1136:
951:
842:
1131:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{minimize}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}}\\{\text{subject to}}\quad &u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m.\end{aligned}}}
702:
339:
837:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\in \mathbf {S} _{0}}{\text{maximize}}}\quad &tf\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\\{\text{subject to}}\quad &tg\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\leq 1,\\&t\geq 0.\end{aligned}}}
691:
254:
575:
265:
149:
956:
707:
894:
616:
154:
379:
500:
101:
935:
401:
1259:
32:
in a fractional program is a ratio of two functions that are in general nonlinear. The ratio to be optimized often describes some kind of efficiency of a system.
513:
1252:
439:
does not have to be restricted in sign. The linear fractional program is a special case of a concave fractional program where all functions
1360:
334:{\displaystyle {\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} }{\text{maximize}}}\quad {\frac {f({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}},}
1245:
110:
854:
1268:
1319:
686:{\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol {x}})}}}
249:{\displaystyle \mathbf {S} =\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}:h_{j}({\boldsymbol {x}})\leq 0,j=1,\ldots ,m\}}
347:
442:
43:
25:
903:
1334:
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104:
8:
1339:
1309:
1289:
1279:
1226:
1179:
29:
693:, any concave fractional program can be transformed to the equivalent parameter-free
1230:
1183:
1218:
1163:
1237:
1154:
Schaible, Siegfried (1974). "Parameter-free Convex
Equivalent and Dual Programs".
1171:
694:
1200:
Avriel, Mordecai; Diewert, Walter E.; Schaible, Siegfried; Zang, Israel (1988).
570:{\displaystyle q({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})/g({\boldsymbol {x}})}
1354:
1324:
1222:
1167:
424:
601:. In a linear fractional program, the objective function is
1199:
945:
The
Lagrangian dual of the equivalent concave program is
144:{\displaystyle \mathbf {S} _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}
1209:
Schaible, Siegfried (1983). "Fractional programming".
608:
954:
906:
857:
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619:
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445:
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157:
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46:
1267:
900:is positive may be dropped. Also, it simplifies to
1130:
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888:
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248:
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95:
1352:
851:is affine, the first constraint is changed to
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1253:
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1246:
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358:
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1353:
930:{\displaystyle g({\boldsymbol {y}})=1}
1241:
1361:Optimization algorithms and methods
1211:Zeitschrift für Operations Research
1156:Zeitschrift für Operations Research
609:Transformation to a concave program
13:
403:, is called a fractional program.
14:
1372:
1320:Infinite-dimensional optimization
988:
731:
389:
284:
179:
159:
116:
1269:Major subfields of optimization
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545:
537:
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411:A fractional program in which
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354:
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314:
306:
298:
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202:
1:
1193:
505:
35:
26:linear-fractional programming
419:is positive and convex, and
415:is nonnegative and concave,
396:{\displaystyle \mathbf {S} }
7:
1335:Multiobjective optimization
407:Concave fractional programs
10:
1377:
1315:Combinatorial optimization
940:
429:concave fractional program
1275:
593:are differentiable, then
18:mathematical optimization
1141:
896:and the assumption that
1330:Constraint satisfaction
24:is a generalization of
1305:Stochastic programming
1285:Fractional programming
1132:
931:
890:
838:
687:
613:By the transformation
571:
496:
397:
375:
335:
250:
145:
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22:fractional programming
1300:Nonlinear programming
1295:Quadratic programming
1202:Generalized Concavity
1133:
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891:
839:
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572:
497:
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376:
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146:
105:real-valued functions
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111:
44:
1340:Simulated annealing
1310:Robust optimization
1290:Integer programming
1280:Convex programming
1223:10.1007/bf01916898
1168:10.1007/BF02026600
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258:nonlinear program
107:defined on a set
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1349:
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1266:
1204:. Plenum Press.
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599:pseudoconcave
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