70:
1365:
1125:
6479:
3458:
4724:
1114:
451:
1360:{\displaystyle {\begin{aligned}&(-1)^{n+1}\lambda _{n}=\varphi ^{-2n}+C\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{\sqrt {n}}}+d(n)\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{n}},\\&{\text{where }}C={\frac {{\sqrt{5}}\cdot \zeta (3/2)}{2{\sqrt {\pi }}}}=1.1019785625880999_{+};\end{aligned}}}
3188:
6293:
6276:= −0.00474863... and so on. The values get small quickly but are oscillatory. Some explicit sums on these values can be performed. They can be explicitly related to the Stieltjes constants by re-expressing the falling factorial as a polynomial with
5480:
2441:
4560:
5818:
4555:
5660:
4836:
982:
1673:
5273:
4459:
6122:
5954:
4957:
1001:
5073:
1982:
2808:
1130:
267:
3638:
2742:
1507:
1440:
The eigenvalues form a discrete spectrum, when the operator is limited to act on functions on the unit interval of the real number line. More broadly, since the Gauss map is the shift operator on
6474:{\displaystyle \left({\frac {2n}{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\sqrt {4\pi n}}}\cos \left({\sqrt {4\pi n}}-{\frac {5\pi }{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {e^{-{\sqrt {4\pi n}}}}{n^{1/4}}}\right).}
590:
4330:
2559:
519:
6257:
4235:
148:
4105:
3700:
2238:
5665:
This operator is extremely well formed, and thus very numerically tractable. The Gauss–Kuzmin constant is easily computed to high precision by numerically diagonalizing the upper-left
2853:
2177:
2992:
3453:{\displaystyle \mu (T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n})=\mu ((a,b))\mu (\Delta _{n})\underbrace {\left({\frac {q_{n}(q_{n}+q_{n-1})}{(q_{n}+q_{n-1}b)(q_{n}+q_{n-1}a)}}\right)} _{\geq 1/2}}
1470:
5312:
185:
3183:
2907:
1885:
3891:
4464:
2061:
2097:
1559:
4750:
4155:
4065:
4041:
2603:
2506:
2354:
2330:
2278:
1740:
1426:
842:
3019:
2134:
3499:
1824:
1782:
2476:
5153:
3845:
2359:
2005:
6145:
2662:
782:
6176:
5848:
4262:
2689:
2633:
5687:
1397:
4131:
4017:
696:
4370:
4350:
4282:
4198:
4178:
3814:
3127:
2579:
805:
259:
239:
5673:
portion. There is no known closed-form expression that diagonalizes this operator; that is, there are no closed-form expressions known for the eigenvectors.
4719:{\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B_{0})\mu (\Delta _{n})\in {\frac {1}{2}}(\mu (B)\pm \epsilon )\mu (\Delta _{n})}
5491:
4755:
889:
1564:
606: = 1. This eigenfunction gives the probability of the occurrence of a given integer in a continued fraction expansion, and is known as the
5161:
6945:
4375:
5965:
5856:
4856:
6682:
Yeremin, A. Yu.; Kaporin, I. E.; Kerimov, M. K. (1988). "Computation of the derivatives of the
Riemann zeta-function in the complex domain".
1109:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda _{n}}{\lambda _{n+1}}}=-\varphi ^{2},{\text{ where }}\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}
6511:
Alkauskas, Giedrius (2018). "Transfer operator for the Gauss' continued fraction map. I. Structure of the eigenvalues and trace formulas".
4968:
1893:
195:
869:
2241:
446:{\displaystyle (x)=\int _{0}^{1}\delta (x-h(y))f(y)\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right).}
6642:
3504:
6655:
Yeremin, A. Yu.; Kaporin, I. E.; Kerimov, M. K. (1985). "The calculation of the
Riemann zeta-function in the complex domain".
6613:
2107:
1475:
539:
1119:
In 2018, Giedrius
Alkauskas gave a convincing argument that this conjecture can be refined to a much stronger statement:
2750:
2694:
4287:
2511:
459:
6830:
6192:
28:
of the Gauss map that takes a positive number to the fractional part of its reciprocal. (This is not the same as the
6287:
This expansion of the
Riemann zeta is investigated in the following references. The coefficients are decreasing as
4203:
87:
6280:
coefficients, and then solving. More generally, the
Riemann zeta can be re-expressed as an expansion in terms of
4070:
3647:
2198:
2813:
2187:
The Gauss map is in fact much more than ergodic: it is exponentially mixing, but the proof is not elementary.
2139:
6148:
5475:{\displaystyle (-1)^{m}{\frac {g^{(m)}(1)}{m!}}=\sum _{n=0}^{\infty }G_{mn}(-1)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}},}
2912:
607:
3641:
1446:
7007:
188:
156:
3138:
2866:
1829:
7012:
3850:
6942:
2010:
876:. Analytic forms for additional eigenfunctions are not known. It is not known if the eigenvalues are
2066:
1528:
6554:
4729:
4136:
4046:
4022:
2584:
2487:
2335:
2297:
2259:
1678:
1402:
883:
Let us arrange the eigenvalues of the Gauss–Kuzmin–Wirsing operator according to an absolute value:
814:
1441:
6975:
6709:
Báez-Duarte, Luis (2003). "A new necessary and sufficient condition for the
Riemann hypothesis".
2997:
2436:{\displaystyle \exists \gamma >0,\forall A\in {\mathcal {C}},\mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)}
2112:
2106:
of the shift operator, that is, a function that is invariant under shifts. This is given by the
3466:
1787:
1745:
2446:
849:
5105:
3819:
1990:
6130:
5813:{\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s-1 \choose n}t_{n}}
4847:
1429:
844:
is simple, and since the operator leaves invariant the Gauss–Kuzmin measure, the operator is
53:
33:
711:
6884:
6782:
6154:
5826:
4240:
2667:
2611:
521:, unique up to scaling, which is the density of the measure invariant under the Gauss map.
6912:
6867:
6850:
6498:
A Graduate
Introduction to Numerical Methods From the Viewpoint of Backward Error Analysis
1373:
8:
6179:
4550:{\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\in \mu (B\cap \Delta _{n})\pm \epsilon }
4110:
3908:
49:
6786:
2642:
624:
6818:
6798:
6772:
6710:
6619:
6533:
6512:
4355:
4335:
4267:
4183:
4163:
3705:
3024:
2564:
2245:
1525:). In the later case, it has a continuous spectrum, with eigenvalues in the unit disk
1514:
790:
615:
244:
224:
6937:
992:
6972:
6902:
On the
Theorem of Gauss–Kuzmin–Lévy and a Frobenius-Type Theorem for Function Spaces.
6826:
6695:
6668:
6623:
6609:
6574:
6183:
988:
219:
25:
6802:
6790:
6743:
6691:
6664:
6601:
6566:
6281:
1522:
5655:{\displaystyle G_{mn}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{k+m+1 \choose m}\left.}
4831:{\displaystyle \mu (B\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B)\mu (\Delta _{n})}
977:{\displaystyle 1=|\lambda _{1}|>|\lambda _{2}|\geq |\lambda _{3}|\geq \cdots .}
6949:
6909:
6881:
6864:
6847:
6496:
6277:
2636:
2285:
1668:{\displaystyle C_{n}=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \mathbb {N} ^{\omega }:a_{n}=b\}}
808:
6926:
6605:
848:
with respect to the measure. This fact allows a short proof of the existence of
6993:
sequence A038517 (Decimal expansion of Gauss-Kuzmin-Wirsing constant)
6958:
The
Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta
5306: ≤ 1. Then the GKW operator acts on the Taylor coefficients as
611:
45:
6891:
High-Accuracy
Numerical Values of the Gauss–Kuzmin Continued Fraction Problem.
6794:
6593:
7001:
6578:
5087:
530:
41:
6763:
Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2006). "On Differences of Zeta Values".
6748:
6731:
6600:, Infosys Science Foundation Series, Singapore: Springer, pp. 135–167,
5268:{\displaystyle f(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}}}
2103:
1518:
1510:
1472:, the GKW operator can also be viewed as an operator on the function space
855:
Additional eigenvalues can be computed numerically; the next eigenvalue is
6570:
4454:{\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\Delta B)=\mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon }
6117:{\displaystyle t_{n}=1-\gamma +\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left}
17:
6715:
5949:{\displaystyle t_{n}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {G_{mn}}{(m+1)(m+2)}}.}
4952:{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx}
2240:. This can be proved by the Rokhlin formula for entropy. Then using the
877:
596:
37:
6970:
701:
is the continued fraction representation of a number 0 <
6980:
6777:
29:
6957:
4237:. Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set
5068:{\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}x\left\,dx}
610:. This follows in part because the Gauss map acts as a truncating
59:
6538:
6517:
1977:{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}r_{n,b}(x)}
6989:
2691:, meaning the symmetric difference has arbitrarily small measure
845:
69:
6825:, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961
6736:
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
6732:"A sequential Riesz-like criterion for the Riemann hypothesis"
2288:, which is less restrictive as it allows non-disjoint unions.
1784:
to be the indicator function which is 1 on the cylinder (when
210:. It is hard to approximate it by a single smooth polynomial.
5290: = 1 because the GKW operator is poorly behaved at
4841:
6992:
5485:
where the matrix elements of the GKW operator are given by
5294: = 0. The expansion is made about 1 −
4133:
are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
864:
6927:
A precise computation of the Gauss–Kuzmin–Wirsing constant
6592:
Pollicott, Mark (2019), Dani, S. G.; Ghosh, Anish (eds.),
3633:{\displaystyle ={\frac {q_{n}+q_{n-1}t}{p_{n}+p_{n-1}t}}}
2280:
is a set of measurable sets, such that any open set is a
6932:(Contains a very extensive collection of references.)
2102:
A special case arises when one wishes to consider the
1502:{\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {C} }
6681:
6654:
6296:
6195:
6157:
6133:
5968:
5859:
5829:
5690:
5494:
5315:
5164:
5108:
4971:
4859:
4758:
4732:
4563:
4467:
4378:
4358:
4338:
4290:
4270:
4243:
4206:
4186:
4166:
4139:
4113:
4073:
4049:
4025:
3911:
3853:
3822:
3708:
3650:
3507:
3469:
3191:
3141:
3027:
3000:
2915:
2869:
2816:
2753:
2697:
2670:
2645:
2614:
2587:
2567:
2514:
2490:
2449:
2362:
2338:
2300:
2262:
2201:
2142:
2115:
2069:
2013:
1993:
1896:
1832:
1790:
1748:
1681:
1567:
1531:
1478:
1449:
1405:
1376:
1128:
1004:
892:
817:
793:
714:
627:
542:
462:
270:
247:
227:
159:
90:
585:{\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}\ {\frac {1}{1+x}}}
6532:Vepstas, Linas (2008). "On the Minkowski Measure".
3905:Consider the set of all open intervals in the form
2195:The Gauss map, over the Gauss measure, has entropy
1561:of the complex plane. That is, given the cylinder
6473:
6251:
6170:
6139:
6116:
5948:
5842:
5812:
5654:
5474:
5267:
5147:
5067:
4951:
4830:
4744:
4718:
4549:
4453:
4364:
4344:
4324:
4276:
4256:
4229:
4192:
4172:
4149:
4125:
4099:
4059:
4035:
4011:
3885:
3839:
3808:
3694:
3632:
3493:
3452:
3177:
3121:
3013:
2986:
2901:
2847:
2803:{\displaystyle \mu (B'\cap B)\geq \gamma \mu (B')}
2802:
2736:
2683:
2656:
2627:
2597:
2573:
2553:
2500:
2484:Since any open set is a disjoint union of sets in
2470:
2435:
2348:
2324:
2272:
2251:
2232:
2171:
2128:
2091:
2055:
1999:
1976:
1879:
1818:
1776:
1734:
1667:
1553:
1501:
1464:
1420:
1391:
1359:
1108:
976:
836:
799:
776:
690:
584:
513:
445:
253:
233:
179:
142:
6555:"Kuzmin, coupling, cones, and exponential mixing"
6050:
6037:
5794:
5773:
5603:
5576:
5567:
5554:
2737:{\displaystyle \mu (B'\Delta B^{c})<\epsilon }
6999:
6765:Journal of Computational and Applied Mathematics
4850:. Note that the zeta function can be written as
4325:{\displaystyle \mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon }
4067:is a covering family, because any open interval
3816:. Now compute directly. To show the fraction is
2554:{\displaystyle \mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)}
2063:whenever the summation converges: that is, when
1006:
514:{\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{\ln 2(1+x)}}}
60:Relationship to the maps and continued fractions
6762:
6252:{\displaystyle a_{n}=t_{n}-{\frac {1}{2(n+1)}}}
6598:Geometric and Ergodic Aspects of Group Actions
4200:-invariant and has positive measure. Pick any
524:
4230:{\displaystyle \Delta _{n}\in {\mathcal {C}}}
2244:, with its equipartition property, we obtain
143:{\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor .}
1662:
1590:
174:
160:
134:
120:
6857:On the Discretization of a Problem of Gauss
6729:
6708:
4100:{\displaystyle (a,b)\setminus \mathbb {Q} }
3695:{\displaystyle T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n}}
2858:
6594:"Exponential Mixing: Lectures from Mumbai"
6552:
4942:
2233:{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}
6776:
6747:
6714:
6591:
6537:
6516:
6510:
5058:
4842:Relationship to the Riemann zeta function
4838:. By Knopp's lemma, it has full measure.
4093:
1987:then is an eigenfunction with eigenvalue
1633:
1495:
1481:
1452:
872:) and its absolute value is known as the
349:
5850:are given by the matrix elements above:
2848:{\displaystyle 0\geq \gamma \mu (B^{c})}
2172:{\displaystyle G?^{\prime }=?^{\prime }}
1675:, the operator G shifts it to the left:
68:
6531:
5302:a positive number, 0 ≤
2987:{\displaystyle {\frac {q_{n}}{p_{n}}}=}
2284:union of sets in it. Compare this with
1513:, with basis functions taken to be the
213:
7000:
2356:be a covering family and suppose that
1465:{\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}
1435:
6971:
6812:
5959:Performing the summations, one gets:
3021:be the open interval with end-points
6943:On the Gauss–Kuzmin–Wirsing Constant
6643:The Shannon-McMillan-Breiman Theorem
6500:by Corless, Robert, Fillion, Nicolas
4019:. Collect them into a single family
1826:), and zero otherwise, one has that
5681:The Riemann zeta can be written as
4846:The GKW operator is related to the
180:{\displaystyle \lfloor 1/x\rfloor }
13:
6918:
6874:On a Theorem of Gauss–Kuzmin–Lévy.
6410:
6041:
5889:
5777:
5746:
5580:
5558:
5393:
5202:
5081:
4816:
4772:
4704:
4648:
4597:
4529:
4501:
4436:
4408:
4307:
4222:
4208:
4142:
4052:
4028:
3683:
3642:standard continued fraction theory
3276:
3230:
3178:{\displaystyle (a,b)\subset (0,1)}
3002:
2902:{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}
2712:
2590:
2493:
2389:
2378:
2363:
2341:
2265:
2164:
2151:
2121:
1928:
1880:{\displaystyle Gr_{n,b}=r_{n-1,b}}
1016:
375:
14:
7024:
6964:
6684:USSR Comput. Math. And Math. Phys
6657:USSR Comput. Math. And Math. Phys
6553:Zweimüller, Roland (2004-03-30).
4089:
3886:{\displaystyle q_{n}\geq q_{n-1}}
6855:K. I. Babenko and S. P. Jur'ev,
5286:). The expansion is made about
2635:. Since the Lebesgue measure is
2242:Shannon–McMillan–Breiman theorem
2056:{\displaystyle (x)=\lambda f(x)}
64:
6976:"Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant"
6756:
6723:
5676:
3702:is an interval with end points
3644:. By expanding the definition,
2252:Measure-theoretic preliminaries
2092:{\displaystyle |\lambda |<1}
1554:{\displaystyle |\lambda |<1}
6859:, Soviet Mathematical Doklady
6842:, Soviet Mathematical Doklady
6702:
6675:
6648:
6635:
6585:
6546:
6525:
6504:
6490:
6243:
6231:
6092:
6080:
6025:
6015:
5937:
5925:
5922:
5910:
5761:
5751:
5700:
5694:
5635:
5617:
5542:
5532:
5455:
5449:
5444:
5438:
5421:
5411:
5360:
5354:
5349:
5343:
5326:
5316:
5251:
5245:
5240:
5234:
5217:
5207:
5180:
5168:
5142:
5136:
5133:
5124:
5118:
5112:
5094: = 1 for a function
4981:
4975:
4923:
4917:
4869:
4863:
4825:
4812:
4806:
4800:
4781:
4762:
4745:{\displaystyle \epsilon \to 0}
4736:
4713:
4700:
4694:
4685:
4679:
4673:
4657:
4644:
4638:
4625:
4606:
4567:
4557:By the previous lemma, we have
4538:
4519:
4510:
4471:
4442:
4423:
4414:
4382:
4313:
4294:
4150:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4086:
4074:
4060:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4036:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4006:
4003:
3959:
3953:
3915:
3912:
3803:
3759:
3753:
3709:
3676:
3664:
3552:
3508:
3488:
3476:
3418:
3383:
3380:
3345:
3340:
3308:
3285:
3272:
3266:
3263:
3251:
3248:
3239:
3223:
3211:
3195:
3172:
3160:
3154:
3142:
3116:
3072:
3066:
3028:
2981:
2943:
2842:
2829:
2797:
2786:
2774:
2757:
2725:
2701:
2598:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2548:
2542:
2530:
2518:
2501:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2459:
2453:
2430:
2424:
2412:
2400:
2349:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2325:{\displaystyle B\subset [0,1)}
2319:
2307:
2273:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2079:
2071:
2050:
2044:
2032:
2026:
2023:
2014:
1971:
1965:
1906:
1900:
1813:
1807:
1771:
1765:
1735:{\displaystyle GC_{n}=C_{n-1}}
1729:
1723:
1701:
1695:
1625:
1593:
1584:
1578:
1541:
1533:
1491:
1421:{\displaystyle \zeta (\star )}
1415:
1409:
1386:
1380:
1319:
1305:
1236:
1230:
1146:
1136:
1013:
987:It was conjectured in 1995 by
961:
946:
938:
923:
915:
900:
837:{\displaystyle \lambda _{1}=1}
768:
730:
724:
718:
685:
634:
505:
493:
472:
466:
399:
386:
346:
340:
334:
331:
325:
313:
289:
283:
280:
271:
100:
94:
1:
6484:
2182:
874:Gauss–Kuzmin–Wirsing constant
862:= −0.3036630029... (sequence
206:, for positive integers
194:It has an infinite number of
22:Gauss–Kuzmin–Wirsing operator
6696:10.1016/0041-5553(88)90121-8
6669:10.1016/0041-5553(85)90116-8
52:; it is also related to the
48:. It occurs in the study of
7:
6606:10.1007/978-981-15-0683-3_4
3014:{\displaystyle \Delta _{n}}
2129:{\displaystyle ?^{\prime }}
525:Eigenvalues of the operator
10:
7029:
6730:Báez-Duarte, Luis (2005).
6269:= −0.0772156... and
3899:The Gauss map is ergodic.
3494:{\displaystyle t\in (0,1)}
2909:of positive integers. Let
2639:, we can take an open set
2190:
1819:{\displaystyle x\in C_{n}}
1777:{\displaystyle r_{n,b}(x)}
6795:10.1016/j.cam.2007.07.040
6149:Euler–Mascheroni constant
4372:-invariant, we also have
2471:{\displaystyle \mu (B)=1}
608:Gauss–Kuzmin distribution
218:The Gauss–Kuzmin–Wirsing
77:The Gauss function (map)
5148:{\displaystyle g(x)=(x)}
3840:{\displaystyle \geq 1/2}
2859:The Gauss map is ergodic
2136:. That is, one has that
2000:{\displaystyle \lambda }
705: < 1, then
595:which corresponds to an
6749:10.1155/IJMMS.2005.3527
6178:play the analog of the
6140:{\displaystyle \gamma }
5278:and write likewise for
5078:by change-of-variable.
456:it has the fixed point
6936:Phillipe Flajolet and
6893:Computers Math. Appl.
6475:
6253:
6186:expansion. By writing
6172:
6141:
6118:
6014:
5950:
5893:
5844:
5814:
5750:
5656:
5531:
5476:
5397:
5269:
5206:
5149:
5069:
4953:
4832:
4746:
4720:
4551:
4455:
4366:
4346:
4326:
4278:
4258:
4231:
4194:
4174:
4151:
4127:
4101:
4061:
4037:
4013:
3887:
3841:
3810:
3696:
3634:
3495:
3454:
3179:
3135:For any open interval
3123:
3015:
2988:
2903:
2849:
2804:
2738:
2685:
2658:
2629:
2599:
2581:, not just any set in
2575:
2555:
2502:
2472:
2437:
2350:
2326:
2274:
2234:
2173:
2130:
2093:
2057:
2001:
1978:
1932:
1881:
1820:
1778:
1736:
1669:
1555:
1503:
1466:
1422:
1393:
1361:
1110:
978:
838:
801:
778:
777:{\displaystyle h(x)=.}
692:
586:
515:
447:
379:
255:
235:
181:
144:
74:
6840:On a Problem of Gauss
6571:10.1515/form.2004.021
6476:
6254:
6173:
6171:{\displaystyle t_{n}}
6142:
6119:
5994:
5951:
5873:
5845:
5843:{\displaystyle t_{n}}
5815:
5730:
5657:
5511:
5477:
5377:
5270:
5186:
5150:
5070:
4954:
4848:Riemann zeta function
4833:
4747:
4721:
4552:
4456:
4367:
4347:
4327:
4279:
4259:
4257:{\displaystyle B_{0}}
4232:
4195:
4175:
4152:
4128:
4102:
4062:
4038:
4014:
3888:
3842:
3811:
3697:
3635:
3496:
3455:
3180:
3124:
3016:
2989:
2904:
2850:
2805:
2739:
2686:
2684:{\displaystyle B^{c}}
2659:
2630:
2628:{\displaystyle B^{c}}
2600:
2576:
2556:
2503:
2473:
2438:
2351:
2327:
2275:
2235:
2174:
2131:
2094:
2058:
2002:
1979:
1912:
1882:
1821:
1779:
1737:
1670:
1556:
1504:
1467:
1430:Riemann zeta function
1423:
1394:
1362:
1111:
979:
839:
802:
779:
693:
587:
516:
448:
359:
256:
236:
182:
145:
72:
54:Riemann zeta function
36:.) It is named after
34:differential geometry
6294:
6193:
6155:
6131:
5966:
5857:
5827:
5688:
5492:
5313:
5298:so that we can keep
5162:
5106:
4969:
4857:
4756:
4730:
4561:
4465:
4376:
4356:
4336:
4288:
4268:
4241:
4204:
4184:
4164:
4137:
4111:
4071:
4047:
4023:
3909:
3851:
3847:, use the fact that
3820:
3706:
3648:
3505:
3467:
3189:
3139:
3025:
2998:
2913:
2867:
2814:
2751:
2695:
2668:
2643:
2612:
2608:Take the complement
2585:
2565:
2512:
2488:
2447:
2360:
2336:
2298:
2260:
2199:
2140:
2113:
2067:
2011:
1991:
1894:
1830:
1788:
1746:
1679:
1565:
1529:
1476:
1447:
1403:
1392:{\displaystyle d(n)}
1374:
1126:
1002:
890:
815:
791:
712:
625:
540:
533:of this operator is
460:
268:
245:
225:
214:Operator on the maps
196:jump discontinuities
157:
88:
7008:Continued fractions
6908:, 507–528, (1974).
6880:, 251–256, (1992).
6823:Continued Fractions
6787:2008JCoAM.220...58F
6180:Stieltjes constants
5025:
4962:which implies that
4913:
4264:which differs from
4126:{\displaystyle a,b}
4012:{\displaystyle (,)}
2994:. Let the interval
2332:be measurable, let
2007:. That is, one has
1515:indicator functions
1436:Continuous spectrum
850:Khinchin's constant
616:continued fractions
309:
73:File:Gauss function
50:continued fractions
6973:Weisstein, Eric W.
6948:2005-05-18 at the
6813:General references
6559:Forum Mathematicum
6471:
6249:
6168:
6137:
6114:
5946:
5840:
5810:
5652:
5472:
5265:
5145:
5065:
5011:
4949:
4899:
4828:
4742:
4716:
4547:
4451:
4362:
4342:
4322:
4274:
4254:
4227:
4190:
4170:
4147:
4123:
4097:
4057:
4033:
4009:
3883:
3837:
3806:
3692:
3630:
3491:
3450:
3449:
3431:
3175:
3119:
3011:
2984:
2899:
2845:
2800:
2734:
2681:
2657:{\displaystyle B'}
2654:
2625:
2595:
2571:
2551:
2498:
2468:
2433:
2346:
2322:
2270:
2256:A covering family
2230:
2169:
2126:
2089:
2053:
1997:
1974:
1877:
1816:
1774:
1732:
1665:
1551:
1499:
1462:
1418:
1389:
1370:here the function
1357:
1355:
1342:1.1019785625880999
1106:
1020:
974:
834:
807:is conjugate to a
797:
774:
691:{\displaystyle x=}
688:
582:
511:
443:
295:
251:
241:acts on functions
231:
177:
140:
75:
7013:Dynamical systems
6863::731–735 (1978).
6834:(See section 15).
6742:(21): 3527–3537.
6615:978-981-15-0683-3
6462:
6440:
6398:
6380:
6354:
6315:
6282:Sheffer sequences
6247:
6184:falling factorial
6107:
6069:
6048:
5941:
5792:
5722:
5601:
5565:
5467:
5372:
5263:
5003:
4891:
4795:
4671:
4620:
4365:{\displaystyle T}
4345:{\displaystyle B}
4277:{\displaystyle B}
4193:{\displaystyle T}
4173:{\displaystyle B}
3809:{\displaystyle ,}
3628:
3422:
3290:
3288:
3122:{\displaystyle ,}
2938:
2664:that is close to
2574:{\displaystyle A}
2561:for any open set
2228:
2108:Minkowski measure
1509:(considered as a
1335:
1332:
1297:
1276:
1263:
1222:
1221:
1101:
1095:
1073:
1072: where
1049:
1005:
989:Philippe Flajolet
811:, the eigenvalue
800:{\displaystyle h}
580:
563:
559:
509:
434:
409:
254:{\displaystyle f}
234:{\displaystyle G}
26:transfer operator
7020:
6991:
6986:
6985:
6897:, 37–44, (1993).
6846::136–140 (1978)
6807:
6806:
6780:
6760:
6754:
6753:
6751:
6727:
6721:
6720:
6718:
6706:
6700:
6699:
6679:
6673:
6672:
6652:
6646:
6639:
6633:
6632:
6631:
6630:
6589:
6583:
6582:
6550:
6544:
6543:
6541:
6529:
6523:
6522:
6520:
6508:
6502:
6494:
6480:
6478:
6477:
6472:
6467:
6463:
6461:
6460:
6456:
6443:
6442:
6441:
6430:
6420:
6414:
6413:
6404:
6400:
6399:
6394:
6386:
6381:
6370:
6357:
6356:
6355:
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