8393:
6509:
7480:
7630:
3945:
8388:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}}
6808:
3201:
7475:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}}
3940:{\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right)}
3180:
2780:
5860:
126:
531:
3175:{\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}
951:
927:
206:
843:
6173:
526:{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}}
5854:
1680:
574:
4339:
5147:
1308:
1161:
2531:
7484:
McCaw refers to these equations as being in "logarithmic form", by which he means that all the trigonometric terms appear as products; this minimizes the number of table lookups required. Furthermore, the redundancy in these formulas serves as a check in hand calculations. If using these equations
6011:
2696:
5336:
5539:
8685:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications.
38:
4056:
6017:
4437:
2341:
2072:
2200:
6770:
5705:
838:{\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}
4160:
1499:
8397:
The solution for way-points given in the main text is more general than this solution in that it allows way-points at specified longitudes to be found. In addition, the solution for σ (i.e., the position of the node) is needed when finding
5003:
4852:
4199:
5031:
4511:
1176:
1032:
4636:
2363:
5881:
5652:
1384:
2537:
5180:
6311:
5393:
8555:
7569:
1888:
1781:
8468:
3964:
7635:
6813:
6022:
5710:
211:
6168:{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}
4345:
2219:
1932:
2078:
1472:
6653:
5849:{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}
6316:
Latitudes at regular intervals of longitude can be found and the resulting positions transferred to the
Mercator chart allowing the great circle to be approximated by a series of
1675:{\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}
6354:
4094:
4858:
4656:
988:
Detailed evaluation of the optimum direction is possible if the sea surface is approximated by a sphere surface. The standard computation places the ship at a geodetic
4334:{\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}
5142:{\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}
1303:{\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}
6500: = 18752 km. The midpoint of the geodesic is φ = −7.07°, λ = −159.31°, α = −57.45°.
1156:{\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}
4443:
2526:{\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}
4562:
6006:{\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}
2712:
which does not reveal the sign (west or east of north ?), a more explicit derivation is desirable which yields separately the sine and the cosine of
2691:{\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}
5580:
1323:
5331:{\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}
6478:) = −12.48°, and solve for φ = −6.81°, λ = −159.18°, and α = −57.36°.
189:) (see Fig. 1, φ is the latitude, positive northward, and λ is the longitude, positive eastward), the initial and final courses α
5534:{\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}
6240:
5571:
8494:
7503:
6508:
7622:
198:
4644:
where the positive sign means the positive position angles are defined to be north over east. The values of the cosine and sine of
3187:
A right-handed tilted coordinate system with the center at the center of the sphere is given by the following three axes: the axis
1802:
1695:
17:
5375:, the point at which the great circle crosses the equator in the northward direction: let the longitude of this point be λ
4051:{\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}
8416:
8690:
8605:
8591:
4171:
is given by splitting this direction along two orthogonal directions in the plane tangential to the sphere at the point
4432:{\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}
84:
6359:
These formulas apply to a spherical model of the Earth. They are also used in solving for the great circle on the
2336:{\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}
2067:{\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}
2195:{\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}
6765:{\displaystyle \cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};}
6460: = −169.67°. Then to compute the midpoint of the route (for example), take σ =
6799:
are suitable for implementation on modern calculators and computers. For hand computations with logarithms,
67:
6635:
is used. The notation in this article is needed to deal with differences between other points, e.g., λ
5863:
Figure 2. The great circle path between a node (an equator crossing) and an arbitrary point (φ,λ).
1422:
1021:
4155:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}
6327:
5172:, because these values are always positive and that operation does not change signs; then effectively
556:
are determined by the signs of the numerator and denominator in the tangent formulas (e.g., using the
8839:
8399:
6557:
6368:
6224:, the point on the great circle with greatest latitude, is found by substituting σ = +
5020:
910:
31:
6512:
Admiralty
Gnomonic Chart of the Indian and Southern Oceans, for use in plotting great circle tracks
6186:, λ, and α. For example, to find the midpoint of the path, substitute σ =
4998:{\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}.}
4847:{\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}};}
2768:. The axis is perpendicular to the plane of the great circle and computed by the normalized vector
155:
848:(The numerator of this formula contains the quantities that were used to determine tan α
8631:
2355:
and insertion in the previous formula gives an expression for the tangent of the position angle,
8811:
Graphical tool for drawing great circles over maps. Also shows distance and azimuth in a table.
6599:
1905:
150:
60:
8680:
6624:
6572:
6562:
6547:
1392:
8753:
8708:
4506:{\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}
8787:
Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram
Research, Inc. c1999
8:
8829:
7485:
to determine the shorter path on the great circle, it is necessary to ensure that |λ
6521:
6517:
8814:
8757:
8625:
8593:
Methods and
Algorithms in Navigation: Marine Navigation and Safety of Sea Transportation
1483:
is the angular distance of two points viewed from the center of the sphere, measured in
8743:
6423:
6234:π. It may be convenient to parameterize the route in terms of the longitude using
4631:{\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}
880:
27:
Flight or sailing route along the shortest path between two points on a globe's surface
8712:
8696:
8686:
8672:
8601:
8834:
8761:
8654:
6604:
6589:
5647:{\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }
4648:
are computed by multiplying this equation on both sides with the two unit vectors,
5158:
is used to compute the value, one can reduce both expressions by division through
1379:{\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}
894: ≈ 6,371 km (3,959 mi) yields results for the distance
8704:
8682:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
8621:
902:
8784:
6524:, it becomes a curve. The positions are transferred at a convenient interval of
1017:
939:
8766:
8731:
8823:
8658:
6552:
6321:
2769:
561:
6380:
8676:
6582:
6567:
6542:
6537:
5368:
1411:
876:
110:
962:
is the angle at which the green and the dashed great circles intersect at
5859:
1488:
125:
6594:
6317:
6306:{\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}
5352:, that is the positions of selected points on the great circle between
2727:
The computation starts from a construction of the great circle between
98:
1687:
If the ship steers straight to the North Pole, the travel distance is
1410:. It is calculated in a plane that contains the sphere center and the
8597:
6525:
5349:
999:
90:
73:
8716:
8802:
8569:
is reduced to the range by adding or subtracting 360° as necessary
8472:
however, this is less accurate when φ ≈ ±
6800:
6392:
5867:
Finally, calculate the position and azimuth at an arbitrary point,
1024:
centered at the center of the sphere, the
Cartesian components are
989:
114:
106:
8748:
8550:{\displaystyle \cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}
8790:
5380:
8700:
7564:{\displaystyle \sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};}
7489:| ≤ π (otherwise the longer path is found).
6528:
and this track is plotted on the
Mercator chart for navigation.
950:
1484:
8793:
Interactive tool for plotting great circle routes on a sphere.
6520:
is a portion of a great circle. When this is transferred to a
6482:
6179:
5155:
4177:. The two directions are given by the partial derivatives of
2717:
1883:{\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}
1794:
and swims straight to the North Pole, the travel distance is
1776:{\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}
906:
557:
42:
37:
6356:
are interpreted as geographic coordinates on the ellipsoid.
4063:
The compass direction is given by inserting the two vectors
8589:
916:
174:) and plans to travel the great circle to a point at point
102:
8805:
deriving (initial) course and distance between two points.
2708:
Because the brief derivation gives an angle between 0 and
1012:
is considered positive if north of the equator, and where
8808:
6577:
4078:
and computing the gradient of the vector with respect to
8796:
8463:{\displaystyle \sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;}
2739:. It lies in the plane that contains the sphere center,
6208:
from the starting point, take σ = σ
1398:
is the distance along a great circle that runs through
7444:
7397:
7362:
7315:
7280:
7233:
7198:
7151:
7116:
7069:
7034:
6987:
6952:
6905:
6870:
6823:
5544:
Let the angular distances along the great circle from
5023:
is invariant under a circular shift of the arguments:
4369:
4223:
3280:
2885:
1345:
1198:
1054:
8497:
8419:
7633:
7596:
The direct geodesic problem, finding the position of
7506:
6811:
6656:
6330:
6243:
6020:
5884:
5708:
5583:
5396:
5183:
5034:
4861:
4659:
4565:
4446:
4348:
4202:
4097:
3967:
3204:
2783:
2540:
2366:
2222:
2081:
1935:
1805:
1698:
1502:
1425:
1326:
1179:
1035:
577:
209:
8815:
Google assistance program for orthodromic navigation
6774:
however, this is numerically less accurate if σ
6440:
To compute points along the route, first find α
6367:, on an ellipsoid of revolution; see the article on
6363:
which is a device for finding the shortest path, or
5366:, we first extrapolate the great circle back to its
852:.) The distance along the great circle will then be
8799:Interactive tool for plotting great circle routes.
8583:
8549:
8462:
8387:
7563:
7474:
6764:
6348:
6305:
6167:
6005:
5848:
5646:
5533:
5330:
5141:
5010:Instead of inserting the convoluted expression of
4997:
4846:
4630:
4505:
4431:
4333:
4154:
4050:
3939:
3174:
2690:
2525:
2335:
2194:
2066:
1882:
1775:
1674:
1466:
1378:
1302:
1155:
837:
525:
6324:joining the end points, provided the coordinates
8821:
8671:
8645:McCaw, G. T. (1932). "Long lines on the Earth".
6406:The formulas for course and distance give λ
5871:(see Fig. 2), by the spherical version of the
1487:. The cosine of the angle is calculated by the
129:Figure 1. The great circle path between (φ
6627:, the notation Δλ = λ
6481:If the geodesic is computed accurately on the
6204:); alternatively to find the point a distance
8590:Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7 June 2011).
6320:. The path determined in this way gives the
2720:allows to produce an angle in the full range
871:is the assumed radius of the Earth and σ
6430: = 6371 km, the distance is
6182:function should be used to determine σ
1918:that point to the North on one hand and to
8765:
8747:
8620:
7623:formulas for solving a spherical triangle
5890:
4615:
4590:
199:formulas for solving a spherical triangle
149:The great circle path may be found using
6507:
5858:
5699:The longitude at the node is found from
949:
917:Relation to geocentric coordinate system
124:
36:
30:For the navigation on an ellipsoid, see
3956:. A position along the great circle is
935:This section may need to be cleaned up.
153:; this is the spherical version of the
14:
8822:
8729:
6418: = −78.42°, and σ
1467:{\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}
41:Orthodromic course drawn on the Earth
8644:
7573:however, this is less accurate α
5343:
5019:, the evaluation may employ that the
2718:correct branch of the inverse tangent
6379:Compute the great circle route from
920:
8785:Great Circle – from MathWorld
8679:, eds. (1983) . "Chapter 4.3.149".
8630:(3rd ed.). MacMillan. p.
6631:and Δσ = σ
5886:
24:
6489: = −94.82°, α
6448: = −96.76°, σ
6444: = −56.74°, σ
6422: = 168.56°. Taking the
6414: = −94.41°, α
6410: = −166.6°, α
4104:
4100:
2703:
1912:between the great circles through
1016:is considered positive if east of
25:
8851:
8778:
8665:
8402:by means of the auxiliary sphere.
6503:
6485:ellipsoid, the results are α
117:between two points on the globe.
113:. Such routes yield the shortest
97: 'path') is the practice of
6803:'s analogies were usually used:
6493: = −78.29°, and
6349:{\displaystyle (\phi ,\lambda )}
5123:
5114:
5081:
5069:
4891:
4876:
4689:
4674:
4618:
4593:
4568:
4487:
4472:
4463:
4449:
4351:
4205:
4139:
4115:
4013:
3995:
3969:
3237:
3207:
2842:
2834:
1512:
1504:
1329:
1182:
1038:
954:The position angle of the point
925:
80: 'right angle' and
8723:
8559:
8485:
8405:
7789:
6456: = 98.07°, and λ
6387: = −33°, λ
5891:
5643:
4026:
8638:
8614:
8544:
8525:
8045:
8009:
7997:
7910:
7590:
7492:
7434:
7408:
7352:
7326:
7270:
7244:
7188:
7162:
7106:
7080:
7024:
6998:
6942:
6916:
6860:
6834:
6781:
6642:
6617:
6391: = −71.6°, to
6343:
6331:
6297:
6278:
6050:
6031:
5892:
5319:
5293:
5231:
5205:
5133:
5100:
5073:
5047:
4989:
4986:
4960:
4935:
4838:
4835:
4809:
4733:
4120:
3979:
3973:
3926:
3923:
3897:
3821:
3798:
3673:
3651:
3576:
3537:
3412:
3390:
3315:
3158:
3132:
2588:
2562:
2462:
2436:
2300:
2274:
1877:
1850:
1770:
1743:
1669:
1666:
1640:
1564:
735:
699:
687:
600:
564:between the two points, σ
13:
1:
8576:
4191:, normalized to unit length:
1895:
6437: = 18743 km.
4535:points east at the position
2751:and is constructed rotating
1022:geocentric coordinate system
7:
6531:
6516:A straight line drawn on a
4554:into these two directions,
1168:and the target position is
901:which are within 1% of the
548:and the quadrants of α
159:. If a navigator begins at
10:
8856:
8732:"Algorithms for geodesics"
6787:These equations for α
6452: = 71.8°, λ
6399: = 31.4°, λ
6374:
83:
66:
29:
8767:10.1007/s00190-012-0578-z
8730:Karney, C. F. F. (2013).
8400:geodesics on an ellipsoid
7577: ≈ ±
6558:Geodesics on an ellipsoid
6369:geodesics on an ellipsoid
5658: = 0 and α
5570:respectively. Then using
911:Geodesics on an ellipsoid
544: − λ
120:
32:Geodesics on an ellipsoid
8659:10.1179/sre.1932.1.6.259
7621:, can also be solved by
6610:
937:It has been merged from
156:inverse geodetic problem
8803:Great Circle Calculator
8491:The following is used:
5873:direct geodesic problem
5379:— see Fig 1. The
49:Great-circle navigation
18:Great circle navigation
8627:Spherical Trigonometry
8551:
8464:
8389:
7565:
7476:
6766:
6625:great-circle distances
6600:Spherical trigonometry
6513:
6350:
6307:
6169:
6007:
5875:. Napier's rules give
5864:
5850:
5648:
5535:
5332:
5165:and multiplication by
5143:
4999:
4848:
4632:
4507:
4433:
4335:
4156:
4052:
3941:
3176:
2772:of the two positions:
2692:
2527:
2337:
2196:
2068:
1908:yields for the angle
1906:spherical trigonometry
1884:
1777:
1676:
1468:
1380:
1304:
1157:
985:
980:and the rotation axis
966:. The unit directions
839:
527:
151:spherical trigonometry
146:
53:orthodromic navigation
45:
8809:Great Circle Distance
8552:
8465:
8411:A simpler formula is
8390:
7566:
7498:A simpler formula is
7477:
6767:
6648:A simpler formula is
6573:Loxodromic navigation
6563:Geographical distance
6548:Great-circle distance
6511:
6403: = 121.8°.
6351:
6308:
6170:
6008:
5862:
5851:
5649:
5536:
5383:at this point, α
5333:
5144:
5000:
4849:
4633:
4541:. The position angle
4508:
4434:
4336:
4157:
4053:
3942:
3177:
2716:such that use of the
2693:
2528:
2338:
2197:
2069:
1885:
1778:
1677:
1469:
1381:
1315:The North Pole is at
1305:
1158:
984:are marked by arrows.
953:
840:
528:
128:
40:
8647:Empire Survey Review
8495:
8417:
7631:
7504:
6809:
6654:
6328:
6241:
6018:
5882:
5706:
5581:
5394:
5181:
5032:
4859:
4657:
4563:
4444:
4346:
4200:
4187:and with respect to
4095:
3965:
3202:
2781:
2538:
2364:
2220:
2079:
1933:
1803:
1788:If a ship starts at
1696:
1500:
1423:
1324:
1177:
1033:
575:
207:
181: = (φ
166: = (φ
8797:Great Circle Mapper
8758:2013JGeod..87...43K
6474: + σ
6200: + σ
5692: + σ
5688: = σ
1491:of the two vectors
540: = λ
8736:Journal of Geodesy
8673:Abramowitz, Milton
8547:
8460:
8385:
8383:
7561:
7472:
7470:
7453:
7406:
7371:
7324:
7289:
7242:
7207:
7160:
7125:
7078:
7043:
6996:
6961:
6914:
6879:
6832:
6762:
6623:In the article on
6514:
6346:
6303:
6165:
6163:
6003:
5895:
5865:
5846:
5844:
5672:π, use σ
5644:
5531:
5344:Finding way-points
5328:
5139:
4995:
4844:
4628:
4503:
4429:
4420:
4331:
4322:
4152:
4048:
3937:
3931:
3172:
3163:
2688:
2523:
2333:
2192:
2064:
1924:on the other hand
1880:
1773:
1672:
1464:
1376:
1367:
1300:
1291:
1153:
1147:
986:
835:
523:
521:
147:
57:orthodromic course
46:
8692:978-0-486-61272-0
8677:Stegun, Irene Ann
8607:978-0-415-69114-7
8600:. pp. 139–.
8376:
8208:
8055:
8054:
7793:
7452:
7405:
7370:
7323:
7288:
7241:
7206:
7159:
7124:
7077:
7042:
6995:
6960:
6913:
6878:
6831:
6156:
6100:
5998:
5997:
5790:
5680:This gives σ
5641:
5526:
5525:
5323:
5111:
5066:
4933:
4731:
4526:points north and
4111:
3273:
3234:
2878:
2831:
2683:
2477:
2348:Solving this for
2328:
2260:
948:
947:
881:mean Earth radius
830:
744:
514:
358:
16:(Redirected from
8847:
8840:Spherical curves
8791:Great Circle Map
8772:
8771:
8769:
8751:
8727:
8721:
8720:
8669:
8663:
8662:
8642:
8636:
8635:
8618:
8612:
8611:
8587:
8570:
8563:
8557:
8556:
8554:
8553:
8548:
8543:
8542:
8489:
8483:
8481:
8480:
8476:
8469:
8467:
8466:
8461:
8447:
8446:
8409:
8403:
8394:
8392:
8391:
8386:
8384:
8377:
8375:
8374:
8373:
8358:
8357:
8339:
8338:
8323:
8322:
8306:
8305:
8304:
8288:
8279:
8278:
8256:
8255:
8243:
8242:
8226:
8225:
8209:
8207:
8206:
8205:
8190:
8189:
8174:
8173:
8155:
8154:
8139:
8138:
8122:
8121:
8120:
8105:
8104:
8088:
8079:
8078:
8056:
8053:
8052:
8043:
8042:
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8026:
8005:
8004:
7995:
7994:
7979:
7978:
7963:
7962:
7944:
7943:
7928:
7927:
7909:
7908:
7907:
7906:
7891:
7890:
7875:
7874:
7856:
7855:
7840:
7839:
7823:
7814:
7813:
7794:
7791:
7785:
7784:
7769:
7768:
7753:
7752:
7734:
7733:
7718:
7717:
7695:
7694:
7669:
7664:
7663:
7647:
7646:
7594:
7588:
7586:
7585:
7581:
7570:
7568:
7567:
7562:
7557:
7556:
7541:
7540:
7522:
7521:
7496:
7490:
7481:
7479:
7478:
7473:
7471:
7464:
7463:
7454:
7445:
7433:
7432:
7420:
7419:
7407:
7398:
7382:
7381:
7372:
7363:
7351:
7350:
7338:
7337:
7325:
7316:
7300:
7299:
7290:
7281:
7269:
7268:
7256:
7255:
7243:
7234:
7218:
7217:
7208:
7199:
7187:
7186:
7174:
7173:
7161:
7152:
7136:
7135:
7126:
7117:
7105:
7104:
7092:
7091:
7079:
7070:
7054:
7053:
7044:
7035:
7023:
7022:
7010:
7009:
6997:
6988:
6972:
6971:
6962:
6953:
6941:
6940:
6928:
6927:
6915:
6906:
6890:
6889:
6880:
6871:
6859:
6858:
6846:
6845:
6833:
6824:
6785:
6779:
6771:
6769:
6768:
6763:
6758:
6757:
6742:
6741:
6726:
6725:
6707:
6706:
6691:
6690:
6672:
6671:
6646:
6640:
6621:
6605:Windrose network
6590:Marine sandglass
6469:
6468:
6464:
6361:auxiliary sphere
6355:
6353:
6352:
6347:
6312:
6310:
6309:
6304:
6296:
6295:
6271:
6270:
6233:
6232:
6228:
6220:. Likewise, the
6195:
6194:
6190:
6174:
6172:
6171:
6166:
6164:
6157:
6155:
6144:
6143:
6142:
6126:
6101:
6099:
6088:
6078:
6077:
6061:
6049:
6048:
6012:
6010:
6009:
6004:
5999:
5990:
5989:
5980:
5979:
5967:
5966:
5948:
5947:
5938:
5937:
5927:
5926:
5910:
5896:
5855:
5853:
5852:
5847:
5845:
5838:
5837:
5825:
5824:
5808:
5807:
5791:
5789:
5788:
5787:
5771:
5770:
5769:
5754:
5753:
5737:
5728:
5727:
5676: = 0).
5671:
5670:
5666:
5653:
5651:
5650:
5645:
5642:
5640:
5639:
5638:
5622:
5621:
5620:
5604:
5599:
5598:
5540:
5538:
5537:
5532:
5527:
5524:
5523:
5511:
5510:
5501:
5500:
5488:
5487:
5475:
5474:
5462:
5461:
5452:
5451:
5450:
5449:
5434:
5433:
5417:
5412:
5411:
5337:
5335:
5334:
5329:
5324:
5322:
5318:
5317:
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5304:
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5285:
5267:
5266:
5251:
5250:
5234:
5230:
5229:
5217:
5216:
5197:
5171:
5164:
5148:
5146:
5145:
5140:
5132:
5131:
5126:
5117:
5112:
5104:
5090:
5089:
5084:
5072:
5067:
5059:
5054:
5018:
5004:
5002:
5001:
4996:
4985:
4984:
4972:
4971:
4953:
4952:
4934:
4932:
4931:
4930:
4905:
4900:
4899:
4894:
4885:
4884:
4879:
4853:
4851:
4850:
4845:
4834:
4833:
4821:
4820:
4802:
4801:
4786:
4785:
4767:
4766:
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