25:
4521:
11605:
11174:
15034:
2181:
6561:
11600:{\displaystyle \int _{H}X\,E(Y|{\mathcal {H}})dP=\int _{H}\lim _{n\to \infty }X_{n}\,E(Y|{\mathcal {H}})dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}X_{n}E(Y|{\mathcal {H}})dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}E(X_{n}Y|{\mathcal {H}})dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}X_{n}YdP=\int _{H}\lim _{n\to \infty }X_{n}YdP=\int _{H}XYdP=\int _{H}E(XY|{\mathcal {H}})dP}
14870:
14063:
14180:
13935:
10532:
840:
Suppose we have daily rainfall data (mm of rain each day) collected by a weather station on every day of the ten–year (3652-day) period from
January 1, 1990, to December 31, 1999. The unconditional expectation of rainfall for an unspecified day is the average of the rainfall amounts for those 3652
845:
expectation of rainfall for an otherwise unspecified day known to be (conditional on being) in the month of March, is the average of daily rainfall over all 310 days of the ten–year period that falls in March. And the conditional expectation of rainfall conditional on days dated March 2 is the
1360:
1103:
1962:
2673:
15260:
7188:
2978:
13675:
6401:
3150:
3736:
9166:
15029:{\displaystyle \operatorname {E} (X\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}}))=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}})\right)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})Y)}
8098:
5474:
12894:
7481:
12069:
9912:
14406:
13942:
14073:
15138:
13821:
10308:
109:. If the random variable can take on only a finite number of values, the "conditions" are that the variable can only take on a subset of those values. More formally, in the case when the random variable is defined over a discrete
14524:
7666:
11965:
9808:
5691:
8618:
2176:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X|Y}(x\mid y)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{f_{Y}(y)}}\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}
11830:
4358:
1184:
945:
14460:
14333:
13563:
13304:
13188:
13803:
1544:
12534:
2539:
1859:
14279:
13490:
8816:
15143:
3607:
12965:
10742:
10148:
7068:
9673:
9469:
4157:
15491:
14861:
10623:
2847:
5799:
4454:
13717:
13568:
12336:
11713:
9383:
6390:
5588:
5246:
12121:
8009:
6917:
6556:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})={\frac {\mathrm {d} \mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} P|_{\mathcal {H}}}}={\frac {\mathrm {d} (\mu ^{X}\circ h)}{\mathrm {d} (P\circ h)}},}
6021:
5741:
5323:
11119:
7851:
6743:
4829:
2839:
12654:
3415:
3059:
12191:
9981:
4970:
4789:
1967:
1189:
950:
8169:
15391:
14704:
7553:
6799:
3911:
3615:
12766:
12261:
7382:
11901:
3330:
13067:
12455:
10025:
9036:
8943:
4605:
3242:
2785:
8369:
7034:
6955:
6862:
6297:
5385:
5045:
7724:
6118:
4742:
4567:
2377:
12387:
11049:
9263:
8736:
8260:
2411:
5865:
4506:
14743:
7297:
11164:
13233:
9723:
478:
10976:
6650:
11638:
10835:
10301:
10238:
9543:
9502:
9304:
8410:
8131:
7218:
5829:
5507:
5075:
7775:
4234:
3525:
12993:
10881:
8017:
5393:
5109:
12776:
7390:
7063:
3455:
13110:
6195:
4019:
2500:
830:
743:
656:
569:
277:
14806:
14615:
12411:
12222:
10789:
10077:
9587:
9218:
9031:
8987:
8860:
8315:
8201:
7967:
7903:
7814:
7321:
7258:
6999:
6162:
6072:
5961:
5937:
5347:
5281:
5153:
4994:
4929:
4885:
4857:
4683:
4629:
3775:
921:
13386:
10205:
1686:
198:
6615:
5190:
13419:
13343:
3960:
1410:
153:
1744:
11970:
11733:
9813:
9743:
8670:
6221:
6048:
3009:
2744:
2708:
2527:
2465:
1470:
14058:{\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} (X^{2}\mid {\mathcal {H}})-{\bigl (}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}){\bigr )}^{2}}
13022:
10927:
10271:
7509:
4905:
2219:
1583:
14175:{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}}))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))}
3195:
1148:
14554:
12689:
10653:
8457:
5615:
5537:
4261:
4054:
3806:
3036:
2438:
2328:
2297:
2262:
14338:
8650:
3835:
1908:
227:
15293:
14580:
13930:{\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))^{2}\mid {\mathcal {H}}{\bigr )}}
12565:
8909:
1954:
10999:
10527:{\displaystyle \int _{H}E(1_{A}Y|{\mathcal {H}})dP=\int _{H}1_{A}YdP=\int _{A\cap H}YdP=\int _{A\cap H}E(Y|{\mathcal {H}})dP=\int _{H}1_{A}E(Y|{\mathcal {H}})dP}
7323:
retains information about the probabilities of a larger class of events. A conditional expectation over a coarser (smaller) σ-algebra averages over more events.
15317:
15053:
14778:
14635:
14208:
10901:
10765:
10053:
9563:
9194:
9007:
8963:
8880:
8836:
8697:
8430:
8287:
8221:
7943:
7923:
7879:
6975:
6138:
5909:
5889:
5129:
4281:
1928:
1879:
1705:
1631:
1611:
14465:
7568:
11912:
9755:
5623:
8465:
1355:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\sum _{x}xP(X=x\mid Y=y)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}\end{aligned}}}
1098:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid A)&=\sum _{x}xP(X=x\mid A)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}}\end{aligned}}}
11749:
4293:
11168:
Combining the special case proved for simple functions, the definition of conditional expectation, and deploying the monotone convergence theorem:
14411:
14284:
13501:
13238:
13115:
2668:{\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\operatorname {E} \left((X-x)^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-\mu _{X})^{2}\right)=\sigma _{X}^{2}}
13726:
1481:
15255:{\displaystyle \operatorname {E} {\big (}|\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})|^{p}{\big )}\leq \operatorname {E} {\big (}|X|^{p}{\big )}}
12460:
2222:
1749:
4509:
14213:
13424:
8741:
7183:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid H)\ P(H)=\int _{H}X\,\mathrm {d} P=\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P}
10628:
Any simple function is a finite linear combination of indicator functions. By linearity the above property holds for simple functions: if
3538:
12899:
10658:
10082:
2973:{\displaystyle \min _{g{\text{ measurable }}}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-e_{X}(Y))^{2}\right)}
9595:
9391:
4081:
15396:
14818:
10540:
13670:{\displaystyle \textstyle E(\liminf _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {H}})\leq \liminf _{n\to \infty }E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})}
4377:
4371:
are jointly normally distributed. In this case it can be shown that the conditional expectation is equivalent to linear regression:
120:
Depending on the context, the conditional expectation can be either a random variable or a function. The random variable is denoted
15640:
5746:
13686:
7672:
This shows that conditional expectations are, like their unconditional counterparts, integrations, against a conditional measure.
15534:
12266:
11643:
9309:
6308:
5545:
5195:
12077:
7972:
6880:
6874:
This is not a constructive definition; we are merely given the required property that a conditional expectation must satisfy.
5966:
5704:
5286:
15839:
15786:
15756:
15600:
3145:{\displaystyle e_{X}(y)={\begin{cases}\mu _{X}&{\text{ if }}y=1\\{\text{any number}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}
11054:
7822:
6677:
4800:
2794:
6665:
106:
16006:
12570:
10161:
All random variables here are assumed without loss of generality to be non-negative. The general case can be treated with
3731:{\displaystyle M:=\{g(Y):g{\text{ is measurable and }}\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}=L^{2}(\Omega ,\sigma (Y))}
12126:
9924:
7559:
4934:
4753:
8139:
15322:
14640:
7514:
6756:
3847:
12694:
12227:
9161:{\displaystyle E(E(XY\mid {\mathcal {G}})\mid {\mathcal {H}})=E(X)E(Y)=E(E(XY\mid {\mathcal {H}})\mid {\mathcal {G}})}
7345:
3053:
is the constant random variable that's always 1. Then the mean squared error is minimized by any function of the form
15986:
15936:
15814:
15716:
15692:
15610:
11843:
8290:
3335:
3250:
68:
46:
39:
16032:
13027:
12416:
9986:
8914:
4576:
3203:
2749:
14808:-measurable functions. (This allows to define and prove the existence of the conditional expectation based on the
8320:
7333:
7004:
6922:
6807:
6229:
5355:
1413:
7687:
6077:
4999:
4705:
4530:
2340:
15903:
15529:
14187:
12347:
11007:
9589:-measurable (the former property holds by definition; the latter property is key here), from this one can show
9223:
8702:
8226:
2382:
5834:
4462:
16016:
15041:
14709:
13309:
7263:
863:
11124:
13199:
13193:
9681:
390:
10932:
8093:{\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P}
6623:
5469:{\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P}
16037:
16011:
12889:{\displaystyle E(X_{1}+X_{2}\mid {\mathcal {H}})=E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})+E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})}
11613:
10794:
10276:
10213:
9507:
9477:
9279:
8385:
8106:
7476:{\displaystyle \kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,B):=\operatorname {E} (1_{X\in B}|{\mathcal {H}})(\omega )}
7193:
5804:
5482:
5050:
7735:
4695:, 1. Here the conditional expectation is effectively the average over the minimal sets of the σ-algebra.
4208:
3475:
2268:. In its full generality, conditional expectation is developed without this assumption, see below under
571:, and the expectation of A conditional on B = 0 (i.e., conditional on the die roll being 1, 4, or 6) is
15504:
14809:
12970:
10840:
5080:
3778:
1634:
7039:
3431:
15296:
13075:
6567:
6167:
3976:
2473:
867:
748:
661:
574:
487:
232:
14787:
14596:
12392:
12203:
10770:
10058:
9568:
9199:
9012:
8968:
8841:
8296:
8182:
7948:
7884:
7787:
7302:
7239:
6980:
6143:
6053:
5942:
5918:
5328:
5262:
5134:
4975:
4910:
4866:
4838:
4664:
4610:
3744:
3090:
902:
15558:
15553:
13348:
11837:
10164:
2226:
1640:
1475:
Conditioning on a discrete random variable is the same as conditioning on the corresponding event:
1167:
928:
33:
162:
12064:{\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2})\mid {\mathcal {H}}_{1})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})}
9907:{\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})\mid {\mathcal {H}}_{2})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})}
6588:
855:
156:
13391:
13315:
5158:
3923:
1368:
123:
15547:
15509:
13680:
4167:
1710:
50:
11718:
9728:
8655:
8136:
In this setting the conditional expectation is sometimes also denoted in operator notation as
6200:
6026:
2987:
2713:
2686:
2505:
2443:
2225:. Not respecting this distinction can lead to contradictory conclusions as illustrated by the
1434:
15563:
15514:
14864:
14757:
14401:{\displaystyle \textstyle {\mathcal {H}}=\sigma (\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n})}
14067:
13001:
10906:
10243:
7494:
5540:
4890:
4187:
3918:
2192:
1556:
8623:
Thus the definition of conditional expectation is satisfied by the constant random variable
4792:
3165:
1118:
15684:
14532:
13808:
12662:
10631:
8435:
5593:
5515:
4239:
4032:
3784:
3014:
2416:
2306:
2275:
2240:
859:
15133:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\rightarrow L^{p}(\Omega ,{\mathcal {H}},P)}
8626:
3811:
2189:
Conditioning on a continuous random variable is not the same as conditioning on the event
1884:
203:
8:
15802:
15524:
15519:
15272:
14559:
13811:: Using the conditional expectation we can define, by analogy with the definition of the
12544:
8888:
5868:
5350:
4065:
3458:
2331:
1933:
10981:
8179:
All the following formulas are to be understood in an almost sure sense. The σ-algebra
15302:
14763:
14620:
14193:
10886:
10750:
10038:
9548:
9179:
8992:
8948:
8865:
8821:
8682:
8415:
8272:
8206:
7928:
7908:
7864:
6960:
6123:
5894:
5874:
5114:
4266:
3971:
3469:
2530:
1913:
1864:
1690:
1616:
1596:
846:
average of the rainfall amounts that occurred on the ten days with that specific date.
114:
82:
15982:
15974:
15932:
15835:
15810:
15782:
15752:
15712:
15688:
15606:
15596:
15583:
14587:
6750:
5912:
4745:
4284:
4179:
4162:
defined above is replaced with subsets thereof by restricting the functional form of
3422:
3418:
3038:
is not generally unique: there may be multiple minimizers of the mean squared error.
2265:
110:
15773:
15664:
14519:{\displaystyle \textstyle {\mathcal {H}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}}
16:
Expected value of a random variable given that certain conditions are known to occur
15884:
15860:
15659:
13495:
7781:
7661:{\displaystyle \operatorname {E} =\int f(x)\kappa _{\mathcal {H}}(-,\mathrm {d} x)}
6583:
4570:
15775:
The elements of statistical learning : data mining, inference, and prediction
15616:
11960:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}
9803:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}
5686:{\displaystyle \langle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}),1_{H}\rangle =0}
878:
from 1953, conditional expectation was generalized to its modern definition using
14781:
13720:
12341:
8613:{\displaystyle \int _{B}X\,dP=E(X1_{B})=E(X)E(1_{B})=E(X)P(B)=\int _{B}E(X)\,dP.}
4175:
98:
15729:
15956:
11825:{\displaystyle \operatorname {E} (f(Z)Y\mid Z)=f(Z)\operatorname {E} (Y\mid Z)}
4353:{\displaystyle \operatorname {E} ({\mathcal {E}}_{M}(X))=\operatorname {E} (X)}
4288:
4072:
due to the difficulties in analytically calculating it, and for interpolation.
875:
102:
15888:
7227:: that is, versions of the same conditional expectation will only differ on a
16026:
15864:
14590:
real random variables (real random variables with finite second moment) then
14583:
7488:
7224:
4832:
4193:
These generalizations of conditional expectation come at the cost of many of
2788:
879:
15881:
Analysis in Banach Spaces, Volume I: Martingales and
Littlewood-Paley Theory
6573:
2269:
14455:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\supset {\mathcal {H}}_{2}\supset \dotsb }
14328:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset \dotsb }
13558:{\displaystyle \textstyle E(\inf _{n}X_{n}\mid {\mathcal {H}})>-\infty }
13299:{\displaystyle E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\uparrow E(X\mid {\mathcal {H}})}
13183:{\displaystyle E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})\leq E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})}
7730:
7260:
controls the "granularity" of the conditioning. A conditional expectation
4520:
4515:
13798:{\displaystyle f(E(X\mid {\mathcal {H}}))\leq E(f(X)\mid {\mathcal {H}})}
1539:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)=\operatorname {E} (X\mid A)}
871:
13815:
as the mean square deviation from the average, the conditional variance
12529:{\displaystyle E(X\mid E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X\mid {\mathcal {H}})}
1854:{\displaystyle \textstyle f_{X|Y}(x|y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}}
1150:, the conditional expectation is undefined due to the division by zero.
4069:
14274:{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}}_{n})\to E(X\mid {\mathcal {H}})}
13485:{\displaystyle E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\to E(X\mid {\mathcal {H}})}
8811:{\displaystyle E(XY\mid {\mathcal {H}})=E(X)\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}
4166:, rather than allowing any measurable function. Examples of this are
15879:
Hytönen, Tuomas; van
Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016).
3602:{\displaystyle \min _{g}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)}
15045:
14746:
13812:
12960:{\displaystyle E(aX\mid {\mathcal {H}})=a\,E(X\mid {\mathcal {H}})}
10737:{\displaystyle E(X_{n}Y|{\mathcal {H}})=X_{n}\,E(Y|{\mathcal {H}})}
10143:{\displaystyle E(XY\mid {\mathcal {H}})=X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}
7228:
4021:, is used below to extend conditional expectation to the case that
2468:
9668:{\displaystyle \int _{H}{\big |}E(X|{\mathcal {H}})-X{\big |}dP=0}
9464:{\displaystyle \int _{H}{\big (}E(X|{\mathcal {H}})-X{\big )}dP=0}
4152:{\displaystyle M=\{g(Y):\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}}
15486:{\displaystyle E(1_{\{X\in B\}}\mid Y,Z)=E(1_{\{X\in B\}}\mid Z)}
14856:{\displaystyle X\mapsto \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}
10618:{\displaystyle E(1_{A}Y|{\mathcal {H}})=1_{A}E(Y|{\mathcal {H}})}
3428:
Conditional expectation is unique up to a set of measure zero in
484:
on B = 1 (i.e., conditional on the die roll being 2, 3, or 5) is
4685:
is the σ-algebra generated by the intervals with end-points 0,
4631:
is the σ-algebra generated by the intervals with end-points 0,
10791:-measurable. Then there exists a sequence of simple functions
5794:{\textstyle \mu ^{X}\colon F\mapsto \int _{F}X\,\mathrm {d} P}
4449:{\displaystyle e_{X}(Y)=\alpha _{0}+\sum _{i}\alpha _{i}Y_{i}}
4996:-measurable, thus the existence of the integrals of the form
15878:
13712:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
5539:
discussion, this condition is equivalent to saying that the
12331:{\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}})\mid Z)=E(X\mid Z)}
11708:{\displaystyle X\,E(Y|{\mathcal {H}})=E(XY|{\mathcal {H}})}
9378:{\displaystyle \int _{H}E(X|{\mathcal {H}})dP=\int _{H}XdP}
5155:, cannot be stated in general. However, the local averages
3138:
2683:
is defined analogously, except instead of a single number
2186:
When the denominator is zero, the expression is undefined.
293:
15961:
6385:{\displaystyle \mu ^{X}(h(H))=0\iff \mu ^{X}\circ h(H)=0.}
5583:{\displaystyle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}
5241:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {H}},P|_{\mathcal {H}})}
4510:
Multivariate normal distribution#Conditional distributions
2237:
All random variables in this section are assumed to be in
12116:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}
6574:
Conditional expectation with respect to a random variable
3472:
at 1. In the second it is concentrated on the "diagonal"
2330:
random variables, conditional expectation is also called
2299:
theory is, however, considered more intuitive and admits
658:. Likewise, the expectation of B conditional on A = 1 is
15730:"probability - Intuition behind Conditional Expectation"
8004:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}
6912:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}
6016:{\displaystyle \mu ^{X}\circ h=\mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}
5736:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}
5318:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}
6977:
but these are very different objects. The former is a
4516:
Conditional expectation with respect to a sub-σ-algebra
2270:
Conditional expectation with respect to a sub-σ-algebra
15931:(2nd ed.). York, PA, USA: Springer. p. 110.
14469:
14342:
13572:
13505:
11114:{\displaystyle \{X_{n}E(Y|{\mathcal {H}})\}_{n\geq 1}}
7846:{\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {A}}}
7384:, one can consider the collection of random variables
6738:{\displaystyle \operatorname {E} :=\operatorname {E} }
5749:
5161:
5002:
4824:{\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {F}}}
2834:{\displaystyle e_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
2221:
as it was in the discrete case. For a discussion, see
1753:
15781:(Second, corrected 7th printing ed.). New York.
15399:
15325:
15305:
15275:
15146:
15056:
14873:
14821:
14790:
14766:
14712:
14643:
14623:
14599:
14562:
14535:
14468:
14414:
14341:
14287:
14216:
14196:
14076:
13945:
13824:
13729:
13689:
13571:
13504:
13427:
13394:
13351:
13318:
13241:
13202:
13118:
13078:
13030:
13004:
12973:
12902:
12779:
12697:
12665:
12573:
12547:
12463:
12419:
12395:
12350:
12269:
12230:
12206:
12129:
12080:
11973:
11915:
11846:
11752:
11721:
11646:
11616:
11177:
11127:
11057:
11010:
10984:
10935:
10909:
10889:
10843:
10797:
10773:
10753:
10661:
10634:
10543:
10311:
10279:
10246:
10216:
10167:
10085:
10061:
10041:
9989:
9927:
9816:
9758:
9731:
9684:
9598:
9571:
9551:
9510:
9480:
9394:
9312:
9282:
9226:
9202:
9182:
9039:
9015:
8995:
8971:
8951:
8917:
8891:
8868:
8844:
8824:
8744:
8705:
8685:
8658:
8629:
8468:
8438:
8418:
8388:
8323:
8299:
8275:
8229:
8209:
8185:
8142:
8109:
8020:
7975:
7951:
7931:
7911:
7887:
7867:
7825:
7790:
7738:
7690:
7571:
7517:
7497:
7393:
7348:
7305:
7266:
7242:
7196:
7071:
7042:
7007:
6983:
6963:
6925:
6883:
6810:
6759:
6680:
6664:
is defined by applying the above construction on the
6626:
6591:
6404:
6311:
6232:
6203:
6170:
6146:
6126:
6080:
6056:
6029:
5969:
5945:
5921:
5897:
5877:
5837:
5807:
5707:
5626:
5596:
5548:
5518:
5485:
5396:
5358:
5331:
5289:
5265:
5198:
5137:
5117:
5083:
5053:
4978:
4937:
4913:
4893:
4869:
4841:
4803:
4756:
4708:
4667:
4613:
4579:
4533:
4465:
4380:
4296:
4269:
4242:
4211:
4084:
4064:
The conditional expectation is often approximated in
4035:
3979:
3926:
3850:
3814:
3787:
3747:
3618:
3541:
3527:, so that any set not intersecting it has measure 0.
3478:
3434:
3338:
3253:
3206:
3168:
3062:
3017:
2990:
2850:
2797:
2752:
2716:
2689:
2542:
2508:
2476:
2446:
2419:
2385:
2343:
2309:
2278:
2243:
2195:
1965:
1936:
1916:
1887:
1867:
1752:
1713:
1693:
1643:
1619:
1599:
1559:
1484:
1437:
1371:
1187:
1121:
1108:
where the sum is taken over all possible outcomes of
948:
905:
751:
664:
577:
490:
393:
235:
206:
165:
126:
15809:(3rd ed.). John Wiley & Sons. p. 445.
12649:{\displaystyle E(E(X\mid Y)\mid f(Y))=E(X\mid f(Y))}
4525:
Conditional expectation with respect to a σ-algebra:
1431:
Remark that as above the expression is undefined if
862:, who calculated conditional distributions. It was
12186:{\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2}))=E(X)}
9976:{\displaystyle \operatorname {E} (f(Z)\mid Z)=f(Z)}
4965:{\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
4784:{\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
3468:In the first example, the pushforward measure is a
745:, and the expectation of B conditional on A = 0 is
15485:
15385:
15311:
15287:
15254:
15132:
15028:
14855:
14800:
14772:
14737:
14698:
14629:
14609:
14574:
14548:
14518:
14454:
14400:
14327:
14273:
14202:
14174:
14057:
13929:
13797:
13711:
13669:
13557:
13484:
13413:
13380:
13337:
13298:
13227:
13182:
13104:
13061:
13016:
12987:
12959:
12888:
12760:
12683:
12648:
12559:
12528:
12449:
12405:
12381:
12330:
12255:
12216:
12185:
12115:
12063:
11959:
11895:
11824:
11727:
11707:
11632:
11599:
11158:
11113:
11043:
10993:
10970:
10921:
10895:
10875:
10829:
10783:
10759:
10736:
10647:
10617:
10526:
10295:
10265:
10232:
10199:
10142:
10071:
10047:
10019:
9975:
9906:
9802:
9737:
9717:
9667:
9581:
9557:
9537:
9496:
9463:
9377:
9298:
9257:
9212:
9188:
9160:
9025:
9001:
8981:
8957:
8937:
8903:
8874:
8854:
8830:
8810:
8730:
8691:
8664:
8644:
8612:
8451:
8424:
8404:
8363:
8309:
8281:
8254:
8215:
8195:
8164:{\displaystyle \operatorname {E} ^{\mathcal {H}}X}
8163:
8125:
8092:
8003:
7961:
7937:
7917:
7897:
7873:
7845:
7808:
7769:
7718:
7660:
7547:
7503:
7475:
7376:
7315:
7291:
7252:
7212:
7182:
7057:
7028:
6993:
6969:
6949:
6911:
6856:
6793:
6737:
6644:
6609:
6555:
6384:
6291:
6215:
6189:
6156:
6132:
6112:
6066:
6042:
6015:
5955:
5931:
5903:
5883:
5859:
5823:
5793:
5735:
5685:
5609:
5582:
5531:
5501:
5468:
5379:
5341:
5317:
5275:
5240:
5184:
5147:
5123:
5103:
5069:
5039:
4988:
4964:
4923:
4899:
4879:
4851:
4823:
4795:on that probability space with finite expectation.
4783:
4736:
4677:
4623:
4599:
4561:
4500:
4448:
4352:
4275:
4255:
4228:
4151:
4048:
4013:
3954:
3905:
3829:
3800:
3769:
3730:
3601:
3519:
3449:
3409:
3324:
3236:
3189:
3144:
3030:
3003:
2972:
2833:
2779:
2738:
2702:
2667:
2521:
2494:
2459:
2432:
2405:
2371:
2322:
2291:
2256:
2213:
2175:
1948:
1922:
1902:
1873:
1853:
1738:
1699:
1680:
1625:
1605:
1577:
1538:
1464:
1404:
1354:
1142:
1097:
915:
824:
737:
650:
563:
472:
308:= 1 if the number is prime (i.e., 2, 3, or 5) and
271:
221:
192:
147:
15973:
15590:(in German). Berlin: Julius Springer. p. 46.
15386:{\displaystyle P(X\in B\mid Y,Z)=P(X\in B\mid Z)}
14699:{\displaystyle E(Y(X-E(X\mid {\mathcal {H}})))=0}
7548:{\displaystyle \kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,-)}
6794:{\displaystyle e_{X}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}
3906:{\displaystyle \langle X-e_{X}(Y),f(Y)\rangle =0}
3417:or infinitely many other ways. In the context of
3247:but in terms of functions it can be expressed as
1424:. The sum is taken over all possible outcomes of
300:= 1 if the number is even (i.e., 2, 4, or 6) and
16024:
15832:Probability theory : a comprehensive course
13622:
13580:
13513:
12761:{\displaystyle E(E(X\mid Y,Z)\mid Y)=E(X\mid Y)}
12256:{\displaystyle \sigma (Z)\subset {\mathcal {H}}}
11492:
11434:
11365:
11296:
11236:
8818:. Note that this is not necessarily the case if
7377:{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}
4236:denote this generalized conditional expectation/
3543:
2852:
2544:
15854:
15805:(1995). "Section 34. Conditional Expectation".
15605:(2nd ed.). New York: Chelsea. p. 53.
11896:{\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X)}
5248:with the help of the conditional expectation.
3970:. This orthogonality condition, applied to the
3410:{\displaystyle e'_{X}(y_{1},y_{2})=y_{2}-y_{1}}
3325:{\displaystyle e_{X}(y_{1},y_{2})=3y_{1}-y_{2}}
15795:
14335:is an increasing series of sub-σ-algebras and
2300:
1588:
15588:Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
15269:Doob's conditional independence property: If
15247:
15220:
15204:
15155:
14462:is a decreasing series of sub-σ-algebras and
14044:
14011:
13922:
13861:
13062:{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})\geq 0}
12450:{\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid Z)=Z}
10020:{\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid Z)=Z}
9648:
9611:
9444:
9407:
8938:{\displaystyle {\mathcal {G}},{\mathcal {H}}}
4600:{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {F}}}
3781:, the necessary and sufficient condition for
3237:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=X}
2780:{\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
15469:
15457:
15423:
15411:
12110:
12098:
11096:
11058:
10953:
10936:
10812:
10798:
8364:{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=E(X)}
7755:
7748:
5674:
5627:
4480:
4466:
4146:
4091:
4059:
3894:
3851:
3688:
3625:
3514:
3479:
2223:Conditioning on an event of probability zero
2208:
2196:
1572:
1560:
1153:
1062:
1050:
15857:Stochastic Equations in Infinite Dimensions
15855:Da Prato, Giuseppe; Zabczyk, Jerzy (2014).
15751:(2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
7029:{\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
6950:{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid H)}
6857:{\displaystyle \operatorname {E} =e_{X}(Y)}
6292:{\displaystyle P\circ h(H)=0\iff P(h(H))=0}
5380:{\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
5040:{\textstyle \int _{H}X\,dP|_{\mathcal {H}}}
890:
835:
15926:
15859:. Cambridge University Press. p. 26.
7719:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}
7327:
6350:
6346:
6261:
6257:
6113:{\displaystyle P\circ h=P|_{\mathcal {H}}}
4737:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
4562:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
3741:is a closed subspace of the Hilbert space
2372:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
287:
15981:(3rd ed.). Oxford University Press.
15970:, Blaisdell Publishing Co., 1966, page 28
15746:
15663:
15632:
13705:
13697:
12981:
12934:
12382:{\displaystyle Z=E(X\mid {\mathcal {H}})}
11650:
11261:
11191:
11131:
11121:converges monotonically and pointwise to
11044:{\displaystyle E(Y|{\mathcal {H}})\geq 0}
10978:converges monotonically and pointwise to
10709:
10117:
9258:{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=X}
8785:
8731:{\displaystyle \sigma (Y,{\mathcal {H}})}
8600:
8482:
8255:{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sigma (Z)}
8081:
8056:
7361:
7171:
7124:
7045:
7016:
6781:
6197:is absolutely continuous with respect to
5782:
5590:is orthogonal to the indicator functions
5457:
5432:
5367:
5175:
5016:
4952:
4771:
4201:be the space of all linear functions of
3437:
2827:
2813:
2767:
2555:
2406:{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }
2399:
2157:
2058:
69:Learn how and when to remove this message
15602:Foundations of the Theory of Probability
5860:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}
4519:
4501:{\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=0..n}}
32:This article includes a list of general
16004:
15869:(Definition in separable Banach spaces)
15672:
15535:Non-commutative conditional expectation
14738:{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})}
14210:, that has finite expectation, we have
12123:recovers the Law of total expectation:
10837:converging monotonically (here meaning
8203:could be replaced by a random variable
7292:{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})}
4573:. We define the following σ-algebras:
16025:
16007:"Conditional mathematical expectation"
15576:
11159:{\displaystyle X\,E(Y|{\mathcal {H}})}
4527:in this example the probability space
3917:In words, this equation says that the
2232:
866:who, in 1933, formalized it using the
387:The unconditional expectation of A is
200:or a separate function symbol such as
159:. The function form is either denoted
15893:(Definition in general Banach spaces)
15749:Time series : theory and methods
15711:2. edition. Springer, New York 2002,
13228:{\displaystyle 0\leq X_{n}\uparrow X}
9718:{\displaystyle E(X|{\mathcal {H}})=X}
7675:
4194:
3609:is non-trivial. It can be shown that
473:{\displaystyle E=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2}
13939:Algebraic formula for the variance:
10971:{\displaystyle \{X_{n}Y\}_{n\geq 1}}
7036:, while the latter is an element of
6645:{\displaystyle Y\colon \Omega \to U}
6578:Consider, in addition to the above,
4197:no longer holding. For example, let
3421:, this lack of uniqueness is called
107:conditional probability distribution
18:
15541:
14706:, i.e. the conditional expectation
11633:{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}
10830:{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 1}}
10296:{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}
10233:{\displaystyle A\in {\mathcal {H}}}
9983:. In its simplest form, this says
9538:{\displaystyle E(X|{\mathcal {H}})}
9497:{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}
9299:{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}
8405:{\displaystyle B\in {\mathcal {H}}}
8174:
8126:{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}
7560:Law of the unconscious statistician
7213:{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}
5824:{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}
5502:{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}
5070:{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}
3162:is the 2-dimensional random vector
2841:is a measurable function such that
13:
15829:
15771:
15709:Foundations of Modern Probability.
15212:
15182:
15165:
15147:
15116:
15108:
15078:
15070:
15012:
14995:
14986:
14970:
14953:
14945:
14928:
14917:
14903:
14886:
14874:
14845:
14828:
14793:
14727:
14676:
14602:
14504:
14496:
14472:
14435:
14418:
14383:
14375:
14345:
14308:
14291:
14263:
14232:
14161:
14144:
14121:
14095:
14033:
14016:
13998:
13974:
13963:
13915:
13892:
13875:
13853:
13842:
13787:
13750:
13658:
13632:
13610:
13590:
13551:
13537:
13474:
13449:
13288:
13263:
13172:
13140:
13045:
12949:
12920:
12878:
12846:
12814:
12518:
12490:
12420:
12398:
12371:
12290:
12248:
12224:-measurable random variable. Then
12209:
12151:
12107:
12101:
12084:
12047:
12015:
11995:
11952:
11936:
11919:
11867:
11801:
11753:
11697:
11667:
11625:
11583:
11502:
11444:
11416:
11375:
11347:
11306:
11278:
11246:
11208:
11148:
11087:
11027:
10776:
10726:
10688:
10607:
10570:
10510:
10457:
10348:
10288:
10225:
10132:
10103:
10064:
9990:
9928:
9890:
9858:
9838:
9795:
9779:
9762:
9752:In particular, for sub-σ-algebras
9701:
9632:
9574:
9527:
9489:
9428:
9339:
9291:
9241:
9205:
9150:
9137:
9076:
9063:
9018:
8974:
8930:
8920:
8847:
8800:
8762:
8720:
8397:
8338:
8302:
8232:
8188:
8149:
8144:
8118:
8083:
8058:
8048:
8031:
7993:
7976:
7954:
7890:
7838:
7828:
7797:
7770:{\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}
7702:
7694:
7648:
7632:
7600:
7572:
7524:
7456:
7424:
7400:
7351:
7308:
7281:
7245:
7205:
7173:
7163:
7146:
7126:
7072:
7008:
6986:
6926:
6901:
6884:
6811:
6705:
6681:
6633:
6601:
6528:
6499:
6483:
6468:
6459:
6437:
6422:
6405:
6149:
6104:
6059:
6007:
5948:
5924:
5849:
5841:
5816:
5784:
5743:can be established by noting that
5725:
5708:
5653:
5636:
5572:
5555:
5494:
5459:
5434:
5424:
5407:
5359:
5334:
5307:
5290:
5268:
5229:
5210:
5202:
5140:
5095:
5062:
5031:
4981:
4944:
4916:
4872:
4844:
4816:
4806:
4763:
4720:
4712:
4670:
4616:
4592:
4582:
4545:
4537:
4363:An important special case is when
4335:
4309:
4297:
4229:{\displaystyle {\mathcal {E}}_{M}}
4215:
4143:
4109:
3808:to be a minimizer is that for all
3761:
3707:
3685:
3651:
3552:
3520:{\displaystyle \{y:y_{2}=2y_{1}\}}
3207:
2916:
2866:
2759:
2602:
2561:
2392:
2355:
2347:
2159:
2118:
2113:
2060:
2017:
2012:
1970:
1515:
1485:
1192:
953:
908:
38:it lacks sufficient corresponding
14:
16049:
15998:
15929:Foundations of Modern Probability
12988:{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
10876:{\displaystyle X_{n}\leq X_{n+1}}
8266:Pulling out independent factors:
7487:It can be shown that they form a
5104:{\displaystyle P|_{\mathcal {H}}}
3535:The existence of a minimizer for
1170:, the conditional expectation of
931:, the conditional expectation of
15979:Probability and Random Processes
7299:over a finer (larger) σ-algebra
7058:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3450:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2710:, the result will be a function
304:= 0 otherwise. Furthermore, let
23:
15920:
15896:
15872:
15848:
15665:10.1090/s0002-9904-1953-09662-8
15638:
13105:{\displaystyle X_{1}\leq X_{2}}
7925:-nullset unique and integrable
7334:Regular conditional probability
6656:The conditional expectation of
6190:{\displaystyle \mu ^{X}\circ h}
4014:{\displaystyle f(Y)=1_{Y\in H}}
2679:The conditional expectation of
2495:{\displaystyle \sigma _{X}^{2}}
1910:The conditional expectation of
1414:joint probability mass function
825:{\displaystyle E=(0+1+1)/3=2/3}
738:{\displaystyle E=(1+0+0)/3=1/3}
651:{\displaystyle E=(0+1+1)/3=2/3}
564:{\displaystyle E=(1+0+0)/3=1/3}
272:{\displaystyle E(X\mid Y)=f(Y)}
229:is introduced with the meaning
15823:
15765:
15740:
15722:
15701:
15530:Joint probability distribution
15480:
15449:
15440:
15403:
15380:
15362:
15353:
15329:
15235:
15226:
15192:
15187:
15171:
15161:
15127:
15105:
15092:
15089:
15067:
15023:
15017:
15001:
14992:
14975:
14959:
14950:
14934:
14911:
14908:
14892:
14880:
14850:
14834:
14825:
14801:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
14732:
14716:
14687:
14684:
14681:
14665:
14653:
14647:
14610:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
14394:
14356:
14268:
14252:
14246:
14243:
14220:
14169:
14166:
14150:
14141:
14129:
14126:
14110:
14101:
14089:
14083:
14038:
14022:
14003:
13980:
13968:
13952:
13901:
13897:
13881:
13866:
13847:
13831:
13792:
13779:
13773:
13767:
13758:
13755:
13739:
13733:
13701:
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13454:
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13353:
13329:
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13277:
13271:
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13177:
13154:
13145:
13122:
13050:
13034:
12954:
12938:
12925:
12906:
12883:
12860:
12851:
12828:
12819:
12783:
12755:
12743:
12734:
12725:
12707:
12701:
12643:
12640:
12634:
12622:
12613:
12610:
12604:
12595:
12583:
12577:
12523:
12507:
12498:
12495:
12479:
12467:
12438:
12426:
12406:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
12376:
12360:
12325:
12313:
12304:
12295:
12279:
12273:
12240:
12234:
12217:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
12180:
12174:
12165:
12162:
12139:
12133:
12058:
12035:
12026:
12006:
11983:
11977:
11890:
11884:
11875:
11872:
11856:
11850:
11819:
11807:
11798:
11792:
11783:
11771:
11765:
11759:
11702:
11691:
11681:
11672:
11661:
11654:
11588:
11577:
11567:
11499:
11441:
11421:
11410:
11393:
11372:
11352:
11341:
11334:
11303:
11283:
11272:
11265:
11243:
11213:
11202:
11195:
11153:
11142:
11135:
11092:
11081:
11074:
11032:
11021:
11014:
10784:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
10731:
10720:
10713:
10693:
10682:
10665:
10612:
10601:
10594:
10575:
10564:
10547:
10515:
10504:
10497:
10462:
10451:
10444:
10353:
10342:
10325:
10137:
10121:
10108:
10089:
10072:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
10008:
9996:
9970:
9964:
9955:
9946:
9940:
9934:
9901:
9878:
9869:
9849:
9826:
9820:
9706:
9695:
9688:
9637:
9626:
9619:
9582:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
9532:
9521:
9514:
9433:
9422:
9415:
9344:
9333:
9326:
9246:
9230:
9213:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
9155:
9142:
9123:
9117:
9108:
9102:
9096:
9090:
9081:
9068:
9049:
9043:
9026:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
8982:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
8855:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
8805:
8789:
8782:
8776:
8767:
8748:
8725:
8709:
8639:
8633:
8597:
8591:
8572:
8566:
8560:
8554:
8545:
8532:
8526:
8520:
8511:
8495:
8358:
8352:
8343:
8327:
8310:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
8249:
8243:
8196:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
8053:
8037:
7998:
7982:
7962:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
7898:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
7809:{\displaystyle X:\Omega \to E}
7800:
7764:
7739:
7713:
7691:
7680:In full generality, consider:
7655:
7638:
7623:
7617:
7605:
7594:
7590:
7584:
7578:
7542:
7530:
7470:
7464:
7461:
7450:
7430:
7418:
7406:
7371:
7356:
7316:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
7286:
7270:
7253:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
7223:Uniqueness can be shown to be
7168:
7152:
7105:
7099:
7090:
7078:
7011:
6994:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
6944:
6932:
6906:
6890:
6851:
6845:
6829:
6817:
6776:
6732:
6729:
6723:
6711:
6699:
6687:
6636:
6604:
6592:
6544:
6532:
6522:
6503:
6477:
6453:
6427:
6411:
6373:
6367:
6347:
6337:
6334:
6328:
6322:
6280:
6277:
6271:
6265:
6258:
6248:
6242:
6157:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
6098:
6067:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
6001:
5956:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5932:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
5854:
5838:
5766:
5730:
5714:
5696:
5658:
5642:
5577:
5561:
5429:
5413:
5362:
5342:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
5312:
5296:
5276:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
5235:
5223:
5199:
5148:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
5089:
5025:
4989:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
4947:
4924:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4880:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
4852:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4766:
4731:
4709:
4678:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4624:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
4556:
4534:
4397:
4391:
4347:
4341:
4329:
4326:
4320:
4303:
4137:
4128:
4121:
4115:
4103:
4097:
3989:
3983:
3949:
3943:
3891:
3885:
3876:
3870:
3824:
3818:
3770:{\displaystyle L^{2}(\Omega )}
3764:
3758:
3725:
3722:
3716:
3704:
3679:
3670:
3663:
3657:
3637:
3631:
3585:
3581:
3575:
3563:
3378:
3352:
3290:
3264:
3225:
3213:
3184:
3169:
3079:
3073:
3011:, the conditional expectation
2956:
2952:
2946:
2927:
2899:
2895:
2889:
2877:
2823:
2791:. The conditional expectation
2762:
2733:
2727:
2633:
2613:
2585:
2572:
2395:
2366:
2344:
2154:
2142:
2099:
2093:
2055:
2043:
2034:
1994:
1976:
1844:
1838:
1823:
1811:
1786:
1779:
1772:
1763:
1730:
1724:
1672:
1660:
1533:
1521:
1509:
1491:
1453:
1441:
1399:
1375:
1342:
1330:
1322:
1298:
1266:
1242:
1216:
1198:
1131:
1125:
1085:
1079:
1071:
1047:
1015:
997:
971:
959:
923:with nonzero probability, and
916:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
885:
797:
779:
773:
755:
710:
692:
686:
668:
623:
605:
599:
581:
536:
518:
512:
494:
445:
409:
403:
397:
266:
260:
251:
239:
216:
210:
187:
169:
142:
130:
105:evaluated with respect to the
1:
15949:
15801:
15678:
15550:(generalizes the other three)
13381:{\displaystyle |X_{n}|\leq Y}
12413:-measurable), and using also
10200:{\displaystyle X=X^{+}-X^{-}}
6868:
3648: is measurable and
3041:
1681:{\displaystyle f_{X,Y}(x,y),}
15747:Brockwell, Peter J. (1991).
15595:
15582:
9474:Since this is true for each
7969:-measurable random variable
3530:
2379:be a probability space, and
292:Consider the roll of a fair
193:{\displaystyle E(X\mid Y=y)}
7:
16012:Encyclopedia of Mathematics
15977:; Stirzaker, David (2001).
15834:(Second ed.). London.
15497:
14529:Conditional expectation as
11746:is a random variable, then
10032:Pulling out known factors:
9921:is a random variable, then
6610:{\displaystyle (U,\Sigma )}
5185:{\textstyle \int _{H}X\,dP}
3962:is orthogonal to the space
1635:continuous random variables
1589:Continuous random variables
480:, but the expectation of A
282:
117:of this probability space.
10:
16054:
15968:Probability and Potentials
15734:Mathematics Stack Exchange
15505:Conditioning (probability)
14810:Hilbert projection theorem
13414:{\displaystyle Y\in L^{1}}
13338:{\displaystyle X_{n}\to X}
10655:is a simple function then
7555:is a probability measure.
7491:, that is, for almost all
7331:
6753:, there exists a function
6566:where the derivatives are
4569:is the interval with the
3955:{\displaystyle X-e_{X}(Y)}
3779:Hilbert projection theorem
3457:. The measure used is the
3158:: Consider the case where
3049:: Consider the case where
1405:{\displaystyle P(X=x,Y=y)}
849:
148:{\displaystyle E(X\mid Y)}
91:conditional expected value
15927:Kallenberg, Olav (2001).
15904:"Conditional expectation"
15889:10.1007/978-3-319-48520-1
15297:conditionally independent
12344:property: the above with
6568:Radon–Nikodym derivatives
4060:Connections to regression
2301:important generalizations
1739:{\displaystyle f_{Y}(y),}
1168:discrete random variables
1154:Discrete random variables
113:, the "conditions" are a
15865:10.1017/CBO9781107295513
15569:
15559:Law of total probability
15554:Law of total expectation
14190:: For a random variable
11838:Law of total expectation
11728:{\displaystyle \square }
9738:{\displaystyle \square }
8665:{\displaystyle \square }
6223:, because the condition
6216:{\displaystyle P\circ h}
6043:{\displaystyle \mu ^{X}}
4699:Consider the following:
4168:decision tree regression
3004:{\displaystyle \mu _{X}}
2739:{\displaystyle e_{X}(y)}
2703:{\displaystyle \mu _{X}}
2522:{\displaystyle \mu _{X}}
2460:{\displaystyle \mu _{X}}
2227:Borel-Kolmogorov paradox
1746:and conditional density
1465:{\displaystyle P(Y=y)=0}
929:discrete random variable
891:Conditioning on an event
836:Example 2: Rainfall data
16033:Conditional probability
16005:Ushakov, N.G. (2001) ,
15963:, vol 1, 1950, page 223
15807:Probability and Measure
14745:is in the sense of the
13017:{\displaystyle X\geq 0}
12196:A special case is when
10922:{\displaystyle Y\geq 0}
10266:{\displaystyle X=1_{A}}
8838:is only independent of
7859:conditional expectation
7504:{\displaystyle \omega }
7328:Conditional probability
7229:set of probability zero
5831:is a finite measure on
5253:conditional expectation
4900:{\displaystyle \sigma }
4029:are not necessarily in
2214:{\displaystyle \{Y=y\}}
1578:{\displaystyle \{Y=y\}}
858:dates back at least to
856:conditional probability
854:The related concept of
288:Example 1: Dice rolling
157:conditional probability
87:conditional expectation
53:more precise citations.
15639:Oxtoby, J. C. (1953).
15548:Law of total cumulance
15510:Disintegration theorem
15487:
15387:
15313:
15289:
15256:
15134:
15030:
14857:
14802:
14774:
14739:
14700:
14631:
14611:
14576:
14550:
14520:
14500:
14456:
14402:
14379:
14329:
14275:
14204:
14188:Martingale convergence
14176:
14059:
13931:
13799:
13713:
13671:
13559:
13486:
13415:
13382:
13339:
13300:
13229:
13184:
13106:
13063:
13018:
12989:
12961:
12890:
12762:
12685:
12650:
12561:
12530:
12451:
12407:
12383:
12332:
12257:
12218:
12187:
12117:
12065:
11961:
11897:
11826:
11729:
11709:
11634:
11601:
11160:
11115:
11045:
10995:
10972:
10923:
10897:
10877:
10831:
10785:
10761:
10738:
10649:
10619:
10528:
10297:
10267:
10234:
10201:
10144:
10073:
10049:
10021:
9977:
9908:
9804:
9739:
9719:
9669:
9583:
9559:
9539:
9498:
9465:
9379:
9300:
9259:
9214:
9190:
9162:
9027:
9003:
8983:
8959:
8939:
8905:
8876:
8856:
8832:
8812:
8732:
8693:
8666:
8646:
8614:
8453:
8426:
8406:
8365:
8311:
8283:
8256:
8217:
8197:
8165:
8127:
8094:
8005:
7963:
7939:
7919:
7899:
7875:
7847:
7810:
7771:
7720:
7662:
7549:
7505:
7477:
7378:
7317:
7293:
7254:
7214:
7184:
7059:
7030:
6995:
6971:
6951:
6913:
6858:
6795:
6739:
6666:σ-algebra generated by
6646:
6611:
6557:
6386:
6293:
6217:
6191:
6158:
6134:
6120:is the restriction of
6114:
6068:
6044:
6023:is the restriction of
6017:
5957:
5933:
5905:
5885:
5861:
5825:
5795:
5737:
5687:
5611:
5584:
5533:
5503:
5470:
5381:
5343:
5319:
5277:
5242:
5186:
5149:
5125:
5111:is the restriction of
5105:
5071:
5041:
4990:
4966:
4925:
4901:
4881:
4853:
4825:
4785:
4738:
4696:
4679:
4625:
4601:
4563:
4502:
4450:
4354:
4277:
4257:
4230:
4153:
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4015:
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3831:
3802:
3771:
3732:
3603:
3521:
3451:
3411:
3326:
3238:
3191:
3190:{\displaystyle (X,2X)}
3146:
3032:
3005:
2974:
2861: measurable
2835:
2781:
2740:
2704:
2669:
2523:
2496:
2461:
2434:
2407:
2373:
2324:
2293:
2258:
2215:
2177:
1950:
1924:
1904:
1875:
1855:
1740:
1701:
1682:
1627:
1607:
1579:
1540:
1466:
1406:
1356:
1144:
1143:{\displaystyle P(A)=0}
1099:
917:
826:
739:
652:
565:
474:
273:
223:
194:
149:
15685:John Wiley & Sons
15652:Bull. Amer. Math. Soc
15564:Law of total variance
15488:
15388:
15314:
15290:
15257:
15135:
15031:
14858:
14803:
14775:
14758:orthogonal projection
14740:
14701:
14632:
14612:
14577:
14551:
14549:{\displaystyle L^{2}}
14521:
14480:
14457:
14403:
14359:
14330:
14276:
14205:
14177:
14068:Law of total variance
14060:
13932:
13800:
13714:
13672:
13560:
13487:
13416:
13383:
13340:
13310:Dominated convergence
13301:
13230:
13185:
13107:
13064:
13019:
12990:
12962:
12891:
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