Clebsch–Gordan coefficients

11122: 6585: 10127: 5730: 11117:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}} 10116: 6580:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}} 12863: 9712: 13661: 12076: 10111:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}} 13215: 9695: 12858:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.} 11995: 7985: 14026: 9235: 11609: 1232: 14357: 5725: 13656:{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}} 6963: 13681: 7575: 8307: 5140: 953: 14034: 2665: 5368: 364: 9690:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}} 6608: 11990:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{-j_{1}+j_{2}-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&J\\m_{1}&m_{2}&-M\end{pmatrix}}\\&=(-1)^{2j_{2}}(-1)^{J-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&J&j_{2}\\m_{1}&-M&m_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} 4421: 3505: 4791: 7240: 5015: 2987: 8534: 2381: 14021:{\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle } 167: 8977: 2828: 7980:{\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}} 8047: 4541: 4237: 2329: 2167: 9208: 1227:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}} 14352:{\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )} 5720:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}} 3237: 7568: 4559: 889: 2000:. The action of the total angular momentum operator on this space constitutes a representation of the SU(2) Lie algebra, but a reducible one. The reduction of this reducible representation into irreducible pieces is the goal of Clebsch–Gordan theory. 5278: 6980: 4218: 6958:{\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .} 2833: 1763:. Examples include the spin and the orbital angular momentum of a single electron, or the spins of two electrons, or the orbital angular momenta of two electrons. Mathematically, this means that the angular momentum operators act on a space 14492: 8326: 578: 5363: 1646: 8746: 8702: 1345: 3098: 2679: 1484: 3795: 463: 746: 652: 7339: 5135:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}} 2192: 2030: 9014: 74:(i.e., a reducible representation into irreducible representations, in cases where the numbers and types of irreducible components are already known abstractly). The name derives from the German mathematicians 14030:

It follows from this and orthonormality of the spherical harmonics that CG coefficients are in fact the expansion coefficients of a product of two spherical harmonics in terms of a single spherical harmonic:

12081: 2660:{\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.} 4887: 13100: 359:{\displaystyle {\begin{aligned}&\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}} 7431: 3198: 4472: 8042: 12984: 4101:

The goal is now to describe the preceding decomposition explicitly, that is, to explicitly describe basis elements in the tensor product space for each of the component representations that arise.

785: 115:. From the formal definition of angular momentum, recursion relations for the Clebsch–Gordan coefficients can be found. There also exist complicated explicit formulas for their direct calculation. 3618: 13220: 11614: 10132: 9717: 9240: 5735: 5373: 5154: 5020: 3242: 2197: 2035: 958: 790: 172: 5149: 8302:{\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.} 7380:

can then be found from these recursion relations. The normalization is fixed by the requirement that the sum of the squares, which equivalent to the requirement that the norm of the state

11569: 11419: 4469:) label indicates multiplicity of that representation in the representation reduction. For instance, from this formula, addition of three spin 1/2s yields a spin 3/2 and two spin 1/2s, 4416:{\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,} 14368: 11299: 491: 13157: 5297: 1998: 4455: 1931: 8571: 3500:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |\,J\,M\rangle &=\hbar M|\,J\,M\rangle \end{aligned}}} 1245: 13197: 11435:(other conventions are possible too). Converting phase factors into this form makes it easy to tell whether two phase factors are equivalent. (Note that this form is only 14648:

The word "total" is often overloaded to mean several different things. In this article, "total angular momentum" refers to a generic sum of two angular momentum operators

3894: 1542: 1355: 4116: 11201: 3934: 14501:

For arbitrary groups and their representations, Clebsch–Gordan coefficients are not known in general. However, algorithms to produce Clebsch–Gordan coefficients for the

4786:{\displaystyle |J\,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle } 4008: 3635: 392: 1887: 1824: 3967: 1725: 4096: 4062: 1851: 1788: 14881:

Alex, A.; Kalus, M.; Huckleberry, A.; von Delft, J. (2011). "A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N,C) Clebsch–Gordan coefficients".

3824: 1735: 7235:{\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .} 4098:. Thus, the six-dimensional tensor product representation decomposes as the direct sum of a two-dimensional representation and a four-dimensional representation. 3797:

As this computation suggests, the tensor product representation decomposes as the direct sum of one copy of each of the irreducible representations of dimension

4028: 3844: 686: 1551: 3033: 1548:. The angular momentum states are orthogonal (because their eigenvalues with respect to a Hermitian operator are distinct) and are assumed to be normalized, 15688: 2982:{\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,} 8529:{\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.} 469:, since it is also a spherical tensor operator. It is only for rank one that spherical tensor operators coincide with the Cartesian tensor operators. 4814: 8972:{\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.} 104:

and their complex conjugates. The addition of spins in quantum-mechanical terms can be read directly from this approach as spherical harmonics are

3110: 2823:{\displaystyle (\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle } 591: 7248: 14618: 3227:. Indeed, the preceding construction is the standard method for constructing an action of a Lie algebra on a tensor product representation. 15749: 15024:

Kaplan, L. M.; Resnikoff, M. (1967). "Matrix products and explicit 3, 6, 9, and 12j coefficients of the regular representation of SU(n)".

3538: 15480: 12989: 14623: 14603: 11490: 7417: 4536:{\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }} 14666:. It is not to be confused with the other common use of the term "total angular momentum" that refers specifically to the sum of 11343: 14573: 3008: 2324:{\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.} 2162:{\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},} 15739: 15594: 15448: 15429: 15406: 15383: 15323: 15285: 15266: 15112: 14966: 14943: 14628: 14593: 11233: 9203:{\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.} 7408:

This procedure to find the Clebsch–Gordan coefficients shows that they are all real in the Condon–Shortley phase convention.

654:. This is physically interpreted as the square of the total angular momentum of the states on which the representation acts. 12887: 7990: 15247: 14510: 15714: 11144:

Care is needed when simplifying phase factors: a quantum number may be a half-integer rather than an integer, therefore

3936:

in increments of 1. As an example, consider the tensor product of the three-dimensional representation corresponding to

15015: 14996: 15364: 15345: 15304: 7563:{\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle } 67: 947: 910:

are chosen. From the commutation relations, the possible eigenvalues can be found. These eigenstates are denoted

3620:

such that the three nonnegative integer or half-integer values could correspond to the three sides of a triangle.

15615: 14578: 11161: 4551:

The coupled states can be expanded via the completeness relation (resolution of identity) in the uncoupled basis

15683: 15473: 1545: 884:{\displaystyle {\begin{aligned}&=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}} 585: 378: 126: 15759: 63: 15744: 15128:(Vols. I & II), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. 5273:{\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}} 5144:

to both sides of the defining equation shows that the Clebsch–Gordan coefficients can only be nonzero when

15646: 15224: 14530: 13109: 1936: 4426: 1896: 15754: 15173: 14935: 71: 7394:

The lower sign in the recursion relation can be used to find all the Clebsch–Gordan coefficients with

15641: 15466: 14667: 14613: 14588: 14514: 14513:

have been computed and tabulated because of their utility in characterizing hadronic decays, where a

1663: 36: 14762:

Zachos, C K (1992). "Altering the Symmetry of Wavefunctions in Quantum Algebras and Supersymmetry".

13162: 7416:

For an explicit expression of the Clebsch–Gordan coefficients and tables with numerical values, see

15662: 15104: 14598: 3849: 1505: 108:

of total angular momentum and projection thereof onto an axis, and the integrals correspond to the

13102:

Factorials of negative numbers are conventionally taken equal to zero, so that the values of the 3

680: 15552: 14487:{\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}} 11158:

unless it can be proven to be an integer. Instead, it is replaced by the following weaker rule:

3899: 3623:

The total number of total angular momentum eigenstates is necessarily equal to the dimension of

573:{\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .} 15510: 11126:

A convenient way to derive these relations is by converting the Clebsch–Gordan coefficients to

3972: 44: 15417: 1856: 1793: 15678: 14502: 6590:

Combining these results gives recursion relations for the Clebsch–Gordan coefficients, where

5358:{\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }} 4231: 3939: 1710: 138: 55: 15096: 1502:

In principle, one may also introduce a (possibly complex) phase factor in the definition of

15192: 15145: 15072: 15033: 14900: 14781: 4067: 4033: 1889:. We are then going to define a family of "total angular momentum" operators acting on the 1829: 1766: 162: 122: 8697:{\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.} 3800: 8: 15204: 15097: 14563: 14558: 3004: 1736:

Canonical commutation relation § Uncertainty relation for angular momentum operators

1340:{\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,} 97: 15196: 15149: 15076: 15037: 14904: 14785: 3093:{\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2}~.} 15489: 15062: 14981: 14955: 14929: 14916: 14890: 14797: 14771: 13675: 4013: 3829: 894: 101: 15395: 1479:{\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.} 15589: 15584: 15444: 15425: 15402: 15379: 15360: 15341: 15319: 15300: 15281: 15262: 15243: 15108: 15011: 14992: 14962: 14939: 11598: 11127: 4213:{\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.} 59: 40: 14920: 14801: 15693: 15515: 15200: 15174:"Review of Particle Physics: Clebsch-Gordan coefficients, spherical harmonics, and 15153: 15092: 15080: 15041: 14908: 14789: 14583: 4461:; and the number preceding the boldface irreducible representation dimensionality ( 581: 83: 3790:{\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.} 458:{\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).} 15709: 15610: 15557: 14988: 14608: 14568: 13208: 1728: 466: 386: 90: 15393:

Brink, D.M.; Satchler, G.R. (1993). "2. Representations of the Rotation Group".

15620: 15520: 15333: 15121: 14976: 14671: 11439:

canonical: it fails to take into account the rules that govern combinations of

4458: 1890: 75: 51: 15157: 14793: 15733: 14526: 479: 112: 109: 105: 14860: 13670:

In the case where integers are involved, the coefficients can be related to

7428:

These are most clearly written down by introducing the alternative notation

1666:

quantum numbers of a particle or of a system. On the other hand, the roman

15084: 11230:

is always an integer, so the stronger rule applies for these combinations:

5288: 2024: 741:{\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .} 15010:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, 15008:

Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction

1641:{\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.} 647:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)} 79: 15441:

Angular Momentum: Understanding Spatial Aspects in Chemistry and Physics

15439:

Zare, Richard N. (1988). "2. Coupling of Two Angular Momentum Vectors".

15067: 7334:{\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0} 15536: 15458: 15214: 14776: 14553: 14548: 14543: 14522: 11487:

that are related by a Clebsch-Gordan coefficient or Wigner 3-j symbol:

119: 47: 15220:

Downloadable Clebsch–Gordan Coefficient Calculator for Mac and Windows

15045: 14912: 7242:

In the Condon–Shortley phase convention, one adds the constraint that

1745:

We now consider systems with two physically different angular momenta

12873: 1236:

The raising and lowering operators can be used to alter the value of

15133: 472:

By developing this concept further, one can define another operator

14518: 13671: 11136:. The symmetry properties of Wigner 3-j symbols are much simpler. 4546: 3234:

eigenstates exist for the total angular momentum operator as well,

750: 54:

basis. In more mathematical terms, the CG coefficients are used in

15259:

Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles

14895: 14496: 5294:

Applying the total angular momentum raising and lowering operators

4895:. Note that some authors write them in a different order such as 584:. It is diagonal and its eigenvalue characterizes the particular 20: 15219: 950:, are complete, and satisfy the following eigenvalue equations, 16:

Coefficients in angular momentum eigenstates of quantum systems

4882:{\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle } 4104:

The total angular momentum states form an orthonormal basis of

15225:

Web interface for tabulating SU(N) Clebsch–Gordan coefficients

14531:

web interface for tabulating SU(N) Clebsch–Gordan coefficients

13095:{\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).} 7344:(and is therefore also real). The Clebsch–Gordan coefficients 897:

commute, a common set of eigenstates exists. Conventionally,

15053:

Kaeding, Thomas (1995). "Tables of SU(3) isoscalar factors".

14880: 14814: 94: 3193:{\displaystyle =i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,} 1544:. The choice made in this article is in agreement with the 4230:=1/2) to obtain the Clebsch-Gordan decomposition series, ( 2667:

Angular momentum operators are defined to act on states in

132: 100:

can be defined simply in terms of integrals of products of

12876:

in the denominator is non-negative, i.e. summation limits

11322:

It is useful to observe that any phase factor for a given

7405:. Repeated use of that equation gives all coefficients. 11457:

pairs such as the one described in the next paragraph.)

5727:

Applying the same operators to the right hand side gives

11580:

is reversed, or if any of them are substituted with an

8037:{\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|} 15215:

Clebsch–Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator

12979:{\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),} 11911: 11754: 7993: 1084: 1063: 15134:"The Octet model and its Clebsch-Gordan coefficients" 14961:. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 14371: 14037: 13684: 13218: 13165: 13112: 12992: 12890: 12868:

The summation is performed over those integer values

12079: 11612: 11493: 11346: 11236: 11164: 10130: 9715: 9238: 9017: 8749: 8574: 8329: 8050: 7578: 7434: 7251: 6983: 6611: 5733: 5371: 5300: 5287:

The recursion relations were discovered by physicist

5152: 5018: 4817: 4562: 4475: 4429: 4240: 4119: 4070: 4036: 4016: 3975: 3942: 3902: 3852: 3832: 3803: 3638: 3541: 3240: 3113: 3103:

The total angular momentum operators can be shown to

3036: 2836: 2682: 2384: 2195: 2033: 1939: 1899: 1859: 1832: 1796: 1769: 1713: 1554: 1508: 1358: 1248: 956: 788: 689: 594: 494: 395: 170: 93:

perspective, the CG coefficients associated with the

14928:

Condon, Edward U.; Shortley, G. H. (1970). "Ch. 3".

5365:

to the left hand side of the defining equation gives

3613:{\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},} 15242:. Schaum's Easy Oulines Crash Course. McGraw Hill. 15394: 15185:Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics 14980: 14954: 14486: 14351: 14020: 13665: 13655: 13191: 13151: 13094: 12978: 12857: 11989: 11563: 11413: 11293: 11195: 11116: 10110: 9689: 9202: 8971: 8696: 8528: 8301: 8036: 7979: 7562: 7333: 7234: 6957: 6579: 5719: 5357: 5272: 5134: 4881: 4785: 4535: 4449: 4415: 4212: 4090: 4056: 4022: 4002: 3961: 3928: 3888: 3838: 3818: 3789: 3612: 3499: 3192: 3092: 2981: 2822: 2659: 2323: 2161: 1992: 1925: 1881: 1845: 1818: 1782: 1719: 1640: 1536: 1478: 1339: 1226: 883: 740: 646: 572: 457: 358: 11592: 9988: 9786: 6565: 6319: 6156: 5942: 5291:from the Hebrew University of Jerusalem in 1941. 4361: 4340: 751:Spherical basis for angular momentum eigenstates 15731: 15294: 15237: 15171: 13202: 12999: 12897: 4547:Formal definition of Clebsch–Gordan coefficients 2189:-dimensional vector space spanned by the states 755:It can be shown from the above definitions that 43:. They appear as the expansion coefficients of 15636: 15373: 15023: 14825: 14497:Clebsch–Gordan coefficients for specific groups 11601:which have more convenient symmetry relations. 11301:This identity also holds if the sign of either 15424:. Vol. II. North Holland. pp. 507–. 15256: 14927: 14715: 12017:is due to the Condon–Shortley constraint that 6967:Taking the upper sign with the condition that 4222:These rules may be iterated to, e.g., combine 15474: 15418:"XIII. Angular Momentum in Quantum Mechanics" 15392: 14975: 14693: 14619:Angular momentum diagrams (quantum mechanics) 12070:This allows to reach the general expression: 11564:{\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1} 11460:An additional rule holds for combinations of 11203:for any angular-momentum-like quantum number 8323:the Clebsch–Gordan coefficients are given by 3969:with the two-dimensional representation with 3526:. Note that it is common to omit the part. 14446: 14407: 14322: 14264: 14261: 14217: 14015: 13957: 13954: 13910: 13646: 13588: 13585: 13527: 12142: 12084: 11675: 11617: 11571:This identity also holds if the sign of any 11414:{\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}} 11107: 11040: 10947: 10880: 10787: 10711: 10618: 10542: 10449: 10391: 10333: 10248: 10193: 10135: 9581: 9525: 9470: 9426: 9299: 9243: 9085: 9018: 8833: 8750: 8685: 8575: 8388: 8330: 8248: 8216: 8210: 8142: 8139: 8081: 8023: 8020: 7905: 7805: 7799: 7735: 7732: 7674: 7557: 7499: 7493: 7435: 7322: 7252: 7226: 7156: 7105: 7035: 6949: 6879: 6828: 6758: 6707: 6637: 6560: 6490: 6439: 6369: 6314: 6219: 6161: 6151: 6046: 5893: 5835: 5832: 5710: 5640: 5637: 5518: 5428: 4876: 4818: 4780: 4722: 4719: 4575: 4444: 4430: 4289: 4275: 3490: 3434: 3375: 3297: 2973: 2936: 2904: 2817: 2785: 2748: 2651: 2594: 2574: 2517: 2497: 2465: 2433: 2311: 2254: 2229: 2149: 2092: 2067: 1587: 1555: 1331: 1273: 1214: 1178: 1160: 1132: 1101: 1053: 1035: 985: 871: 847: 346: 326: 15332: 11597:Clebsch–Gordan coefficients are related to 11340:pair can be reduced to the canonical form: 3535:must satisfy the triangular condition that 3105:satisfy the very same commutation relations 82:, who encountered an equivalent problem in 15481: 15467: 15378:. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 15316:The Cambridge Handbook of Physics Formulas 15091: 14738: 11139: 7423: 3529:The total angular momentum quantum number 1347:where the ladder coefficient is given by: 15238:Zaarur, E.; Peleg, Y.; Pnini, R. (2006). 15066: 14894: 14775: 14442: 14421: 14417: 14413: 14318: 14299: 14288: 14277: 14257: 14245: 14234: 14230: 14011: 13992: 13981: 13970: 13950: 13938: 13927: 13923: 13816: 13642: 13623: 13612: 13601: 13581: 13562: 13551: 13540: 13305: 13274: 12138: 12119: 12108: 12097: 11671: 11652: 11641: 11630: 11096: 11077: 11073: 11053: 10936: 10901: 10890: 10886: 10767: 10741: 10730: 10717: 10598: 10570: 10566: 10555: 10445: 10426: 10415: 10404: 10320: 10292: 10281: 10261: 10189: 10170: 10159: 10148: 10026: 9962: 9951: 9924: 9824: 9773: 9762: 9735: 9577: 9546: 9542: 9538: 9466: 9447: 9443: 9439: 9295: 9264: 9260: 9256: 9081: 9053: 9042: 9031: 8829: 8785: 8774: 8763: 8655: 8610: 8599: 8588: 8384: 8365: 8354: 8343: 8239: 8222: 8201: 8177: 8166: 8155: 8128: 8117: 8106: 8087: 7891: 7880: 7866: 7840: 7829: 7818: 7785: 7774: 7760: 7741: 7728: 7709: 7698: 7687: 7553: 7534: 7523: 7512: 7482: 7471: 7460: 7441: 7318: 7287: 7276: 7265: 7222: 7191: 7180: 7169: 7101: 7082: 7071: 7048: 6945: 6914: 6903: 6892: 6824: 6805: 6794: 6771: 6691: 6672: 6661: 6650: 6556: 6525: 6514: 6503: 6435: 6416: 6405: 6382: 6303: 6292: 6281: 6215: 6196: 6185: 6174: 6128: 6117: 6106: 6035: 6024: 6001: 5889: 5870: 5859: 5848: 5821: 5810: 5799: 5694: 5675: 5664: 5653: 5626: 5615: 5604: 5502: 5498: 5484: 5424: 5420: 5406: 4872: 4853: 4842: 4831: 4776: 4757: 4746: 4735: 4708: 4697: 4686: 4571: 4145: 4128: 3486: 3482: 3468: 3430: 3426: 3412: 3371: 3367: 3353: 3293: 3289: 3275: 2962: 2925: 2893: 2882: 2871: 2806: 2774: 2737: 2726: 2715: 2486: 2454: 2422: 2411: 2400: 2218: 2056: 1578: 1561: 1315: 1269: 1156: 1128: 1031: 981: 615: 15488: 15131: 14836: 14517:-SU(3) symmetry exists that relates the 381:. Together the three operators define a 133:Review of the angular momentum operators 15415: 15295:Bransden, B.H.; Joachain, C.J. (1983). 15052: 14952: 14847: 14704: 11294:{\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1} 3011:) of the two representations acting on 1740: 15732: 15374:Biedenharn, L.C.; Louck, J.D. (1981). 15354: 14761: 12059:is due to the time-reversed nature of 10120: 7411: 5282: 15462: 15275: 15172:Nakamura, Kenzo; et al. (2010). 15103:(3rd ed.). John Wiley. pp. 14957:Angular Momentum in Quantum Mechanics 14594:Total angular momentum quantum number 15438: 15357:McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 15313: 15005: 14749: 14726: 14624:Clebsch–Gordan coefficient for SU(3) 14604:Table of Clebsch–Gordan coefficients 13152:{\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}} 11603: 7572:The first orthogonality relation is 7418:table of Clebsch–Gordan coefficients 4553: 2333:The tensor product of these spaces, 1993:{\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)} 1349: 15750:Representation theory of Lie groups 15376:Angular Momentum in Quantum Physics 15055:Atomic Data and Nuclear Data Tables 14858: 14361: 4450:{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor } 630: 627: 600: 597: 13: 15230: 14574:Tensor products of representations 14343: 14108: 14070: 13820: 13810: 13786: 13739: 5740: 5378: 5345: 5318: 5303: 5122: 5116: 5093: 5087: 5072: 5066: 5056: 5036: 5024: 4344: 3388: 3384: 3174: 3134: 3119: 1926:{\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}} 1251: 1114: 1110: 867: 859: 851: 816: 729: 725: 711: 707: 692: 556: 552: 536: 532: 516: 512: 443: 439: 428: 424: 413: 409: 342: 336: 330: 292: 255: 243: 228: 216: 198: 183: 14: 15771: 15401:(3rd ed.). Clarendon Press. 15257:Eisberg, R.; Resnick, R. (1985). 15165: 14629:Littlewood–Richardson coefficient 14511:SU(3) Clebsch-Gordan coefficients 6977:gives initial recursion relation: 6229: 5903: 5531: 5438: 3444: 3153: 1279: 1142: 271: 15340:(2nd ed.). VHC publishers. 8311: 7995: 4528: 4518: 4508: 4498: 4488: 4478: 4400: 4395: 4387: 4379: 4243: 3247: 3074: 3047: 3038: 2943: 2848: 2755: 2687: 1546:Condon–Shortley phase convention 963: 801: 588:of the angular momentum algebra 497: 397: 127:Condon–Shortley phase convention 15209:Partial update for 2012 edition 14852: 14841: 14830: 14819: 14579:Associated Legendre polynomials 13666:Relation to spherical harmonics 13199:are automatically set to zero. 12884:are taken equal: the lower one 12872:for which the argument of each 2993:denotes the identity operator. 2580: 2503: 1662:denote integer or half-integer 931:angular momentum quantum number 137:Angular momentum operators are 15684:Hanbury Brown and Twiss effect 15318:. Cambridge University Press. 15297:Physics of Atoms and Molecules 15205:10.1088/0954-3899/37/7A/075021 14808: 14755: 14743: 14732: 14720: 14709: 14698: 14687: 14642: 14435: 14431: 14422: 14392: 14382: 14346: 14340: 14311: 14250: 14210: 14195: 14184: 14162: 14159: 14137: 14111: 14105: 14073: 14067: 14004: 13943: 13903: 13888: 13877: 13855: 13852: 13830: 13813: 13807: 13789: 13783: 13742: 13736: 13635: 13574: 13478: 13460: 13415: 13397: 13346: 13327: 13192:{\displaystyle j_{1}<m_{1}} 13086: 13002: 12970: 12900: 12836: 12798: 12792: 12754: 12748: 12716: 12710: 12678: 12672: 12634: 12617: 12607: 12557: 12545: 12539: 12527: 12521: 12495: 12489: 12463: 12457: 12431: 12425: 12399: 12369: 12331: 12323: 12288: 12282: 12250: 12244: 12212: 12209: 12194: 12187: 12155: 12131: 11875: 11865: 11846: 11836: 11695: 11685: 11664: 11593:Relation to Wigner 3-j symbols 11550: 11511: 11504: 11494: 11406: 11380: 11357: 11347: 11280: 11254: 11247: 11237: 11212:Nonetheless, a combination of 11175: 11165: 11082: 11070: 11054: 10970: 10960: 10922: 10918: 10902: 10810: 10800: 10784: 10768: 10753: 10727: 10718: 10641: 10631: 10615: 10599: 10584: 10580: 10571: 10472: 10462: 10438: 10356: 10346: 10330: 10321: 10313: 10309: 10293: 10278: 10262: 10213: 10203: 10182: 9676: 9654: 9639: 9620: 9617: 9598: 9574: 9555: 9551: 9515: 9496: 9452: 9415: 9396: 9393: 9371: 9366: 9341: 9338: 9313: 9292: 9273: 9269: 9187: 9165: 9159: 9131: 9107: 9091: 9074: 9070: 9054: 8955: 8939: 8931: 8905: 8899: 8873: 8858: 8842: 8826: 8810: 8806: 8802: 8786: 8682: 8656: 8652: 8626: 8622: 8470: 8460: 8377: 8227: 8189: 8092: 8030: 8013: 7852: 7746: 7721: 7619: 7591: 7546: 7446: 7311: 7307: 7288: 7215: 7211: 7192: 7153: 7121: 7094: 7068: 7049: 7032: 7000: 6938: 6934: 6915: 6876: 6844: 6817: 6791: 6772: 6755: 6723: 6704: 6692: 6684: 6634: 6622: 6549: 6545: 6526: 6487: 6455: 6428: 6402: 6383: 6366: 6334: 6267: 6208: 6148: 6129: 6092: 6088: 6062: 6021: 6002: 5987: 5983: 5957: 5882: 5785: 5707: 5695: 5687: 5590: 5556: 5544: 5515: 5503: 5495: 5471: 5467: 5463: 5451: 5417: 5393: 5389: 5186: 5158: 4865: 4769: 4672: 4564: 4404: 4375: 4133: 3882: 3854: 3778: 3756: 3753: 3731: 3725: 3710: 3679: 3651: 3571: 3543: 3479: 3455: 3451: 3423: 3399: 3395: 3364: 3340: 3336: 3332: 3320: 3286: 3262: 3258: 3144: 3114: 2948: 2911: 2857: 2853: 2837: 2792: 2760: 2701: 2697: 2683: 2472: 2440: 2386: 2204: 2042: 1987: 1965: 1962: 1940: 1566: 1531: 1519: 1468: 1450: 1447: 1435: 1425: 1413: 1404: 1392: 1381: 1369: 1328: 1316: 1308: 1304: 1292: 1262: 1149: 1121: 1024: 1020: 1008: 974: 826: 796: 641: 635: 619: 605: 449: 404: 208: 178: 1: 14983:Quantum Mechanics: Symmetries 14874: 13203:Relation to Wigner D-matrices 4934:. Another common notation is 3889:{\displaystyle |j_{1}-j_{2}|} 3003:operators are defined by the 1537:{\displaystyle C_{\pm }(j,m)} 15740:Rotation in three dimensions 14931:The Theory of Atomic Spectra 14509:) are known. In particular, 7987:(derived from the fact that 7: 14826:Kaplan & Resnikoff 1967 14536: 12003: 11196:{\displaystyle (-1)^{4k}=1} 11152:for a given quantum number 11132: 6601: 4893:Clebsch–Gordan coefficients 4809:The expansion coefficients 4799: 3929:{\displaystyle j_{1}+j_{2}} 1492: 941:angular momentum projection 679:) operators, the so-called 72:irreducible representations 10: 15776: 14936:Cambridge University Press 14716:Condon & Shortley 1970 14635: 13206: 7415: 1733: 586:irreducible representation 62:, to perform the explicit 35:are numbers that arise in 15715:Creation and annihilation 15702: 15671: 15655: 15629: 15603: 15577: 15570: 15545: 15529: 15503: 15496: 15158:10.1103/RevModPhys.35.916 14979:; Müller, Berndt (1994). 14794:10.1142/S0217732392001270 14694:Greiner & Müller 1994 14589:Angular momentum coupling 4010:. The possible values of 4003:{\displaystyle j_{2}=1/2} 2676:in the following manner: 37:angular momentum coupling 15663:Transition dipole moment 15416:Messiah, Albert (1981). 15338:Encyclopaedia of Physics 15140:(Submitted manuscript). 15132:de Swart, J. J. (1963). 14764:Modern Physics Letters A 14681: 14668:orbital angular momentum 14599:Azimuthal quantum number 13106:symbol at, for example, 8044:) and the second one is 1882:{\displaystyle 2j_{2}+1} 1819:{\displaystyle 2j_{1}+1} 580:This is an example of a 15553:Anti-symmetric operator 15546:Operators for operators 15443:. Wiley. pp. 43–. 15261:(2nd ed.). Wiley. 15006:Hall, Brian C. (2015), 14953:Edmonds, A. R. (1957). 11140:Rules for phase factors 7424:Orthogonality relations 5010:Applying the operators 3962:{\displaystyle j_{1}=1} 1720:{\displaystyle \delta } 385:, a rank one Cartesian 118:The formulas below use 15336:; Trigg, G.L. (1991). 15085:10.1006/adnd.1995.1011 14533:is readily available. 14488: 14353: 14022: 13657: 13193: 13153: 13096: 12980: 12859: 12603: 11991: 11565: 11415: 11295: 11197: 11118: 10112: 9691: 9204: 8973: 8698: 8530: 8303: 8038: 7981: 7673: 7649: 7564: 7335: 7236: 6959: 6581: 5721: 5359: 5274: 5136: 4883: 4787: 4670: 4625: 4537: 4451: 4417: 4293: 4214: 4092: 4058: 4024: 4004: 3963: 3930: 3890: 3840: 3820: 3791: 3709: 3614: 3501: 3194: 3094: 2983: 2824: 2661: 2325: 2163: 2027:spanned by the states 1994: 1933:, which has dimension 1927: 1883: 1847: 1820: 1784: 1721: 1707:denote operators. The 1642: 1538: 1480: 1341: 1228: 885: 742: 648: 574: 465:It is also known as a 459: 360: 139:self-adjoint operators 45:total angular momentum 15355:Parker, C.B. (1994). 14614:Wigner–Eckart theorem 14503:special unitary group 14489: 14354: 14023: 13658: 13194: 13154: 13097: 12981: 12860: 12583: 11992: 11566: 11416: 11319:or both is reversed. 11296: 11198: 11119: 10113: 9692: 9205: 8974: 8699: 8531: 8304: 8039: 7982: 7650: 7579: 7565: 7336: 7237: 6960: 6582: 5722: 5360: 5275: 5137: 4884: 4788: 4626: 4581: 4538: 4452: 4418: 4259: 4215: 4093: 4091:{\displaystyle J=3/2} 4059: 4057:{\displaystyle J=1/2} 4025: 4005: 3964: 3931: 3891: 3841: 3821: 3792: 3639: 3615: 3502: 3195: 3095: 2984: 2825: 2662: 2326: 2164: 1995: 1928: 1884: 1848: 1846:{\displaystyle V_{2}} 1821: 1785: 1783:{\displaystyle V_{1}} 1722: 1643: 1539: 1481: 1342: 1229: 886: 743: 649: 575: 460: 361: 163:commutation relations 66:decomposition of the 56:representation theory 15760:Mathematical physics 15490:Operators in physics 14369: 14035: 13682: 13216: 13163: 13110: 12990: 12888: 12077: 11610: 11491: 11344: 11234: 11162: 10128: 9713: 9236: 9015: 8747: 8572: 8327: 8048: 7991: 7576: 7432: 7249: 6981: 6609: 5731: 5369: 5298: 5150: 5016: 4815: 4560: 4473: 4427: 4238: 4117: 4068: 4034: 4014: 3973: 3940: 3900: 3850: 3830: 3819:{\displaystyle 2J+1} 3801: 3636: 3539: 3238: 3111: 3034: 2834: 2680: 2382: 2193: 2031: 1937: 1897: 1857: 1830: 1826:and also on a space 1794: 1767: 1741:Tensor product space 1711: 1650:Here the italicized 1552: 1506: 1356: 1246: 954: 786: 687: 657:One can also define 592: 492: 393: 168: 15745:Rotational symmetry 15197:2010JPhG...37g5021N 15150:1963RvMP...35..916D 15077:1995ADNDT..61..233K 15038:1967JMP.....8.2194K 14905:2011JMP....52b3507A 14786:1992MPLA....7.1595Z 14564:Spherical harmonics 14559:Racah W-coefficient 14339: 14104: 14066: 13806: 13773: 13726: 13676:spherical harmonics 13459: 13396: 13326: 13298: 13264: 13243: 11148:is not necessarily 10121:Symmetry properties 7974: 7941: 7904: 7879: 7798: 7773: 7412:Explicit expression 5283:Recursion relations 895:Hermitian operators 565: 545: 525: 102:spherical harmonics 15689:Quantum correlator 15276:Abers, E. 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