2364:
1877:
2359:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}
9233:
51:
9243:
63:
3164:
3427:
2936:
7335:
423:
1394:
1227:
3194:
7563:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 946.
2896:
7461:
5763:
1535:
6391:
5165:
2597:
3159:{\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}
1048:
7189:
4505:: where the null hypothesis is that two independent normal variances are equal, and the observed sums of some appropriately selected squares are then examined to see whether their ratio is significantly incompatible with this null hypothesis.
551:
225:
5544:
6114:
3973:
1232:
867:
3422:{\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}
7089:
1082:
5346:
4699:
4424:
6675:
6569:
4968:
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708:
2644:
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5033:
1882:
5655:
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3608:
1739:
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5042:
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5646:
4862:
4817:
2433:
7007:
6881:
6172:
5821:
5602:
5403:
4316:
4210:
212:
137:
5922:
7330:{\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}
889:
4598:
4566:
4492:
4460:
5972:
6279:
418:{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}
6612:
2396:
7184:
436:
7012:
6720:
4763:
4731:
4242:
4136:
6471:
5408:
5980:
3881:
170:
1389:{\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}
4269:
4163:
3855:
3828:
3785:
3758:
3726:
3699:
3668:
3641:
3520:
3493:
6952:
1858:
1831:
1796:
1769:
6442:
6422:
4526:
6487:
1222:{\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!}
730:
7891:
5250:
4607:
4332:
6617:
4875:
3185:
1553:
8020:
631:
9246:
8503:
2891:{\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}
8411:
7456:{\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}
9198:
5172:
9064:
8276:
8035:
7884:
5758:{\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}
4975:
8959:
8723:
1530:{\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!}
8397:
7568:
7136:
6386:{\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}
5975:
5160:{\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}
8718:
8662:
8560:
8322:
7960:
2607:
4045:
3981:
3532:
1663:
9004:
8738:
8591:
8266:
8010:
1609:
8468:
9236:
8908:
8884:
8463:
7877:
7734:"Probabilistic Approach to Multi-Stage Supplier Evaluation: Confidence Level Measurement in Ordinal Priority Approach"
5826:
9267:
9105:
8982:
8943:
8915:
8889:
8807:
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8535:
8358:
8236:
8211:
8075:
8070:
8065:
6788:
6177:
2592:{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}
9272:
9173:
9039:
8747:
8596:
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7955:
7464:
6282:
1043:{\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}
175:
100:
9188:
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8649:
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8171:
8136:
6726:
6685:
4571:
4539:
4465:
4433:
20:
5928:
546:{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}
8879:
8667:
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5883:
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3523:
24:
6576:
2379:
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8196:
8191:
7992:
7972:
7157:
7121:
7116:
5649:
5539:{\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}
3178:
1803:
8348:
6699:
6109:{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}
3968:{\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}
9044:
9032:
9021:
8903:
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8126:
8085:
8080:
7977:
7851:
7586:
7146:
6473:
6399:
4247:
4141:
3858:
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3800:
3763:
3736:
3704:
3677:
3646:
3619:
3498:
3471:
1621:
8423:
4528:
has the same distribution in
Bayesian statistics, if an uninformative rescaling-invariant
8:
9152:
8677:
8657:
8627:
8601:
8555:
8483:
8295:
8231:
7486:
Lazo, A.V.; Rathie, P. (1978). "On the entropy of continuous probability distributions".
7097:
6931:
1075:
19:
This article is about the central F-distribution. For the generalized distribution, see
9183:
8672:
8453:
8448:
8353:
8290:
8285:
8141:
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8015:
7821:
7766:
7733:
7666:
7131:
6427:
6407:
5036:
4511:
1836:
1809:
1774:
1747:
1605:
1567:
3188:
is listed incorrectly in many standard references (e.g.,). The correct expression is
862:{\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}
9081:
8508:
8251:
8181:
8146:
8095:
7825:
7813:
7771:
7753:
7712:
7687:
7625:
7590:
7574:
7564:
7546:
7521:
5244:
4533:
2420:, but the distribution is well-defined for positive real values of these parameters.
1613:
624:
7791:"The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme"
7659:
Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution,"
8256:
7930:
7869:
7805:
7761:
7745:
7495:
7084:{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}
2417:
7809:
7582:
7560:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
7554:
3868:
2635:
1799:
1063:
5341:{\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}
7749:
7102:
4529:
3461:
1617:
557:
9261:
8952:
8700:
7987:
7817:
7757:
7646:
7499:
2399:
1601:
7775:
7550:
31:
7518:
Continuous
Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27)
4694:{\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}
4419:{\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}
4322:
2370:
6670:{\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}
6564:{\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}
4963:{\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
7670:
7661:
1571:
7860:
7619:
7126:
50:
7594:
882:
723:
703:{\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}
7515:
3181:, which is also called the beta distribution of the second kind.
7578:
4499:
3864:
Equivalently, since the chi-squared distribution is the sum of
1625:
7620:
Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974).
62:
7852:
Earliest Uses of Some of the Words of
Mathematics: entry on
7789:
Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 June 2021).
7516:
Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995).
7105:-distribution is a unique parametrization of F-distribution.
5236:{\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}
5028:{\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}
4430:-distribution itself, without any scaling, applying where
2613:
The expectation, variance, and other details about the F(
4768:
7390:
6622:
5732:
5710:
3301:
3128:
3089:
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567:
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178:
145:
103:
7899:
4099:{\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}
4035:{\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}
3603:{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}
1734:{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}
4604:-distribution thus gives the posterior probability
1547:does not exist, raw moments defined in text and in
7732:Mahmoudi, Amin; Javed, Saad Ahmed (October 2022).
7455:
7329:
7178:
7083:
7001:
6946:
6920:
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2358:
1852:
1825:
1790:
1763:
1733:
1529:
1388:
1221:
1042:
861:
702:
603:
545:
417:
206:
164:
131:
7798:Communications in Statistics - Theory and Methods
7782:
7624:(Third ed.). McGraw-Hill. pp. 246–249.
3329:
1526:
1385:
1218:
1039:
858:
600:
414:
363:
9259:
7609:Engineering Statistics Handbook – F Distribution
7545:
5875:{\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}
5837:
3522:arises as the ratio of two appropriately scaled
2919:) distribution exists and is finite only when 2
7479:
4329:-distribution therefore gives the probability
7885:
7731:
7686:(2nd ed.). Addison-Wesley. p. 500.
3871:random variables, the random variable of the
7541:
7539:
7537:
6921:{\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}
6776:{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}
7892:
7878:
7788:
7709:Bayesian Inference in Statistical Analysis
7485:
6398:-distribution is a special case of type 6
4271:random variables from normal distribution
4165:random variables from normal distribution
3799:-distribution is used, for example in the
1657:degrees of freedom is the distribution of
667:
604:{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}
203:
128:
7765:
7534:
7511:
7509:
6817:{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}
6232:{\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}
5024:
2305:
1969:
1968:
756:
740:
357:
7622:Introduction to the Theory of Statistics
4498:-distribution most generally appears in
7706:
7681:
7488:IEEE Transactions on Information Theory
5641:{\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}
4857:{\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}
4812:{\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}
2402:. In many applications, the parameters
9260:
7856:-distribution contains a brief history
7506:
7873:
7638:
9242:
7002:{\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}
6876:{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
6167:{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
5816:{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
5597:{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
5398:{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
4769:Properties and related distributions
4311:{\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}
4205:{\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}
2608:regularized incomplete beta function
7707:Box, G. E. P.; Tiao, G. C. (1973).
4494:. This is the context in which the
3455:
1863:It can be shown to follow that the
1806:with respective degrees of freedom
1610:continuous probability distribution
207:{\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}
132:{\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}
16:Continuous probability distribution
13:
7644:
7375:
7344:
7284:
7170:
7137:Hotelling's T-squared distribution
7048:
7017:
6891:
6793:
6540:
6358:
6313:
6046:
5976:Hotelling's T-squared distribution
5854:
5695:
5303:
5118:
4992:
4927:
3875:-distribution may also be written
3857:might be demonstrated by applying
3293:
3248:
3120:
3080:
3044:
3004:
2384:
2132:
2060:
1170:
1131:
1092:
359:
197:
122:
14:
9284:
7836:
7152:Modified half-normal distribution
5917:{\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}
3450:confluent hypergeometric function
9241:
9232:
9231:
7843:Table of critical values of the
7096:-distribution is an instance of
2627:) are given in the sidebox; for
2425:cumulative distribution function
61:
59:Cumulative distribution function
49:
7725:
7711:. Addison-Wesley. p. 110.
4593:{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}
4561:{\displaystyle \sigma _{1}^{2}}
4487:{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}
4455:{\displaystyle \sigma _{1}^{2}}
37:as used in population genetics.
7738:Group Decision and Negotiation
7700:
7675:
7653:
7613:
7601:
7435:
7423:
7359:
7347:
7279:
7251:
7202:
7196:
7173:
7161:
7072:
7060:
7035:
7029:
6996:
6970:
6915:
6903:
6870:
6844:
6811:
6805:
6664:
6652:
6601:
6589:
6558:
6546:
6530:
6516:
6509:
6495:
6376:
6364:
6331:
6319:
6266:
6260:
6226:
6200:
6161:
6135:
6103:
6058:
6039:
6007:
5967:{\displaystyle F(d_{1},d_{2})}
5961:
5935:
5851:
5810:
5784:
5591:
5565:
5533:
5491:
5392:
5366:
5335:
5309:
5294:
5282:
5230:
5188:
5154:
5122:
5021:
4995:
4957:
4931:
4688:
4614:
4413:
4339:
4305:
4281:
4199:
4175:
3468:-distribution with parameters
3239:
3233:
3173:-distribution is a particular
2956:
2950:
2879:
2847:
2844:
2825:
2822:
2803:
2782:
2762:
2759:
2740:
2734:
2702:
2699:
2677:
2530:
2501:
2472:
2440:
2024:
1994:
1952:
1935:
1920:
1888:
1612:that arises frequently as the
1031:
999:
984:
965:
958:
939:
931:
896:
852:
833:
824:
804:
789:
757:
321:
291:
251:
234:
200:
185:
125:
110:
1:
7810:10.1080/03610926.2021.1934700
7472:
6274:{\displaystyle X\sim t_{(n)}}
1634:
6607:{\displaystyle X\sim F(n,m)}
5974:is equivalent to the scaled
4600:. In this context, a scaled
2391:{\displaystyle \mathrm {B} }
1865:probability density function
1598:Fisher–Snedecor distribution
47:Probability density function
7:
7179:{\displaystyle (0,\infty )}
7109:
10:
9289:
9065:Wrapped asymmetric Laplace
8036:Extended negative binomial
7750:10.1007/s10726-022-09790-1
7684:Probability and Statistics
7142:Wilks' lambda distribution
6715:{\displaystyle \lambda =0}
4701:, where the observed sums
29:
18:
9227:
9161:
9119:
9020:
8856:
8834:
8825:
8724:Generalized extreme value
8709:
8544:
8504:Relativistic Breit–Wigner
8220:
8117:
8108:
8001:
7921:
7912:
7901:Probability distributions
4758:{\displaystyle s_{2}^{2}}
4726:{\displaystyle s_{1}^{2}}
4244:is the sum of squares of
4237:{\displaystyle S_{2}^{2}}
4138:is the sum of squares of
4131:{\displaystyle S_{1}^{2}}
3672:chi-squared distributions
1557:
1552:
1545:
1540:
1079:
1074:
1067:
1062:
886:
881:
727:
722:
628:
623:
561:
556:
433:
428:
222:
217:
97:
92:
74:
69:
57:
45:
21:noncentral F-distribution
9268:Continuous distributions
7500:10.1109/tit.1978.1055832
6466:{\displaystyle X,Y\sim }
6283:Student's t-distribution
5884:chi-squared distribution
5039:) are independent, then
4866:Chi squared distribution
4765:are now taken as known.
4462:is being taken equal to
1804:chi-square distributions
30:Not to be confused with
8719:Generalized chi-squared
8663:Normal-inverse Gaussian
7682:DeGroot, M. H. (1986).
7465:Fox–Wright Psi function
7122:Chi-square distribution
7117:Beta prime distribution
6679:Fisher's z-distribution
5650:beta prime distribution
3795:In instances where the
3186:characteristic function
3179:beta prime distribution
2634: > 8, the
165:{\displaystyle d_{1}=1}
9031:Univariate (circular)
8592:Generalized hyperbolic
8021:Conway–Maxwell–Poisson
8011:Beta negative binomial
7457:
7331:
7180:
7085:
7003:
6948:
6922:
6877:
6818:
6777:
6716:
6671:
6608:
6565:
6467:
6444:are independent, with
6438:
6418:
6387:
6275:
6233:
6168:
6110:
5968:
5918:
5876:
5817:
5759:
5642:
5598:
5540:
5399:
5342:
5237:
5161:
5029:
4964:
4858:
4813:
4759:
4727:
4695:
4594:
4562:
4522:
4488:
4456:
4420:
4312:
4265:
4238:
4206:
4159:
4132:
4100:
4036:
3969:
3851:
3824:
3781:
3754:
3722:
3695:
3664:
3637:
3604:
3516:
3489:
3423:
3160:
2892:
2593:
2392:
2360:
1854:
1827:
1792:
1765:
1735:
1620:, most notably in the
1531:
1390:
1223:
1044:
863:
704:
605:
547:
419:
208:
166:
133:
88:> 0 deg. of freedom
23:. For other uses, see
9076:Bivariate (spherical)
8574:Kaniadakis Îş-Gaussian
7458:
7332:
7181:
7086:
7004:
6949:
6923:
6878:
6819:
6778:
6717:
6672:
6609:
6566:
6468:
6439:
6419:
6388:
6276:
6234:
6169:
6111:
5969:
5919:
5877:
5818:
5760:
5643:
5599:
5541:
5400:
5343:
5238:
5162:
5030:
4965:
4859:
4814:
4760:
4728:
4696:
4595:
4563:
4523:
4489:
4457:
4421:
4313:
4266:
4264:{\displaystyle d_{2}}
4239:
4207:
4160:
4158:{\displaystyle d_{1}}
4133:
4101:
4037:
3970:
3852:
3850:{\displaystyle U_{2}}
3825:
3823:{\displaystyle U_{1}}
3782:
3780:{\displaystyle U_{2}}
3755:
3753:{\displaystyle U_{1}}
3723:
3721:{\displaystyle d_{2}}
3696:
3694:{\displaystyle d_{1}}
3665:
3663:{\displaystyle U_{2}}
3638:
3636:{\displaystyle U_{1}}
3605:
3517:
3515:{\displaystyle d_{2}}
3490:
3488:{\displaystyle d_{1}}
3424:
3161:
2893:
2594:
2393:
2361:
1855:
1828:
1793:
1766:
1736:
1532:
1391:
1224:
1045:
864:
705:
606:
548:
420:
209:
167:
134:
9273:Analysis of variance
9141:Dirac delta function
9088:Bivariate (toroidal)
9045:Univariate von Mises
8916:Multivariate Laplace
8808:Shifted log-logistic
8157:Continuous Bernoulli
7861:Free calculator for
7647:"The F distribution"
7494:(1). IEEE: 120–122.
7341:
7190:
7158:
7147:Wishart distribution
7013:
6958:
6932:
6887:
6832:
6789:
6741:
6700:
6618:
6577:
6488:
6448:
6428:
6408:
6400:Pearson distribution
6289:
6246:
6178:
6123:
5981:
5929:
5889:
5827:
5772:
5656:
5608:
5553:
5409:
5354:
5251:
5173:
5043:
4976:
4876:
4823:
4778:
4737:
4705:
4608:
4572:
4540:
4512:
4466:
4434:
4333:
4275:
4248:
4216:
4169:
4142:
4110:
4046:
3982:
3882:
3834:
3807:
3801:analysis of variance
3764:
3737:
3705:
3678:
3647:
3620:
3533:
3499:
3472:
3452:of the second kind.
3195:
2937:
2645:
2434:
2380:
1878:
1837:
1810:
1775:
1748:
1664:
1622:analysis of variance
1400:
1233:
1083:
890:
731:
632:
565:
437:
226:
176:
143:
101:
9189:Natural exponential
9094:Bivariate von Mises
9060:Wrapped exponential
8926:Multivariate stable
8921:Multivariate normal
8242:Benktander 2nd kind
8237:Benktander 1st kind
8026:Discrete phase-type
7098:ratio distributions
6947:{\displaystyle 1-p}
5913:
4853:
4808:
4754:
4722:
4687:
4669:
4651:
4631:
4589:
4557:
4534:prior probabilities
4483:
4451:
4412:
4394:
4376:
4356:
4304:
4233:
4198:
4127:
4083:
4063:
4019:
3999:
3959:
3944:
3922:
3907:
3232:
2930:and it is equal to
2905:-th moment of an F(
1991:
1643:-distribution with
755:
288:
42:
8844:Rectified Gaussian
8729:Generalized Pareto
8587:Generalized normal
8459:Matrix-exponential
7547:Abramowitz, Milton
7453:
7440:
7327:
7176:
7132:Gamma distribution
7081:
6999:
6944:
6918:
6873:
6814:
6773:
6733:simplifies to the
6712:
6692:simplifies to the
6667:
6641:
6604:
6561:
6463:
6434:
6414:
6383:
6381:
6271:
6229:
6164:
6106:
5964:
5914:
5892:
5872:
5858:
5813:
5755:
5748:
5726:
5638:
5594:
5536:
5395:
5338:
5233:
5157:
5037:Gamma distribution
5025:
4960:
4854:
4832:
4809:
4787:
4755:
4740:
4723:
4708:
4691:
4673:
4655:
4637:
4617:
4590:
4575:
4558:
4543:
4518:
4484:
4469:
4452:
4437:
4416:
4398:
4380:
4362:
4342:
4325:context, a scaled
4308:
4290:
4261:
4234:
4219:
4202:
4184:
4155:
4128:
4113:
4096:
4069:
4049:
4032:
4005:
3985:
3965:
3945:
3930:
3908:
3893:
3847:
3820:
3803:, independence of
3777:
3750:
3729:degrees of freedom
3718:
3691:
3660:
3633:
3600:
3512:
3485:
3419:
3317:
3198:
3156:
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