Hurwitz zeta function

3568: 234: 2907: 1840: 219: 3185: 3193: 196: 1398: 4230: 733: 2622: 6548: 9250: 1548: 4589: 2915: 7775: 7528: 3563:{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}\left(s,{\frac {r}{m}}\right)={\big (}m^{2s-1}-1{\big )}\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{(2\pi m)^{2-2s}}}\sum _{l=1}^{m-1}\left\{\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)-\cos \pi s\cdot \zeta \left(1-s,1-{\frac {l}{m}}\right)\right\}\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)} 1136: 4010: 3794: 491: 2902:{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}-\zeta (s)} 6238: 5876: 6290: 1835:{\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {2\Gamma (1-s)}{(2\pi )^{1-s}}}\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi na)}{n^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi na)}{n^{1-s}}}\right)} 8926: 9033: 9046: 5178: 3180:{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)-\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}} 4346: 2291: 2606: 2006: 907: 1537: 6931: 400: 4750: 7539: 7292: 6796: 5349: 4987: 8058: 3995: 7035: 8650: 4331: 148: 9337: 8351: 8270: 7158: 1393:{\displaystyle \zeta (1-s,a)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left(e^{-\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi ina}}{n^{s}}}+e^{\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi ina}}{n^{s}}}\right),} 5492: 4225:{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,a)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}a^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }a^{1-s}\end{aligned}}} 8530: 5950: 5637: 3611: 8356:

For integer values of ν, these may be expressed in terms of the Euler polynomials. These relations may be derived by employing the functional equation together with Hurwitz's formula, given above.

728:{\displaystyle \zeta (s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }y^{s}e^{-(n+a)y}{\frac {dy}{y}}} 4015: 6543:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\leftt^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).} 6009: 5757: 5726: 479: 8722: 7199:), leading in each case to the difficult study of the zeros of Riemann's zeta function. In particular, there will be no zeros with real part greater than or equal to 1. However, if 0< 5415: 441: 9245:{\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.} 8735: 8931: 4584:{\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).} 5026: 2080: 5997: 2308: 1882: 751: 7770:{\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}} 7523:{\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}} 1421: 6815: 266: 4600: 6677: 6601: 8093: 2072: 9691:

Vepstas, Linas (2007). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions".

8195: 8165: 8129: 1037: 6270: 983: 7284: 4789: 5372: 3850: 1063: 5189: 9606:

Blagouchine, I.V. (2014). "A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations".

4804: 5666: 1089: 1116: 930: 7786: 3858: 1869: 6945: 9505: 8552: 4250: 60: 8281: 9878: 9276: 8203: 7049: 9949: 10103: 5424: 8429: 3789:{\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(a+k)^{1-s}.} 10018:

Cvijović, Djurdje & Klinowski, Jacek (1999), "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments",

1127: 7247:

The Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values. In particular, values in terms of the

5553: 10143: 10112: 2616:

Closely related to the functional equation are the following finite sums, some of which may be evaluated in a closed form

1856:

Hurwitz's formula has a variety of different proofs. One proof uses the contour integration representation along with the

5884: 6233:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\leftt^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left} 5871:{\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta (s,a)\right|_{s=0}=\log \Gamma (a)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )} 10178: 9923: 9816: 5674: 8921:{\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)} 446: 9360: 9028:{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.} 8661: 408: 5173:{\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.} 10321: 2286:{\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left} 1873: 5381: 2601:{\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left} 2001:{\displaystyle \zeta (s,a)=s\int _{-a}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x+{\frac {1}{2}}}{(x+a)^{s+1}}}dx} 902:{\displaystyle \zeta (s,a)=-\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-z}}}dz} 8404: 1868:. These proofs are analogous to the two proofs of the functional equation for the Riemann zeta function in 1532:{\displaystyle \zeta (1-s)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)} 6926:{\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).} 395:{\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}}dx} 10274: 5967: 4745:{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),} 4001: 6791:{\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),} 10280: 9750: 6565:

being an integer or not accounts for the fact that the Jacobi theta function converges to the periodic

5503: 1096: 9649: 7191:=1/2 it reduces to the Riemann zeta function multiplied by a simple function of the complex argument 6580: 8066: 2045: 8173: 10266: 9459: 9272: 8727: 8385: 8134: 8098: 1007: 6246: 946: 8368:, where its theory is the deepest and most developed. However, it also occurs in the study of 6937: 5344:{\displaystyle \lim _{s\to 1}\left=\gamma _{0}(a)={\frac {-\Gamma '(a)}{\Gamma (a)}}=-\psi (a)} 5001: 941: 7253: 4982:{\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)} 4758: 10270: 10169: 8168: 7220: 7184: 6620: 6554: 5544: 5511: 5357: 3822: 1042: 1001: 177: 154: 6615:

At rational arguments the Hurwitz zeta function may be expressed as a linear combination of

10153: 10122: 10065: 10027: 9759: 9710: 8536: 6616: 6566: 166: 10200: 10161: 10004: 9970: 9933: 9670: 9580: 9536: 9482: 8: 10297: 10235:

Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function".

6802: 6558: 5645: 5017: 2039: 1068: 10069: 10031: 9763: 9714: 8364:

Hurwitz's zeta function occurs in a variety of disciplines. Most commonly, it occurs in

6561:

for the Riemann zeta function, as originally given by Riemann. The distinction based on

9833: 9726: 9700: 9674: 9615: 9524: 8543: 8420: 8053:{\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left} 5740: 3816: 1101: 915: 10226: 10209: 9947:

Davenport, H. & Heilbronn, H. (1936), "On the zeros of certain Dirichlet series",

10174: 10139: 10108: 10098: 9919: 9678: 9038: 8373: 1865: 9730: 9339:, die bei der Bestimmung der Classenanzahlen binärer quadratischer Formen auftreten" 3990:{\displaystyle \Delta ^{n}a^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(a+k)^{1-s}} 10252: 10244: 10221: 10196: 10188: 10157: 10073: 10035: 10000: 9992: 9966: 9958: 9929: 9825: 9767: 9718: 9666: 9658: 9625: 9576: 9566: 9532: 9514: 9478: 9468: 8393: 8389: 7248: 7232: 7228: 7212: 5418: 4241: 937: 742: 482: 10040: 9772: 9745: 7030:{\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),} 10149: 10118: 10056: 9915: 9811: 9550: 8397: 7207:≠1/2, then there are zeros of Hurwitz's zeta function in the strip 1<Re( 3808: 1857: 990: 211: 10131: 9996: 9962: 7216: 6000: 5375: 5013: 3800: 2020: 1861: 933: 32: 10248: 9722: 9629: 10315: 9903: 9746:"Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments" 9571: 9554: 9268: 8381: 8365: 5953: 4337: 3590: 189: 28: 10138:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 8645:{\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}} 10077: 9983:

Cassels, J. W. S. (1961), "Footnote to a note of Davenport and Heilbronn",

4326:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a).} 3602: 9473: 9454: 9496: 1092: 20: 143:{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}.} 9907: 9837: 9662: 9528: 8401: 8377: 6570: 207: 10257: 9332:{\textstyle F(s)=\sum \left({\frac {D}{n}}\right)\cdot {\frac {1}{n}}} 8346:{\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).} 7211:)<1+ε for any positive real number ε. This was proved by 1126:

The Hurwitz zeta function satisfies an identity which generalizes the

10302: 10054:

Schwinger, J. (1951), "On gauge invariance and vacuum polarization",

9705: 8265:{\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})} 7153:{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).} 10101:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), 9829: 9519: 9500: 2303:

This functional equation can be written as another equivalent form:

10195:. Lectures in advanced mathematics. Vol. 1. Chicago: Markham. 8369: 218: 9620: 233: 10210:"Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments" 9452: 195: 9914:. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 244. 9879:"Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa" 9453:

Kanemitsu, S.; Tanigawa, Y.; Tsukada, H.; Yoshimoto, M. (2007).

9435: 9433: 9644: 4240:

The partial derivative of the zeta in the second argument is a

2038:

is a rational number, Hurwitz's formula leads to the following

985:. Unlike the previous integral, this integral is valid for all 10294: 10183:(See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.) 1411:≤ 1. The Riemann zeta functional equation is the special case 10094: 9430: 5004:

for a similar relation on finite sums of powers of integers.

9814:(1985). "The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function". 5487:{\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma } 9216: 8525:{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .} 6809:. In the opposite direction we have the linear combination 5763: 9455:"Contributions to the theory of the Hurwitz zeta-function" 6619:

and vice versa: The Hurwitz zeta function coincides with

260:

The Hurwitz zeta function has an integral representation

5632:{\displaystyle \zeta (-n,a)=-{\frac {B_{n+1}(a)}{n+1}}.} 936:

counterclockwise around the positive real axis, and the

741:

The integral representation above can be converted to a

5506:

of the Hurwitz zeta function with respect to the order

9645:"Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe" 9408: 9406: 9279: 9139: 5887: 9273:"Einige Eigenschaften der Dirichlet'schen Functionen 9049: 8934: 8738: 8664: 8555: 8432: 8284: 8206: 8176: 8137: 8101: 8069: 7789: 7542: 7295: 7256: 7052: 6948: 6818: 6680: 6583: 6293: 6249: 6012: 5970: 5760: 5677: 5648: 5556: 5427: 5384: 5360: 5192: 5029: 4807: 4761: 4603: 4349: 4253: 4013: 3861: 3825: 3614: 3196: 2982: 2918: 2689: 2625: 2311: 2083: 2048: 2026: 1885: 1551: 1424: 1139: 1104: 1071: 1045: 1010: 949: 918: 754: 494: 449: 411: 269: 63: 8410: 6606: 5959: 1876:

to express the Hurwitz zeta function as an integral

485:.) The formula can be obtained, roughly, by writing 9403: 5945:{\textstyle \zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\log(2\pi ).} 9946: 9331: 9244: 9027: 8920: 8716: 8644: 8524: 8415:The Hurwitz zeta function with a positive integer 8345: 8264: 8189: 8159: 8123: 8087: 8052: 7769: 7522: 7278: 7152: 7029: 6925: 6790: 6635: = 1/2 it is equal to (2−1)ζ( 6595: 6542: 6264: 6232: 5991: 5944: 5870: 5720: 5660: 5631: 5486: 5409: 5366: 5343: 5172: 4981: 4783: 4744: 4583: 4325: 4224: 3989: 3844: 3788: 3562: 3179: 2901: 2600: 2285: 2066: 2000: 1834: 1531: 1392: 1110: 1083: 1057: 1031: 977: 924: 901: 727: 473: 435: 394: 142: 10017: 4930: 4895: 4715: 4688: 4529: 4494: 3953: 3940: 3749: 3736: 10313: 10214:Journal of Computational and Applied Mathematics 9506:Proceedings of the American Mathematical Society 5194: 1128:functional equation of the Riemann zeta function 1000:The contour integral representation provides an 10265: 9850: 9743: 9439: 9385: 10207: 5721:{\displaystyle \zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a.} 5497: 5183:In particular, the constant term is given by 3297: 3265: 738:and then interchanging the sum and integral. 7183:=1 the Hurwitz zeta function reduces to the 5016:expansion can be used to define generalized 3811:. The inner sum may be understood to be the 1937: 1931: 1872:. Another proof of the Hurwitz formula uses 474:{\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0.} 9605: 8717:{\displaystyle \zeta (s,a)=\Phi (1,s,a).\,} 2019:≤ 1) and then expanding the numerator as a 1542:Hurwitz's formula can also be expressed as 436:{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1} 188:. The Hurwitz zeta function is named after 10208:Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. (1998). 9985:Journal of the London Mathematical Society 9950:Journal of the London Mathematical Society 9902: 9744:Jacek Klinowski, Djurdje Cvijović (1999). 9137: 9131: 6890: 2248: 255: 10256: 10225: 10187: 10053: 10039: 9771: 9704: 9619: 9570: 9518: 9472: 9229: 9108: 9101: 9089: 9075: 9012: 8995: 8713: 8310: 8232: 7167:a natural number and 1 − 7125: 9863: 9861: 9859: 7040:of which a useful generalization is the 6663:) > 1 and 0 < 3584: 232: 217: 194: 10296:Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. 10234: 10173:, (1964) Dover Publications, New York. 10167:Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 10130: 10104:NIST Handbook of Mathematical Functions 10092: 9982: 9798: 9786: 9690: 9593: 9424: 9412: 9397: 9373: 9267: 8539:generalizes the Hurwitz zeta function. 3577:is positive integer greater than 2 and 237:Hurwitz zeta function as a function of 222:Hurwitz zeta function corresponding to 199:Hurwitz zeta function corresponding to 10314: 10136:Introduction to analytic number theory 9810: 9549: 5751:= 0 is related to the gamma function: 5410:{\displaystyle \psi =\Gamma '/\Gamma } 10295: 9876: 9856: 9642: 9559:Rocky Mountain Journal of Mathematics 9343:Zeitschrift für Mathematik und Physik 9870: 9495: 9451:See the references in Section 4 of: 6557:. Note that this latter form is the 5543:= 0, −1, −2, ... are related to the 5522: 5517: 3581:is complex, see e.g. Appendix B in. 1121: 9501:"Note on the Hurwitz Zeta-Function" 5992:{\displaystyle \vartheta (z,\tau )} 3799:This series converges uniformly on 2611: 13: 10170:Handbook of Mathematical Functions 8686: 8599: 8556: 7242: 7163:(This last form is valid whenever 6504: 6424: 6304: 6250: 6134: 6023: 5825: 5772: 5768: 5404: 5392: 5361: 5308: 5290: 5088: 4899: 4845: 4692: 4661: 4498: 4486: 4433: 4423: 4393: 4260: 4256: 4197: 4190: 4119: 4077: 3944: 3863: 3740: 3670: 3593:representation defined for (real) 3334: 3013: 2720: 2353: 2128: 1923: 1776: 1677: 1579: 1452: 1338: 1254: 1170: 779: 667: 652: 590: 544: 513: 481:(This integral can be viewed as a 322: 297: 101: 14: 10333: 10288: 9817:The American Mathematical Monthly 9442:, pp. 268–269, Section 13.15 8411:Special cases and generalizations 8396:, giving an exact result for the 6276:complex, but not an integer. For 5960:Relation to Jacobi theta function 5007: 2027:Functional equation for rational 9877:Lowry, David (8 February 2013). 4235: 10279:(4th ed.). Cambridge, UK: 10047: 10010: 9976: 9940: 9896: 9844: 9804: 9792: 9780: 9737: 9684: 9636: 9599: 9587: 9543: 9489: 9220: 9219: 8359: 6284:an integer, this simplifies to 5731: 16:Special function in mathematics 10107:, Cambridge University Press, 9555:"On the Hurwitz zeta-function" 9445: 9418: 9391: 9379: 9367: 9353: 9289: 9283: 9261: 9065: 9053: 8915: 8801: 8754: 8742: 8707: 8689: 8680: 8668: 8630: 8617: 8577: 8559: 8546:generalizes the Hurwitz zeta: 8513: 8495: 8471: 8461: 8455: 8449: 8444: 8438: 8337: 8321: 8301: 8295: 8259: 8243: 8223: 8217: 8154: 8148: 8118: 8112: 8026: 8011: 7948: 7933: 7851: 7841: 7752: 7737: 7632: 7619: 7611: 7602: 7587: 7577: 7505: 7490: 7397: 7384: 7376: 7361: 7346: 7336: 7273: 7267: 7144: 7129: 7109: 7083: 6968: 6962: 6887: 6881: 6834: 6822: 6782: 6770: 6764: 6758: 6732: 6726: 6704: 6684: 6596:{\displaystyle t\rightarrow 0} 6587: 6534: 6528: 6468: 6456: 6408: 6396: 6332: 6317: 6222: 6198: 6189: 6171: 6121: 6109: 6051: 6036: 5986: 5974: 5936: 5927: 5902: 5896: 5865: 5856: 5834: 5828: 5796: 5784: 5693: 5681: 5609: 5603: 5575: 5560: 5462: 5456: 5444: 5438: 5338: 5332: 5317: 5311: 5303: 5297: 5277: 5271: 5229: 5217: 5201: 5158: 5145: 5142: 5136: 5106: 5096: 5045: 5033: 4976: 4958: 4946: 4936: 4823: 4811: 4771: 4763: 4736: 4724: 4676: 4666: 4619: 4607: 4575: 4557: 4545: 4535: 4464: 4452: 4371: 4353: 4317: 4299: 4284: 4272: 4193: 4181: 4095: 4085: 4033: 4021: 3972: 3959: 3922: 3912: 3768: 3755: 3724: 3714: 3630: 3618: 3373: 3360: 3355: 3343: 3318: 3312: 3046: 3033: 3028: 3016: 2896: 2890: 2753: 2740: 2735: 2723: 2380: 2367: 2362: 2356: 2155: 2142: 2137: 2131: 1974: 1961: 1901: 1889: 1805: 1790: 1706: 1691: 1609: 1599: 1594: 1582: 1567: 1555: 1526: 1520: 1476: 1466: 1461: 1455: 1440: 1428: 1194: 1184: 1179: 1173: 1161: 1143: 1026: 1014: 960: 950: 838: 828: 794: 782: 770: 758: 702: 690: 568: 555: 522: 516: 510: 498: 462: 456: 424: 418: 306: 300: 285: 273: 125: 112: 79: 67: 1: 10227:10.1016/S0377-0427(98)00193-9 10086: 10041:10.1090/S0025-5718-99-01091-1 9773:10.1090/S0025-5718-99-01091-1 8407:in a uniform electric field. 8088:{\displaystyle 1\leq p\leq q} 2067:{\displaystyle 1\leq m\leq n} 192:, who introduced it in 1882. 31:. It is formally defined for 10193:Multiplicative number theory 9853:, p. 271, Section 13.21 9789:, p. 264, Theorem 12.13 9388:, p. 266, Section 13.13 8392:, it occurs in a formula by 8190:{\displaystyle \chi _{\nu }} 8167:are defined by means of the 6753: 210:plot using a version of the 7: 10276:A Course Of Modern Analysis 9851:Whittaker & Watson 1927 9596:, p. 261, Theorem 12.8 9440:Whittaker & Watson 1927 9427:, p. 259, Theorem 12.7 9415:, p. 257, Theorem 12.6 9400:, p. 255, Theorem 12.4 9386:Whittaker & Watson 1927 9376:, p. 251, Theorem 12.2 8160:{\displaystyle S_{\nu }(x)} 8124:{\displaystyle C_{\nu }(x)} 4002:forward difference operator 1032:{\displaystyle \zeta (s,a)} 10: 10338: 10281:Cambridge University Press 10020:Mathematics of Computation 9751:Mathematics of Computation 6265:{\displaystyle \Re s>0} 5504:discrete Fourier transform 5498:Discrete Fourier transform 1864:identity, or equivalently 978:{\displaystyle (-z)^{s-1}} 10249:10.1016/j.jnt.2009.08.005 9723:10.1007/s11075-007-9153-8 9650:Mathematische Zeitschrift 9630:10.1016/j.jnt.2014.08.009 9361:"Jupyter Notebook Viewer" 6801:the sum running over all 5020:that occur in the series 1874:Euler–Maclaurin summation 165:and can be extended to a 10237:Journal of Number Theory 9997:10.1112/jlms/s1-36.1.177 9963:10.1112/jlms/s1-11.3.181 9608:Journal of Number Theory 9572:10.1216/RMJ-1972-2-1-151 9255: 7279:{\displaystyle E_{n}(x)} 7174: 4992:which holds for integer 4784:{\displaystyle |q|<1} 2296:holds for all values of 1860:. A second proof uses a 206:. It is generated as a 157:for the given values of 10298:"Hurwitz Zeta Function" 10095:"Hurwitz zeta function" 10093:Apostol, T. M. (2010), 9460:Hardy-Ramanujan Journal 8728:Hypergeometric function 6621:Riemann's zeta function 5367:{\displaystyle \Gamma } 4794:Closely related is the 4004:. Thus, one may write: 3845:{\displaystyle a^{1-s}} 3601:≠ 1 was given by 3597:> 0 and any complex 1058:{\displaystyle s\neq 1} 256:Integral representation 10078:10.1103/PhysRev.82.664 9643:Hasse, Helmut (1930), 9333: 9246: 9029: 8922: 8718: 8646: 8603: 8526: 8347: 8266: 8191: 8161: 8125: 8089: 8054: 7886: 7771: 7673: 7524: 7432: 7280: 7154: 7079: 7031: 6994: 6938:multiplication theorem 6927: 6877: 6792: 6607:Relation to Dirichlet 6597: 6544: 6266: 6234: 5993: 5952:The formula is due to 5946: 5872: 5722: 5662: 5633: 5488: 5411: 5368: 5345: 5174: 5092: 4983: 4849: 4785: 4746: 4665: 4585: 4490: 4397: 4327: 4226: 4081: 3991: 3911: 3846: 3790: 3713: 3674: 3564: 3420: 3223: 3181: 2945: 2903: 2652: 2602: 2412: 2287: 2187: 2068: 2002: 1836: 1780: 1681: 1533: 1394: 1342: 1258: 1112: 1085: 1059: 1033: 979: 942:complex exponentiation 926: 903: 729: 656: 548: 475: 437: 396: 252: 230: 215: 144: 105: 9867:Davenport (1967) p.73 9614:. Elsevier: 537–592. 9474:10.46298/hrj.2007.159 9334: 9247: 9030: 8923: 8719: 8647: 8583: 8527: 8348: 8267: 8192: 8169:Legendre chi function 8162: 8126: 8090: 8055: 7866: 7772: 7653: 7525: 7412: 7281: 7185:Riemann zeta function 7155: 7053: 7042:distribution relation 7032: 6974: 6928: 6857: 6793: 6631: = 1, when 6617:Dirichlet L-functions 6598: 6555:Riemann zeta function 6545: 6267: 6235: 5994: 5947: 5873: 5723: 5663: 5634: 5545:Bernoulli polynomials 5512:Legendre chi function 5489: 5421:. As a special case, 5412: 5369: 5346: 5175: 5072: 4984: 4829: 4786: 4747: 4645: 4586: 4470: 4377: 4328: 4227: 4061: 3992: 3891: 3847: 3791: 3693: 3654: 3585:Series representation 3565: 3394: 3197: 3182: 2919: 2904: 2626: 2603: 2392: 2288: 2167: 2069: 2003: 1837: 1760: 1661: 1534: 1395: 1322: 1238: 1113: 1086: 1060: 1034: 1002:analytic continuation 980: 927: 904: 730: 636: 528: 476: 438: 397: 236: 221: 198: 178:Riemann zeta function 155:absolutely convergent 145: 85: 25:Hurwitz zeta function 10322:Zeta and L-functions 9693:Numerical Algorithms 9277: 9047: 8932: 8736: 8662: 8553: 8537:Barnes zeta function 8430: 8282: 8204: 8174: 8135: 8099: 8067: 7787: 7540: 7293: 7254: 7050: 6946: 6816: 6803:Dirichlet characters 6678: 6655: > 2, ( 6581: 6553:where ζ here is the 6291: 6247: 6010: 5968: 5885: 5758: 5675: 5646: 5554: 5425: 5382: 5358: 5190: 5027: 4805: 4759: 4601: 4347: 4251: 4011: 4000:where Δ is the 3859: 3823: 3612: 3194: 2916: 2623: 2309: 2081: 2046: 2015:) < 0 and 0 < 1883: 1870:Riemann's 1859 paper 1849:) < 0 and 0 < 1549: 1422: 1407:) > 1 and 0 < 1137: 1102: 1069: 1043: 1008: 947: 916: 752: 492: 447: 409: 267: 167:meromorphic function 61: 10070:1951PhRv...82..664S 10032:1999MaCom..68.1623C 9764:1999MaCom..68.1623C 9715:2008NuAlg..47..211V 9119: 8386:Zipf–Mandelbrot law 6559:functional equation 6308: 6027: 5661:{\displaystyle n=0} 5018:Stieltjes constants 5002:Faulhaber's formula 4340:can be written as: 2040:functional equation 1927: 1084:{\displaystyle s=1} 989:, and indeed is an 671: 594: 326: 27:is one of the many 10129:See chapter 12 of 10099:Olver, Frank W. J. 10026:(228): 1623–1630, 9758:(228): 1623–1631. 9663:10.1007/BF01194645 9329: 9242: 9208: 9074: 9025: 8918: 8714: 8642: 8544:Lerch transcendent 8522: 8421:polygamma function 8419:is related to the 8343: 8262: 8187: 8157: 8121: 8085: 8050: 7767: 7520: 7276: 7150: 7027: 6936:There is also the 6923: 6788: 6747: 6593: 6540: 6294: 6262: 6230: 6013: 5989: 5942: 5868: 5741:partial derivative 5718: 5658: 5629: 5484: 5407: 5364: 5341: 5208: 5170: 4979: 4781: 4742: 4581: 4323: 4222: 4220: 3987: 3842: 3817:forward difference 3786: 3560: 3177: 3002: 2899: 2709: 2598: 2283: 2064: 1998: 1910: 1832: 1529: 1390: 1108: 1081: 1055: 1029: 975: 922: 899: 725: 657: 580: 471: 433: 392: 312: 253: 231: 216: 140: 10189:Davenport, Harold 10145:978-0-387-90163-3 10114:978-0-521-19225-5 9904:Kubert, Daniel S. 9327: 9310: 9039:Meijer G-function 9002: 8986: 8640: 8518: 8374:dynamical systems 8039: 7992: 7961: 7914: 7828: 7765: 7721: 7651: 7568: 7518: 7474: 7410: 7327: 7249:Euler polynomials 7017: 6913: 6855: 6756: 6738: 6736: 6519: 6503: 6479: 6447: 6423: 6387: 6377: 6157: 6096: 5919: 5848: 5779: 5707: 5642:For example, the 5624: 5523:Negative integers 5518:Particular values 5321: 5251: 5193: 5124: 5067: 4928: 4885: 4713: 4640: 4527: 4447: 4418: 4267: 4200: 4170: 4116: 4059: 3951: 3747: 3691: 3652: 3553: 3513: 3454: 3392: 3253: 3165: 3121: 3083: 3062: 3001: 2968: 2872: 2828: 2790: 2769: 2708: 2675: 2586: 2561: 2531: 2497: 2471: 2438: 2390: 2340: 2271: 2241: 2217: 2165: 2112: 1990: 1957: 1866:Poisson summation 1825: 1754: 1726: 1655: 1625: 1511: 1486: 1380: 1293: 1204: 1122:Hurwitz's formula 1111:{\displaystyle 1} 925:{\displaystyle C} 891: 813: 723: 631: 578: 384: 310: 135: 10329: 10308: 10307: 10284: 10267:Whittaker, E. 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