7018:
3429:
3419:
3409:
3465:
3371:
3521:
3573:
3563:
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133:
7411:
6474:
6432:
3399:
36:
3494:
3453:
3361:
6427:
6407:
3331:
7423:
6417:
6397:
6387:
3551:
272:
6494:
6484:
6464:
6443:
5143:
the table for three-dimensional crystal classes. The latter means, that enantiomorphic point groups describe chiral (enantiomorphic) structures. In the current table, "enantiomorphic" means that a group itself (considered as a geometric object) is enantiomorphic, like enantiomorphic pairs of three-dimensional space groups P3
5142:
The relation between four-dimensional crystal families, crystal systems, and lattice systems is shown in the following table. Enantiomorphic systems are marked with an asterisk. The number of enantiomorphic pairs is given in parentheses. Here the term "enantiomorphic" has a different meaning than in
3273:
There are seven different kinds of lattice systems, and each kind of lattice system has four different kinds of centerings (primitive, base-centered, body-centered, face-centered). However, not all of the combinations are unique; some of the combinations are equivalent while other combinations are
258:
that exist in three dimensions, most are assigned to only one lattice system, in which case both the crystal and lattice systems have the same name. However, five point groups are assigned to two lattice systems, rhombohedral and hexagonal, because both exhibit threefold rotational symmetry. These
267:
A crystal family is determined by lattices and point groups. It is formed by combining crystal systems that have space groups assigned to a common lattice system. In three dimensions, the hexagonal and trigonal crystal systems are combined into one hexagonal crystal family.
3717:
of the lattice itself, viewed as a collection of points; there are 14 Bravais lattices in three dimensions; each belongs to one lattice system only. They represent the maximum symmetry a structure with the given translational symmetry can have.
292:
Five of the crystal systems are essentially the same as five of the lattice systems. The hexagonal and trigonal crystal systems differ from the hexagonal and rhombohedral lattice systems. These are combined into the hexagonal crystal family.
172:
are classified into crystal systems according to their point groups, and into lattice systems according to their
Bravais lattices. Crystal systems that have space groups assigned to a common lattice system are combined into a
2749:
2652:
2562:
2212:
2111:
2021:
1691:
1589:
1499:
2400:
2308:
1931:
3240:. A polar axis can occur only in non-centrosymmetric structures. There cannot be a mirror plane or twofold axis perpendicular to the polar axis, because they would make the two directions of the axis equivalent.
3232:. A polar crystal possesses a unique polar axis (more precisely, all polar axes are parallel). Some geometrical or physical property is different at the two ends of this axis: for example, there might develop a
1134:
1048:
959:
2821:
3158:
2958:
2472:
1763:
1409:
1207:
7454:
7027:
7288:
6333:
7283:
3080:
3015:
2883:
1834:
1337:
1275:
874:
809:
741:
674:
3165:
The point symmetry of a structure can be further described as follows. Consider the points that make up the structure, and reflect them all through a single point, so that (
6823:
3197:. Still, even in the non-centrosymmetric case, the inverted structure can in some cases be rotated to align with the original structure. This is a non-centrosymmetric
7339:
218:
Crystals can be classified in three ways: lattice systems, crystal systems and crystal families. The various classifications are often confused: in particular the
6567:
6259:
7461:
561:
The 7 crystal systems consist of 32 crystal classes (corresponding to the 32 crystallographic point groups) as shown in the following table below:
3760:
Two dimensional space has the same number of crystal systems, crystal families, and lattice systems. In 2D space, there are four crystal systems:
2695:
2598:
2508:
2158:
2057:
1967:
1637:
1535:
1445:
2346:
2254:
1877:
7157:
1087:
1001:
912:
6264:
7344:
7069:
7235:
6527:
6340:
3222:
if its two-directional senses are geometrically or physically different. A symmetry direction of a crystal that is polar is called a
7334:
7326:
2782:
296:
The relation between three-dimensional crystal families, crystal systems and lattice systems is shown in the following table:
204:. Informally, two crystals are in the same crystal system if they have similar symmetries (though there are many exceptions).
7387:
7365:
6243:
6192:
6148:
3119:
2919:
2433:
1724:
1370:
242:
are grouped into seven lattice systems: triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, rhombohedral, hexagonal, and cubic.
100:
7380:
7230:
6896:
6761:
6610:
3189:). This is the 'inverted structure'. If the original structure and inverted structure are identical, then the structure is
72:
7370:
7268:
6964:
6269:
1175:
5135:, with exception for names of the crystal families 9, 13, and 22. The names for these three families according to Brown
545:
Note: there is no "trigonal" lattice system. To avoid confusion of terminology, the term "trigonal lattice" is not used.
6617:
79:
7392:
7250:
7220:
7149:
6304:
119:
7427:
7102:
3201:
structure. If the inverted structure cannot be rotated to align with the original structure, then the structure is
235:
7447:
7375:
7298:
7172:
6771:
6140:
3428:
3418:
3408:
53:
86:
7506:
7210:
7132:
57:
17:
7225:
7215:
6520:
3728:
For convenience a
Bravais lattice is depicted by a unit cell which is a factor 1, 2, 3, or 4 larger than the
3464:
3274:
not possible due to symmetry reasons. This reduces the number of unique lattices to the 14 Bravais lattices.
7349:
6997:
6622:
6600:
6365:
584:
556:
311:
255:
157:
68:
6041: – Group of crystals formed in an open space with form determined by their internal crystal structure
7560:
6901:
6655:
6550:
6402:
965:
390:
223:
189:
3370:
7258:
6555:
250:
A crystal system is a set of point groups in which the point groups themselves and their corresponding
3056:
2991:
2859:
1810:
1313:
1251:
850:
785:
717:
650:
7273:
7202:
6660:
6650:
6412:
6392:
3740:
1213:
747:
415:
358:
193:
185:
3277:
The distribution of the 14 Bravais lattices into 7 lattice systems is given in the following table.
7580:
7565:
7415:
7139:
7035:
6908:
6871:
6786:
6665:
6645:
6513:
6422:
6381:
6326:
6093:
3572:
3562:
3477:
1769:
614:
440:
333:
197:
181:
7263:
7107:
7052:
6801:
6766:
5159:
22. Starting from four-dimensional space, point groups also can be enantiomorphic in this sense.
219:
46:
226:, and the term "crystal system" is sometimes used to mean "lattice system" or "crystal family".
213:
7570:
7470:
7017:
6959:
6776:
6088:
3597:
3086:
579:
7496:
7316:
7112:
7074:
6881:
6833:
3256:
3252:
2978:
2846:
2495:
2238:
1954:
1794:
1432:
1235:
988:
769:
636:
6313:
3398:
93:
7040:
6913:
6749:
6640:
6437:
6050:
3537:
3520:
3292:
3233:
2827:
607:
492:
201:
141:
8:
7575:
7516:
7501:
7057:
7045:
6920:
6886:
6866:
6469:
6270:
all cubic crystal classes, forms, and stereographic projections (interactive java applet)
3765:
3043:
3021:
2682:
2333:
1624:
1300:
371:
367:
3452:
3360:
7481:
7306:
7117:
7062:
6605:
3733:
1055:
6292:
6283:
6274:
5131:
The names here are given according to
Whittaker. They are almost the same as in Brown
27:
Classification of crystalline materials by their three-dimensional structural geometry
7555:
7240:
7079:
7007:
6987:
6707:
6577:
6489:
6239:
6198:
6188:
6184:
6154:
6144:
6055:
6044:
3773:
3244:
3228:
2854:
2585:
2241:
2044:
1797:
1522:
1238:
1074:
837:
772:
639:
589:
3743:
in 1842, who found that there were 15 Bravais lattices. This was corrected to 14 by
3493:
7511:
7278:
7084:
7002:
6992:
6791:
6724:
6695:
6688:
6231:
6098:
1082:
996:
907:
880:
594:
165:
6047: – Ordered arrangement of atoms, ions, or molecules in a crystalline material
3824:). The following conditions for the lattice parameters define 23 crystal families
7535:
7167:
7162:
7127:
6947:
6846:
6781:
6744:
6739:
6590:
6536:
6459:
6360:
6308:
6296:
6287:
6278:
6235:
6227:
6038:
3761:
3744:
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3268:
3237:
3109:
3051:
2986:
2909:
2772:
2423:
2145:
1864:
1714:
1360:
1165:
899:
704:
602:
321:
239:
149:
6977:
6942:
6930:
6925:
6891:
6861:
6851:
6810:
6754:
6678:
6479:
3769:
3729:
3600:
2690:
2593:
2503:
2153:
2052:
1962:
1632:
1530:
1440:
326:
3550:
3330:
7549:
7486:
7122:
6935:
6734:
6202:
6180:
6175:
Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. (1978).
6158:
398:
3 twofold axes of rotation or 1 twofold axis of rotation and 2 mirror planes
137:
6828:
6818:
6712:
6595:
6102:
3722:
3385:
2341:
2249:
1872:
1805:
1308:
1246:
845:
780:
712:
460:
6301:
2744:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
2647:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
2557:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
2207:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
7439:
7311:
6982:
6856:
6683:
3714:
2106:{\displaystyle \mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
2016:{\displaystyle \mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
1686:{\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
1584:{\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
1494:{\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
573:
316:
251:
169:
132:
6223:
2395:{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}
2303:{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}
1926:{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}
6876:
6562:
3439:
3347:
6585:
3317:
3203:
1141:
234:
A lattice system is a group of lattices with the same set of lattice
6473:
6431:
6133:
3610:
Such symmetry groups consist of translations by vectors of the form
1129:{\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}
1043:{\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}
954:{\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}
35:
7182:
6952:
6700:
3585:
276:
160:(a group of geometric symmetries with at least one fixed point). A
6505:
6318:
6302:
Conversion
Primitive to Standard Conventional for VASP input files
6079:
Flack, Howard D. (2003). "Chiral and
Achiral Crystal Structures".
7192:
3784:The four-dimensional unit cell is defined by four edge lengths (
3682:
3248:
6426:
6406:
6136:
3732:. Depending on the symmetry of a crystal or other pattern, the
6174:
7187:
6416:
6396:
6386:
3725:) must, by definition, fit into one of these arrangements.
271:
259:
point groups are assigned to the trigonal crystal system.
7289:
7284:
6493:
6483:
6463:
6442:
6221:
3218:
A direction (meaning a line without an arrow) is called
2816:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}\times \mathbb {Z} _{2}}
3153:{\displaystyle \mathbb {S} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}
2953:{\displaystyle \mathbb {A} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}
2467:{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}}
1758:{\displaystyle \mathbb {D} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}}
1404:{\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}
7177:
3122:
3059:
2994:
2922:
2862:
2785:
2698:
2601:
2511:
2436:
2349:
2257:
2161:
2060:
1970:
1880:
1813:
1727:
1640:
1538:
1448:
1373:
1316:
1254:
1178:
1090:
1004:
915:
853:
788:
720:
653:
6060:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
1202:{\displaystyle \mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}}
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
6109:
3152:
3074:
3009:
2952:
2877:
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1757:
1685:
1583:
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1403:
1331:
1269:
1201:
1128:
1042:
953:
868:
803:
735:
668:
6177:Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space
7547:
6226:. Vol. A (5th ed.). Berlin, New York:
6058: – symmetry in geometry and crystallography
3255:space groups (biological molecules are usually
7455:
6521:
6334:
3226:. Groups containing a polar axis are called
254:are assigned to a lattice system. Of the 32
7358:
6126:
6124:
7469:
7462:
7448:
6528:
6514:
6341:
6327:
6130:
6092:
3779:
3721:All crystalline materials (not including
3140:
3125:
3062:
2997:
2940:
2925:
2865:
2803:
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2352:
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2093:
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1030:
1015:
1006:
941:
926:
917:
856:
791:
723:
656:
214:Space group § Classification systems
120:Learn how and when to remove this message
6121:
3755:
3247:of chiral biological molecules (such as
270:
131:
6170:
6168:
3706:are three non-coplanar vectors, called
308:Required symmetries of the point group
14:
7548:
6631:
3750:
3713:These lattices are classified by the
7443:
6509:
6322:
6078:
3739:The Bravais lattices were studied by
3736:is again smaller, up to a factor 48.
3251:structures) can only occur in the 65
2826:
1212:
964:
746:
613:
7422:
6762:Phase transformation crystallography
6297:Online Dictionary of Crystallography
6288:Online Dictionary of Crystallography
6279:Online Dictionary of Crystallography
6219:
6165:
6115:
5493:Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G
4491:Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic
58:adding citations to reliable sources
29:
7269:Journal of Chemical Crystallography
6535:
6348:
5581:Ditetragonal monoclinic P*, S*, D*
3262:
144:, with a repeated two-atom pattern.
24:
5916:Complex diisohexagonal orthogonal
5322:Orthogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
4271:Ditrigonal (dihexagonal) diclinic
550:
207:
25:
7592:
6253:
5885:Simple diisohexagonal orthogonal
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3010:{\displaystyle \mathbb {S} _{4}}
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736:{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
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34:
6002:
5791:Cubic orthogonal P, I, Z, F, U
5615:Crypto-ditetragonal orthogonal
515:
45:needs additional citations for
7211:Bilbao Crystallographic Server
6213:
6072:
5689:Crypto-ditrigonal orthogonal*
5604:Ditrigonal monoclinic P*, RR*
5467:Inverse tetragonal orthogonal
180:The seven crystal systems are
13:
1:
6065:
5900:Diisohexagonal orthogonal RR
5641:Ditetragonal orthogonal P, Z
5498:Proper tetragonal orthogonal
3828:Crystal families in 4D space
3800:) and six interaxial angles (
500:4 threefold axes of rotation
448:1 threefold axis of rotation
287:
256:crystallographic point groups
140:belongs to the face-centered
6366:Crystallographic point group
6265:Mineral galleries – Symmetry
6236:10.1107/97809553602060000100
6131:Whittaker, E. J. W. (1985).
5911:Diisohexagonal orthogonal P
5285:Monoclinic P, S, S, I, D, F
5163:Crystal systems in 4D space
3535:
3508:
3475:
3437:
3383:
3345:
3315:
557:Crystallographic point group
423:1 fourfold axis of rotation
222:is often confused with the
7:
7259:Crystal Growth & Design
6551:Timeline of crystallography
6032:
5533:Hexagonal orthogonal R, RS
5359:Tetragonal monoclinic P, I
481:1 sixfold axis of rotation
224:rhombohedral lattice system
10:
7597:
7070:Nuclear magnetic resonance
5882:Diisohexagonal orthogonal
5754:Dihexagonal orthogonal RR
5704:Dihexagonal orthogonal G*
5630:Ditetragonal orthogonal D
5544:Hexagonal orthogonal P, S
5139:are given in parentheses.
4959:Diisohexagonal orthogonal
3266:
3211:and its symmetry group is
1768:
554:
211:
7525:
7477:
7405:
7325:
7297:
7274:Journal of Crystal Growth
7249:
7201:
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6800:
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6374:
6356:
6260:Overview of the 32 groups
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3741:Moritz Ludwig Frankenheim
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2217:
2117:ditrigonal-scalenohedral
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1697:ditetragonal-dipyramidal
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1415:tetragonal-trapezohedral
472:
469:
450:
447:
444:
439:
138:diamond crystal structure
7140:Single particle analysis
6998:Hermann–Mauguin notation
6423:trigonal & hexagonal
6314:Learning Crystallography
6220:Hahn, Theo, ed. (2002).
5765:Simple cubic orthogonal
5646:Ditetragonal orthogonal
5612:Ditetragonal orthogonal
4569:Ditetragonal orthogonal
4439:Ditetragonal monoclinic
2755:dihexagonal-dipyramidal
2478:hexagonal-trapezohedral
1281:tetragonal-disphenoidal
279:crystal, with threefold
7264:Crystallography Reviews
7108:Isomorphous replacement
6902:Lomer–Cottrell junction
5990:Dodecagonal hypercubic
5720:Dihexagonal orthogonal
5686:Dihexagonal orthogonal
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5418:Ditetragonal diclinic*
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4672:Dihexagonal orthogonal
3607:) in three directions.
3234:dielectric polarization
2658:ditrigonal-dipyramidal
1937:trigonal-trapezohedral
1505:ditetragonal-pyramidal
1343:tetragonal-dipyramidal
220:trigonal crystal system
7471:Mineral identification
6777:Spinodal decomposition
6103:10.1002/hlca.200390109
6081:Helvetica Chimica Acta
5734:Ditrigonal orthogonal
5464:Tetragonal orthogonal
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4109:Tetragonal monoclinic
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7317:Gregori Aminoff Prize
7113:Molecular replacement
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5515:Hexagonal orthogonal
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212:Further information:
135:
6623:Structure prediction
6051:List of space groups
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54:improve this article
7536:Minerals portal
6887:Cottrell atmosphere
6867:Partial dislocation
6611:Restriction theorem
5164:
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3751:In other dimensions
3293:Schönflies notation
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3044:non-centrosymmetric
2683:non-centrosymmetric
2334:non-centrosymmetric
1777:trigonal-pyramidal
1625:non-centrosymmetric
1301:non-centrosymmetric
198:trigonal, hexagonal
7561:Euclidean geometry
7307:Carl Hermann Medal
7118:Molecular dynamics
6965:Defects in diamond
6960:Stone–Wales defect
6606:Reciprocal lattice
6568:Biocrystallography
6307:2021-11-26 at the
5162:
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3734:fundamental domain
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3306:Base-centered (S)
3245:crystal structures
3193:. Otherwise it is
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