3298:
2858:
2351:
1409:
3517:, which it is not. This failure of the Alexander–Whitney map to be a coalgebra map is an example the unavailability of commutative cochain-level models for cohomology over fields of nonzero characteristic, and thus is in a way responsible for much of the subtlety and complication in stable homotopy theory.
497:
3085:
848:
2005:
2632:
2129:
1177:
2584:
2513:
1073:
359:
3293:{\displaystyle \alpha \otimes \beta \mapsto {\Big (}\sigma \mapsto (\alpha \otimes \beta )(F^{*}\Delta ^{*}\sigma )=\sum _{p=0}^{\dim \sigma }\alpha (\sigma |_{\Delta ^{}})\cdot \beta (\sigma |_{\Delta ^{}}){\Big )}}
682:
2947:
1843:
2853:{\displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\ {\overset {i}{\to }}\ {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(X){\big )}^{*}\ {\overset {G^{*}}{\leftarrow }}\ C^{*}(X\times X){\overset {C^{*}(\Delta )}{\to }}C^{*}(X)}
3475:
2093:
1759:
2346:{\displaystyle G^{*}\colon C^{*}(X\times Y)\rightarrow {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*},\quad F^{*}\colon {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}\rightarrow C^{*}(X\times Y)}
3663:. In light of the Eilenberg–Zilber theorem, the content of the Künneth theorem consists in analysing how the homology of the tensor product complex relates to the homologies of the factors.
3366:
1659:
1595:
351:
2383:. The coproduct does not dualize straightforwardly, because dualization does not distribute over tensor products of infinitely-generated modules, but there is a natural injection of
1404:{\displaystyle FG=\mathrm {id} _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)},\qquad GF-\mathrm {id} _{C_{*}(X\times Y)}=\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}H+H\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}}
542:
3783:
2012:
3589:
283:
2518:
596:
569:
62:
3661:
3625:
3511:
3023:
2987:
1795:
668:
632:
241:
205:
2389:
1083:
The original theorem was proven in terms of acyclic models but more mileage was gotten in a phrasing by
Eilenberg and Mac Lane using explicit maps. The standard map
3077:
3050:
2381:
3392:
1541:
1518:
1495:
897:
874:
2624:
2604:
2121:
1835:
1815:
1679:
1472:
1452:
1432:
1169:
1149:
1125:
1101:
945:
925:
162:
142:
102:
82:
492:{\displaystyle \partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}(\sigma \otimes \tau )=\partial _{X}\sigma \otimes \tau +(-1)^{p}\sigma \otimes \partial _{Y}\tau }
957:
843:{\displaystyle F\colon C_{*}(X\times Y)\rightarrow C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y),\quad G\colon C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)\rightarrow C_{*}(X\times Y)}
2866:
2000:{\displaystyle H_{*}(X)\otimes H_{*}(Y)\to H_{*}{\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}\ {\overset {\sim }{\to }}\ H_{*}(X\times Y)}
3824:
3529:
case using crossed complexes is given in the paper by Andrew Tonks below. This give full details of a result on the (simplicial)
3739:
900:
3400:
2018:
1684:
3751:
2103:
The
Alexander–Whitney and Eilenberg–Zilber maps dualize (over any choice of commutative coefficient ring
2356:
which are also homotopy equivalences, as witnessed by the duals of the preceding equations, using the dual homotopy
3307:
1600:
1562:
3690:
105:
298:
3819:
3778:
3534:
3477:
of cochain complexes were in fact a map of differential graded algebras, then the cup product would make
2384:
505:
2626:
induces an isomorphism in cohomology, so one does have the zig-zag of differential graded algebra maps
2579:{\displaystyle \alpha \otimes \beta \mapsto (\sigma \otimes \tau \mapsto \alpha (\sigma )\beta (\tau ))}
3731:
3552:
246:
3079:
so the maps all go the same way, one gets the standard cup product on cochains, given explicitly by
3793:
574:
547:
3514:
2508:{\displaystyle i\colon C^{*}(X)\otimes C^{*}(Y)\to {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}}
3788:
948:
904:
41:
3630:
3594:
3480:
2992:
2956:
1764:
637:
601:
210:
174:
3770:
3715:
3055:
3028:
2359:
8:
3371:
1523:
1500:
1477:
879:
856:
674:
3703:
2609:
2589:
2106:
1820:
1800:
1664:
1457:
1437:
1417:
1154:
1134:
1110:
1086:
930:
910:
147:
127:
87:
67:
24:
3761:
3546:
3735:
3530:
3526:
165:
3798:
3756:
3695:
3685:
109:
36:
3766:
3711:
16:
Links the homology groups of a product space with those of the individual spaces
3749:
Tonks, Andrew (2003), "On the
Eilenberg–Zilber theorem for crossed complexes",
291:
32:
3802:
3813:
3723:
3672:
1068:{\displaystyle H_{*}(C_{*}(X\times Y))\cong H_{*}(C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)).}
169:
113:
3781:; Higgins, Philip J. (1991), "The classifying space of a crossed complex",
2950:
20:
3707:
3545:
The
Eilenberg–Zilber theorem is a key ingredient in establishing the
3699:
2942:{\displaystyle \smile \colon H^{*}(X)\otimes H^{*}(X)\to H^{*}(X)}
286:
3784:
Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
2011:
also called the
Eilenberg–Zilber map, becomes a map of
112:
and Joseph A. Zilber. One possible route to a proof is the
31:
is an important result in establishing the link between the
3533:
of a crossed complex stated but not proved in the paper by
3688:; Zilber, Joseph A. (1953), "On Products of Complexes",
1078:
3633:
3597:
3555:
3483:
3403:
3374:
3310:
3088:
3058:
3031:
2995:
2959:
2869:
2635:
2612:
2592:
2521:
2392:
2362:
2132:
2109:
2021:
1846:
1823:
1803:
1767:
1687:
1667:
1603:
1565:
1526:
1503:
1480:
1460:
1440:
1420:
1180:
1157:
1137:
1113:
1089:
960:
933:
913:
882:
859:
685:
640:
604:
577:
550:
508:
362:
301:
249:
213:
177:
150:
130:
90:
70:
44:
3470:{\displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\to C^{*}(X)}
2088:{\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)}
1754:{\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)}
947:. Consequently the two complexes must have the same
104:. The theorem first appeared in a 1953 paper in the
3655:
3619:
3583:
3505:
3469:
3386:
3360:
3292:
3071:
3044:
3017:
2981:
2941:
2852:
2618:
2598:
2586:, the product being taken in the coefficient ring
2578:
2507:
2375:
2345:
2115:
2087:
1999:
1829:
1809:
1789:
1753:
1673:
1653:
1589:
1543:is zero. This is what would come to be known as a
1535:
1512:
1489:
1466:
1446:
1426:
1403:
1163:
1143:
1119:
1095:
1067:
939:
919:
891:
868:
842:
662:
626:
590:
563:
536:
491:
345:
277:
235:
199:
156:
136:
124:The theorem can be formulated as follows. Suppose
96:
76:
56:
3755:, vol. 179, no. 1–2, pp. 199–230,
3285:
3103:
1103:they produce is traditionally referred to as the
3811:
3684:
1661:which, followed by the Alexander–Whitney
289:or singular chain complexes.) We also have the
3694:, vol. 75, no. 1, pp. 200–204,
3537:and Philip J. Higgins on classifying spaces.
3361:{\displaystyle C^{p}(X)\otimes C_{q}(X)\to k}
2744:
2695:
2494:
2445:
2304:
2255:
2225:
2176:
1951:
1903:
3777:
1654:{\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X\times X)}
1590:{\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}
3394:, reduces to the more familiar expression.
119:
2098:
3792:
3760:
353:, whose differential is, by definition,
903:to the identity. Moreover, the maps are
346:{\displaystyle C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}
3722:
1797:. With respect to these coproducts on
285:. (The argument applies equally to the
3812:
3549:, which expresses the homology groups
3748:
1171:and inverse up to homotopy: one has
1079:Statement in terms of composite maps
3752:Journal of Pure and Applied Algebra
3525:An important generalisation to the
2095:itself is not a map of coalgebras.
1761:inducing the standard coproduct on
1597:induces a map of cochain complexes
673:Then the theorem says that we have
537:{\displaystyle \sigma \in C_{p}(X)}
13:
3787:, vol. 110, pp. 95–120,
3520:
3251:
3205:
3143:
2822:
1566:
1354:
1297:
1261:
1258:
1195:
1192:
579:
552:
477:
430:
364:
14:
3836:
3584:{\displaystyle H_{*}(X\times Y)}
3304:which, since cochain evaluation
1554:
278:{\displaystyle C_{*}(X\times Y)}
3691:American Journal of Mathematics
3540:
2239:
1246:
1131:. The maps are natural in both
764:
106:American Journal of Mathematics
3825:Theorems in algebraic topology
3650:
3644:
3614:
3608:
3578:
3566:
3500:
3494:
3464:
3458:
3445:
3442:
3436:
3420:
3414:
3352:
3349:
3343:
3327:
3321:
3280:
3273:
3255:
3245:
3237:
3228:
3221:
3209:
3199:
3191:
3155:
3129:
3126:
3114:
3111:
3098:
3012:
3006:
2976:
2970:
2936:
2930:
2917:
2914:
2908:
2892:
2886:
2847:
2841:
2825:
2819:
2805:
2800:
2788:
2760:
2738:
2732:
2716:
2710:
2682:
2674:
2668:
2652:
2646:
2573:
2570:
2564:
2558:
2552:
2546:
2534:
2531:
2488:
2482:
2466:
2460:
2440:
2437:
2431:
2415:
2409:
2340:
2328:
2315:
2298:
2292:
2276:
2270:
2219:
2213:
2197:
2191:
2171:
2168:
2156:
2123:with unity) to a pair of maps
2082:
2076:
2060:
2054:
2041:
2038:
2032:
2013:differential graded coalgebras
1994:
1982:
1961:
1946:
1940:
1924:
1918:
1888:
1885:
1879:
1863:
1857:
1784:
1778:
1748:
1742:
1726:
1720:
1707:
1704:
1698:
1648:
1636:
1623:
1620:
1614:
1575:
1396:
1390:
1374:
1368:
1339:
1333:
1317:
1311:
1288:
1276:
1238:
1232:
1216:
1210:
1059:
1056:
1050:
1034:
1028:
1015:
999:
996:
984:
971:
837:
825:
812:
809:
803:
787:
781:
758:
752:
736:
730:
717:
714:
702:
657:
651:
621:
615:
531:
525:
461:
451:
423:
411:
406:
400:
384:
378:
340:
334:
318:
312:
272:
260:
230:
224:
194:
188:
1:
3762:10.1016/S0022-4049(02)00160-3
3678:
3397:Note that if this direct map
591:{\displaystyle \partial _{Y}}
564:{\displaystyle \partial _{X}}
3025:are isomorphisms. Replacing
2949:in cohomology, known as the
2385:differential graded algebras
7:
3666:
1474:such that further, each of
1105:Alexander–Whitney map
10:
3841:
3732:Cambridge University Press
3515:commutative graded algebra
1129:Eilenberg–Zilber map
3803:10.1017/S0305004100070158
168:, Then we have the three
57:{\displaystyle X\times Y}
3656:{\displaystyle H_{*}(Y)}
3620:{\displaystyle H_{*}(X)}
3506:{\displaystyle C^{*}(X)}
3018:{\displaystyle H^{*}(G)}
2982:{\displaystyle H^{*}(i)}
1790:{\displaystyle H_{*}(X)}
663:{\displaystyle C_{*}(Y)}
627:{\displaystyle C_{*}(X)}
236:{\displaystyle C_{*}(Y)}
200:{\displaystyle C_{*}(X)}
120:Statement of the theorem
64:and those of the spaces
29:Eilenberg–Zilber theorem
2099:Statement in cohomology
3657:
3621:
3585:
3507:
3471:
3388:
3362:
3294:
3187:
3073:
3046:
3019:
2983:
2943:
2854:
2620:
2600:
2580:
2509:
2377:
2347:
2117:
2089:
2001:
1831:
1811:
1791:
1755:
1675:
1655:
1591:
1549:homotopy retract datum
1537:
1514:
1491:
1468:
1448:
1428:
1405:
1165:
1145:
1121:
1097:
1069:
941:
921:
893:
870:
844:
664:
628:
592:
565:
538:
493:
347:
279:
237:
201:
158:
138:
98:
78:
58:
3658:
3622:
3586:
3508:
3472:
3389:
3363:
3295:
3161:
3074:
3072:{\displaystyle F^{*}}
3047:
3045:{\displaystyle G^{*}}
3020:
2984:
2944:
2855:
2621:
2601:
2581:
2510:
2378:
2376:{\displaystyle H^{*}}
2348:
2118:
2090:
2002:
1832:
1812:
1792:
1756:
1676:
1656:
1592:
1538:
1515:
1492:
1469:
1449:
1429:
1406:
1166:
1146:
1122:
1098:
1070:
942:
922:
894:
871:
845:
665:
629:
598:the differentials on
593:
566:
539:
494:
348:
280:
238:
202:
159:
139:
99:
79:
59:
3631:
3595:
3553:
3481:
3401:
3372:
3308:
3086:
3056:
3029:
2993:
2957:
2867:
2633:
2610:
2590:
2519:
2390:
2360:
2130:
2107:
2019:
1844:
1821:
1801:
1765:
1685:
1665:
1601:
1563:
1524:
1501:
1478:
1458:
1438:
1418:
1178:
1155:
1135:
1111:
1087:
958:
931:
911:
880:
876:is the identity and
857:
683:
638:
602:
575:
548:
506:
360:
299:
247:
211:
175:
148:
128:
88:
68:
42:
3820:Homological algebra
3387:{\displaystyle p=q}
2863:inducing a product
1681:yields a coproduct
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