31:
6198:
3167:
4201:
3730:
11241:
5948:
10258:
2849:
2589:
4914:
2872:
1351:
2127:
5928:
3987:
3518:
5584:
6193:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
10927:
9953:
3374:
2609:
2344:
4721:
3162:{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
4623:
1975:
9305:
5124:
4196:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}
5728:
3725:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}
11236:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
5425:
3972:
3500:
10253:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
5717:
2118:
3187:
2844:{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
5414:
4319:
3845:
2584:{\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}
4909:{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }
9161:
4529:
1591:
1822:
5923:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}
6336:
5014:
4980:
4514:
1811:
8769:
5579:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
8124:
3870:
3398:
10752:
9781:
5603:
2309:
4457:
4393:
3369:{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
2016:
9156:
4713:
10545:
10675:
5139:
9704:
9579:
1673:
4220:
6503:
6269:
3749:
7856:
7406:
7586:
6824:
10331:
9377:
6996:
7515:
9074:
8623:
6928:
7756:
10919:
9945:
9166:
8422:
1263:
8897:
7328:
1165:
7984:
7207:
6631:
6691:
4618:{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
8249:
6749:
911:
9003:
7268:
830:
10442:
8465:
7693:
9482:
1200:
1105:
1024:
8354:
1970:{\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
1070:
9300:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}
1459:
989:
10585:
9619:
7079:
5119:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
8817:
8172:
7801:
7041:
6448:
752:
8500:
666:
6280:
583:
8286:
7896:
7443:
7119:
6543:
505:
4926:
10875:
10587:
is always nonnegative by definition of the principal square root, so the remaining factor must also be nonnegative, which is achieved by using the absolute value of x.)
9901:
9621:
is always nonnegative by definition of the principal square root, so the remaining factor must also be nonnegative, which is achieved by using the absolute value of x.)
4463:
946:
865:
787:
10794:
9823:
9103:
7641:
7615:
8932:
8535:
6859:
1688:
430:
701:
618:
540:
465:
394:
359:
326:
8634:
7995:
3967:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}
3495:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}
8558:
7919:
7142:
6566:
11291:
175:
10550:(The absolute value in the expression is necessary as the product of cosecant and cotangent in the interval of y is always nonnegative, while the radical
3506:
9584:(The absolute value in the expression is necessary as the product of secant and tangent in the interval of y is always nonnegative, while the radical
2599:
The last section enables us to calculate this new limit relatively easily. This is done by employing a simple trick. In this calculation, the sign of
5712:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}
10698:
9727:
2246:
2113:{\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}
4399:
4335:
5409:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left=\lim _{\delta \to 0}\left.}
9108:
4635:
171:
10450:
6204:
10593:
9627:
9490:
4314:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}
3840:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
1609:
6459:
6213:
7812:
7336:
7523:
6757:
3181:
function, the fact that the tangent function is odd, and the fact that the limit of a product is the product of limits, we find:
10279:
9325:
6936:
4520:
273:
11276:
7451:
2866:
the fact that the limit of a product is the product of limits, and the limit result from the previous section, we find that:
9011:
8566:
6867:
10883:
9909:
8362:
1206:
8828:
7276:
1111:
7927:
7150:
6574:
6639:
11348:
11296:
8183:
6699:
1282:, or its rate of change with respect to a variable. For example, the derivative of the sine function is written sin
871:
95:
8940:
7215:
793:
11343:
10342:
1330:
73:
8438:
7698:
7646:
11338:
9388:
6354:
4329:
To compute the derivative of the cosine function from the chain rule, first observe the following three facts:
1173:
1078:
997:
8294:
1586:{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}
11285:
5005:
3389:
1030:
1447:
952:
69:
10553:
9587:
266:
217:
166:
100:
11325:, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)
7052:
6331:{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }
10685:
Alternatively, the derivative of arccosecant may be derived from the derivative of arcsine using the
9714:
Alternatively, the derivative of arcsecant may be derived from the derivative of arccosine using the
8781:
8136:
7772:
7012:
6419:
707:
8473:
4975:{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }
624:
6358:
4509:{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }
1334:
546:
79:
8257:
7867:
7414:
7090:
6514:
471:
1806:{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
57:
45:
40:
10799:
9828:
2123:
In the last step we took the reciprocals of the three positive terms, reversing the inequities.
919:
838:
760:
10763:
9792:
9082:
7620:
7594:
6347:
1279:
8905:
8764:{\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}}
8508:
6832:
400:
11321:
11264:
674:
591:
513:
438:
367:
332:
299:
259:
8119:{\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}}
11270:
186:
105:
50:
8:
6390:
232:
148:
8543:
7904:
7127:
6551:
30:
4523:, and the third is proven above. Using these three facts, we can write the following,
1597:
237:
141:
4997:
1305:
All derivatives of circular trigonometric functions can be found from those of sin(
6393:
and the definition of the regular trigonometric functions, we can finally express
3861:
2218:
1426:
136:
65:
61:
247:
242:
131:
10747:{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
9776:{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
11332:
5939:
3385:
1314:
227:
2304:{\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}
11302:
6341:
2335:
126:
22:
16:
Mathematical process of finding the derivative of a trigonometric function
5419:
Using the fact that the limit of a product is the product of the limits:
4452:{\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
4388:{\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
212:
110:
11258:
10686:
9715:
4629:
1275:
222:
202:
5938:
One can also compute the derivative of the tangent function using the
9151:{\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}}
4708:{\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }
10540:{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
1350:
11252:
10670:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
1340:
157:
9699:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
9574:{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
8427:
1380:
make an arc of θ radians. Since we are considering the limit as
207:
10263:
1668:{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta \,.}
7761:
6385:, we can draw a reference triangle on the unit circle, letting
9309:
7001:
6498:{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
6369:, the derivative of the inverse function is found in terms of
6264:{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
2126:
7851:{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
7401:{\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
6408:
7581:{\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
6819:{\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
10326:{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1}
9372:{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1}
6991:{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
6342:
Proofs of derivatives of inverse trigonometric functions
2594:
11299: – Equalities that involve trigonometric functions
11281:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
7510:{\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
11273: – Generalization of the product rule in calculus
9069:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
8618:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}
6923:{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
4991:
4931:
4851:
4726:
4688:
4593:
4564:
4534:
4468:
4427:
4363:
2221:" between a ceiling at height 1 and a floor at height
1943:
1925:
1901:
1779:
1726:
1647:
1559:
1497:
10930:
10886:
10802:
10766:
10701:
10596:
10556:
10453:
10345:
10282:
9956:
9912:
9831:
9795:
9730:
9630:
9590:
9493:
9391:
9328:
9267:
9225:
9203:
9170:
9164:
9137:
9111:
9085:
9014:
8943:
8908:
8831:
8784:
8637:
8569:
8546:
8511:
8476:
8441:
8365:
8297:
8260:
8186:
8139:
7998:
7930:
7907:
7870:
7815:
7775:
7701:
7649:
7623:
7597:
7526:
7454:
7417:
7339:
7279:
7218:
7153:
7130:
7093:
7055:
7015:
6939:
6870:
6835:
6760:
6702:
6642:
6577:
6554:
6517:
6462:
6422:
6283:
6216:
5951:
5731:
5606:
5428:
5142:
5017:
4986:
4929:
4724:
4638:
4532:
4466:
4402:
4338:
4223:
3990:
3873:
3752:
3521:
3401:
3190:
2875:
2612:
2347:
2249:
2019:
1825:
1816:
Since each region is contained in the next, one has:
1691:
1612:
1462:
1329:). Knowing these derivatives, the derivatives of the
1209:
1176:
1114:
1081:
1033:
1000:
955:
922:
874:
841:
796:
763:
710:
677:
627:
594:
549:
516:
474:
441:
403:
370:
335:
302:
11292:
List of integrals of inverse trigonometric functions
11267: – Rules for computing derivatives of functions
7643:
follows immediately by differentiating the identity
3855:
3850:
3172:
1345:
10914:{\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
10268:
9940:{\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
9105:is derived as shown above, then using the identity
11305: – Area of geometry, about angles and lengths
11261: – Instantaneous rate of change (mathematics)
11235:
10913:
10869:
10788:
10746:
10669:
10579:
10539:
10436:
10325:
10252:
9939:
9895:
9817:
9775:
9698:
9613:
9573:
9476:
9371:
9299:
9150:
9097:
9068:
8997:
8926:
8891:
8811:
8763:
8617:
8552:
8529:
8494:
8459:
8417:{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
8416:
8348:
8280:
8243:
8166:
8118:
7978:
7913:
7890:
7850:
7795:
7750:
7687:
7635:
7609:
7580:
7509:
7437:
7400:
7322:
7262:
7201:
7136:
7113:
7073:
7035:
6990:
6922:
6853:
6818:
6743:
6685:
6625:
6560:
6537:
6497:
6442:
6330:
6263:
6192:
5922:
5711:
5578:
5408:
5118:
4974:
4908:
4707:
4617:
4508:
4451:
4387:
4313:
4195:
3966:
3839:
3724:
3494:
3379:
3368:
3161:
2843:
2583:
2303:
2112:
1969:
1805:
1667:
1585:
1258:{\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
1257:
1194:
1159:
1099:
1064:
1018:
983:
940:
905:
859:
824:
781:
746:
695:
660:
612:
577:
534:
499:
459:
424:
388:
353:
320:
9314:
8892:{\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}
8277:
7887:
7792:
7434:
7323:{\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}
7319:
7110:
7032:
6682:
6534:
6439:
6346:The following derivatives are found by setting a
6293:
5989:
5961:
5741:
5616:
5438:
5152:
5027:
4940:
4824:
4794:
4785:
4755:
4746:
4735:
4573:
4543:
4477:
4233:
4000:
3883:
3762:
3531:
3411:
3278:
3050:
2798:
2712:
2711:
2546:
2487:
2422:
2371:
2334:π < θ < 0, we use the fact that sine is an
1160:{\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
11330:
7979:{\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}
7202:{\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}
6626:{\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}
5496:
5459:
5274:
5173:
5048:
4100:
4021:
3904:
3631:
3552:
3432:
3285:
3240:
3192:
3057:
3012:
2927:
2877:
2769:
2664:
2614:
2524:
2465:
2400:
2349:
2251:
1988:in the first quadrant, we may divide through by
1364:The diagram at right shows a circle with centre
1341:Proofs of derivatives of trigonometric functions
6686:{\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}
8428:Differentiating the inverse cotangent function
6357:that we wish to take the derivative of. Using
5131:tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)
1388:is a small positive number, say 0 < θ <
10264:Differentiating the inverse cosecant function
8244:{\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}
6744:{\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}
906:{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
267:
8998:{\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}
7762:Differentiating the inverse tangent function
7263:{\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}
6203:The numerator can be simplified to 1 by the
825:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
10437:{\displaystyle x=\csc y\ \mid \ y\in \left}
9310:Differentiating the inverse secant function
7002:Differentiating the inverse cosine function
1274:is the mathematical process of finding the
8460:{\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}
7751:{\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}
7688:{\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}
2069:
2065:
1899:
1895:
1294:), meaning that the rate of change of sin(
1272:differentiation of trigonometric functions
274:
260:
10680:
9477:{\displaystyle x=\sec y\mid \ y\in \left}
8276:
7886:
7791:
7433:
7318:
7109:
7031:
6681:
6533:
6438:
6409:Differentiating the inverse sine function
5933:
5916:
5748:
5623:
5445:
5159:
5034:
4307:
4240:
4157:
4153:
4007:
3890:
3860:We again calculate the derivative of the
3833:
3769:
3538:
3418:
3362:
3155:
3072:
2942:
2892:
2813:
2784:
2629:
2577:
2297:
2106:
1963:
1799:
1661:
1579:
1195:{\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}
1100:{\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}
1019:{\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}
8349:{\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}
2125:
1349:
9709:
11331:
8540:Taking the derivative with respect to
7901:Taking the derivative with respect to
7591:Alternatively, once the derivative of
7124:Taking the derivative with respect to
6548:Taking the derivative with respect to
4324:
1302:is given by the cosine of that angle.
11277:Inverse functions and differentiation
8560:on both sides and solving for dy/dx:
7921:on both sides and solving for dy/dx:
7144:on both sides and solving for dy/dx:
6568:on both sides and solving for dy/dx:
2595:Limit of (cos(θ)-1)/θ as θ tends to 0
1065:{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}}
9079:Alternatively, as the derivative of
4628:We can differentiate this using the
3979:cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β
3510:sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α
984:{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}
5129:Using the well-known angle formula
4996:To calculate the derivative of the
3384:We calculate the derivative of the
2228:, which rises towards 1; hence sin(
2167:We conclude that for 0 < θ <
13:
11322:Handbook of Mathematical Functions
7617:is established, the derivative of
6290:
6286:
6102:
6049:
5986:
5982:
5958:
5954:
5738:
5734:
5613:
5609:
5590:
5435:
5431:
5149:
5145:
5024:
5020:
4987:Derivative of the tangent function
4937:
4933:
4819:
4780:
4732:
4728:
4570:
4566:
4540:
4536:
4474:
4470:
4230:
4226:
4211:
3997:
3993:
3880:
3876:
3759:
3755:
3740:
3528:
3524:
3408:
3404:
2240:tends to 0 from the positive side:
1702:
1699:
1696:
1693:
1623:
1620:
1617:
1614:
1473:
1470:
1467:
1464:
14:
11360:
10880:Then, applying the chain rule to
10580:{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}
9906:Then, applying the chain rule to
9614:{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}
5597:tends to 0 as δ tends to 0:
4992:From the definition of derivative
3977:Using the angle addition formula
3856:From the definition of derivative
3851:Derivative of the cosine function
3173:Limit of tan(θ)/θ as θ tends to 0
1346:Limit of sin(θ)/θ as θ tends to 0
1317:applied to functions such as tan(
11297:List of trigonometric identities
7074:{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
5593:function, and the fact that tan
4207:
3736:
3178:
29:
11314:
8812:{\displaystyle {d \over dx}x=1}
8167:{\displaystyle {d \over dx}x=1}
7796:{\displaystyle y=\arctan x\,\!}
7036:{\displaystyle y=\arccos x\,\!}
6443:{\displaystyle y=\arcsin x\,\!}
4920:Therefore, we have proven that
3380:Derivative of the sine function
1331:inverse trigonometric functions
747:{\displaystyle -\csc(x)\cot(x)}
11206:
11198:
10980:
10966:
10776:
10768:
10640:
10632:
10513:
10505:
10313:
10305:
10269:Using implicit differentiation
10223:
10215:
10009:
9995:
9805:
9797:
9669:
9661:
9547:
9539:
9359:
9351:
9315:Using implicit differentiation
8966:
8947:
8860:
8835:
8771:using the Pythagorean identity
8738:
8713:
8495:{\displaystyle 0<y<\pi }
8317:
8298:
8212:
8187:
8126:using the Pythagorean identity
8093:
8068:
7741:
7728:
7715:
7702:
6355:inverse trigonometric function
5503:
5466:
5281:
5180:
5088:
5076:
5055:
4888:
4876:
4681:
4675:
4648:
4642:
4280:
4274:
4259:
4253:
4107:
4028:
3940:
3928:
3911:
3809:
3803:
3788:
3782:
3638:
3559:
3468:
3456:
3439:
3347:
3341:
3338:
3332:
3292:
3247:
3199:
3128:
3119:
3064:
3019:
2988:
2970:
2934:
2884:
2832:
2814:
2776:
2671:
2621:
2531:
2472:
2441:
2432:
2407:
2356:
2258:
2202:greater than cos(θ). Thus, as
2066:
1896:
1892:
1879:
1868:
1855:
1844:
1831:
1771:
1760:
1752:
1741:
1719:
1706:
1640:
1627:
1542:
1531:
1523:
1512:
1490:
1477:
1228:
1220:
1189:
1183:
1130:
1122:
1094:
1088:
1013:
1007:
935:
929:
854:
848:
776:
770:
741:
735:
726:
720:
690:
684:
661:{\displaystyle \sec(x)\tan(x)}
655:
649:
640:
634:
607:
601:
572:
566:
529:
523:
494:
488:
454:
448:
419:
413:
383:
377:
348:
342:
315:
309:
285:
1:
11309:
11255: – Branch of mathematics
4519:The first and the second are
1384:tends to zero, we may assume
578:{\displaystyle -\csc ^{2}(x)}
11286:Linearity of differentiation
8281:{\displaystyle x=\tan y\,\!}
7891:{\displaystyle \tan y=x\,\!}
7438:{\displaystyle x=\cos y\,\!}
7114:{\displaystyle \cos y=x\,\!}
6538:{\displaystyle \sin y=x\,\!}
6381:back into being in terms of
2318:is a small negative number –
500:{\displaystyle \sec ^{2}(x)}
7:
11246:
3864:from the limit definition:
1598:area of the circular sector
10:
11365:
10870:{\displaystyle y\in \left}
9896:{\displaystyle y\in \left}
941:{\displaystyle \arctan(x)}
860:{\displaystyle \arccos(x)}
782:{\displaystyle \arcsin(x)}
167:Trigonometric substitution
11288: – Calculus property
11279: – Calculus identity
10789:{\displaystyle |x|\geq 1}
9818:{\displaystyle |x|\geq 1}
9098:{\displaystyle \arctan x}
7636:{\displaystyle \arccos x}
7610:{\displaystyle \arcsin x}
5722:We see immediately that:
4206:Using the limits for the
3735:Using the limits for the
1678:The area of the triangle
1404:π in the first quadrant.
9158:follows immediately that
8927:{\displaystyle x=\cot y}
8530:{\displaystyle \cot y=x}
6854:{\displaystyle x=\sin y}
6359:implicit differentiation
5589:Using the limit for the
4521:trigonometric identities
3177:Using the limit for the
2148:shown in red, the curve
1335:implicit differentiation
1298:) at a particular angle
425:{\displaystyle -\sin(x)}
80:Generalized trigonometry
11349:Mathematical identities
696:{\displaystyle \csc(x)}
613:{\displaystyle \sec(x)}
535:{\displaystyle \cot(x)}
460:{\displaystyle \tan(x)}
389:{\displaystyle \cos(x)}
354:{\displaystyle \cos(x)}
321:{\displaystyle \sin(x)}
11344:Differential equations
11237:
10915:
10871:
10790:
10748:
10671:
10581:
10541:
10438:
10327:
10254:
9941:
9897:
9819:
9777:
9700:
9615:
9575:
9478:
9373:
9301:
9152:
9099:
9070:
8999:
8928:
8893:
8813:
8765:
8619:
8554:
8531:
8496:
8461:
8418:
8350:
8288:in from above, we get
8282:
8245:
8168:
8120:
7980:
7915:
7892:
7852:
7797:
7752:
7689:
7637:
7611:
7582:
7511:
7445:in from above, we get
7439:
7402:
7330:in from above, we get
7324:
7264:
7203:
7138:
7115:
7075:
7037:
6992:
6924:
6855:
6820:
6745:
6687:
6627:
6562:
6539:
6499:
6444:
6332:
6265:
6194:
5934:From the quotient rule
5924:
5713:
5580:
5410:
5120:
4976:
4910:
4709:
4619:
4510:
4453:
4389:
4315:
4197:
3968:
3841:
3726:
3507:angle addition formula
3496:
3370:
3163:
2845:
2585:
2312:
2305:
2164:
2114:
1971:
1807:
1669:
1587:
1361:
1280:trigonometric function
1259:
1196:
1161:
1101:
1066:
1020:
985:
942:
907:
861:
826:
783:
748:
697:
662:
614:
579:
536:
501:
461:
426:
390:
355:
322:
11339:Differential calculus
11265:Differentiation rules
11238:
10916:
10872:
10791:
10749:
10672:
10582:
10542:
10439:
10328:
10255:
9942:
9898:
9820:
9778:
9701:
9616:
9576:
9479:
9374:
9302:
9153:
9100:
9071:
9000:
8929:
8894:
8814:
8766:
8620:
8555:
8532:
8497:
8462:
8419:
8351:
8283:
8246:
8169:
8121:
7981:
7916:
7893:
7853:
7798:
7753:
7690:
7638:
7612:
7583:
7512:
7440:
7403:
7325:
7265:
7204:
7139:
7116:
7076:
7038:
6993:
6925:
6856:
6821:
6746:
6688:
6628:
6563:
6540:
6500:
6445:
6361:and then solving for
6333:
6266:
6195:
5925:
5714:
5581:
5411:
5121:
4977:
4911:
4710:
4620:
4511:
4454:
4390:
4316:
4198:
3969:
3842:
3727:
3497:
3371:
3164:
2846:
2586:
2306:
2242:
2129:
2115:
1972:
1808:
1670:
1588:
1353:
1260:
1197:
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