5587:
4563:
5582:{\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ },&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=30^{\circ }+27^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=30^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}
10056:
2685:
31:
2262:
9035:
2680:{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}
5928:
4542:
6641:
8651:
5651:
8640:
6339:
7523:
9030:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}
7134:
7819:
6915:
5923:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}
6238:
6094:
7357:
4328:
3089:
8370:
7244:
6636:{\displaystyle \alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)}
6953:
3133:
An angle can be constructed with a compass and straightedge if and only if its sine (or equivalently cosine) can be expressed by a combination of arithmetic operations and square roots applied to integers. Additionally, an angle that is a rational multiple of
7618:
6747:
418:
The trigonometric functions of angles that are multiples of 15°, 18°, or 22.5° have simple algebraic values. These values are listed in the following table for angles from 0° to 45°. In the table below, the label "Undefined" represents a ratio
7678:
6100:
5956:
3982:
3543:
3794:
4136:
4125:
8635:{\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\(\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}
2933:
2109:
2027:
1242:
1153:
8037:
cannot be expressed using only square roots. A related question is whether it can be expressed using cube roots. The following two approaches can be used, but both result in an expression that involves the
1895:
1099:
8656:
8375:
7518:{\displaystyle \cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}
3630:
4487:
4417:
7527:
7139:
7996:
7352:
5656:
5643:
4568:
1557:
1515:
1411:
1371:
800:
760:
2917:
3417:
8149:
3694:
1935:
1048:
950:
906:
392:
1765:
334:
7864:
1973:
1191:
2779:
6279:
2197:
1703:
1673:
3863:
3258:
3299:
8269:
3340:
980:
692:
8227:
4529:
4029:
2139:
1816:
1587:
1303:
8351:
8308:
8188:
8082:
8035:
7129:{\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}}
2825:
1643:
2058:
1473:
1442:
1331:
1273:
862:
831:
9708:
Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). "evaluation of quanum mechanical perturbative sums in terms of quadratic surds and their use in the approximation of ζ(3)/π".
6314:
6948:
2243:
2167:
1844:
1728:
1615:
1008:
720:
3372:
572:
6689:
7814:{\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}
7666:
3183:
475:
6742:
6334:
6716:
4546:
7922:
3152:
443:
7890:
6910:{\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}
3422:
It results from the above characterisation that an angle of an integer number of degrees is constructible if and only if this number of degrees is a multiple of
3110:, and algebraic numbers are closed under arithmetic operations, every trigonometric number is algebraic. The minimal polynomials of trigonometric numbers can be
6233:{\displaystyle \cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
6089:{\displaystyle \sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}
2218:
1786:
659:
635:
614:
593:
544:
2267:
3868:
175:
2253:
4554:
3446:
3699:
4323:{\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))}
4553:
The sines and cosines of all other angles between 0 and 90° that are multiples of 3° can be derived from the angles described above and the
4041:
4032:
171:
3084:{\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1}
9834:
5943:
181:
2064:
1979:
1197:
1105:
1850:
1054:
9346:
3808:. In an equilateral triangle, the 3 angles are equal and sum to 180°, therefore each corner angle is 60°. Bisecting one corner, the
398:
contain many approximate values, the exact values for certain angles can be expressed by a combination of arithmetic operations and
3812:
with angles 30-60-90 is obtained. By symmetry, the bisected side is half of the side of the equilateral triangle, so one concludes
3551:
7239:{\displaystyle {\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)}
4428:
4339:
3440:
273:
9586:
9304:
9158:
7927:
403:
9176:
7249:
5595:
402:. The angles with trigonometric values that are expressible in this way are exactly those that can be constructed with a
9661:
Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo (1999). "On angles whose squared trigonometric functions are rational".
1521:
1479:
1377:
1337:
766:
726:
3546:
454:
9457:
9272:
9230:
3633:
3115:
3111:
7613:{\displaystyle \sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}
2841:
9052:
3381:
95:
9827:
8087:
73:
3638:
1901:
1014:
912:
868:
339:
9427:
1734:
293:
7827:
1941:
1159:
9758:
Beslin, Scott; de
Angelis, Valerio (2004). "The minimal polynomials of sin(2*π/p) and cos(2*π/p)".
9489:
9362:
Durbha, Subramanyam (2012). "A Geometric Method of
Finding the Trigonometric Ratios of 22 ½° and 75°".
8039:
2781:
the case of a sine can be omitted from this definition. Therefore any trigonometric number can be written as
2717:
9961:
6254:
2173:
1679:
1649:
3815:
10055:
3219:
10098:
3263:
69:
8232:
3304:
958:
670:
9820:
8193:
4495:
3995:
2117:
1794:
1565:
1281:
266:
217:
166:
8317:
8274:
8154:
8048:
8001:
10030:
8311:
2784:
1621:
9327:
9091:
2033:
1448:
1417:
1309:
1248:
837:
806:
79:
9796:
6284:
9254:
9212:
9150:
Making
Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory
6920:
2224:
2145:
1822:
1709:
1593:
986:
698:
450:
287:
57:
45:
40:
9099:
3345:
550:
9891:
8361:
7924:
radians have trigonometric values that can be expressed with square roots. The angle 1°, being
6646:
3809:
2920:
9916:
9431:
7640:
10103:
10072:
9854:
9148:
3157:
460:
407:
259:
6721:
6319:
4333:
Since sin(36°) = cos(54°), we equate these two expressions and cancel a factor of cos(18°):
10077:
10067:
9692:
9653:
9314:
9282:
9240:
7669:
6694:
3805:
3260:
is a constructible angle because 15 is the product of the Fermat primes 3 and 5. Similarly
395:
186:
105:
50:
7907:
3137:
422:
8:
9911:
9901:
9884:
8354:
7869:
3198:
232:
148:
5942:, is multiplied by additional factors of 2, the sine and cosine can be derived with the
3301:
is a constructible angle because 12 is a power of two (4) times a Fermat prime (3). But
9783:
9775:
9746:
9696:
9670:
9613:
9578:
9552:
9512:
9371:
9193:
9129:
3977:{\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}
3122:
2203:
1771:
644:
620:
599:
578:
529:
30:
4531:, and the double and triple angle formulas give sine and cosine of 36°, 54°, and 72°.
9986:
9951:
9929:
9843:
9787:
9596:
Watkins, William; Zeitlin, Joel (1993). "The minimal polynomial of cos(2*π/n)".
9582:
9572:
9564:
9516:
9423:
9300:
9268:
9226:
9174:
Schaumberger, Norman (1974). "A Classroom
Theorem on Trigonometric Irrationalities".
9154:
9095:
3107:
237:
141:
9508:
10023:
10018:
9996:
9981:
9946:
9864:
9771:
9767:
9738:
9717:
9680:
9641:
9605:
9544:
9504:
9405:
9401:
9260:
9218:
9185:
9121:
9046:
6248:
3194:
3103:
478:
9700:
9626:
3804:
The values of sine and cosine of 30 and 60 degrees are derived by analysis of the
9688:
9649:
9574:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
9310:
9278:
9236:
3538:{\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}
3095:
2704:
2700:
136:
65:
61:
9797:"Minimal polynomials of algebraic cosine values at rational multiples of π"
3118:, the sine or cosine of any non-zero algebraic number is always transcendental.
2252:
For angles outside of this range, trigonometric values can be found by applying
9879:
9869:
9627:"Some linear relations between values of trigonometric functions at k*π/n"
8353:. However, since all three roots of the cubic are real, this is an instance of
6244:
3789:{\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}
2924:
2836:
247:
242:
131:
9264:
9222:
10092:
9934:
9896:
9259:, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, p. 46,
8357:, and the expression would require taking the cube root of a complex number.
3106:. Since the trigonometric number is the average of the root of unity and its
227:
9645:
7668:
radians can be expressed in terms of square roots. In particular, in 1796,
10001:
9971:
9568:
7637:
is constructible, which means that the sines and cosines of angles such as
7634:
7628:
3210:
3206:
446:
126:
22:
399:
212:
110:
9675:
9375:
9779:
9750:
9684:
9617:
9556:
9197:
9133:
3125:, the only rational trigonometric numbers are 0, 1, −1, 1/2, and −1/2.
222:
202:
9812:
9721:
7998:
radians, has a repeated factor of 3 in the denominator and therefore
4120:{\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })}
2835:
are integers. This number can be thought of as the real part of the
9742:
9609:
9548:
9189:
9125:
8645:
Taking cube roots and adding or subtracting the equations, we have:
3213:(a Fermat prime is a prime number one greater than a power of two).
9535:
Lehmer, D. H. (1933). "A note on trigonometric algebraic numbers".
9112:
Lehmer, D. H. (1933). "A Note on
Trigonometric Algebraic Numbers".
157:
3121:
The real part of any root of unity is a trigonometric number. By
445:
If the codomain of the trigonometric functions is taken to be the
9217:, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York,
3378:
Fermat primes as it contains 3 as a factor twice, and neither is
3154:
radians is constructible if and only if, when it is expressed as
207:
9065:
7824:
The sines and cosines of other constructible angles of the form
2104:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{5}}}
2022:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{5}}}
1237:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{5}}}
1148:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{5}}}
2711:
1890:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{4}}}
1094:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{4}}}
5645:, its cosine can be derived by the cosine difference formula:
9442:
Callagy, James J. "The central angle of the regular 17-gon",
8310:
is constructible, an expression for it could be plugged into
6281:. In general, the sine and cosine of most angles of the form
3625:{\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1}
6316:
can be expressed using nested square roots of 2 in terms of
4482:{\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
4412:{\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })}
4035:
for sine and cosine. By the double angle formula for sine:
16:
Trigonometric values in terms of square roots and fractions
9794:
6243:
Repeated application of the half-angle formulas leads to
9795:
Tangsupphathawat, Pinthira; Laohakosol, Vichian (2016).
10040:
9392:
Servi, L. D. (April 2003). "Nested Square Roots of 2".
7991:{\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)}
3865:. The Pythagorean and reflection identities then give
2282:
9153:. Springer Science & Business Media. p. 44.
8654:
8373:
8320:
8277:
8235:
8196:
8157:
8090:
8051:
8004:
7930:
7910:
7904:, only certain angles that are rational multiples of
7872:
7830:
7681:
7643:
7530:
7360:
7347:{\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)}
7252:
7142:
6956:
6923:
6750:
6724:
6697:
6649:
6342:
6322:
6287:
6257:
6103:
5959:
5654:
5598:
4566:
4498:
4431:
4342:
4139:
4044:
3998:
3871:
3818:
3702:
3641:
3554:
3449:
3384:
3348:
3307:
3266:
3222:
3160:
3140:
2936:
2844:
2787:
2720:
2265:
2227:
2206:
2176:
2148:
2120:
2067:
2036:
1982:
1944:
1904:
1853:
1825:
1797:
1774:
1737:
1712:
1682:
1652:
1624:
1596:
1568:
1524:
1482:
1451:
1420:
1380:
1340:
1312:
1284:
1251:
1200:
1162:
1108:
1057:
1017:
989:
961:
915:
871:
840:
809:
769:
729:
701:
673:
647:
623:
602:
581:
553:
532:
463:
425:
342:
296:
9418:
Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson,
5950:/8 rad) is half of 45°, so its sine and cosine are:
4422:
This quadratic equation has only one positive root:
5638:{\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}
9147:Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (17 April 2013).
9029:
8634:
8345:
8302:
8263:
8221:
8182:
8143:
8076:
8029:
7990:
7916:
7884:
7858:
7813:
7660:
7612:
7517:
7346:
7238:
7128:
6942:
6909:
6736:
6710:
6683:
6635:
6328:
6308:
6273:
6232:
6088:
5922:
5637:
5581:
4523:
4481:
4411:
4322:
4119:
4023:
3976:
3857:
3788:
3688:
3624:
3537:
3411:
3366:
3334:
3293:
3252:
3177:
3146:
3083:
2911:
2819:
2773:
2679:
2237:
2212:
2191:
2161:
2133:
2103:
2052:
2021:
1967:
1929:
1889:
1838:
1810:
1780:
1759:
1722:
1697:
1667:
1637:
1609:
1581:
1552:{\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
1551:
1510:{\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}
1509:
1467:
1436:
1406:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
1405:
1366:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
1365:
1325:
1297:
1267:
1236:
1185:
1147:
1093:
1042:
1002:
974:
944:
900:
856:
825:
795:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}
794:
755:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}
754:
714:
686:
653:
629:
608:
587:
566:
538:
469:
437:
386:
328:
9729:Servi, L. D. (2003). "Nested square roots of 2".
8045:Using the triple-angle identity, we can identify
10090:
9757:
9660:
9563:
9071:
9049:, used to find exact values for multiples of 15°
4549:available for a table of these exact values.
9595:
2912:{\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}
9828:
7895:
6336:. Specifically, if one can write an angle as
3412:{\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}
453:, whereas if the codomain is taken to be the
267:
9707:
9387:
9385:
9173:
4534:
9483:
9481:
9420:Abstract Algebra and Famous Impossibilities
9146:
8144:{\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x}
9835:
9821:
9710:International Journal of Quantum Chemistry
9458:"Exact values for the sin of all integers"
9351:(in German). J. L. Schmid. pp. 72–74.
8688:
3689:{\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0}
1930:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
1043:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
945:{\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}
901:{\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}
387:{\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}
274:
260:
9674:
9624:
9382:
8151:. The three roots of this polynomial are
3987:
2699:is a number that can be expressed as the
1760:{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}
329:{\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}
9487:
9478:
9294:
7859:{\displaystyle {\frac {k2^{n}\pi }{17}}}
4130:By the triple angle formula for cosine:
2690:
1968:{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
1186:{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
9436:
9288:
9082:
9080:
3429:
2774:{\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),}
10091:
9842:
9534:
9455:
9361:
9252:
9210:
9111:
7633:Since 17 is a Fermat prime, a regular
6274:{\displaystyle {\sqrt {2\pm \cdots }}}
3696:. Taking the positive root, one finds
2192:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
1698:{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
1668:{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
290:can be expressed approximately, as in
9816:
9728:
9663:Discrete & Computational Geometry
9412:
9391:
9204:
7901:
3858:{\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2}
9344:
9338:
9177:Two-Year College Mathematics Journal
9077:
7622:
4541:
4492:The Pythagorean identity then gives
3342:is not a constructible angle, since
3253:{\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }}
2923:shows that numbers of this form are
3294:{\displaystyle \pi /12=15^{\circ }}
3128:
13:
9488:Kowalski, Travis (November 2016).
9297:A First Course in Abstract Algebra
8264:{\displaystyle -\sin(61^{\circ })}
3547:Pythagorean trigonometric identity
3335:{\displaystyle \pi /9=20^{\circ }}
975:{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}
687:{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
464:
455:projectively extended real numbers
286:In mathematics, the values of the
14:
10115:
9394:The American Mathematical Monthly
9114:The American Mathematical Monthly
8222:{\displaystyle \sin(59^{\circ })}
8084:as a root of a cubic polynomial:
4524:{\displaystyle \cos(18^{\circ })}
4024:{\displaystyle \sin(18^{\circ })}
3419:, since 7 is not a Fermat prime.
2134:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
1811:{\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}
1582:{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
1298:{\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}
10054:
9299:(5th ed.), Addison Wesley,
9088:Numbers: Rational and Irrational
9053:List of trigonometric identities
8346:{\displaystyle \sin(1^{\circ })}
8303:{\displaystyle \sin(3^{\circ })}
8183:{\displaystyle \sin(1^{\circ })}
8077:{\displaystyle \sin(1^{\circ })}
8030:{\displaystyle \sin(1^{\circ })}
7892:) can be derived from this one.
4540:
662:
638:
413:
29:
9527:
9509:10.4169/college.math.j.47.5.322
9497:The College Mathematics Journal
9449:
9355:
2586:
2417:
2254:reflection and shift identities
457:, these entries take the value
9772:10.1080/0025570X.2004.11953242
9456:Parent, James T. (June 2011).
9406:10.1080/00029890.2003.11919968
9320:
9246:
9167:
9140:
9105:
9004:
8991:
8976:
8963:
8940:
8927:
8912:
8899:
8860:
8847:
8818:
8805:
8790:
8777:
8754:
8741:
8726:
8713:
8678:
8665:
8622:
8609:
8594:
8581:
8559:
8555:
8542:
8527:
8514:
8505:
8495:
8482:
8467:
8454:
8432:
8428:
8415:
8400:
8387:
8378:
8340:
8327:
8297:
8284:
8258:
8245:
8216:
8203:
8177:
8164:
8110:
8097:
8071:
8058:
8024:
8011:
7985:
7953:
7341:
7311:
7305:
7253:
6969:
6963:
6763:
6757:
6678:
6663:
6158:
6145:
6123:
6110:
6014:
6001:
5979:
5966:
5933:
5776:
5763:
5754:
5741:
5729:
5716:
5707:
5694:
5678:
5665:
4518:
4505:
4451:
4438:
4406:
4393:
4365:
4352:
4317:
4314:
4301:
4276:
4273:
4260:
4248:
4235:
4226:
4213:
4191:
4178:
4159:
4146:
4114:
4101:
4092:
4079:
4064:
4051:
4018:
4005:
3945:
3930:
3916:
3903:
3891:
3878:
3838:
3825:
3799:
3747:
3734:
3722:
3709:
3665:
3651:
3607:
3593:
3575:
3561:
3532:
3519:
3507:
3481:
3469:
3456:
3072:
3060:
3045:
3033:
2906:
2886:
2871:
2851:
2820:{\displaystyle \cos(2\pi k/n)}
2814:
2794:
2765:
2745:
2733:
2727:
2667:
2661:
2639:
2627:
2608:
2596:
2580:
2574:
2555:
2546:
2528:
2513:
2495:
2489:
2467:
2458:
2439:
2427:
2411:
2405:
2386:
2374:
2356:
2341:
2323:
2317:
2299:
2278:
1638:{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
939:
923:
895:
879:
363:
349:
317:
303:
1:
9731:American Mathematical Monthly
9598:American Mathematical Monthly
9537:American Mathematical Monthly
9490:"The Sine of a Single Degree"
9058:
8040:cube root of a complex number
3116:Lindemann–Weierstrass theorem
3094:Since the root of unity is a
2053:{\displaystyle {\sqrt {5}}-1}
1468:{\displaystyle {\sqrt {2}}+1}
1437:{\displaystyle {\sqrt {2}}-1}
1326:{\displaystyle 22.5^{\circ }}
1268:{\displaystyle {\sqrt {5}}+1}
857:{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
826:{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
9801:Journal of Integer Sequences
9072:Abramowitz & Stegun 1972
6309:{\displaystyle \beta /2^{n}}
4545: Wikimedia Commons has
406:, and the values are called
7:
9446:67, December 1983, 290–292.
9040:
8314:to yield an expression for
6943:{\displaystyle b_{1}\neq 0}
4555:sum and difference formulas
3209:and any number of distinct
2238:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
2162:{\displaystyle 45^{\circ }}
1839:{\displaystyle 36^{\circ }}
1723:{\displaystyle {\sqrt {3}}}
1610:{\displaystyle 30^{\circ }}
1003:{\displaystyle 18^{\circ }}
715:{\displaystyle 15^{\circ }}
10:
10120:
9348:Handbuch Der Trigonometrie
9295:Fraleigh, John B. (1994),
9253:Martin, George E. (1998),
9211:Martin, George E. (1998),
7896:Non-constructibility of 1°
7626:
3367:{\displaystyle 9=3\cdot 3}
567:{\displaystyle 0^{\circ }}
167:Trigonometric substitution
10063:
10052:
9850:
9265:10.1007/978-1-4612-0629-3
9223:10.1007/978-1-4612-0629-3
6684:{\displaystyle b_{k}\in }
4535:Remaining multiples of 3°
4031:may be derived using the
3205:, is the product of some
2221:
2200:
2170:
404:compass and straight edge
9625:Girstmair, Kurt (1997).
9328:"Exact Value of sin 18°"
9092:New Mathematical Library
7661:{\displaystyle 2\pi /17}
3545:. Substituting into the
80:Generalized trigonometry
9646:10.4064/aa-81-4-387-398
9465:Interactive Mathematics
9256:Geometric Constructions
9214:Geometric Constructions
7902:§ Constructibility
5946:. For example, 22.5° (
4033:multiple angle formulas
3178:{\displaystyle a\pi /b}
470:{\displaystyle \infty }
288:trigonometric functions
9090:, 1961. Random House.
9031:
8636:
8347:
8304:
8265:
8223:
8184:
8145:
8078:
8031:
7992:
7918:
7886:
7860:
7815:
7662:
7614:
7519:
7348:
7240:
7130:
6944:
6911:
6738:
6737:{\displaystyle i<k}
6712:
6685:
6637:
6414:
6390:
6330:
6329:{\displaystyle \beta }
6310:
6275:
6247:, specifically nested
6234:
6090:
5924:
5639:
5583:
4525:
4483:
4413:
4324:
4121:
4025:
3988:18°, 36°, 54°, and 72°
3978:
3859:
3810:special right triangle
3790:
3690:
3626:
3539:
3434:
3413:
3374:is not the product of
3368:
3336:
3295:
3254:
3179:
3148:
3114:. In contrast, by the
3102: − 1, it is
3085:
2913:
2821:
2775:
2681:
2239:
2214:
2193:
2163:
2135:
2105:
2054:
2023:
1969:
1931:
1891:
1840:
1812:
1782:
1761:
1724:
1699:
1669:
1639:
1611:
1583:
1553:
1511:
1469:
1438:
1407:
1367:
1327:
1299:
1269:
1238:
1187:
1149:
1095:
1044:
1004:
976:
946:
902:
858:
827:
796:
756:
716:
688:
655:
631:
610:
589:
568:
540:
471:
439:
388:
330:
9364:Mathematics in School
9032:
8637:
8348:
8305:
8266:
8224:
8185:
8146:
8079:
8032:
7993:
7919:
7887:
7861:
7816:
7663:
7615:
7520:
7349:
7241:
7131:
6945:
6912:
6739:
6713:
6711:{\displaystyle b_{i}}
6686:
6638:
6394:
6370:
6331:
6311:
6276:
6235:
6091:
5925:
5640:
5584:
4526:
4484:
4414:
4325:
4122:
4026:
3979:
3860:
3791:
3691:
3627:
3540:
3414:
3369:
3337:
3296:
3255:
3180:
3149:
3112:explicitly enumerated
3086:
2914:
2822:
2776:
2691:Trigonometric numbers
2682:
2240:
2215:
2194:
2164:
2136:
2106:
2055:
2024:
1970:
1932:
1892:
1841:
1813:
1783:
1762:
1725:
1700:
1670:
1640:
1612:
1584:
1554:
1512:
1470:
1439:
1408:
1368:
1328:
1300:
1270:
1239:
1188:
1150:
1096:
1045:
1005:
977:
947:
903:
859:
828:
797:
757:
717:
689:
656:
632:
611:
590:
569:
541:
472:
440:
408:constructible numbers
389:
331:
9760:Mathematics Magazine
9444:Mathematical Gazette
8652:
8371:
8318:
8275:
8233:
8194:
8155:
8088:
8049:
8002:
7928:
7917:{\displaystyle \pi }
7908:
7870:
7828:
7679:
7670:Carl Friedrich Gauss
7641:
7528:
7358:
7250:
7140:
6954:
6921:
6748:
6722:
6695:
6647:
6340:
6320:
6285:
6255:
6101:
5957:
5938:If the denominator,
5652:
5596:
4564:
4496:
4429:
4340:
4137:
4042:
3996:
3869:
3816:
3806:equilateral triangle
3700:
3639:
3552:
3447:
3430:Constructible values
3382:
3346:
3305:
3264:
3220:
3201:of the denominator,
3158:
3147:{\displaystyle \pi }
3138:
2934:
2842:
2785:
2718:
2697:trigonometric number
2263:
2225:
2204:
2174:
2146:
2118:
2065:
2034:
1980:
1942:
1902:
1851:
1823:
1795:
1772:
1735:
1710:
1680:
1650:
1622:
1594:
1566:
1522:
1480:
1449:
1418:
1378:
1338:
1310:
1282:
1249:
1198:
1160:
1106:
1055:
1015:
987:
959:
913:
869:
838:
807:
767:
727:
699:
671:
645:
621:
600:
579:
551:
530:
461:
438:{\displaystyle 1:0.}
423:
396:trigonometric tables
340:
336:, or exactly, as in
294:
187:Trigonometric series
9345:Weiß, Adam (1851).
8362:De Moivre's formula
8355:casus irreducibilis
7885:{\displaystyle k,n}
6718:is -1, 0, or 1 for
5944:half-angle formulas
5592:For example, since
3441:reflection identity
3216:Thus, for example,
3199:prime factorization
2921:De Moivre's formula
149:Pythagorean theorem
10099:Irrational numbers
9844:Irrational numbers
9685:10.1007/PL00009463
9579:Dover Publications
9565:Abramowitz, Milton
9422:, Springer, 1991,
9027:
9025:
8632:
8630:
8360:Alternatively, by
8343:
8300:
8261:
8219:
8180:
8141:
8074:
8027:
7988:
7914:
7882:
7856:
7811:
7658:
7610:
7515:
7344:
7236:
7126:
6940:
6907:
6734:
6708:
6681:
6633:
6326:
6306:
6271:
6230:
6086:
5920:
5918:
5635:
5579:
5577:
4521:
4479:
4409:
4320:
4117:
4021:
3974:
3855:
3786:
3686:
3634:minimal polynomial
3632:, one obtains the
3622:
3535:
3409:
3364:
3332:
3291:
3250:
3175:
3144:
3098:of the polynomial
3081:
2909:
2817:
2771:
2677:
2675:
2291:
2235:
2210:
2189:
2159:
2131:
2101:
2050:
2019:
1965:
1927:
1887:
1836:
1808:
1778:
1757:
1720:
1695:
1665:
1635:
1607:
1579:
1549:
1507:
1465:
1434:
1403:
1363:
1323:
1295:
1265:
1234:
1183:
1145:
1091:
1040:
1000:
972:
942:
898:
854:
823:
792:
752:
712:
684:
651:
627:
606:
585:
564:
536:
467:
449:these entries are
435:
384:
326:
10086:
10085:
9987:Supersilver ratio
9952:Supergolden ratio
9912:Twelfth root of 2
9588:978-0-486-61272-0
9306:978-0-201-53467-2
9160:978-1-4757-4114-8
9013:
8949:
8883:
8827:
8763:
8697:
8312:Cardano's formula
7854:
7809:
7803:
7801:
7799:
7778:
7754:
7752:
7731:
7705:
7623:Denominator of 17
7608:
7606:
7604:
7602:
7571:
7554:
7513:
7511:
7509:
7507:
7476:
7463:
7461:
7459:
7453:
7401:
7384:
7229:
7216:
7203:
7190:
7177:
7156:
7124:
7122:
7120:
7118:
7116:
7110:
6983:
6905:
6903:
6901:
6899:
6893:
6784:
6626:
6562:
6520:
6488:
6468:
6442:
6365:
6269:
6249:square roots of 2
6228:
6226:
6211:
6198:
6197:
6191:
6187:
6166:
6165:
6084:
6082:
6067:
6054:
6053:
6047:
6043:
6022:
6021:
5914:
5908:
5906:
5885:
5859:
5855:
5853:
5834:
5830:
5819:
5807:
5797:
4477:
4465:
3964:
3954:
3776:
3766:
3108:complex conjugate
3007:
2969:
2290:
2248:
2247:
2233:
2213:{\displaystyle 1}
2187:
2183:
2129:
2099:
2093:
2091:
2076:
2042:
2017:
2011:
2009:
1991:
1963:
1961:
1925:
1913:
1885:
1879:
1877:
1862:
1806:
1781:{\displaystyle 2}
1755:
1749:
1718:
1693:
1689:
1663:
1659:
1633:
1577:
1547:
1545:
1530:
1505:
1503:
1488:
1457:
1426:
1401:
1397:
1395:
1361:
1357:
1355:
1293:
1257:
1232:
1226:
1224:
1209:
1181:
1179:
1143:
1137:
1135:
1117:
1089:
1083:
1081:
1066:
1038:
1026:
970:
931:
921:
887:
877:
852:
821:
790:
786:
784:
750:
746:
744:
682:
654:{\displaystyle 1}
630:{\displaystyle 0}
609:{\displaystyle 1}
588:{\displaystyle 0}
539:{\displaystyle 0}
374:
284:
283:
176:inverse functions
119:Laws and theorems
10111:
10058:
10046:
10036:
10024:Square root of 7
10019:Square root of 6
10014:
9997:Square root of 5
9992:
9982:Square root of 3
9977:
9967:
9957:
9947:Square root of 2
9940:
9925:
9907:
9875:
9860:
9837:
9830:
9823:
9814:
9813:
9808:
9791:
9754:
9725:
9722:10.1002/qua.1803
9704:
9678:
9657:
9634:Acta Arithmetica
9631:
9621:
9592:
9569:Stegun, Irene A.
9560:
9521:
9520:
9494:
9485:
9476:
9475:
9473:
9471:
9462:
9453:
9447:
9440:
9434:
9416:
9410:
9409:
9389:
9380:
9379:
9359:
9353:
9352:
9342:
9336:
9335:
9324:
9318:
9317:
9292:
9286:
9285:
9250:
9244:
9243:
9208:
9202:
9201:
9171:
9165:
9164:
9144:
9138:
9137:
9109:
9103:
9084:
9075:
9069:
9047:Ailles rectangle
9036:
9034:
9033:
9028:
9026:
9019:
9015:
9014:
9012:
9007:
9003:
9002:
8975:
8974:
8955:
8950:
8948:
8943:
8939:
8938:
8911:
8910:
8891:
8884:
8882:
8871:
8859:
8858:
8833:
8829:
8828:
8826:
8821:
8817:
8816:
8789:
8788:
8769:
8764:
8762:
8757:
8753:
8752:
8725:
8724:
8705:
8698:
8690:
8677:
8676:
8641:
8639:
8638:
8633:
8631:
8621:
8620:
8593:
8592:
8567:
8566:
8554:
8553:
8526:
8525:
8494:
8493:
8466:
8465:
8440:
8439:
8427:
8426:
8399:
8398:
8352:
8350:
8349:
8344:
8339:
8338:
8309:
8307:
8306:
8301:
8296:
8295:
8270:
8268:
8267:
8262:
8257:
8256:
8228:
8226:
8225:
8220:
8215:
8214:
8189:
8187:
8186:
8181:
8176:
8175:
8150:
8148:
8147:
8142:
8131:
8130:
8109:
8108:
8083:
8081:
8080:
8075:
8070:
8069:
8036:
8034:
8033:
8028:
8023:
8022:
7997:
7995:
7994:
7989:
7978:
7977:
7965:
7964:
7952:
7938:
7923:
7921:
7920:
7915:
7900:As discussed in
7891:
7889:
7888:
7883:
7865:
7863:
7862:
7857:
7855:
7850:
7846:
7845:
7832:
7820:
7818:
7817:
7812:
7810:
7805:
7804:
7802:
7800:
7795:
7784:
7779:
7774:
7763:
7755:
7753:
7748:
7737:
7732:
7727:
7715:
7710:
7706:
7701:
7693:
7667:
7665:
7664:
7659:
7654:
7619:
7617:
7616:
7611:
7609:
7607:
7605:
7603:
7598:
7590:
7582:
7574:
7572:
7564:
7559:
7555:
7550:
7542:
7524:
7522:
7521:
7516:
7514:
7512:
7510:
7508:
7503:
7495:
7487:
7479:
7477:
7469:
7464:
7462:
7460:
7458:
7454:
7449:
7441:
7420:
7412:
7404:
7402:
7394:
7389:
7385:
7380:
7372:
7353:
7351:
7350:
7345:
7304:
7303:
7291:
7290:
7278:
7277:
7265:
7264:
7245:
7243:
7242:
7237:
7235:
7231:
7230:
7222:
7217:
7209:
7204:
7196:
7191:
7183:
7178:
7170:
7157:
7152:
7144:
7135:
7133:
7132:
7127:
7125:
7123:
7121:
7119:
7117:
7115:
7111:
7106:
7105:
7104:
7091:
7070:
7068:
7067:
7040:
7038:
7037:
7022:
7020:
7019:
7004:
7002:
7001:
6986:
6984:
6976:
6949:
6947:
6946:
6941:
6933:
6932:
6916:
6914:
6913:
6908:
6906:
6904:
6902:
6900:
6898:
6894:
6889:
6888:
6887:
6874:
6853:
6851:
6850:
6823:
6821:
6820:
6805:
6803:
6802:
6787:
6785:
6780:
6779:
6770:
6743:
6741:
6740:
6735:
6717:
6715:
6714:
6709:
6707:
6706:
6690:
6688:
6687:
6682:
6659:
6658:
6642:
6640:
6639:
6634:
6632:
6628:
6627:
6625:
6624:
6609:
6608:
6607:
6595:
6594:
6585:
6584:
6574:
6563:
6558:
6557:
6556:
6547:
6546:
6537:
6536:
6526:
6521:
6516:
6515:
6514:
6505:
6504:
6494:
6489:
6484:
6483:
6474:
6469:
6461:
6448:
6444:
6443:
6441:
6440:
6425:
6424:
6423:
6413:
6408:
6392:
6389:
6384:
6366:
6358:
6335:
6333:
6332:
6327:
6315:
6313:
6312:
6307:
6305:
6304:
6295:
6280:
6278:
6277:
6272:
6270:
6259:
6239:
6237:
6236:
6231:
6229:
6227:
6222:
6214:
6212:
6204:
6199:
6193:
6192:
6183:
6182:
6173:
6172:
6167:
6161:
6157:
6156:
6131:
6130:
6122:
6121:
6095:
6093:
6092:
6087:
6085:
6083:
6078:
6070:
6068:
6060:
6055:
6049:
6048:
6039:
6038:
6029:
6028:
6023:
6017:
6013:
6012:
5987:
5986:
5978:
5977:
5949:
5929:
5927:
5926:
5921:
5919:
5915:
5910:
5909:
5907:
5902:
5891:
5886:
5881:
5872:
5864:
5860:
5854:
5849:
5838:
5837:
5835:
5826:
5825:
5820:
5815:
5808:
5803:
5800:
5798:
5790:
5782:
5775:
5774:
5753:
5752:
5728:
5727:
5706:
5705:
5677:
5676:
5644:
5642:
5641:
5636:
5634:
5633:
5621:
5620:
5608:
5607:
5588:
5586:
5585:
5580:
5578:
5575:
5570:
5569:
5557:
5556:
5540:
5539:
5525:
5524:
5512:
5511:
5495:
5494:
5480:
5479:
5467:
5466:
5450:
5449:
5437:
5432:
5431:
5419:
5418:
5402:
5401:
5387:
5386:
5374:
5373:
5357:
5356:
5342:
5341:
5329:
5328:
5312:
5311:
5299:
5294:
5293:
5281:
5280:
5264:
5263:
5249:
5248:
5236:
5235:
5219:
5218:
5204:
5203:
5191:
5190:
5174:
5173:
5159:
5158:
5146:
5145:
5129:
5128:
5116:
5111:
5110:
5098:
5097:
5081:
5080:
5066:
5065:
5053:
5052:
5036:
5035:
5021:
5020:
5008:
5007:
4991:
4990:
4976:
4975:
4963:
4962:
4946:
4945:
4933:
4928:
4927:
4915:
4914:
4898:
4897:
4883:
4882:
4870:
4869:
4853:
4852:
4838:
4837:
4825:
4824:
4808:
4807:
4793:
4792:
4780:
4779:
4763:
4762:
4750:
4745:
4744:
4732:
4731:
4715:
4714:
4700:
4699:
4687:
4686:
4670:
4669:
4655:
4654:
4642:
4641:
4625:
4624:
4610:
4609:
4597:
4596:
4580:
4579:
4557:. Specifically,
4544:
4543:
4530:
4528:
4527:
4522:
4517:
4516:
4488:
4486:
4485:
4480:
4478:
4473:
4466:
4461:
4458:
4450:
4449:
4418:
4416:
4415:
4410:
4405:
4404:
4389:
4388:
4364:
4363:
4329:
4327:
4326:
4321:
4313:
4312:
4297:
4296:
4272:
4271:
4247:
4246:
4225:
4224:
4209:
4208:
4190:
4189:
4174:
4173:
4158:
4157:
4126:
4124:
4123:
4118:
4113:
4112:
4091:
4090:
4063:
4062:
4030:
4028:
4027:
4022:
4017:
4016:
3983:
3981:
3980:
3975:
3970:
3965:
3960:
3955:
3953:
3952:
3940:
3923:
3915:
3914:
3890:
3889:
3864:
3862:
3861:
3856:
3851:
3837:
3836:
3795:
3793:
3792:
3787:
3782:
3777:
3772:
3767:
3762:
3760:
3746:
3745:
3721:
3720:
3695:
3693:
3692:
3687:
3673:
3672:
3663:
3662:
3631:
3629:
3628:
3623:
3615:
3614:
3605:
3604:
3583:
3582:
3573:
3572:
3544:
3542:
3541:
3536:
3531:
3530:
3506:
3505:
3493:
3492:
3468:
3467:
3425:
3418:
3416:
3415:
3410:
3408:
3407:
3392:
3373:
3371:
3370:
3365:
3341:
3339:
3338:
3333:
3331:
3330:
3315:
3300:
3298:
3297:
3292:
3290:
3289:
3274:
3259:
3257:
3256:
3251:
3249:
3248:
3233:
3195:relatively prime
3184:
3182:
3181:
3176:
3171:
3153:
3151:
3150:
3145:
3129:Constructibility
3090:
3088:
3087:
3082:
3023:
3022:
3017:
3013:
3012:
3008:
3003:
2992:
2974:
2970:
2965:
2954:
2918:
2916:
2915:
2910:
2902:
2867:
2826:
2824:
2823:
2818:
2810:
2780:
2778:
2777:
2772:
2761:
2710:
2686:
2684:
2683:
2678:
2676:
2648:
2643:
2617:
2612:
2588:
2564:
2559:
2536:
2505:
2504:
2476:
2471:
2448:
2443:
2419:
2395:
2390:
2364:
2333:
2332:
2307:
2292:
2283:
2270:
2269:
2244:
2242:
2241:
2236:
2234:
2229:
2219:
2217:
2216:
2211:
2198:
2196:
2195:
2190:
2188:
2179:
2178:
2168:
2166:
2165:
2160:
2158:
2157:
2140:
2138:
2137:
2132:
2130:
2122:
2110:
2108:
2107:
2102:
2100:
2095:
2094:
2092:
2087:
2079:
2077:
2072:
2069:
2059:
2057:
2056:
2051:
2043:
2038:
2028:
2026:
2025:
2020:
2018:
2013:
2012:
2010:
2005:
1994:
1992:
1987:
1984:
1974:
1972:
1971:
1966:
1964:
1962:
1957:
1946:
1936:
1934:
1933:
1928:
1926:
1921:
1914:
1909:
1906:
1896:
1894:
1893:
1888:
1886:
1881:
1880:
1878:
1873:
1865:
1863:
1858:
1855:
1845:
1843:
1842:
1837:
1835:
1834:
1817:
1815:
1814:
1809:
1807:
1799:
1787:
1785:
1784:
1779:
1766:
1764:
1763:
1758:
1756:
1751:
1750:
1745:
1739:
1729:
1727:
1726:
1721:
1719:
1714:
1704:
1702:
1701:
1696:
1694:
1685:
1684:
1674:
1672:
1671:
1666:
1664:
1655:
1654:
1644:
1642:
1641:
1636:
1634:
1626:
1616:
1614:
1613:
1608:
1606:
1605:
1588:
1586:
1585:
1580:
1578:
1570:
1558:
1556:
1555:
1550:
1548:
1546:
1541:
1533:
1531:
1526:
1516:
1514:
1513:
1508:
1506:
1504:
1499:
1491:
1489:
1484:
1474:
1472:
1471:
1466:
1458:
1453:
1443:
1441:
1440:
1435:
1427:
1422:
1412:
1410:
1409:
1404:
1402:
1396:
1391:
1383:
1382:
1372:
1370:
1369:
1364:
1362:
1356:
1351:
1343:
1342:
1332:
1330:
1329:
1324:
1322:
1321:
1304:
1302:
1301:
1296:
1294:
1286:
1274:
1272:
1271:
1266:
1258:
1253:
1243:
1241:
1240:
1235:
1233:
1228:
1227:
1225:
1220:
1212:
1210:
1205:
1202:
1192:
1190:
1189:
1184:
1182:
1180:
1175:
1164:
1154:
1152:
1151:
1146:
1144:
1139:
1138:
1136:
1131:
1120:
1118:
1113:
1110:
1100:
1098:
1097:
1092:
1090:
1085:
1084:
1082:
1077:
1069:
1067:
1062:
1059:
1049:
1047:
1046:
1041:
1039:
1034:
1027:
1022:
1019:
1009:
1007:
1006:
1001:
999:
998:
981:
979:
978:
973:
971:
963:
951:
949:
948:
943:
932:
927:
922:
917:
907:
905:
904:
899:
888:
883:
878:
873:
863:
861:
860:
855:
853:
848:
832:
830:
829:
824:
822:
817:
801:
799:
798:
793:
791:
785:
780:
772:
771:
761:
759:
758:
753:
751:
745:
740:
732:
731:
721:
719:
718:
713:
711:
710:
693:
691:
690:
685:
683:
675:
660:
658:
657:
652:
636:
634:
633:
628:
615:
613:
612:
607:
594:
592:
591:
586:
573:
571:
570:
565:
563:
562:
545:
543:
542:
537:
522:
517:
512:
507:
502:
497:
486:
485:
479:division by zero
476:
474:
473:
468:
444:
442:
441:
436:
393:
391:
390:
385:
380:
375:
370:
359:
335:
333:
332:
327:
313:
276:
269:
262:
33:
19:
18:
10119:
10118:
10114:
10113:
10112:
10110:
10109:
10108:
10089:
10088:
10087:
10082:
10059:
10050:
10044:
10034:
10013:
10005:
9990:
9975:
9965:
9955:
9938:
9920:
9905:
9873:
9858:
9846:
9841:
9811:
9743:10.2307/3647881
9676:math-ph/9812019
9629:
9610:10.2307/2324301
9589:
9571:, eds. (1972).
9549:10.2307/2301023
9530:
9525:
9524:
9492:
9486:
9479:
9469:
9467:
9460:
9454:
9450:
9441:
9437:
9417:
9413:
9390:
9383:
9360:
9356:
9343:
9339:
9326:
9325:
9321:
9307:
9293:
9289:
9275:
9251:
9247:
9233:
9209:
9205:
9190:10.2307/3026991
9172:
9168:
9161:
9145:
9141:
9126:10.2307/2301023
9110:
9106:
9085:
9078:
9074:, p. 74, 4.3.46
9070:
9066:
9061:
9043:
9024:
9023:
9008:
8998:
8994:
8970:
8966:
8956:
8954:
8944:
8934:
8930:
8906:
8902:
8892:
8890:
8889:
8885:
8875:
8870:
8863:
8854:
8850:
8838:
8837:
8822:
8812:
8808:
8784:
8780:
8770:
8768:
8758:
8748:
8744:
8720:
8716:
8706:
8704:
8703:
8699:
8689:
8681:
8672:
8668:
8655:
8653:
8650:
8649:
8629:
8628:
8616:
8612:
8588:
8584:
8568:
8562:
8558:
8549:
8545:
8521:
8517:
8502:
8501:
8489:
8485:
8461:
8457:
8441:
8435:
8431:
8422:
8418:
8394:
8390:
8374:
8372:
8369:
8368:
8334:
8330:
8319:
8316:
8315:
8291:
8287:
8276:
8273:
8272:
8252:
8248:
8234:
8231:
8230:
8210:
8206:
8195:
8192:
8191:
8171:
8167:
8156:
8153:
8152:
8126:
8122:
8104:
8100:
8089:
8086:
8085:
8065:
8061:
8050:
8047:
8046:
8018:
8014:
8003:
8000:
7999:
7973:
7969:
7960:
7956:
7948:
7934:
7929:
7926:
7925:
7909:
7906:
7905:
7898:
7871:
7868:
7867:
7841:
7837:
7833:
7831:
7829:
7826:
7825:
7794:
7783:
7773:
7762:
7747:
7736:
7726:
7716:
7714:
7694:
7692:
7688:
7680:
7677:
7676:
7650:
7642:
7639:
7638:
7631:
7625:
7597:
7589:
7581:
7573:
7563:
7543:
7541:
7537:
7529:
7526:
7525:
7502:
7494:
7486:
7478:
7468:
7442:
7440:
7436:
7419:
7411:
7403:
7393:
7373:
7371:
7367:
7359:
7356:
7355:
7299:
7295:
7286:
7282:
7273:
7269:
7260:
7256:
7251:
7248:
7247:
7221:
7208:
7195:
7182:
7169:
7168:
7164:
7145:
7143:
7141:
7138:
7137:
7100:
7096:
7092:
7090:
7086:
7069:
7057:
7053:
7039:
7033:
7029:
7021:
7015:
7011:
7003:
6997:
6993:
6985:
6975:
6955:
6952:
6951:
6928:
6924:
6922:
6919:
6918:
6883:
6879:
6875:
6873:
6869:
6852:
6840:
6836:
6822:
6816:
6812:
6804:
6798:
6794:
6786:
6775:
6771:
6769:
6749:
6746:
6745:
6723:
6720:
6719:
6702:
6698:
6696:
6693:
6692:
6654:
6650:
6648:
6645:
6644:
6614:
6610:
6603:
6599:
6590:
6586:
6580:
6576:
6575:
6573:
6552:
6548:
6542:
6538:
6532:
6528:
6527:
6525:
6510:
6506:
6500:
6496:
6495:
6493:
6479:
6475:
6473:
6460:
6459:
6455:
6430:
6426:
6419:
6415:
6409:
6398:
6393:
6391:
6385:
6374:
6357:
6356:
6352:
6341:
6338:
6337:
6321:
6318:
6317:
6300:
6296:
6291:
6286:
6283:
6282:
6258:
6256:
6253:
6252:
6245:nested radicals
6221:
6213:
6203:
6181:
6174:
6171:
6152:
6148:
6132:
6129:
6117:
6113:
6102:
6099:
6098:
6077:
6069:
6059:
6037:
6030:
6027:
6008:
6004:
5988:
5985:
5973:
5969:
5958:
5955:
5954:
5947:
5936:
5917:
5916:
5901:
5890:
5880:
5873:
5871:
5862:
5861:
5848:
5836:
5824:
5802:
5801:
5799:
5789:
5780:
5779:
5770:
5766:
5748:
5744:
5723:
5719:
5701:
5697:
5681:
5672:
5668:
5655:
5653:
5650:
5649:
5629:
5625:
5616:
5612:
5603:
5599:
5597:
5594:
5593:
5576:
5574:
5565:
5561:
5552:
5548:
5541:
5535:
5531:
5529:
5520:
5516:
5507:
5503:
5496:
5490:
5486:
5484:
5475:
5471:
5462:
5458:
5451:
5445:
5441:
5438:
5436:
5427:
5423:
5414:
5410:
5403:
5397:
5393:
5391:
5382:
5378:
5369:
5365:
5358:
5352:
5348:
5346:
5337:
5333:
5324:
5320:
5313:
5307:
5303:
5300:
5298:
5289:
5285:
5276:
5272:
5265:
5259:
5255:
5253:
5244:
5240:
5231:
5227:
5220:
5214:
5210:
5208:
5199:
5195:
5186:
5182:
5175:
5169:
5165:
5163:
5154:
5150:
5141:
5137:
5130:
5124:
5120:
5117:
5115:
5106:
5102:
5093:
5089:
5082:
5076:
5072:
5070:
5061:
5057:
5048:
5044:
5037:
5031:
5027:
5025:
5016:
5012:
5003:
4999:
4992:
4986:
4982:
4980:
4971:
4967:
4958:
4954:
4947:
4941:
4937:
4934:
4932:
4923:
4919:
4910:
4906:
4899:
4893:
4889:
4887:
4878:
4874:
4865:
4861:
4854:
4848:
4844:
4842:
4833:
4829:
4820:
4816:
4809:
4803:
4799:
4797:
4788:
4784:
4775:
4771:
4764:
4758:
4754:
4751:
4749:
4740:
4736:
4727:
4723:
4716:
4710:
4706:
4704:
4695:
4691:
4682:
4678:
4671:
4665:
4661:
4659:
4650:
4646:
4637:
4633:
4626:
4620:
4616:
4614:
4605:
4601:
4592:
4588:
4581:
4575:
4571:
4567:
4565:
4562:
4561:
4537:
4512:
4508:
4497:
4494:
4493:
4460:
4459:
4457:
4445:
4441:
4430:
4427:
4426:
4400:
4396:
4384:
4380:
4359:
4355:
4341:
4338:
4337:
4308:
4304:
4292:
4288:
4267:
4263:
4242:
4238:
4220:
4216:
4204:
4200:
4185:
4181:
4169:
4165:
4153:
4149:
4138:
4135:
4134:
4108:
4104:
4086:
4082:
4058:
4054:
4043:
4040:
4039:
4012:
4008:
3997:
3994:
3993:
3990:
3966:
3959:
3948:
3944:
3936:
3922:
3910:
3906:
3885:
3881:
3870:
3867:
3866:
3847:
3832:
3828:
3817:
3814:
3813:
3802:
3778:
3771:
3761:
3756:
3741:
3737:
3716:
3712:
3701:
3698:
3697:
3668:
3664:
3658:
3654:
3640:
3637:
3636:
3610:
3606:
3600:
3596:
3578:
3574:
3568:
3564:
3553:
3550:
3549:
3526:
3522:
3501:
3497:
3488:
3484:
3463:
3459:
3448:
3445:
3444:
3437:
3432:
3423:
3403:
3399:
3388:
3383:
3380:
3379:
3347:
3344:
3343:
3326:
3322:
3311:
3306:
3303:
3302:
3285:
3281:
3270:
3265:
3262:
3261:
3244:
3240:
3229:
3221:
3218:
3217:
3185:radians, where
3167:
3159:
3156:
3155:
3139:
3136:
3135:
3131:
3123:Niven's theorem
3018:
2993:
2991:
2987:
2955:
2953:
2949:
2942:
2938:
2937:
2935:
2932:
2931:
2898:
2863:
2843:
2840:
2839:
2806:
2786:
2783:
2782:
2757:
2719:
2716:
2715:
2708:
2693:
2674:
2673:
2647:
2642:
2616:
2611:
2587:
2563:
2558:
2535:
2531:
2502:
2501:
2475:
2470:
2447:
2442:
2418:
2394:
2389:
2363:
2359:
2330:
2329:
2306:
2302:
2281:
2266:
2264:
2261:
2260:
2228:
2226:
2223:
2222:
2205:
2202:
2201:
2177:
2175:
2172:
2171:
2153:
2149:
2147:
2144:
2143:
2121:
2119:
2116:
2115:
2086:
2078:
2071:
2070:
2068:
2066:
2063:
2062:
2037:
2035:
2032:
2031:
2004:
1993:
1986:
1985:
1983:
1981:
1978:
1977:
1956:
1945:
1943:
1940:
1939:
1908:
1907:
1905:
1903:
1900:
1899:
1872:
1864:
1857:
1856:
1854:
1852:
1849:
1848:
1830:
1826:
1824:
1821:
1820:
1798:
1796:
1793:
1792:
1773:
1770:
1769:
1744:
1740:
1738:
1736:
1733:
1732:
1713:
1711:
1708:
1707:
1683:
1681:
1678:
1677:
1653:
1651:
1648:
1647:
1625:
1623:
1620:
1619:
1601:
1597:
1595:
1592:
1591:
1569:
1567:
1564:
1563:
1540:
1532:
1525:
1523:
1520:
1519:
1498:
1490:
1483:
1481:
1478:
1477:
1452:
1450:
1447:
1446:
1421:
1419:
1416:
1415:
1390:
1381:
1379:
1376:
1375:
1350:
1341:
1339:
1336:
1335:
1317:
1313:
1311:
1308:
1307:
1285:
1283:
1280:
1279:
1252:
1250:
1247:
1246:
1219:
1211:
1204:
1203:
1201:
1199:
1196:
1195:
1174:
1163:
1161:
1158:
1157:
1130:
1119:
1112:
1111:
1109:
1107:
1104:
1103:
1076:
1068:
1061:
1060:
1058:
1056:
1053:
1052:
1021:
1020:
1018:
1016:
1013:
1012:
994:
990:
988:
985:
984:
962:
960:
957:
956:
926:
916:
914:
911:
910:
882:
872:
870:
867:
866:
847:
839:
836:
835:
816:
808:
805:
804:
779:
770:
768:
765:
764:
739:
730:
728:
725:
724:
706:
702:
700:
697:
696:
674:
672:
669:
668:
646:
643:
642:
622:
619:
618:
601:
598:
597:
580:
577:
576:
558:
554:
552:
549:
548:
531:
528:
527:
520:
515:
510:
505:
500:
495:
462:
459:
458:
424:
421:
420:
416:
376:
369:
355:
341:
338:
337:
309:
295:
292:
291:
280:
101:Exact constants
17:
12:
11:
5:
10117:
10107:
10106:
10101:
10084:
10083:
10081:
10080:
10075:
10073:Transcendental
10070:
10064:
10061:
10060:
10053:
10051:
10049:
10048:
10038:
10027:
10026:
10021:
10016:
10009:
9999:
9994:
9984:
9979:
9969:
9959:
9949:
9943:
9942:
9932:
9930:Cube root of 2
9927:
9914:
9909:
9899:
9894:
9892:Logarithm of 2
9888:
9887:
9882:
9877:
9867:
9862:
9851:
9848:
9847:
9840:
9839:
9832:
9825:
9817:
9810:
9809:
9792:
9766:(2): 146–149.
9755:
9737:(4): 326–330.
9726:
9705:
9669:(3): 321–332.
9658:
9640:(4): 387–498.
9622:
9604:(5): 471–474.
9593:
9587:
9561:
9543:(3): 165–166.
9531:
9529:
9526:
9523:
9522:
9503:(5): 322–332.
9477:
9448:
9435:
9411:
9400:(4): 326–330.
9381:
9354:
9337:
9332:math-only-math
9319:
9305:
9287:
9273:
9245:
9231:
9203:
9166:
9159:
9139:
9120:(3): 165–166.
9104:
9076:
9063:
9062:
9060:
9057:
9056:
9055:
9050:
9042:
9039:
9038:
9037:
9022:
9018:
9011:
9006:
9001:
8997:
8993:
8990:
8987:
8984:
8981:
8978:
8973:
8969:
8965:
8962:
8959:
8953:
8947:
8942:
8937:
8933:
8929:
8926:
8923:
8920:
8917:
8914:
8909:
8905:
8901:
8898:
8895:
8888:
8881:
8878:
8874:
8869:
8866:
8864:
8862:
8857:
8853:
8849:
8846:
8843:
8840:
8839:
8836:
8832:
8825:
8820:
8815:
8811:
8807:
8804:
8801:
8798:
8795:
8792:
8787:
8783:
8779:
8776:
8773:
8767:
8761:
8756:
8751:
8747:
8743:
8740:
8737:
8734:
8731:
8728:
8723:
8719:
8715:
8712:
8709:
8702:
8696:
8693:
8687:
8684:
8682:
8680:
8675:
8671:
8667:
8664:
8661:
8658:
8657:
8643:
8642:
8627:
8624:
8619:
8615:
8611:
8608:
8605:
8602:
8599:
8596:
8591:
8587:
8583:
8580:
8577:
8574:
8571:
8569:
8565:
8561:
8557:
8552:
8548:
8544:
8541:
8538:
8535:
8532:
8529:
8524:
8520:
8516:
8513:
8510:
8507:
8504:
8503:
8500:
8497:
8492:
8488:
8484:
8481:
8478:
8475:
8472:
8469:
8464:
8460:
8456:
8453:
8450:
8447:
8444:
8442:
8438:
8434:
8430:
8425:
8421:
8417:
8414:
8411:
8408:
8405:
8402:
8397:
8393:
8389:
8386:
8383:
8380:
8377:
8376:
8342:
8337:
8333:
8329:
8326:
8323:
8299:
8294:
8290:
8286:
8283:
8280:
8260:
8255:
8251:
8247:
8244:
8241:
8238:
8218:
8213:
8209:
8205:
8202:
8199:
8179:
8174:
8170:
8166:
8163:
8160:
8140:
8137:
8134:
8129:
8125:
8121:
8118:
8115:
8112:
8107:
8103:
8099:
8096:
8093:
8073:
8068:
8064:
8060:
8057:
8054:
8026:
8021:
8017:
8013:
8010:
8007:
7987:
7984:
7981:
7976:
7972:
7968:
7963:
7959:
7955:
7951:
7947:
7944:
7941:
7937:
7933:
7913:
7897:
7894:
7881:
7878:
7875:
7866:(for integers
7853:
7849:
7844:
7840:
7836:
7822:
7821:
7808:
7798:
7793:
7790:
7787:
7782:
7777:
7772:
7769:
7766:
7761:
7758:
7751:
7746:
7743:
7740:
7735:
7730:
7725:
7722:
7719:
7713:
7709:
7704:
7700:
7697:
7691:
7687:
7684:
7657:
7653:
7649:
7646:
7627:Main article:
7624:
7621:
7601:
7596:
7593:
7588:
7585:
7580:
7577:
7570:
7567:
7562:
7558:
7553:
7549:
7546:
7540:
7536:
7533:
7506:
7501:
7498:
7493:
7490:
7485:
7482:
7475:
7472:
7467:
7457:
7452:
7448:
7445:
7439:
7435:
7432:
7429:
7426:
7423:
7418:
7415:
7410:
7407:
7400:
7397:
7392:
7388:
7383:
7379:
7376:
7370:
7366:
7363:
7343:
7340:
7337:
7334:
7331:
7328:
7325:
7322:
7319:
7316:
7313:
7310:
7307:
7302:
7298:
7294:
7289:
7285:
7281:
7276:
7272:
7268:
7263:
7259:
7255:
7234:
7228:
7225:
7220:
7215:
7212:
7207:
7202:
7199:
7194:
7189:
7186:
7181:
7176:
7173:
7167:
7163:
7160:
7155:
7151:
7148:
7114:
7109:
7103:
7099:
7095:
7089:
7085:
7082:
7079:
7076:
7073:
7066:
7063:
7060:
7056:
7052:
7049:
7046:
7043:
7036:
7032:
7028:
7025:
7018:
7014:
7010:
7007:
7000:
6996:
6992:
6989:
6982:
6979:
6974:
6971:
6968:
6965:
6962:
6959:
6939:
6936:
6931:
6927:
6897:
6892:
6886:
6882:
6878:
6872:
6868:
6865:
6862:
6859:
6856:
6849:
6846:
6843:
6839:
6835:
6832:
6829:
6826:
6819:
6815:
6811:
6808:
6801:
6797:
6793:
6790:
6783:
6778:
6774:
6768:
6765:
6762:
6759:
6756:
6753:
6733:
6730:
6727:
6705:
6701:
6680:
6677:
6674:
6671:
6668:
6665:
6662:
6657:
6653:
6631:
6623:
6620:
6617:
6613:
6606:
6602:
6598:
6593:
6589:
6583:
6579:
6572:
6569:
6566:
6561:
6555:
6551:
6545:
6541:
6535:
6531:
6524:
6519:
6513:
6509:
6503:
6499:
6492:
6487:
6482:
6478:
6472:
6467:
6464:
6458:
6454:
6451:
6447:
6439:
6436:
6433:
6429:
6422:
6418:
6412:
6407:
6404:
6401:
6397:
6388:
6383:
6380:
6377:
6373:
6369:
6364:
6361:
6355:
6351:
6348:
6345:
6325:
6303:
6299:
6294:
6290:
6268:
6265:
6262:
6241:
6240:
6225:
6220:
6217:
6210:
6207:
6202:
6196:
6190:
6186:
6180:
6177:
6170:
6164:
6160:
6155:
6151:
6147:
6144:
6141:
6138:
6135:
6128:
6125:
6120:
6116:
6112:
6109:
6106:
6096:
6081:
6076:
6073:
6066:
6063:
6058:
6052:
6046:
6042:
6036:
6033:
6026:
6020:
6016:
6011:
6007:
6003:
6000:
5997:
5994:
5991:
5984:
5981:
5976:
5972:
5968:
5965:
5962:
5935:
5932:
5931:
5930:
5913:
5905:
5900:
5897:
5894:
5889:
5884:
5879:
5876:
5870:
5867:
5865:
5863:
5858:
5852:
5847:
5844:
5841:
5833:
5829:
5823:
5818:
5814:
5811:
5806:
5796:
5793:
5788:
5785:
5783:
5781:
5778:
5773:
5769:
5765:
5762:
5759:
5756:
5751:
5747:
5743:
5740:
5737:
5734:
5731:
5726:
5722:
5718:
5715:
5712:
5709:
5704:
5700:
5696:
5693:
5690:
5687:
5684:
5682:
5680:
5675:
5671:
5667:
5664:
5661:
5658:
5657:
5632:
5628:
5624:
5619:
5615:
5611:
5606:
5602:
5590:
5589:
5573:
5568:
5564:
5560:
5555:
5551:
5547:
5544:
5542:
5538:
5534:
5530:
5528:
5523:
5519:
5515:
5510:
5506:
5502:
5499:
5497:
5493:
5489:
5485:
5483:
5478:
5474:
5470:
5465:
5461:
5457:
5454:
5452:
5448:
5444:
5440:
5439:
5435:
5430:
5426:
5422:
5417:
5413:
5409:
5406:
5404:
5400:
5396:
5392:
5390:
5385:
5381:
5377:
5372:
5368:
5364:
5361:
5359:
5355:
5351:
5347:
5345:
5340:
5336:
5332:
5327:
5323:
5319:
5316:
5314:
5310:
5306:
5302:
5301:
5297:
5292:
5288:
5284:
5279:
5275:
5271:
5268:
5266:
5262:
5258:
5254:
5252:
5247:
5243:
5239:
5234:
5230:
5226:
5223:
5221:
5217:
5213:
5209:
5207:
5202:
5198:
5194:
5189:
5185:
5181:
5178:
5176:
5172:
5168:
5164:
5162:
5157:
5153:
5149:
5144:
5140:
5136:
5133:
5131:
5127:
5123:
5119:
5118:
5114:
5109:
5105:
5101:
5096:
5092:
5088:
5085:
5083:
5079:
5075:
5071:
5069:
5064:
5060:
5056:
5051:
5047:
5043:
5040:
5038:
5034:
5030:
5026:
5024:
5019:
5015:
5011:
5006:
5002:
4998:
4995:
4993:
4989:
4985:
4981:
4979:
4974:
4970:
4966:
4961:
4957:
4953:
4950:
4948:
4944:
4940:
4936:
4935:
4931:
4926:
4922:
4918:
4913:
4909:
4905:
4902:
4900:
4896:
4892:
4888:
4886:
4881:
4877:
4873:
4868:
4864:
4860:
4857:
4855:
4851:
4847:
4843:
4841:
4836:
4832:
4828:
4823:
4819:
4815:
4812:
4810:
4806:
4802:
4798:
4796:
4791:
4787:
4783:
4778:
4774:
4770:
4767:
4765:
4761:
4757:
4753:
4752:
4748:
4743:
4739:
4735:
4730:
4726:
4722:
4719:
4717:
4713:
4709:
4705:
4703:
4698:
4694:
4690:
4685:
4681:
4677:
4674:
4672:
4668:
4664:
4660:
4658:
4653:
4649:
4645:
4640:
4636:
4632:
4629:
4627:
4623:
4619:
4615:
4613:
4608:
4604:
4600:
4595:
4591:
4587:
4584:
4582:
4578:
4574:
4570:
4569:
4551:
4550:
4536:
4533:
4520:
4515:
4511:
4507:
4504:
4501:
4490:
4489:
4476:
4472:
4469:
4464:
4456:
4453:
4448:
4444:
4440:
4437:
4434:
4420:
4419:
4408:
4403:
4399:
4395:
4392:
4387:
4383:
4379:
4376:
4373:
4370:
4367:
4362:
4358:
4354:
4351:
4348:
4345:
4331:
4330:
4319:
4316:
4311:
4307:
4303:
4300:
4295:
4291:
4287:
4284:
4281:
4278:
4275:
4270:
4266:
4262:
4259:
4256:
4253:
4250:
4245:
4241:
4237:
4234:
4231:
4228:
4223:
4219:
4215:
4212:
4207:
4203:
4199:
4196:
4193:
4188:
4184:
4180:
4177:
4172:
4168:
4164:
4161:
4156:
4152:
4148:
4145:
4142:
4128:
4127:
4116:
4111:
4107:
4103:
4100:
4097:
4094:
4089:
4085:
4081:
4078:
4075:
4072:
4069:
4066:
4061:
4057:
4053:
4050:
4047:
4020:
4015:
4011:
4007:
4004:
4001:
3989:
3986:
3973:
3969:
3963:
3958:
3951:
3947:
3943:
3939:
3935:
3932:
3929:
3926:
3921:
3918:
3913:
3909:
3905:
3902:
3899:
3896:
3893:
3888:
3884:
3880:
3877:
3874:
3854:
3850:
3846:
3843:
3840:
3835:
3831:
3827:
3824:
3821:
3801:
3798:
3785:
3781:
3775:
3770:
3765:
3759:
3755:
3752:
3749:
3744:
3740:
3736:
3733:
3730:
3727:
3724:
3719:
3715:
3711:
3708:
3705:
3685:
3682:
3679:
3676:
3671:
3667:
3661:
3657:
3653:
3650:
3647:
3644:
3621:
3618:
3613:
3609:
3603:
3599:
3595:
3592:
3589:
3586:
3581:
3577:
3571:
3567:
3563:
3560:
3557:
3534:
3529:
3525:
3521:
3518:
3515:
3512:
3509:
3504:
3500:
3496:
3491:
3487:
3483:
3480:
3477:
3474:
3471:
3466:
3462:
3458:
3455:
3452:
3436:
3433:
3431:
3428:
3406:
3402:
3398:
3395:
3391:
3387:
3363:
3360:
3357:
3354:
3351:
3329:
3325:
3321:
3318:
3314:
3310:
3288:
3284:
3280:
3277:
3273:
3269:
3247:
3243:
3239:
3236:
3232:
3228:
3225:
3197:integers, the
3174:
3170:
3166:
3163:
3143:
3130:
3127:
3092:
3091:
3080:
3077:
3074:
3071:
3068:
3065:
3062:
3059:
3056:
3053:
3050:
3047:
3044:
3041:
3038:
3035:
3032:
3029:
3026:
3021:
3016:
3011:
3006:
3002:
2999:
2996:
2990:
2986:
2983:
2980:
2977:
2973:
2968:
2964:
2961:
2958:
2952:
2948:
2945:
2941:
2925:roots of unity
2908:
2905:
2901:
2897:
2894:
2891:
2888:
2885:
2882:
2879:
2876:
2873:
2870:
2866:
2862:
2859:
2856:
2853:
2850:
2847:
2837:complex number
2816:
2813:
2809:
2805:
2802:
2799:
2796:
2793:
2790:
2770:
2767:
2764:
2760:
2756:
2753:
2750:
2747:
2744:
2741:
2738:
2735:
2732:
2729:
2726:
2723:
2701:sine or cosine
2692:
2689:
2688:
2687:
2672:
2669:
2666:
2663:
2660:
2657:
2654:
2651:
2646:
2644:
2641:
2638:
2635:
2632:
2629:
2626:
2623:
2620:
2615:
2613:
2610:
2607:
2604:
2601:
2598:
2595:
2592:
2589:
2585:
2582:
2579:
2576:
2573:
2570:
2567:
2562:
2560:
2557:
2554:
2551:
2548:
2545:
2542:
2539:
2534:
2532:
2530:
2527:
2524:
2521:
2518:
2515:
2512:
2509:
2506:
2503:
2500:
2497:
2494:
2491:
2488:
2485:
2482:
2479:
2474:
2472:
2469:
2466:
2463:
2460:
2457:
2454:
2451:
2446:
2444:
2441:
2438:
2435:
2432:
2429:
2426:
2423:
2420:
2416:
2413:
2410:
2407:
2404:
2401:
2398:
2393:
2391:
2388:
2385:
2382:
2379:
2376:
2373:
2370:
2367:
2362:
2360:
2358:
2355:
2352:
2349:
2346:
2343:
2340:
2337:
2334:
2331:
2328:
2325:
2322:
2319:
2316:
2313:
2310:
2305:
2303:
2301:
2298:
2295:
2289:
2286:
2280:
2277:
2274:
2271:
2268:
2250:
2249:
2246:
2245:
2232:
2220:
2209:
2199:
2186:
2182:
2169:
2156:
2152:
2141:
2128:
2125:
2112:
2111:
2098:
2090:
2085:
2082:
2075:
2060:
2049:
2046:
2041:
2029:
2016:
2008:
2003:
2000:
1997:
1990:
1975:
1960:
1955:
1952:
1949:
1937:
1924:
1920:
1917:
1912:
1897:
1884:
1876:
1871:
1868:
1861:
1846:
1833:
1829:
1818:
1805:
1802:
1789:
1788:
1777:
1767:
1754:
1748:
1743:
1730:
1717:
1705:
1692:
1688:
1675:
1662:
1658:
1645:
1632:
1629:
1617:
1604:
1600:
1589:
1576:
1573:
1560:
1559:
1544:
1539:
1536:
1529:
1517:
1502:
1497:
1494:
1487:
1475:
1464:
1461:
1456:
1444:
1433:
1430:
1425:
1413:
1400:
1394:
1389:
1386:
1373:
1360:
1354:
1349:
1346:
1333:
1320:
1316:
1305:
1292:
1289:
1276:
1275:
1264:
1261:
1256:
1244:
1231:
1223:
1218:
1215:
1208:
1193:
1178:
1173:
1170:
1167:
1155:
1142:
1134:
1129:
1126:
1123:
1116:
1101:
1088:
1080:
1075:
1072:
1065:
1050:
1037:
1033:
1030:
1025:
1010:
997:
993:
982:
969:
966:
953:
952:
941:
938:
935:
930:
925:
920:
908:
897:
894:
891:
886:
881:
876:
864:
851:
846:
843:
833:
820:
815:
812:
802:
789:
783:
778:
775:
762:
749:
743:
738:
735:
722:
709:
705:
694:
681:
678:
665:
664:
661:
650:
640:
637:
626:
616:
605:
595:
584:
574:
561:
557:
546:
535:
524:
523:
518:
513:
508:
503:
498:
493:
490:
466:
434:
431:
428:
415:
412:
383:
379:
373:
368:
365:
362:
358:
354:
351:
348:
345:
325:
322:
319:
316:
312:
308:
305:
302:
299:
282:
281:
279:
278:
271:
264:
256:
253:
252:
251:
250:
245:
240:
235:
230:
225:
220:
215:
210:
205:
197:
196:
195:Mathematicians
192:
191:
190:
189:
184:
179:
169:
161:
160:
154:
153:
152:
151:
145:
144:
139:
134:
129:
121:
120:
116:
115:
114:
113:
108:
103:
98:
90:
89:
85:
84:
83:
82:
77:
54:
53:
48:
43:
35:
34:
26:
25:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
10116:
10105:
10102:
10100:
10097:
10096:
10094:
10079:
10078:Trigonometric
10076:
10074:
10071:
10069:
10068:Schizophrenic
10066:
10065:
10062:
10057:
10042:
10039:
10032:
10029:
10028:
10025:
10022:
10020:
10017:
10012:
10008:
10003:
10000:
9998:
9995:
9988:
9985:
9983:
9980:
9973:
9970:
9963:
9962:Erdős–Borwein
9960:
9953:
9950:
9948:
9945:
9944:
9936:
9935:Plastic ratio
9933:
9931:
9928:
9923:
9918:
9915:
9913:
9910:
9903:
9900:
9898:
9895:
9893:
9890:
9889:
9886:
9883:
9881:
9878:
9871:
9868:
9866:
9863:
9856:
9853:
9852:
9849:
9845:
9838:
9833:
9831:
9826:
9824:
9819:
9818:
9815:
9806:
9802:
9798:
9793:
9789:
9785:
9781:
9777:
9773:
9769:
9765:
9761:
9756:
9752:
9748:
9744:
9740:
9736:
9732:
9727:
9723:
9719:
9715:
9711:
9706:
9702:
9698:
9694:
9690:
9686:
9682:
9677:
9672:
9668:
9664:
9659:
9655:
9651:
9647:
9643:
9639:
9635:
9628:
9623:
9619:
9615:
9611:
9607:
9603:
9599:
9594:
9590:
9584:
9580:
9576:
9575:
9570:
9566:
9562:
9558:
9554:
9550:
9546:
9542:
9538:
9533:
9532:
9518:
9514:
9510:
9506:
9502:
9498:
9491:
9484:
9482:
9466:
9459:
9452:
9445:
9439:
9433:
9429:
9425:
9421:
9415:
9407:
9403:
9399:
9395:
9388:
9386:
9377:
9373:
9369:
9365:
9358:
9350:
9349:
9341:
9333:
9329:
9323:
9316:
9312:
9308:
9302:
9298:
9291:
9284:
9280:
9276:
9274:0-387-98276-0
9270:
9266:
9262:
9258:
9257:
9249:
9242:
9238:
9234:
9232:0-387-98276-0
9228:
9224:
9220:
9216:
9215:
9207:
9199:
9195:
9191:
9187:
9183:
9179:
9178:
9170:
9162:
9156:
9152:
9151:
9143:
9135:
9131:
9127:
9123:
9119:
9115:
9108:
9101:
9097:
9093:
9089:
9086:Niven, Ivan.
9083:
9081:
9073:
9068:
9064:
9054:
9051:
9048:
9045:
9044:
9020:
9016:
9009:
8999:
8995:
8988:
8985:
8982:
8979:
8971:
8967:
8960:
8957:
8951:
8945:
8935:
8931:
8924:
8921:
8918:
8915:
8907:
8903:
8896:
8893:
8886:
8879:
8876:
8872:
8867:
8865:
8855:
8851:
8844:
8841:
8834:
8830:
8823:
8813:
8809:
8802:
8799:
8796:
8793:
8785:
8781:
8774:
8771:
8765:
8759:
8749:
8745:
8738:
8735:
8732:
8729:
8721:
8717:
8710:
8707:
8700:
8694:
8691:
8685:
8683:
8673:
8669:
8662:
8659:
8648:
8647:
8646:
8625:
8617:
8613:
8606:
8603:
8600:
8597:
8589:
8585:
8578:
8575:
8572:
8570:
8563:
8550:
8546:
8539:
8536:
8533:
8530:
8522:
8518:
8511:
8508:
8498:
8490:
8486:
8479:
8476:
8473:
8470:
8462:
8458:
8451:
8448:
8445:
8443:
8436:
8423:
8419:
8412:
8409:
8406:
8403:
8395:
8391:
8384:
8381:
8367:
8366:
8365:
8363:
8358:
8356:
8335:
8331:
8324:
8321:
8313:
8292:
8288:
8281:
8278:
8253:
8249:
8242:
8239:
8236:
8211:
8207:
8200:
8197:
8172:
8168:
8161:
8158:
8138:
8135:
8132:
8127:
8123:
8119:
8116:
8113:
8105:
8101:
8094:
8091:
8066:
8062:
8055:
8052:
8043:
8041:
8019:
8015:
8008:
8005:
7982:
7979:
7974:
7970:
7966:
7961:
7957:
7949:
7945:
7942:
7939:
7935:
7931:
7911:
7903:
7893:
7879:
7876:
7873:
7851:
7847:
7842:
7838:
7834:
7806:
7796:
7791:
7788:
7785:
7780:
7775:
7770:
7767:
7764:
7759:
7756:
7749:
7744:
7741:
7738:
7733:
7728:
7723:
7720:
7717:
7711:
7707:
7702:
7698:
7695:
7689:
7685:
7682:
7675:
7674:
7673:
7672:showed that:
7671:
7655:
7651:
7647:
7644:
7636:
7630:
7620:
7599:
7594:
7591:
7586:
7583:
7578:
7575:
7568:
7565:
7560:
7556:
7551:
7547:
7544:
7538:
7534:
7531:
7504:
7499:
7496:
7491:
7488:
7483:
7480:
7473:
7470:
7465:
7455:
7450:
7446:
7443:
7437:
7433:
7430:
7427:
7424:
7421:
7416:
7413:
7408:
7405:
7398:
7395:
7390:
7386:
7381:
7377:
7374:
7368:
7364:
7361:
7354:and obtains:
7338:
7335:
7332:
7329:
7326:
7323:
7320:
7317:
7314:
7308:
7300:
7296:
7292:
7287:
7283:
7279:
7274:
7270:
7266:
7261:
7257:
7246:, so one has
7232:
7226:
7223:
7218:
7213:
7210:
7205:
7200:
7197:
7192:
7187:
7184:
7179:
7174:
7171:
7165:
7161:
7158:
7153:
7149:
7146:
7136:For example,
7112:
7107:
7101:
7097:
7093:
7087:
7083:
7080:
7077:
7074:
7071:
7064:
7061:
7058:
7054:
7050:
7047:
7044:
7041:
7034:
7030:
7026:
7023:
7016:
7012:
7008:
7005:
6998:
6994:
6990:
6987:
6980:
6977:
6972:
6966:
6960:
6957:
6937:
6934:
6929:
6925:
6895:
6890:
6884:
6880:
6876:
6870:
6866:
6863:
6860:
6857:
6854:
6847:
6844:
6841:
6837:
6833:
6830:
6827:
6824:
6817:
6813:
6809:
6806:
6799:
6795:
6791:
6788:
6781:
6776:
6772:
6766:
6760:
6754:
6751:
6731:
6728:
6725:
6703:
6699:
6675:
6672:
6669:
6666:
6660:
6655:
6651:
6629:
6621:
6618:
6615:
6611:
6604:
6600:
6596:
6591:
6587:
6581:
6577:
6570:
6567:
6564:
6559:
6553:
6549:
6543:
6539:
6533:
6529:
6522:
6517:
6511:
6507:
6501:
6497:
6490:
6485:
6480:
6476:
6470:
6465:
6462:
6456:
6452:
6449:
6445:
6437:
6434:
6431:
6427:
6420:
6416:
6410:
6405:
6402:
6399:
6395:
6386:
6381:
6378:
6375:
6371:
6367:
6362:
6359:
6353:
6349:
6346:
6343:
6323:
6301:
6297:
6292:
6288:
6266:
6263:
6260:
6250:
6246:
6223:
6218:
6215:
6208:
6205:
6200:
6194:
6188:
6184:
6178:
6175:
6168:
6162:
6153:
6149:
6142:
6139:
6136:
6133:
6126:
6118:
6114:
6107:
6104:
6097:
6079:
6074:
6071:
6064:
6061:
6056:
6050:
6044:
6040:
6034:
6031:
6024:
6018:
6009:
6005:
5998:
5995:
5992:
5989:
5982:
5974:
5970:
5963:
5960:
5953:
5952:
5951:
5945:
5941:
5911:
5903:
5898:
5895:
5892:
5887:
5882:
5877:
5874:
5868:
5866:
5856:
5850:
5845:
5842:
5839:
5831:
5827:
5821:
5816:
5812:
5809:
5804:
5794:
5791:
5786:
5784:
5771:
5767:
5760:
5757:
5749:
5745:
5738:
5735:
5732:
5724:
5720:
5713:
5710:
5702:
5698:
5691:
5688:
5685:
5683:
5673:
5669:
5662:
5659:
5648:
5647:
5646:
5630:
5626:
5622:
5617:
5613:
5609:
5604:
5600:
5571:
5566:
5562:
5558:
5553:
5549:
5545:
5543:
5536:
5532:
5526:
5521:
5517:
5513:
5508:
5504:
5500:
5498:
5491:
5487:
5481:
5476:
5472:
5468:
5463:
5459:
5455:
5453:
5446:
5442:
5433:
5428:
5424:
5420:
5415:
5411:
5407:
5405:
5398:
5394:
5388:
5383:
5379:
5375:
5370:
5366:
5362:
5360:
5353:
5349:
5343:
5338:
5334:
5330:
5325:
5321:
5317:
5315:
5308:
5304:
5295:
5290:
5286:
5282:
5277:
5273:
5269:
5267:
5260:
5256:
5250:
5245:
5241:
5237:
5232:
5228:
5224:
5222:
5215:
5211:
5205:
5200:
5196:
5192:
5187:
5183:
5179:
5177:
5170:
5166:
5160:
5155:
5151:
5147:
5142:
5138:
5134:
5132:
5125:
5121:
5112:
5107:
5103:
5099:
5094:
5090:
5086:
5084:
5077:
5073:
5067:
5062:
5058:
5054:
5049:
5045:
5041:
5039:
5032:
5028:
5022:
5017:
5013:
5009:
5004:
5000:
4996:
4994:
4987:
4983:
4977:
4972:
4968:
4964:
4959:
4955:
4951:
4949:
4942:
4938:
4929:
4924:
4920:
4916:
4911:
4907:
4903:
4901:
4894:
4890:
4884:
4879:
4875:
4871:
4866:
4862:
4858:
4856:
4849:
4845:
4839:
4834:
4830:
4826:
4821:
4817:
4813:
4811:
4804:
4800:
4794:
4789:
4785:
4781:
4776:
4772:
4768:
4766:
4759:
4755:
4746:
4741:
4737:
4733:
4728:
4724:
4720:
4718:
4711:
4707:
4701:
4696:
4692:
4688:
4683:
4679:
4675:
4673:
4666:
4662:
4656:
4651:
4647:
4643:
4638:
4634:
4630:
4628:
4621:
4617:
4611:
4606:
4602:
4598:
4593:
4589:
4585:
4583:
4576:
4572:
4560:
4559:
4558:
4556:
4548:
4539:
4538:
4532:
4513:
4509:
4502:
4499:
4474:
4470:
4467:
4462:
4454:
4446:
4442:
4435:
4432:
4425:
4424:
4423:
4401:
4397:
4390:
4385:
4381:
4377:
4374:
4371:
4368:
4360:
4356:
4349:
4346:
4343:
4336:
4335:
4334:
4309:
4305:
4298:
4293:
4289:
4285:
4282:
4279:
4268:
4264:
4257:
4254:
4251:
4243:
4239:
4232:
4229:
4221:
4217:
4210:
4205:
4201:
4197:
4194:
4186:
4182:
4175:
4170:
4166:
4162:
4154:
4150:
4143:
4140:
4133:
4132:
4131:
4109:
4105:
4098:
4095:
4087:
4083:
4076:
4073:
4070:
4067:
4059:
4055:
4048:
4045:
4038:
4037:
4036:
4034:
4013:
4009:
4002:
3999:
3992:The value of
3985:
3971:
3967:
3961:
3956:
3949:
3941:
3937:
3933:
3927:
3924:
3919:
3911:
3907:
3900:
3897:
3894:
3886:
3882:
3875:
3872:
3852:
3848:
3844:
3841:
3833:
3829:
3822:
3819:
3811:
3807:
3797:
3783:
3779:
3773:
3768:
3763:
3757:
3753:
3750:
3742:
3738:
3731:
3728:
3725:
3717:
3713:
3706:
3703:
3683:
3680:
3677:
3674:
3669:
3659:
3655:
3648:
3645:
3642:
3635:
3619:
3616:
3611:
3601:
3597:
3590:
3587:
3584:
3579:
3569:
3565:
3558:
3555:
3548:
3527:
3523:
3516:
3513:
3510:
3502:
3498:
3494:
3489:
3485:
3478:
3475:
3472:
3464:
3460:
3453:
3450:
3442:
3427:
3420:
3404:
3400:
3396:
3393:
3389:
3385:
3377:
3361:
3358:
3355:
3352:
3349:
3327:
3323:
3319:
3316:
3312:
3308:
3286:
3282:
3278:
3275:
3271:
3267:
3245:
3241:
3237:
3234:
3230:
3226:
3223:
3214:
3212:
3211:Fermat primes
3208:
3204:
3200:
3196:
3192:
3188:
3172:
3168:
3164:
3161:
3141:
3126:
3124:
3119:
3117:
3113:
3109:
3105:
3101:
3097:
3078:
3075:
3069:
3066:
3063:
3057:
3054:
3051:
3048:
3042:
3039:
3036:
3030:
3027:
3024:
3019:
3014:
3009:
3004:
3000:
2997:
2994:
2988:
2984:
2981:
2978:
2975:
2971:
2966:
2962:
2959:
2956:
2950:
2946:
2943:
2939:
2930:
2929:
2928:
2926:
2922:
2903:
2899:
2895:
2892:
2889:
2883:
2880:
2877:
2874:
2868:
2864:
2860:
2857:
2854:
2848:
2845:
2838:
2834:
2830:
2811:
2807:
2803:
2800:
2797:
2791:
2788:
2768:
2762:
2758:
2754:
2751:
2748:
2742:
2739:
2736:
2730:
2724:
2721:
2713:
2706:
2702:
2698:
2670:
2664:
2658:
2655:
2652:
2649:
2645:
2636:
2633:
2630:
2624:
2621:
2618:
2614:
2605:
2602:
2599:
2593:
2590:
2583:
2577:
2571:
2568:
2565:
2561:
2552:
2549:
2543:
2540:
2537:
2533:
2525:
2522:
2519:
2516:
2510:
2507:
2498:
2492:
2486:
2483:
2480:
2477:
2473:
2464:
2461:
2455:
2452:
2449:
2445:
2436:
2433:
2430:
2424:
2421:
2414:
2408:
2402:
2399:
2396:
2392:
2383:
2380:
2377:
2371:
2368:
2365:
2361:
2353:
2350:
2347:
2344:
2338:
2335:
2326:
2320:
2314:
2311:
2308:
2304:
2296:
2293:
2287:
2284:
2275:
2272:
2259:
2258:
2257:
2255:
2230:
2207:
2184:
2180:
2154:
2150:
2142:
2126:
2123:
2114:
2113:
2096:
2088:
2083:
2080:
2073:
2061:
2047:
2044:
2039:
2030:
2014:
2006:
2001:
1998:
1995:
1988:
1976:
1958:
1953:
1950:
1947:
1938:
1922:
1918:
1915:
1910:
1898:
1882:
1874:
1869:
1866:
1859:
1847:
1831:
1827:
1819:
1803:
1800:
1791:
1790:
1775:
1768:
1752:
1746:
1741:
1731:
1715:
1706:
1690:
1686:
1676:
1660:
1656:
1646:
1630:
1627:
1618:
1602:
1598:
1590:
1574:
1571:
1562:
1561:
1542:
1537:
1534:
1527:
1518:
1500:
1495:
1492:
1485:
1476:
1462:
1459:
1454:
1445:
1431:
1428:
1423:
1414:
1398:
1392:
1387:
1384:
1374:
1358:
1352:
1347:
1344:
1334:
1318:
1314:
1306:
1290:
1287:
1278:
1277:
1262:
1259:
1254:
1245:
1229:
1221:
1216:
1213:
1206:
1194:
1176:
1171:
1168:
1165:
1156:
1140:
1132:
1127:
1124:
1121:
1114:
1102:
1086:
1078:
1073:
1070:
1063:
1051:
1035:
1031:
1028:
1023:
1011:
995:
991:
983:
967:
964:
955:
954:
936:
933:
928:
918:
909:
892:
889:
884:
874:
865:
849:
844:
841:
834:
818:
813:
810:
803:
787:
781:
776:
773:
763:
747:
741:
736:
733:
723:
707:
703:
695:
679:
676:
667:
666:
648:
641:
624:
617:
603:
596:
582:
575:
559:
555:
547:
533:
526:
525:
519:
514:
509:
504:
499:
494:
491:
488:
487:
484:
483:
482:
480:
456:
452:
448:
432:
429:
426:
414:Common angles
411:
409:
405:
401:
397:
381:
377:
371:
366:
360:
356:
352:
346:
343:
323:
320:
314:
310:
306:
300:
297:
289:
277:
272:
270:
265:
263:
258:
257:
255:
254:
249:
246:
244:
241:
239:
236:
234:
231:
229:
228:Regiomontanus
226:
224:
221:
219:
216:
214:
211:
209:
206:
204:
201:
200:
199:
198:
194:
193:
188:
185:
183:
180:
177:
173:
170:
168:
165:
164:
163:
162:
159:
156:
155:
150:
147:
146:
143:
140:
138:
135:
133:
130:
128:
125:
124:
123:
122:
118:
117:
112:
109:
107:
104:
102:
99:
97:
94:
93:
92:
91:
87:
86:
81:
78:
75:
71:
67:
63:
59:
56:
55:
52:
49:
47:
44:
42:
39:
38:
37:
36:
32:
28:
27:
24:
21:
20:
10104:Trigonometry
10010:
10006:
10002:Silver ratio
9972:Golden ratio
9921:
9804:
9800:
9763:
9759:
9734:
9730:
9713:
9709:
9666:
9662:
9637:
9633:
9601:
9597:
9577:. New York:
9573:
9540:
9536:
9528:Bibliography
9500:
9496:
9468:. Retrieved
9464:
9451:
9443:
9438:
9419:
9414:
9397:
9393:
9370:(3): 22–23.
9367:
9363:
9357:
9347:
9340:
9331:
9322:
9296:
9290:
9255:
9248:
9213:
9206:
9184:(1): 73–76.
9181:
9175:
9169:
9149:
9142:
9117:
9113:
9107:
9087:
9067:
8644:
8359:
8044:
7899:
7823:
7632:
7629:Heptadecagon
6251:of the form
6242:
5939:
5937:
5591:
4552:
4491:
4421:
4332:
4129:
3991:
3803:
3438:
3421:
3375:
3215:
3207:power of two
3202:
3190:
3186:
3132:
3120:
3099:
3093:
2832:
2828:
2707:multiple of
2696:
2694:
2251:
447:real numbers
417:
400:square roots
285:
100:
23:Trigonometry
5934:Half angles
3800:30° and 60°
213:Brahmagupta
182:Derivatives
111:Unit circle
10093:Categories
9902:Lemniscate
9470:5 February
9428:0387976612
9094:, Vol. 1.
9059:References
663:Undefined
639:Undefined
223:al-Battani
203:Hipparchus
142:Cotangents
96:Identities
9865:Liouville
9855:Chaitin's
9807:: 16.2.8.
9788:118497912
9716:: 42–53.
9517:125810699
9100:0548-5932
9000:∘
8989:
8980:−
8972:∘
8961:
8952:−
8936:∘
8925:
8908:∘
8897:
8856:∘
8845:
8814:∘
8803:
8794:−
8786:∘
8775:
8750:∘
8739:
8722:∘
8711:
8674:∘
8663:
8618:∘
8607:
8598:−
8590:∘
8579:
8551:∘
8540:
8531:−
8523:∘
8512:
8491:∘
8480:
8463:∘
8452:
8424:∘
8413:
8396:∘
8385:
8336:∘
8325:
8293:∘
8282:
8254:∘
8243:
8237:−
8212:∘
8201:
8173:∘
8162:
8117:−
8106:∘
8095:
8067:∘
8056:
8020:∘
8009:
7980:⋅
7967:⋅
7946:π
7932:π
7912:π
7848:π
7781:−
7742:−
7718:−
7699:π
7686:
7648:π
7595:−
7548:π
7535:
7500:−
7484:−
7447:π
7444:−
7434:
7409:−
7378:π
7365:
7336:−
7321:−
7219:−
7180:−
7162:π
7150:π
7094:π
7084:
7062:−
7048:…
6991:−
6967:α
6961:
6935:≠
6877:π
6867:
6845:−
6831:…
6761:α
6755:
6667:−
6661:∈
6597:…
6571:−
6568:…
6565:−
6523:−
6491:−
6471:−
6453:π
6396:∏
6372:∑
6368:−
6350:π
6344:α
6324:β
6289:β
6267:⋯
6264:±
6154:∘
6143:
6119:∘
6108:
6075:−
6035:−
6010:∘
5999:
5993:−
5975:∘
5964:
5896:−
5843:−
5772:∘
5761:
5750:∘
5739:
5725:∘
5714:
5703:∘
5692:
5674:∘
5663:
5631:∘
5623:−
5618:∘
5605:∘
5567:∘
5554:∘
5537:∘
5522:∘
5509:∘
5492:∘
5477:∘
5469:−
5464:∘
5447:∘
5429:∘
5416:∘
5399:∘
5384:∘
5376:−
5371:∘
5354:∘
5339:∘
5331:−
5326:∘
5309:∘
5291:∘
5278:∘
5261:∘
5246:∘
5233:∘
5216:∘
5201:∘
5188:∘
5171:∘
5156:∘
5148:−
5143:∘
5126:∘
5108:∘
5095:∘
5078:∘
5063:∘
5050:∘
5033:∘
5018:∘
5010:−
5005:∘
4988:∘
4973:∘
4965:−
4960:∘
4943:∘
4925:∘
4912:∘
4895:∘
4880:∘
4867:∘
4850:∘
4835:∘
4827:−
4822:∘
4805:∘
4790:∘
4782:−
4777:∘
4760:∘
4742:∘
4729:∘
4712:∘
4697:∘
4689:−
4684:∘
4667:∘
4652:∘
4644:−
4639:∘
4622:∘
4607:∘
4599:−
4594:∘
4577:∘
4514:∘
4503:
4468:−
4447:∘
4436:
4402:∘
4391:
4375:−
4361:∘
4350:
4310:∘
4299:
4283:−
4269:∘
4258:
4244:∘
4233:
4222:∘
4211:
4195:−
4187:∘
4176:
4155:∘
4144:
4110:∘
4099:
4088:∘
4077:
4060:∘
4049:
4014:∘
4003:
3928:−
3912:∘
3901:
3887:∘
3876:
3834:∘
3823:
3743:∘
3732:
3718:∘
3707:
3675:−
3660:∘
3649:
3602:∘
3591:
3570:∘
3559:
3528:∘
3517:
3503:∘
3495:−
3490:∘
3479:
3465:∘
3454:
3405:∘
3397:≈
3386:π
3359:⋅
3328:∘
3309:π
3287:∘
3268:π
3246:∘
3227:π
3165:π
3142:π
3104:algebraic
3067:π
3058:
3040:π
3031:
2998:π
2985:
2960:π
2947:
2893:π
2884:
2858:π
2849:
2801:π
2792:
2755:π
2752:−
2743:
2725:
2665:θ
2659:
2653:−
2637:θ
2634:−
2631:π
2625:
2606:θ
2600:π
2594:
2578:θ
2572:
2553:θ
2550:−
2544:
2526:θ
2520:π
2511:
2493:θ
2487:
2481:−
2465:θ
2462:−
2456:
2437:θ
2431:π
2425:
2409:θ
2403:
2384:θ
2381:−
2378:π
2372:
2354:θ
2348:π
2339:
2321:θ
2315:
2297:θ
2294:−
2285:π
2276:
2155:∘
2124:π
2045:−
1951:−
1870:−
1832:∘
1801:π
1603:∘
1572:π
1496:−
1429:−
1348:−
1319:∘
1288:π
1217:−
1125:−
1029:−
996:∘
965:π
890:−
814:−
737:−
708:∘
677:π
560:∘
465:∞
451:undefined
394:. While
353:π
347:
321:≈
307:π
301:
238:de Moivre
172:Integrals
88:Reference
58:Functions
9376:23269221
9041:See also
8271:. Since
3376:distinct
2827:, where
2714:. Since
2705:rational
2256:such as
492:Degrees
218:al-Hasib
158:Calculus
137:Tangents
10031:Euler's
9917:Apéry's
9780:3219105
9751:3647881
9693:1706614
9654:1472818
9618:2324301
9557:2301023
9432:p. 178.
9315:0225619
9283:1483895
9241:1483895
9198:3026991
9134:2301023
9102:. Ch. 5
6917:and if
6744:, then
3439:From a
2712:radians
489:Radians
248:Fourier
208:Ptolemy
174: (
132:Cosines
74:inverse
60: (
46:History
41:Outline
9897:Dottie
9786:
9778:
9749:
9701:563915
9699:
9691:
9652:
9616:
9585:
9555:
9515:
9426:
9374:
9313:
9303:
9281:
9271:
9239:
9229:
9196:
9157:
9132:
9098:
8229:, and
7635:17-gon
6643:where
4547:a file
3401:25.714
106:Tables
9885:Cahen
9880:Omega
9870:Prime
9784:S2CID
9776:JSTOR
9747:JSTOR
9697:S2CID
9671:arXiv
9630:(PDF)
9614:JSTOR
9553:JSTOR
9513:S2CID
9493:(PDF)
9461:(PDF)
9372:JSTOR
9194:JSTOR
9130:JSTOR
6950:then
2703:of a
477:(see
324:0.707
243:Euler
233:Viète
127:Sines
51:Usage
9583:ISBN
9472:2024
9424:ISBN
9301:ISBN
9269:ISBN
9227:ISBN
9155:ISBN
9096:ISSN
6729:<
6691:and
6115:22.5
5971:22.5
3193:are
3189:and
3096:root
2831:and
1315:22.5
9924:(3)
9768:doi
9739:doi
9735:110
9718:doi
9681:doi
9642:doi
9606:doi
9602:100
9545:doi
9505:doi
9402:doi
9398:110
9261:doi
9219:doi
9186:doi
9122:doi
8986:sin
8958:cos
8922:sin
8894:cos
8842:sin
8800:sin
8772:cos
8736:sin
8708:cos
8660:cos
8604:sin
8576:cos
8537:sin
8509:cos
8477:sin
8449:cos
8410:sin
8382:cos
8322:sin
8279:sin
8240:sin
8198:sin
8159:sin
8092:sin
8053:sin
8006:sin
7940:180
7786:170
7683:cos
7532:sin
7431:sin
7362:cos
7081:sin
6958:sin
6864:sin
6752:cos
6140:cos
6105:cos
5996:cos
5961:sin
5758:sin
5736:sin
5711:cos
5689:cos
5660:cos
4500:cos
4433:sin
4382:sin
4347:sin
4290:sin
4255:cos
4230:cos
4202:sin
4167:cos
4141:cos
4096:cos
4074:sin
4046:sin
4000:sin
3898:cos
3873:sin
3820:sin
3729:cos
3704:sin
3646:sin
3588:cos
3556:sin
3514:sin
3476:sin
3451:cos
3435:45°
3055:sin
3028:cos
2982:sin
2944:cos
2881:sin
2846:cos
2789:cos
2740:cos
2722:sin
2656:cos
2622:cos
2591:cos
2569:cos
2541:cos
2508:cos
2484:sin
2453:sin
2422:sin
2400:sin
2369:sin
2336:sin
2312:cos
2273:sin
521:csc
516:sec
511:cot
506:tan
501:cos
496:sin
481:).
344:cos
298:cos
70:tan
66:cos
62:sin
10095::
10041:Pi
9805:19
9803:.
9799:.
9782:.
9774:.
9764:77
9762:.
9745:.
9733:.
9714:90
9712:.
9695:.
9689:MR
9687:.
9679:.
9667:22
9665:.
9650:MR
9648:.
9638:81
9636:.
9632:.
9612:.
9600:.
9581:.
9567:;
9551:.
9541:40
9539:.
9511:.
9501:47
9499:.
9495:.
9480:^
9463:.
9430:,
9396:.
9384:^
9368:41
9366:.
9330:.
9311:MR
9309:,
9279:MR
9277:,
9267:,
9237:MR
9235:,
9225:,
9192:.
9180:.
9128:.
9118:40
9116:.
9079:^
8364::
8250:61
8208:59
8190:,
8042:.
7852:17
7807:16
7797:17
7792:38
7776:17
7765:17
7750:17
7739:34
7729:17
7703:17
7656:17
7552:32
7545:13
7382:32
7375:13
7227:32
7214:16
7154:32
7147:13
6560:16
6150:45
6006:45
5893:30
5840:10
5768:36
5746:60
5721:36
5699:60
5670:24
5627:36
5614:60
5601:24
5563:30
5550:45
5533:75
5518:18
5505:30
5488:48
5460:30
5443:21
5412:60
5395:69
5380:18
5367:60
5350:42
5335:30
5322:45
5305:15
5287:27
5274:60
5257:87
5242:30
5229:36
5212:66
5184:30
5167:39
5152:18
5139:30
5122:12
5104:30
5091:54
5074:84
5059:18
5046:45
5029:63
5014:27
5001:60
4984:33
4969:36
4956:45
4921:36
4908:45
4891:81
4876:27
4863:30
4846:57
4831:18
4818:45
4801:27
4786:30
4773:36
4738:18
4725:60
4708:78
4680:60
4663:51
4648:30
4635:54
4618:24
4603:15
4590:18
4510:18
4443:18
4398:18
4357:18
4306:18
4265:18
4240:18
4218:18
4183:18
4151:54
4106:18
4084:18
4056:36
4010:18
3984:.
3908:30
3883:60
3830:30
3796:.
3739:45
3714:45
3656:45
3598:45
3566:45
3524:45
3499:45
3486:90
3461:45
3443:,
3426:.
3324:20
3283:15
3276:12
3242:24
3235:15
2927::
2919:.
2695:A
2151:45
2074:10
1828:36
1599:30
1207:10
992:18
968:10
704:15
680:12
433:0.
410:.
72:,
68:,
64:,
10047:)
10045:π
10043:(
10037:)
10035:e
10033:(
10015:)
10011:S
10007:δ
10004:(
9993:)
9991:ς
9989:(
9978:)
9976:φ
9974:(
9968:)
9966:E
9964:(
9958:)
9956:ψ
9954:(
9941:)
9939:ρ
9937:(
9926:)
9922:ζ
9919:(
9908:)
9906:ϖ
9904:(
9876:)
9874:ρ
9872:(
9861:)
9859:Ω
9857:(
9836:e
9829:t
9822:v
9790:.
9770::
9753:.
9741::
9724:.
9720::
9703:.
9683::
9673::
9656:.
9644::
9620:.
9608::
9591:.
9559:.
9547::
9519:.
9507::
9474:.
9408:.
9404::
9378:.
9334:.
9263::
9221::
9200:.
9188::
9182:5
9163:.
9136:.
9124::
9021:.
9017:)
9010:3
9005:)
8996:3
8992:(
8983:i
8977:)
8968:3
8964:(
8946:3
8941:)
8932:3
8928:(
8919:i
8916:+
8913:)
8904:3
8900:(
8887:(
8880:i
8877:2
8873:1
8868:=
8861:)
8852:1
8848:(
8835:,
8831:)
8824:3
8819:)
8810:3
8806:(
8797:i
8791:)
8782:3
8778:(
8766:+
8760:3
8755:)
8746:3
8742:(
8733:i
8730:+
8727:)
8718:3
8714:(
8701:(
8695:2
8692:1
8686:=
8679:)
8670:1
8666:(
8626:.
8623:)
8614:3
8610:(
8601:i
8595:)
8586:3
8582:(
8573:=
8564:3
8560:)
8556:)
8547:1
8543:(
8534:i
8528:)
8519:1
8515:(
8506:(
8499:,
8496:)
8487:3
8483:(
8474:i
8471:+
8468:)
8459:3
8455:(
8446:=
8437:3
8433:)
8429:)
8420:1
8416:(
8407:i
8404:+
8401:)
8392:1
8388:(
8379:(
8341:)
8332:1
8328:(
8298:)
8289:3
8285:(
8259:)
8246:(
8217:)
8204:(
8178:)
8169:1
8165:(
8139:x
8136:3
8133:+
8128:3
8124:x
8120:4
8114:=
8111:)
8102:3
8098:(
8072:)
8063:1
8059:(
8025:)
8016:1
8012:(
7986:)
7983:5
7975:2
7971:3
7962:2
7958:2
7954:(
7950:/
7943:=
7936:/
7880:n
7877:,
7874:k
7843:n
7839:2
7835:k
7789:+
7771:3
7768:+
7760:2
7757:+
7745:2
7734:+
7724:+
7721:1
7712:=
7708:)
7696:2
7690:(
7652:/
7645:2
7600:2
7592:2
7587:+
7584:2
7579:+
7576:2
7569:2
7566:1
7561:=
7557:)
7539:(
7505:2
7497:2
7492:+
7489:2
7481:2
7474:2
7471:1
7466:=
7456:)
7451:4
7438:(
7428:2
7425:+
7422:2
7417:+
7414:2
7406:2
7399:2
7396:1
7391:=
7387:)
7369:(
7342:)
7339:1
7333:,
7330:1
7327:,
7324:1
7318:,
7315:1
7312:(
7309:=
7306:)
7301:4
7297:b
7293:,
7288:3
7284:b
7280:,
7275:2
7271:b
7267:,
7262:1
7258:b
7254:(
7233:)
7224:1
7211:1
7206:+
7201:8
7198:1
7193:+
7188:4
7185:1
7175:2
7172:1
7166:(
7159:=
7113:)
7108:4
7102:k
7098:b
7088:(
7078:2
7075:+
7072:2
7065:1
7059:k
7055:b
7051:+
7045:+
7042:2
7035:4
7031:b
7027:+
7024:2
7017:3
7013:b
7009:+
7006:2
6999:2
6995:b
6988:2
6981:2
6978:1
6973:=
6970:)
6964:(
6938:0
6930:1
6926:b
6896:)
6891:4
6885:k
6881:b
6871:(
6861:2
6858:+
6855:2
6848:1
6842:k
6838:b
6834:+
6828:+
6825:2
6818:3
6814:b
6810:+
6807:2
6800:2
6796:b
6792:+
6789:2
6782:2
6777:1
6773:b
6767:=
6764:)
6758:(
6732:k
6726:i
6704:i
6700:b
6679:]
6676:2
6673:,
6670:2
6664:[
6656:k
6652:b
6630:)
6622:1
6619:+
6616:k
6612:2
6605:k
6601:b
6592:2
6588:b
6582:1
6578:b
6554:3
6550:b
6544:2
6540:b
6534:1
6530:b
6518:8
6512:2
6508:b
6502:1
6498:b
6486:4
6481:1
6477:b
6466:2
6463:1
6457:(
6450:=
6446:)
6438:1
6435:+
6432:i
6428:2
6421:j
6417:b
6411:i
6406:1
6403:=
6400:j
6387:k
6382:1
6379:=
6376:i
6363:2
6360:1
6354:(
6347:=
6302:n
6298:2
6293:/
6261:2
6224:2
6219:+
6216:2
6209:2
6206:1
6201:=
6195:2
6189:2
6185:2
6179:+
6176:1
6169:=
6163:2
6159:)
6146:(
6137:+
6134:1
6127:=
6124:)
6111:(
6080:2
6072:2
6065:2
6062:1
6057:=
6051:2
6045:2
6041:2
6032:1
6025:=
6019:2
6015:)
6002:(
5990:1
5983:=
5980:)
5967:(
5948:π
5940:b
5912:8
5904:5
5899:6
5888:+
5883:5
5878:+
5875:1
5869:=
5857:4
5851:5
5846:2
5832:2
5828:3
5822:+
5817:4
5813:1
5810:+
5805:5
5795:2
5792:1
5787:=
5777:)
5764:(
5755:)
5742:(
5733:+
5730:)
5717:(
5708:)
5695:(
5686:=
5679:)
5666:(
5610:=
5572:,
5559:+
5546:=
5527:,
5514:+
5501:=
5482:,
5473:9
5456:=
5434:,
5425:9
5421:+
5408:=
5389:,
5363:=
5344:,
5318:=
5296:.
5283:+
5270:=
5251:,
5238:+
5225:=
5206:,
5197:9
5193:+
5180:=
5161:,
5135:=
5113:,
5100:+
5087:=
5068:,
5055:+
5042:=
5023:,
4997:=
4978:,
4952:=
4939:9
4930:,
4917:+
4904:=
4885:,
4872:+
4859:=
4840:,
4814:=
4795:,
4769:=
4756:6
4747:,
4734:+
4721:=
4702:,
4693:9
4676:=
4657:,
4631:=
4612:,
4586:=
4573:3
4519:)
4506:(
4475:4
4471:1
4463:5
4455:=
4452:)
4439:(
4407:)
4394:(
4386:2
4378:4
4372:1
4369:=
4366:)
4353:(
4344:2
4318:)
4315:)
4302:(
4294:2
4286:4
4280:1
4277:(
4274:)
4261:(
4252:=
4249:)
4236:(
4227:)
4214:(
4206:2
4198:3
4192:)
4179:(
4171:3
4163:=
4160:)
4147:(
4115:)
4102:(
4093:)
4080:(
4071:2
4068:=
4065:)
4052:(
4019:)
4006:(
3972:2
3968:/
3962:3
3957:=
3950:2
3946:)
3942:2
3938:/
3934:1
3931:(
3925:1
3920:=
3917:)
3904:(
3895:=
3892:)
3879:(
3853:2
3849:/
3845:1
3842:=
3839:)
3826:(
3784:2
3780:/
3774:2
3769:=
3764:2
3758:/
3754:1
3751:=
3748:)
3735:(
3726:=
3723:)
3710:(
3684:0
3681:=
3678:1
3670:2
3666:)
3652:(
3643:2
3620:1
3617:=
3612:2
3608:)
3594:(
3585:+
3580:2
3576:)
3562:(
3533:)
3520:(
3511:=
3508:)
3482:(
3473:=
3470:)
3457:(
3424:3
3394:7
3390:/
3362:3
3356:3
3353:=
3350:9
3320:=
3317:9
3313:/
3279:=
3272:/
3238:=
3231:/
3224:2
3203:b
3191:b
3187:a
3173:b
3169:/
3162:a
3100:x
3079:1
3076:=
3073:)
3070:k
3064:2
3061:(
3052:i
3049:+
3046:)
3043:k
3037:2
3034:(
3025:=
3020:n
3015:)
3010:)
3005:n
3001:k
2995:2
2989:(
2979:i
2976:+
2972:)
2967:n
2963:k
2957:2
2951:(
2940:(
2907:)
2904:n
2900:/
2896:k
2890:2
2887:(
2878:i
2875:+
2872:)
2869:n
2865:/
2861:k
2855:2
2852:(
2833:n
2829:k
2815:)
2812:n
2808:/
2804:k
2798:2
2795:(
2769:,
2766:)
2763:2
2759:/
2749:x
2746:(
2737:=
2734:)
2731:x
2728:(
2709:π
2671:.
2668:)
2662:(
2650:=
2640:)
2628:(
2619:=
2609:)
2603:+
2597:(
2584:,
2581:)
2575:(
2566:=
2556:)
2547:(
2538:=
2529:)
2523:+
2517:2
2514:(
2499:,
2496:)
2490:(
2478:=
2468:)
2459:(
2450:=
2440:)
2434:+
2428:(
2415:,
2412:)
2406:(
2397:=
2387:)
2375:(
2366:=
2357:)
2351:+
2345:2
2342:(
2327:,
2324:)
2318:(
2309:=
2300:)
2288:2
2279:(
2231:2
2208:1
2185:2
2181:2
2127:4
2097:5
2089:5
2084:+
2081:5
2048:1
2040:5
2015:5
2007:5
2002:2
1999:+
1996:5
1989:5
1959:5
1954:2
1948:5
1923:4
1919:1
1916:+
1911:5
1883:4
1875:5
1867:5
1860:2
1804:5
1776:2
1753:3
1747:3
1742:2
1716:3
1691:3
1687:3
1661:2
1657:3
1631:2
1628:1
1575:6
1543:2
1538:+
1535:2
1528:2
1501:2
1493:2
1486:2
1463:1
1460:+
1455:2
1432:1
1424:2
1399:2
1393:2
1388:+
1385:2
1359:2
1353:2
1345:2
1291:8
1263:1
1260:+
1255:5
1230:5
1222:5
1214:5
1177:5
1172:2
1169:+
1166:5
1141:5
1133:5
1128:2
1122:5
1115:5
1087:4
1079:5
1074:+
1071:5
1064:2
1036:4
1032:1
1024:5
940:)
937:1
934:+
929:3
924:(
919:2
896:)
893:1
885:3
880:(
875:2
850:3
845:+
842:2
819:3
811:2
788:2
782:3
777:+
774:2
748:2
742:3
734:2
649:1
625:0
604:1
583:0
556:0
534:0
430::
427:1
382:2
378:/
372:2
367:=
364:)
361:4
357:/
350:(
318:)
315:4
311:/
304:(
275:e
268:t
261:v
178:)
76:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
