89:
32:
14884:
874:
14594:
14215:
14585:
13978:
14879:{\displaystyle {\mathcal {J}}={\begin{bmatrix}a_{0}&{\sqrt {b_{1}}}&0&\cdots &0\\{\sqrt {b_{1}}}&a_{1}&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\vdots \\0&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&{\sqrt {b_{n-1}}}\\0&\cdots &0&{\sqrt {b_{n-1}}}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}
7494:
5409:
2715:
14288:
6995:
746:
3247:
13423:
15691:
derivative, and furthermore the actual error may be much less than a bound established by the derivative. Another approach is to use two
Gaussian quadrature rules of different orders, and to estimate the error as the difference between the two results. For this purpose, Gauss–Kronrod quadrature rules
7272:
5095:
2486:
10300:
4843:
8092:
9661:
8664:
5824:
7157:
7758:
9202:
6729:
14210:{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}a_{0}&1&0&\cdots &0\\b_{1}&a_{1}&1&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&1\\0&\cdots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}
2219:
17762:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications.
8291:
6772:
6410:
1937:
16483:
15353:
11959:
15680:
13841:
12299:
10720:
3597:
2866:
14580:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{k,i}=J_{k,i}&=a_{k-1}&k&=1,2,\ldots ,n\\{\mathcal {J}}_{k-1,i}={\mathcal {J}}_{k,k-1}={\sqrt {J_{k,k-1}J_{k-1,k}}}&={\sqrt {b_{k-1}}}&k&={\hphantom {1,\,}}2,\ldots ,n.\end{aligned}}}
13144:
3478:
3363:
7909:
541:
9366:
501:
13965:
4348:
15977:
15730:. This allows for computing higher-order estimates while re-using the function values of a lower-order estimate. The difference between a Gauss quadrature rule and its Kronrod extension is often used as an estimate of the approximation error.
12537:
18512:
Riener, Cordian; Schweighofer, Markus (2018). "Optimization approaches to quadrature: New characterizations of
Gaussian quadrature on the line and quadrature with few nodes on plane algebraic curves, on the plane and in higher dimensions".
10153:
6098:
4631:
3871:
7930:
11289:
9441:
8457:
5604:
7009:
98:
approximates the function with a linear function that coincides with the integrand at the endpoints of the interval and is represented by an orange dashed line. The approximation is apparently not good, so the error is large (the
8989:
6572:
17478:
17373:
15706:
If the interval is subdivided, the Gauss evaluation points of the new subintervals never coincide with the previous evaluation points (except at zero for odd numbers), and thus the integrand must be evaluated at every point.
11566:
7622:
1474:
1366:
2056:
8099:
334:
16237:
8398:
4991:
1788:
17145:
17046:
16244:
15156:
1724:
1617:
2396:
1108:
13712:
7489:{\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right)={\frac {\prod _{1\leq j\leq n}\left(x-x_{j}\right)}{x-x_{i}}}={\frac {p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}}}
5404:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i})\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,\int _{a}^{b}\omega (x)\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,w_{i},}
2710:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{8}^{30}{f(t)dt}&={\frac {30-8}{2}}\int _{-1}^{1}{f\left({\frac {30-8}{2}}x+{\frac {30+8}{2}}\right){dx}}\\&=11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}\end{aligned}}}
18121:
12966:
11699:
5595:
15498:
9959:
13553:
12058:
15035:
10544:
14293:
11401:
8894:
13092:
3520:
15480:
17972:
5088:
18287:
Kabir, Hossein; Matikolaei, Sayed Amir
Hossein Hassanpour (2017). "Implementing an Accurate Generalized Gaussian Quadrature Solution to Find the Elastic Field in a Homogeneous Anisotropic Media".
4127:
10112:
1997:
15130:
6221:
3372:
3257:
2871:
2491:
132:
The
Gaussian quadrature chooses more suitable points instead, so even a linear function approximates the function better (the black dashed line). As the integrand is the polynomial of degree 3 (
18041:
3678:
3367:
3252:
1770:
1663:
17521:
17416:
13717:
6990:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)r(x)dx=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}
12774:
9209:
385:
5965:
5861:. Any complex conjugate roots will yield a quadratic factor that is either strictly positive or strictly negative over the entire real line. Any factors for roots outside the interval from
4224:
3515:
1517:
1409:
17185:
17086:
3941:
15783:
12331:
8783:
17869:
16884:
16695:
1267:
1187:
12020:
4561:
790:
10395:
5980:
6176:
17311:
9715:
2790:
1556:
13139:
11453:
4000:
2858:
2824:
2753:
2291:
16912:
16849:
16063:
13870:
11111:
17575:
17239:
16966:
12643:
11063:
11005:
8723:
2257:
16777:
16723:
16639:
16585:
14915:
14283:
10051:
1298:
1229:
831:
13895:
12595:
18767:
10002:
14952:
7770:
11608:
10888:
10813:
10751:
10531:
9828:
9436:
8984:
7264:
4185:
3242:{\displaystyle {\begin{aligned}11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}&\approx 11\left\\&=11\left\\&=11\left\\&=11\left\\&=11058.44\end{aligned}}}
12813:
11102:
16099:
15064:
13589:
10489:
10343:
9786:
8441:
7586:
7222:
6567:
6516:
4050:
2051:
12053:
11031:
8319:
2400:
Change the limits so that one can use the weights and abscissae given in Table 1. Also, find the absolute relative true error. The true value is given as 11061.34 m.
13418:{\displaystyle a_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r})}{(p_{r},p_{r})}},\qquad b_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}={\frac {(p_{r},p_{r})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}}
3717:, the problem is the same as that considered above. Other choices lead to other integration rules. Some of these are tabulated below. Equation numbers are given for
17547:
17211:
16938:
16749:
16611:
16018:
14244:
13616:
12677:
12326:
11694:
11662:
11635:
10953:
9750:
7617:
7550:
7523:
7186:
6480:
6453:
3785:
2479:
2440:
10780:
10453:
10424:
10149:
9394:
8931:
741:{\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).}
18480:
1785:
An integral over must be changed into an integral over before applying the
Gaussian quadrature rule. This change of interval can be done in the following way:
229:
17283:
17262:
16989:
16821:
16800:
16662:
16557:
16536:
16111:
13890:
2019:
931:
8324:
4891:
2296:
994:
17424:
17319:
12829:
10295:{\displaystyle f(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {\left(x-x_{j}\right)^{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}}}
5468:
11462:
4838:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,{\big (}\,p_{n}(x)q(x)+r(x)\,{\big )}\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx.}
1420:
1312:
18426:
Piessens, R. (1971). "Gaussian quadrature formulas for the numerical integration of
Bromwich's integral and the inversion of the laplace transform".
8087:{\displaystyle {\frac {1}{x-x_{i}}}={\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}}
14964:
11296:
8795:
12973:
9656:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{a_{n-1}p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}
8659:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {1}{q(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {q(x)p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}
5819:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,r(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,h(x_{i}).}
18817:
15389:
7152:{\displaystyle w_{i}=\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}
9197:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx}
17094:
16995:
6724:{\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}
4998:
859:(the class orthogonal with respect to a weighted inner-product). This is a key observation for computing Gauss quadrature nodes and weights.
1674:
1567:
14250:, which are used as nodes for the Gaussian quadrature can be found by computing the eigenvalues of this matrix. This procedure is known as
13633:
7753:{\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x_{i}-x_{j}\right)={\frac {p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}}}
18972:
15069:
2214:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi _{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}
8286:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {x^{k}p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx=x_{i}^{k}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}
3619:
9833:
18605:
13430:
5898:
1932:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi +{\frac {a+b}{2}}\right)\,{\frac {dx}{d\xi }}d\xi }
16478:{\displaystyle R_{n}={\frac {-n\left(n-1\right)^{3}2^{2n-1}\left^{4}}{(2n-1)\left^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\qquad -1<\xi <1.}
15684:
Stoer and
Bulirsch remark that this error estimate is inconvenient in practice, since it may be difficult to estimate the order
15348:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,f(x_{i})={\frac {f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}}\,(p_{n},p_{n})}
4484:
18786:
18614:
18586:
18467:
18329:
18257:
18206:
18187:
17899:
17767:
6405:{\displaystyle w_{i}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}{\frac {\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}{p'_{n}(x_{i})p_{n-1}(x_{i})}}}
18895:
18778:
15701:
11954:{\displaystyle (p_{1},p_{0})=(x-a_{0,0})(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-a_{0,0}(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-(xp_{0},p_{0})=0.}
4076:
15675:{\displaystyle {\frac {\left(b-a\right)^{2n+1}\left(n!\right)^{4}}{(2n+1)\left^{3}}}f^{(2n)}(\xi ),\qquad a<\xi <b.}
1944:
18810:
14921:
and therefore have the same eigenvalues (the nodes). The weights can be computed from the corresponding eigenvectors: If
13836:{\displaystyle {\tilde {P}}={\begin{bmatrix}p_{0}(x)&p_{1}(x)&\cdots &p_{n-1}(x)\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}
10056:
6132:
12294:{\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,r}(p_{r},p_{s})-a_{r,r-1}(p_{r-1},p_{s})\cdots -a_{r,0}(p_{0},p_{s})}
17977:
10715:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)f(x)dx=\sum _{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j})=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}w_{j}=w_{i}>0.}
1733:
1626:
17484:
17379:
12597:(which is the case for Gaussian quadrature), the recurrence relation reduces to a three-term recurrence relation: For
18502:
12689:
3592:{\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|=\left|{\frac {11061.34-11058.44}{11061.34}}\right|\times 100\%=0.0262\%}
75:
53:
94:
The blue curve shows the function whose definite integral on the interval is to be calculated (the integrand). The
46:
18773:
14954:
is a normalized eigenvector (i.e., an eigenvector with euclidean norm equal to one) associated with the eigenvalue
10891:
3485:
1483:
1375:
17151:
17052:
3904:
8728:
1112:
Some low-order quadrature rules are tabulated below (over interval , see the section below for other intervals).
18770:
for abscissas and weights generation for arbitrary weighting functions W(x), integration domains and precisions.
17806:
16857:
16668:
1240:
1160:
18936:
18910:
18803:
18747:
18279:
11966:
4010:
3954:
793:
18669:
753:
18905:
18900:
18679:
4139:
4062:
868:
834:
347:
18852:
18885:
18857:
10348:
4197:
838:
18689:
contains a collection of algorithms for numerical integration (in C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc.)
18544:
Sagar, Robin P. (1991). "A Gaussian quadrature for the calculation of generalized Fermi-Dirac integrals".
3473:{\displaystyle {\begin{aligned}f(25.35085)&=2000\ln \left-9.8(25.35085)\\&=708.4811\end{aligned}}}
3358:{\displaystyle {\begin{aligned}f(12.64915)&=2000\ln \left-9.8(12.64915)\\&=296.8317\end{aligned}}}
126:). To obtain a more accurate result, the interval must be partitioned into many subintervals and then the
18890:
18674:
18366:
Laurie, Dirk P. (1999), "Accurate recovery of recursion coefficients from
Gaussian quadrature formulas",
18069:
3890:
533:
17289:
9361:{\displaystyle x^{n-1}=\left(x^{n-1}-{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}\right)+{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}}
2759:
1534:
496:{\displaystyle f(x)=\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x),\quad \alpha ,\beta >-1,}
18632:
Yakimiw, E. (1996). "Accurate computation of weights in classical Gauss–Christoffel quadrature rules".
13099:
11408:
3968:
2830:
2796:
2725:
2262:
2228:
Use the two-point Gauss quadrature rule to approximate the distance in meters covered by a rocket from
16890:
16827:
13960:{\displaystyle \mathbf {e} _{n}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}
13846:
4343:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,x^{k}p_{n}(x)\,dx=0,\quad {\text{for all }}k=0,1,\ldots ,n-1.}
226:
in 1826. The most common domain of integration for such a rule is taken as , so the rule is stated as
18926:
18834:
18756:, high precision (16 and 256 decimal places) Legendre-Gaussian quadrature weights and abscissas, for
18710:
17553:
17217:
16944:
12600:
11036:
10958:
8671:
2231:
16755:
16701:
16617:
16563:
15972:{\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}={\frac {2}{n(n-1)}}+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+R_{n}.}
14896:
14264:
12532:{\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,s}(p_{s},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-(xp_{r},p_{s})=0.}
10007:
7904:{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p'_{n}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}
1276:
1207:
18715:
18696:
18253:
18153:
Gautschi, Walter (1970). "On the construction of
Gaussian quadrature rules from modified moments".
12544:
9674:
799:
40:
9964:
3609:
The integration problem can be expressed in a slightly more general way by introducing a positive
2719:
Next, get the weighting factors and function argument values from Table 1 for the two-point rule,
16023:
14961:, the corresponding weight can be computed from the first component of this eigenvector, namely:
14924:
11571:
10851:
10785:
10727:
10494:
9791:
9399:
8947:
7227:
4153:
18704:
18113:
12779:
11068:
6519:
3616:
into the integrand, and allowing an interval other than . That is, the problem is to calculate
856:
57:
18729:
16068:
15042:
13558:
10458:
10312:
9755:
8410:
7555:
7191:
6536:
6485:
6093:{\displaystyle \int _{a}^{b}p_{n}(x)\,\left(\prod _{i}(x-x_{i})\right)\,\omega (x)\,dx\neq 0,}
4024:
3866:{\displaystyle \left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1}
2024:
18826:
18273:
17757:
15146:
The error of a
Gaussian quadrature rule can be stated as follows. For an integrand which has
12025:
11010:
8298:
4606:
or less (because the degree of the remainder is always less than that of the divisor). Since
3945:
3718:
373:
219:
18951:
18641:
18624:
18553:
18431:
18397:
18170:
18145:
18109:
18060:
17785:
17529:
17193:
16920:
16731:
16593:
15991:
14222:
13594:
12655:
12304:
11667:
11640:
11613:
10931:
9728:
7595:
7528:
7501:
7164:
6458:
6431:
4870:
4132:
4054:
3763:
2445:
2409:
934:
172:
18418:
10756:
10429:
10400:
10125:
350:
rule. The quadrature rule will only be an accurate approximation to the integral above if
8:
18931:
18867:
18753:
18716:
Gaussian Quadrature Rule of Integration – Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad
11284:{\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)\cdots -a_{r,0}p_{0}(x)}
9373:
8910:
4189:
18743:
18645:
18557:
18435:
18401:
10837:
of Gaussian quadrature rules. The most popular are the Golub-Welsch algorithm requiring
18946:
18522:
18314:
18241:
17268:
17247:
16974:
16806:
16785:
16647:
16542:
16521:
13972:
13875:
3875:
2004:
852:
377:
223:
160:
18409:
18380:
18162:
18137:
18052:
17887:
17802:
901:
18847:
18726:
18610:
18600:
18582:
18565:
18498:
18463:
18325:
18202:
18183:
17789:
17773:
17763:
17749:
5869:
will not change sign over that interval. Finally, for factors corresponding to roots
20:
17896:
Danloy, Bernard (1973). "Numerical construction of Gaussian quadrature formulas for
5850:
To prove the second part of the claim, consider the factored form of the polynomial
844:
It can be shown (see Press et al., or Stoer and Bulirsch) that the quadrature nodes
19:"Gaussian integration" redirects here. For the integral of a Gaussian function, see
18941:
18842:
18649:
18561:
18532:
18490:
18476:
18455:
18451:
18439:
18405:
18375:
18352:
18296:
18231:
18158:
18133:
18097:
18048:
17882:
17473:{\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}+{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}
17368:{\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}-{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}
14918:
14258:
11105:
4352:
Note that this will be true for all the orthogonal polynomials above, because each
100:
95:
88:
18783:
18774:
Gaussian Quadrature in Boost.Math, for arbitrary precision and approximation order
18236:
18219:
18128:
Gautschi, Walter (1968). "Construction of Gauss–Christoffel Quadrature Formulas".
11561:{\textstyle a_{r,s}={\frac {\left(xp_{r},p_{s}\right)}{\left(p_{s},p_{s}\right)}}}
18862:
18790:
18620:
18578:
18494:
18486:
18300:
18166:
18141:
18056:
17781:
17759:
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
11568:. First of all, the polynomials defined by the recurrence relation starting with
3610:
1469:{\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}
1361:{\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}
176:
10455:, the Gaussian quadrature formula involving the weights and nodes obtained from
10178:
7632:
7282:
7059:
6897:
6637:
18357:
18340:
15743:
4414:
which make the Gaussian quadrature computed integral exact for all polynomials
18536:
18197:
Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme, Nico M. (2007), "§5.3: Gauss quadrature",
18101:
18966:
18321:
18258:"Ueber Gauß' neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden"
11610:
have leading coefficient one and correct degree. Given the starting point by
376:
quadrature rule is not typically used for integrable functions with endpoint
18653:
18085:
17753:
3482:
Given that the true value is 11061.34 m, the absolute relative true error,
329:{\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}
16232:{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)\left^{2}}},\qquad x_{i}\neq \pm 1.}
15750:
The integration points include the end points of the integration interval.
5977:
because all its roots there are now of even multiplicity. So the integral
18388:
Laurie, Dirk P. (2001). "Computation of Gauss-type quadrature formulas".
18309:
18795:
18180:
A Software Repository for Gaussian Quadratures and Christoffel Functions
17582:
An adaptive variant of this algorithm with 2 interior nodes is found in
8393:{\displaystyle {\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}}
4986:{\displaystyle l_{i}(x)=\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.}
516:
is well-approximated by a low-degree polynomial, then alternative nodes
18443:
18245:
18215:
17583:
17140:{\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}}
17041:{\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}-{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}}
15746:. It is similar to Gaussian quadrature with the following differences:
5847:
or less, its integral is given exactly by the Gaussian quadrature sum.
873:
180:
18068:
Eaton, John W.; Bateman, David; Hauberg, Søren; Wehbring, Rik (2018).
14257:
For computing the weights and nodes, it is preferable to consider the
12301:
all scalar products vanish except for the first one and the one where
1719:{\displaystyle \pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}
1612:{\displaystyle \pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}
18734:
18686:
2391:{\displaystyle s=\int _{8}^{30}{\left(2000\ln \left-9.8t\right){dt}}}
1103:{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left^{2}}}.}
532:
will usually give more accurate quadrature rules. These are known as
155:), the 2-point Gaussian quadrature rule even returns an exact result.
130:
trapezoidal rule must be used, which requires many more calculations.
18692:
18603:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
17793:
13707:{\displaystyle J{\tilde {P}}=x{\tilde {P}}-p_{n}(x)\mathbf {e} _{n}}
18700:
18527:
11459:
is the maximal degree which can be taken to be infinity, and where
18724:
12961:{\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)}
12679:
is orthogonal to every polynomial of degree less than or equal to
5590:{\displaystyle h(x_{i})=p_{n}(x_{i})\,q(x_{i})+r(x_{i})=r(x_{i}),}
18341:"Computing Gaussian quadrature rules with high relative accuracy"
13630:
The three-term recurrence relation can be written in matrix form
4613:
is by assumption orthogonal to all monomials of degree less than
18450:
18339:
Laudadio, Teresa; Mastronardi, Nicola; Van Dooren, Paul (2023).
18115:
Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi
17777:
9954:{\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=(a)p_{n}(x_{i})+(b)p_{n-1}(x_{i})}
17587:
13548:{\displaystyle (xp_{r},p_{r-1})=(p_{r},xp_{r-1})=(p_{r},p_{r})}
4581:
or less (because the sum of its degree and that of the divisor
92:
Comparison between 2-point Gaussian and trapezoidal quadrature.
18456:"Section 4.6. Gaussian Quadratures and Orthogonal Polynomials"
15722:-point rule in such a way that the resulting rule is of order
15030:{\displaystyle w_{j}=\mu _{0}\left(\phi _{1}^{(j)}\right)^{2}}
18596:
18338:
15711:
are extensions of Gauss quadrature rules generated by adding
11396:{\displaystyle (f(x),g(x))=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)dx}
9752:
can also be expressed in terms of the orthogonal polynomials
8889:{\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}=a_{n}x^{n-1}+s(x)}
7762:
We can thus write the integral expression for the weights as
2223:
18754:
Tabulated weights and abscissae with Mathematica source code
13087:{\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r})p_{r}(x)-b_{r}p_{r-1}(x)}
5451:(see below for other formulas for the weights). But all the
18067:
17733:
10818:
18289:
Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics
15475:{\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)\,dx.}
5969:
This polynomial cannot change sign over the interval from
4359:
is constructed to be orthogonal to the other polynomials
887:
For the simplest integration problem stated above, i.e.,
18118:. Comm. Soc. Sci. Göttingen Math. Vol. 3. S. 29–76.
11108:
orthogonal polynomials) satisfy the recurrence relation
8668:
We can evaluate the integral on the right hand side for
7188:
can be expressed in terms of the orthogonal polynomials
18120:
datiert 1814, auch in Werke, Band 3, 1876, S. 163–196.
17967:{\displaystyle \int _{0}^{1}(-\log x)x^{\alpha }f(x)dx}
5083:{\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i}).}
18768:
Mathematica source code distributed under the GNU LGPL
18462:(3rd ed.), New York: Cambridge University Press,
18454:; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007),
14613:
13995:
13920:
13742:
11465:
10117:
10059:
802:
756:
18475:
17980:
17902:
17809:
17700:
17556:
17532:
17487:
17427:
17382:
17322:
17292:
17271:
17250:
17220:
17196:
17154:
17097:
17055:
16998:
16977:
16947:
16923:
16893:
16860:
16830:
16809:
16788:
16758:
16734:
16704:
16671:
16650:
16620:
16596:
16566:
16545:
16524:
16247:
16114:
16071:
16026:
15994:
15786:
15501:
15392:
15159:
15072:
15045:
14967:
14927:
14899:
14597:
14291:
14267:
14225:
13981:
13898:
13878:
13849:
13720:
13636:
13597:
13561:
13433:
13147:
13102:
12976:
12832:
12782:
12692:
12658:
12603:
12547:
12334:
12307:
12061:
12028:
11969:
11702:
11670:
11643:
11616:
11574:
11411:
11299:
11114:
11071:
11039:
11013:
10961:
10934:
10854:
10788:
10759:
10730:
10547:
10497:
10461:
10432:
10403:
10351:
10315:
10156:
10128:
10010:
9967:
9836:
9794:
9758:
9731:
9677:
9444:
9402:
9376:
9212:
8992:
8950:
8913:
8798:
8731:
8674:
8460:
8413:
8327:
8301:
8102:
7933:
7773:
7625:
7598:
7558:
7531:
7504:
7275:
7230:
7194:
7167:
7012:
6775:
6575:
6539:
6488:
6461:
6434:
6224:
6135:
5983:
5901:
5607:
5471:
5098:
5001:
4894:
4634:
4487:
4227:
4156:
4122:{\displaystyle x^{\alpha }e^{-x},\quad \alpha >-1}
4079:
4027:
3971:
3907:
3788:
3622:
3523:
3488:
3370:
3255:
2869:
2833:
2799:
2762:
2728:
2489:
2448:
2412:
2299:
2265:
2234:
2059:
2027:
2007:
1947:
1791:
1736:
1677:
1629:
1570:
1537:
1486:
1423:
1378:
1315:
1279:
1243:
1210:
1163:
997:
904:
833:. One may also want to integrate over semi-infinite (
544:
388:
232:
10107:{\textstyle {\frac {1}{b}}p_{n+1}\left(x_{i}\right)}
1992:{\displaystyle {\frac {dx}{d\xi }}={\frac {b-a}{2}}}
16:
Approximation of the definite integral of a function
15125:{\displaystyle \mu _{0}=\int _{a}^{b}\omega (x)dx.}
9370:The term in the brackets is a polynomial of degree
18511:
18460:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
18313:
18035:
17966:
17863:
17569:
17541:
17515:
17472:
17410:
17367:
17305:
17277:
17256:
17233:
17205:
17179:
17139:
17080:
17040:
16983:
16960:
16932:
16906:
16878:
16843:
16815:
16794:
16771:
16743:
16717:
16689:
16656:
16633:
16605:
16579:
16551:
16530:
16477:
16231:
16093:
16057:
16012:
15971:
15674:
15474:
15347:
15124:
15058:
15029:
14946:
14909:
14878:
14579:
14277:
14238:
14209:
13959:
13884:
13864:
13835:
13706:
13610:
13583:
13547:
13417:
13133:
13086:
12960:
12807:
12768:
12671:
12637:
12589:
12531:
12320:
12293:
12047:
12014:
11953:
11688:
11656:
11629:
11602:
11560:
11447:
11395:
11283:
11096:
11057:
11025:
10999:
10947:
10882:
10823:There are many algorithms for computing the nodes
10807:
10774:
10745:
10714:
10525:
10483:
10447:
10418:
10389:
10337:
10294:
10143:
10106:
10045:
9996:
9953:
9822:
9780:
9744:
9709:
9655:
9430:
9388:
9360:
9196:
8978:
8925:
8888:
8777:
8717:
8658:
8435:
8392:
8313:
8285:
8086:
7903:
7752:
7611:
7580:
7544:
7517:
7488:
7258:
7216:
7180:
7151:
6989:
6723:
6561:
6510:
6474:
6447:
6404:
6208:
6170:
6092:
5959:
5818:
5589:
5403:
5082:
4985:
4837:
4555:
4342:
4179:
4121:
4044:
3994:
3935:
3865:
3672:
3591:
3509:
3472:
3357:
3241:
2852:
2818:
2784:
2747:
2709:
2473:
2434:
2390:
2285:
2251:
2213:
2053:rule then results in the following approximation:
2045:
2013:
1991:
1931:
1764:
1718:
1657:
1611:
1550:
1511:
1468:
1403:
1360:
1292:
1261:
1223:
1181:
1102:
925:
825:
784:
740:
495:
328:
18036:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }E_{m}(x)f(x)dx}
12328:meets the same orthogonal polynomial. Therefore,
3673:{\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx}
1765:{\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}
1658:{\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}
18964:
18307:
18132:. Vol. 22, no. 102. pp. 251–270.
18047:. Vol. 27, no. 124. pp. 861–869.
17748:
17688:
17676:
17640:
17516:{\displaystyle {\frac {124-7{\sqrt {15}}}{350}}}
17411:{\displaystyle {\frac {124+7{\sqrt {15}}}{350}}}
16105:-th degree and the dash denotes the derivative.
12645:is a polynomial of degree less than or equal to
9671:), the weights are obtained by dividing this by
4474:or less. Divide it by the orthogonal polynomial
103:gives an approximation of the integral equal to
18711:From Lobatto Quadrature to the Euler constant e
18286:
18262:Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
12769:{\displaystyle (xp_{r},p_{s})=(p_{r},xp_{s})=0}
6197:distinct roots, all real, in the interval from
5435:, is defined to equal the weighted integral of
2406:First, changing the limits of integration from
361:is well-approximated by a polynomial of degree
18196:
18083:
17756:, eds. (1983) . "Chapter 25.4, Integration".
17711:
15378:is the monic (i.e. the leading coefficient is
15135:
10905:operations, and asymptotic formulas for large
8454:is a polynomial of at most nth degree we have
6746:and is thus fixed by the values it attains at
5960:{\displaystyle p_{n}(x)\,\prod _{i}(x-x_{i}).}
5465:, so the division formula above tells us that
3771:
380:. Instead, if the integrand can be written as
18811:
18572:
17664:
17652:
13625:
12826:. The recurrence relation then simplifies to
4865:or less, we can interpolate it exactly using
4770:
4715:
3510:{\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|}
1512:{\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}
1404:{\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}
17180:{\displaystyle {\frac {14-{\sqrt {7}}}{30}}}
17081:{\displaystyle {\frac {14+{\sqrt {7}}}{30}}}
16101:denotes the standard Legendre polynomial of
15753:It is accurate for polynomials up to degree
10782:are non-negative functions, it follows that
10122:Consider the following polynomial of degree
9717:and that yields the expression in equation (
6750:different points. Multiplying both sides by
5895:by one more factor to make a new polynomial
3936:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
2863:Now we can use the Gauss quadrature formula
933:, the associated orthogonal polynomials are
862:
18214:
8778:{\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}}
6122:is orthogonal to all polynomials of degree
4455:To prove the first part of this claim, let
18818:
18804:
18479:; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2000).
17864:{\displaystyle \int _{0}^{1}-\ln(x)f(x)dx}
16879:{\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{7}}}}
16690:{\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {1}{5}}}}
2224:Example of two-point Gauss quadrature rule
1262:{\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}}
1182:{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
191:or less by a suitable choice of the nodes
18825:
18526:
18430:. Vol. 5, no. 1. pp. 1–9.
18419:"Numerical integration - MATLAB integral"
18416:
18379:
18356:
18235:
18084:Gander, Walter; Gautschi, Walter (2000).
17886:
17722:
15818:
15462:
15315:
15241:
15200:
15187:
14550:
12541:However, if the scalar product satisfies
12015:{\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}}
6074:
6061:
6018:
5921:
5793:
5739:
5698:
5685:
5648:
5635:
5520:
5387:
5367:
5336:
5316:
5288:
5268:
5237:
5217:
5176:
5139:
5126:
5057:
4825:
4812:
4775:
4767:
4720:
4712:
4675:
4662:
4556:{\displaystyle h(x)=p_{n}(x)\,q(x)+r(x).}
4522:
4285:
4255:
4041:
3663:
3650:
2087:
1902:
1819:
991:and the weights are given by the formula
785:{\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
667:
575:
346:or less. This exact rule is known as the
338:which is exact for polynomials of degree
263:
179:constructed to yield an exact result for
76:Learn how and when to remove this message
18784:Nodes and Weights of Gaussian quadrature
18425:
18177:
18152:
18127:
18070:"Functions of One Variable (GNU Octave)"
17800:
10848:operations, Newton's method for solving
10819:Computation of Gaussian quadrature rules
4617:, it must be orthogonal to the quotient
872:
855:of a polynomial belonging to a class of
87:
39:This article includes a list of general
18631:
18606:NIST Handbook of Mathematical Functions
18573:Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002),
18220:"Calculation of Gauss Quadrature Rules"
18199:Numerical Methods for Special Functions
15066:is the integral of the weight function
14542:
5884:that are of odd multiplicity, multiply
898:is well-approximated by polynomials on
18965:
18779:Gauss–Kronrod Quadrature in Boost.Math
18387:
18365:
18252:
17895:
17629:
15733:
15695:
13951:
13827:
10923:
9438:. The integral can thus be written as
6129:or less, so the degree of the product
5424:, the weight associated with the node
4588:must equal that of the dividend), and
4433:or less. Furthermore, all these nodes
4205:
877:Graphs of Legendre polynomials (up to
18799:
18725:
18594:
18543:
18108:
17618:
10390:{\displaystyle f(x_{j})=\delta _{ij}}
4217:be a nontrivial polynomial of degree
1780:
18720:Holistic Numerical Methods Institute
15765:is the number of integration points.
9830:. In the 3-term recurrence relation
7764:
6215:
5828:This proves that for any polynomial
25:
17701:Quarteroni, Sacco & Saleri 2000
10118:Proof that the weights are positive
9396:, which is therefore orthogonal to
6171:{\displaystyle \prod _{i}(x-x_{i})}
4004:Chebyshev polynomials (second kind)
13:
18973:Numerical integration (quadrature)
18764:=64, with Mathematica source code.
18575:Introduction to Numerical Analysis
18157:. Vol. 24. pp. 245–260.
17991:
17803:"Gaussian quadrature formulae for
17306:{\displaystyle {\frac {256}{525}}}
15742:, named after Dutch mathematician
15382:) orthogonal polynomial of degree
15141:
14902:
14600:
14427:
14398:
14299:
14270:
11104:and leading coefficient one (i.e.
3586:
3577:
2785:{\displaystyle x_{1}=-0.577350269}
2276:
2245:
1551:{\displaystyle {\frac {128}{225}}}
957:-th polynomial normalized to give
45:it lacks sufficient corresponding
14:
18984:
18746:by Chris Maes and Anton Antonov,
18662:
18163:10.1090/S0025-5718-1970-0285117-6
18138:10.1090/S0025-5718-1968-0228171-0
18086:"Adaptive Quadrature - Revisited"
18053:10.1090/S0025-5718-1973-0331730-X
17888:10.1090/s0025-5718-1965-0178569-1
15484:In the important special case of
13134:{\displaystyle p_{-1}(x)\equiv 0}
11448:{\displaystyle r=0,1,\ldots ,n-1}
10177:
7631:
7281:
7058:
6896:
6636:
6518:. To prove this, note that using
4599:is the remainder, also of degree
3995:{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}
2853:{\displaystyle x_{2}=0.577350269}
2819:{\displaystyle c_{2}=1.000000000}
2748:{\displaystyle c_{1}=1.000000000}
2286:{\displaystyle t=30\mathrm {s} ,}
18896:Gauss–Kronrod quadrature formula
16907:{\displaystyle {\frac {49}{90}}}
16844:{\displaystyle {\frac {32}{45}}}
15702:Gauss–Kronrod quadrature formula
14246:of the polynomials up to degree
13983:
13901:
13892:th standard basis vector, i.e.,
13865:{\displaystyle \mathbf {e} _{n}}
13852:
13694:
10309:are the roots of the polynomial
6213:The weights can be expressed as
3772:§ Gauss–Legendre quadrature
30:
17741:
17727:
17716:
17570:{\displaystyle {\frac {1}{21}}}
17234:{\displaystyle {\frac {1}{15}}}
16961:{\displaystyle {\frac {1}{10}}}
16456:
16209:
15769:Lobatto quadrature of function
15653:
13233:
12638:{\displaystyle s<r-1,xp_{s}}
11664:can be shown by induction. For
11058:{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
11000:{\displaystyle (p_{r},p_{s})=0}
8718:{\displaystyle q(x)=p_{n-1}(x)}
6209:General formula for the weights
4301:
4106:
3844:
2252:{\displaystyle t=8\mathrm {s} }
471:
18748:Wolfram Demonstrations Project
18609:, Cambridge University Press,
18316:Numerical Methods and Software
18268:. S. 301–308und Werke, Band 6.
18024:
18018:
18012:
18006:
17955:
17949:
17933:
17918:
17852:
17846:
17840:
17834:
17705:
17694:
17682:
17677:Kahaner, Moler & Nash 1989
17670:
17658:
17646:
17634:
17623:
17612:
16772:{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
16718:{\displaystyle {\frac {5}{6}}}
16634:{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
16580:{\displaystyle {\frac {4}{3}}}
16450:
16444:
16439:
16424:
16371:
16356:
16149:
16137:
16088:
16082:
16052:
16046:
16007:
15995:
15949:
15936:
15889:
15886:
15877:
15868:
15862:
15856:
15850:
15838:
15815:
15809:
15647:
15641:
15636:
15627:
15580:
15565:
15459:
15453:
15447:
15441:
15435:
15429:
15405:
15393:
15342:
15316:
15306:
15297:
15292:
15286:
15281:
15272:
15258:
15245:
15197:
15191:
15184:
15178:
15110:
15104:
15012:
15006:
14939:
14933:
14910:{\displaystyle {\mathcal {J}}}
14278:{\displaystyle {\mathcal {J}}}
13814:
13808:
13782:
13776:
13761:
13755:
13727:
13689:
13683:
13664:
13646:
13542:
13516:
13510:
13475:
13469:
13434:
13409:
13371:
13366:
13340:
13328:
13290:
13285:
13250:
13224:
13198:
13193:
13164:
13122:
13116:
13081:
13075:
13043:
13037:
13024:
13005:
12999:
12993:
12955:
12949:
12905:
12899:
12886:
12861:
12855:
12849:
12757:
12728:
12722:
12693:
12584:
12569:
12563:
12548:
12520:
12491:
12485:
12456:
12450:
12424:
12402:
12373:
12367:
12335:
12288:
12262:
12237:
12205:
12177:
12151:
12129:
12100:
12094:
12062:
11942:
11913:
11907:
11878:
11872:
11846:
11824:
11795:
11789:
11763:
11760:
11735:
11729:
11703:
11591:
11585:
11384:
11378:
11372:
11366:
11360:
11354:
11330:
11327:
11321:
11312:
11306:
11300:
11278:
11272:
11237:
11231:
11187:
11181:
11168:
11143:
11137:
11131:
11085:
11072:
11052:
11040:
10988:
10962:
10871:
10865:
10769:
10763:
10740:
10734:
10643:
10630:
10584:
10578:
10572:
10566:
10514:
10501:
10478:
10472:
10413:
10407:
10368:
10355:
10332:
10326:
10166:
10160:
10053:in Eq. (1) can be replaced by
10046:{\displaystyle p_{n-1}(x_{i})}
10040:
10027:
9991:
9978:
9948:
9935:
9916:
9910:
9904:
9891:
9878:
9872:
9866:
9853:
9817:
9811:
9775:
9769:
9704:
9691:
9638:
9631:
9612:
9606:
9582:
9569:
9491:
9485:
9469:
9463:
9425:
9419:
9336:
9330:
9281:
9275:
9169:
9163:
9144:
9138:
9114:
9101:
9039:
9033:
9017:
9011:
8973:
8967:
8883:
8877:
8818:
8812:
8751:
8745:
8712:
8706:
8684:
8678:
8626:
8620:
8607:
8601:
8592:
8586:
8562:
8549:
8507:
8501:
8485:
8479:
8430:
8424:
8253:
8247:
8231:
8225:
8159:
8153:
8127:
8121:
7871:
7865:
7849:
7843:
7819:
7806:
7734:
7721:
7619:yields using L'Hôpital's rule
7575:
7569:
7442:
7436:
7253:
7247:
7211:
7205:
7050:
7044:
6888:
6882:
6861:
6848:
6812:
6806:
6800:
6794:
6628:
6615:
6585:
6579:
6556:
6543:
6505:
6499:
6396:
6383:
6364:
6351:
6321:
6314:
6295:
6289:
6165:
6146:
6071:
6065:
6053:
6034:
6015:
6009:
5951:
5932:
5918:
5912:
5810:
5797:
5756:
5743:
5695:
5689:
5682:
5676:
5645:
5639:
5632:
5626:
5581:
5568:
5559:
5546:
5537:
5524:
5517:
5504:
5488:
5475:
5384:
5371:
5333:
5327:
5313:
5307:
5285:
5272:
5234:
5221:
5214:
5208:
5173:
5167:
5136:
5130:
5123:
5117:
5074:
5061:
5054:
5048:
5011:
5005:
4911:
4905:
4822:
4816:
4809:
4803:
4764:
4758:
4749:
4743:
4737:
4731:
4709:
4703:
4672:
4666:
4659:
4653:
4547:
4541:
4532:
4526:
4519:
4513:
4497:
4491:
4440:will lie in the open interval
4282:
4276:
4252:
4246:
3748:For more information, see ...
3660:
3654:
3647:
3641:
3604:
3450:
3444:
3428:
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1080:
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1:
18410:10.1016/S0377-0427(00)00506-9
18381:10.1016/S0377-0427(99)00228-9
18237:10.1090/S0025-5718-69-99647-1
17601:
15495:, we have the error estimate
12590:{\displaystyle (xf,g)=(f,xg)}
9710:{\displaystyle p'_{n}(x_{i})}
7161:This integral expression for
5092:Then its integral will equal
218:The modern formulation using
114:, while the correct value is
18566:10.1016/0010-4655(91)90076-W
18495:10.1007/978-3-540-49809-4_10
18301:10.24874/jsscm.2017.11.01.02
17801:Anderson, Donald G. (1965).
17689:Abramowitz & Stegun 1983
17641:Abramowitz & Stegun 1983
17606:
15136:Gil, Segura & Temme 2007
13975:, called the Jacobi matrix:
9997:{\displaystyle p_{n}(x_{i})}
8407:which is then orthogonal to
6111:is always non-negative. But
4466:be any polynomial of degree
4382:is in the span of that set.
7:
18730:"Legendre-Gauss Quadrature"
18675:Encyclopedia of Mathematics
18597:"§3.5(v): Gauss Quadrature"
16058:{\displaystyle P'_{n-1}(x)}
14947:{\displaystyle \phi ^{(j)}}
11293:and scalar product defined
9719:
9667:
7917:
6418:
4574:is the quotient, of degree
10:
18989:
18937:Clenshaw–Curtis quadrature
18911:Chebyshev–Gauss quadrature
18670:"Gauss quadrature formula"
18358:10.1007/s11075-022-01297-9
18278:: CS1 maint: postscript (
18224:Mathematics of Computation
18218:; Welsch, John H. (1969).
17712:Gander & Gautschi 2000
15699:
13626:The Golub-Welsch algorithm
12022:are orthogonal, then also
11603:{\displaystyle p_{0}(x)=1}
10883:{\displaystyle p_{n}(x)=0}
10808:{\displaystyle w_{i}>0}
10746:{\displaystyle \omega (x)}
10526:{\displaystyle f(x_{j})=0}
9823:{\displaystyle p_{n+1}(x)}
9431:{\displaystyle p_{n-1}(x)}
8979:{\displaystyle p_{n-1}(x)}
8907:is a polynomial of degree
8785:is a polynomial of degree
8400:is a polynomial of degree
7927:In the integrand, writing
7259:{\displaystyle p_{n-1}(x)}
6100:since the weight function
4869:interpolation points with
4180:{\displaystyle e^{-x^{2}}}
4011:Chebyshev–Gauss quadrature
3955:Chebyshev–Gauss quadrature
2021:point Gaussian quadrature
866:
837:) and infinite intervals (
18:
18919:
18906:Gauss–Legendre quadrature
18901:Gauss–Laguerre quadrature
18876:
18858:Adaptive Simpson's method
18833:
18537:10.1016/j.jco.2017.10.002
18178:Gautschi, Walter (2020).
18090:BIT Numerical Mathematics
17665:Stoer & Bulirsch 2002
17653:Stoer & Bulirsch 2002
17244:
16971:
16782:
16644:
16518:
16487:Some of the weights are:
12808:{\displaystyle a_{r,s}=0}
11097:{\displaystyle (p_{r})=r}
10894:for evaluation requiring
5876:inside the interval from
4140:Gauss–Laguerre quadrature
4063:Gauss–Laguerre quadrature
1528:
1525:
1306:
1201:
1198:
1193:
1149:
1146:
1132:
1123:
869:Gauss–Legendre quadrature
863:Gauss–Legendre quadrature
835:Gauss–Laguerre quadrature
348:Gauss–Legendre quadrature
18886:Gauss–Hermite quadrature
18312:; Nash, Stephen (1989).
16094:{\displaystyle P_{m}(x)}
15153:continuous derivatives,
15059:{\displaystyle \mu _{0}}
13584:{\displaystyle xp_{r-1}}
10484:{\displaystyle p_{n}(x)}
10338:{\displaystyle p_{n}(x)}
9781:{\displaystyle p_{n}(x)}
8436:{\displaystyle p_{n}(x)}
7581:{\displaystyle p_{n}(x)}
7217:{\displaystyle p_{n}(x)}
6562:{\displaystyle r(x_{i})}
6511:{\displaystyle p_{k}(x)}
4198:Gauss–Hermite quadrature
4045:{\displaystyle e^{-x}\,}
2046:{\displaystyle (\xi ,w)}
839:Gauss–Hermite quadrature
169:Gaussian quadrature rule
18891:Gauss–Jacobi quadrature
18595:Temme, Nico M. (2010),
18102:10.1023/A:1022318402393
15138:) for further details.
12048:{\displaystyle p_{r+1}}
11637:, the orthogonality of
11026:{\displaystyle r\neq s}
10928:Orthogonal polynomials
9665:According to equation (
8314:{\displaystyle k\leq n}
5601:. Thus we finally have
3891:Gauss–Jacobi quadrature
3742:Orthogonal polynomials
750:Common weights include
534:Gauss–Jacobi quadrature
60:more precise citations.
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18654:10.1006/jcph.1996.0258
18368:J. Comput. Appl. Math.
18037:
17968:
17865:
17571:
17543:
17517:
17474:
17412:
17369:
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17258:
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16985:
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16817:
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16745:
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14252:Golub–Welsch algorithm
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13866:
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13708:
13618:by a degree less than
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10809:
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10669:
10616:
10527:
10485:
10449:
10420:
10397:. Since the degree of
10391:
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8088:
7905:
7754:
7613:
7588:. Taking the limit of
7582:
7546:
7525:is the coefficient of
7519:
7490:
7260:
7218:
7182:
7153:
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6844:
6725:
6611:
6563:
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6512:
6476:
6455:is the coefficient of
6449:
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1933:
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1104:
927:
884:
857:orthogonal polynomials
827:
786:
742:
697:
497:
330:
293:
220:orthogonal polynomials
156:
18927:Barnes–Hut simulation
18835:Newton–Cotes formulas
18827:Numerical integration
18703:algorithms (see also
18515:Journal of Complexity
18482:Numerical Mathematics
18390:J. Comput. Appl. Math
18110:Gauss, Carl Friedrich
18038:
17969:
17866:
17572:
17544:
17542:{\displaystyle \pm 1}
17518:
17475:
17413:
17370:
17308:
17280:
17259:
17236:
17208:
17206:{\displaystyle \pm 1}
17182:
17142:
17083:
17043:
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16963:
16935:
16933:{\displaystyle \pm 1}
16909:
16881:
16846:
16818:
16797:
16774:
16746:
16744:{\displaystyle \pm 1}
16720:
16692:
16659:
16636:
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16606:{\displaystyle \pm 1}
16582:
16554:
16533:
16480:
16234:
16096:
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16013:{\displaystyle (i-1)}
15974:
15895:
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14212:
13962:
13887:
13867:
13838:
13709:
13613:
13611:{\displaystyle p_{r}}
13586:
13550:
13427:(the last because of
13420:
13136:
13096:(with the convention
13089:
12963:
12810:
12771:
12686:. Therefore, one has
12674:
12672:{\displaystyle p_{r}}
12652:. On the other hand,
12640:
12592:
12534:
12323:
12321:{\displaystyle p_{s}}
12296:
12050:
12017:
11956:
11691:
11689:{\displaystyle r=s=0}
11659:
11657:{\displaystyle p_{r}}
11632:
11630:{\displaystyle p_{0}}
11605:
11563:
11450:
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11286:
11099:
11060:
11033:for a scalar product
11028:
11002:
10950:
10948:{\displaystyle p_{r}}
10892:three-term recurrence
10885:
10810:
10777:
10748:
10717:
10649:
10596:
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10450:
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10392:
10340:
10302:where, as above, the
10297:
10146:
10109:
10048:
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9745:{\displaystyle w_{i}}
9712:
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7219:
7183:
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7154:
6992:
6824:
6761:and integrating from
6742:has degree less than
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6591:
6564:
6513:
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6475:{\displaystyle x^{k}}
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6448:{\displaystyle a_{k}}
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3719:Abramowitz and Stegun
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2016:
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1553:
1514:
1471:
1406:
1363:
1295:
1264:
1226:
1184:
1105:
928:
876:
867:Further information:
828:
787:
743:
677:
498:
331:
273:
91:
18952:Tanh-sinh quadrature
18546:Comput. Phys. Commun
18489:. pp. 425–478.
18345:Numerical Algorithms
17978:
17900:
17807:
17554:
17530:
17485:
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