4858:
4330:
5374:
5504:
187:
4853:{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}-\gamma \right)\,\cos \left(\omega \,t\right)\\&+\left(-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b\right)\,\sin \left(\omega \,t\right)\\&+\left({\tfrac {1}{4}}\,\beta \,a^{3}-{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}\right)\,\cos \left(3\omega t\right)+\left({\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b-{\tfrac {1}{4}}\,\beta \,b^{3}\right)\,\sin \left(3\omega t\right)=0.\end{aligned}}}
7774:
341:
6699:
6660:
6621:
6582:
6543:
6504:
3429:
6141:
7766:
5223:
5373:
2586:
3078:
4965:
2917:
2256:
22:
3424:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}}
2718:
5762:
5218:{\displaystyle {\begin{aligned}&-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}=\gamma \qquad {\text{and}}\\&-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b=0.\end{aligned}}}
6484:
The above analysis assumed that the base frequency response dominates (necessary for performing harmonic balance), and higher frequency responses are negligible. This assumption fails to hold when the forcing is sufficiently strong. Higher order harmonics cannot be neglected, and the dynamics become
2581:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left=0\\\Longrightarrow {}&{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}}
26:
30:
28:
24:
23:
5608:
29:
2912:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},\qquad {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\\Longrightarrow {}&H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.\end{aligned}}}
3055:
3808:
711:
27:
1683:
5947:
4228:
6067:
1787:
3083:
2261:
5503:
6398:). The lower overhanging side is unstable – i.e. the dashed-line parts in the figures of the frequency response – and cannot be realized for a sustained time. Consequently, the jump phenomenon shows up:
3944:, the frequency response becomes nonlinear. Depending on the type of nonlinearity, the Duffing oscillator can show hardening, softening or mixed hardening–softening frequency response. Anyway, using the
2723:
1731:
1827:
5862:
4970:
4335:
2964:
6396:
6328:
4323:
3702:
5437:
5364:
4091:
3655:
1525:
5794:
3507:
1283:
1565:
6177:
2222:
5469:
4281:
2027:
7005:
3714:
1012:
617:
7070:
1590:
25:
4960:
4925:
2668:
583:
546:
3455:
6807:
6780:
6728:
6689:
6650:
6611:
6572:
6533:
6354:
6286:
5757:{\displaystyle {\begin{cases}y=\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\\y={\dfrac {\gamma ^{2}}{z^{2}}}\end{cases}}}
3585:
3533:
2705:
1902:
1397:
1311:
452:
276:
6924:
6897:
6229:
6203:
5495:
3611:
1367:
1337:
836:
333:
150:
122:
94:
6839:
2251:
779:
396:
66:
6870:
5603:
5405:
4890:
3922:
2170:
2144:
1207:
1151:
508:
480:
304:
220:
179:
6260:
3893:
1982:
1859:
908:
886:
424:
248:
6466:
6420:
6110:
5987:
2939:
1942:
1585:
1445:
1229:
1177:
1096:
1070:
969:
949:
930:
6961:
6130:
6090:
5967:
5527:
3942:
2959:
1882:
1425:
1122:
746:
5564:
4129:
2073:
1922:
365:
3866:
3559:
2627:
7217:
Tajaddodianfar, F.; Yazdi, M. R. H.; Pishkenari, H. N. (2016). "Nonlinear dynamics of MEMS/NEMS resonators: analytical solution by the homotopy analysis method".
859:
7025:
6443:
4117:
3837:
1492:
1472:
803:
5867:
7253:
5992:
6112:
varies, the parabola intersects the hyperbola at one point, then three points, then one point again. Similarly we can analyze the case when
1737:
8063:
7893:
1587:
is positive (other scalings are possible for different ranges of the parameters, or for different emphasis in the problem studied). Then:
7155:
Brennan, M. J.; Kovacic, I.; Carrella, A.; Waters, T. P. (2008). "On the jump-up and jump-down frequencies of the
Duffing oscillator".
7119:
Lifshitz, R.; Cross, M. C. (2008). "Nonlinear mechanics of nanomechanical and micromechanical resonators". In
Schuster, H. G. (ed.).
8340:
6330:) the frequency response overhangs to the high-frequency side, and to the low-frequency side for the softening spring oscillator (
1691:
1794:
7773:
7533:
5230:
3955:
7465:
7199:
6468:
is slowly decreased, then at C the amplitude jumps up to D, thereafter following the upper branch of the frequency response.
7726:
1884:
This shows that the solutions to the forced and damped
Duffing equation can be described in terms of the three parameters (
7673:
5799:
2037:
In general, the
Duffing equation does not admit an exact symbolic solution. However, many approximate methods work well:
8006:
2112:(HAM) has also been reported for obtaining approximate solutions of the Duffing equation, also for strong nonlinearity.
8241:
7447:
7299:
7128:
7103:
8048:
7736:
3711:
The forced
Duffing oscillator with cubic nonlinearity is described by the following ordinary differential equation:
7923:
6359:
6291:
4286:
5410:
3660:
2173:
7741:
3616:
1497:
7731:
5767:
4126:
Using the method of harmonic balance, an approximate solution to the
Duffing equation is sought of the form:
3467:
5617:
8088:
7996:
7861:
1450:
The number of parameters in the
Duffing equation can be reduced by two through scaling (in accord with the
1246:
6749:
6485:
chaotic. There are different possible transitions to chaos, most commonly by successive period doubling.
1530:
7284:
Advanced
Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory
6235:
For certain ranges of the parameters in the
Duffing equation, the frequency response may no longer be a
6147:
5796:, the second curve is a fixed hyperbola in the first quadrant. The first curve is a parabola with shape
2192:
8350:
8001:
7526:
5442:
4233:
1987:
8068:
6966:
3050:{\displaystyle |x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}\qquad {\text{ and }}\qquad |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},}
985:
8116:
7038:
4930:
4895:
2632:
553:
516:
7820:
3945:
3434:
2109:
7765:
6786:
6759:
6707:
6668:
6629:
6590:
6551:
6512:
6333:
6265:
3564:
3512:
2675:
1887:
1376:
1290:
1239:
The
Duffing equation can be seen as describing the oscillations of a mass attached to a nonlinear
431:
340:
255:
7981:
7746:
7653:
6903:
6876:
6208:
6182:
5474:
3590:
2102:
1346:
1316:
812:
312:
129:
101:
73:
7721:
7486:
6815:
2227:
1451:
755:
372:
186:
42:
8021:
7633:
6846:
6236:
5569:
5382:
4869:
3898:
2149:
2123:
1186:
1127:
979:
487:
459:
283:
199:
158:
6242:
3875:
1951:
1835:
890:
868:
403:
227:
8345:
8171:
8078:
7876:
7703:
7638:
7613:
7519:
6451:
6405:
6095:
5972:
2924:
1927:
1570:
1430:
1214:
1162:
1081:
1055:
954:
934:
912:
607:
6931:
6115:
6075:
5952:
5512:
3927:
2944:
1864:
1410:
1107:
716:
8181:
7933:
7833:
7678:
7367:
7287:
7164:
5542:
2051:
1907:
347:
8011:
3842:
3538:
2603:
8:
8141:
8098:
8083:
7928:
7881:
7866:
7851:
7751:
7658:
7643:
7628:
7315:
3803:{\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).}
2080:
1154:
706:{\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t),}
611:
7683:
7458:
Nonlinear ordinary differential equations – An introduction for scientists and engineers
7371:
7291:
7168:
1678:{\displaystyle {\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),}
841:
191:
8319:
8186:
8016:
7903:
7898:
7790:
7668:
7570:
7234:
7010:
6428:
4102:
3822:
3813:
3457:
for damping. Without forcing the damped Duffing oscillator will end up at (one of) its
2712:
2094:
1945:
1477:
1457:
1034:
788:
7420:
Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung
7355:
8191:
8156:
8146:
8043:
7663:
7585:
7481:
7461:
7443:
7427:
7383:
7379:
7295:
7238:
7195:
7134:
7124:
7099:
3461:
3072:
2098:
1407:
are used with respect to the Duffing equation in general, dependent on the values of
1232:
35:
8206:
8299:
8211:
8161:
8058:
7938:
7815:
7800:
7795:
7590:
7493:
7375:
7226:
7172:
4095:
For the parameters of the Duffing equation, the above algebraic equation gives the
3949:
2087:
1015:
1243:
and a linear damper. The restoring force provided by the nonlinear spring is then
8231:
8126:
8053:
7886:
7698:
7688:
7424:
Forced oscillations with variable natural frequency and their technical relevance
1240:
8221:
8166:
6698:
6659:
6620:
6581:
6542:
6503:
5942:{\textstyle ({\tfrac {4}{3\beta }}(\omega ^{2}-\alpha ),\delta ^{2}\omega ^{2})}
3924:
the frequency response is also linear. However, for a nonzero cubic coefficient
8314:
8281:
8276:
8271:
8073:
7963:
7958:
7856:
7805:
7595:
7275:
6741:
2042:
1023:
7230:
7176:
5227:
Squaring both equations and adding leads to the amplitude frequency response:
4223:{\displaystyle x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi ),}
8334:
8309:
8266:
8256:
8251:
8151:
8131:
7991:
7913:
7810:
7618:
7387:
7279:
4863:
1073:
974:
The equation describes the motion of a damped oscillator with a more complex
599:
7431:
8261:
8226:
8136:
8093:
7948:
7943:
7542:
7320:
6753:
4096:
1030:
862:
7908:
7426:] (in German), vol. Heft 41/42, Braunschweig: Vieweg, vi+134 pp,
7356:"Survey of regular and chaotic phenomena in the forced Duffing oscillator"
2179:
8246:
8236:
8121:
7871:
7693:
7600:
6745:
6737:
6140:
6062:{\textstyle y={\tfrac {3}{4}}\beta \delta ^{2}(z^{2})+\delta ^{2}\alpha }
38:, Poincare section, and double well potential plot. The parameters are
8304:
8201:
7648:
6756:– are shown in the figures below. The forcing amplitude increases from
6473:
1038:
1029:
The Duffing equation is an example of a dynamical system that exhibits
782:
603:
3952:, one can derive a frequency response equation in the following form:
1782:{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}},}
8216:
8176:
7918:
7580:
7565:
7032:
6423:
3869:
3817:
1180:
1099:
1019:
975:
344:
The strange attractor of the Duffing oscillator, through 4 periods (
7953:
2117:
806:
7138:
7623:
7575:
7028:
6422:
is slowly increased (with other parameters fixed), the response
1124:
controls the amount of non-linearity in the restoring force; if
8196:
7511:
7192:
The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour
18:
Non-linear second order differential equation and its attractor
2189:
Multiplication of the undamped and unforced Duffing equation,
7494:"Solution of the Duffing equation by the power series method"
7216:
5534:
7154:
2172:) Duffing equation, an exact solution can be obtained using
1726:{\displaystyle \eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},}
194:
of the forced Duffing equation suggesting chaotic behaviour
34:
Duffing oscillator plot, containing phase plot, trajectory,
6472:
The jumps A–B and C–D do not coincide, so the system shows
5750:
2079:, can be approximated as small and the system treated as a
1822:{\displaystyle \sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.}
5497:. The dashed parts of the frequency response are unstable.
1153:
the Duffing equation describes a damped and driven simple
1037:
the jump resonance phenomenon that is a sort of frequency
3464:(s). The equilibrium points, stable and unstable, are at
2045:
may provide an equation of motion to arbitrary precision.
3071:
Similarly, the damped oscillator converges globally, by
2180:
Boundedness of the solution for the unforced oscillator
6003:
5995:
5875:
5870:
5810:
5802:
5175:
5135:
5051:
5021:
4783:
4749:
4679:
4649:
4574:
4534:
4419:
4389:
3990:
3663:
3619:
2878:
2850:
2825:
7041:
7013:
6969:
6934:
6906:
6879:
6849:
6818:
6789:
6762:
6710:
6671:
6632:
6593:
6554:
6515:
6454:
6431:
6408:
6362:
6336:
6294:
6268:
6245:
6211:
6185:
6150:
6144:
Jumps in the frequency response. The parameters are:
6118:
6098:
6078:
5989:, then the apex of the parabola moves along the line
5975:
5955:
5770:
5722:
5611:
5572:
5545:
5515:
5477:
5445:
5413:
5385:
5233:
4968:
4933:
4898:
4872:
4333:
4289:
4236:
4132:
4105:
3958:
3930:
3901:
3878:
3845:
3825:
3717:
3593:
3567:
3541:
3515:
3470:
3437:
3081:
2967:
2947:
2927:
2721:
2678:
2635:
2606:
2259:
2230:
2195:
2152:
2126:
2054:
1990:
1954:
1930:
1910:
1890:
1867:
1838:
1797:
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1694:
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1573:
1533:
1500:
1480:
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937:
915:
893:
871:
844:
815:
791:
758:
719:
620:
556:
519:
490:
462:
434:
406:
375:
350:
315:
286:
258:
230:
202:
161:
132:
104:
76:
45:
5857:{\textstyle y={\tfrac {9}{16}}\beta ^{2}(z^{2})^{2}}
6744:of the Duffing equation, showing the appearance of
7064:
7019:
6999:
6955:
6918:
6891:
6864:
6833:
6801:
6774:
6722:
6683:
6644:
6605:
6566:
6527:
6460:
6437:
6414:
6390:
6348:
6322:
6280:
6254:
6223:
6197:
6171:
6124:
6104:
6084:
6061:
5981:
5961:
5941:
5856:
5788:
5756:
5597:
5558:
5521:
5489:
5463:
5431:
5399:
5358:
5217:
4954:
4919:
4884:
4852:
4317:
4275:
4222:
4111:
4085:
3936:
3916:
3887:
3860:
3831:
3802:
3696:
3649:
3605:
3579:
3553:
3527:
3501:
3449:
3423:
3049:
2953:
2933:
2911:
2699:
2662:
2621:
2580:
2245:
2216:
2164:
2138:
2067:
2021:
1976:
1936:
1916:
1896:
1876:
1853:
1821:
1781:
1725:
1677:
1579:
1559:
1519:
1486:
1466:
1439:
1419:
1391:
1361:
1331:
1305:
1277:
1223:
1201:
1171:
1145:
1116:
1090:
1064:
1006:
963:
943:
924:
902:
880:
853:
830:
797:
773:
740:
705:
577:
540:
512:The animation has time offset so driving force is
502:
474:
446:
418:
390:
359:
327:
298:
270:
242:
214:
173:
144:
116:
88:
60:
7183:
7007:The red dots in the phase portraits are at times
1014:); in physical terms, it models, for example, an
8332:
7491:
7093:
3839:of steady state response of the equation (i.e.
1033:. Moreover, the Duffing system presents in the
7189:
4327:Application in the Duffing equation leads to:
367:time). Coloration shows how the points flow.
7527:
7337:
7335:
7333:
7331:
7118:
7313:
7274:
7121:Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity
6476:depending on the frequency sweep direction.
7455:
7401:
7341:
7094:Thompson, J. M. T.; Stewart, H. B. (2002).
7534:
7520:
7328:
7190:Kovacic, I.; Brennan, M. J., eds. (2011),
7150:
7148:
6391:{\displaystyle \beta <\beta _{c-}<0}
6323:{\displaystyle \beta >\beta _{c+}>0}
5535:Graphically solving for frequency response
4318:{\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}{a}}.}
3697:{\textstyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}
1209:the system is without a driving force, and
1049:The parameters in the above equation are:
7460:(4th ed.), Oxford University Press,
7440:Fractals and Chaos: An illustrated course
7212:
7210:
5566:as the intersection of two curves in the
5432:{\displaystyle \omega /{\sqrt {\alpha }}}
5359:{\displaystyle \left\,z^{2}=\gamma ^{2},}
5329:
5201:
5190:
5186:
5167:
5150:
5146:
5127:
5123:
5113:
5070:
5066:
5062:
5036:
5032:
5013:
5003:
4999:
4989:
4814:
4798:
4794:
4775:
4764:
4760:
4714:
4698:
4694:
4690:
4664:
4660:
4624:
4609:
4600:
4589:
4585:
4566:
4549:
4545:
4526:
4522:
4512:
4475:
4460:
4438:
4434:
4430:
4404:
4400:
4381:
4371:
4367:
4357:
4192:
4167:
4142:
4086:{\displaystyle \left\,z^{2}=\gamma ^{2}.}
4056:
3650:{\textstyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}
3380:
3308:
1640:
1615:
7261:, 53, Cornell University, pp. 13–17
6139:
2600:is determined by the initial conditions
1520:{\displaystyle \tau =t{\sqrt {\alpha }}}
339:
185:
20:
7437:
7417:
7145:
5789:{\displaystyle \alpha ,\delta ,\gamma }
5509:The same plot as a 3D diagram. Varying
3502:{\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}=0.}
2961:are positive, the solution is bounded:
2090:yields a complex but workable solution.
8333:
7492:Pchelintsev, A. N.; Ahmad, S. (2020).
7270:
7268:
7207:
6811:The other parameters have the values:
6479:
2184:
2032:
7515:
7255:Lecture notes on nonlinear vibrations
7098:. John Wiley & Sons. p. 66.
3706:
1278:{\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}.}
7353:
7251:
6092:is a large positive number, then as
4123:Derivation of the frequency response
3066:
7674:Measure-preserving dynamical system
7556:
7354:Ueda, Yoshisuke (January 1, 1991).
7265:
6262:For a hardening spring oscillator (
1832:The dots denote differentiation of
1560:{\displaystyle y=x\alpha /\gamma ,}
13:
7482:Duffing oscillator on Scholarpedia
6172:{\displaystyle \alpha =\gamma =1,}
6072:Graphically, then, we see that if
3361:
3351:
3190:
3184:
2798:
2790:
2756:
2748:
2350:
2344:
2217:{\displaystyle \gamma =\delta =0,}
1183:of the periodic driving force; if
14:
8362:
8242:Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky
7475:
7456:Jordan, D. W.; Smith, P. (2007),
5464:{\displaystyle \alpha =\gamma =1}
4276:{\displaystyle z^{2}=a^{2}+b^{2}}
4119:at a given excitation frequency.
3816:of this oscillator describes the
2022:{\displaystyle {\dot {y}}(t_{0})}
838:is the second time-derivative of
7772:
7764:
7541:
7000:{\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.}
6697:
6658:
6619:
6580:
6541:
6502:
5502:
5372:
1399:). Consequently, the adjectives
1007:{\displaystyle \beta =\delta =0}
8341:Ordinary differential equations
7442:, CRC Press, pp. 147–148,
7410:
7400:Based on the examples shown in
7394:
7347:
7065:{\displaystyle T=2\pi /\omega }
6496:Time traces and phase portraits
5529:is shown along a separate axis.
5439:for the Duffing equation, with
5087:
3008:
3002:
2768:
982:(which corresponds to the case
8007:Rabinovich–Fabrikant equations
7360:Chaos, Solitons & Fractals
7307:
7245:
7157:Journal of Sound and Vibration
7112:
7087:
6988:
6982:
6944:
6938:
6040:
6027:
5936:
5910:
5891:
5871:
5845:
5831:
5592:
5573:
4962:have to be zero. As a result,
4955:{\displaystyle \sin(\omega t)}
4949:
4940:
4920:{\displaystyle \cos(\omega t)}
4914:
4905:
4214:
4199:
4183:
4174:
4158:
4149:
3855:
3849:
3794:
3785:
3340:
3174:
3027:
3010:
2977:
2969:
2811:
2663:{\displaystyle {\dot {x}}(0).}
2654:
2648:
2616:
2610:
2469:
2334:
2016:
2003:
1971:
1958:
1848:
1842:
1669:
1660:
1235:of the periodic driving force.
735:
729:
697:
688:
578:{\displaystyle \cos(\omega t)}
572:
563:
541:{\displaystyle \sin(\omega t)}
535:
526:
1:
7076:
6736:Some typical examples of the
5539:We may graphically solve for
3895:For a linear oscillator with
3613:the stable equilibria are at
3535:the stable equilibrium is at
3450:{\displaystyle \delta \geq 0}
1044:
713:where the (unknown) function
612:damped and driven oscillators
7380:10.1016/0960-0779(91)90032-5
7096:Nonlinear Dynamics and Chaos
7081:
6802:{\displaystyle \gamma =0.65}
6775:{\displaystyle \gamma =0.20}
6723:{\displaystyle \gamma =0.65}
6684:{\displaystyle \gamma =0.50}
6645:{\displaystyle \gamma =0.37}
6606:{\displaystyle \gamma =0.29}
6567:{\displaystyle \gamma =0.28}
6528:{\displaystyle \gamma =0.20}
6349:{\displaystyle \alpha >0}
6281:{\displaystyle \alpha >0}
6132:is a large negative number.
3580:{\displaystyle \alpha <0}
3528:{\displaystyle \alpha >0}
2700:{\displaystyle y={\dot {x}}}
1897:{\displaystyle \varepsilon }
1392:{\displaystyle \alpha >0}
1306:{\displaystyle \alpha >0}
748:is the displacement at time
447:{\displaystyle \delta =0.02}
271:{\displaystyle \delta =0.02}
7:
7742:Poincaré recurrence theorem
7194:, Wiley, pp. 123–127,
6928:The initial conditions are
6919:{\displaystyle \omega =1.2}
6892:{\displaystyle \delta =0.3}
6750:period-doubling bifurcation
6488:
6402:when the angular frequency
6224:{\displaystyle \delta =0.1}
6198:{\displaystyle \beta =0.04}
5490:{\displaystyle \delta =0.1}
3606:{\displaystyle \beta >0}
2174:Jacobi's elliptic functions
2116:In the special case of the
2083:simple harmonic oscillator.
1362:{\displaystyle \beta <0}
1332:{\displaystyle \beta >0}
831:{\displaystyle {\ddot {x}}}
805:with respect to time, i.e.
614:. The equation is given by
328:{\displaystyle \omega =0.5}
145:{\displaystyle \gamma =2.5}
117:{\displaystyle \delta =0.1}
89:{\displaystyle \beta =0.25}
10:
8367:
7737:Poincaré–Bendixson theorem
6834:{\displaystyle \alpha =-1}
6288:and large enough positive
2246:{\displaystyle {\dot {x}}}
774:{\displaystyle {\dot {x}}}
391:{\displaystyle \alpha =-1}
61:{\displaystyle \alpha =-1}
8290:
8107:
8089:Swinging Atwood's machine
8034:
7972:
7842:
7829:
7781:
7762:
7732:Krylov–Bogolyubov theorem
7712:
7609:
7549:
7286:, Springer, p. 546,
7231:10.1007/s00542-016-2947-7
7177:10.1016/j.jsv.2008.04.032
6865:{\displaystyle \beta =+1}
6445:drops at A suddenly to B,
5598:{\displaystyle (z^{2},y)}
5400:{\displaystyle z/\gamma }
4885:{\displaystyle 3\omega ,}
3917:{\displaystyle \beta =0,}
2711:shows that the system is
2594:a constant. The value of
2165:{\displaystyle \gamma =0}
2139:{\displaystyle \delta =0}
1202:{\displaystyle \gamma =0}
1146:{\displaystyle \beta =0,}
503:{\displaystyle \omega =1}
475:{\displaystyle \gamma =3}
299:{\displaystyle \gamma =8}
215:{\displaystyle \alpha =1}
174:{\displaystyle \omega =2}
7997:Lotka–Volterra equations
7821:Synchronization of chaos
7624:axiom A dynamical system
7314:Takashi Kanamaru (ed.).
7219:Microsystem Technologies
6704:period-2 oscillation at
6626:period-5 oscillation at
6587:period-4 oscillation at
6548:period-2 oscillation at
6509:period-1 oscillation at
6255:{\displaystyle \omega .}
6135:
4892:the two terms preceding
3946:homotopy analysis method
3888:{\displaystyle \omega .}
2110:homotopy analysis method
1977:{\displaystyle y(t_{0})}
1854:{\displaystyle y(\tau )}
903:{\displaystyle \alpha ,}
881:{\displaystyle \delta ,}
419:{\displaystyle \beta =1}
243:{\displaystyle \beta =5}
7982:Double scroll attractor
7747:Stable manifold theorem
7654:False nearest neighbors
7438:Addison, P. S. (1997),
7402:Jordan & Smith 2007
7342:Jordan & Smith 2007
7123:. Wiley. pp. 8–9.
6461:{\displaystyle \omega }
6415:{\displaystyle \omega }
6105:{\displaystyle \omega }
5982:{\displaystyle \omega }
5864:, and apex at location
2934:{\displaystyle \alpha }
1937:{\displaystyle \sigma }
1580:{\displaystyle \alpha }
1440:{\displaystyle \alpha }
1339:the spring is called a
1224:{\displaystyle \omega }
1172:{\displaystyle \gamma }
1091:{\displaystyle \alpha }
1072:controls the amount of
1065:{\displaystyle \delta }
964:{\displaystyle \omega }
944:{\displaystyle \gamma }
925:{\displaystyle \beta ,}
8022:Van der Pol oscillator
8002:Mackey–Glass equations
7634:Box-counting dimension
7066:
7021:
7001:
6957:
6956:{\displaystyle x(0)=1}
6920:
6893:
6866:
6835:
6803:
6776:
6724:
6685:
6646:
6607:
6568:
6529:
6462:
6439:
6416:
6392:
6350:
6324:
6282:
6256:
6237:single-valued function
6232:
6225:
6199:
6173:
6126:
6125:{\displaystyle \beta }
6106:
6086:
6085:{\displaystyle \beta }
6063:
5983:
5963:
5962:{\displaystyle \beta }
5943:
5858:
5790:
5758:
5599:
5560:
5523:
5522:{\displaystyle \beta }
5491:
5465:
5433:
5401:
5360:
5219:
4956:
4921:
4886:
4854:
4319:
4277:
4224:
4113:
4099:oscillation amplitude
4087:
3938:
3937:{\displaystyle \beta }
3918:
3889:
3862:
3833:
3804:
3698:
3651:
3607:
3581:
3555:
3529:
3503:
3451:
3425:
3051:
2955:
2954:{\displaystyle \beta }
2935:
2913:
2701:
2664:
2623:
2582:
2247:
2218:
2166:
2140:
2075:term, also called the
2069:
2023:
1978:
1938:
1918:
1898:
1878:
1877:{\displaystyle \tau .}
1855:
1823:
1783:
1727:
1679:
1581:
1561:
1521:
1488:
1468:
1454:), e.g. the excursion
1441:
1421:
1420:{\displaystyle \beta }
1393:
1363:
1333:
1307:
1279:
1225:
1203:
1173:
1147:
1118:
1117:{\displaystyle \beta }
1092:
1066:
1022:does not exactly obey
1008:
980:simple harmonic motion
965:
945:
926:
904:
882:
855:
832:
799:
775:
742:
741:{\displaystyle x=x(t)}
707:
610:used to model certain
587:
579:
542:
504:
476:
448:
420:
392:
361:
337:
329:
300:
272:
244:
216:
183:
175:
146:
118:
90:
62:
8172:Svetlana Jitomirskaya
8079:Multiscroll attractor
7924:Interval exchange map
7877:Dyadic transformation
7862:Complex quadratic map
7704:Topological conjugacy
7639:Correlation dimension
7614:Anosov diffeomorphism
7067:
7022:
7002:
6958:
6921:
6894:
6867:
6836:
6804:
6777:
6725:
6686:
6647:
6608:
6569:
6530:
6463:
6440:
6417:
6393:
6351:
6325:
6283:
6257:
6239:of forcing frequency
6226:
6200:
6174:
6143:
6127:
6107:
6087:
6064:
5984:
5964:
5944:
5859:
5791:
5759:
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5561:
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7882:Dynamical billiards
7867:Coupled map lattice
7727:Liouville's theorem
7659:Hausdorff dimension
7644:Conservative system
7629:Bifurcation diagram
7404:, pp. 453–462.
7372:1991CSF.....1..199U
7292:1999amms.book.....B
7169:2008JSV...318.1250B
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2103:Runge–Kutta methods
2093:Any of the various
2033:Methods of solution
1155:harmonic oscillator
8320:Santa Fe Institute
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8017:Three-body problem
7904:Gingerbreadman map
7791:Bifurcation theory
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