028:
5016:
1749:The solutions to this differential equation
1544:{\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\ }
594:
6257:Classical and quantum statistical lattices
5669:
5655:
5567:Sturm-Liouville Operators and Applications
5563:
5504:. Springer Science & Business Media.
5217:Ablowitz, Mark J.; Segur, Harvey (1981).
4517:is a linear integral equation solved for
825:{\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi ,\ }
272:) indicate differentiation. The function
232:. Subscripts or differential operators (
5624:"Introductory mathematical paper on IST"
5550:
5415:Nonlinear Physics: Theory and Experiment
5262:
5240:Ablowitz, Mark J.; Fokas, A. S. (2003).
5063:
4713:The solution to the Marchenko equation,
1840:with a continuous range of eigenvalues (
1275:{\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0}
265:{\textstyle \partial _{x},\partial _{t}}
18:
5434:
5297:
5040:
4981:
1468:{\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}
188:Nonlinear partial differential equation
6296:
5676:
5331:Drazin, P. G.; Johnson, R. S. (1989).
1332:{\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi }
46:using mathematical methods related to
5650:
5551:GelĘąfand, IzrailĘą Moiseevich (1955).
1850:solutions with discrete eigenvalues (
6083:Exactly solvable quantum spin chains
6018:Four-dimensional Chern–Simons theory
5594:
5411:
5102:
1190:{\displaystyle (L_{t}+LM-ML)\psi =0}
5947:Anti-self-dual Yang–Mills equations
5392:Inverse Scattering and Applications
1397:Example: Korteweg–De Vries equation
161:modified Korteweg–De Vries equation
13:
5802:Superintegrable Hamiltonian system
5468:
5091:Konopelchenko & Dubrowsky 1991
4858:
4829:
4632:
4371:
4366:
3577:
3363:
3058:
2964:
2776:
2588:
2264:
2259:
2093:
2088:
1598:
1574:
1503:
1364:
578:
505:
500:
470:
425:
420:
253:
240:
74:partial differential equations.
14:
6335:
6124:Quantum inverse scattering method
5970:Integrable Quantum Field theories
5616:
4929:Quantum inverse scattering method
2037:normalization (norming) constants
2035:, and left and right bound-state
981:{\textstyle {\widetilde {\psi }}}
96:, a method ultimately leading to
6149:Classical mechanics and geometry
5306:. Springer. pp. 4960–4971.
4881:Examples of integrable equations
1636:The multiplicative operator is:
1478:
138:Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem
83:nonlinear differential equations
5887:Kadomtsev–Petviashvili equation
5564:Marchenko, Vladimir A. (1986).
1931:, right reflection coefficient
396:
165:Kadomtsev–Petviashvili equation
134:Korteweg-deVries (KdV) equation
90:ordinary differential equations
81:, a 3-step algorithm may solve
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5196:Studies in Applied Mathematics
4892:nonlinear Schrödinger equation
4853:
4835:
4814:
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2408:
2391:The spatially asymptotic left
2387:Scattering data time evolution
2315:
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153:nonlinear Schrödinger equation
1:
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5312:10.1007/978-0-387-30440-3_295
5148:
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2432:{\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}
1370:{\textstyle x\to \pm \infty }
105:Riemann–Hilbert factorization
44:partial differential equation
5931:Inverse scattering transform
5453:10.1016/0167-2789(95)00089-M
4939:
4254:Inverse scattering transform
1381:Inverse scattering transform
64:inverse scattering transform
58:scatters waves or generates
35:is a method that solves the
33:inverse scattering transform
7:
5822:Quantum harmonic oscillator
5380:10.1103/PhysRevLett.19.1095
5289:10.1016/j.ijleo.2023.170710
5181:10.1103/PhysRevLett.30.1262
4922:
4515:Marchenko integral equation
3110:{\textstyle \gamma _{j}(t)}
1745:Direct scattering transform
1293:Direct scattering transform
1287:AKNS differential operators
52:direct scattering transform
10:
6340:
6055:in one- and two-dimensions
5595:Shaw, J. K. (1 May 2004).
5263:Ablowitz, Mark J. (2023).
4887:Korteweg–de Vries equation
1391:Fredholm integral equation
601:Lax differential operators
595:Differential operator pair
149:Korteweg–de Vries equation
111:
6256:
6235:
6199:
6166:Ferdinand Georg Frobenius
6148:
6141:
6110:
6089:
6082:
6042:
5969:
5939:
5895:
5847:
5840:
5814:
5784:
5771:Garnier integrable system
5719:
5712:
5684:
5576:10.1007/978-3-0348-5485-6
5334:Solitons: An Introduction
5139:Ablowitz & Segur 1981
5029:Ablowitz & Fokas 2003
5017:Drazin & Johnson 1989
4754:, generates the solution
678:or its derivatives. The
357:initial condition (value)
348:{\textstyle u_{t}+N(u)=0}
6097:Quantum Heisenberg model
5940:ASDYM as a master theory
5792:Liouville–Arnold theorem
5298:Aktosun, Tuncay (2009).
1973:, discrete eigenvalues
405:Integrability condition:
70:which are used to solve
6309:Exactly solvable models
6243:Alexander Zamolodchikov
5903:Bäcklund transformation
5832:Pöschl–Teller potential
5704:Liouville integrability
5692:Frobenius integrability
5685:Geometric integrability
5435:Osborne, A. R. (1995).
5360:Physical Review Letters
5161:Physical Review Letters
1966:{\textstyle R_{R}(k,0)}
1924:{\textstyle R_{L}(k,0)}
1483:The Lax operators are:
6002:Principal chiral model
5952:Twistor correspondence
5797:Action-angle variables
5713:In classical mechanics
5535:10.1002/cpa.3160270108
5523:Comm. Pure Appl. Math.
5208:10.1002/sapm1974534249
4871:
4783:
4748:
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4552:
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749:
722:
701:has a time derivative
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637:
617:
585:
477:
387:
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301:
300:{\displaystyle u(x,t)}
266:
226:
206:
79:differential operators
24:
6181:Joseph-Louis Lagrange
5732:Central force systems
4897:Camassa-Holm equation
4872:
4784:
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4747:{\textstyle K(x,y,t)}
4705:
4553:
4551:{\textstyle K(x,y,t)}
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2490:simplify this step.
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778:{\textstyle \lambda }
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680:self-adjoint operator
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388:
350:
302:
267:
227:
207:
37:initial value problem
22:
6248:Alexei Zamolodchikov
6217:Martin David Kruskal
6191:Siméon Denis Poisson
6129:Yang–Baxter equation
6024:Affine Gaudin models
5867:Sine-Gordon equation
5815:In quantum mechanics
5127:Ablowitz et al. 1974
5115:Ablowitz et al. 1973
4902:Sine-Gordon equation
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3080:dependency constants
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216:
212:and a time variable
196:
157:sine-Gordon equation
6207:Clifford S. Gardner
5977:Quantum Sine-Gordon
5924:Topological soliton
5914:integrals of motion
5727:Harmonic oscillator
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5281:2023Optik.27870710A
5173:1973PhRvL..30.1262A
5079:Gardner et al. 1967
5031:, pp. 604–620.
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2024:
1997:
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1842:continuous spectrum
1587:
1516:
1008:from eigenfunction
762:spectral parameters
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509:
429:
386:{\textstyle u(x,0)}
6324:Integrable systems
6176:Sofia Kovalevskaya
6074:Chiral Potts model
6069:Hard hexagon model
6064:Eight-vertex model
5678:Integrable systems
4867:
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1963:
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775:
755:and time-constant
748:{\textstyle \psi }
745:
721:{\textstyle L_{t}}
718:
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485:Fadeev condition:
473:
412:
383:
345:
297:
262:
222:
202:
175:equation, and the
98:analytic solutions
68:Fourier transforms
25:
6304:Scattering theory
6291:
6290:
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6286:
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6136:
6038:
6037:
5997:Toda field theory
5987:Quantum Liouville
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5964:
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5877:Gross–Neveu model
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5253:978-0-521-53429-1
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5167:(25): 1262–1264.
4934:Integrable system
4912:Ishimori equation
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225:{\displaystyle t}
205:{\displaystyle x}
169:Ishimori equation
94:integral equation
6331:
6186:Joseph Liouville
6146:
6145:
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6086:
6059:Square ice model
6008:
6007:
5912:Infinitely many
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5844:
5742:Two body problem
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5716:
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4701:
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4630:
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4555:
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3535:
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3477:
3476:
3452:
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3417:
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3380:
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3370:
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