1067:, a subset is cofinal if and only if it contains that greatest element (this follows, since a greatest element is necessarily a maximal element). Partially ordered sets without greatest element or maximal elements admit disjoint cofinal subsets. For example, the even and odd
1863:
1763:
2269:
1348:
2309:
2031:
1900:
2419:
2138:
2601:
2567:
2478:
2378:
2198:
2097:
1930:
1394:
1583:
1489:
1813:
1722:
1548:
2882:
2732:
2626:
2507:
2444:
1959:
2781:
2529:
2344:
2160:
1678:
1207:
746:
426:
68:
2063:
3136:
1700:
1426:
1302:
1259:
1177:
583:
456:
373:
103:
846:
634:
544:
3214:
2685:
1985:
1652:
1522:
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817:
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2755:
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1626:
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344:
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3012:
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2960:
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2904:
2801:
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964:
944:
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317:
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200:
180:
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3477:
3452:
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17:
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3472:
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1705:
1531:
3753:
3380:
2858:
2713:
2606:
2487:
2424:
1935:
1063:
any element of the subset, violating the definition of cofinal. For a partially ordered set with a
2760:
2512:
2314:
2143:
1657:
1186:
725:
405:
47:
4001:
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2971:
2036:
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1399:
1275:
1232:
1150:
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822:
607:
520:
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3717:
3586:
3467:
3421:
3385:
3341:
3193:
2661:
1964:
1631:
1498:
872:
855:
to the notion of cofinal subset. Cofinal (respectively coinitial) subsets are precisely the
767:
757:
465:
245:
136:
3167:
3141:
2832:
2806:
796:
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3928:
3918:
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3616:
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3581:
280:
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646:
8:
3906:
3817:
3763:
3722:
3712:
3601:
3534:
3497:
2935:
2907:
1492:
880:
641:
3037:
2737:
2690:
1608:
1125:
1029:
906:
695:
382:
326:
4018:
3945:
3798:
3707:
3697:
3638:
3556:
3492:
3089:
3017:
2997:
2977:
2945:
2913:
2889:
2786:
2638:
1774:
1588:
1439:
1212:
1101:
1077:
1009:
989:
969:
949:
929:
886:
876:
675:
302:
225:
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165:
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3955:
3933:
3793:
3778:
3758:
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3312:
3283:
1767:
1457:
276:
3768:
3621:
3293:
1064:
292:
3950:
3733:
3611:
3606:
3591:
3507:
3416:
3401:
2939:
2931:
1095:
1056:
1052:
3868:
3853:
3843:
3702:
3680:
3658:
3304:
2967:
2163:
1068:
590:
71:
4033:
3967:
3923:
3901:
3773:
3643:
3631:
3436:
3326:
2963:
1551:
1396:
is cofinal. This property is not true in general without the hypothesis that
3788:
3670:
3653:
3571:
3411:
3364:
1304:
is a directed set and if some union of (one or more) finitely many subsets
1180:
1119:
586:
288:
272:
3994:
3687:
3566:
3431:
3258:
1059:, otherwise a maximal element that is not in the subset would fail to be
296:
284:
38:
3962:
3896:
3737:
3275:
3074:
320:
4013:
3886:
3692:
3080:
2656:
856:
3034:
is sufficient to construct and describe the profinite completion of
3808:
3675:
3426:
3065:
1525:
28:
1071:
form disjoint cofinal subsets of the set of all natural numbers.
2532:
3333:
3083: – Subset of a preorder that contains all larger elements
42:
3241:
3239:
3237:
3235:
3233:
3231:
3228:
1858:{\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}
1758:{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}
2166:(consisting of positive integers) is a cofinal subset of
3070:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
3068: – Being a subset whose complement is a finite set
3196:
3170:
3144:
3112:
3092:
3040:
3020:
3000:
2980:
2948:
2916:
2892:
2861:
2835:
2809:
2789:
2763:
2740:
2716:
2693:
2664:
2641:
2609:
2575:
2541:
2515:
2490:
2452:
2427:
2390:
2352:
2317:
2279:
2210:
2172:
2146:
2109:
2071:
2039:
2001:
1967:
1938:
1908:
1871:
1821:
1797:
1777:
1730:
1708:
1686:
1660:
1634:
1611:
1591:
1560:
1534:
1501:
1466:
1442:
1402:
1356:
1310:
1278:
1269:
Any superset of a cofinal subset is itself cofinal.
1264:
1235:
1215:
1189:
1153:
1128:
1104:
1080:
1032:
1012:
992:
972:
952:
932:
909:
889:
825:
799:
770:
728:
698:
678:
649:
610:
559:
523:
497:
468:
442:
408:
385:
359:
329:
305:
248:
228:
208:
188:
168:
139:
119:
79:
50:
2264:{\displaystyle -\mathbb {N} :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.}
271:
Cofinal subsets are very important in the theory of
871:
The cofinal relation over partially ordered sets ("
3282:(Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley,
3208:
3182:
3156:
3130:
3098:
3049:
3026:
3006:
2986:
2954:
2922:
2898:
2876:
2847:
2821:
2795:
2775:
2749:
2726:
2702:
2679:
2647:
2620:
2595:
2561:
2523:
2501:
2472:
2438:
2413:
2372:
2338:
2303:
2263:
2192:
2154:
2132:
2091:
2057:
2025:
1979:
1953:
1924:
1894:
1857:
1807:
1783:
1757:
1716:
1694:
1672:
1646:
1620:
1597:
1577:
1542:
1516:
1483:
1448:
1420:
1388:
1342:
1296:
1253:
1221:
1201:
1171:
1137:
1110:
1086:
1041:
1018:
998:
978:
958:
938:
918:
895:
840:
811:
785:
740:
707:
684:
664:
628:
577:
538:
509:
483:
450:
420:
394:
367:
338:
311:
260:
234:
214:
194:
174:
154:
125:
97:
62:
553:. This definition is most commonly applied when
4031:
34:Mathematical property of subsets in order theory
3014:). In this situation, every cofinal subset of
879:: every poset is cofinal in itself. It is also
859:with respect to the right (respectively left)
3349:
2635:A particular but important case is given if
2446:of negative integers is a cofinal subset of
2255:
2222:
760:) if it satisfies the following condition:
1343:{\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}
4007:Positive cone of a partially ordered group
3356:
3342:
1098:cofinal subset, then we can find a subset
458:if it satisfies the following condition:
3303:
3245:
2717:
2630:
2611:
2580:
2546:
2517:
2492:
2457:
2432:
2395:
2357:
2304:{\displaystyle -\infty <y<\infty ,}
2215:
2177:
2148:
2114:
2076:
2026:{\displaystyle -\infty <x<\infty ,}
1713:
1709:
1691:
1687:
1539:
1535:
447:
443:
364:
360:
3990:Positive cone of an ordered vector space
3309:Handbook of Analysis and Its Foundations
1350:is cofinal then at least one of the set
1055:, every cofinal subset must contain all
636:between two directed sets is said to be
549:A subset that is not frequent is called
283:” is the appropriate generalization of "
3251:
3077: – Size of subsets in order theory
1895:{\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}
1432:Subset relations and neighborhood bases
14:
4032:
3257:
3337:
2414:{\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}
2204:true of the set of negative integers
2133:{\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}
3274:
2596:{\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}
2562:{\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}
2473:{\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}
2373:{\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}
2193:{\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}
2092:{\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}
2994:(which are parametrized by the set
1991:Cofinal subsets of the real numbers
1925:{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
1389:{\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}
24:
3517:Properties & Types (
2665:
2324:
2295:
2283:
2049:
2017:
2005:
1917:
1881:
1865:that is, if and only if for every
1830:
1800:
1744:
1733:
1578:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}
1564:
1484:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}
1470:
1265:Examples and sufficient conditions
162:it is possible to find an element
25:
4051:
3973:Positive cone of an ordered field
3311:. San Diego, CA: Academic Press.
1051:For a partially ordered set with
3827:Ordered topological vector space
3363:
903:is a cofinal subset of a poset
287:". They are also important in
3125:
3113:
2674:
2668:
2603:; the same is true of the set
2590:
2576:
2556:
2542:
2467:
2453:
2405:
2391:
2367:
2353:
2333:
2318:
2187:
2173:
2124:
2110:
2086:
2072:
2052:
2040:
1808:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
1717:{\displaystyle \,\supseteq \,}
1543:{\displaystyle \,\supseteq \,}
1415:
1403:
1291:
1279:
1248:
1236:
1166:
1154:
966:(with the partial ordering of
659:
653:
620:
572:
560:
348:
92:
80:
13:
1:
3784:Series-parallel partial order
3221:
2877:{\displaystyle a\supseteq b.}
2727:{\displaystyle \,\supseteq .}
2710:ordered by reverse inclusion
2621:{\displaystyle \mathbb {Q} .}
2569:and also a cofinal subset of
2502:{\displaystyle \mathbb {N} .}
2439:{\displaystyle -\mathbb {N} }
1954:{\displaystyle N\supseteq B.}
866:
593:with additional properties.
295:, where the minimum possible
3463:Cantor's isomorphism theorem
3138:that contains every element
2776:{\displaystyle B\subseteq A}
2524:{\displaystyle \mathbb {Z} }
2484:true of the natural numbers
2339:{\displaystyle (-\infty ,y)}
2155:{\displaystyle \mathbb {N} }
1673:{\displaystyle S\supseteq T}
1202:{\displaystyle B\subseteq A}
1026:is also a cofinal subset of
741:{\displaystyle B\subseteq A}
421:{\displaystyle B\subseteq A}
222:" (explicitly, "larger than
63:{\displaystyle B\subseteq A}
7:
3503:Szpilrajn extension theorem
3478:Hausdorff maximal principle
3453:Boolean prime ideal theorem
3106:of a partially ordered set
3059:
2058:{\displaystyle (x,\infty )}
1585:: explicitly, for any sets
1074:If a partially ordered set
377:homogeneous binary relation
10:
4056:
3849:Topological vector lattice
291:, including the theory of
26:
3879:
3807:
3746:
3516:
3445:
3394:
3371:
3131:{\displaystyle (P,\leq )}
1695:{\displaystyle \,\leq \,}
1421:{\displaystyle (A,\leq )}
1297:{\displaystyle (A,\leq )}
1261:is also a directed set.
1254:{\displaystyle (B,\leq )}
1172:{\displaystyle (A,\leq )}
578:{\displaystyle (A,\leq )}
451:{\displaystyle \,\leq \,}
368:{\displaystyle \,\leq \,}
98:{\displaystyle (A,\leq )}
3458:Cantor–Bernstein theorem
841:{\displaystyle b\leq a.}
629:{\displaystyle f:X\to A}
539:{\displaystyle a\leq b.}
27:Not to be confused with
4002:Partially ordered group
3822:Specialization preorder
3265:. Springer. p. 16.
3209:{\displaystyle x\leq y}
2734:Given this ordering of
2680:{\displaystyle \wp (E)}
2535:is a cofinal subset of
2346:is a cofinal subset of
2065:is a cofinal subset of
1980:{\displaystyle N\leq B}
1815:is a cofinal subset of
1647:{\displaystyle S\leq T}
1517:{\displaystyle x\in X.}
1209:is a cofinal subset of
946:is a cofinal subset of
786:{\displaystyle a\in A,}
692:is a cofinal subset of
484:{\displaystyle a\in A,}
299:of a cofinal subset of
261:{\displaystyle a\leq b}
155:{\displaystyle a\in A,}
3488:Kruskal's tree theorem
3483:Knaster–Tarski theorem
3473:Dushnik–Miller theorem
3210:
3184:
3183:{\displaystyle x\in U}
3164:for which there is an
3158:
3157:{\displaystyle y\in P}
3132:
3100:
3051:
3028:
3008:
2988:
2956:
2924:
2900:
2878:
2849:
2848:{\displaystyle b\in B}
2823:
2822:{\displaystyle a\in A}
2797:
2777:
2751:
2728:
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