12503:
11782:
12498:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\frac {1}{2}}&=2-2\ln 2\\H_{\frac {1}{3}}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {2}{3}}&={\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{4}}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {3}{4}}&={\frac {4}{3}}+{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{6}}&=6-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\pi -2\ln 2-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{8}}&=8-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi -4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right)\\H_{\frac {1}{12}}&=12-\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\pi -3\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln {3}+{\sqrt {3}}\ln \left(2-{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}
14188:
13646:
8048:
2337:
14183:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}
7615:
1991:
9926:
29:
3006:
3011:
11221:
12764:
8935:
13635:
8043:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\frac {1}{4}},2}&=16-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}-8G\\H_{{\frac {1}{2}},2}&=4-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\\H_{{\frac {3}{4}},2}&={\frac {16}{9}}-{\frac {5}{6}}\pi ^{2}+8G\\H_{{\frac {1}{4}},3}&=64-\pi ^{3}-27\zeta (3)\\H_{{\frac {1}{2}},3}&=8-6\zeta (3)\\H_{{\frac {3}{4}},3}&=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}+\pi ^{3}-27\zeta (3)\end{aligned}}}
3541:
2559:
13249:
2332:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}&={\frac {17}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}}
10835:
8458:
12529:
8635:
13264:
3303:
12776:
3869:
10724:
is not an integer then it is not possible to say whether this equation is true because we have not yet (in this section) defined harmonic numbers for non-integers. However, we do get a unique extension of the harmonic numbers to the non-integers by insisting that this equation continue to hold when
8229:
3001:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left\,du=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}(-u)^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}.\end{aligned}}}
8628:
11216:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}
7129:
12759:{\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}
10149:
8930:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x,2}&={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)\\H_{3x,2}&={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),\end{aligned}}}
13630:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}
11775:
293:
6398:
77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (sequence
3686:
3990:
5494:
10494:
5795:
7244:
6968:
380:
4242:
3536:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}}
13244:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left\\{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left\\{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left.\end{aligned}}}
10364:
9875:
7496:
6795:
5398:
8463:
11600:
3673:
1970:
9615:
1778:
9419:
8453:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x}&={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2\\H_{3x}&={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,\end{aligned}}}
6561:
3283:
6657:
13651:
13269:
12781:
11665:
10840:
2564:
9989:
6354:
2436:
6235:
5592:
2531:
6020:
9148:
5214:
11670:
11504:
3111:
6973:
4500:
10819:
4853:
14382:
Eisenstein, Ferdinand
Gotthold Max (1850). "Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen ahhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden".
7610:
10714:
11787:
8640:
8234:
7620:
3308:
1996:
8166:
183:
1849:
1649:
3181:
11406:
1485:
9705:
9044:
3882:
1565:
7283:
10217:
5403:
5308:
10375:
14820:
5686:
6459:
5918:
7140:
4575:
89:
9473:
6832:
307:
4151:
11267:
involves a division by zero. By this construction, the function that defines the harmonic number for complex values is the unique function that simultaneously satisfies (1)
5831:
10243:
9320:
8988:
127:
9752:
7377:
9186:
8204:
4646:
6673:
6148:
9273:
8964:
7525:
7346:
6060:
4882:
9743:
9501:
5864:
5682:
5321:
5240:
4362:
4329:
147:
10514:
7372:
6099:
9213:
5133:
5102:
5043:
5017:
4963:
4933:
4747:
4700:
57:
9224:
6270:
4092:
11516:
8082:
6827:
5075:
4990:
4770:
4389:
4296:
4269:
4146:
4119:
4033:
9906:
5153:
4720:
4062:
3864:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)}
3573:
435:
1854:
9909:
9506:
4906:
4666:
4599:
4409:
1654:
9325:
6475:
3214:
6566:
11607:
9885:
6292:
2353:
9232:
6157:
5510:
2446:
5948:
9061:
11427:
4414:
10742:
4775:
7534:
14817:
10641:
8087:
8623:{\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}
1783:
1572:
3134:
11353:
6406:
1420:
9620:
14729:
8995:
1496:
7124:{\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}
10165:
5256:
5158:
3036:
14806:
14366:
14233:
9424:
10144:{\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}}
9746:
1490:
14836:
14341:
14267:
9973:
9955:
9278:
9947:
20:
11770:{\displaystyle H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha }}\,.}
11513:
There are the following special analytic values for fractional arguments between 0 and 1, given by the integral
7249:
12508:
9951:
14208:
11415:
10237:
3293:
427:
408:
150:
10151:
are an integral and a series representation for a function that interpolates the harmonic numbers and, via
288:{\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
6416:
5872:
14228:
62:
4505:
5800:
5310:
This relation is also frequently used to define the extension of the harmonic numbers to non-integer
4302:
3997:
3985:{\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}
94:
14751:
14452:
14317:
Sondow, Jonathan and
Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
9936:
5489:{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}}
10489:{\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1}
9940:
9153:
8174:
4604:
485:
14893:
Ayhan Dil; István Mező (2008). "A Symmetric
Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers".
6111:
14980:
14746:
14476:
14447:
14238:
9246:
8940:
8219:
7501:
170:
14331:
7319:
6664:
5790:{\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy}
4858:
14223:
14218:
10517:
10152:
9710:
9480:
8967:
8207:
8055:
7528:
6287:
6027:
5836:
5636:
5219:
4334:
4308:
478:
412:
132:
10499:
7351:
7239:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}
403:
Harmonic numbers have been studied since antiquity and are important in various branches of
14737:
14600:
14302:
9191:
9047:
6963:{\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}}
6065:
5867:
5111:
5080:
5022:
4995:
4941:
4911:
4725:
4678:
4008:
The harmonic numbers have several interesting arithmetic properties. It is well-known that
3876:
3297:
455:
35:
14864:
375:{\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }
8:
14198:
10821:
Swapping the order of the two sides of this equation and then subtracting them from
8061:
7134:
6806:
6242:
5052:
4237:{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}
4071:
3567:
3209:
1415:
439:
14772:
14604:
4972:
4752:
14964:
14920:
14902:
14764:
14647:
14616:
14573:
14555:
14546:
Jeffrey
Lagarias (2002). "An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis".
10359:{\displaystyle H_{x,2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}
9891:
8979:
5504:
5138:
4705:
4367:
4274:
4247:
4124:
4097:
4011:
2441:
451:
14865:"A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers"
14855:
11235:
except the negative integers, which fail because trying to use the recursion relation
9870:{\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {(-1)^{j-1}}{j^{k}}},}
14940:
14802:
14727:
14706:
14701:
14665:
14620:
14419:
14402:
14362:
14337:
14263:
9884:
In fact, these numbers were defined in a more general manner using Roman numbers and
7491:{\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}}
4041:
3680:
3555:
3121:
3015:
473:-th harmonic number. This leads to a variety of surprising conclusions regarding the
423:
14943:
14924:
14912:
14879:
14851:
14756:
14696:
14657:
14608:
14565:
14528:
14519:
Chen, Yong-Gao; Wu, Bing-Ling (2017). "On certain properties of harmonic numbers".
14501:
14491:
14461:
14457:
14414:
14318:
10160:
6790:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0.}
6462:
5623:
5500:
5251:
4891:
4651:
4584:
4394:
4065:
447:
416:
14684:
14824:
11226:
9240:
9236:
6466:
5105:
5046:
4669:
4578:
14435:
5393:{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},}
14635:
10540:
10155:, extends the definition to the complex plane other than the negative integers
8983:
4036:
1982:
There are several infinite summations involving harmonic numbers and powers of
431:
177:
14916:
14661:
14612:
14532:
14496:
1780:
These two results are closely analogous to the corresponding integral results
14974:
14710:
14669:
14203:
13254:
10369:
9243:
with logarithms. There are many possible definitions, but one of them, for
7286:
5108:, while Bing-Ling Wu and Yong-Gao Chen proved that the number of elements of
462:
443:
404:
385:
11595:{\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}
14790:
14213:
9878:
9228:
14832:
5250:
The harmonic numbers appear in several calculation formulas, such as the
3668:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}
3030:
158:
16:
Sum of the first n whole number reciprocals; 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
14560:
14505:
6286:, with the generalized harmonic number bounded by and converging to the
1965:{\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.}
14960:
14768:
14577:
9610:{\displaystyle c_{n}^{(k+1)}-{\frac {c_{n}^{(k)}}{n}}=c_{n-1}^{(k+1)}.}
8210:. This relationship is used to calculate harmonic numbers numerically.
4992:
and that there are infinitely many harmonic primes. Boyd verified that
4966:
1773:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.}
14591:
E.O. Tuck (1964). "Some methods for flows past blunt slender bodies".
9414:{\displaystyle c_{n}^{(k+1)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}^{(k)}}{i}}.}
14948:
8223:
6556:{\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}}
5045:
except 83, 127, and 397; and he gave a heuristic suggesting that the
3278:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,}
474:
14760:
14569:
9925:
14652:
3129:
14907:
14884:
14728:
Arthur T. Benjamin; Gregory O. Preston; Jennifer J. Quinn (2002).
14336:, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, p. 206,
6652:{\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}
3014:
Graph demonstrating a connection between harmonic numbers and the
28:
11660:{\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,}
10623:. Furthermore, this approximation is exact in the limit as
6378:) nor the denominator of alternating generalized harmonic number
5595:
3010:
14837:"Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities"
10159:. The interpolating function is in fact closely related to the
9915:
6366:
does not divide the denominator of generalized harmonic number
4391:. Furthermore, Eisenstein proved that for all odd prime number
6349:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}
2431:{\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}
14301:
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994).
12773:
Some derivatives of fractional harmonic numbers are given by
10496:
which comes from the Taylor series for the digamma function (
2347:
6230:{\displaystyle H_{n,1}=H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
14959:
This article incorporates material from
Harmonic number on
14436:"A p-adic study of the partial sums of the harmonic series"
6401:
5587:{\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},}
2526:{\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}
11604:
More values may be generated from the recurrence relation
11508:
9908:. This generalization was useful in their study to define
6803:
can be written as a function of harmonic numbers of order
6015:{\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}
5314:. The harmonic numbers are also frequently used to define
5049:
of the harmonic primes in the set of all primes should be
9143:{\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}
5209:{\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}}
4064:, a result often attributed to Taeisinger. Indeed, using
14938:
14361:. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. p. 3115.
12768:
11499:{\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!).}
5866:, and the corresponding eigenfunctions are given by the
3106:{\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}
1409:
4495:{\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}}
1983:
396:
times the reciprocal of the harmonic mean of the first
12511:, which essentially states that for positive integers
10814:{\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left=0\,.}
10566:. Use that as an approximation for the value of
10523:
7660:
6245:
6068:
6030:
4894:
4848:{\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}}
4654:
4587:
4508:
4397:
4370:
4277:
4250:
4127:
4100:
4074:
4044:
4014:
13649:
13267:
12779:
12532:
11785:
11673:
11610:
11519:
11430:
11356:
10838:
10745:
10644:
10502:
10378:
10246:
10168:
9992:
9894:
9755:
9713:
9623:
9509:
9483:
9427:
9328:
9281:
9249:
9194:
9156:
9064:
8998:
8943:
8638:
8466:
8232:
8177:
8090:
8064:
7618:
7605:{\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}.}
7537:
7504:
7380:
7354:
7322:
7252:
7143:
6976:
6835:
6809:
6676:
6569:
6478:
6419:
6295:
6160:
6114:
5951:
5875:
5839:
5803:
5689:
5639:
5513:
5406:
5324:
5259:
5222:
5161:
5141:
5114:
5083:
5055:
5025:
4998:
4975:
4944:
4914:
4861:
4778:
4755:
4728:
4708:
4681:
4607:
4417:
4337:
4311:
4154:
3885:
3689:
3576:
3306:
3217:
3137:
3039:
2562:
2449:
2356:
1994:
1857:
1786:
1657:
1575:
1499:
1423:
310:
186:
135:
97:
65:
38:
14892:
14300:
10709:{\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left=0.}
10240:. The integration process may be repeated to obtain
7311:
fractional argument for generalized harmonic numbers
3879:. The exponential integral may also be expressed as
3128:. The reason is that the sum is approximated by the
2440:
The equality above is straightforward by the simple
6472:Some integrals of generalized harmonic numbers are
6465:; the harmonic numbers also appear in the study of
1569:The harmonic numbers satisfy the series identities
1389:
2 078 178 381 193 813
1367:
2 066 035 355 155 033
1345:
2 053 580 969 474 233
1323:
2 040 798 836 801 833
14801:(Third ed.). Addison-Wesley. pp. 75–79.
14400:
14234:False discovery rate#Benjamini–Yekutieli procedure
14182:
13629:
13243:
12758:
12497:
11769:
11659:
11594:
11498:
11400:
11215:
10813:
10708:
10508:
10488:
10358:
10211:
10143:
9900:
9869:
9737:
9699:
9609:
9495:
9467:
9413:
9314:
9267:
9207:
9180:
9142:
9038:
8958:
8929:
8622:
8452:
8198:
8161:{\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1),}
8160:
8076:
8042:
7604:
7519:
7490:
7374:integer or not, we have from polygamma functions:
7366:
7340:
7277:
7238:
7123:
6962:
6821:
6789:
6651:
6555:
6453:
6348:
6264:
6229:
6142:
6093:
6054:
6014:
5912:
5858:
5825:
5789:
5676:
5586:
5488:
5392:
5302:
5234:
5208:
5147:
5127:
5096:
5069:
5037:
5011:
4984:
4957:
4927:
4900:
4876:
4847:
4764:
4741:
4714:
4694:
4660:
4640:
4593:
4569:
4494:
4403:
4383:
4356:
4323:
4290:
4263:
4236:
4140:
4113:
4086:
4056:
4027:
3984:
3863:
3667:
3535:
3277:
3175:
3105:
3000:
2525:
2430:
2331:
1964:
1843:
1772:
1643:
1559:
1479:
461:When the value of a large quantity of items has a
374:
287:
141:
121:
83:
51:
14285:
13639:For fractional arguments between 0 and 1 and for
10612:times, to unwind it to an approximation for
10337:
10324:
10101:
10088:
9817:
9804:
2951:
2938:
2851:
2838:
2768:
2755:
1844:{\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x}
1644:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}
14972:
14965:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
14545:
14401:Eswarathasan, Arulappah; Levine, Eugene (1991).
14319:http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
14262:(3rd ed.). Addison-Wesley. pp. 75–79.
11074:
10945:
10861:
10747:
10731:is replaced by an arbitrary complex number
10646:
6297:
5414:
5332:
3219:
3176:{\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}
1414:By definition, the harmonic numbers satisfy the
14818:How Euler Did It — Estimating the Basel problem
11401:{\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma ,}
5928:
1480:{\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.}
14831:
9700:{\displaystyle c_{n}^{(k)}=n!(-1)^{k}s(-n,k),}
6024:(In some sources, this may also be denoted by
4938:Eswarathasan and Levine also conjectured that
14477:"On the p-adic valuation of harmonic numbers"
430:grows without limit, albeit slowly. In 1737,
422:The harmonic numbers roughly approximate the
14862:
14789:
14730:"A Stirling Encounter with Harmonic Numbers"
12604:
12583:
9916:Harmonic numbers for real and complex values
4829:
4779:
4203:
4178:
3120:th harmonic number is about as large as the
1392:/485 721 041 551 200
1370:/485 721 041 551 200
1348:/485 721 041 551 200
1326:/485 721 041 551 200
1216:/144 403 552 893 600
450:in 1859, leading directly to the celebrated
78:
72:
14793:(1997). "Section 1.2.7: Harmonic Numbers".
14294:
14281:
14279:
11350:This last formula can be used to show that
9954:. Unsourced material may be challenged and
9749:generalized to negative first argument, and
9039:{\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}
6799:Every generalized harmonic number of order
5633:The eigenvalues of the nonlocal problem on
1560:{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left.}
1304:/13 127 595 717 600
1282:/13 127 595 717 600
1260:/13 127 595 717 600
1238:/13 127 595 717 600
1213:586 061 125 622 639
1194:/72 201 776 446 800
1191:290 774 257 297 357
495:, the harmonic numbers are never integers.
469:most-valuable items is proportional to the
415:, and appear in the expressions of various
304:, the sequence of harmonic numbers begins:
14384:Berichte Königl. Preuβ. Akad. Wiss. Berlin
14381:
11308:except the non-positive integers, and (3)
10444:
8632:For generalized harmonic numbers, we have
8213:
7299:. The generating function given above for
7278:{\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}
6154:= 1 reduces to the usual harmonic number:
4121:is an odd number while the denominator of
1489:The harmonic numbers are connected to the
1301:54 801 925 434 709
1279:54 437 269 998 109
1257:54 062 195 834 749
1235:53 676 090 078 349
1172:/2 329 089 562 800
1150:/2 329 089 562 800
14906:
14883:
14750:
14700:
14685:"Formal power series of logarithmic type"
14683:Loeb, Daniel E; Rota, Gian-Carlo (1989).
14651:
14590:
14559:
14495:
14451:
14418:
14356:
14286:John H., Conway; Richard K., Guy (1995).
13995:
13829:
11763:
11653:
11588:
11581:
11456:
11382:
11205:
10807:
10212:{\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,}
10054:
9974:Learn how and when to remove this message
9218:
8978:The next generalization was discussed by
6601:
6510:
5780:
5303:{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}
4675:In 1991, Eswarathasan and Levine defined
3163:
2897:
2804:
2694:
2632:
2418:
1974:
1169:9 304 682 830 147
1147:9 227 046 511 387
14682:
14329:
14276:
10549:, it is effective to first compute
8973:
7137:for the generalized harmonic numbers is
4068:, it is not difficult to prove that for
4003:
3683:. An exponential generating function is
3009:
27:
14872:The Electronic Journal of Combinatorics
14359:CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
11509:Special values for fractional arguments
11229:converges for all complex numbers
10632:Specifically, for a fixed integer
3561:
14973:
14636:"The Roman harmonic numbers revisited"
14518:
9239:in the context of a generalization of
7531:. The relevant recurrence relation is
5019:is finite for all prime numbers up to
14939:
14633:
14474:
14257:
12769:Relation to the Riemann zeta function
1410:Identities involving harmonic numbers
465:distribution, the total value of the
91:(red line) with its asymptotic limit
14433:
9952:adding citations to reliable sources
9919:
6454:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}
5913:{\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}
5507:is equivalent to the statement that
5318:using the limit introduced earlier:
4702:as the set of all positive integers
2346:An integral representation given by
407:. They are sometimes loosely termed
384:Harmonic numbers are related to the
14895:Applied Mathematics and Computation
11418:or, more generally, for every
10524:Alternative, asymptotic formulation
9888:, that include negative values for
8222:applies to harmonic numbers. Using
7306:is a special case of this formula.
4570:{\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}
4484:
4148:is an even number. More precisely,
3208:decrease monotonically towards the
84:{\displaystyle n=\lfloor x\rfloor }
13:
13532:
13406:
13305:
11173:
11084:
10955:
10871:
10757:
10656:
10581:. Then use the recursion relation
10408:
10328:
10282:
10092:
10080:
9808:
9747:Stirling numbers of the first kind
9468:{\displaystyle c_{n}^{(1)}=H_{n}.}
7449:
7160:
6307:
5923:
5424:
5342:
3946:
3906:
3772:
3706:
3593:
3382:
3229:
2942:
2842:
2759:
2272:
2177:
2096:
2015:
1533:
1491:Stirling numbers of the first kind
488:implies that, except for the case
14:
14992:
14932:
11260:backwards through the value
10528:When seeking to approximate
1128:/80 313 433 200
1125:315 404 588 903
1106:/80 313 433 200
1103:312 536 252 003
442:. His work was extended into the
436:divergence of the harmonic series
11667:or from the reflection relation
9924:
9188:is the ordinary harmonic number
1084:/8 923 714 800
1081:34 395 742 267
1062:/8 923 714 800
1059:34 052 522 467
21:Harmonic number (disambiguation)
14795:The Art of Computer Programming
14676:
14627:
14584:
14539:
14512:
14468:
14260:The Art of Computer Programming
10461:
5826:{\displaystyle \lambda =2H_{n}}
5245:
4749:is divisible by a prime number
4477:
1037:1 347 822 955
14963:, which is licensed under the
14462:10.1080/10586458.1994.10504298
14427:
14394:
14375:
14350:
14323:
14311:
14251:
14159:
14153:
14119:
14113:
14079:
14073:
14046:
14040:
13958:
13952:
13926:
13920:
13894:
13888:
13869:
13863:
13792:
13786:
13760:
13754:
13728:
13722:
13703:
13697:
13617:
13605:
13589:
13577:
13574:
13562:
13547:
13537:
13476:
13464:
13448:
13436:
13421:
13411:
13360:
13348:
13320:
13310:
13201:
13189:
13175:
13163:
13138:
13128:
13037:
13025:
13011:
12999:
12984:
12974:
12883:
12871:
12842:
12832:
11725:
11716:
11490:
11481:
11199:
11187:
11081:
10952:
10926:
10894:
10868:
10754:
10653:
10476:
10468:
10441:
10435:
10423:
10413:
10300:
10290:
10197:
10185:
10120:
10110:
9836:
9826:
9772:
9766:
9732:
9717:
9691:
9676:
9664:
9654:
9640:
9634:
9599:
9587:
9558:
9552:
9532:
9520:
9444:
9438:
9398:
9392:
9351:
9339:
9315:{\displaystyle c_{n}^{(0)}=1,}
9298:
9292:
9173:
9167:
9132:
9120:
9081:
9075:
9015:
9009:
8953:
8947:
8829:
8823:
8693:
8687:
8193:
8181:
8152:
8134:
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8113:
8033:
8027:
7943:
7937:
7888:
7882:
7514:
7508:
7476:
7460:
7417:
7411:
7313:can be introduced as follows:
7272:
7266:
7216:
7210:
6922:
6910:
6729:
6717:
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2960:
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1910:
1886:
1873:
1745:
1730:
1709:
1697:
1622:
1610:
499:The first 40 harmonic numbers
438:to provide a new proof of the
122:{\displaystyle \gamma +\ln(x)}
116:
110:
1:
14856:10.1016/s0196-8858(03)00016-2
14835:; Schneider, Carsten (2003).
14721:
11302:for all complex numbers
10230:is the digamma function, and
456:distribution of prime numbers
411:, are closely related to the
14702:10.1016/0001-8708(89)90079-0
14420:10.1016/0012-365X(90)90234-9
14330:Sandifer, C. Edward (2007),
11341:for all complex values
10560:for some large integer
10372:for the harmonic numbers is
9058:) is defined recursively as
6358:The smallest natural number
5929:Generalized harmonic numbers
4581:, with the consequence that
3570:for the harmonic numbers is
392:-th harmonic number is also
7:
14357:Weisstein, Eric W. (2003).
14229:List of sums of reciprocals
14192:
10725:the arbitrary integer
9181:{\displaystyle H_{n}^{(1)}}
8199:{\displaystyle \zeta (m,n)}
8058:. In the special case that
5939:generalized harmonic number
4722:such that the numerator of
4641:{\displaystyle H_{(p-1)/2}}
3193:The values of the sequence
479:the theory of network value
10:
14997:
14403:"p-integral harmonic sums"
14209:Coupon collector's problem
9986:The formulae given above,
6143:{\displaystyle H_{n,0}=n.}
5604:with strict inequality if
1397:
1375:
1353:
1331:
1309:
1287:
1265:
1243:
1221:
1199:
1177:
1155:
1133:
1111:
1089:
1067:
1045:
1023:
1001:
979:
957:
935:
913:
891:
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737:
715:
693:
671:
649:
627:
605:
583:
561:
539:
486:Bertrand-Chebyshev theorem
424:natural logarithm function
18:
14917:10.1016/j.amc.2008.10.013
14662:10.1016/j.jnt.2017.05.009
14613:10.1017/S0022112064000453
14533:10.1016/j.jnt.2016.11.027
14497:10.1016/j.jnt.2016.02.020
11416:Euler–Mascheroni constant
10238:Euler–Mascheroni constant
9268:{\displaystyle n,k\geq 0}
8959:{\displaystyle \zeta (n)}
7520:{\displaystyle \zeta (m)}
4601:divides the numerator of
3998:incomplete gamma function
3294:Euler–Mascheroni constant
2545:, another expression for
533:
519:
508:
503:
440:infinity of prime numbers
151:Euler–Mascheroni constant
14640:Journal of Number Theory
14521:Journal of Number Theory
14484:Journal of Number Theory
14440:Experimental Mathematics
14244:
9617:Closed form formulas are
7341:{\displaystyle p,q>0}
6055:{\textstyle H_{n}^{(m)}}
5496:converges more quickly.
4935:has exactly 3 elements.
4877:{\displaystyle p\geq 5,}
3029:can be interpreted as a
1040:/356 948 592
1018:/118 982 864
426:and thus the associated
14689:Advances in Mathematics
14434:Boyd, David W. (1994).
12509:Gauss's digamma theorem
12507:Which are computed via
9738:{\displaystyle s(-n,k)}
9496:{\displaystyle n\neq 0}
8214:Multiplication formulas
7612:Some special values are
6461:occurs in the study of
5859:{\displaystyle H_{0}=0}
5677:{\displaystyle L^{2}()}
5235:{\displaystyle x\geq 1}
4357:{\displaystyle H_{p-1}}
4324:{\displaystyle p\geq 5}
4305:, for any prime number
4244:with some odd integers
2535:Using the substitution
1015:444 316 699
952:/15 519 504
930:/77 597 520
927:275 295 799
886:/12 252 240
520:expressed as a fraction
142:{\displaystyle \gamma }
14799:Fundamental Algorithms
14258:Knuth, Donald (1997).
14239:Block-stacking problem
14184:
13631:
13536:
13410:
13309:
13245:
12760:
12608:
12499:
11771:
11661:
11596:
11500:
11402:
11217:
11177:
11109:
11034:
10990:
10815:
10710:
10638:, it is the case that
10510:
10509:{\displaystyle \zeta }
10490:
10412:
10360:
10286:
10213:
10145:
10084:
9902:
9871:
9800:
9739:
9701:
9611:
9497:
9469:
9415:
9379:
9316:
9269:
9225:Roman Harmonic numbers
9219:Roman Harmonic numbers
9209:
9182:
9144:
9109:
9040:
8960:
8931:
8624:
8454:
8220:multiplication theorem
8200:
8162:
8078:
8044:
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7521:
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7367:{\displaystyle m>1}
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6697:
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6266:
6231:
6213:
6144:
6095:
6094:{\textstyle H_{m}(n).}
6056:
6016:
5991:
5914:
5860:
5833:, where by convention
5827:
5791:
5678:
5588:
5490:
5394:
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5013:
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4959:
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4902:
4878:
4855:for all prime numbers
4849:
4766:
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4716:
4696:
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4642:
4595:
4571:
4496:
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4385:
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4303:Wolstenholme's theorem
4292:
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4058:
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3177:
3113:
3107:
3018:. The harmonic number
3002:
2934:
2834:
2751:
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2432:
2333:
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2019:
1966:
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1774:
1678:
1645:
1596:
1561:
1481:
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993:19 093 197
974:/5 173 168
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949:55 835 135
908:/4 084 080
905:14 274 301
883:42 142 223
376:
289:
271:
154:
143:
123:
85:
53:
14863:Wenchang Chu (2004).
14475:Sanna, Carlo (2016).
14224:Riemann zeta function
14219:100 prisoners problem
14185:
13632:
13516:
13390:
13289:
13246:
12761:
12567:
12500:
11772:
11662:
11597:
11501:
11403:
11218:
11157:
11089:
11014:
10970:
10816:
10711:
10518:Riemann zeta function
10511:
10491:
10392:
10361:
10266:
10214:
10153:analytic continuation
10146:
10064:
9903:
9872:
9780:
9740:
9702:
9612:
9498:
9470:
9416:
9359:
9317:
9270:
9231:, were introduced by
9210:
9208:{\displaystyle H_{n}}
9183:
9145:
9089:
9041:
8974:Hyperharmonic numbers
8968:Riemann zeta function
8961:
8932:
8625:
8455:
8226:functions, we obtain
8208:Hurwitz zeta function
8201:
8163:
8079:
8045:
7607:
7529:Riemann zeta function
7522:
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7241:
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6420:
6351:
6288:Riemann zeta function
6267:
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5237:
5211:
5150:
5130:
5128:{\displaystyle J_{p}}
5099:
5097:{\displaystyle J_{p}}
5072:
5040:
5038:{\displaystyle p=547}
5014:
5012:{\displaystyle J_{p}}
4987:
4960:
4958:{\displaystyle J_{p}}
4930:
4928:{\displaystyle J_{p}}
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4879:
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4744:
4742:{\displaystyle H_{n}}
4717:
4697:
4695:{\displaystyle J_{p}}
4663:
4643:
4596:
4572:
4497:
4406:
4386:
4359:
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4293:
4266:
4239:
4143:
4116:
4089:
4059:
4030:
4004:Arithmetic properties
3987:
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3670:
3577:
3538:
3366:
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3108:
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3003:
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2814:
2731:
2528:
2433:
2334:
2256:
2161:
2080:
1999:
1975:Identities involving
1967:
1846:
1775:
1658:
1646:
1576:
1562:
1482:
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817:1 171 733
795:1 145 993
413:Riemann zeta function
377:
290:
251:
144:
124:
86:
54:
52:{\displaystyle H_{n}}
31:
14738:Mathematics Magazine
14407:Discrete Mathematics
14304:Concrete Mathematics
13647:
13265:
12777:
12530:
11783:
11671:
11608:
11517:
11428:
11354:
10836:
10743:
10642:
10500:
10376:
10244:
10166:
9990:
9948:improve this section
9892:
9753:
9711:
9621:
9507:
9481:
9425:
9326:
9279:
9247:
9192:
9154:
9062:
9048:hyperharmonic number
8996:
8941:
8636:
8464:
8460:or, more generally,
8230:
8175:
8088:
8062:
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7535:
7502:
7378:
7352:
7320:
7250:
7141:
6974:
6970: for example:
6833:
6807:
6674:
6567:
6476:
6417:
6293:
6265:{\textstyle H_{n,m}}
6243:
6158:
6112:
6066:
6028:
5949:
5873:
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5837:
5801:
5687:
5637:
5511:
5404:
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5257:
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5159:
5139:
5112:
5081:
5077:. Sanna showed that
5053:
5023:
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4973:
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4912:
4892:
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4585:
4506:
4415:
4395:
4368:
4335:
4309:
4301:As a consequence of
4275:
4248:
4152:
4125:
4098:
4087:{\textstyle n\geq 2}
4072:
4042:
4012:
3883:
3877:exponential integral
3687:
3574:
3562:Generating functions
3304:
3298:asymptotic expansion
3296:. The corresponding
3215:
3135:
3037:
2560:
2447:
2354:
1992:
1855:
1784:
1655:
1573:
1497:
1421:
308:
184:
133:
95:
63:
36:
32:The harmonic number
19:For other uses, see
14605:1964JFM....18..619T
14548:Amer. Math. Monthly
14288:The book of numbers
14199:Watterson estimator
11547:
11445:
11371:
10020:
9910:Harmonic logarithms
9877:which was found by
9776:
9644:
9603:
9562:
9536:
9448:
9402:
9355:
9302:
9177:
9136:
9085:
9019:
8989:The Book of Numbers
8986:in their 1995 book
8077:{\displaystyle p=1}
7135:generating function
6822:{\displaystyle m-1}
6584:
6493:
6051:
5725:
5624:sum of the divisors
5070:{\displaystyle 1/e}
3568:generating function
3152:
3060:
2871:
2725:
2656:
2598:
2384:
2198:
2117:
1872:
1801:
1726:
1693:
1416:recurrence relation
500:
400:positive integers.
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