6124:
8906:
2643:
2835:(roughly speaking, smooth functions that decay quickly and whose derivatives all decay quickly). This condition has the benefit that it is an elementary direct statement about the function (as opposed to imposing a condition on its Fourier transform), and the integral that defines the Fourier transform and its inverse are absolutely integrable. This version of the theorem is used in the proof of the Fourier inversion theorem for tempered distributions (see below).
36:
2286:
8586:
7958:
2638:{\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}
8311:
4052:
6547:
3791:
6400:
2822:
When used in physics and engineering, the
Fourier inversion theorem is often used under the assumption that everything "behaves nicely". In mathematics such heuristic arguments are not permitted, and the Fourier inversion theorem includes an explicit specification of what class of functions is being
7733:
4488:
8218:
5274:
2812:
5160:
8581:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),}
3859:
7241:
5487:
8866:
6405:
3608:) but merely piecewise continuous then a version of the Fourier inversion theorem still holds. In this case the integral in the inverse Fourier transform is defined with the aid of a smooth rather than a sharp cut off function; specifically we define
3245:
6273:
1452:
1321:
8062:
5809:
7055:
4698:
4948:
1076:
3614:
415:
905:
304:
6688:
5708:
5599:
3400:
539:
7439:
6039:
7953:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}
7659:
6136:
the
Fourier inversion theorem often plays a critical role. In many situations the basic strategy is to apply the Fourier transform, perform some operation or simplification, and then apply the inverse Fourier transform.
4337:
8745:
8070:
5931:
1889:
5060:
1634:
2291:
4549:
691:
6798:
5168:
2188:
2888:) with absolutely integrable Fourier transform. This includes all Schwartz functions, so is a strictly stronger form of the theorem than the previous one mentioned. This condition is the one used above in the
6874:
6127:
Some problems, such as certain differential equations, become easier to solve when the
Fourier transform is applied. In that case the solution to the original problem is recovered using the inverse Fourier
4169:
2071:
1187:
7305:
4878:
4274:
3022:
1808:
4830:
7721:
7362:
3462:
1983:
6952:
4777:
5162:, either by duality from the inverse transform on Schwartz functions in the same way, or by defining it in terms of the flip operator (where the flip operator is defined by duality). We then have
2699:
6270:
may easily be used for the inverse
Fourier transform by composing the looked-up function with the flip operator. For example, looking up the Fourier transform of the rect function we see that
4047:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}
7115:
4199:
and assume merely that it is absolutely integrable, then a version of the theorem still holds. The inverse transform is again defined with the smooth cut off, but with the conclusion that
189:
8660:
7545:
6905:
6197:
7124:
8888:
is a transformation that maps functions to functions. The flip operator, the
Fourier transform, the inverse Fourier transform and the identity transform are all examples of operators.
5407:
3606:
3114:
8756:
7490:
6242:
5065:
2886:
6252:
The inverse
Fourier transform is extremely similar to the original Fourier transform: as discussed above, it differs only in the application of a flip operator. For this reason the
4978:
4318:
8303:
7580:
6727:
4090:
3057:
2683:
1926:
1734:
2225:
2108:
3122:
6070:
4327:
In this case the
Fourier transform cannot be defined directly as an integral since it may not be absolutely convergent, so it is instead defined by a density argument (see the
3276:
1107:
964:
3851:
1697:
1667:
1332:
1203:
2249:
625:
7966:
2278:
1556:
5719:
6957:
4584:
4886:
972:
6542:{\displaystyle g(\xi )=\operatorname {rect} (a\xi )\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}^{-1}g)(x)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right).}
3786:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}
764:. However, even under more general conditions versions of the Fourier inversion theorem hold. In these cases the integrals above may not converge in an ordinary sense.
6093:
6113:
315:
8268:
7459:
5340:
4576:
2823:
allowed. However, there is no "best" class of functions to consider so several variants of the
Fourier inversion theorem exist, albeit with compatible conclusions.
802:
201:
6583:
3551:
6588:
6395:{\displaystyle f(x)=\operatorname {rect} (ax)\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}f)(\xi )={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right),}
5605:
2939:
5493:
8609:
8241:
5360:
4197:
3822:
3522:
3502:
3482:
3283:
2913:
1500:
1480:
936:
790:
762:
742:
714:
569:
5392:
5317:
4578:-norm. The inverse transform may be defined by density in the same way or by defining it in terms of the Fourier transform and the flip operator. We then have
426:
7370:
5937:
4483:{\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}
7585:
3556:
A higher-dimensional analogue of this form of the theorem also holds, but according to
Folland (1992) is "rather delicate and not terribly useful".
8668:
8213:{\displaystyle ({\mathcal {F}}g_{x})(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi _{\varepsilon }(x-y).}
8935:
5815:
1816:
4983:
1567:
9031:
is real valued, as any complex-valued function can be split into its real and imaginary parts and every operator appearing here is linear in
5269:{\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}
4496:
633:
6732:
2116:
918:
The most common statement of the
Fourier inversion theorem is to state the inverse transform as an integral. For any integrable function
100:
53:
3853:
then the Fourier inversion theorem still holds so long as we again define the inverse transform with a smooth cut off function i.e.
72:
6803:
17:
4097:
1999:
1115:
7249:
4835:
4205:
2953:
1739:
79:
7668:
9047:
9082:
9006:
7310:
6123:
3408:
1934:
6910:
6267:
4782:
2807:{\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}
86:
6145:
6253:
4735:
68:
8984:
8957:
119:
8928:
7063:
158:
7236:{\displaystyle \textstyle \int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,dy}
8614:
7499:
6882:
6151:
9087:
5482:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}
8861:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square }
5155:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
9077:
2110:
is a left inverse for the Fourier transform. However it is also a right inverse for the Fourier transform i.e.
717:
57:
3567:
3075:
7724:
7468:
6202:
5398:
2846:
4956:
4730:
4285:
8273:
7550:
6697:
4060:
3240:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}
3027:
2651:
1894:
1702:
2196:
2079:
1447:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}
3116:) and is piecewise smooth then a version of the Fourier inversion theorem holds. In this case we define
1316:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}
9023:
6261:
6047:
3253:
1084:
941:
192:
93:
8057:{\displaystyle g_{x}(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}\vert \xi \vert ^{2}+2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }}
5284:
When considering the Fourier series of a function it is conventional to rescale it so that it acts on
3827:
2843:
The Fourier inversion theorem holds for all continuous functions that are absolutely integrable (i.e.
1672:
1642:
8918:
5804:{\displaystyle f\colon ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}
7050:{\displaystyle ({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi )(y/\varepsilon )/|\varepsilon |^{n}}
4693:{\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}
2230:
574:
8922:
8914:
4943:{\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}
2254:
1508:
1071:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}
6133:
4328:
3796:
The conclusion of the theorem is then the same as for the piecewise smooth case discussed above.
2915:
be continuous but still require that it and its Fourier transform be absolutely integrable. Then
46:
6140:
More abstractly, the Fourier inversion theorem is a statement about the Fourier transform as an
793:
8939:
8885:
7493:
6141:
410:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}
6075:
900:{\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}
299:{\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}
6098:
4718:
1639:
It is immediate from the definition of the Fourier transform and the flip operator that both
6683:{\displaystyle {\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)\,dy}
5703:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}
8246:
7444:
5594:{\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}
5322:
4554:
2690:
721:
6559:
3527:
3395:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}
8:
7118:
6257:
4779:
by duality of the Fourier transform on the space of Schwartz functions. Specifically for
2918:
534:{\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}
4707:. In one dimension (and one dimension only), it can also be shown that it converges for
145:
8594:
8226:
8064:. Applying facts 1, 2 and 4, repeatedly for multiple integrals if necessary, we obtain
5345:
4182:
3807:
3507:
3487:
3467:
2898:
1485:
1465:
921:
775:
747:
727:
699:
554:
5365:
5287:
9002:
8980:
2941:
2832:
141:
7434:{\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(y)=\varphi (y/\varepsilon )/\varepsilon ^{n}}
6034:{\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}
140:
says that for many types of functions it is possible to recover a function from its
5342:-periodic). In this section we instead use the somewhat unusual convention taking
2251:, this follows very easily from the Fourier inversion theorem (changing variables
7654:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }\ast f)(x)=f(x)}
5062:
then this agrees with the usual definition. We may define the inverse transform
8994:
8972:
1993:
The form of the Fourier inversion theorem stated above, as is common, is that
152:
information about a wave then we may reconstruct the original wave precisely.
9071:
8740:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)=f(x).}
2686:
149:
4708:
4280:
7462:
5926:{\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}
4721:, but is much harder to prove than convergence in the mean squared norm.
2838:
1884:{\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f}
133:
5055:{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
1629:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}
5394:, since that matches the convention of the Fourier transform used here.
910:
Furthermore, we assume that the Fourier transform is also integrable.
4544:{\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}
686:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}
144:. Intuitively it may be viewed as the statement that if we know all
35:
6793:{\displaystyle g(\xi )=e^{2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )}
4704:
2183:{\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}
3564:
If the function is absolutely integrable in one dimension (i.e.
3072:
If the function is absolutely integrable in one dimension (i.e.
6869:{\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x)}
4179:
If we drop all assumptions about the (piecewise) continuity of
1873:
1457:
4164:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}
2066:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}
1326:
By taking the real part of each side of the above we obtain
1182:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}
7300:{\displaystyle \varphi (\xi )=e^{-\pi \vert \xi \vert ^{2}}}
4873:{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
4269:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}
3017:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}
2895:
A slight variant is to drop the condition that the function
1803:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}
913:
7716:{\displaystyle {\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
6199:
shows that the Fourier transform is a unitary operator on
2648:
Alternatively, this can be seen from the relation between
3062:
1736:, and in particular are equal to each other and satisfy
9001:(2nd ed.). Princeton, USA: Princeton Univ. Press.
7357:{\displaystyle ({\mathcal {F}}\varphi )(y)=\varphi (y)}
6402:
so the corresponding fact for the inverse transform is
3457:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}
1978:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.}
7128:
6947:{\displaystyle \psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )}
4825:{\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
4500:
2839:
Integrable functions with integrable Fourier transform
8759:
8671:
8617:
8597:
8314:
8276:
8249:
8229:
8073:
7969:
7736:
7671:
7588:
7553:
7502:
7471:
7447:
7373:
7313:
7252:
7127:
7066:
6960:
6913:
6885:
6806:
6735:
6700:
6591:
6562:
6408:
6276:
6205:
6154:
6101:
6078:
6050:
5940:
5818:
5722:
5608:
5496:
5410:
5368:
5348:
5325:
5290:
5171:
5068:
4986:
4959:
4889:
4838:
4785:
4738:
4731:
may be defined on the space of tempered distributions
4587:
4557:
4499:
4340:
4288:
4208:
4185:
4100:
4063:
3862:
3830:
3810:
3617:
3570:
3530:
3510:
3490:
3470:
3411:
3286:
3256:
3125:
3078:
3030:
2956:
2921:
2901:
2849:
2702:
2654:
2289:
2257:
2233:
2199:
2119:
2082:
2002:
1937:
1897:
1819:
1742:
1705:
1675:
1645:
1570:
1511:
1488:
1468:
1335:
1206:
1118:
1087:
975:
944:
924:
805:
778:
750:
730:
702:
636:
577:
557:
429:
318:
204:
161:
6256:
hold for the inverse Fourier transform, such as the
3464:equals the average of the left and right limits of
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
8860:
8739:
8654:
8603:
8580:
8297:
8262:
8235:
8212:
8056:
7952:
7715:
7653:
7574:
7539:
7484:
7453:
7433:
7356:
7299:
7235:
7109:
7049:
6946:
6899:
6868:
6792:
6721:
6682:
6577:
6541:
6394:
6247:
6236:
6191:
6107:
6087:
6064:
6033:
5925:
5803:
5702:
5593:
5481:
5397:The Fourier inversion theorem is analogous to the
5386:
5354:
5334:
5311:
5268:
5154:
5054:
4972:
4942:
4872:
4824:
4771:
4692:
4570:
4543:
4482:
4312:
4268:
4191:
4163:
4084:
4046:
3845:
3816:
3785:
3600:
3545:
3516:
3496:
3476:
3456:
3394:
3270:
3239:
3108:
3051:
3016:
2933:
2907:
2880:
2806:
2677:
2637:
2272:
2243:
2219:
2182:
2102:
2065:
1977:
1920:
1883:
1802:
1728:
1691:
1661:
1628:
1550:
1494:
1474:
1446:
1315:
1181:
1101:
1070:
958:
930:
899:
784:
756:
736:
708:
685:
619:
563:
533:
409:
298:
183:
9048:"DMat0101, Notes 3: The Fourier transform on L^1"
6148:). For example, the Fourier inversion theorem on
4772:{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
4175:No regularity condition; any number of dimensions
9069:
8927:but its sources remain unclear because it lacks
8673:
7817:
7590:
4515:
3896:
3651:
3159:
8999:Introduction to Partial Differential Equations
8750:Putting together the above we have shown that
7110:{\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
4322:
792:is an integrable continuous function. Use the
191:satisfying certain conditions, and we use the
184:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }
5279:
2817:
8655:{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
8020:
8013:
7540:{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
7286:
7279:
6900:{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }
6192:{\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
4934:
4915:
4909:
4890:
4409:
4368:
4030:
4023:
2831:The Fourier inversion theorem holds for all
551:Another way to state the theorem is that if
155:The theorem says that if we have a function
5713:In the Fourier series case we instead have
3824:is continuous and absolutely integrable on
1458:Inverse transform in terms of flip operator
1192:
4980:is defined using the integral formula. If
4057:The conclusion is now simply that for all
8958:Learn how and when to remove this message
8829:
8767:
8639:
8534:
8440:
8423:
8322:
8285:
7940:
7839:
7806:
7744:
7700:
7562:
7524:
7225:
7172:
7094:
6893:
6709:
6673:
6621:
6221:
6176:
6058:
6006:
5969:
5913:
5900:
5794:
5780:
5755:
5690:
5668:
5631:
5581:
5568:
5528:
5472:
5458:
5433:
5419:
5248:
5139:
5106:
5039:
5008:
4857:
4809:
4756:
4724:
4473:
4455:
4442:
4379:
4297:
4072:
3989:
3976:
3950:
3918:
3833:
3734:
3721:
3698:
3672:
3591:
3264:
3227:
3214:
3099:
3039:
2865:
2569:
2562:
2549:
2523:
2489:
2477:
2454:
2447:
2434:
2405:
2374:
2362:
1434:
1427:
1414:
1369:
1357:
1303:
1296:
1283:
1240:
1228:
1095:
1058:
1045:
1014:
952:
887:
874:
840:
521:
514:
501:
452:
397:
371:
340:
286:
273:
239:
177:
169:
120:Learn how and when to remove this message
8611:with an approximate identity. But since
6122:
5401:. In the Fourier transform case we have
3601:{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}
3109:{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}
914:Inverse Fourier transform as an integral
8993:
8971:
7485:{\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}
6237:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
2881:{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
420:In other words, the theorem says that
14:
9070:
4973:{\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }
4313:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}
8977:Fourier Analysis and its Applications
8298:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
7661:(where the convergence is pointwise).
7575:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
6722:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
6134:applications of the Fourier transform
4085:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
3063:Integrable functions in one dimension
3052:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
2826:
8899:
6146:Fourier transform on function spaces
3800:Continuous; any number of dimensions
2678:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}
1988:
1921:{\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}
1729:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}
794:convention for the Fourier transform
193:convention for the Fourier transform
58:adding citations to reliable sources
29:
27:Mathematical theorem about functions
6254:properties of the Fourier transform
3560:Piecewise continuous; one dimension
2220:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}
2103:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}
24:
8809:
8403:
8079:
8039:
7920:
7786:
7674:
7319:
7190:
7152:
6994:
6966:
6840:
6812:
6763:
6594:
6556:The proof uses a few facts, given
6453:
6320:
6102:
6082:
5234:
5218:
5202:
5182:
5174:
5125:
5092:
5072:
4962:
4926:
4895:
4847:
4795:
4742:
4670:
4651:
4616:
4605:
4525:
4503:
4231:
4212:
4123:
4104:
3906:
3866:
3661:
3621:
3434:
3415:
3309:
3290:
3169:
3129:
2979:
2960:
2781:
2770:
2757:
2747:
2731:
2712:
2658:
2599:
2588:
2326:
2307:
2236:
2203:
2133:
2122:
2086:
2025:
2006:
1961:
1941:
1907:
1870:
1851:
1835:
1765:
1746:
1709:
1678:
1651:
1612:
1599:
1574:
1141:
1122:
979:
811:
675:
659:
640:
377:
210:
25:
9099:
6065:{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
3524:is continuous this simply equals
3271:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
1699:match the integral definition of
1102:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
959:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
544:This last equation is called the
8904:
6044:In particular, in one dimension
4551:where the limit is taken in the
3846:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1692:{\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}
1662:{\displaystyle R{\mathcal {F}}f}
1197:The theorem can be restated as
34:
8979:. Belmont, CA, USA: Wadsworth.
8854:
6446:
6442:
6314:
6310:
6248:Properties of inverse transform
6118:
5762:
5440:
4465:
3999:
3744:
3068:Piecewise smooth; one dimension
772:In this section we assume that
45:needs additional citations for
9040:
9017:
8878:
8848:
8842:
8826:
8820:
8817:
8804:
8731:
8725:
8716:
8710:
8707:
8688:
8680:
8649:
8634:
8572:
8566:
8563:
8544:
8531:
8525:
8510:
8495:
8420:
8414:
8411:
8398:
8365:
8356:
8204:
8192:
8167:
8152:
8103:
8097:
8094:
8074:
7986:
7980:
7937:
7931:
7928:
7915:
7882:
7873:
7824:
7803:
7797:
7794:
7781:
7710:
7695:
7648:
7642:
7633:
7627:
7624:
7605:
7597:
7534:
7519:
7413:
7399:
7390:
7384:
7351:
7345:
7336:
7330:
7327:
7314:
7262:
7256:
7222:
7216:
7207:
7201:
7198:
7185:
7169:
7163:
7160:
7147:
7141:
7135:
7104:
7089:
7037:
7028:
7019:
7005:
7002:
6989:
6983:
6977:
6974:
6961:
6941:
6932:
6923:
6917:
6863:
6851:
6848:
6835:
6829:
6823:
6820:
6807:
6787:
6781:
6745:
6739:
6670:
6664:
6608:
6602:
6572:
6566:
6500:
6492:
6479:
6473:
6470:
6447:
6443:
6439:
6430:
6418:
6412:
6358:
6350:
6337:
6331:
6328:
6315:
6311:
6307:
6298:
6286:
6280:
6231:
6216:
6186:
6171:
6025:
6019:
6013:
5950:
5944:
5910:
5904:
5861:
5848:
5837:
5831:
5825:
5790:
5769:
5751:
5742:
5729:
5687:
5681:
5675:
5618:
5612:
5578:
5572:
5515:
5509:
5503:
5468:
5447:
5429:
5381:
5369:
5306:
5291:
5258:
5243:
5149:
5134:
5119:
5116:
5101:
5049:
5034:
5018:
5003:
4867:
4852:
4819:
4804:
4766:
4751:
4687:
4681:
4678:
4665:
4642:
4636:
4633:
4610:
4597:
4591:
4522:
4452:
4446:
4357:
4351:
4263:
4257:
4248:
4242:
4239:
4226:
4155:
4149:
4140:
4134:
4131:
4118:
4009:
4003:
3986:
3980:
3947:
3933:
3903:
3889:
3883:
3754:
3748:
3731:
3725:
3695:
3681:
3658:
3644:
3638:
3595:
3587:
3540:
3534:
3451:
3445:
3442:
3429:
3386:
3383:
3370:
3361:
3348:
3342:
3326:
3320:
3317:
3304:
3224:
3218:
3166:
3152:
3146:
3103:
3095:
3011:
3005:
2996:
2990:
2987:
2974:
2950:is a continuous function, and
2889:
2875:
2860:
2798:
2775:
2739:
2726:
2685:and the flip operator and the
2625:
2619:
2616:
2593:
2559:
2553:
2444:
2438:
2343:
2337:
2334:
2321:
2244:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
2174:
2168:
2159:
2153:
2150:
2127:
2057:
2051:
2042:
2036:
2033:
2020:
1797:
1791:
1782:
1776:
1773:
1760:
1542:
1533:
1524:
1518:
1424:
1418:
1411:
1402:
1390:
1381:
1345:
1339:
1293:
1287:
1272:
1260:
1216:
1210:
1173:
1167:
1158:
1152:
1149:
1136:
1055:
1049:
1002:
996:
884:
878:
828:
822:
819:
806:
716:and its Fourier transform are
620:{\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}
614:
605:
596:
590:
587:
578:
511:
505:
490:
478:
439:
433:
394:
388:
385:
372:
328:
322:
283:
277:
227:
221:
218:
205:
173:
13:
1:
8895:
7725:dominated convergence theorem
7494:approximation to the identity
5399:convergence of Fourier series
2273:{\displaystyle \zeta :=-\xi }
1551:{\displaystyle Rg(x):=g(-x).}
9083:Theorems in Fourier analysis
9052:I Woke Up In A Strange Place
6268:Tables of Fourier transforms
1561:Then we may instead define
767:
7:
4832:and for all test functions
4323:Square integrable functions
744:is continuous at the point
69:"Fourier inversion theorem"
10:
9104:
5283:
5280:Relation to Fourier series
2818:Conditions on the function
696:The theorem holds if both
571:is the flip operator i.e.
7723:, then it follows by the
4331:). For example, putting
4329:Fourier transform article
1482:define the flip operator
138:Fourier inversion theorem
18:Inverse Fourier transform
8913:This article includes a
8871:
6551:
6088:{\displaystyle -\infty }
1193:Fourier integral theorem
546:Fourier integral theorem
8942:more precise citations.
6108:{\displaystyle \infty }
9088:Schwartz distributions
8862:
8741:
8656:
8605:
8582:
8299:
8264:
8237:
8214:
8058:
7954:
7717:
7665:Since, by assumption,
7655:
7576:
7541:
7486:
7455:
7435:
7358:
7301:
7237:
7111:
7051:
6948:
6901:
6870:
6794:
6723:
6684:
6579:
6543:
6396:
6262:RiemannâLebesgue lemma
6238:
6193:
6129:
6109:
6089:
6072:and the sum runs from
6066:
6035:
5927:
5805:
5704:
5595:
5483:
5388:
5356:
5336:
5313:
5270:
5156:
5056:
4974:
4944:
4874:
4826:
4773:
4729:The Fourier transform
4725:Tempered distributions
4694:
4572:
4545:
4484:
4314:
4270:
4193:
4165:
4086:
4048:
3847:
3818:
3787:
3602:
3547:
3518:
3498:
3478:
3458:
3396:
3272:
3241:
3110:
3053:
3018:
2935:
2909:
2882:
2808:
2679:
2639:
2274:
2245:
2221:
2184:
2104:
2067:
1979:
1922:
1885:
1804:
1730:
1693:
1663:
1630:
1552:
1496:
1476:
1448:
1317:
1183:
1103:
1072:
960:
932:
901:
786:
758:
738:
710:
687:
621:
565:
535:
411:
300:
185:
9078:Generalized functions
8863:
8742:
8657:
8606:
8583:
8300:
8265:
8263:{\displaystyle g_{x}}
8238:
8215:
8059:
7955:
7718:
7656:
7577:
7542:
7496:: for any continuous
7487:
7456:
7454:{\displaystyle \ast }
7436:
7359:
7302:
7238:
7112:
7052:
6949:
6902:
6871:
6795:
6724:
6685:
6580:
6544:
6397:
6239:
6194:
6126:
6110:
6090:
6067:
6036:
5928:
5806:
5705:
5596:
5484:
5389:
5357:
5337:
5335:{\displaystyle 2\pi }
5314:
5271:
5157:
5057:
4975:
4945:
4875:
4827:
4774:
4695:
4573:
4571:{\displaystyle L^{2}}
4546:
4485:
4315:
4271:
4194:
4166:
4087:
4049:
3848:
3819:
3788:
3603:
3548:
3519:
3499:
3479:
3459:
3397:
3273:
3242:
3111:
3054:
3019:
2936:
2910:
2883:
2809:
2680:
2640:
2275:
2246:
2222:
2185:
2105:
2068:
1980:
1923:
1886:
1805:
1731:
1694:
1664:
1631:
1553:
1497:
1477:
1449:
1318:
1184:
1104:
1073:
961:
933:
902:
787:
759:
739:
718:absolutely integrable
711:
688:
622:
566:
536:
412:
301:
186:
8757:
8669:
8615:
8595:
8312:
8274:
8247:
8227:
8071:
7967:
7734:
7669:
7586:
7551:
7500:
7469:
7445:
7371:
7311:
7250:
7125:
7064:
6958:
6911:
6883:
6804:
6733:
6698:
6589:
6578:{\displaystyle f(y)}
6560:
6406:
6274:
6203:
6152:
6099:
6076:
6048:
5938:
5816:
5720:
5606:
5494:
5408:
5366:
5346:
5323:
5288:
5169:
5066:
4984:
4957:
4887:
4836:
4783:
4736:
4585:
4555:
4497:
4338:
4286:
4206:
4183:
4098:
4061:
3860:
3828:
3808:
3615:
3568:
3546:{\displaystyle f(x)}
3528:
3508:
3488:
3468:
3409:
3284:
3254:
3123:
3076:
3028:
2954:
2919:
2899:
2847:
2700:
2691:function composition
2652:
2287:
2255:
2231:
2197:
2117:
2080:
2000:
1935:
1895:
1817:
1740:
1703:
1673:
1643:
1568:
1509:
1486:
1466:
1333:
1204:
1116:
1085:
973:
942:
922:
803:
776:
748:
728:
700:
634:
575:
555:
427:
316:
202:
159:
54:improve this article
8662:, fact 5 says that
8591:the convolution of
6258:Convolution theorem
3191:
2934:{\displaystyle f=g}
8915:list of references
8858:
8737:
8687:
8652:
8601:
8578:
8295:
8260:
8233:
8210:
8054:
7950:
7831:
7713:
7651:
7604:
7572:
7537:
7482:
7451:
7431:
7354:
7297:
7233:
7232:
7107:
7047:
6944:
6897:
6866:
6790:
6719:
6680:
6575:
6539:
6392:
6234:
6189:
6130:
6105:
6085:
6062:
6031:
5980:
5923:
5801:
5700:
5591:
5479:
5384:
5352:
5332:
5309:
5266:
5152:
5052:
4970:
4940:
4870:
4822:
4769:
4719:Carleson's theorem
4690:
4568:
4541:
4540:
4529:
4480:
4310:
4266:
4189:
4161:
4082:
4044:
3910:
3843:
3814:
3783:
3665:
3598:
3543:
3514:
3504:. At points where
3494:
3474:
3454:
3392:
3268:
3237:
3174:
3173:
3106:
3049:
3014:
2931:
2905:
2878:
2833:Schwartz functions
2827:Schwartz functions
2804:
2675:
2635:
2633:
2270:
2241:
2217:
2180:
2100:
2063:
1975:
1918:
1881:
1800:
1726:
1689:
1659:
1626:
1548:
1492:
1472:
1444:
1313:
1179:
1099:
1068:
956:
928:
897:
782:
754:
734:
706:
683:
617:
561:
531:
407:
296:
181:
9008:978-0-691-04361-6
8968:
8967:
8960:
8672:
8604:{\displaystyle f}
8492:
8467:
8236:{\displaystyle f}
8149:
8124:
7816:
7589:
6529:
6505:
6383:
6363:
6016:
5956:
5828:
5772:
5678:
5506:
5450:
5355:{\displaystyle f}
4705:mean squared norm
4514:
4192:{\displaystyle f}
3895:
3817:{\displaystyle f}
3650:
3517:{\displaystyle f}
3497:{\displaystyle x}
3477:{\displaystyle f}
3340:
3158:
2942:almost everywhere
2908:{\displaystyle f}
2890:statement section
2227:is so similar to
1989:Two-sided inverse
1495:{\displaystyle R}
1475:{\displaystyle g}
1462:For any function
931:{\displaystyle g}
785:{\displaystyle f}
757:{\displaystyle x}
737:{\displaystyle f}
709:{\displaystyle f}
564:{\displaystyle R}
142:Fourier transform
130:
129:
122:
104:
16:(Redirected from
9095:
9063:
9062:
9060:
9059:
9044:
9038:
9036:
9030:
9021:
9012:
8990:
8963:
8956:
8952:
8949:
8943:
8938:this article by
8929:inline citations
8908:
8907:
8900:
8889:
8882:
8867:
8865:
8864:
8859:
8813:
8812:
8803:
8802:
8778:
8777:
8776:
8775:
8770:
8746:
8744:
8743:
8738:
8700:
8699:
8686:
8661:
8659:
8658:
8653:
8648:
8647:
8642:
8633:
8632:
8610:
8608:
8607:
8602:
8587:
8585:
8584:
8579:
8556:
8555:
8521:
8520:
8519:
8518:
8513:
8498:
8493:
8491:
8490:
8478:
8468:
8466:
8465:
8453:
8451:
8450:
8449:
8448:
8443:
8407:
8406:
8397:
8396:
8374:
8373:
8368:
8359:
8354:
8353:
8333:
8332:
8331:
8330:
8325:
8304:
8302:
8301:
8296:
8294:
8293:
8288:
8269:
8267:
8266:
8261:
8259:
8258:
8242:
8240:
8239:
8234:
8223:Using fact 3 on
8219:
8217:
8216:
8211:
8191:
8190:
8178:
8177:
8176:
8175:
8170:
8155:
8150:
8148:
8147:
8135:
8125:
8123:
8122:
8110:
8093:
8092:
8083:
8082:
8063:
8061:
8060:
8055:
8053:
8052:
8042:
8028:
8027:
8012:
8011:
7979:
7978:
7959:
7957:
7956:
7951:
7924:
7923:
7914:
7913:
7891:
7890:
7885:
7876:
7871:
7870:
7850:
7849:
7848:
7847:
7842:
7830:
7790:
7789:
7780:
7779:
7755:
7754:
7753:
7752:
7747:
7722:
7720:
7719:
7714:
7709:
7708:
7703:
7694:
7693:
7678:
7677:
7660:
7658:
7657:
7652:
7617:
7616:
7603:
7581:
7579:
7578:
7573:
7571:
7570:
7565:
7546:
7544:
7543:
7538:
7533:
7532:
7527:
7518:
7517:
7491:
7489:
7488:
7483:
7481:
7480:
7460:
7458:
7457:
7452:
7440:
7438:
7437:
7432:
7430:
7429:
7420:
7409:
7383:
7382:
7363:
7361:
7360:
7355:
7323:
7322:
7306:
7304:
7303:
7298:
7296:
7295:
7294:
7293:
7242:
7240:
7239:
7234:
7194:
7193:
7156:
7155:
7119:Fubini's theorem
7116:
7114:
7113:
7108:
7103:
7102:
7097:
7088:
7087:
7056:
7054:
7053:
7048:
7046:
7045:
7040:
7031:
7026:
7015:
6998:
6997:
6970:
6969:
6953:
6951:
6950:
6945:
6906:
6904:
6903:
6898:
6896:
6875:
6873:
6872:
6867:
6844:
6843:
6816:
6815:
6799:
6797:
6796:
6791:
6777:
6776:
6766:
6728:
6726:
6725:
6720:
6718:
6717:
6712:
6689:
6687:
6686:
6681:
6660:
6659:
6632:
6631:
6630:
6629:
6624:
6598:
6597:
6584:
6582:
6581:
6576:
6548:
6546:
6545:
6540:
6535:
6531:
6530:
6522:
6506:
6504:
6503:
6495:
6486:
6466:
6465:
6457:
6456:
6401:
6399:
6398:
6393:
6388:
6384:
6376:
6364:
6362:
6361:
6353:
6344:
6324:
6323:
6243:
6241:
6240:
6235:
6230:
6229:
6224:
6215:
6214:
6198:
6196:
6195:
6190:
6185:
6184:
6179:
6170:
6169:
6114:
6112:
6111:
6106:
6094:
6092:
6091:
6086:
6071:
6069:
6068:
6063:
6061:
6040:
6038:
6037:
6032:
6018:
6017:
6009:
6005:
6004:
5979:
5978:
5977:
5972:
5932:
5930:
5929:
5924:
5899:
5898:
5871:
5870:
5869:
5868:
5830:
5829:
5821:
5810:
5808:
5807:
5802:
5797:
5789:
5788:
5783:
5774:
5773:
5765:
5758:
5750:
5749:
5709:
5707:
5706:
5701:
5680:
5679:
5671:
5667:
5666:
5642:
5641:
5640:
5639:
5634:
5600:
5598:
5597:
5592:
5567:
5566:
5539:
5538:
5537:
5536:
5531:
5508:
5507:
5499:
5488:
5486:
5485:
5480:
5475:
5467:
5466:
5461:
5452:
5451:
5443:
5436:
5428:
5427:
5422:
5393:
5391:
5390:
5387:{\displaystyle }
5385:
5361:
5359:
5358:
5353:
5341:
5339:
5338:
5333:
5318:
5316:
5315:
5312:{\displaystyle }
5310:
5275:
5273:
5272:
5267:
5262:
5261:
5257:
5256:
5251:
5242:
5238:
5237:
5222:
5221:
5215:
5214:
5206:
5205:
5195:
5194:
5186:
5185:
5178:
5177:
5161:
5159:
5158:
5153:
5148:
5147:
5142:
5133:
5129:
5128:
5115:
5114:
5109:
5100:
5096:
5095:
5085:
5084:
5076:
5075:
5061:
5059:
5058:
5053:
5048:
5047:
5042:
5033:
5032:
5017:
5016:
5011:
5002:
5001:
4979:
4977:
4976:
4971:
4966:
4965:
4949:
4947:
4946:
4941:
4930:
4929:
4899:
4898:
4879:
4877:
4876:
4871:
4866:
4865:
4860:
4851:
4850:
4831:
4829:
4828:
4823:
4818:
4817:
4812:
4803:
4799:
4798:
4778:
4776:
4775:
4770:
4765:
4764:
4759:
4750:
4746:
4745:
4716:
4699:
4697:
4696:
4691:
4674:
4673:
4664:
4663:
4655:
4654:
4629:
4628:
4620:
4619:
4609:
4608:
4577:
4575:
4574:
4569:
4567:
4566:
4550:
4548:
4547:
4542:
4539:
4538:
4528:
4507:
4506:
4489:
4487:
4486:
4481:
4476:
4441:
4440:
4413:
4412:
4402:
4388:
4387:
4382:
4350:
4349:
4319:
4317:
4316:
4311:
4306:
4305:
4300:
4275:
4273:
4272:
4267:
4235:
4234:
4225:
4224:
4216:
4215:
4198:
4196:
4195:
4190:
4170:
4168:
4167:
4162:
4127:
4126:
4117:
4116:
4108:
4107:
4091:
4089:
4088:
4083:
4081:
4080:
4075:
4053:
4051:
4050:
4045:
4040:
4039:
4038:
4037:
3975:
3974:
3943:
3929:
3928:
3927:
3926:
3921:
3909:
3879:
3878:
3870:
3869:
3852:
3850:
3849:
3844:
3842:
3841:
3836:
3823:
3821:
3820:
3815:
3792:
3790:
3789:
3784:
3779:
3778:
3777:
3776:
3720:
3719:
3691:
3677:
3676:
3675:
3664:
3634:
3633:
3625:
3624:
3607:
3605:
3604:
3599:
3594:
3586:
3585:
3552:
3550:
3549:
3544:
3523:
3521:
3520:
3515:
3503:
3501:
3500:
3495:
3483:
3481:
3480:
3475:
3463:
3461:
3460:
3455:
3438:
3437:
3428:
3427:
3419:
3418:
3401:
3399:
3398:
3393:
3382:
3381:
3360:
3359:
3341:
3333:
3313:
3312:
3303:
3302:
3294:
3293:
3277:
3275:
3274:
3269:
3267:
3246:
3244:
3243:
3238:
3213:
3212:
3190:
3185:
3172:
3142:
3141:
3133:
3132:
3115:
3113:
3112:
3107:
3102:
3094:
3093:
3058:
3056:
3055:
3050:
3048:
3047:
3042:
3023:
3021:
3020:
3015:
2983:
2982:
2973:
2972:
2964:
2963:
2949:
2940:
2938:
2937:
2932:
2914:
2912:
2911:
2906:
2887:
2885:
2884:
2879:
2874:
2873:
2868:
2859:
2858:
2813:
2811:
2810:
2805:
2794:
2793:
2785:
2784:
2774:
2773:
2761:
2760:
2751:
2750:
2735:
2734:
2725:
2724:
2716:
2715:
2684:
2682:
2681:
2676:
2671:
2670:
2662:
2661:
2644:
2642:
2641:
2636:
2634:
2612:
2611:
2603:
2602:
2592:
2591:
2579:
2548:
2547:
2522:
2521:
2494:
2493:
2492:
2482:
2481:
2480:
2464:
2433:
2432:
2404:
2403:
2379:
2378:
2377:
2367:
2366:
2365:
2349:
2330:
2329:
2320:
2319:
2311:
2310:
2279:
2277:
2276:
2271:
2250:
2248:
2247:
2242:
2240:
2239:
2226:
2224:
2223:
2218:
2216:
2215:
2207:
2206:
2189:
2187:
2186:
2181:
2146:
2145:
2137:
2136:
2126:
2125:
2109:
2107:
2106:
2101:
2099:
2098:
2090:
2089:
2076:In other words,
2072:
2070:
2069:
2064:
2029:
2028:
2019:
2018:
2010:
2009:
1984:
1982:
1981:
1976:
1971:
1970:
1965:
1964:
1954:
1953:
1945:
1944:
1927:
1925:
1924:
1919:
1917:
1916:
1911:
1910:
1890:
1888:
1887:
1882:
1877:
1876:
1855:
1854:
1848:
1847:
1839:
1838:
1809:
1807:
1806:
1801:
1769:
1768:
1759:
1758:
1750:
1749:
1735:
1733:
1732:
1727:
1722:
1721:
1713:
1712:
1698:
1696:
1695:
1690:
1682:
1681:
1668:
1666:
1665:
1660:
1655:
1654:
1635:
1633:
1632:
1627:
1616:
1615:
1603:
1602:
1587:
1586:
1578:
1577:
1557:
1555:
1554:
1549:
1501:
1499:
1498:
1493:
1481:
1479:
1478:
1473:
1453:
1451:
1450:
1445:
1374:
1373:
1372:
1362:
1361:
1360:
1322:
1320:
1319:
1314:
1282:
1281:
1245:
1244:
1243:
1233:
1232:
1231:
1188:
1186:
1185:
1180:
1145:
1144:
1135:
1134:
1126:
1125:
1108:
1106:
1105:
1100:
1098:
1077:
1075:
1074:
1069:
1044:
1043:
1019:
1018:
1017:
992:
991:
983:
982:
965:
963:
962:
957:
955:
937:
935:
934:
929:
906:
904:
903:
898:
873:
872:
845:
844:
843:
815:
814:
791:
789:
788:
783:
763:
761:
760:
755:
743:
741:
740:
735:
715:
713:
712:
707:
692:
690:
689:
684:
679:
678:
663:
662:
653:
652:
644:
643:
626:
624:
623:
618:
570:
568:
567:
562:
540:
538:
537:
532:
500:
499:
463:
462:
461:
460:
455:
416:
414:
413:
408:
381:
380:
370:
369:
345:
344:
343:
305:
303:
302:
297:
272:
271:
244:
243:
242:
214:
213:
190:
188:
187:
182:
180:
172:
125:
118:
114:
111:
105:
103:
62:
38:
30:
21:
9103:
9102:
9098:
9097:
9096:
9094:
9093:
9092:
9068:
9067:
9066:
9057:
9055:
9046:
9045:
9041:
9032:
9026:
9022:
9018:
9009:
8987:
8964:
8953:
8947:
8944:
8933:
8919:related reading
8909:
8905:
8898:
8893:
8892:
8883:
8879:
8874:
8808:
8807:
8783:
8779:
8771:
8766:
8765:
8764:
8760:
8758:
8755:
8754:
8695:
8691:
8676:
8670:
8667:
8666:
8643:
8638:
8637:
8628:
8624:
8616:
8613:
8612:
8596:
8593:
8592:
8551:
8547:
8514:
8509:
8508:
8494:
8486:
8482:
8477:
8473:
8469:
8461:
8457:
8452:
8444:
8439:
8438:
8437:
8433:
8402:
8401:
8369:
8364:
8363:
8355:
8349:
8345:
8338:
8334:
8326:
8321:
8320:
8319:
8315:
8313:
8310:
8309:
8289:
8284:
8283:
8275:
8272:
8271:
8254:
8250:
8248:
8245:
8244:
8228:
8225:
8224:
8186:
8182:
8171:
8166:
8165:
8151:
8143:
8139:
8134:
8130:
8126:
8118:
8114:
8109:
8088:
8084:
8078:
8077:
8072:
8069:
8068:
8038:
8023:
8019:
8007:
8003:
7996:
7992:
7974:
7970:
7968:
7965:
7964:
7919:
7918:
7886:
7881:
7880:
7872:
7866:
7862:
7855:
7851:
7843:
7838:
7837:
7836:
7832:
7820:
7785:
7784:
7760:
7756:
7748:
7743:
7742:
7741:
7737:
7735:
7732:
7731:
7704:
7699:
7698:
7689:
7685:
7673:
7672:
7670:
7667:
7666:
7612:
7608:
7593:
7587:
7584:
7583:
7566:
7561:
7560:
7552:
7549:
7548:
7528:
7523:
7522:
7513:
7509:
7501:
7498:
7497:
7476:
7472:
7470:
7467:
7466:
7446:
7443:
7442:
7425:
7421:
7416:
7405:
7378:
7374:
7372:
7369:
7368:
7318:
7317:
7312:
7309:
7308:
7289:
7285:
7272:
7268:
7251:
7248:
7247:
7189:
7188:
7151:
7150:
7126:
7123:
7122:
7098:
7093:
7092:
7083:
7079:
7065:
7062:
7061:
7041:
7036:
7035:
7027:
7022:
7011:
6993:
6992:
6965:
6964:
6959:
6956:
6955:
6912:
6909:
6908:
6892:
6884:
6881:
6880:
6839:
6838:
6811:
6810:
6805:
6802:
6801:
6762:
6755:
6751:
6734:
6731:
6730:
6713:
6708:
6707:
6699:
6696:
6695:
6637:
6633:
6625:
6620:
6619:
6618:
6614:
6593:
6592:
6590:
6587:
6586:
6561:
6558:
6557:
6554:
6521:
6517:
6513:
6499:
6491:
6490:
6485:
6458:
6452:
6451:
6450:
6407:
6404:
6403:
6375:
6371:
6357:
6349:
6348:
6343:
6319:
6318:
6275:
6272:
6271:
6250:
6225:
6220:
6219:
6210:
6206:
6204:
6201:
6200:
6180:
6175:
6174:
6165:
6161:
6153:
6150:
6149:
6121:
6100:
6097:
6096:
6077:
6074:
6073:
6057:
6049:
6046:
6045:
6008:
6007:
5985:
5981:
5973:
5968:
5967:
5960:
5939:
5936:
5935:
5876:
5872:
5864:
5860:
5847:
5843:
5820:
5819:
5817:
5814:
5813:
5793:
5784:
5779:
5778:
5764:
5763:
5754:
5745:
5741:
5721:
5718:
5717:
5670:
5669:
5647:
5643:
5635:
5630:
5629:
5628:
5624:
5607:
5604:
5603:
5544:
5540:
5532:
5527:
5526:
5525:
5521:
5498:
5497:
5495:
5492:
5491:
5471:
5462:
5457:
5456:
5442:
5441:
5432:
5423:
5418:
5417:
5409:
5406:
5405:
5395:
5367:
5364:
5363:
5347:
5344:
5343:
5324:
5321:
5320:
5289:
5286:
5285:
5282:
5252:
5247:
5246:
5233:
5232:
5231:
5230:
5226:
5217:
5216:
5207:
5201:
5200:
5199:
5187:
5181:
5180:
5179:
5173:
5172:
5170:
5167:
5166:
5143:
5138:
5137:
5124:
5123:
5122:
5110:
5105:
5104:
5091:
5090:
5089:
5077:
5071:
5070:
5069:
5067:
5064:
5063:
5043:
5038:
5037:
5028:
5024:
5012:
5007:
5006:
4997:
4993:
4985:
4982:
4981:
4961:
4960:
4958:
4955:
4954:
4925:
4924:
4894:
4893:
4888:
4885:
4884:
4861:
4856:
4855:
4846:
4845:
4837:
4834:
4833:
4813:
4808:
4807:
4794:
4793:
4792:
4784:
4781:
4780:
4760:
4755:
4754:
4741:
4740:
4739:
4737:
4734:
4733:
4727:
4711:
4669:
4668:
4656:
4650:
4649:
4648:
4621:
4615:
4614:
4613:
4604:
4603:
4586:
4583:
4582:
4562:
4558:
4556:
4553:
4552:
4534:
4530:
4518:
4502:
4501:
4498:
4495:
4494:
4472:
4418:
4414:
4392:
4383:
4378:
4377:
4367:
4363:
4345:
4341:
4339:
4336:
4335:
4325:
4301:
4296:
4295:
4287:
4284:
4283:
4230:
4229:
4217:
4211:
4210:
4209:
4207:
4204:
4203:
4184:
4181:
4180:
4122:
4121:
4109:
4103:
4102:
4101:
4099:
4096:
4095:
4076:
4071:
4070:
4062:
4059:
4058:
4033:
4029:
4019:
4015:
3955:
3951:
3939:
3922:
3917:
3916:
3915:
3911:
3899:
3871:
3865:
3864:
3863:
3861:
3858:
3857:
3837:
3832:
3831:
3829:
3826:
3825:
3809:
3806:
3805:
3772:
3768:
3764:
3760:
3703:
3699:
3687:
3671:
3670:
3666:
3654:
3626:
3620:
3619:
3618:
3616:
3613:
3612:
3590:
3581:
3577:
3569:
3566:
3565:
3529:
3526:
3525:
3509:
3506:
3505:
3489:
3486:
3485:
3469:
3466:
3465:
3433:
3432:
3420:
3414:
3413:
3412:
3410:
3407:
3406:
3377:
3373:
3355:
3351:
3332:
3308:
3307:
3295:
3289:
3288:
3287:
3285:
3282:
3281:
3263:
3255:
3252:
3251:
3196:
3192:
3186:
3178:
3162:
3134:
3128:
3127:
3126:
3124:
3121:
3120:
3098:
3089:
3085:
3077:
3074:
3073:
3065:
3043:
3038:
3037:
3029:
3026:
3025:
2978:
2977:
2965:
2959:
2958:
2957:
2955:
2952:
2951:
2945:
2920:
2917:
2916:
2900:
2897:
2896:
2869:
2864:
2863:
2854:
2850:
2848:
2845:
2844:
2841:
2829:
2820:
2786:
2780:
2779:
2778:
2769:
2768:
2756:
2755:
2746:
2745:
2730:
2729:
2717:
2711:
2710:
2709:
2701:
2698:
2697:
2663:
2657:
2656:
2655:
2653:
2650:
2649:
2632:
2631:
2604:
2598:
2597:
2596:
2587:
2586:
2577:
2576:
2528:
2524:
2499:
2495:
2488:
2487:
2483:
2476:
2475:
2471:
2462:
2461:
2410:
2406:
2384:
2380:
2373:
2372:
2368:
2361:
2360:
2356:
2347:
2346:
2325:
2324:
2312:
2306:
2305:
2304:
2297:
2290:
2288:
2285:
2284:
2256:
2253:
2252:
2235:
2234:
2232:
2229:
2228:
2208:
2202:
2201:
2200:
2198:
2195:
2194:
2138:
2132:
2131:
2130:
2121:
2120:
2118:
2115:
2114:
2091:
2085:
2084:
2083:
2081:
2078:
2077:
2024:
2023:
2011:
2005:
2004:
2003:
2001:
1998:
1997:
1991:
1966:
1960:
1959:
1958:
1946:
1940:
1939:
1938:
1936:
1933:
1932:
1912:
1906:
1905:
1904:
1896:
1893:
1892:
1869:
1868:
1850:
1849:
1840:
1834:
1833:
1832:
1818:
1815:
1814:
1764:
1763:
1751:
1745:
1744:
1743:
1741:
1738:
1737:
1714:
1708:
1707:
1706:
1704:
1701:
1700:
1677:
1676:
1674:
1671:
1670:
1650:
1649:
1644:
1641:
1640:
1611:
1610:
1598:
1597:
1579:
1573:
1572:
1571:
1569:
1566:
1565:
1510:
1507:
1506:
1487:
1484:
1483:
1467:
1464:
1463:
1460:
1368:
1367:
1363:
1356:
1355:
1351:
1334:
1331:
1330:
1250:
1246:
1239:
1238:
1234:
1227:
1226:
1222:
1205:
1202:
1201:
1195:
1140:
1139:
1127:
1121:
1120:
1119:
1117:
1114:
1113:
1094:
1086:
1083:
1082:
1024:
1020:
1013:
1012:
1008:
984:
978:
977:
976:
974:
971:
970:
951:
943:
940:
939:
923:
920:
919:
916:
850:
846:
839:
838:
834:
810:
809:
804:
801:
800:
777:
774:
773:
770:
749:
746:
745:
729:
726:
725:
701:
698:
697:
674:
673:
658:
657:
645:
639:
638:
637:
635:
632:
631:
576:
573:
572:
556:
553:
552:
468:
464:
456:
451:
450:
449:
445:
428:
425:
424:
376:
375:
350:
346:
339:
338:
334:
317:
314:
313:
249:
245:
238:
237:
233:
209:
208:
203:
200:
199:
176:
168:
160:
157:
156:
126:
115:
109:
106:
63:
61:
51:
39:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
9101:
9091:
9090:
9085:
9080:
9065:
9064:
9039:
9015:
9014:
9013:
9007:
8995:Folland, G. B.
8991:
8985:
8973:Folland, G. B.
8966:
8965:
8923:external links
8912:
8910:
8903:
8897:
8894:
8891:
8890:
8876:
8875:
8873:
8870:
8869:
8868:
8857:
8853:
8850:
8847:
8844:
8841:
8838:
8835:
8832:
8828:
8825:
8822:
8819:
8816:
8811:
8806:
8801:
8798:
8795:
8792:
8789:
8786:
8782:
8774:
8769:
8763:
8748:
8747:
8736:
8733:
8730:
8727:
8724:
8721:
8718:
8715:
8712:
8709:
8706:
8703:
8698:
8694:
8690:
8685:
8682:
8679:
8675:
8651:
8646:
8641:
8636:
8631:
8627:
8623:
8620:
8600:
8589:
8588:
8577:
8574:
8571:
8568:
8565:
8562:
8559:
8554:
8550:
8546:
8543:
8540:
8537:
8533:
8530:
8527:
8524:
8517:
8512:
8507:
8504:
8501:
8497:
8489:
8485:
8481:
8476:
8472:
8464:
8460:
8456:
8447:
8442:
8436:
8432:
8429:
8426:
8422:
8419:
8416:
8413:
8410:
8405:
8400:
8395:
8392:
8389:
8386:
8383:
8380:
8377:
8372:
8367:
8362:
8358:
8352:
8348:
8344:
8341:
8337:
8329:
8324:
8318:
8292:
8287:
8282:
8279:
8257:
8253:
8232:
8221:
8220:
8209:
8206:
8203:
8200:
8197:
8194:
8189:
8185:
8181:
8174:
8169:
8164:
8161:
8158:
8154:
8146:
8142:
8138:
8133:
8129:
8121:
8117:
8113:
8108:
8105:
8102:
8099:
8096:
8091:
8087:
8081:
8076:
8051:
8048:
8045:
8041:
8037:
8034:
8031:
8026:
8022:
8018:
8015:
8010:
8006:
8002:
7999:
7995:
7991:
7988:
7985:
7982:
7977:
7973:
7961:
7960:
7949:
7946:
7943:
7939:
7936:
7933:
7930:
7927:
7922:
7917:
7912:
7909:
7906:
7903:
7900:
7897:
7894:
7889:
7884:
7879:
7875:
7869:
7865:
7861:
7858:
7854:
7846:
7841:
7835:
7829:
7826:
7823:
7819:
7815:
7812:
7809:
7805:
7802:
7799:
7796:
7793:
7788:
7783:
7778:
7775:
7772:
7769:
7766:
7763:
7759:
7751:
7746:
7740:
7712:
7707:
7702:
7697:
7692:
7688:
7684:
7681:
7676:
7663:
7662:
7650:
7647:
7644:
7641:
7638:
7635:
7632:
7629:
7626:
7623:
7620:
7615:
7611:
7607:
7602:
7599:
7596:
7592:
7569:
7564:
7559:
7556:
7536:
7531:
7526:
7521:
7516:
7512:
7508:
7505:
7479:
7475:
7450:
7428:
7424:
7419:
7415:
7412:
7408:
7404:
7401:
7398:
7395:
7392:
7389:
7386:
7381:
7377:
7365:
7353:
7350:
7347:
7344:
7341:
7338:
7335:
7332:
7329:
7326:
7321:
7316:
7292:
7288:
7284:
7281:
7278:
7275:
7271:
7267:
7264:
7261:
7258:
7255:
7244:
7231:
7228:
7224:
7221:
7218:
7215:
7212:
7209:
7206:
7203:
7200:
7197:
7192:
7187:
7184:
7181:
7178:
7175:
7171:
7168:
7165:
7162:
7159:
7154:
7149:
7146:
7143:
7140:
7137:
7134:
7131:
7106:
7101:
7096:
7091:
7086:
7082:
7078:
7075:
7072:
7069:
7058:
7044:
7039:
7034:
7030:
7025:
7021:
7018:
7014:
7010:
7007:
7004:
7001:
6996:
6991:
6988:
6985:
6982:
6979:
6976:
6973:
6968:
6963:
6943:
6940:
6937:
6934:
6931:
6928:
6925:
6922:
6919:
6916:
6895:
6891:
6888:
6877:
6865:
6862:
6859:
6856:
6853:
6850:
6847:
6842:
6837:
6834:
6831:
6828:
6825:
6822:
6819:
6814:
6809:
6789:
6786:
6783:
6780:
6775:
6772:
6769:
6765:
6761:
6758:
6754:
6750:
6747:
6744:
6741:
6738:
6716:
6711:
6706:
6703:
6679:
6676:
6672:
6669:
6666:
6663:
6658:
6655:
6652:
6649:
6646:
6643:
6640:
6636:
6628:
6623:
6617:
6613:
6610:
6607:
6604:
6601:
6596:
6574:
6571:
6568:
6565:
6553:
6550:
6538:
6534:
6528:
6525:
6520:
6516:
6512:
6509:
6502:
6498:
6494:
6489:
6484:
6481:
6478:
6475:
6472:
6469:
6464:
6461:
6455:
6449:
6445:
6441:
6438:
6435:
6432:
6429:
6426:
6423:
6420:
6417:
6414:
6411:
6391:
6387:
6382:
6379:
6374:
6370:
6367:
6360:
6356:
6352:
6347:
6342:
6339:
6336:
6333:
6330:
6327:
6322:
6317:
6313:
6309:
6306:
6303:
6300:
6297:
6294:
6291:
6288:
6285:
6282:
6279:
6249:
6246:
6233:
6228:
6223:
6218:
6213:
6209:
6188:
6183:
6178:
6173:
6168:
6164:
6160:
6157:
6120:
6117:
6104:
6084:
6081:
6060:
6056:
6053:
6042:
6041:
6030:
6027:
6024:
6021:
6015:
6012:
6003:
6000:
5997:
5994:
5991:
5988:
5984:
5976:
5971:
5966:
5963:
5959:
5955:
5952:
5949:
5946:
5943:
5933:
5922:
5919:
5916:
5912:
5909:
5906:
5903:
5897:
5894:
5891:
5888:
5885:
5882:
5879:
5875:
5867:
5863:
5859:
5856:
5853:
5850:
5846:
5842:
5839:
5836:
5833:
5827:
5824:
5811:
5800:
5796:
5792:
5787:
5782:
5777:
5771:
5768:
5761:
5757:
5753:
5748:
5744:
5740:
5737:
5734:
5731:
5728:
5725:
5711:
5710:
5699:
5696:
5693:
5689:
5686:
5683:
5677:
5674:
5665:
5662:
5659:
5656:
5653:
5650:
5646:
5638:
5633:
5627:
5623:
5620:
5617:
5614:
5611:
5601:
5590:
5587:
5584:
5580:
5577:
5574:
5571:
5565:
5562:
5559:
5556:
5553:
5550:
5547:
5543:
5535:
5530:
5524:
5520:
5517:
5514:
5511:
5505:
5502:
5489:
5478:
5474:
5470:
5465:
5460:
5455:
5449:
5446:
5439:
5435:
5431:
5426:
5421:
5416:
5413:
5383:
5380:
5377:
5374:
5371:
5351:
5331:
5328:
5308:
5305:
5302:
5299:
5296:
5293:
5281:
5278:
5277:
5276:
5265:
5260:
5255:
5250:
5245:
5241:
5236:
5229:
5225:
5220:
5213:
5210:
5204:
5198:
5193:
5190:
5184:
5176:
5151:
5146:
5141:
5136:
5132:
5127:
5121:
5118:
5113:
5108:
5103:
5099:
5094:
5088:
5083:
5080:
5074:
5051:
5046:
5041:
5036:
5031:
5027:
5023:
5020:
5015:
5010:
5005:
5000:
4996:
4992:
4989:
4969:
4964:
4951:
4950:
4939:
4936:
4933:
4928:
4923:
4920:
4917:
4914:
4911:
4908:
4905:
4902:
4897:
4892:
4869:
4864:
4859:
4854:
4849:
4844:
4841:
4821:
4816:
4811:
4806:
4802:
4797:
4791:
4788:
4768:
4763:
4758:
4753:
4749:
4744:
4726:
4723:
4701:
4700:
4689:
4686:
4683:
4680:
4677:
4672:
4667:
4662:
4659:
4653:
4647:
4644:
4641:
4638:
4635:
4632:
4627:
4624:
4618:
4612:
4607:
4602:
4599:
4596:
4593:
4590:
4565:
4561:
4537:
4533:
4527:
4524:
4521:
4517:
4513:
4510:
4505:
4491:
4490:
4479:
4475:
4471:
4468:
4464:
4461:
4458:
4454:
4451:
4448:
4445:
4439:
4436:
4433:
4430:
4427:
4424:
4421:
4417:
4411:
4408:
4405:
4401:
4398:
4395:
4391:
4386:
4381:
4376:
4373:
4370:
4366:
4362:
4359:
4356:
4353:
4348:
4344:
4324:
4321:
4309:
4304:
4299:
4294:
4291:
4277:
4276:
4265:
4262:
4259:
4256:
4253:
4250:
4247:
4244:
4241:
4238:
4233:
4228:
4223:
4220:
4214:
4188:
4177:
4176:
4172:
4171:
4160:
4157:
4154:
4151:
4148:
4145:
4142:
4139:
4136:
4133:
4130:
4125:
4120:
4115:
4112:
4106:
4079:
4074:
4069:
4066:
4055:
4054:
4043:
4036:
4032:
4028:
4025:
4022:
4018:
4014:
4011:
4008:
4005:
4002:
3998:
3995:
3992:
3988:
3985:
3982:
3979:
3973:
3970:
3967:
3964:
3961:
3958:
3954:
3949:
3946:
3942:
3938:
3935:
3932:
3925:
3920:
3914:
3908:
3905:
3902:
3898:
3894:
3891:
3888:
3885:
3882:
3877:
3874:
3868:
3840:
3835:
3813:
3802:
3801:
3794:
3793:
3782:
3775:
3771:
3767:
3763:
3759:
3756:
3753:
3750:
3747:
3743:
3740:
3737:
3733:
3730:
3727:
3724:
3718:
3715:
3712:
3709:
3706:
3702:
3697:
3694:
3690:
3686:
3683:
3680:
3674:
3669:
3663:
3660:
3657:
3653:
3649:
3646:
3643:
3640:
3637:
3632:
3629:
3623:
3597:
3593:
3589:
3584:
3580:
3576:
3573:
3562:
3561:
3542:
3539:
3536:
3533:
3513:
3493:
3473:
3453:
3450:
3447:
3444:
3441:
3436:
3431:
3426:
3423:
3417:
3403:
3402:
3391:
3388:
3385:
3380:
3376:
3372:
3369:
3366:
3363:
3358:
3354:
3350:
3347:
3344:
3339:
3336:
3331:
3328:
3325:
3322:
3319:
3316:
3311:
3306:
3301:
3298:
3292:
3266:
3262:
3259:
3248:
3247:
3236:
3233:
3230:
3226:
3223:
3220:
3217:
3211:
3208:
3205:
3202:
3199:
3195:
3189:
3184:
3181:
3177:
3171:
3168:
3165:
3161:
3157:
3154:
3151:
3148:
3145:
3140:
3137:
3131:
3105:
3101:
3097:
3092:
3088:
3084:
3081:
3070:
3069:
3064:
3061:
3046:
3041:
3036:
3033:
3013:
3010:
3007:
3004:
3001:
2998:
2995:
2992:
2989:
2986:
2981:
2976:
2971:
2968:
2962:
2930:
2927:
2924:
2904:
2877:
2872:
2867:
2862:
2857:
2853:
2840:
2837:
2828:
2825:
2819:
2816:
2815:
2814:
2803:
2800:
2797:
2792:
2789:
2783:
2777:
2772:
2767:
2764:
2759:
2754:
2749:
2744:
2741:
2738:
2733:
2728:
2723:
2720:
2714:
2708:
2705:
2674:
2669:
2666:
2660:
2646:
2645:
2630:
2627:
2624:
2621:
2618:
2615:
2610:
2607:
2601:
2595:
2590:
2585:
2582:
2580:
2578:
2575:
2572:
2568:
2565:
2561:
2558:
2555:
2552:
2546:
2543:
2540:
2537:
2534:
2531:
2527:
2520:
2517:
2514:
2511:
2508:
2505:
2502:
2498:
2491:
2486:
2479:
2474:
2470:
2467:
2465:
2463:
2460:
2457:
2453:
2450:
2446:
2443:
2440:
2437:
2431:
2428:
2425:
2422:
2419:
2416:
2413:
2409:
2402:
2399:
2396:
2393:
2390:
2387:
2383:
2376:
2371:
2364:
2359:
2355:
2352:
2350:
2348:
2345:
2342:
2339:
2336:
2333:
2328:
2323:
2318:
2315:
2309:
2303:
2300:
2298:
2296:
2293:
2292:
2269:
2266:
2263:
2260:
2238:
2214:
2211:
2205:
2191:
2190:
2179:
2176:
2173:
2170:
2167:
2164:
2161:
2158:
2155:
2152:
2149:
2144:
2141:
2135:
2129:
2124:
2097:
2094:
2088:
2074:
2073:
2062:
2059:
2056:
2053:
2050:
2047:
2044:
2041:
2038:
2035:
2032:
2027:
2022:
2017:
2014:
2008:
1990:
1987:
1986:
1985:
1974:
1969:
1963:
1957:
1952:
1949:
1943:
1915:
1909:
1903:
1900:
1880:
1875:
1872:
1867:
1864:
1861:
1858:
1853:
1846:
1843:
1837:
1831:
1828:
1825:
1822:
1799:
1796:
1793:
1790:
1787:
1784:
1781:
1778:
1775:
1772:
1767:
1762:
1757:
1754:
1748:
1725:
1720:
1717:
1711:
1688:
1685:
1680:
1658:
1653:
1648:
1637:
1636:
1625:
1622:
1619:
1614:
1609:
1606:
1601:
1596:
1593:
1590:
1585:
1582:
1576:
1559:
1558:
1547:
1544:
1541:
1538:
1535:
1532:
1529:
1526:
1523:
1520:
1517:
1514:
1491:
1471:
1459:
1456:
1455:
1454:
1443:
1440:
1437:
1433:
1430:
1426:
1423:
1420:
1417:
1413:
1410:
1407:
1404:
1401:
1398:
1395:
1392:
1389:
1386:
1383:
1380:
1377:
1371:
1366:
1359:
1354:
1350:
1347:
1344:
1341:
1338:
1324:
1323:
1312:
1309:
1306:
1302:
1299:
1295:
1292:
1289:
1286:
1280:
1277:
1274:
1271:
1268:
1265:
1262:
1259:
1256:
1253:
1249:
1242:
1237:
1230:
1225:
1221:
1218:
1215:
1212:
1209:
1194:
1191:
1190:
1189:
1178:
1175:
1172:
1169:
1166:
1163:
1160:
1157:
1154:
1151:
1148:
1143:
1138:
1133:
1130:
1124:
1097:
1093:
1090:
1079:
1078:
1067:
1064:
1061:
1057:
1054:
1051:
1048:
1042:
1039:
1036:
1033:
1030:
1027:
1023:
1016:
1011:
1007:
1004:
1001:
998:
995:
990:
987:
981:
954:
950:
947:
927:
915:
912:
908:
907:
896:
893:
890:
886:
883:
880:
877:
871:
868:
865:
862:
859:
856:
853:
849:
842:
837:
833:
830:
827:
824:
821:
818:
813:
808:
781:
769:
766:
753:
733:
722:Lebesgue sense
705:
694:
693:
682:
677:
672:
669:
666:
661:
656:
651:
648:
642:
616:
613:
610:
607:
604:
601:
598:
595:
592:
589:
586:
583:
580:
560:
542:
541:
530:
527:
524:
520:
517:
513:
510:
507:
504:
498:
495:
492:
489:
486:
483:
480:
477:
474:
471:
467:
459:
454:
448:
444:
441:
438:
435:
432:
418:
417:
406:
403:
400:
396:
393:
390:
387:
384:
379:
374:
368:
365:
362:
359:
356:
353:
349:
342:
337:
333:
330:
327:
324:
321:
307:
306:
295:
292:
289:
285:
282:
279:
276:
270:
267:
264:
261:
258:
255:
252:
248:
241:
236:
232:
229:
226:
223:
220:
217:
212:
207:
179:
175:
171:
167:
164:
128:
127:
42:
40:
33:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
9100:
9089:
9086:
9084:
9081:
9079:
9076:
9075:
9073:
9053:
9049:
9043:
9035:
9029:
9025:
9020:
9016:
9010:
9004:
9000:
8996:
8992:
8988:
8986:0-534-17094-3
8982:
8978:
8974:
8970:
8969:
8962:
8959:
8951:
8941:
8937:
8931:
8930:
8924:
8920:
8916:
8911:
8902:
8901:
8887:
8881:
8877:
8855:
8851:
8845:
8839:
8836:
8833:
8830:
8823:
8814:
8799:
8796:
8793:
8790:
8787:
8784:
8780:
8772:
8761:
8753:
8752:
8751:
8734:
8728:
8722:
8719:
8713:
8704:
8701:
8696:
8692:
8683:
8677:
8665:
8664:
8663:
8644:
8629:
8625:
8621:
8618:
8598:
8575:
8569:
8560:
8557:
8552:
8548:
8541:
8538:
8535:
8528:
8522:
8515:
8505:
8502:
8499:
8487:
8483:
8479:
8474:
8470:
8462:
8458:
8454:
8445:
8434:
8430:
8427:
8424:
8417:
8408:
8393:
8390:
8387:
8384:
8381:
8378:
8375:
8370:
8360:
8350:
8346:
8342:
8339:
8335:
8327:
8316:
8308:
8307:
8306:
8290:
8280:
8277:
8255:
8251:
8230:
8207:
8201:
8198:
8195:
8187:
8183:
8179:
8172:
8162:
8159:
8156:
8144:
8140:
8136:
8131:
8127:
8119:
8115:
8111:
8106:
8100:
8089:
8085:
8067:
8066:
8065:
8049:
8046:
8043:
8035:
8032:
8029:
8024:
8016:
8008:
8004:
8000:
7997:
7993:
7989:
7983:
7975:
7971:
7947:
7944:
7941:
7934:
7925:
7910:
7907:
7904:
7901:
7898:
7895:
7892:
7887:
7877:
7867:
7863:
7859:
7856:
7852:
7844:
7833:
7827:
7821:
7813:
7810:
7807:
7800:
7791:
7776:
7773:
7770:
7767:
7764:
7761:
7757:
7749:
7738:
7730:
7729:
7728:
7726:
7705:
7690:
7686:
7682:
7679:
7645:
7639:
7636:
7630:
7621:
7618:
7613:
7609:
7600:
7594:
7567:
7557:
7554:
7529:
7514:
7510:
7506:
7503:
7495:
7477:
7473:
7464:
7448:
7426:
7422:
7417:
7410:
7406:
7402:
7396:
7393:
7387:
7379:
7375:
7366:
7348:
7342:
7339:
7333:
7324:
7290:
7282:
7276:
7273:
7269:
7265:
7259:
7253:
7245:
7229:
7226:
7219:
7213:
7210:
7204:
7195:
7182:
7179:
7176:
7173:
7166:
7157:
7144:
7138:
7132:
7129:
7121:implies that
7120:
7099:
7084:
7080:
7076:
7073:
7070:
7067:
7059:
7042:
7032:
7023:
7016:
7012:
7008:
6999:
6986:
6980:
6971:
6938:
6935:
6929:
6926:
6920:
6914:
6889:
6886:
6878:
6860:
6857:
6854:
6845:
6832:
6826:
6817:
6784:
6778:
6773:
6770:
6767:
6759:
6756:
6752:
6748:
6742:
6736:
6714:
6704:
6701:
6693:
6692:
6691:
6677:
6674:
6667:
6661:
6656:
6653:
6650:
6647:
6644:
6641:
6638:
6634:
6626:
6615:
6611:
6605:
6599:
6569:
6563:
6549:
6536:
6532:
6526:
6523:
6518:
6514:
6510:
6507:
6496:
6487:
6482:
6476:
6467:
6462:
6459:
6436:
6433:
6427:
6424:
6421:
6415:
6409:
6389:
6385:
6380:
6377:
6372:
6368:
6365:
6354:
6345:
6340:
6334:
6325:
6304:
6301:
6295:
6292:
6289:
6283:
6277:
6269:
6265:
6263:
6259:
6255:
6245:
6226:
6211:
6207:
6181:
6166:
6162:
6158:
6155:
6147:
6143:
6138:
6135:
6125:
6116:
6079:
6054:
6051:
6028:
6022:
6010:
6001:
5998:
5995:
5992:
5989:
5986:
5982:
5974:
5964:
5961:
5957:
5953:
5947:
5941:
5934:
5920:
5917:
5914:
5907:
5901:
5895:
5892:
5889:
5886:
5883:
5880:
5877:
5873:
5865:
5857:
5854:
5851:
5844:
5840:
5834:
5822:
5812:
5798:
5785:
5775:
5766:
5759:
5746:
5738:
5735:
5732:
5726:
5723:
5716:
5715:
5714:
5697:
5694:
5691:
5684:
5672:
5663:
5660:
5657:
5654:
5651:
5648:
5644:
5636:
5625:
5621:
5615:
5609:
5602:
5588:
5585:
5582:
5575:
5569:
5563:
5560:
5557:
5554:
5551:
5548:
5545:
5541:
5533:
5522:
5518:
5512:
5500:
5490:
5476:
5463:
5453:
5444:
5437:
5424:
5414:
5411:
5404:
5403:
5402:
5400:
5378:
5375:
5372:
5349:
5329:
5326:
5303:
5300:
5297:
5294:
5263:
5253:
5239:
5227:
5223:
5211:
5208:
5196:
5191:
5188:
5165:
5164:
5163:
5144:
5130:
5111:
5097:
5086:
5081:
5078:
5044:
5029:
5025:
5021:
5013:
4998:
4994:
4990:
4987:
4967:
4937:
4931:
4921:
4918:
4912:
4906:
4903:
4900:
4883:
4882:
4881:
4862:
4842:
4839:
4814:
4800:
4789:
4786:
4761:
4747:
4732:
4722:
4720:
4714:
4710:
4706:
4684:
4675:
4660:
4657:
4645:
4639:
4630:
4625:
4622:
4600:
4594:
4588:
4581:
4580:
4579:
4563:
4559:
4535:
4531:
4519:
4511:
4508:
4477:
4469:
4466:
4462:
4459:
4456:
4449:
4443:
4437:
4434:
4431:
4428:
4425:
4422:
4419:
4415:
4406:
4403:
4399:
4396:
4393:
4389:
4384:
4374:
4371:
4364:
4360:
4354:
4346:
4342:
4334:
4333:
4332:
4330:
4320:
4307:
4302:
4292:
4289:
4282:
4260:
4254:
4251:
4245:
4236:
4221:
4218:
4202:
4201:
4200:
4186:
4174:
4173:
4158:
4152:
4146:
4143:
4137:
4128:
4113:
4110:
4094:
4093:
4092:
4077:
4067:
4064:
4041:
4034:
4026:
4020:
4016:
4012:
4006:
4000:
3996:
3993:
3990:
3983:
3977:
3971:
3968:
3965:
3962:
3959:
3956:
3952:
3944:
3940:
3936:
3930:
3923:
3912:
3900:
3892:
3886:
3880:
3875:
3872:
3856:
3855:
3854:
3838:
3811:
3799:
3798:
3797:
3780:
3773:
3769:
3765:
3761:
3757:
3751:
3745:
3741:
3738:
3735:
3728:
3722:
3716:
3713:
3710:
3707:
3704:
3700:
3692:
3688:
3684:
3678:
3667:
3655:
3647:
3641:
3635:
3630:
3627:
3611:
3610:
3609:
3582:
3578:
3574:
3571:
3559:
3558:
3557:
3554:
3537:
3531:
3511:
3491:
3471:
3448:
3439:
3424:
3421:
3389:
3378:
3374:
3367:
3364:
3356:
3352:
3345:
3337:
3334:
3329:
3323:
3314:
3299:
3296:
3280:
3279:
3278:
3260:
3257:
3250:Then for all
3234:
3231:
3228:
3221:
3215:
3209:
3206:
3203:
3200:
3197:
3193:
3187:
3182:
3179:
3175:
3163:
3155:
3149:
3143:
3138:
3135:
3119:
3118:
3117:
3090:
3086:
3082:
3079:
3067:
3066:
3060:
3044:
3034:
3031:
3008:
3002:
2999:
2993:
2984:
2969:
2966:
2948:
2943:
2928:
2925:
2922:
2902:
2893:
2891:
2870:
2855:
2851:
2836:
2834:
2824:
2801:
2795:
2790:
2787:
2765:
2762:
2752:
2742:
2736:
2721:
2718:
2706:
2703:
2696:
2695:
2694:
2692:
2688:
2687:associativity
2672:
2667:
2664:
2628:
2622:
2613:
2608:
2605:
2583:
2581:
2573:
2570:
2566:
2563:
2556:
2550:
2544:
2541:
2538:
2535:
2532:
2529:
2525:
2518:
2515:
2512:
2509:
2506:
2503:
2500:
2496:
2484:
2472:
2468:
2466:
2458:
2455:
2451:
2448:
2441:
2435:
2429:
2426:
2423:
2420:
2417:
2414:
2411:
2407:
2400:
2397:
2394:
2391:
2388:
2385:
2381:
2369:
2357:
2353:
2351:
2340:
2331:
2316:
2313:
2301:
2299:
2294:
2283:
2282:
2281:
2267:
2264:
2261:
2258:
2212:
2209:
2177:
2171:
2165:
2162:
2156:
2147:
2142:
2139:
2113:
2112:
2111:
2095:
2092:
2060:
2054:
2048:
2045:
2039:
2030:
2015:
2012:
1996:
1995:
1994:
1972:
1967:
1955:
1950:
1947:
1931:
1930:
1929:
1913:
1901:
1898:
1878:
1865:
1862:
1859:
1856:
1844:
1841:
1829:
1826:
1823:
1820:
1811:
1794:
1788:
1785:
1779:
1770:
1755:
1752:
1723:
1718:
1715:
1686:
1683:
1656:
1646:
1623:
1620:
1617:
1607:
1604:
1594:
1591:
1588:
1583:
1580:
1564:
1563:
1562:
1545:
1539:
1536:
1530:
1527:
1521:
1515:
1512:
1505:
1504:
1503:
1489:
1469:
1441:
1438:
1435:
1431:
1428:
1421:
1415:
1408:
1405:
1399:
1396:
1393:
1387:
1384:
1378:
1375:
1364:
1352:
1348:
1342:
1336:
1329:
1328:
1327:
1310:
1307:
1304:
1300:
1297:
1290:
1284:
1278:
1275:
1269:
1266:
1263:
1257:
1254:
1251:
1247:
1235:
1223:
1219:
1213:
1207:
1200:
1199:
1198:
1176:
1170:
1164:
1161:
1155:
1146:
1131:
1128:
1112:
1111:
1110:
1091:
1088:
1081:Then for all
1065:
1062:
1059:
1052:
1046:
1040:
1037:
1034:
1031:
1028:
1025:
1021:
1009:
1005:
999:
993:
988:
985:
969:
968:
967:
948:
945:
925:
911:
894:
891:
888:
881:
875:
869:
866:
863:
860:
857:
854:
851:
847:
835:
831:
825:
816:
799:
798:
797:
795:
779:
765:
751:
731:
723:
719:
703:
680:
670:
667:
664:
654:
649:
646:
630:
629:
628:
611:
608:
602:
599:
593:
584:
581:
558:
549:
547:
528:
525:
522:
518:
515:
508:
502:
496:
493:
487:
484:
481:
475:
472:
469:
465:
457:
446:
442:
436:
430:
423:
422:
421:
404:
401:
398:
391:
382:
366:
363:
360:
357:
354:
351:
347:
335:
331:
325:
319:
312:
311:
310:
293:
290:
287:
280:
274:
268:
265:
262:
259:
256:
253:
250:
246:
234:
230:
224:
215:
198:
197:
196:
194:
165:
162:
153:
151:
147:
143:
139:
135:
124:
121:
113:
102:
99:
95:
92:
88:
85:
81:
78:
74:
71: â
70:
66:
65:Find sources:
59:
55:
49:
48:
43:This article
41:
37:
32:
31:
19:
9056:. Retrieved
9054:. 2011-03-10
9051:
9042:
9033:
9027:
9019:
8998:
8976:
8954:
8948:January 2013
8945:
8934:Please help
8926:
8880:
8749:
8590:
8222:
7962:
7664:
7441:. Then with
6555:
6266:
6251:
6139:
6131:
6119:Applications
6043:
5712:
5396:
4952:
4728:
4712:
4709:almost every
4702:
4492:
4326:
4281:almost every
4278:
4178:
4056:
3803:
3795:
3563:
3555:
3404:
3249:
3071:
2946:
2894:
2842:
2830:
2821:
2647:
2192:
2075:
1992:
1812:
1638:
1560:
1461:
1325:
1196:
1080:
917:
909:
771:
695:
550:
545:
543:
419:
308:
154:
137:
131:
116:
107:
97:
90:
83:
76:
64:
52:Please help
47:verification
44:
8940:introducing
8270:, for each
7463:convolution
4493:we can set
134:mathematics
9072:Categories
9058:2018-02-12
8896:References
8305:, we have
7547:and point
6128:transform.
5362:to act on
4717:- this is
3024:for every
80:newspapers
8856:◻
8834:ξ
8824:ξ
8800:ξ
8797:⋅
8788:π
8762:∫
8702:∗
8697:ε
8693:φ
8681:→
8678:ε
8622:∈
8558:∗
8553:ε
8549:φ
8503:−
8484:ε
8480:π
8475:−
8459:ε
8435:∫
8428:ξ
8418:ξ
8394:ξ
8391:⋅
8382:π
8361:ξ
8347:ε
8343:π
8340:−
8317:∫
8281:∈
8199:−
8188:ε
8184:φ
8160:−
8141:ε
8137:π
8132:−
8116:ε
8050:ξ
8047:⋅
8036:π
8017:ξ
8005:ε
8001:π
7998:−
7984:ξ
7945:ξ
7935:ξ
7911:ξ
7908:⋅
7899:π
7878:ξ
7864:ε
7860:π
7857:−
7834:∫
7825:→
7822:ε
7811:ξ
7801:ξ
7777:ξ
7774:⋅
7765:π
7739:∫
7683:∈
7619:∗
7614:ε
7610:φ
7598:→
7595:ε
7558:∈
7507:∈
7478:ε
7474:φ
7461:denoting
7449:∗
7423:ε
7411:ε
7397:φ
7380:ε
7376:φ
7343:φ
7325:φ
7283:ξ
7277:π
7274:−
7260:ξ
7254:φ
7211:⋅
7183:∫
7177:ξ
7167:ξ
7145:⋅
7139:ξ
7130:∫
7077:∈
7033:ε
7017:ε
7000:φ
6972:ψ
6939:ξ
6936:ε
6930:φ
6921:ξ
6915:ψ
6890:∈
6887:ε
6858:−
6846:ψ
6785:ξ
6779:ψ
6774:ξ
6771:⋅
6760:π
6743:ξ
6705:∈
6657:ξ
6654:⋅
6645:π
6639:−
6616:∫
6606:ξ
6519:−
6511:
6460:−
6444:⇒
6437:ξ
6428:
6416:ξ
6378:ξ
6369:
6335:ξ
6312:⇒
6296:
6159:∈
6103:∞
6083:∞
6080:−
6055:∈
6014:^
5999:⋅
5990:π
5965:∈
5958:∑
5893:⋅
5884:π
5878:−
5845:∫
5826:^
5791:→
5776::
5770:^
5752:→
5727::
5695:ξ
5685:ξ
5676:^
5664:ξ
5661:⋅
5652:π
5626:∫
5564:ξ
5561:⋅
5552:π
5546:−
5523:∫
5513:ξ
5504:^
5469:→
5454::
5448:^
5430:→
5415::
5330:π
5304:π
5209:−
5189:−
5120:→
5087::
5079:−
5022:∩
4991:∈
4968:φ
4935:⟩
4932:φ
4916:⟨
4910:⟩
4907:φ
4891:⟨
4843:∈
4840:φ
4790:∈
4658:−
4623:−
4526:∞
4523:→
4470:∈
4438:ξ
4435:⋅
4426:π
4420:−
4404:≤
4375:∈
4365:∫
4355:ξ
4293:∈
4219:−
4111:−
4068:∈
4027:ξ
4021:−
4007:ξ
4001:φ
3994:ξ
3984:ξ
3972:ξ
3969:⋅
3960:π
3937:ξ
3931:φ
3913:∫
3907:∞
3904:→
3873:−
3770:ξ
3766:−
3752:ξ
3746:φ
3739:ξ
3729:ξ
3717:ξ
3708:π
3685:ξ
3679:φ
3668:∫
3662:∞
3659:→
3628:−
3575:∈
3422:−
3357:−
3297:−
3261:∈
3232:ξ
3222:ξ
3210:ξ
3201:π
3180:−
3176:∫
3170:∞
3167:→
3136:−
3083:∈
3035:∈
2967:−
2788:−
2719:−
2665:−
2606:−
2574:ζ
2545:ζ
2542:⋅
2533:π
2519:ζ
2516:⋅
2507:π
2501:−
2485:∫
2473:∫
2459:ξ
2430:ξ
2427:⋅
2418:π
2412:−
2401:ξ
2398:⋅
2389:π
2370:∫
2358:∫
2314:−
2268:ξ
2265:−
2259:ζ
2210:−
2172:ξ
2157:ξ
2140:−
2093:−
2013:−
1948:−
1842:−
1753:−
1716:−
1581:−
1537:−
1439:ξ
1409:ξ
1406:⋅
1397:−
1388:π
1379:
1365:∫
1353:∫
1308:ξ
1279:ξ
1276:⋅
1267:−
1255:π
1236:∫
1224:∫
1129:−
1092:∈
1063:ξ
1053:ξ
1041:ξ
1038:⋅
1029:π
1010:∫
986:−
949:∈
870:ξ
867:⋅
858:π
852:−
836:∫
826:ξ
768:Statement
647:−
609:−
526:ξ
497:ξ
494:⋅
485:−
473:π
447:∬
402:ξ
392:ξ
367:ξ
364:⋅
355:π
336:∫
269:ξ
266:⋅
257:π
251:−
235:∫
225:ξ
174:→
146:frequency
8997:(1995).
8975:(1992).
8886:operator
6260:and the
6142:operator
5240:′
5131:′
5098:′
4801:′
4748:′
2693:, since
1891:we have
1109:we have
938:and all
720:(in the
627:, then
110:May 2024
9024:w.l.o.g
8936:improve
7963:Define
7367:Define
7307:; then
7246:Define
6954:, then
6800:, then
5319:(or is
4880:we set
4703:in the
94:scholar
9005:
8983:
7492:is an
4953:where
2944:where
2193:Since
1813:Since
796:that
724:) and
195:that
136:, the
96:
89:
82:
75:
67:
8921:, or
8872:Notes
7727:that
6552:Proof
6144:(see
3405:i.e.
309:then
150:phase
101:JSTOR
87:books
9003:ISBN
8981:ISBN
8243:and
7060:For
6907:and
6729:and
6585:and
6508:sinc
6425:rect
6366:sinc
6293:rect
4279:for
1928:and
1669:and
966:set
148:and
73:news
8884:An
8674:lim
7818:lim
7591:lim
6879:If
6694:If
6264:.
6132:In
6095:to
4516:lim
3897:lim
3804:If
3652:lim
3484:at
3160:lim
2689:of
2280:):
1502:by
1376:cos
132:In
56:by
9074::
9050:.
8925:,
8917:,
7582:,
7465:,
7117:,
6690:.
6244:.
6115:.
5841::=
5519::=
5228:Id
4913::=
4715:ââ
4512::=
4361::=
4013::=
3893::=
3758::=
3648::=
3553:.
3156::=
3059:.
2892:.
2262::=
1810:.
1592::=
1528::=
1006::=
832::=
600::=
548:.
231::=
9061:.
9037:.
9034:f
9028:f
9011:.
8989:.
8961:)
8955:(
8950:)
8946:(
8932:.
8852:.
8849:)
8846:x
8843:(
8840:f
8837:=
8831:d
8827:)
8821:(
8818:)
8815:f
8810:F
8805:(
8794:x
8791:i
8785:2
8781:e
8773:n
8768:R
8735:.
8732:)
8729:x
8726:(
8723:f
8720:=
8717:)
8714:x
8711:(
8708:)
8705:f
8689:(
8684:0
8650:)
8645:n
8640:R
8635:(
8630:1
8626:L
8619:f
8599:f
8576:,
8573:)
8570:x
8567:(
8564:)
8561:f
8545:(
8542:=
8539:y
8536:d
8532:)
8529:y
8526:(
8523:f
8516:2
8511:|
8506:y
8500:x
8496:|
8488:2
8471:e
8463:n
8455:1
8446:n
8441:R
8431:=
8425:d
8421:)
8415:(
8412:)
8409:f
8404:F
8399:(
8388:x
8385:i
8379:2
8376:+
8371:2
8366:|
8357:|
8351:2
8336:e
8328:n
8323:R
8291:n
8286:R
8278:x
8256:x
8252:g
8231:f
8208:.
8205:)
8202:y
8196:x
8193:(
8180:=
8173:2
8168:|
8163:y
8157:x
8153:|
8145:2
8128:e
8120:n
8112:1
8107:=
8104:)
8101:y
8098:(
8095:)
8090:x
8086:g
8080:F
8075:(
8044:x
8040:i
8033:2
8030:+
8025:2
8021:|
8014:|
8009:2
7994:e
7990:=
7987:)
7981:(
7976:x
7972:g
7948:.
7942:d
7938:)
7932:(
7929:)
7926:f
7921:F
7916:(
7905:x
7902:i
7896:2
7893:+
7888:2
7883:|
7874:|
7868:2
7853:e
7845:n
7840:R
7828:0
7814:=
7808:d
7804:)
7798:(
7795:)
7792:f
7787:F
7782:(
7771:x
7768:i
7762:2
7758:e
7750:n
7745:R
7711:)
7706:n
7701:R
7696:(
7691:1
7687:L
7680:f
7675:F
7649:)
7646:x
7643:(
7640:f
7637:=
7634:)
7631:x
7628:(
7625:)
7622:f
7606:(
7601:0
7568:n
7563:R
7555:x
7535:)
7530:n
7525:R
7520:(
7515:1
7511:L
7504:f
7427:n
7418:/
7414:)
7407:/
7403:y
7400:(
7394:=
7391:)
7388:y
7385:(
7364:.
7352:)
7349:y
7346:(
7340:=
7337:)
7334:y
7331:(
7328:)
7320:F
7315:(
7291:2
7287:|
7280:|
7270:e
7266:=
7263:)
7257:(
7243:.
7230:y
7227:d
7223:)
7220:y
7217:(
7214:f
7208:)
7205:y
7202:(
7199:)
7196:g
7191:F
7186:(
7180:=
7174:d
7170:)
7164:(
7161:)
7158:f
7153:F
7148:(
7142:)
7136:(
7133:g
7105:)
7100:n
7095:R
7090:(
7085:1
7081:L
7074:g
7071:,
7068:f
7057:.
7043:n
7038:|
7029:|
7024:/
7020:)
7013:/
7009:y
7006:(
7003:)
6995:F
6990:(
6987:=
6984:)
6981:y
6978:(
6975:)
6967:F
6962:(
6942:)
6933:(
6927:=
6924:)
6918:(
6894:R
6876:.
6864:)
6861:x
6855:y
6852:(
6849:)
6841:F
6836:(
6833:=
6830:)
6827:y
6824:(
6821:)
6818:g
6813:F
6808:(
6788:)
6782:(
6768:x
6764:i
6757:2
6753:e
6749:=
6746:)
6740:(
6737:g
6715:n
6710:R
6702:x
6678:y
6675:d
6671:)
6668:y
6665:(
6662:f
6651:y
6648:i
6642:2
6635:e
6627:n
6622:R
6612:=
6609:)
6603:(
6600:f
6595:F
6573:)
6570:y
6567:(
6564:f
6537:.
6533:)
6527:a
6524:x
6515:(
6501:|
6497:a
6493:|
6488:1
6483:=
6480:)
6477:x
6474:(
6471:)
6468:g
6463:1
6454:F
6448:(
6440:)
6434:a
6431:(
6422:=
6419:)
6413:(
6410:g
6390:,
6386:)
6381:a
6373:(
6359:|
6355:a
6351:|
6346:1
6341:=
6338:)
6332:(
6329:)
6326:f
6321:F
6316:(
6308:)
6305:x
6302:a
6299:(
6290:=
6287:)
6284:x
6281:(
6278:f
6232:)
6227:n
6222:R
6217:(
6212:2
6208:L
6187:)
6182:n
6177:R
6172:(
6167:2
6163:L
6156:f
6059:Z
6052:k
6029:.
6026:)
6023:k
6020:(
6011:f
6002:k
5996:x
5993:i
5987:2
5983:e
5975:n
5970:Z
5962:k
5954:=
5951:)
5948:x
5945:(
5942:f
5921:,
5918:y
5915:d
5911:)
5908:y
5905:(
5902:f
5896:k
5890:y
5887:i
5881:2
5874:e
5866:n
5862:]
5858:1
5855:,
5852:0
5849:[
5838:)
5835:k
5832:(
5823:f
5799:,
5795:C
5786:n
5781:Z
5767:f
5760:,
5756:C
5747:n
5743:]
5739:1
5736:,
5733:0
5730:[
5724:f
5698:.
5692:d
5688:)
5682:(
5673:f
5658:x
5655:i
5649:2
5645:e
5637:n
5632:R
5622:=
5619:)
5616:x
5613:(
5610:f
5589:,
5586:y
5583:d
5579:)
5576:y
5573:(
5570:f
5558:y
5555:i
5549:2
5542:e
5534:n
5529:R
5516:)
5510:(
5501:f
5477:,
5473:C
5464:n
5459:R
5445:f
5438:,
5434:C
5425:n
5420:R
5412:f
5382:]
5379:1
5376:,
5373:0
5370:[
5350:f
5327:2
5307:]
5301:2
5298:,
5295:0
5292:[
5264:.
5259:)
5254:n
5249:R
5244:(
5235:S
5224:=
5219:F
5212:1
5203:F
5197:=
5192:1
5183:F
5175:F
5150:)
5145:n
5140:R
5135:(
5126:S
5117:)
5112:n
5107:R
5102:(
5093:S
5082:1
5073:F
5050:)
5045:n
5040:R
5035:(
5030:2
5026:L
5019:)
5014:n
5009:R
5004:(
4999:1
4995:L
4988:f
4963:F
4938:,
4927:F
4922:,
4919:f
4904:,
4901:f
4896:F
4868:)
4863:n
4858:R
4853:(
4848:S
4820:)
4815:n
4810:R
4805:(
4796:S
4787:f
4767:)
4762:n
4757:R
4752:(
4743:S
4713:x
4688:)
4685:x
4682:(
4679:)
4676:f
4671:F
4666:(
4661:1
4652:F
4646:=
4643:)
4640:x
4637:(
4634:)
4631:f
4626:1
4617:F
4611:(
4606:F
4601:=
4598:)
4595:x
4592:(
4589:f
4564:2
4560:L
4536:k
4532:g
4520:k
4509:f
4504:F
4478:,
4474:N
4467:k
4463:,
4460:y
4457:d
4453:)
4450:y
4447:(
4444:f
4432:y
4429:i
4423:2
4416:e
4410:}
4407:k
4400:|
4397:y
4394:|
4390::
4385:n
4380:R
4372:y
4369:{
4358:)
4352:(
4347:k
4343:g
4308:.
4303:n
4298:R
4290:x
4264:)
4261:x
4258:(
4255:f
4252:=
4249:)
4246:x
4243:(
4240:)
4237:f
4232:F
4227:(
4222:1
4213:F
4187:f
4159:.
4156:)
4153:x
4150:(
4147:f
4144:=
4141:)
4138:x
4135:(
4132:)
4129:f
4124:F
4119:(
4114:1
4105:F
4078:n
4073:R
4065:x
4042:.
4035:2
4031:|
4024:|
4017:e
4010:)
4004:(
3997:,
3991:d
3987:)
3981:(
3978:g
3966:x
3963:i
3957:2
3953:e
3948:)
3945:R
3941:/
3934:(
3924:n
3919:R
3901:R
3890:)
3887:x
3884:(
3881:g
3876:1
3867:F
3839:n
3834:R
3812:f
3781:.
3774:2
3762:e
3755:)
3749:(
3742:,
3736:d
3732:)
3726:(
3723:g
3714:x
3711:i
3705:2
3701:e
3696:)
3693:R
3689:/
3682:(
3673:R
3656:R
3645:)
3642:x
3639:(
3636:g
3631:1
3622:F
3596:)
3592:R
3588:(
3583:1
3579:L
3572:f
3541:)
3538:x
3535:(
3532:f
3512:f
3492:x
3472:f
3452:)
3449:x
3446:(
3443:)
3440:f
3435:F
3430:(
3425:1
3416:F
3390:,
3387:)
3384:)
3379:+
3375:x
3371:(
3368:f
3365:+
3362:)
3353:x
3349:(
3346:f
3343:(
3338:2
3335:1
3330:=
3327:)
3324:x
3321:(
3318:)
3315:f
3310:F
3305:(
3300:1
3291:F
3265:R
3258:x
3235:.
3229:d
3225:)
3219:(
3216:g
3207:x
3204:i
3198:2
3194:e
3188:R
3183:R
3164:R
3153:)
3150:x
3147:(
3144:g
3139:1
3130:F
3104:)
3100:R
3096:(
3091:1
3087:L
3080:f
3045:n
3040:R
3032:x
3012:)
3009:x
3006:(
3003:g
3000:=
2997:)
2994:x
2991:(
2988:)
2985:f
2980:F
2975:(
2970:1
2961:F
2947:g
2929:g
2926:=
2923:f
2903:f
2876:)
2871:n
2866:R
2861:(
2856:1
2852:L
2802:.
2799:)
2796:f
2791:1
2782:F
2776:(
2771:F
2766:=
2763:f
2758:F
2753:R
2748:F
2743:=
2740:)
2737:f
2732:F
2727:(
2722:1
2713:F
2707:=
2704:f
2673:f
2668:1
2659:F
2629:.
2626:)
2623:x
2620:(
2617:)
2614:f
2609:1
2600:F
2594:(
2589:F
2584:=
2571:d
2567:y
2564:d
2560:)
2557:y
2554:(
2551:f
2539:y
2536:i
2530:2
2526:e
2513:x
2510:i
2504:2
2497:e
2490:R
2478:R
2469:=
2456:d
2452:y
2449:d
2445:)
2442:y
2439:(
2436:f
2424:y
2421:i
2415:2
2408:e
2395:x
2392:i
2386:2
2382:e
2375:R
2363:R
2354:=
2344:)
2341:x
2338:(
2335:)
2332:f
2327:F
2322:(
2317:1
2308:F
2302:=
2295:f
2237:F
2213:1
2204:F
2178:.
2175:)
2169:(
2166:f
2163:=
2160:)
2154:(
2151:)
2148:f
2143:1
2134:F
2128:(
2123:F
2096:1
2087:F
2061:.
2058:)
2055:x
2052:(
2049:f
2046:=
2043:)
2040:x
2037:(
2034:)
2031:f
2026:F
2021:(
2016:1
2007:F
1973:.
1968:3
1962:F
1956:=
1951:1
1942:F
1914:2
1908:F
1902:=
1899:R
1879:f
1874:F
1871:F
1866:R
1863:R
1860:=
1857:f
1852:F
1845:1
1836:F
1830:R
1827:=
1824:f
1821:R
1798:)
1795:x
1792:(
1789:f
1786:=
1783:)
1780:x
1777:(
1774:)
1771:f
1766:F
1761:(
1756:1
1747:F
1724:f
1719:1
1710:F
1687:f
1684:R
1679:F
1657:f
1652:F
1647:R
1624:.
1621:f
1618:R
1613:F
1608:=
1605:f
1600:F
1595:R
1589:f
1584:1
1575:F
1546:.
1543:)
1540:x
1534:(
1531:g
1525:)
1522:x
1519:(
1516:g
1513:R
1490:R
1470:g
1442:.
1436:d
1432:y
1429:d
1425:)
1422:y
1419:(
1416:f
1412:)
1403:)
1400:y
1394:x
1391:(
1385:2
1382:(
1370:R
1358:R
1349:=
1346:)
1343:x
1340:(
1337:f
1311:.
1305:d
1301:y
1298:d
1294:)
1291:y
1288:(
1285:f
1273:)
1270:y
1264:x
1261:(
1258:i
1252:2
1248:e
1241:R
1229:R
1220:=
1217:)
1214:x
1211:(
1208:f
1177:.
1174:)
1171:x
1168:(
1165:f
1162:=
1159:)
1156:x
1153:(
1150:)
1147:f
1142:F
1137:(
1132:1
1123:F
1096:R
1089:x
1066:.
1060:d
1056:)
1050:(
1047:g
1035:x
1032:i
1026:2
1022:e
1015:R
1003:)
1000:x
997:(
994:g
989:1
980:F
953:R
946:x
926:g
895:.
892:y
889:d
885:)
882:y
879:(
876:f
864:y
861:i
855:2
848:e
841:R
829:)
823:(
820:)
817:f
812:F
807:(
780:f
752:x
732:f
704:f
681:.
676:F
671:R
668:=
665:R
660:F
655:=
650:1
641:F
615:)
612:x
606:(
603:f
597:)
594:x
591:(
588:)
585:f
582:R
579:(
559:R
529:.
523:d
519:y
516:d
512:)
509:y
506:(
503:f
491:)
488:y
482:x
479:(
476:i
470:2
466:e
458:2
453:R
443:=
440:)
437:x
434:(
431:f
405:.
399:d
395:)
389:(
386:)
383:f
378:F
373:(
361:x
358:i
352:2
348:e
341:R
332:=
329:)
326:x
323:(
320:f
294:,
291:y
288:d
284:)
281:y
278:(
275:f
263:y
260:i
254:2
247:e
240:R
228:)
222:(
219:)
216:f
211:F
206:(
178:C
170:R
166::
163:f
123:)
117:(
112:)
108:(
98:·
91:·
84:·
77:·
50:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
