5363:
4814:
4865:
4377:
4368:
5358:{\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{5}=n\right)&={n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left({p}^{3}+3\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)\right)+\\&+{n-1 \choose n-4}{q}^{n-4}\left(3\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)^{2}+4\,p\,\left(1-p-q\right)^{3}\right)+\\&+{n-1 \choose n-5}{q}^{n-5}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{4}+\left(1-p-q\right)^{5}\right)\end{aligned}}}
4048:
4809:{\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{4}=n\right)&={n-1 \choose n-2}{q}^{n-2}{p}^{2}+\\&+{n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left(2\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)+3\,p\,\left(1-p-q\right)^{2}\right)+\\&+{n-1 \choose n-4}{q}^{n-4}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{3}+\left(1-p-q\right)^{4}\right)\end{aligned}}}
3530:
1334:
5519:
Once the sum of the shot values equals the par of the hole, that is the number of strokes needed for the hole. It is clear that with this setup, a birdie is not possible. After all, the smallest number of strokes one can get is the par of the hole. Hardy (1945) probably realized that too and then
65:
30:
3715:
1518:
2447:
524:
2629:
705:
4363:{\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{3}=n\right)&={n-1 \choose n-2}{q}^{n-2}\left({p}^{2}+2\,p\,\left(1-p-q\right)\right)+\\&+{n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{2}+\left(1-p-q\right)^{3}\right)\end{aligned}}}
1129:
6007:). Such effects cannot really be ruled out. One way around this problem is to use multiple players who can be assumed to have approximately the same golf proficiency. Such players are the participants in professional golf tournaments (see
3881:
1679:
2001:
Once the sum of the values is greater than or equal to the value of the par of the hole, the number of strokes in question is equal to the score achieved on that hole. A birdie on a par three could then have come about in three ways:
3346:
2796:
1150:
867:
4019:
1816:
2932:
1002:
3193:
3544:
1347:
3064:
85:= 0.10. The blue points represent the probabilities for a par three, the green points for a par four and the red points for a par five. The cumulative probability density (CDF) is discontinuous at the integers of
5999:) to check whether the Hardy distribution applies or not. This can be done with a single individual by having the individual play the same hole multiple times. Goodness-of-fit tests assume pure replications (see
6011:). Before using a goodness-of-fit test, it should first be checked that the participants indeed have approximately the same golf proficiency. This can be done separately for each hole by using, for example, the
6027:) from zero. This can be easily tested statistically. In a study by van der Ven, the results of a goodness-of-fit test of the Hardy distribution were reported using the hole-by-hole scores from the
4870:
4382:
4053:
2271:
348:
2461:
537:
5895:-values for holes 1-18 for rounds 1 and 2 of the 2012 British Open Championship. The mean values were equal to 0.0633 and 0.0697, respectively. Later Cohen (2002) introduced the idea that
139:
50:= 0.10. The blue points represent the probabilities for a par three, the green points for a par four and the red points for a par five The function is defined only at integer values of
5818:. Hardy came up with the idea of three types of shots in 1945, but the actual derivation of the probability distribution of the hole score was not given until 2012 by van der Ven.
322:
5851:
Hardy's model is very simple in that all strokes are independent from each other and the probability of producing a good shot is equal to the probability of producing a bad shot.
6003:). This means that there should be no change in the player's golfing ability during repeated play of the hole. For example, there should not be an ongoing learning process (see
279:
3331:
2979:
235:
191:
3293:
3253:
5449:
5407:
4858:
2153:
2111:
1015:
1839:
that expresses the probability of the hole score for a given golf player. It is based on Hardy's (Hardy, 1945) basic assumption that there are three types of shots:
3729:
1527:
5723:
2180:
1993:
3525:{\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}+{\frac {1}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}}
1329:{\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}+{\frac {1}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}}
5845:
5816:
5790:
5764:
5691:
5645:
5599:
5570:
5544:
5514:
1918:
1892:
1866:
2069:
2046:
2023:
5981:
5961:
5933:
5913:
5893:
5873:
5665:
5619:
5488:
3213:
3084:
2643:
2260:
2240:
2220:
1961:
1941:
714:
3890:
1687:
2805:
875:
3097:
3710:{\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}}
1513:{\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}}
2992:
6047:
frequencies according to the Hardy distribution. The fit between observed and expected frequencies was generally very satisfactory.
5855:
In retrospect, Hardy might well have been right, as the data in Table 2 in van der Ven (2013) show. This table shows the estimated
6023:) between the score achieved on Day 1 on a hole and the score achieved on Day 2 on that hole will not differ significantly (see
6216:
van der Ven, A.H.G.S. (2013). "Applying the Hardy
Distribution to the Hole Scores of the 2012 British Open Championship".
5939:
Cohen takes another step forward and includes the possibility that the probability of good shots and bad shots can differ.
2442:{\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m+1}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}
519:{\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m+1}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}
6015:
between the hole score on the first day and the second day of a tournament. If there are no systematic differences (see
2624:{\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}
700:{\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}
6249:
6121:
1836:
100:
6012:
1998:
a value of 2 to a good stroke, a value of 0 to a bad stroke and a value of 1 to a regular or ordinary stroke.
5467:
of the number of strokes on a hole, the simplest setup is to assume that there are only two types of strokes:
6036:
292:
5821:
Hardy assumed that the probability of a good stroke was equal to the probability of a bad stroke, namely
6177:"Brilliance or steadiness? A suggestion of an alternative model to Hardy's model concerning golf (1945)"
4032:
3338:
1135:
5995:
of a single player's hole score. It takes several observations to perform a goodness-of-fit test (see
2263:
333:
240:
6024:
6000:
5992:
5460:
3298:
2946:
89:
and flat everywhere else because a variable that is Hardy distributed takes on only integer values.
196:
152:
3266:
3226:
1124:{\displaystyle \,-\,\sum _{j=1}^{m}{\frac {\left(m+1-j\right)\,{p}^{j-1}}{\left(q-1\right)^{j}}}}
5412:
5370:
4821:
2116:
2074:
6028:
5464:
3876:{\displaystyle X_{\it {jm}}\,=\,{j-1 \choose 2\,j-m-1}{p}^{m+1-j}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m-1}}
1674:{\displaystyle X_{\it {jm}}\,=\,{j-1 \choose 2\,j-m-1}{p}^{m+1-j}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m-1}}
6016:
285:
145:
6032:
5996:
5696:
2158:
1966:
2791:{\displaystyle A_{j,m}\,=\,{j-1 \choose 2\,j-m-1}{p}^{m-j+1}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m-1}}
862:{\displaystyle A_{j,m}\,=\,{j-1 \choose 2\,j-m-1}{p}^{m-j+1}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m-1}}
8:
5824:
5795:
5769:
5743:
5670:
5624:
5578:
5549:
5523:
5493:
1897:
1871:
1845:
4014:{\displaystyle Y_{\it {jm}}\,=\,{j \choose 2\,j-m}{p}^{-j+m}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m}}
2051:
2028:
2005:
1811:{\displaystyle Y_{\it {jm}}\,=\,{j \choose 2\,j-m}{p}^{-j+m}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m}}
6198:
6154:
6086:
5966:
5946:
5918:
5898:
5878:
5858:
5650:
5604:
5473:
3198:
3069:
2245:
2225:
2205:
1946:
1926:
1824:
6104:
Minton, R. B. (2010). "G. H. Hardy's
Golfing Adventure". In Gallian, Joseph A. (ed.).
6202:
6158:
6137:
van der Ven, A.H.G.S. (2012). "The Hardy distribution for golf hole-by-hole scores".
6117:
5520:
came up with the idea not to assume that there were just two types of strokes: good
6225:
6188:
6146:
6109:
6078:
2927:{\displaystyle B_{j,m}\,=\,{j \choose 2\,j-m}{p}^{m-j}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m}}
997:{\displaystyle B_{j,m}\,=\,{j \choose 2\,j-m}{p}^{m-j}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m}}
2196:
325:
3188:{\displaystyle n={\frac {m+1}{2}},{\frac {m+1}{2}}+1,{\frac {m+1}{2}}+2,\ldots }
4028:
1008:
6150:
6243:
6113:
5516:. while a good shot then gets the value 1 and a bad shot gets the value 0.
73:. The vertical axis represents the cumulative probability of the hole score
6229:
3059:{\displaystyle n={\frac {m}{2}},{\frac {m}{2}}+1,{\frac {m}{2}}+2,\ldots }
6020:
6193:
6176:
6090:
4024:
1828:
6043:
sample frequencies of the hole scores differed significantly from the
6082:
4038:
6008:
6004:
64:
29:
5792:. In this article, Minton's excellent shot is called a good shot
38:. The vertical axis represents the probability of the hole score
6035:. The distribution has been tested separately for each hole.
4035:, but the formulas involved are too large to present here.
6069:
Hardy, G.H. (1945). "A mathematical theorem about golf".
3903:
3742:
3635:
3617:
3450:
3432:
1700:
1540:
1438:
1420:
1254:
1236:
2202:
is said to have a Hardy distribution, with parameters
5969:
5949:
5921:
5901:
5881:
5861:
5827:
5798:
5772:
5746:
5699:
5673:
5653:
5627:
5607:
5581:
5552:
5526:
5496:
5476:
5415:
5373:
4868:
4824:
4380:
4051:
3893:
3732:
3547:
3349:
3301:
3269:
3229:
3201:
3100:
3072:
2995:
2949:
2808:
2646:
2464:
2274:
2248:
2228:
2208:
2161:
2119:
2077:
2054:
2031:
2008:
1969:
1949:
1929:
1900:
1874:
1848:
1690:
1530:
1350:
1153:
1018:
878:
717:
540:
351:
295:
243:
199:
155:
103:
54:. The connecting lines are only guides for the eye.
5975:
5955:
5927:
5907:
5887:
5867:
5839:
5810:
5784:
5758:
5717:
5685:
5659:
5639:
5613:
5593:
5564:
5538:
5508:
5482:
5443:
5401:
5357:
4852:
4808:
4362:
4013:
3875:
3709:
3524:
3325:
3287:
3247:
3207:
3187:
3078:
3058:
2973:
2926:
2790:
2623:
2441:
2254:
2234:
2214:
2174:
2147:
2105:
2063:
2040:
2017:
1987:
1955:
1935:
1912:
1886:
1860:
1810:
1673:
1512:
1328:
1123:
996:
861:
699:
518:
316:
273:
229:
185:
133:
5246:
5217:
5076:
5047:
4941:
4912:
4697:
4668:
4534:
4505:
4453:
4424:
4251:
4222:
4124:
4095:
4039:Hardy distribution for a par three, four and five
3942:
3917:
3795:
3756:
2858:
2833:
2710:
2671:
2552:
2523:
2370:
2341:
1739:
1714:
1593:
1554:
928:
903:
781:
742:
628:
599:
447:
418:
6241:
77:given the par of the hole and the probabilities
42:given the par of the hole and the probabilities
1963:and the probability of an ordinary hit equals
69:The horizontal axis represents the hole score
34:The horizontal axis represents the hole score
134:{\displaystyle \operatorname {Hardy} (p,q;m)}
5736:. Minton later called Hardy's supershot an
2190:
6215:
6136:
5935:should be different. Kang says about this:
5367:Note the resemblance with the formulas for
1923:where the probability of a good hit equals
6192:
5943:For the Hardy distribution the values of
5278:
5163:
5159:
5108:
4988:
4729:
4614:
4610:
4566:
4283:
4175:
4171:
3999:
3929:
3913:
3909:
3855:
3776:
3752:
3748:
2912:
2845:
2829:
2825:
2770:
2691:
2667:
2663:
2491:
2487:
2301:
2297:
2123:
2099:
1796:
1726:
1710:
1706:
1653:
1574:
1550:
1546:
1073:
1023:
1019:
982:
915:
899:
895:
841:
762:
738:
734:
567:
563:
378:
374:
304:
6019:) between players, the correlation (see
6108:. Mathematical Association of America.
6242:
6170:
6168:
6103:
1943:, the probability of a bad hit equals
6218:International Journal of Golf Science
6097:
6068:
317:{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
6174:
5728:In fact, Hardy called a good shot a
5470:A good stroke with a probability of
6165:
5490:A bad stroke with a probability of
3223:is the probability of a good shot (
2071:, respectively, with probabilities
13:
6039:was used to determine whether the
5986:
5221:
5051:
4916:
4672:
4509:
4428:
4226:
4099:
4031:can be easily determined with the
3921:
3900:
3760:
3739:
3632:
3614:
3447:
3429:
3263:is the probability of a bad shot (
2837:
2675:
2527:
2345:
1718:
1697:
1558:
1537:
1435:
1417:
1251:
1233:
907:
746:
603:
422:
14:
6261:
5991:The Hardy distribution gives the
1837:discrete probability distribution
16:Discrete probability distribution
63:
61:Cumulative distribution function
28:
6013:Pearson correlation coefficient
5766:and Hardy's subshot a bad shot
6209:
6130:
6062:
5847:. This was confirmed by Kang:
5805:
5799:
5779:
5773:
5753:
5747:
5680:
5674:
5634:
5628:
5588:
5582:
5559:
5553:
5533:
5527:
5438:
5419:
5396:
5377:
4847:
4828:
2185:
2142:
2124:
2096:
2078:
1907:
1901:
1881:
1875:
1855:
1849:
274:{\displaystyle m=1,2,3,\dots }
224:
212:
180:
168:
128:
110:
1:
6050:
3326:{\displaystyle 0<p+q<1}
2974:{\displaystyle m=1,2,\ldots }
230:{\displaystyle p+q\in (0,1)}
186:{\displaystyle p,q\in (0,1)}
7:
5463:in golf that describes the
3288:{\displaystyle 0<q<1}
3248:{\displaystyle 0<p<1}
10:
6266:
6037:Pearson's chi-squared test
5454:
5444:{\displaystyle P(T_{4}=n)}
5402:{\displaystyle P(T_{3}=n)}
4853:{\displaystyle P(T_{3}=n)}
4818:Note the resemblance with
4033:moment generating function
3339:moment generating function
2148:{\displaystyle p\,(1-p-q)}
2106:{\displaystyle (1-p-q)\,p}
1995:. Hardy further assigned
6250:Probability distributions
6151:10.1017/S0025557200005052
2264:probability mass function
2191:Probability mass function
1139:
1134:
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