9163:
8460:
9158:{\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {2\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)\,dx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\={}&\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}
6051:
12974:
5645:
12210:
14908:
1179:
1167:
6046:{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {\pi -y}{2}}\right)=\sin {\frac {y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad &\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )+2\int _{\pi }^{\pi -\theta }\log \left|2\sin {\frac {y}{2}}\right|\,dy\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )+2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi )\end{aligned}}}
12969:{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left}{(kp+1)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left}{(kp+2)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left}{(kp+3)^{2m}}}+\cdots \\&\cdots +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left}{(kp+p-2)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left}{(kp+p-1)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left}{(kp+p)^{2m}}}\end{aligned}}}
14159:
13366:
5170:
18487:
18258:
5481:
34:
18039:
17817:
10446:
17605:
17010:
17393:
11243:
10752:
14903:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k)q}}{((2k)+(j/p))^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k+1)q}}{((2k+1)+(j/p))^{2m}}}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+(j/p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1+(j/p))^{2m}}}\\={}&{\frac {1}{2^{p}}}\left\end{aligned}}}
10985:
6939:
6469:
6698:
7162:
12985:
4906:
481:
14140:
18264:
18045:
5232:
17823:
17611:
10206:
17399:
9540:
9378:
16710:
17204:
10991:
7773:
16627:
10524:
7381:
8095:
10763:
6704:
6240:
18677:
9936:
18882:
13361:{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left}{(kp+j)^{2m}}}\right\}\\={}&\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left}{(k+(j/p))^{2m}}}\right\}\end{aligned}}}
11557:
6475:
15586:
6945:
3338:
19519:
11831:
21153:
5165:{\displaystyle {\begin{aligned}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|\left(2\sin {\frac {x}{4}}\right)\left(2\cos {\frac {x}{4}}\right)\right|\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{4}}\right|\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{4}}\right|\,dx\end{aligned}}}
20406:
21717:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 1005.
284:
9750:
18482:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)}
18253:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)}
7613:
13912:
13660:
5476:{\displaystyle {\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\end{aligned}}}
2698:
18034:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)}
3653:
17812:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)}
6220:
21657:
2522:
21518:
10441:{\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}}
3198:
13785:
10191:
17600:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}
3747:
2142:
12093:
15746:
10068:
4254:
4149:
15963:
4044:
3939:
3489:
3085:
2320:
21003:
20087:
9389:
20881:
19754:
19329:
17005:{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.}
225:
9213:
4827:
17388:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}
11238:{\displaystyle \operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}
16143:
19000:
10747:{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}}
7624:
21269:
7892:
1847:
1737:
1627:
1517:
19859:
16455:
21382:
19958:
7177:
10980:{\displaystyle \operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}
1375:
1283:
7903:
6934:{\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}
20597:
6464:{\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}
991:
4670:
8195:
6693:{\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}
843:
16263:
19180:
18502:
9761:
7157:{\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )}
704:
18692:
11263:
15295:
3204:
19335:
2984:
1073:
20757:
The examples listed below follow directly from the integral representation of the
Clausen function, and the proofs require little more than basic trigonometry, integration by parts, and occasional term-by-term integration of the
15082:
11568:
1144:
21009:
19070:
15825:
20254:
20248:
8465:
476:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots }
8387:
14135:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\sin \left({\frac {qj\pi }{p}}\right)\,\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}\right\}}
9596:
17198:
17143:
7433:
3550:
13466:
8303:
2910:
2528:
3558:
6111:
4898:
4448:
21524:
2370:
21388:
13901:
3091:
13666:
13458:
10509:
10074:
912:
770:
3659:
1952:
11970:
15611:
14164:
12990:
12215:
9963:
5650:
5637:
5237:
4911:
4155:
4050:
1894:
15844:
6100:
3945:
3840:
3390:
16427:
2990:
15280:
2148:
20887:
9535:{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box }
19964:
5557:
14947:
9373:{\displaystyle \int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}
4491:
20768:
20129:
19637:
19186:
125:
4724:
2796:
264:
16001:
7768:{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}
16021:
3378:
18898:
2362:
569:
16669:
16622:{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}
486:
The
Clausen functions, as a class of functions, feature extensively in many areas of modern mathematical research, particularly in relation to the evaluation of many classes of
21159:
11962:
8452:
7793:
1743:
1633:
1523:
1413:
16341:
7376:{\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left=-\log \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\right|=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )}
19760:
16384:
21275:
20752:
20721:
19865:
5224:
4704:
4291:
16299:
11257:. Indeed, it is possible to express Clausen functions as linear combinations of sine functions and polygamma functions. One such relation is shown here, and proven below:
9205:
8090:{\displaystyle \int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg |}_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=}
2742:
604:
17048:
9580:
7425:
3772:
1936:
20686:
20634:
A large number of trigonometric and logarithmo-trigonometric integrals can be evaluated in terms of the
Clausen function, and various common mathematical constants like
1289:
1197:
19617:
19551:
16698:
12168:
12134:
20412:
19584:
12203:
11920:
919:
540:
20620:
18672:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}
9931:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}
4498:
20654:
18877:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}}
11890:
11868:
11552:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left.}
8101:
3832:
777:
16154:
15581:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left}
19076:
3333:{\displaystyle \operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}.}
611:
19514:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)}
16148:
though the name "Lobachevsky function" is not quite historically accurate, as
Lobachevsky's formulas for hyperbolic volume used the slightly different function
3795:
20161:
2921:
1002:
11826:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left.}
14959:
21148:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\tan x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}
1079:
20401:{\displaystyle \int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2),}
19006:
15757:
21964:
Kalmykov, Mikahil Yu.; Sheplyakov, A. (2005). "LSJK – a C++ library for arbitrary-precision numeric evaluation of the generalized log-sine integral".
21762:
20169:
9745:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}
8311:
7608:{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}}
13655:{\displaystyle \sin \left=\sin \left(kq\pi +{\frac {qj\pi }{p}}\right)=\sin kq\pi \cos {\frac {qj\pi }{p}}+\cos kq\pi \sin {\frac {qj\pi }{p}}}
17149:
17094:
3501:
2693:{\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}
8203:
3648:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {K}{2}}}
2804:
21817:
6215:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )\,.\,\Box }
21652:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\sin x)\,dx=-2K+2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)-\theta \log 2}
2517:{\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}
21513:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\sin x)\,dx=2K-2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)-\theta \log 2}
3193:{\displaystyle \operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}},}
4839:
4298:
21890:
13780:{\displaystyle \sin m\pi \equiv 0,\quad \,\cos m\pi \equiv (-1)^{m}\quad \Longleftrightarrow m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\ldots }
13791:
490:
and polylogarithmic integrals, both definite and indefinite. They also have numerous applications with regard to the summation of
10186:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0}
4453:
Use of the generalized duplication formula allows for an extension of the result for the
Clausen function of order 2, involving
14149:
in the double sum into a non-alternating sum, split in two in parts in exactly the same way as the earlier sum was split into
13378:
3742:{\displaystyle 2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}
2137:{\displaystyle B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi )^{2n-1}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}.}
21722:
12088:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(kq\pi /p)}{k^{2m}}}}
10457:
7168:
851:
15741:{\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}
10063:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1}
4249:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )}
4144:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )}
712:
15958:{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}
4039:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )}
3934:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )}
3484:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )}
5562:
3080:{\displaystyle \operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}},}
2315:{\displaystyle B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}.}
1859:
20998:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\cos x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\theta \log 2}
6059:
16393:
21829:
20082:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}
15097:
20876:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\sin x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-\theta \log 2}
19749:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}
19324:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)}
5489:
3752:
For higher order
Clausen functions, duplication formulae can be obtained from the one given above; simply replace
220:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:}
14916:
4822:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}
4460:
20095:
61:
2750:
274:
sign remains strictly positive, so the absolute value signs may be omitted. The
Clausen function also has the
233:
22044:
16138:{\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2}
15971:
18995:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0}
18493:
1901:
495:
21264:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )-\theta \log 2}
7887:{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx}
3351:
1842:{\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}}
1732:{\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}}
1622:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}}
1512:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}}
2328:
545:
19854:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}
16635:
21678:
11925:
8395:
2364:
in the above, and then rearranging the terms gives the following closed form (polynomial) expressions:
21377:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-\theta \log 2}
19953:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}
16304:
16354:
20726:
20695:
19631:
The following integrals are easily proven from the series representations of the
Clausen function:
7784:
7392:
5178:
4678:
4262:
1370:{\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}}
1278:{\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}}
89:
16276:
9171:
2709:
574:
21837:"Massless one-loop scalar three-point integral and associated Clausen, Glaisher, and L-functions"
21836:
20592:{\displaystyle \int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left.}
19554:
17018:
9553:
7398:
4707:
3755:
1919:
105:
20663:
986:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots }
21757:
20623:
19593:
19587:
19527:
16674:
12139:
12105:
10515:
4665:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left=\beta (2m)}
101:
73:
19560:
12177:
8190:{\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx}
838:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots }
21712:
20657:
20092:
Fourier-analytic methods can be used to find the first moments of the square of the function
19620:
16701:
16430:
16258:{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2.}
11895:
4454:
3495:
2704:
1939:
1389:
521:
491:
97:
69:
20605:
19175:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)}
699:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots }
21983:
21927:
21905:
21878:
21810:
21740:
20637:
17055:
16434:
11873:
11851:
3800:
81:
9953:
The
Clausen functions represent the real and imaginary parts of the polylogarithm, on the
8:
16446:
11562:
An immediate corollary is this equivalent formula in terms of the
Hurwitz zeta function:
21987:
21931:
21909:
17054:. Both forms are obtainable through the types of resummation techniques used to obtain
11964:, then, by the series definition for the higher order Clausen function (of even index):
3380:, the duplication formula can be proven directly from the integral definition (see also
2979:{\displaystyle \operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}},}
1068:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}
22021:
21973:
21950:
18683:
17082:
14950:
11254:
3780:
503:
499:
119:
Clausen function, despite being but one of a class of many – is given by the integral:
93:
27:
26:"Log cosine function" redirects here. For the historically used compound function, see
21918:
21801:
21784:
20134:
15077:{\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+z)^{m+1}}}}
21869:
21848:
21825:
21771:
21744:
21728:
21718:
21700:
17071:
9583:
2745:
77:
19:"Log sine function" redirects here. For the historically used compound function, see
22003:
Borwein, Jonathan M.; Straub, Armin (2013). "Relations for Nielsen Polylogarithms".
22008:
21991:
21949:
Adamchik, Viktor. S. (2003). "Contributions to the Theory of the Barnes Function".
21913:
21886:
21864:
21796:
21683:
17075:
1139:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}
20:
21708:
12102:-parts, so that the first series contains all, and only, those terms congruent to
21923:
21874:
21806:
21736:
21714:
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
19065:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)}
15820:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )}
15751:
In this generalized notation, the Clausen function can be expressed in the form:
21687:
20759:
9587:
6231:
3775:
1943:
1404:
275:
271:
22012:
21995:
996:
The following properties are immediate consequences of the series definition:
22038:
21775:
20689:
20243:{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),}
13372:
10197:
4833:
267:
85:
8382:{\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy}
21704:
16387:
15835:
3552:, immediate consequences of the duplication formula include the relations:
1388:>1. The definition may be extended to all of the complex plane through
9954:
1178:
1166:
53:
16015:Λ or Л is essentially the same function with a change of variable:
9582:, the Clausen function of second order can be expressed in terms of the
9168:
Finally, as with the proof of the Duplication formula, the substitution
21978:
21955:
17193:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=V}
17138:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}
3545:{\displaystyle K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}
21676:
István, Mező (2020). "Log-sine integrals and alternating Euler sums".
20629:
16386:
can be understood to represent a periodic orbit of an element in the
8298:{\displaystyle x=\tan y,\,y=\tan ^{-1}x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2}}}\,}
487:
76:
of a single variable. It can variously be expressed in the form of a
21748:
2905:{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}.}
7618:
It has the following closed form in terms of the Clausen function:
1191:
More generally, one defines the two generalized Clausen functions:
22026:
22020:
Mathar, R. J. (2013). "A C99 implementation of the Clausen sums".
10196:
This is easily seen by appealing to the series definition of the
7778:
6225:
21732:
33:
18892:
Some special values for higher order Clausen functions include
15596:
84:, and various other forms. It is intimately connected with the
4893:{\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}
4443:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}\left}
21758:"Über die Function sin φ + (1/2) sin 2φ + (1/3) sin 3φ + etc"
13896:{\displaystyle \sin \left=(-1)^{kq}\sin {\frac {qj\pi }{p}}}
518:(of order 2) has simple zeros at all (integer) multiples of
7386:
21891:"Computational Strategies for the Riemann Zeta Function"
13453:{\displaystyle \,\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\,}
1907:
21824:(1991) American Mathematical Society, Providence, RI.
16006:
10504:{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
907:{\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad }
21103:
21063:
20938:
20822:
15545:
15479:
15426:
15239:
15173:
11786:
11725:
11678:
11513:
11447:
11394:
11253:
The Clausen functions are intimately connected to the
765:{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad }
21527:
21391:
21278:
21162:
21012:
20890:
20771:
20729:
20698:
20666:
20640:
20608:
20415:
20257:
20172:
20137:
20098:
19967:
19868:
19763:
19640:
19596:
19563:
19530:
19338:
19189:
19079:
19009:
18901:
18695:
18505:
18267:
18048:
17826:
17614:
17402:
17207:
17152:
17097:
17021:
16713:
16677:
16638:
16458:
16396:
16357:
16307:
16279:
16157:
16024:
15974:
15847:
15760:
15614:
15298:
15100:
15087:
So, in terms of the polygamma function, the previous
14962:
14919:
14162:
13915:
13794:
13669:
13469:
13381:
12988:
12213:
12180:
12142:
12108:
11973:
11928:
11898:
11876:
11854:
11571:
11266:
11248:
10994:
10766:
10527:
10460:
10209:
10077:
9966:
9764:
9599:
9556:
9545:
9392:
9216:
9174:
8463:
8398:
8314:
8206:
8104:
7906:
7796:
7627:
7436:
7401:
7180:
6948:
6707:
6478:
6243:
6114:
6062:
5648:
5565:
5492:
5235:
5181:
4909:
4842:
4727:
4681:
4501:
4463:
4301:
4265:
4158:
4053:
3948:
3843:
3803:
3783:
3758:
3662:
3561:
3504:
3393:
3354:
3207:
3094:
2993:
2924:
2915:
Explicit evaluations derived from the above include:
2807:
2753:
2712:
2531:
2373:
2331:
2151:
1955:
1922:
1862:
1746:
1636:
1526:
1416:
1292:
1200:
1082:
1005:
922:
854:
780:
715:
614:
577:
548:
524:
287:
236:
128:
16268:
21849:"Chebyshev coefficients for the Clausen function Cl
19626:
5632:{\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}
4713:
21963:
21889:; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000).
21651:
21512:
21376:
21263:
21147:
20997:
20875:
20746:
20715:
20680:
20648:
20630:Integral evaluations involving the direct function
20614:
20591:
20400:
20242:
20155:
20123:
20081:
19952:
19853:
19748:
19611:
19578:
19545:
19513:
19323:
19174:
19064:
18994:
18876:
18671:
18481:
18252:
18033:
17811:
17599:
17387:
17192:
17137:
17042:
17004:
16692:
16663:
16621:
16421:
16378:
16335:
16293:
16257:
16137:
15995:
15957:
15819:
15740:
15580:
15274:
15076:
14941:
14902:
14134:
13895:
13779:
13654:
13452:
13360:
12968:
12197:
12162:
12136:the second series contains all terms congruent to
12128:
12087:
11956:
11914:
11884:
11862:
11825:
11551:
11237:
10979:
10746:
10503:
10440:
10185:
10062:
9930:
9744:
9574:
9534:
9372:
9199:
9157:
8446:
8392:For that last integral, apply the transform :
8381:
8297:
8189:
8089:
7886:
7767:
7607:
7419:
7375:
7156:
6933:
6692:
6463:
6214:
6094:
6045:
5631:
5551:
5475:
5218:
5164:
4892:
4821:
4698:
4664:
4485:
4442:
4285:
4248:
4143:
4038:
3933:
3826:
3789:
3766:
3741:
3647:
3544:
3483:
3372:
3332:
3192:
3079:
2978:
2904:
2790:
2736:
2692:
2516:
2356:
2314:
2136:
1930:
1889:{\displaystyle \operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,}
1888:
1841:
1731:
1621:
1511:
1369:
1277:
1138:
1067:
985:
906:
837:
764:
698:
598:
563:
534:
475:
258:
219:
19590:(also called the alternating zeta function), and
7998:
6095:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,}
2867:
2854:
22036:
21699:
16422:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )}
9948:
21763:Journal für die reine und angewandte Mathematik
16429:can be expressed as a simple sum involving the
15275:{\displaystyle {\frac {1}{2^{2m}(2m-1)!}}\left}
21885:
17059:
12979:We can index these sums to form a double sum:
12174:-th part, that contain all terms congruent to
7779:Proof of the inverse tangent integral relation
6226:Derivatives of general-order Clausen functions
3384:for the result – although no proof is given):
1946:representations of the Bernoulli polynomials:
22002:
21835:Lu, Hung Jung; Perez, Christopher A. (1992).
21785:"Efficient calculation of Clausen's integral"
18887:
18869:
18832:
16704:. A more rapidly convergent form is given by
3834:Applying the same process repeatedly yields:
1399:is replaced with a non-negative integer, the
17050:approaches zero rapidly for large values of
15597:Relation to the generalized logsine integral
5552:{\displaystyle y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy}
14942:{\displaystyle \,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,}
6234:expansions for the Clausen functions give:
4486:{\displaystyle \,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,}
20124:{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)}
4273:
494:, summations involving the inverse of the
22025:
21977:
21954:
21917:
21868:
21800:
21570:
21434:
21321:
21205:
21049:
20927:
20808:
20743:
20730:
20712:
20699:
20677:
20667:
20645:
20641:
20468:
20303:
20215:
20014:
19909:
19810:
19681:
16204:
16092:
15731:
15449:
15393:
14938:
14928:
14920:
14807:
14601:
14031:
13773:
13763:
13753:
13743:
13692:
13449:
13382:
12194:
12181:
12159:
12143:
12125:
12109:
11953:
11929:
11911:
11899:
11881:
11877:
11859:
11855:
11701:
11645:
11417:
11361:
11105:
10865:
10694:
10173:
10050:
9528:
9524:
9270:
9196:
9141:
9001:
8928:
8826:
8685:
8550:
8443:
8419:
8372:
8294:
8254:
8225:
8180:
8077:
7994:
7956:
7877:
7505:
7301:
7294:
6208:
6204:
6175:
6146:
6091:
6016:
5981:
5952:
5931:
5846:
5825:
5746:
5530:
5511:
5462:
5383:
5362:
5299:
5209:
5151:
5088:
5012:
4812:
4695:
4682:
4482:
4472:
4464:
4266:
3823:
3804:
3763:
3759:
2787:
2754:
2733:
2713:
2353:
2332:
2250:
2066:
1927:
1923:
1885:
897:
755:
692:
682:
672:
662:
560:
556:
531:
255:
207:
21948:
16433:. This allows relations between certain
13460:the sine term in the numerator becomes:
9942:
7387:Relation to the inverse tangent integral
2791:{\displaystyle \,B_{n}\equiv B_{n}(0)\,}
259:{\displaystyle 0<\varphi <2\pi \,}
32:
21834:
21822:Structural Properties of Polylogarithms
21755:
15996:{\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }
3381:
1942:. This connection is apparent from the
1150:
65:
16:Transcendental single-variable function
22037:
22019:
21846:
21675:
20762:definitions of the Clausen functions.
17015:Convergence is aided by the fact that
16440:
13371:Applying the addition formula for the
4832:Apply the duplication formula for the
4259:And more generally, upon induction on
3343:
16449:for the Clausen function is given by
7169:First Fundamental Theorem Of Calculus
5559:, and use the trigonometric identity
1908:Relation to the Bernoulli polynomials
1896:and are sometimes referred to as the
1156:
21782:
18494:Barnes G-function reflection formula
16007:Relation to the Lobachevsky function
15830:
7783:From the integral definition of the
3373:{\displaystyle 0<\theta <\pi }
7897:Performing an integration by parts
2357:{\displaystyle \,x=\theta /2\pi \,}
564:{\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,}
509:
13:
18849:
18837:
18800:
18610:
18392:
18168:
17951:
17734:
17527:
17327:
16911:
16664:{\displaystyle |\theta |<2\pi }
16537:
16214:
16025:
15788:
15617:
15032:
14824:
14729:
14618:
14523:
14390:
14279:
14186:
14053:
13248:
13078:
12872:
12751:
12630:
12505:
12396:
12287:
12032:
11249:Relation to the polygamma function
11122:
11057:
10882:
10823:
10711:
10655:
10403:
10337:
10251:
10112:
9995:
9869:
9546:Relation to the Barnes' G-function
7531:
7090:
7029:
6852:
6788:
6623:
6559:
6385:
6324:
3797:, and integrate over the interval
2858:
2267:
2083:
1797:
1687:
1577:
1467:
1334:
1294:
1242:
1202:
329:
14:
22056:
22007:. Vol. 193. pp. 74–88.
21802:10.1090/S0025-5718-1968-0239733-9
17065:
16269:Relation to Dirichlet L-functions
11957:{\displaystyle \,0<q/p<1\,}
8447:{\displaystyle y=x/2,\,dy=dx/2\,}
1938:, and are closely related to the
21669:
19627:Integrals of the direct function
16336:{\displaystyle \theta /\pi =p/q}
11892:be positive integers, such that
4714:Proof of the duplication formula
1177:
1165:
21847:Kölbig, Kurt Siegfried (1995).
20688:, and the special cases of the
13727:
13691:
12098:We split this sum into exactly
10598:
10280:
10165:
10042:
5712:
886:
744:
649:
21567:
21549:
21431:
21413:
21356:
21350:
21318:
21300:
21243:
21231:
21202:
21184:
21142:
21127:
21096:
21087:
21046:
21034:
20977:
20962:
20924:
20912:
20855:
20846:
20805:
20793:
20740:
20734:
20709:
20703:
20555:
20536:
20524:
20505:
20465:
20459:
20392:
20373:
20361:
20342:
20300:
20294:
20234:
20228:
20212:
20206:
20150:
20138:
20118:
20112:
20076:
20070:
20042:
20027:
20011:
20005:
19947:
19941:
19906:
19900:
19848:
19842:
19807:
19801:
19743:
19737:
19709:
19694:
19678:
19672:
19606:
19600:
19573:
19567:
19540:
19534:
19508:
19493:
19429:
19414:
19318:
19303:
19245:
19230:
19218:
19212:
19169:
19154:
19145:
19136:
19108:
19102:
19059:
19050:
18983:
18974:
18952:
18946:
18924:
18918:
18864:
18852:
18846:
18840:
18809:
18803:
18775:
18769:
18761:
18749:
18721:
18709:
18686:for the gamma function, then,
18619:
18613:
18585:
18579:
18571:
18559:
18531:
18519:
17088:. Some special values include
17031:
17025:
16960:
16945:
16931:
16922:
16774:
16766:
16736:
16730:
16687:
16681:
16648:
16640:
16580:
16565:
16557:
16548:
16514:
16506:
16481:
16475:
16416:
16410:
16379:{\displaystyle \sin(n\theta )}
16373:
16364:
16237:
16217:
16200:
16196:
16190:
16180:
16124:
16115:
16088:
16084:
16078:
16065:
16034:
16028:
15952:
15946:
15916:
15901:
15892:
15886:
15877:
15861:
15814:
15808:
15780:
15774:
15643:
15637:
15512:
15502:
15384:
15369:
15357:
15347:
15206:
15196:
15135:
15120:
15056:
15043:
14995:
14985:
14979:
14973:
14953:has the series representation
14876:
14835:
14798:
14788:
14770:
14766:
14749:
14740:
14665:
14661:
14647:
14629:
14592:
14582:
14564:
14560:
14546:
14534:
14479:
14475:
14461:
14455:
14440:
14437:
14427:
14412:
14408:
14398:
14356:
14352:
14338:
14332:
14323:
14320:
14310:
14301:
14297:
14287:
14245:
14241:
14227:
14218:
14204:
14194:
14112:
14108:
14094:
14085:
14071:
14061:
13857:
13847:
13821:
13806:
13728:
13718:
13708:
13496:
13481:
13401:
13389:
13334:
13330:
13316:
13307:
13282:
13267:
13153:
13137:
13112:
13097:
12947:
12931:
12906:
12891:
12838:
12816:
12791:
12770:
12717:
12695:
12670:
12649:
12580:
12564:
12539:
12524:
12471:
12455:
12430:
12415:
12362:
12346:
12321:
12306:
12066:
12046:
11759:
11749:
11630:
11620:
11480:
11470:
11352:
11337:
11325:
11315:
11232:
11226:
11195:
11189:
10974:
10968:
10943:
10937:
10599:
10556:
10528:
10281:
10229:
10223:
10159:
10156:
10140:
10115:
10106:
10100:
10036:
10033:
10017:
9998:
9989:
9983:
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9872:
9844:
9838:
9830:
9818:
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9778:
9685:
9673:
9665:
9653:
9625:
9613:
9521:
9506:
9477:
9468:
9418:
9406:
9367:
9352:
9333:
9327:
9308:
9293:
9207:reduces that last integral to
9193:
9181:
9072:
9063:
8816:
8802:
8788:
8774:
8675:
8661:
8650:
8636:
8369:
8357:
7822:
7810:
7762:
7747:
7718:
7709:
7680:
7668:
7653:
7641:
7593:
7577:
7546:
7536:
7456:
7450:
7370:
7364:
7215:
7209:
7151:
7145:
6992:
6986:
6928:
6922:
6751:
6745:
6687:
6681:
6522:
6516:
6458:
6452:
6287:
6281:
6230:Direct differentiation of the
6201:
6189:
6166:
6160:
6137:
6128:
6082:
6076:
6036:
6030:
6007:
5995:
5972:
5966:
5866:
5860:
5766:
5760:
5737:
5728:
5709:
5584:
5572:
5403:
5397:
4750:
4741:
4718:From the integral definition,
4692:
4686:
4659:
4650:
4432:
4420:
4392:
4382:
4376:
4370:
4330:
4321:
4243:
4231:
4209:
4203:
4181:
4172:
4138:
4126:
4104:
4098:
4076:
4067:
4033:
4021:
3999:
3993:
3971:
3962:
3928:
3916:
3894:
3888:
3866:
3857:
3817:
3805:
3478:
3466:
3444:
3438:
3416:
3407:
3227:
3221:
3114:
3108:
3013:
3007:
2944:
2938:
2824:
2818:
2784:
2778:
2730:
2724:
2636:
2621:
2598:
2588:
2579:
2569:
2560:
2554:
2466:
2457:
2440:
2430:
2415:
2405:
2396:
2390:
2235:
2225:
2217:
2208:
2193:
2183:
2171:
2165:
2045:
2035:
2027:
2012:
2003:
1993:
1981:
1975:
1882:
1876:
1856:have the alternative notation
1775:
1769:
1665:
1659:
1555:
1549:
1445:
1439:
1312:
1306:
1220:
1214:
1133:
1127:
1105:
1096:
1062:
1056:
1037:
1019:
901:
887:
759:
745:
637:
628:
307:
301:
148:
142:
37:Graph of the Clausen function
1:
21919:10.1016/s0377-0427(00)00336-8
21662:
20747:{\displaystyle \,\zeta (3)\,}
20716:{\displaystyle \,\zeta (2)\,}
15838:and Rogers give the relation
9949:Relation to the polylogarithm
5219:{\displaystyle x=2y,dx=2\,dy}
4699:{\displaystyle \,\beta (x)\,}
4286:{\displaystyle \,m,\;m\geq 1}
1403:are defined by the following
21870:10.1016/0377-0427(95)00150-6
20544:
20513:
20381:
20350:
18682:Equivalently, using Euler's
16294:{\displaystyle \theta /\pi }
15285:Plugging this back into the
10514:and by de Moivre's Theorem (
9200:{\displaystyle x=(\pi -y)\,}
2744:are defined in terms of the
2737:{\displaystyle \,B_{n}(x)\,}
1902:James Whitbread Lee Glaisher
1380:which are valid for complex
599:{\displaystyle \sin k\pi =0}
496:central binomial coefficient
7:
17043:{\displaystyle \zeta (n)-1}
9575:{\displaystyle 0<z<1}
7420:{\displaystyle 0<z<1}
7395:is defined on the interval
5486:On that last integral, set
3767:{\displaystyle \,\theta \,}
1931:{\displaystyle \,\theta \,}
113:Clausen function of order 2
10:
22061:
21688:10.1007/s10474-019-00975-w
21679:Acta Mathematica Hungarica
20681:{\displaystyle \,\log 2\,}
18888:Generalized special values
15289:gives the desired result:
1904:, hence the GL-notation).
1898:Glaisher–Clausen functions
1401:standard Clausen functions
1184:Glaisher–Clausen functions
1172:Standard Clausen functions
25:
18:
22013:10.1016/j.jat.2013.07.003
21996:10.1016/j.cpc.2005.04.013
19612:{\displaystyle \zeta (x)}
19546:{\displaystyle \beta (x)}
16693:{\displaystyle \zeta (s)}
12163:{\displaystyle \,kp+2,\,}
12129:{\displaystyle \,kp+1,\,}
1854:SL-type Clausen functions
21756:Clausen, Thomas (1832).
19579:{\displaystyle \eta (x)}
15605:integral is defined by:
12198:{\displaystyle \,kp+p\,}
7785:inverse tangent integral
7393:inverse tangent integral
1914:SL-type Clausen function
90:inverse tangent integral
19555:Dirichlet beta function
16437:to be easily computed.
16273:For rational values of
11915:{\displaystyle \,q/p\,}
8200:Apply the substitution
5175:Apply the substitution
4708:Dirichlet beta function
535:{\displaystyle \pi ,\,}
115:– often referred to as
106:Dirichlet beta function
21653:
21514:
21378:
21265:
21149:
20999:
20877:
20748:
20717:
20682:
20650:
20624:multiple zeta function
20616:
20615:{\displaystyle \zeta }
20593:
20402:
20244:
20157:
20125:
20083:
19954:
19855:
19750:
19613:
19588:Dirichlet eta function
19580:
19547:
19515:
19325:
19176:
19066:
18996:
18878:
18673:
18483:
18254:
18035:
17813:
17601:
17389:
17194:
17139:
17044:
17006:
16915:
16694:
16665:
16623:
16541:
16423:
16380:
16337:
16295:
16259:
16139:
15997:
15959:
15821:
15742:
15582:
15414:
15276:
15078:
15036:
14943:
14904:
14828:
14733:
14622:
14527:
14394:
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14190:
14136:
14057:
13978:
13897:
13781:
13656:
13454:
13362:
13252:
13206:
13082:
13056:
12970:
12876:
12755:
12634:
12509:
12400:
12291:
12199:
12170:etc., up to the final
12164:
12130:
12089:
12036:
11958:
11916:
11886:
11864:
11827:
11666:
11553:
11382:
11239:
11126:
11061:
10981:
10886:
10827:
10748:
10715:
10659:
10505:
10442:
10407:
10341:
10255:
10187:
10064:
9932:
9746:
9576:
9536:
9374:
9201:
9159:
8448:
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8091:
7888:
7769:
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7535:
7421:
7377:
7158:
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6935:
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6465:
6389:
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4287:
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3768:
3743:
3649:
3546:
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3374:
3334:
3194:
3081:
2980:
2906:
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2792:
2738:
2694:
2518:
2358:
2316:
2271:
2138:
2087:
1932:
1890:
1843:
1801:
1733:
1691:
1623:
1581:
1513:
1471:
1371:
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1279:
1246:
1140:
1069:
987:
908:
839:
766:
700:
600:
565:
536:
477:
333:
260:
221:
102:Dirichlet eta function
49:
21898:J. Comput. Appl. Math
21857:J. Comput. Appl. Math
21783:Wood, Van E. (1968).
21654:
21515:
21379:
21266:
21150:
21000:
20878:
20749:
20718:
20683:
20651:
20649:{\displaystyle \,K\,}
20617:
20594:
20403:
20245:
20158:
20126:
20084:
19955:
19856:
19751:
19621:Riemann zeta function
19614:
19581:
19548:
19516:
19326:
19177:
19067:
18997:
18879:
18674:
18492:In general, from the
18484:
18255:
18036:
17814:
17602:
17390:
17195:
17140:
17045:
17007:
16895:
16702:Riemann zeta function
16695:
16666:
16624:
16521:
16435:Dirichlet L-functions
16431:Hurwitz zeta function
16424:
16381:
16338:
16296:
16260:
16140:
15998:
15960:
15822:
15743:
15583:
15394:
15277:
15079:
15016:
14944:
14905:
14808:
14713:
14602:
14507:
14374:
14263:
14170:
14137:
14037:
13958:
13898:
13782:
13657:
13455:
13363:
13232:
13186:
13062:
13036:
12971:
12856:
12735:
12614:
12489:
12380:
12271:
12200:
12165:
12131:
12090:
12016:
11959:
11922:is a rational number
11917:
11887:
11885:{\displaystyle \,q\,}
11865:
11863:{\displaystyle \,p\,}
11828:
11646:
11554:
11362:
11240:
11106:
11041:
10982:
10866:
10807:
10749:
10695:
10639:
10506:
10443:
10387:
10321:
10235:
10188:
10065:
9933:
9747:
9577:
9537:
9375:
9202:
9160:
8449:
8384:
8300:
8192:
8092:
7889:
7770:
7610:
7515:
7422:
7378:
7159:
7074:
7013:
6936:
6836:
6772:
6695:
6607:
6543:
6466:
6369:
6308:
6217:
6097:
6048:
5634:
5554:
5478:
5221:
5167:
4895:
4824:
4701:
4667:
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4445:
4288:
4251:
4146:
4041:
3936:
3829:
3827:{\displaystyle \,.\,}
3792:
3769:
3744:
3650:
3547:
3486:
3382:Lu & Perez (1992)
3375:
3335:
3195:
3082:
2981:
2907:
2830:
2793:
2739:
2705:Bernoulli polynomials
2695:
2519:
2359:
2317:
2251:
2139:
2067:
1940:Bernoulli polynomials
1933:
1891:
1844:
1781:
1734:
1671:
1624:
1561:
1514:
1451:
1390:analytic continuation
1372:
1318:
1280:
1226:
1151:Lu & Perez (1992)
1141:
1070:
988:
909:
840:
767:
701:
601:
566:
537:
492:hypergeometric series
478:
313:
261:
222:
98:Riemann zeta function
36:
22045:Zeta and L-functions
21966:Comput. Phys. Commun
21887:Borwein, Jonathan M.
21525:
21389:
21276:
21160:
21010:
20888:
20769:
20727:
20696:
20664:
20638:
20606:
20413:
20255:
20170:
20135:
20096:
19965:
19866:
19761:
19638:
19594:
19561:
19528:
19336:
19187:
19077:
19007:
18899:
18693:
18503:
18265:
18046:
17824:
17612:
17400:
17205:
17150:
17095:
17056:rational zeta series
17019:
16711:
16675:
16636:
16456:
16394:
16355:
16305:
16277:
16155:
16022:
16013:Lobachevsky function
15972:
15845:
15758:
15612:
15296:
15098:
14960:
14917:
14160:
13913:
13792:
13667:
13467:
13379:
12986:
12211:
12178:
12140:
12106:
11971:
11926:
11896:
11874:
11852:
11841:Proof of the formula
11569:
11264:
10992:
10764:
10525:
10458:
10451:By Euler's theorem,
10207:
10075:
9964:
9762:
9597:
9554:
9390:
9214:
9172:
8461:
8396:
8312:
8204:
8102:
7904:
7794:
7625:
7434:
7399:
7178:
7167:By appealing to the
6946:
6705:
6476:
6241:
6112:
6060:
5646:
5563:
5490:
5233:
5179:
4907:
4840:
4725:
4679:
4499:
4461:
4299:
4263:
4156:
4051:
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3841:
3801:
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3756:
3660:
3559:
3502:
3391:
3352:
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3092:
2991:
2922:
2805:
2751:
2710:
2529:
2371:
2329:
2149:
1953:
1920:
1860:
1744:
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1524:
1414:
1290:
1198:
1080:
1003:
920:
852:
778:
713:
612:
575:
571:is an integer, then
546:
522:
285:
234:
126:
82:trigonometric series
21988:2005CoPhC.172...45K
21910:2000JCoAM.121..247B
21542:
21406:
21293:
21177:
21027:
20905:
20786:
20455:
20430:
20290:
20272:
20202:
20187:
19982:
19883:
19778:
19655:
17060:Borwein et al. 2000
16447:series acceleration
16441:Series acceleration
16172:
16057:
15807:
15666:
15636:
15603:generalized logsine
10516:De Moivre's formula
9234:
9105:
8965:
8892:
8751:
8616:
8517:
8350:
8146:
8043:
8019:
7927:
7848:
7476:
7258:
5895:
5789:
5426:
5326:
5263:
5226:on both integrals:
5115:
5052:
4937:
4776:
3344:Duplication formula
1916:are polynomials in
171:
21701:Abramowitz, Milton
21649:
21528:
21510:
21392:
21374:
21279:
21261:
21163:
21145:
21112:
21072:
21013:
20995:
20947:
20891:
20873:
20831:
20772:
20744:
20713:
20678:
20658:Catalan's constant
20646:
20612:
20589:
20441:
20416:
20398:
20276:
20258:
20240:
20188:
20173:
20153:
20121:
20079:
19968:
19950:
19869:
19851:
19764:
19746:
19641:
19609:
19576:
19543:
19511:
19321:
19172:
19062:
18992:
18874:
18684:reflection formula
18669:
18479:
18250:
18031:
17809:
17597:
17385:
17190:
17135:
17083:Gieseking constant
17076:Catalan's constant
17040:
17002:
16690:
16661:
16619:
16419:
16376:
16343:for some integers
16333:
16291:
16255:
16158:
16135:
16043:
15993:
15955:
15817:
15793:
15738:
15652:
15622:
15578:
15567:
15493:
15443:
15272:
15261:
15187:
15074:
14951:polygamma function
14939:
14900:
14898:
14132:
13893:
13777:
13652:
13450:
13358:
13356:
12966:
12964:
12195:
12160:
12126:
12085:
11954:
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