Knowledge

14283: 197: 13936: 230: 21019: 5528: 210: 14278:{\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}} 20398: 7328: 20072: 8736: 3410: 23817: 8721: 5067: 8751: 6236: 30291: 11219: 536: 19548: 22525: 23508: 6896: 21014:{\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}} 3005: 10865: 23049: 9856: 5523:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in \\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}} 4541: 8042: 12090: 11888: 11583: 6594: 30600: 12321: 2280: 22158: 21430: 5833: 11454: 7323:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}} 196: 20067:{\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}} 22702: 3405:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}} 9652: 7375: 23812:{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}} 229: 16829: 7673: 8431: 21046: 6376: 1977: 1738: 21760: 3674: 6231:{\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}} 20391: 11052: 11228: 22520:{\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).} 17669: 9351: 25190: 1471: 5732: 18554: 23044:{\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.} 11776: 3900: 24543: 7464: 8037:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}} 6589:{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}} 21437: 8128: 19328: 2275:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx,\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}} 20099: 11213: 1504: 21425:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}} 4544: 17391: 3452: 29138: 25533: 402: 25750: 23217: 11449:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}} 8735: 202: 919: 19541: 10874: 1240: 28434: 8720: 24277: 18132: 8895: 4739: 28829: 11577: 18347: 159:. This application is possible because the derivatives of trigonometric functions fall into simple patterns. Fourier series cannot be used to approximate arbitrary functions, because most functions have infinitely many terms in their Fourier series, and the series do not always 1273: 10750: 24396: 151:, but not all trigonometric series are Fourier series. By expressing a function as a sum of sines and cosines, many problems involving the function become easier to analyze because trigonometric functions are well understood. For example, Fourier series were first used by 12450: 25952: 9647:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}} 9091: 5577: 8750: 27371: 12003: 18947: 12200: 11592: 9809:, Fourier believed that such trigonometric series could represent any arbitrary function. In what sense that is actually true is a somewhat subtle issue and the attempts over many years to clarify this idea have led to important discoveries in the theories of 4051: 2982: 19097: 3705: 22695: 25027: 10280: 6744: 23920: 708: 8426:{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left\\&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}} 12315: 14927: 10859: 7662: 209: 25317: 25537: 23056: 21863: 17799: 19335: 15735: 11065: 1733:{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{n}=D_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad B_{n}=D_{n}\sin(\varphi _{n})\\\\&D_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\arctan(B_{n},A_{n}).\end{aligned}}} 16942:. Since Fourier arrived at his basis by attempting to solve the heat equation, the natural generalization is to use the eigensolutions of the Laplace–Beltrami operator as a basis. This generalizes Fourier series to spaces of the type 21755:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.} 24109: 17995: 17966:, we could make a Fourier series of it. This kind of function can be, for example, the effective potential that one electron "feels" inside a periodic crystal. It is useful to make the Fourier series of the potential when applying 4328: 3669:{\displaystyle C_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0},\quad &&n=0\\{\tfrac {D_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(A_{n}-iB_{n}),\quad &n>0\\C_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}} 13930:, there are four components, denoted below by the subscripts RE, RO, IE, and IO. And there is a one-to-one mapping between the four components of a complex time function and the four components of its complex frequency transform: 8547: 16781: 20386:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}} 11047:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}} 9318: 24690: 7553: 738: 25184: 1057: 28266: 18310: 26446: 26295: 8849:. Prior to Fourier's work, no solution to the heat equation was known in the general case, although particular solutions were known if the heat source behaved in a simple way, in particular, if the heat source was a 4556: 21985: 17664:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}} 9747: 28180: 26813: 7678: 28661: 12084: 28035: 25768: 27901: 11882: 15480: 11467: 8834:. Early ideas of decomposing a periodic function into the sum of simple oscillating functions date back to the 3rd century BC, when ancient astronomers proposed an empiric model of planetary motions, based on 6901: 25309: 15081: 1466:{\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \cos(\varphi _{n})\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)} 24778: 18704: 2738: 29102: 17964: 20403: 19553: 17396: 16555: 10659: 8133: 3010: 9842:...the manner in which the author arrives at these equations is not exempt of difficulties and...his analysis to integrate them still leaves something to be desired on the score of generality and even 26714: 28838: 13832: 13720: 12330: 16414: 15007: 22611: 22606: 8950: 5727:{\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)} 28255: 18549:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).} 18187: 12335: 12104: 11902: 11597: 11233: 10879: 10664: 9356: 6381: 5838: 5072: 3710: 1982: 1509: 23822: 13550: 11771:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}} 27214: 13421: 11897: 15880: 12099: 4215: 4167: 3895:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=C_{0}&\\A_{n}&=C_{n}+C_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(C_{n}-C_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}} 24538:{\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }} 9149: 186:, which means studying the behavior of the sum as more and more terms from the series are summed. The figures below illustrate some partial Fourier series results for the components of a 13265: 13141: 3931: 2853: 527: 28498: 14694: 5569: 2634: 2329: 16638: 14642: 27522: 16461: 16215: 13594: 13465: 13341: 16007: 13212: 12751: 9905: 9325: 8802: 4847: 14590: 10351: 26601: 17707: 16722: 13912: 13756: 462: 29028: 27692: 18618: 16258: 15619: 8822: 26131: 26089: 16074: 15918: 12843: 27048: 24920: 15826: 15376: 10124: 6640: 555:. The function can be analyzed over this interval to produce the Fourier series in the bottom graph. The Fourier series is always a periodic function, even if original function 19002: 12808: 10582: 6336: 2554: 574: 25303: 24104: 24075: 24046: 24017: 23984: 23951: 21919: 18339: 18243: 17855: 9997: 397: 24310: 17886: 12212: 6844: 4451: 2663: 1214: 1158: 28597: 27770: 22083: 22021: 16321: 10764: 7559: 6884: 28546: 27169: 25193: 24568: 19323:{\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}} 16167: 15123: 14796: 11809: 9784: 5044: 4805: 1879: 1875: 27074: 22153: 22131: 17990: 17908: 17277: 16664: 16120: 7458: 5822: 4389: 337: 27549: 27401: 27142: 26940: 10064: 8710:. It is possible to define Fourier coefficients for more general functions or distributions, in which case point wise convergence often fails, and convergence in norm or 7423: 24605: 15606: 13646: 4968: 13051: 12517: 2439: 26996: 26893: 26500: 25063: 17152: 17116: 16976: 15285: 15252: 14768: 12962: 10116: 2836: 269: 28016: 27194: 26027: 24833: 22109: 17386: 16756: 16581: 16283: 15969: 15165: 11208:{\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}} 2803: 28653: 27666: 12582: 10415: 10023: 8505: 8475: 28002: 27627: 27448: 25095: 24391: 24364: 24337: 23499: 23472: 23445: 23358: 23331: 23304: 21890: 21771: 19092: 19065: 18699: 18672: 18645: 18214: 17826: 13088: 13002: 12883: 6271: 5789: 5762: 4942: 4362: 1942: 1845: 1811: 1784: 364: 26549: 10648: 10611: 10507: 10380: 9929: 9207: 9178: 8644: 8595: 8074: 7360: 4997: 4922: 4422: 4119: 2583: 2358: 298: 28623: 22047: 13876: 12627: 4873: 2764: 435: 15346: 12670: 6296: 4474: 2401: 1098: 489: 27971: 27951: 27931: 27732: 27712: 27600: 27569: 27468: 27421: 27098: 26960: 26913: 26857: 26621: 26520: 26322: 26047: 25972: 25271: 25251: 25231: 25211: 24912: 24892: 24625: 23418: 23398: 23378: 23277: 23257: 23237: 21041: 20094: 19022: 17330: 17310: 17247: 17192: 17172: 17051: 16996: 16940: 16920: 16885: 16341: 16140: 16094: 16036: 15755: 15544: 15524: 15500: 15314: 15219: 15185: 14788: 14732: 14525: 12916: 12647: 12537: 10527: 10435: 10084: 8615: 8566: 8114: 8094: 6807: 6787: 6767: 6617: 6365: 5017: 4893: 4529: 2603: 2378: 1962: 1901: 1234: 1178: 1118: 30482: 29039: 25273: 24868: 17227: 17031: 8741: 8700: 6273: 2522: 2490: 4220: 26719: 8726: 25528:{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,} 17673: 25745:{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1} 23212:{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},} 15387: 9348:) for any function which has such an expansion. It works because if φ has such an expansion, then (under suitable convergence assumptions) the integral 29425: 914:{\displaystyle s_{_{N}}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+B_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)} 29352: 28039: 19536:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}} 9907:, so it is not immediately apparent why one would need the Fourier series. While there are many applications, Fourier's motivation was in solving the 9214: 24630: 24019: 28429:{\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}} 23924:(it may be advantageous for the sake of simplifying calculations, to work in such a rectangular coordinate system, in which it just so happens that 7480: 25106: 949: 24272:{\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.} 18127:{\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},} 4734:{\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )={\tfrac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi f(x-\tau )\right)\,dx;\quad \tau \in \left} 18248: 29231: 26333: 26182: 30125: 28824:{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2} 26626: 21924: 9657: 30472: 28053: 9999:. If there is no heat source within the plate, and if three of the four sides are held at 0 degrees Celsius, while the fourth side, given by 15196: 12466: 30565: 12015: 11572:{\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}} 9793: 8508: 27778: 26829: 13941: 11819: 10118:, then one can show that the stationary heat distribution (or the heat distribution after a long period of time has elapsed) is given by 30053: 26159: 19004:. In what follows, we use function notation to denote these coefficients, where previously we used subscripts. If we write a series for 29403: 17692: 5046: 24713: 15012: 10745:{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}\\&A_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&B_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}} 30406: 2671: 29046: 17913: 16466: 167: 29536: 12445:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}} 8858: 6623: 1252: 29696: 29350:[On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits]. 30416: 29941: 29787: 29760: 29733: 29706: 29647: 29518: 29273: 25947:{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;} 13769: 9086:{\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .} 313: 17: 29348:"Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données" 13652: 30080: 14945: 8826:-smooth) function can be represented by a trigonometric series. The first announcement of this great discovery was made by 2556: 70: 29723: 22532: 8742: 403: 29777: 29750: 28191: 18137: 15763: 14369: 14313: 8727: 30580: 30411: 30171: 30118: 29837: 29610: 29578: 27366:{\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS|^{2}.} 11998:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}} 412: 85: 75: 18942:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).} 16346: 12195:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}} 4545: 30560: 30005: 29981: 29886: 29867: 29812: 29491: 29462: 29436: 29241: 29214: 29189: 13480: 13356: 4046:{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx;\quad \forall \ n\in \mathbb {Z} \,} 2977:{\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,} 30570: 15837: 8711: 4172: 4124: 29394: 9098: 30462: 30452: 29122: 28928: 24312: 23819: 23502: 13227: 13103: 1880: 494: 60: 28446: 15552: 5536: 2608: 2303: 29343: 28883: 16586: 14647: 8885: 27483: 16422: 16176: 14595: 13556: 13427: 13271: 30575: 30477: 30111: 30034: 28021: 27910: 27205: 26154: 26138: 22690:{\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },} 17076: 16895: 15974: 13147: 12700: 9866: 9863: 8876: 8846: 8527: 4814: 179: 31: 18951: 10477: 10298: 30603: 26554: 25022:{\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,} 16669: 14534: 13882: 13726: 10275:{\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.} 8827: 8777: 6739:{\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),} 438: 28985: 27671: 23915:{\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}} 18561: 703:{\displaystyle s_{_{N}}(x)=D_{0}+\sum _{n=1}^{N}D_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)} 30585: 30029: 26094: 26052: 16041: 15885: 12814: 7366:, even though the Fourier integral of a periodic function is not convergent at the harmonic frequencies. 29901: 27001: 15350: 12310:{\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P} 30467: 29040: 28948: 28938: 28933: 28863: 18954: 17686: 16825:, which proves results about representations of compact groups analogous to those about finite groups. 14922:{\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S{\Bigr |}^{2}.} 14697: 13927: 12757: 10854:{\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P} 10534: 9798: 8789: 8647: 7657:{\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .} 6303: 2530: 271:(in red) is a Fourier series sum of 6 harmonically related sine waves (in blue). Its Fourier transform 65: 29125:, although the latter made some independent contributions to the theory of waves and vibrations. (See 25276: 24080: 24051: 24022: 23993: 23960: 23927: 21895: 18315: 18219: 17831: 9934: 373: 30457: 30447: 30437: 29893: 28898: 24284: 23360: 17860: 17682: 16220: 8933: 8532: 6887: 6820: 4427: 2639: 1190: 1134: 30024: 28555: 27741: 22052: 21990: 16288: 11491: 11391: 11285: 11089: 10936: 6853: 30081: 28503: 27147: 26301: 24548: 16145: 15086: 11782: 9762: 5022: 4769: 1850: 30047: 29329: 27053: 22136: 22114: 17973: 17891: 17260: 16643: 16103: 7428: 5800: 4367: 320: 30629: 30624: 30552: 30374: 27527: 27379: 27103: 26918: 10028: 9790: 8866: 8831: 7385: 1818: 1814: 1263: 144: 24573: 13609: 8756: 4947: 30214: 30161: 28868: 16822: 16776: 13017: 12478: 10438: 9341: 8901: 8877: 2417: 29931: 29639: 29261: 28443: 26965: 26862: 26472: 25032: 21858:{\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}} 17794:{\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}} 17121: 17085: 16945: 16867: 15257: 15224: 14737: 12931: 10089: 9833: 6626: 2808: 238: 30421: 30166: 28853: 27575: 26456: 25981: 24787: 22088: 17335: 16735: 16560: 15923: 15730:{\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau } 15128: 14709: 10458: 10454: 9837: 9825: 8835: 8703: 6847: 2775: 29381: 28873: 28628: 27632: 12546: 10385: 10002: 8484: 8454: 30532: 30369: 30138: 29995: 29482: 29386: 29105: 27980: 27605: 27426: 25068: 24369: 24342: 24315: 23477: 23450: 23423: 23336: 23309: 23282: 21868: 19070: 19027: 18677: 18650: 18623: 18192: 17804: 15611: 15503: 13057: 12968: 12856: 9806: 8781: 8771: 8533: 8477:, the Fourier series converges to 0, which is the half-sum of the left- and right-limit of 6249: 5767: 5740: 4927: 4340: 2408: 1915: 1823: 1789: 1762: 416: 342: 148: 26525: 16724: 10624: 10587: 10483: 10356: 9914: 9183: 9154: 8620: 8571: 8050: 7336: 4973: 4898: 4398: 4095: 2559: 2334: 309:, a more general tool that can even find the frequency information for functions that are 300: 274: 8: 30512: 30379: 29545:] (in French). Paris: Gauthier-Villars et Fils. pp. 218–219 – via Gallica. 28602: 27694:. More generally, the Fourier series is absolutely summable, thus converges uniformly to 27571: 22026: 17054: 16891: 16862: 13838: 12588: 9843: 4852: 2743: 1241: 415: 29323: 29139: 27735: 27174: 21768: 17071: 16263: 15319: 12652: 9824: 6278: 4456: 4323:{\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).} 2383: 1080: 471: 30442: 30353: 30338: 30310: 30290: 30229: 30097: 29918: 29627: 29480: 29361: 27956: 27936: 27916: 27717: 27697: 27585: 27554: 27453: 27406: 27083: 26945: 26898: 26842: 26606: 26505: 26307: 26032: 25957: 25256: 25236: 25216: 25196: 24897: 24877: 24610: 23403: 23383: 23363: 23262: 23242: 23222: 21026: 20079: 19007: 17967: 17315: 17295: 17232: 17177: 17157: 17066: 17036: 16981: 16925: 16905: 16870: 16841: 16326: 16125: 16079: 16021: 15740: 15529: 15509: 15485: 15290: 15204: 15170: 14937: 14773: 14717: 14510: 12889: 12632: 12522: 10512: 10420: 10069: 8862: 8600: 8551: 8099: 8079: 6792: 6772: 6752: 6602: 6341: 5002: 4878: 4479: 2994: 2588: 2363: 1947: 1886: 1245:) The exponential form is most easily generalized for complex-valued functions. (see 1219: 1163: 1103: 29290: 28914: 24838: 17197: 17001: 16806: 10584: 8653: 2495: 2444: 30:"Fourier's theorem" redirects here. For the number of real roots of a polynomial, see 30542: 30343: 30315: 30269: 30259: 30239: 30224: 30063: 30001: 29977: 29970: 29937: 29882: 29863: 29833: 29808: 29783: 29756: 29729: 29702: 29643: 29632: 29606: 29574: 29514: 29487: 29458: 29432: 29269: 29237: 29210: 29185: 28888: 28028: 28005: 27197: 25189: 24781: 17674: 17254: 17072: 12470: 10289: 9818: 9810: 8925: 8917: 8707: 4808: 4532: 4392: 3420: 1259: 432: 306: 160: 140: 50: 40: 29506: 17053: 30527: 30348: 30274: 30264: 30244: 30146: 30066: 29910: 29398: 29118: 28893: 28878: 28858: 27974: 26824: 17250: 16899: 16858: 16790: 9911:. For example, consider a metal plate in the shape of a square whose sides measure 9802: 8921: 8889: 8793: 8757: 6620: 3474: 420: 367: 314: 136: 103: 80: 27913: 27403: 13926: 8597:(which may not exist everywhere) is square integrable, then the Fourier series of 2407: 30305: 30234: 30084: 29452: 29426: 28953: 28943: 27201: 25762: 25311: 17888:, such that it obeys the condition of periodicity for any Bravais lattice vector 17701: 16898:. The Laplace–Beltrami operator is the differential operator that corresponds to 16787: 15831: 10286: 408: 26142: 17194: 9313:{\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.} 1100: 30522: 30517: 30196: 30181: 29991: 29876: 29319: 29257: 29165: 28903: 24685:{\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})} 16833: 14157: 14134: 14111: 14088: 14071: 10441:. This method of solving the heat problem was made possible by Fourier's work. 9814: 8861:. Fourier's idea was to model a complicated heat source as a superposition (or 8785: 4760: 152: 29683: 29384:[About the representability of a function by a trigonometric series]. 29347: 16998: 11218: 7548:{\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,} 535: 30618: 30502: 30176: 25179:{\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.} 24871: 24707: 24701: 16888: 16783: 16768: 15197: 14339:. Conversely, an even-symmetric transform implies a real-valued time-domain. 10450: 10382: 9908: 8870: 8842: 8797: 8515: 7463: 7379: 1052:{\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}C_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}} 156: 29382:"Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" 29160: 30507: 30249: 30191: 30046: 30042: 29965: 29209:(1st ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 42–44. 25954: 18305:{\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}} 8929: 2404: 29390: 26441:{\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.} 26290:{\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},} 10864: 9855: 8537: 30254: 30201: 29950: 28919: 28848: 16803: 8905: 8873:. This superposition or linear combination is called the Fourier series. 8544: 404: 216: 187: 27: 26148: 21980:{\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}} 17857: 9742:{\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}} 4054: 30103: 30093: 29922: 29664:"Characterizations of a linear subspace associated with Fourier series" 28185: 28175:{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left.} 26808:{\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.} 14528: 6631: 6627: 4540: 1128: 164: 29957:. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from 18620:, is now a function of three-variables, each of which has periodicity 17695: 12089: 11887: 11582: 2441: 30186: 30092: 30071: 29567: 29300:. Department of Applied Mathematics, Illinois Institute of Technology 26141:, but follows also from the properties of classical kernels like the 25100: 17292: 16837: 16802: 16772: 12320: 12079:{\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P} 8909: 8897: 8823: 6814: 1184: 29914: 23517: 1906: 171: 30134: 29663: 29634: 29262:"Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century" 27896:{\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S|} 27196:. Since the derivative is continuous, and therefore bounded, it is 11877:{\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P} 8881: 168: 29857: 29366: 15475:{\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)} 8892: 29959: 29807:(2nd corrected ed.). New York, NY: Dover Publications, Inc. 29268:. Vol. VII: The Nineteenth Century. Routledge. p. 204. 9829: 7467: 27977:'s much more sophisticated result that the Fourier series of an 22155: 15502:-periodic, and its Fourier series coefficients are given by the 12629: 112: 20395: 16845: 15076:{\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty } 9326: 8913: 8854: 8803: 8796:. Fourier introduced the series for the purpose of solving the 29684: 29121:, especially D'Alembert. Euler's work in this area was mostly 24773:{\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}} 8780:(1768–1830), who made important contributions to the study of 7374: 127: 29860: 26137:= 1,2,.... The density of their span is a consequence of the 9794: 8800: 6810: 2733:{\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).} 29535: 29478: 29097:{\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}} 17959:{\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )} 16828: 14288: 8538:§ Fourier theorem proving convergence of Fourier series 29900: 29184:(3rd ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. 28599:) and getting smaller, before starting a new such wave. At 17678: 16550:{\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}=(in)^{k}{\widehat {s}}} 11565: 11438: 11363: 11201: 11014: 8850: 124: 118: 115: 9859: 30000:(third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. 26709:{\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},} 15920: 9654: 5824: 4121: 29877: 29862:(8th ed.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. 29395: 28033: 26029: 17075:. However, there is a straightforward generalization to 6813:. The "teeth" of the comb are spaced at multiples (i.e. 6769: 215: 30061: 29397:, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by 28552: 23219: 22608:, the sum is actually over reciprocal lattice vectors: 16922:. Then, by analogy, one can consider heat equations on 15971: 13827:{\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}} 172: 29477: 29075: 26551:, in the sense that, for any trigonometric polynomial 26502: 26419: 26268: 21707: 21668: 21629: 21385: 21330: 21275: 20965: 20926: 20887: 20599: 20346: 20291: 20018: 19979: 19743: 19496: 19269: 16285: 15015: 14799: 14650: 14598: 14537: 13715:{\displaystyle S\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}} 13689: 9886: 9759: 8857: 7266: 6825: 6619: 6575: 6556: 6485: 6466: 5423: 5369: 5305: 5251: 5158: 5104: 4715: 4585: 4432: 3998: 3555: 3508: 3377: 3314: 3283: 3226: 3176: 3142: 3104: 3073: 3031: 2919: 2708: 2644: 2617: 2312: 2225: 2112: 1444: 1379: 1295: 1195: 1139: 1033: 887: 837: 668: 503: 30483: 30473: 29049: 28988: 28664: 28631: 28605: 28558: 28506: 28449: 28269: 28194: 28056: 28024: 27983: 27959: 27939: 27919: 27781: 27744: 27720: 27700: 27674: 27635: 27608: 27588: 27557: 27530: 27486: 27456: 27429: 27409: 27382: 27217: 27177: 27150: 27106: 27086: 27056: 27004: 26968: 26948: 26921: 26901: 26865: 26845: 26722: 26629: 26609: 26557: 26528: 26508: 26475: 26336: 26310: 26185: 26149: 26097: 26055: 26035: 25984: 25960: 25771: 25540: 25320: 25279: 25259: 25239: 25219: 25199: 25109: 25071: 25035: 24923: 24900: 24880: 24841: 24790: 24716: 24633: 24613: 24576: 24551: 24399: 24372: 24345: 24318: 24287: 24112: 24083: 24054: 24025: 23996: 23963: 23930: 23825: 23773: 23742: 23711: 23678: 23647: 23616: 23583: 23552: 23521: 23511: 23480: 23453: 23426: 23406: 23386: 23366: 23339: 23312: 23285: 23265: 23245: 23225: 23059: 22705: 22614: 22535: 22161: 22139: 22117: 22091: 22055: 22029: 21993: 21927: 21898: 21871: 21774: 21440: 21049: 21029: 20401: 20102: 20082: 19551: 19338: 19100: 19073: 19030: 19010: 18957: 18707: 18680: 18653: 18626: 18564: 18350: 18318: 18251: 18222: 18195: 18140: 17998: 17976: 17916: 17894: 17863: 17834: 17807: 17710: 17394: 17338: 17318: 17298: 17263: 17257: 17235: 17200: 17180: 17160: 17124: 17088: 17039: 17004: 16984: 16948: 16928: 16908: 16873: 16844:, which can be used to produce Fourier series on the 16738: 16672: 16646: 16589: 16563: 16469: 16425: 16349: 16329: 16291: 16266: 16223: 16179: 16148: 16128: 16106: 16082: 16044: 16024: 15977: 15926: 15888: 15840: 15766: 15743: 15622: 15555: 15532: 15512: 15488: 15390: 15353: 15322: 15293: 15260: 15227: 15207: 15173: 15131: 15089: 15002:{\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots } 14948: 14776: 14740: 14720: 14513: 13939: 13885: 13841: 13772: 13729: 13655: 13612: 13559: 13483: 13430: 13359: 13274: 13230: 13150: 13106: 13060: 13020: 12971: 12934: 12892: 12859: 12817: 12760: 12703: 12655: 12635: 12591: 12549: 12525: 12481: 12333: 12215: 12102: 12018: 11900: 11822: 11785: 11595: 11470: 11231: 11068: 10877: 10767: 10662: 10627: 10590: 10537: 10515: 10486: 10423: 10388: 10359: 10301: 10127: 10092: 10072: 10031: 10005: 9937: 9917: 9869: 9765: 9660: 9354: 9217: 9186: 9157: 9101: 8953: 8656: 8623: 8603: 8574: 8554: 8487: 8457: 8131: 8102: 8082: 8053: 8047: 7676: 7562: 7483: 7431: 7388: 7339: 6899: 6856: 6823: 6795: 6775: 6755: 6643: 6605: 6379: 6367:, and functional notation often replaces subscripting 6344: 6306: 6281: 6252: 5836: 5803: 5770: 5743: 5580: 5539: 5070: 5025: 5005: 4976: 4950: 4930: 4901: 4881: 4855: 4817: 4772: 4559: 4482: 4459: 4430: 4401: 4370: 4343: 4223: 4175: 4127: 4098: 3934: 3708: 3455: 3008: 2856: 2811: 2778: 2746: 2674: 2642: 2611: 2591: 2562: 2533: 2498: 2447: 2420: 2386: 2366: 2337: 2306: 1980: 1950: 1918: 1889: 1853: 1826: 1792: 1765: 1507: 1276: 1222: 1193: 1166: 1137: 1106: 1083: 952: 741: 577: 497: 474: 441: 426: 376: 345: 323: 277: 241: 109: 29619: 29454: 28020:-periodic function need not converge pointwise. The 22601:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )} 22111:). Then for any arbitrary reciprocal lattice vector 17970:. First, we may write any arbitrary position vector 17681: 8865:) of simple sine and cosine waves, and to write the 7667: 29776:Pribram, Karl H.; Yasue, Kunio; Jibu, Mari (1991). 29571: 28250:{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).} 27772:. In the absolutely summable case, the inequality: 18182:{\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,} 17696: 8900:. The Fourier series has many such applications in 8808: 8760:) at the transitions to/from the vertical sections. 2665: 539:Fig 1. The top graph shows a non-periodic function 106: 29969: 29631: 29479: 29428:Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 29096: 29022: 28823: 28647: 28617: 28591: 28540: 28492: 28428: 28249: 28174: 27996: 27965: 27945: 27925: 27895: 27764: 27726: 27706: 27686: 27660: 27621: 27594: 27563: 27543: 27516: 27462: 27442: 27415: 27395: 27365: 27188: 27163: 27136: 27092: 27068: 27042: 26990: 26954: 26934: 26907: 26887: 26851: 26807: 26708: 26615: 26595: 26543: 26514: 26494: 26440: 26316: 26289: 26125: 26083: 26041: 26021: 25966: 25946: 25744: 25527: 25297: 25265: 25245: 25225: 25205: 25178: 25089: 25057: 25021: 24906: 24886: 24862: 24827: 24772: 24684: 24619: 24599: 24562: 24537: 24385: 24358: 24331: 24304: 24271: 24098: 24069: 24040: 24011: 23978: 23945: 23914: 23811: 23493: 23466: 23439: 23412: 23392: 23372: 23352: 23325: 23298: 23271: 23251: 23231: 23211: 23043: 22689: 22600: 22519: 22147: 22125: 22103: 22077: 22041: 22015: 21979: 21913: 21884: 21857: 21754: 21424: 21035: 21013: 20385: 20088: 20066: 19535: 19322: 19086: 19059: 19016: 18996: 18941: 18693: 18666: 18639: 18612: 18548: 18333: 18304: 18237: 18208: 18181: 18126: 17984: 17958: 17902: 17880: 17849: 17820: 17793: 17663: 17380: 17324: 17304: 17271: 17241: 17221: 17186: 17166: 17146: 17110: 17045: 17025: 16990: 16970: 16934: 16914: 16879: 16821:An alternative extension to compact groups is the 16750: 16716: 16658: 16632: 16575: 16549: 16455: 16408: 16335: 16315: 16277: 16252: 16209: 16161: 16134: 16114: 16088: 16068: 16030: 16001: 15963: 15912: 15874: 15820: 15749: 15729: 15600: 15538: 15518: 15494: 15474: 15370: 15340: 15308: 15279: 15246: 15213: 15179: 15159: 15117: 15075: 15001: 14921: 14782: 14762: 14726: 14688: 14636: 14584: 14519: 14277: 13906: 13870: 13826: 13750: 13714: 13640: 13588: 13544: 13459: 13415: 13335: 13259: 13206: 13135: 13082: 13045: 12996: 12956: 12910: 12877: 12837: 12802: 12745: 12664: 12641: 12621: 12576: 12531: 12511: 12444: 12309: 12194: 12078: 11997: 11876: 11803: 11770: 11571: 11448: 11207: 11046: 10853: 10744: 10642: 10605: 10576: 10521: 10501: 10429: 10409: 10374: 10345: 10274: 10110: 10078: 10058: 10017: 9991: 9923: 9899: 9789:In these few lines, which are close to the modern 9778: 9741: 9646: 9312: 9201: 9172: 9143: 9085: 8694: 8638: 8609: 8589: 8560: 8499: 8469: 8425: 8108: 8088: 8068: 8036: 7656: 7547: 7452: 7417: 7354: 7322: 6878: 6838: 6801: 6781: 6761: 6738: 6611: 6588: 6359: 6330: 6290: 6265: 6230: 5816: 5783: 5756: 5726: 5563: 5522: 5038: 5011: 4991: 4970:of that frequency. Figure 2 is an example, where 4962: 4936: 4916: 4887: 4867: 4841: 4799: 4733: 4523: 4468: 4445: 4416: 4383: 4356: 4322: 4209: 4161: 4113: 4045: 3894: 3668: 3404: 2976: 2830: 2797: 2758: 2732: 2657: 2628: 2597: 2577: 2548: 2516: 2484: 2433: 2395: 2372: 2352: 2323: 2274: 1956: 1936: 1895: 1869: 1839: 1805: 1778: 1732: 1465: 1228: 1208: 1172: 1152: 1112: 1092: 1051: 913: 702: 547:) in blue defined only over the red interval from 521: 483: 456: 407:-valued functions of real arguments, and used the 391: 358: 331: 292: 263: 30057:. Vol. 10 (11th ed.). pp. 753–758. 29930:Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003). 29342: 24870:. This space is actually a Hilbert space with an 17060: 14905: 14885: 13867: 10472: 7382:, a periodic continuation of the linear function 30616: 30098:Creative Commons Attribution/Share-Alike License 29775: 29625: 29123:comtemporaneous/ in collaboration with Bernoulli 28625:the Fourier series is simply the running sum of 27783: 17689:, which uses only cosine as the basis function. 16409:{\displaystyle {\widehat {s'}}=in{\widehat {s}}} 14652: 14600: 14539: 6886:can be recovered from this representation by an 2988: 219:. As more harmonics are added, the partial sums 29933:Theoretical Mechanics of Particles and Continua 29353:Journal für die reine und angewandte Mathematik 24695: 14342:The transform of an imaginary-valued function ( 13545:{\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))} 6599:In engineering, particularly when the variable 29955:Development of mathematics in the 19th century 25233:or the functions are different, and π only if 17704:is defined as the set of vectors of the form: 13416:{\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))} 10457:. The example generalizes and one may compute 4391:can be understood and derived in terms of the 30119: 29929: 29858:William E. Boyce; Richard C. DiPrima (2005). 29600: 29424: 29204: 29126: 17287: 15875:{\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}} 14398:The transform of an even-symmetric function ( 5571:is zero at the phase of maximum correlation. 4210:{\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))} 4162:{\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))} 1246: 30566:Hypergeometric function of a matrix argument 29976:(3rd ed.). New York: McGraw-Hill, Inc. 29964: 29725:Advances in Electronics and Electron Physics 29721: 29291:"Fourier Series and Boundary Value Problems" 29250: 29091: 29057: 27031: 27005: 26730: 26723: 26716:where the Hilbert space norm is defined as: 26694: 26668: 26656: 26630: 25159: 25140: 24937: 24924: 15583: 15571: 14444:The transform of an odd-symmetric function ( 12461: 10025:, is maintained at the temperature gradient 9144:{\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}} 6936: 6921: 4999:is a square wave (not shown), and frequency 4217:as separate real-valued Fourier series, and 223:(become more and more like) the square wave. 30422:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function) 29782:. Lawrence Erlbaum Associates. p. 26. 15757:-periodic, with Fourier series coefficients 13260:{\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}} 13136:{\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}} 10509:designates a periodic function with period 4076: 522:{\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)} 30126: 30112: 29990: 29802: 29596: 29594: 29592: 29590: 29573:] (in German). Vieweg+Teubner Verlag. 29312: 28493:{\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )} 24944: 24940: 24692:is the volume of the primitive unit cell. 21921:are reciprocal lattice vectors to satisfy 17082:This generalizes the Fourier transform to 14689:{\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.} 5564:{\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )} 2629:{\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}} 2324:{\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}} 305:Fourier series are closely related to the 30478:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series) 29830:Les maths en tête. Analyse (2ème édition) 29560: 29558: 29556: 29554: 29552: 29431:, Elsevier (published 2005), p. 49, 29365: 29288: 29256: 29119:important early work on the wave equation 27507: 26793: 26451: 25928: 25827: 25808: 25697: 25596: 25577: 25477: 25376: 25357: 25162: 25009: 24933: 24761: 24590: 24583: 24259: 24252: 24140: 24126: 22881: 22828: 22775: 21534: 20636: 19780: 19306: 17992:in the coordinate-system of the lattice: 17647: 17640: 17442: 17265: 16633:{\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}\to 0} 16446: 16200: 16108: 16059: 15992: 15903: 15720: 15361: 14979: 14962: 14849: 14637:{\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0} 14502: 14292:The transform of a real-valued function ( 14227: 14210: 13900: 13744: 12831: 9633: 9445: 9300: 7980: 7861: 7756: 7647: 7192: 7064: 6241: 5442: 5324: 5183: 4686: 4042: 4038: 4014: 2938: 2131: 2034: 1077:The harmonics are indexed by an integer, 379: 325: 147:. The Fourier series is an example of a 30133: 30012:The first edition was published in 1935. 29108:, which is an example of a distribution. 27517:{\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )} 27423:, since the Fourier series converges in 25188: 22529:So it is clear that in our expansion of 16827: 16456:{\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )} 16210:{\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )} 13764:Shift in frequency / Modulation in time 13604:Shift in time / Modulation in frequency 13589:{\displaystyle \operatorname {Im} {(S)}} 13460:{\displaystyle \operatorname {Re} {(S)}} 13336:{\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S-S^{*})} 9854: 8884:in the early nineteenth century. Later, 8776:The Fourier series is named in honor of 8514:This example leads to a solution of the 7462: 7373: 4539: 534: 366:. The Fourier transform is also part of 32:Budan's theorem § Fourier's theorem 29827: 29748: 29694: 29638:(3rd ed.). Prentice Hall. p.  29587: 29534: 29450: 29229: 29179: 26818: 17253:. This generalization yields the usual 16852: 16002:{\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )} 15190: 14931: 13207:{\displaystyle {\frac {1}{2}}(S+S^{*})} 12746:{\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)} 9900:{\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}} 9850: 9333:This immediately gives any coefficient 8507:. This is a particular instance of the 7362:is therefore commonly referred to as a 4842:{\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )} 2636:approximates the entire function. The 14: 30617: 30041: 29564: 29549: 29318: 29282: 29207:Fourier Series and Integral Transforms 27171:Fourier coefficient of the derivative 16013: 14585:{\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S=0} 13921: 10346:{\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )} 8784:, after preliminary investigations by 8617:converges absolutely and uniformly to 1903:represents frequency instead of time. 163:. Well-behaved functions, for example 71:Discrete Fourier transform over a ring 30107: 30062: 29205:Pinkus, Allan; Zafrany, Samy (1997). 27100:is continuously differentiable, then 26596:{\displaystyle p_{_{N}}\neq s_{_{N}}} 17249:is noncompact, one obtains instead a 16717:{\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}} 14770:(periodic over an interval of length 14703: 13907:{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} } 13751:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } 10444: 567:Fourier series, amplitude-phase form 457:{\displaystyle N\rightarrow \infty .} 29832:(in French). Ellipses. p. 264. 29805:An introduction to Harmonic Analysis 29521:. Originally published in German as 29023:{\displaystyle C_{-n}\neq C_{n}^{*}} 27687:{\displaystyle n\rightarrow \infty } 27582:This result can be proven easily if 18613:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})} 17077:Locally Compact Abelian (LCA) groups 12684:Frequency domain (exponential form) 10655:Frequency domain (sine-cosine form) 10449:Another application is to solve the 8568:is continuous and the derivative of 8122: 4944:at the maximum determines the phase 4550: 3924: 3445: 1971: 1497: 1267: 943: 732: 568: 30443:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series) 29972:Principles of mathematical analysis 29722:Marton, L.; Marton, Claire (1990). 26126:{\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)} 26084:{\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)} 18344:Thus we can define a new function, 17033:case. A typical example is to take 16557:. In particular, since for a fixed 16069:{\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )} 15913:{\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )} 14497: 14467:) is the imaginary-valued function 12851:Time reversal / Frequency reversal 12838:{\displaystyle a,b\in \mathbb {C} } 7369: 2984:      as required. 24: 29850: 29052: 28309: 28211: 28088: 27909:Many other results concerning the 27681: 27536: 27388: 27080:We have already mentioned that if 27063: 27043:{\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}} 26927: 26324:that can be generally expressed as 25135: 25130: 24835:of square-integrable functions on 24627:is the primitive unit cell, thus, 24106:. In particular, we now know that 23791: 23776: 23760: 23745: 23729: 23714: 23696: 23681: 23665: 23650: 23634: 23619: 23601: 23586: 23570: 23555: 23539: 23524: 21558: 21555: 21552: 21549: 21546: 21209: 21206: 21203: 21200: 21197: 21186: 21181: 21155: 21150: 21124: 21119: 20530: 20527: 20524: 20424: 20421: 20418: 20415: 20412: 20225: 20222: 20219: 20208: 20203: 20177: 20172: 19674: 19671: 19668: 19568: 19565: 19562: 19430: 19427: 19424: 19413: 19408: 19113: 19110: 19107: 18312:is the unit vector directed along 18216:is defined to be the magnitude of 16653: 15821:{\displaystyle H=P\cdot S\cdot R.} 15371:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,} 15070: 15035: 15030: 14878: 14873: 14665: 14613: 14559: 14164: 14141: 14118: 14095: 14078: 12319: 12088: 11886: 11581: 11217: 10863: 10168: 8377: 8374: 8371: 8309: 8191: 7613: 7610: 7607: 7520: 7517: 7514: 7299: 7231: 7226: 7136: 7131: 7103: 7098: 6988: 6983: 6959: 6954: 6907: 6862: 6684: 6679: 6521: 6516: 6422: 6417: 5856: 5583: 5542: 5077: 4820: 4562: 4025: 2619: 2314: 448: 431:A Fourier series is a continuous, 427:Common forms of the Fourier series 370:, but is defined for functions on 173:Common forms of the Fourier series 76:Fourier transform on finite groups 25: 30641: 30561:Generalized hypergeometric series 30017: 27200:and its Fourier coefficients are 18997:{\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}} 16786:. Typical examples include those 16762: 15287:with Fourier series coefficients 12803:{\displaystyle a\cdot S+b\cdot R} 10577:{\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}} 6331:{\displaystyle {\widehat {s}}(n)} 2549:{\displaystyle P\triangleq 2\pi } 942:Fourier series, exponential form 731:Fourier series, sine-cosine form 411:in the decomposition. Many other 30599: 30598: 30571:Lauricella hypergeometric series 30289: 30087: (archived December 5, 2001) 29895:Théorie Analytique de la Chaleur 29406:from the original on 20 May 2008 25298:{\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}} 24669: 24654: 24636: 24556: 24529: 24521: 24499: 24488: 24458: 24443: 24425: 24407: 24295: 24227: 24212: 24194: 24099:{\displaystyle \mathbf {a} _{3}} 24086: 24070:{\displaystyle \mathbf {a} _{2}} 24057: 24041:{\displaystyle \mathbf {a} _{1}} 24028: 24012:{\displaystyle \mathbf {a} _{3}} 23999: 23979:{\displaystyle \mathbf {a} _{2}} 23966: 23946:{\displaystyle \mathbf {a} _{1}} 23933: 23896: 23881: 23863: 23184: 23145: 23106: 23061: 23032: 23024: 22982: 22943: 22904: 22713: 22678: 22670: 22651: 22638: 22622: 22591: 22360: 22321: 22282: 22245: 22220: 22195: 22171: 22163: 22141: 22119: 21949: 21945: 21934: 21930: 21914:{\displaystyle \mathbf {g} _{i}} 21901: 21845: 21820: 21795: 21776: 18516: 18477: 18438: 18406: 18334:{\displaystyle \mathbf {a} _{i}} 18321: 18280: 18257: 18238:{\displaystyle \mathbf {a} _{i}} 18225: 18161: 18099: 18060: 18021: 18000: 17978: 17949: 17941: 17924: 17896: 17871: 17850:{\displaystyle \mathbf {a} _{i}} 17837: 17781: 17756: 17731: 17712: 16217:, then the Fourier coefficients 15083:then there is a unique function 13012:Time reversal & conjugation 9992:{\displaystyle (x,y)\in \times } 8812:Théorie analytique de la chaleur 8749: 8734: 8719: 8116:is differentiable, and therefore 2772:is needed for convergence, with 1912:of a given real-valued function 1748: 464:The subscripted symbols, called 392:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 317:on a circle, usually denoted as 228: 208: 195: 102: 30581:Riemann's differential equation 29897:, originally published in 1822. 29821: 29796: 29769: 29742: 29728:. Academic Press. p. 369. 29715: 29688: 29677: 29656: 29528: 29500: 29471: 29444: 29418: 29374: 29344:Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav 29336: 29266:Routledge History of Philosophy 29132: 28929:Least-squares spectral analysis 25726: 25506: 24305:{\displaystyle h(\mathbf {G} )} 19094:, we can define the following: 17881:{\displaystyle f(\mathbf {r} )} 16253:{\displaystyle {\widehat {s'}}} 12286: 12055: 11853: 11535: 11499: 11425: 11406: 11351: 11333: 11169: 11131: 11002: 10984: 10830: 10723: 10693: 8772:Fourier analysis § History 8369: 8020: 7772: 7605: 7512: 6839:{\displaystyle {\tfrac {1}{P}}} 5696: 5692: 5663: 5659: 5193: 4696: 4446:{\displaystyle {\tfrac {n}{P}}} 4024: 3866: 3788: 3645: 3601: 3490: 2993:Another applicable identity is 2658:{\displaystyle {\tfrac {2}{P}}} 2411:provide sufficient conditions. 2253: 2153: 2138: 1881:discrete-time Fourier transform 1674: 1668: 1564: 1558: 1247:§ Complex-valued functions 1242: 1209:{\displaystyle {\tfrac {n}{P}}} 1153:{\displaystyle {\tfrac {P}{n}}} 1120:. Therefore, the sinusoids have 61:Discrete-time Fourier transform 30096:, which is licensed under the 29698:Circuits, signals, and systems 29695:Siebert, William McC. (1985). 29523:Statik und Dynamik der Schalen 29223: 29198: 29173: 29153: 29111: 29033: 28976: 28884:Fourier sine and cosine series 28592:{\displaystyle -2/(n^{2}\pi )} 28586: 28570: 28487: 28471: 28241: 28232: 28066: 28060: 27889: 27885: 27879: 27872: 27859: 27851: 27838: 27834: 27828: 27806: 27800: 27793: 27765:{\displaystyle \alpha >1/2} 27678: 27655: 27649: 27511: 27503: 27350: 27345: 27339: 27329: 27258: 27254: 27248: 27241: 27131: 27125: 27119: 27107: 27060: 26985: 26979: 26882: 26876: 26783: 26778: 26772: 26765: 26538: 26532: 26398: 26392: 26359: 26353: 26247: 26241: 26208: 26202: 26172: 26120: 26111: 26078: 26069: 26016: 26013: 25998: 25995: 25925: 25919: 25907: 25904: 25892: 25886: 25874: 25871: 25824: 25815: 25805: 25796: 25694: 25688: 25676: 25673: 25661: 25655: 25643: 25640: 25593: 25584: 25574: 25565: 25474: 25468: 25456: 25453: 25441: 25435: 25423: 25420: 25373: 25364: 25354: 25345: 25081: 25075: 25052: 25046: 25006: 25000: 24987: 24981: 24857: 24842: 24822: 24819: 24804: 24801: 24679: 24649: 24503: 24495: 24468: 24438: 24411: 24403: 24299: 24291: 24237: 24207: 23906: 23876: 23086: 23068: 22717: 22709: 22655: 22647: 22626: 22618: 22595: 22587: 22578: 22539: 22133:and arbitrary position vector 22078:{\displaystyle \delta _{ij}=0} 22016:{\displaystyle \delta _{ij}=1} 21603: 21564: 21483: 21444: 21254: 21215: 21092: 21053: 20858: 20819: 20575: 20536: 20469: 20430: 20270: 20231: 20145: 20106: 19950: 19911: 19719: 19680: 19613: 19574: 19475: 19436: 19381: 19342: 19245: 19206: 19158: 19119: 18933: 18881: 18872: 18820: 18811: 18759: 18750: 18711: 18607: 18568: 18410: 18402: 18393: 18354: 18267: 18172: 18155: 17953: 17937: 17928: 17920: 17875: 17867: 17599: 17587: 17414: 17402: 17375: 17360: 17354: 17339: 17216: 17201: 17141: 17135: 17105: 17099: 17061:Locally compact Abelian groups 17020: 17005: 16965: 16959: 16711: 16705: 16683: 16674: 16650: 16624: 16621: 16615: 16604: 16598: 16544: 16538: 16517: 16507: 16501: 16495: 16484: 16478: 16450: 16442: 16403: 16397: 16373: 16367: 16316:{\displaystyle {\widehat {s}}} 16310: 16304: 16247: 16241: 16204: 16196: 16142:times differentiable, and its 16063: 16055: 15996: 15988: 15958: 15955: 15940: 15937: 15907: 15899: 15812: 15806: 15797: 15791: 15776: 15770: 15717: 15705: 15683: 15677: 15645: 15639: 15592: 15586: 15565: 15559: 15469: 15463: 15441: 15435: 15413: 15407: 15332: 15326: 15303: 15297: 15141: 15135: 15112: 15106: 15057: 15041: 14899: 14893: 14839: 14834: 14828: 14821: 14757: 14751: 14659: 14607: 14573: 14567: 14556: 14552: 14544: 14421:) is the real-valued function 13864: 13845: 13782: 13776: 13665: 13659: 13635: 13616: 13582: 13579: 13573: 13567: 13539: 13536: 13527: 13511: 13505: 13499: 13453: 13450: 13444: 13438: 13410: 13407: 13398: 13382: 13376: 13370: 13330: 13327: 13318: 13302: 13296: 13290: 13253: 13250: 13244: 13238: 13201: 13198: 13189: 13173: 13167: 13161: 13129: 13126: 13120: 13114: 13077: 13071: 13040: 13031: 12991: 12982: 12951: 12945: 12905: 12896: 12872: 12863: 12797: 12791: 12776: 12770: 12740: 12734: 12719: 12713: 12616: 12610: 12601: 12595: 12568: 12556: 12506: 12500: 12491: 12485: 12225: 12219: 12028: 12022: 11832: 11826: 11480: 11474: 11078: 11072: 10777: 10771: 10637: 10631: 10600: 10594: 10496: 10490: 10473:Table of common Fourier series 10404: 10392: 10369: 10363: 10340: 10331: 10317: 10308: 10291: 10263: 10254: 10243: 10234: 10222: 10213: 10186: 10176: 10143: 10131: 10105: 10093: 10047: 10035: 9986: 9974: 9968: 9956: 9950: 9938: 9879: 9873: 9721: 9706: 9682: 9667: 9604: 9589: 9530: 9515: 9427: 9412: 9403: 9397: 9282: 9267: 9258: 9252: 9123: 9108: 8963: 8957: 8886:Peter Gustav Lejeune Dirichlet 8689: 8657: 8633: 8627: 8584: 8578: 8521: 8440: 8396: 8384: 8363: 8354: 8327: 8317: 8145: 8139: 8063: 8057: 7991: 7981: 7961: 7952: 7911: 7902: 7858: 7849: 7840: 7834: 7753: 7744: 7735: 7729: 7599: 7593: 7584: 7566: 7493: 7487: 7447: 7432: 7398: 7392: 7349: 7343: 7310: 7304: 7245: 7239: 7117: 7111: 7002: 6996: 6933: 6927: 6879:{\displaystyle s_{\infty }(x)} 6873: 6867: 6698: 6692: 6653: 6647: 6535: 6529: 6445: 6439: 6393: 6387: 6354: 6348: 6325: 6319: 5949: 5936: 5911: 5898: 5879: 5866: 5797:creates the component's phase 5793: 5721: 5709: 5693: 5676: 5670: 5660: 5644: 5638: 5620: 5614: 5602: 5596: 5558: 5552: 5507: 5501: 5483: 5477: 5399: 5393: 5358: 5352: 5281: 5275: 5240: 5234: 5215: 5200: 5134: 5128: 5093: 5087: 5054: 5048: 4986: 4980: 4957: 4951: 4911: 4905: 4862: 4856: 4849:is a measure of the amplitude 4836: 4830: 4794: 4779: 4748: 4678: 4666: 4640: 4634: 4578: 4572: 4515: 4483: 4411: 4405: 4314: 4311: 4305: 4292: 4274: 4271: 4265: 4252: 4240: 4234: 4204: 4201: 4195: 4182: 4156: 4153: 4147: 4134: 4108: 4102: 4088: 4082: 4065: 3977: 3971: 3913: 3907: 3863: 3834: 3684: 3631: 3623: 3595: 3566: 3444:Exponential form coefficients 3434: 3428: 2840: 2768: 2684: 2678: 2572: 2566: 2511: 2499: 2479: 2448: 2347: 2341: 2289: 2204: 2198: 2091: 2085: 2031: 2025: 1928: 1922: 1720: 1694: 1607: 1594: 1555: 1542: 1480: 1420: 1407: 1355: 1342: 1066: 975: 969: 928: 764: 758: 717: 600: 594: 516: 510: 445: 287: 281: 258: 252: 182:focus on the behaviors of the 13: 1: 30576:Modular hypergeometric series 30417:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 29903:American Mathematical Monthly 29879:The Analytical Theory of Heat 29146: 28655:and this builds up to around 28541:{\displaystyle m=2^{n^{3}}/2} 28022:uniform boundedness principle 28011: 27911:convergence of Fourier series 27164:{\displaystyle n^{\text{th}}} 26469:The trigonometric polynomial 26155:Convergence of Fourier series 24563:{\displaystyle d\mathbf {r} } 17282: 16162:{\displaystyle k^{\text{th}}} 15118:{\displaystyle s\in L^{2}(P)} 11804:{\displaystyle 0\leq D\leq 1} 10353:. While our example function 9779:{\displaystyle k^{\text{th}}} 8939: 8847:partial differential equation 8528:Convergence of Fourier series 5039:{\displaystyle 4^{\text{th}}} 4800:{\displaystyle \cos(2\pi fx)} 4332: 2989:Exponential form coefficients 1870:{\displaystyle \varphi _{n}.} 180:convergence of Fourier series 29803:Katznelson, Yitzhak (1976). 28031:published an article titled 28004:function actually converges 27906:proves uniform convergence. 27069:{\displaystyle N\to \infty } 25065:is the complex conjugate of 24696:Hilbert space interpretation 22148:{\displaystyle \mathbf {r} } 22126:{\displaystyle \mathbf {G} } 17985:{\displaystyle \mathbf {r} } 17903:{\displaystyle \mathbf {R} } 17272:{\displaystyle \mathbb {R} } 16902:for the Riemannian manifold 16659:{\displaystyle n\to \infty } 16115:{\displaystyle \mathbb {R} } 14696:This result is known as the 13475:Imaginary part in frequency 10465:), for any positive integer 10417:is nontrivial. The function 9151:, and then integrating from 8778:Jean-Baptiste Joseph Fourier 7471:Consider a sawtooth function 7453:{\displaystyle (-\pi ,\pi ]} 5817:{\displaystyle \varphi _{n}} 4424:and a sinusoid at frequency 4384:{\displaystyle \varphi _{n}} 332:{\displaystyle \mathbb {T} } 7: 30586:Theta hypergeometric series 30030:Encyclopedia of Mathematics 29298:Math 461 Course Notes, Ch 3 29230:Tolstov, Georgi P. (1976). 28841: 27544:{\displaystyle s_{\infty }} 27396:{\displaystyle s_{\infty }} 27137:{\displaystyle (i\cdot n)S} 26935:{\displaystyle s_{\infty }} 24874:given for any two elements 16840:are partially described by 14493:, and the converse is true. 14441:, and the converse is true. 14395:, and the converse is true. 12543:functions defined only for 10059:{\displaystyle T(x,\pi )=x} 9840:, among others) concluded: 8867:solution as a superposition 7418:{\displaystyle s(x)=x/\pi } 6578:common engineering notation 6488:common mathematics notation 4453:. For a general frequency 1216:in the reciprocal units of 10: 30646: 30468:Infinite arithmetic series 30412:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 30407:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 29701:. MIT Press. p. 402. 29666:. MathOverflow. 2010-11-19 29451:Remmert, Reinhold (1991). 28939:Sine and cosine transforms 28934:Multidimensional transform 28864:Discrete Fourier transform 26822: 26152: 24699: 24600:{\displaystyle dx\,dy\,dz} 17288:Fourier series on a square 17064: 16856: 16766: 16169:derivative is continuous. 15601:{\displaystyle H=\{S*R\}.} 15194: 14935: 14707: 13641:{\displaystyle s(x-x_{0})} 12473:is denoted by an asterisk. 9095:Multiplying both sides by 8769: 8765: 8702:, then the Fourier series 8525: 4963:{\displaystyle (\varphi )} 4533:cross-correlation function 413:Fourier-related transforms 66:Discrete Fourier transform 29: 30594: 30551: 30495: 30430: 30399: 30392: 30362: 30331: 30324: 30298: 30287: 30210: 30154: 30145: 29961:, Springer, Berlin, 1928. 29393:; 1854. Abhandlungen der 29166:Dictionary.com Unabridged 29127:Fetter & Walecka 2003 28918:-series expansion of the 28899:Half range Fourier series 27602:is further assumed to be 27206:Cauchy–Schwarz inequality 26139:Stone–Weierstrass theorem 17685:, a discrete form of the 17683:discrete cosine transform 16896:Laplace–Beltrami operator 13046:{\displaystyle s^{*}(-x)} 12512:{\displaystyle s(x),r(x)} 12462:Table of basic properties 11458:Half-wave rectified sine 11056:Full-wave rectified sine 9931:meters, with coordinates 8816:Analytical theory of heat 7333:The constructed function 6888:inverse Fourier transform 4476:and an analysis interval 2605:-periodic, in which case 2434:{\displaystyle \int _{P}} 2380:in an interval of length 2360:at most or all values of 409:sine and cosine functions 155:to find solutions to the 30048:"Fourier's Series"  29828:Gourdon, Xavier (2009). 29755:. Springer. p. 14. 29752:Solid-state spectroscopy 29457:. Springer. p. 29. 29325:A History of Mathematics 29289:Fasshauer, Greg (2015). 28969: 26991:{\displaystyle L^{2}(P)} 26888:{\displaystyle L^{2}(P)} 26495:{\displaystyle s_{_{N}}} 26302:trigonometric polynomial 25058:{\displaystyle g^{*}(x)} 17687:Fourier cosine transform 17147:{\displaystyle L^{2}(G)} 17111:{\displaystyle L^{1}(G)} 16971:{\displaystyle L^{2}(X)} 15280:{\displaystyle r_{_{P}}} 15247:{\displaystyle s_{_{P}}} 14763:{\displaystyle L^{2}(P)} 12957:{\displaystyle s^{*}(x)} 10111:{\displaystyle (0,\pi )} 4077:Complex-valued functions 3923:Fourier series analysis 2831:{\displaystyle B_{k}=0.} 1970:Fourier series analysis 264:{\displaystyle s_{6}(x)} 30299:Properties of sequences 30054:Encyclopædia Britannica 29603:Continuous-Time Signals 29565:Papula, Lothar (2009). 29264:. In Ten, C. L. (ed.). 28964:), singularities, poles 26895:(an interval of length 26022:{\displaystyle L^{2}()} 24828:{\displaystyle L^{2}()} 24710:, the set of functions 24570:for the volume element 23501:, we can calculate the 22104:{\displaystyle i\neq j} 19332:And then we can write: 17381:{\displaystyle \times } 16751:{\displaystyle k\geq 1} 16576:{\displaystyle k\geq 1} 15964:{\displaystyle L^{1}()} 15160:{\displaystyle S=c_{n}} 13351:Real part in frequency 13222:Imaginary part in time 10437:cannot be written as a 8836:deferents and epicycles 8790:Jean le Rond d'Alembert 3426:Substituting this into 2798:{\displaystyle A_{k}=1} 1815:rectangular coordinates 491:determine the function 145:trigonometric functions 30162:Arithmetic progression 29881:. Dover Publications. 29749:Kuzmany, Hans (1998). 29628:Manolakis, Dimitris G. 29601:Shmaliy, Y.S. (2007). 29098: 29024: 28949:Sturm–Liouville theory 28869:Fast Fourier transform 28825: 28729: 28649: 28648:{\displaystyle C_{m},} 28619: 28593: 28542: 28494: 28430: 28313: 28260:The coefficients are: 28251: 28215: 28176: 28092: 27998: 27967: 27947: 27927: 27897: 27766: 27728: 27708: 27688: 27662: 27661:{\displaystyle n^{2}S} 27623: 27596: 27565: 27545: 27518: 27464: 27444: 27417: 27397: 27367: 27190: 27165: 27138: 27094: 27070: 27044: 26992: 26956: 26936: 26909: 26889: 26853: 26809: 26710: 26617: 26597: 26545: 26516: 26496: 26452:Least squares property 26442: 26388: 26318: 26291: 26237: 26127: 26085: 26043: 26023: 25968: 25948: 25746: 25529: 25306: 25299: 25267: 25247: 25227: 25207: 25180: 25139: 25091: 25059: 25023: 24908: 24888: 24864: 24829: 24774: 24686: 24621: 24601: 24564: 24539: 24387: 24360: 24333: 24306: 24273: 24100: 24071: 24042: 24013: 23980: 23947: 23916: 23813: 23495: 23468: 23441: 23414: 23394: 23374: 23354: 23327: 23300: 23273: 23253: 23233: 23213: 23045: 22691: 22602: 22521: 22149: 22127: 22105: 22079: 22043: 22017: 21981: 21915: 21886: 21859: 21756: 21426: 21190: 21159: 21128: 21037: 21015: 20387: 20212: 20181: 20090: 20068: 19537: 19417: 19324: 19088: 19061: 19018: 18998: 18943: 18695: 18668: 18641: 18614: 18550: 18335: 18306: 18239: 18210: 18183: 18128: 17986: 17960: 17904: 17882: 17851: 17822: 17795: 17665: 17382: 17326: 17306: 17273: 17243: 17223: 17188: 17168: 17148: 17112: 17047: 17027: 16992: 16972: 16936: 16916: 16881: 16849: 16752: 16718: 16660: 16634: 16577: 16551: 16457: 16410: 16337: 16317: 16279: 16254: 16211: 16163: 16136: 16116: 16100:-periodic function on 16090: 16070: 16032: 16003: 15965: 15914: 15876: 15822: 15751: 15731: 15602: 15540: 15520: 15496: 15476: 15372: 15342: 15310: 15281: 15248: 15215: 15181: 15161: 15119: 15077: 15039: 15003: 14923: 14882: 14784: 14764: 14728: 14698:Riemann–Lebesgue lemma 14690: 14638: 14586: 14521: 14503:Riemann–Lebesgue lemma 14279: 13908: 13872: 13828: 13752: 13716: 13642: 13590: 13546: 13461: 13417: 13337: 13261: 13208: 13137: 13084: 13047: 12998: 12958: 12912: 12879: 12839: 12804: 12747: 12666: 12643: 12623: 12578: 12577:{\displaystyle x\in .} 12533: 12513: 12446: 12324: 12311: 12196: 12093: 12080: 11999: 11891: 11878: 11805: 11772: 11586: 11573: 11450: 11222: 11209: 11048: 10868: 10855: 10746: 10644: 10607: 10578: 10523: 10503: 10439:closed-form expression 10431: 10411: 10410:{\displaystyle T(x,y)} 10376: 10347: 10276: 10172: 10112: 10080: 10060: 10019: 10018:{\displaystyle y=\pi } 9993: 9925: 9901: 9860: 9780: 9743: 9648: 9342:trigonometrical series 9331: 9314: 9203: 9174: 9145: 9087: 8944:Joseph Fourier wrote: 8902:electrical engineering 8810:), and publishing his 8696: 8640: 8611: 8591: 8562: 8501: 8500:{\displaystyle x=\pi } 8471: 8470:{\displaystyle x=\pi } 8427: 8313: 8195: 8110: 8090: 8070: 8038: 7658: 7549: 7468: 7460: 7454: 7419: 7356: 7324: 7235: 7107: 6992: 6880: 6846:, which is called the 6840: 6803: 6789:has units of seconds, 6783: 6763: 6740: 6688: 6613: 6590: 6525: 6426: 6361: 6332: 6292: 6267: 6242:Other common notations 6232: 5818: 5785: 5758: 5728: 5565: 5524: 5040: 5013: 4993: 4964: 4938: 4918: 4889: 4869: 4843: 4801: 4735: 4546: 4525: 4470: 4447: 4418: 4385: 4358: 4324: 4211: 4163: 4115: 4047: 3896: 3701:Inverse relationships 3670: 3406: 2978: 2832: 2799: 2760: 2734: 2659: 2630: 2599: 2579: 2550: 2518: 2486: 2435: 2397: 2374: 2354: 2325: 2276: 1958: 1938: 1897: 1871: 1841: 1807: 1780: 1734: 1467: 1230: 1210: 1174: 1154: 1114: 1094: 1053: 1004: 915: 803: 704: 639: 564: 523: 485: 458: 393: 360: 333: 294: 265: 203:previous partial sum). 30553:Hypergeometric series 30167:Geometric progression 29328:. Macmillan. p.  29117:These three did some 29099: 29025: 28826: 28687: 28650: 28620: 28594: 28543: 28495: 28431: 28293: 28252: 28195: 28177: 28072: 27999: 27997:{\displaystyle L^{2}} 27968: 27953:is differentiable at 27948: 27928: 27898: 27767: 27729: 27709: 27689: 27663: 27629:, since in that case 27624: 27622:{\displaystyle C^{2}} 27597: 27566: 27546: 27519: 27465: 27445: 27443:{\displaystyle L^{1}} 27418: 27398: 27368: 27191: 27166: 27139: 27095: 27071: 27045: 26993: 26957: 26937: 26910: 26890: 26854: 26810: 26711: 26618: 26598: 26546: 26517: 26497: 26443: 26365: 26319: 26292: 26214: 26128: 26086: 26044: 26024: 25969: 25949: 25747: 25530: 25300: 25268: 25248: 25228: 25208: 25192: 25181: 25116: 25092: 25090:{\displaystyle g(x).} 25060: 25024: 24909: 24889: 24865: 24830: 24775: 24687: 24622: 24602: 24565: 24540: 24388: 24386:{\displaystyle x_{3}} 24361: 24359:{\displaystyle x_{2}} 24334: 24332:{\displaystyle x_{1}} 24307: 24274: 24101: 24072: 24043: 24014: 23981: 23948: 23917: 23814: 23496: 23494:{\displaystyle x_{3}} 23469: 23467:{\displaystyle x_{2}} 23442: 23440:{\displaystyle x_{1}} 23415: 23395: 23375: 23355: 23353:{\displaystyle x_{3}} 23328: 23326:{\displaystyle x_{2}} 23301: 23299:{\displaystyle x_{1}} 23274: 23254: 23234: 23214: 23046: 22692: 22603: 22522: 22150: 22128: 22106: 22080: 22044: 22018: 21982: 21916: 21887: 21885:{\displaystyle m_{i}} 21860: 21757: 21427: 21160: 21129: 21098: 21038: 21016: 20388: 20182: 20151: 20091: 20069: 19538: 19387: 19325: 19089: 19087:{\displaystyle x_{1}} 19062: 19060:{\displaystyle \left} 19019: 18999: 18944: 18696: 18694:{\displaystyle a_{3}} 18669: 18667:{\displaystyle a_{2}} 18642: 18640:{\displaystyle a_{1}} 18615: 18551: 18336: 18307: 18240: 18211: 18209:{\displaystyle a_{i}} 18184: 18129: 17987: 17961: 17905: 17883: 17852: 17823: 17821:{\displaystyle n_{i}} 17796: 17677:. In particular, the 17666: 17383: 17327: 17307: 17274: 17244: 17224: 17189: 17169: 17149: 17113: 17048: 17028: 16993: 16973: 16937: 16917: 16882: 16831: 16753: 16719: 16661: 16635: 16578: 16552: 16458: 16411: 16338: 16318: 16280: 16255: 16212: 16164: 16137: 16117: 16091: 16071: 16033: 16004: 15966: 15915: 15877: 15823: 15752: 15732: 15603: 15541: 15521: 15497: 15477: 15381:The pointwise product 15373: 15343: 15311: 15282: 15249: 15221:-periodic functions, 15216: 15182: 15162: 15120: 15078: 15016: 15009:are coefficients and 15004: 14924: 14859: 14785: 14765: 14729: 14691: 14639: 14587: 14522: 14280: 13909: 13873: 13829: 13753: 13717: 13643: 13591: 13547: 13462: 13418: 13338: 13262: 13209: 13138: 13085: 13083:{\displaystyle S^{*}} 13048: 12999: 12997:{\displaystyle S^{*}} 12959: 12913: 12880: 12878:{\displaystyle s(-x)} 12840: 12805: 12748: 12667: 12644: 12624: 12579: 12534: 12514: 12447: 12323: 12312: 12197: 12092: 12081: 12000: 11890: 11879: 11806: 11773: 11585: 11574: 11451: 11221: 11210: 11049: 10867: 10856: 10747: 10645: 10608: 10579: 10524: 10504: 10432: 10412: 10377: 10348: 10277: 10152: 10113: 10081: 10066:degrees Celsius, for 10061: 10020: 9994: 9926: 9902: 9858: 9781: 9744: 9649: 9315: 9204: 9175: 9146: 9088: 8946: 8869:of the corresponding 8697: 8641: 8612: 8592: 8563: 8502: 8472: 8428: 8293: 8175: 8111: 8091: 8071: 8039: 7659: 7550: 7466: 7455: 7420: 7377: 7357: 7325: 7212: 7084: 6969: 6881: 6848:fundamental frequency 6841: 6804: 6784: 6764: 6741: 6665: 6614: 6591: 6502: 6403: 6362: 6333: 6293: 6268: 6266:{\displaystyle C_{n}} 6233: 5819: 5786: 5784:{\displaystyle B_{n}} 5759: 5757:{\displaystyle A_{n}} 5737:Therefore, computing 5729: 5566: 5525: 5041: 5014: 4994: 4965: 4939: 4937:{\displaystyle \tau } 4919: 4890: 4870: 4844: 4802: 4736: 4543: 4526: 4471: 4448: 4419: 4386: 4359: 4357:{\displaystyle D_{n}} 4325: 4212: 4164: 4116: 4048: 3897: 3671: 3407: 2979: 2833: 2800: 2761: 2735: 2660: 2631: 2600: 2580: 2551: 2519: 2487: 2436: 2398: 2375: 2355: 2326: 2300:The objective is for 2277: 1959: 1939: 1937:{\displaystyle s(x),} 1898: 1872: 1842: 1840:{\displaystyle D_{n}} 1808: 1806:{\displaystyle B_{n}} 1781: 1779:{\displaystyle A_{n}} 1735: 1468: 1231: 1211: 1175: 1160:in the same units as 1155: 1115: 1095: 1054: 981: 916: 783: 705: 619: 538: 524: 486: 459: 394: 361: 359:{\displaystyle S_{1}} 334: 295: 266: 18:Fourier decomposition 30533:Trigonometric series 30325:Properties of series 30172:Harmonic progression 29997:Trigonometric Series 29779:Brain and perception 29543:The Works of Fourier 29513:(1973) 2nd edition. 29387:Habilitationsschrift 29182:Trigonometric Series 29180:Zygmund, A. (2002). 29129:, pp. 209–210). 29106:Dirac delta function 29047: 28986: 28662: 28629: 28603: 28556: 28504: 28447: 28267: 28192: 28054: 27981: 27957: 27937: 27917: 27779: 27742: 27718: 27698: 27672: 27633: 27606: 27586: 27555: 27528: 27484: 27454: 27427: 27407: 27380: 27215: 27175: 27148: 27104: 27084: 27054: 27002: 26966: 26946: 26919: 26899: 26863: 26843: 26819:Convergence theorems 26720: 26627: 26607: 26555: 26544:{\displaystyle s(x)} 26526: 26506: 26473: 26334: 26308: 26183: 26095: 26053: 26033: 25982: 25958: 25769: 25538: 25318: 25277: 25257: 25237: 25217: 25197: 25107: 25069: 25033: 24921: 24898: 24878: 24839: 24788: 24714: 24631: 24611: 24574: 24549: 24397: 24370: 24343: 24316: 24285: 24110: 24081: 24052: 24023: 23994: 23961: 23928: 23823: 23509: 23503:Jacobian determinant 23478: 23451: 23424: 23404: 23384: 23364: 23337: 23310: 23283: 23263: 23243: 23223: 23057: 22703: 22612: 22533: 22159: 22137: 22115: 22089: 22053: 22027: 21991: 21925: 21896: 21869: 21772: 21438: 21047: 21027: 20399: 20100: 20080: 19549: 19336: 19098: 19071: 19028: 19008: 18955: 18705: 18678: 18651: 18624: 18562: 18348: 18316: 18249: 18220: 18193: 18138: 17996: 17974: 17914: 17892: 17861: 17832: 17805: 17708: 17700:A three-dimensional 17392: 17336: 17316: 17296: 17261: 17233: 17198: 17178: 17174:is an LCA group. If 17158: 17122: 17086: 17037: 17002: 16982: 16946: 16926: 16906: 16871: 16853:Riemannian manifolds 16736: 16670: 16644: 16587: 16561: 16467: 16423: 16347: 16327: 16289: 16264: 16221: 16177: 16146: 16126: 16104: 16080: 16042: 16022: 15975: 15924: 15886: 15838: 15764: 15741: 15620: 15612:periodic convolution 15553: 15530: 15510: 15504:discrete convolution 15486: 15388: 15351: 15320: 15291: 15258: 15225: 15205: 15191:Convolution theorems 15171: 15129: 15087: 15013: 14946: 14932:Plancherel's theorem 14797: 14774: 14738: 14718: 14648: 14596: 14535: 14511: 13937: 13883: 13839: 13770: 13727: 13653: 13610: 13557: 13481: 13428: 13357: 13272: 13228: 13148: 13104: 13058: 13018: 12969: 12932: 12890: 12857: 12815: 12758: 12701: 12653: 12633: 12589: 12547: 12539:-periodic functions 12523: 12479: 12331: 12213: 12100: 12016: 11898: 11820: 11783: 11593: 11468: 11229: 11066: 10875: 10765: 10660: 10643:{\displaystyle s(x)} 10625: 10606:{\displaystyle s(x)} 10588: 10535: 10513: 10502:{\displaystyle s(x)} 10484: 10421: 10386: 10375:{\displaystyle s(x)} 10357: 10299: 10125: 10090: 10070: 10029: 10003: 9935: 9924:{\displaystyle \pi } 9915: 9867: 9851:Fourier's motivation 9763: 9658: 9352: 9215: 9202:{\displaystyle y=+1} 9184: 9173:{\displaystyle y=-1} 9155: 9099: 8951: 8830:in 1807, before the 8782:trigonometric series 8714:is usually studied. 8654: 8639:{\displaystyle s(x)} 8621: 8601: 8590:{\displaystyle s(x)} 8572: 8552: 8534:Dirichlet conditions 8511:for Fourier series. 8485: 8455: 8404:is not a multiple of 8129: 8100: 8080: 8069:{\displaystyle s(x)} 8051: 7674: 7560: 7481: 7429: 7386: 7355:{\displaystyle S(f)} 7337: 6897: 6854: 6821: 6793: 6773: 6753: 6641: 6603: 6377: 6342: 6304: 6279: 6250: 5834: 5801: 5768: 5741: 5578: 5537: 5068: 5023: 5003: 4992:{\displaystyle s(x)} 4974: 4948: 4928: 4917:{\displaystyle s(x)} 4899: 4879: 4853: 4815: 4770: 4557: 4480: 4457: 4428: 4417:{\displaystyle s(x)} 4399: 4368: 4341: 4221: 4173: 4125: 4114:{\displaystyle s(x)} 4096: 3932: 3706: 3453: 3432:and comparison with 3006: 2854: 2809: 2776: 2744: 2672: 2640: 2609: 2589: 2578:{\displaystyle s(x)} 2560: 2531: 2527:Some authors define 2496: 2445: 2418: 2409:Dirichlet conditions 2384: 2364: 2353:{\displaystyle s(x)} 2335: 2304: 1978: 1948: 1916: 1887: 1851: 1824: 1790: 1763: 1505: 1274: 1220: 1191: 1164: 1135: 1104: 1081: 950: 739: 575: 495: 472: 439: 374: 343: 321: 293:{\displaystyle S(f)} 275: 239: 149:trigonometric series 30513:Formal power series 29019: 28906:– the substitution 28618:{\displaystyle x=0} 27478: —  26837: —  26467: —  26165:the Fourier theorem 25864: 25789: 25633: 25558: 25413: 25338: 24977: 24706:In the language of 23953:is parallel to the 22867: 22814: 22761: 22042:{\displaystyle i=j} 20802: 20750: 20698: 20517: 19894: 19842: 19661: 19202: 18558:This new function, 17583: 17565: 17055:spherical harmonics 16892:Riemannian manifold 16863:Riemannian manifold 16842:spherical harmonics 16014:Derivative property 13922:Symmetry properties 13871:{\displaystyle S\!} 12622:{\displaystyle S,R} 12471:Complex conjugation 9479: 9393: 9248: 8896:eigensolutions are 8706:to the function at 8646:. If a function is 8536:) is overviewed in 7830: 7725: 7140: 6963: 6218: 6200: 6175: 6157: 6140: 6122: 6085: 6067: 6020: 6002: 5595: 4924:, and the value of 4868:{\displaystyle (D)} 4630: 4549:Derivation of Eq.1 3641: 3421:complex conjugation 2838:  Accordingly 2759:{\displaystyle n=k} 1665: 1647: 417:area of mathematics 30311:Monotonic function 30230:Fibonacci sequence 30064:Weisstein, Eric W. 29626:Proakis, John G.; 29538:Oeuvres de Fourier 29511:Stresses in Shells 29094: 29084: 29020: 29005: 28854:Carleson's theorem 28821: 28645: 28615: 28589: 28538: 28490: 28426: 28247: 28172: 27994: 27963: 27943: 27923: 27893: 27870: 27791: 27762: 27724: 27704: 27684: 27658: 27619: 27592: 27561: 27541: 27514: 27476: 27460: 27440: 27413: 27393: 27363: 27327: 27291: 27239: 27189:{\displaystyle s'} 27186: 27161: 27134: 27090: 27066: 27050:converges to 0 as 27040: 26998:, that is,  26988: 26952: 26932: 26905: 26885: 26849: 26835: 26805: 26706: 26613: 26593: 26541: 26512: 26492: 26465: 26457:Parseval's theorem 26438: 26428: 26314: 26287: 26277: 26123: 26081: 26039: 26019: 25964: 25944: 25847: 25772: 25742: 25616: 25541: 25525: 25396: 25321: 25307: 25295: 25263: 25243: 25223: 25203: 25176: 25087: 25055: 25019: 24960: 24904: 24884: 24860: 24825: 24770: 24682: 24617: 24597: 24560: 24535: 24383: 24356: 24329: 24302: 24269: 24096: 24067: 24038: 24009: 23976: 23943: 23912: 23809: 23803: 23799: 23768: 23737: 23704: 23673: 23642: 23609: 23578: 23547: 23491: 23464: 23437: 23410: 23390: 23370: 23350: 23323: 23296: 23269: 23249: 23229: 23209: 23041: 22846: 22793: 22740: 22687: 22643: 22598: 22517: 22145: 22123: 22101: 22075: 22039: 22013: 21977: 21911: 21882: 21855: 21752: 21730: 21691: 21652: 21539: 21422: 21408: 21353: 21298: 21033: 21011: 21009: 20988: 20949: 20910: 20781: 20729: 20677: 20622: 20496: 20383: 20369: 20314: 20086: 20064: 20062: 20041: 20002: 19873: 19821: 19766: 19640: 19545:Further defining: 19533: 19519: 19320: 19292: 19181: 19084: 19057: 19014: 18994: 18939: 18691: 18664: 18637: 18610: 18546: 18331: 18302: 18235: 18206: 18179: 18124: 17982: 17956: 17900: 17878: 17847: 17818: 17791: 17661: 17659: 17566: 17548: 17447: 17378: 17322: 17302: 17269: 17239: 17219: 17184: 17164: 17144: 17108: 17067:Pontryagin duality 17043: 17023: 16988: 16968: 16932: 16912: 16877: 16850: 16823:Peter–Weyl theorem 16777:Peter–Weyl theorem 16748: 16714: 16666:, it follows that 16656: 16630: 16573: 16547: 16453: 16406: 16343:, via the formula 16333: 16313: 16278:{\displaystyle s'} 16275: 16260:of the derivative 16250: 16207: 16159: 16132: 16112: 16086: 16066: 16028: 15999: 15961: 15910: 15872: 15818: 15747: 15727: 15598: 15536: 15516: 15492: 15472: 15368: 15341:{\displaystyle R,} 15338: 15306: 15277: 15244: 15211: 15177: 15157: 15115: 15073: 14999: 14938:Plancherel theorem 14919: 14780: 14760: 14724: 14710:Parseval's theorem 14704:Parseval's theorem 14686: 14669: 14634: 14617: 14582: 14563: 14517: 14275: 14273: 14062: 13928:even and odd parts 13904: 13868: 13824: 13748: 13712: 13705: 13638: 13586: 13542: 13457: 13413: 13333: 13257: 13204: 13133: 13098:Real part in time 13080: 13043: 12994: 12954: 12908: 12875: 12835: 12800: 12743: 12665:{\displaystyle r.} 12662: 12639: 12619: 12574: 12529: 12509: 12442: 12440: 12325: 12307: 12192: 12190: 12094: 12076: 11995: 11993: 11892: 11874: 11801: 11768: 11766: 11587: 11569: 11564: 11446: 11444: 11437: 11362: 11223: 11205: 11200: 11044: 11042: 11013: 10869: 10851: 10742: 10740: 10640: 10603: 10574: 10519: 10499: 10455:Parseval's theorem 10445:Other applications 10427: 10407: 10372: 10343: 10285:Here, sinh is the 10272: 10108: 10076: 10056: 10015: 9989: 9921: 9897: 9895: 9861: 9776: 9739: 9644: 9642: 9462: 9376: 9310: 9231: 9199: 9170: 9141: 9083: 8863:linear combination 8692: 8636: 8607: 8587: 8558: 8497: 8467: 8423: 8421: 8106: 8086: 8066: 8034: 8032: 7813: 7708: 7654: 7545: 7469: 7461: 7450: 7415: 7352: 7320: 7318: 7275: 7123: 6946: 6876: 6836: 6834: 6799: 6779: 6759: 6736: 6609: 6586: 6584: 6581: 6565: 6491: 6475: 6357: 6328: 6291:{\displaystyle s,} 6288: 6263: 6228: 6226: 6204: 6186: 6161: 6143: 6126: 6108: 6071: 6053: 6006: 5988: 5814: 5781: 5754: 5724: 5581: 5561: 5533:The derivative of 5520: 5518: 5460: 5453: 5432: 5378: 5342: 5335: 5314: 5260: 5167: 5113: 5036: 5009: 4989: 4960: 4934: 4914: 4885: 4865: 4839: 4797: 4731: 4724: 4596: 4594: 4547: 4521: 4469:{\displaystyle f,} 4466: 4443: 4441: 4414: 4381: 4354: 4320: 4207: 4159: 4111: 4043: 4007: 3892: 3890: 3666: 3660: 3617: 3564: 3524: 3438:ultimately reveals 3402: 3400: 3391: 3323: 3297: 3235: 3185: 3151: 3113: 3082: 3040: 2974: 2964: 2949: 2928: 2828: 2795: 2756: 2730: 2717: 2655: 2653: 2626: 2623: 2595: 2575: 2546: 2514: 2482: 2431: 2396:{\displaystyle P.} 2393: 2370: 2350: 2321: 2318: 2272: 2270: 2234: 2121: 1954: 1934: 1893: 1867: 1837: 1803: 1776: 1730: 1728: 1651: 1633: 1463: 1453: 1388: 1304: 1226: 1206: 1204: 1170: 1150: 1148: 1110: 1093:{\displaystyle n,} 1090: 1049: 1042: 911: 896: 846: 700: 677: 565: 519: 507: 484:{\displaystyle P,} 481: 468:, and the period, 454: 389: 356: 329: 290: 261: 86:Related transforms 41:Fourier transforms 30612: 30611: 30543:Generating series 30491: 30490: 30463:1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 30458:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 30453:1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 30448:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 30438:1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 30388: 30387: 30316:Periodic sequence 30285: 30284: 30270:Triangular number 30260:Pentagonal number 30240:Heptagonal number 30225:Complete sequence 30147:Integer sequences 29943:978-0-486-43261-8 29789:978-0-89859-995-4 29762:978-3-540-63913-8 29735:978-0-12-014650-5 29708:978-0-262-19229-3 29649:978-0-13-373762-2 29519:978-3-642-88291-3 29275:978-1-134-92880-4 29236:. Courier-Dover. 29083: 28889:Fourier transform 28810: 28774: 28749: 28685: 28419: 28375: 28329: 28291: 28162: 28108: 28029:Andrey Kolmogorov 28006:almost everywhere 27966:{\displaystyle x} 27946:{\displaystyle s} 27926:{\displaystyle x} 27845: 27782: 27727:{\displaystyle s} 27707:{\displaystyle s} 27668:tends to zero as 27595:{\displaystyle s} 27564:{\displaystyle s} 27474: 27463:{\displaystyle s} 27416:{\displaystyle s} 27312: 27307: 27276: 27224: 27198:square-integrable 27158: 27093:{\displaystyle s} 26955:{\displaystyle s} 26908:{\displaystyle P} 26852:{\displaystyle s} 26833: 26800: 26752: 26616:{\displaystyle N} 26515:{\displaystyle N} 26463: 26427: 26403: 26317:{\displaystyle N} 26276: 26252: 26161:Fourier's theorem 26103: 26061: 26042:{\displaystyle 1} 25976:orthonormal basis 25967:{\displaystyle 1} 25845: 25614: 25394: 25293: 25266:{\displaystyle n} 25246:{\displaystyle m} 25226:{\displaystyle n} 25206:{\displaystyle m} 24958: 24907:{\displaystyle g} 24887:{\displaystyle f} 24782:orthonormal basis 24620:{\displaystyle C} 24472: 24281:We can write now 24241: 23910: 23798: 23767: 23736: 23703: 23672: 23641: 23608: 23577: 23546: 23413:{\displaystyle z} 23393:{\displaystyle y} 23373:{\displaystyle x} 23272:{\displaystyle z} 23252:{\displaystyle y} 23232:{\displaystyle x} 23204: 23165: 23126: 23002: 22963: 22924: 22844: 22791: 22738: 22632: 22507: 22470: 22433: 22380: 22341: 22302: 21892:are integers and 21729: 21690: 21651: 21489: 21407: 21352: 21297: 21036:{\displaystyle g} 20987: 20948: 20909: 20779: 20727: 20675: 20621: 20494: 20368: 20313: 20089:{\displaystyle g} 20040: 20001: 19871: 19819: 19765: 19638: 19518: 19291: 19179: 19017:{\displaystyle g} 18536: 18497: 18458: 18300: 18270: 18119: 18080: 18041: 17828:are integers and 17675:image compression 17546: 17424: 17325:{\displaystyle y} 17305:{\displaystyle x} 17255:Fourier transform 17242:{\displaystyle G} 17187:{\displaystyle G} 17167:{\displaystyle G} 17073:nonabelian groups 17046:{\displaystyle X} 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11135: 11119: 11009: 10991: 10980: 10955: 10910: 10834: 10815: 10727: 10697: 10522:{\displaystyle P} 10430:{\displaystyle T} 10267: 10205: 10079:{\displaystyle x} 9894: 9819:harmonic analysis 9773: 9737: 9698: 9620: 9581: 9546: 9507: 9443: 9298: 9139: 9072: 9035: 8998: 8926:quantum mechanics 8918:signal processing 8708:almost everywhere 8648:square-integrable 8610:{\displaystyle s} 8561:{\displaystyle s} 8509:Dirichlet theorem 8448: 8447: 8409: 8405: 8401: 8383: 8346: 8291: 8170: 8109:{\displaystyle s} 8089:{\displaystyle x} 8015: 7944: 7894: 7811: 7706: 7638: 7507: 7364:Fourier transform 7293: 7287: 7284: 7274: 7163: 7030: 6833: 6802:{\displaystyle f} 6782:{\displaystyle x} 6762:{\displaystyle f} 6726: 6664: 6658: 6612:{\displaystyle x} 6579: 6564: 6489: 6474: 6436: 6360:{\displaystyle S} 6316: 6219: 6177: 6176: 6087: 6086: 6022: 6021: 5884: 5690: 5431: 5377: 5366: 5364: 5313: 5259: 5248: 5246: 5166: 5112: 5033: 5012:{\displaystyle f} 4888:{\displaystyle f} 4759:is essentially a 4756: 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In this sense 29037: 29031: 29029: 29027: 29026: 29021: 29018: 29013: 29001: 29000: 28980: 28894:Gibbs phenomenon 28879:Fourier analysis 28859:Dirichlet kernel 28837: 28830: 28828: 28827: 28822: 28811: 28803: 28798: 28797: 28796: 28795: 28775: 28773: 28769: 28768: 28755: 28750: 28748: 28731: 28728: 28724: 28719: 28718: 28717: 28716: 28701: 28686: 28684: 28680: 28679: 28666: 28654: 28652: 28651: 28646: 28641: 28640: 28624: 28622: 28621: 28616: 28598: 28596: 28595: 28590: 28582: 28581: 28569: 28551: 28547: 28545: 28544: 28539: 28534: 28529: 28528: 28527: 28526: 28499: 28497: 28496: 28491: 28483: 28482: 28470: 28459: 28458: 28442: 28435: 28433: 28432: 28427: 28425: 28421: 28420: 28418: 28402: 28401: 28400: 28399: 28381: 28376: 28374: 28358: 28357: 28356: 28355: 28337: 28330: 28328: 28327: 28315: 28312: 28307: 28292: 28284: 28279: 28278: 28256: 28254: 28253: 28248: 28225: 28224: 28214: 28209: 28181: 28179: 28178: 28173: 28168: 28164: 28163: 28155: 28153: 28149: 28142: 28141: 28140: 28139: 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