5518:
3986:
3620:
9333:
1602:
1390:
5094:
3631:
5078:
3292:
4476:
247:
8135:
2667:
1827:
7556:
967:
779:
851:
9112:
9902:
6477:
4380:
3128:
685:
9749:
2286:
2395:
1251:
9102:
8352:
1914:
4759:
7951:
4925:
1672:
1091:
440:
2533:
5513:{\displaystyle G(t)\triangleq \int _{0}^{t}\left\left(r(s)ds+dA(s)\right)+\int _{0}^{t}\leftdt+\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)dW_{d}(s)\quad 0\leq t\leq T}
1495:
1267:
74:(i.e. that no transaction costs occur either for buying or selling). Another assumption is that asset prices have no jumps, that is there are no surprises in the market. This last assumption is removed in
10272:
6645:
70:
Under this model, these assets have continuous prices evolving continuously in time and are driven by
Brownian motion processes. This model requires an assumption of perfectly divisible assets and a
5856:
5990:
9984:
2087:
1730:
531:
9470:
4544:
6706:
3981:{\displaystyle {\frac {S_{n}(t)}{S_{0}(t)}}=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\leftds\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}
7200:
1483:
5688:
5602:
7055:
3192:
8687:
6136:
10596:
10409:
4934:
1142:
293:
8857:
6896:
2876:
7632:
6223:
8578:
8216:
4612:
3615:{\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\leftds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N,}
10108:
9636:
7890:
4577:
2803:
8729:
8976:
6183:
6033:
473:
10688:
10300:
10055:
8894:
8609:
7857:
7821:
7676:
6848:
4398:
4066:
1417:
169:
8780:
7090:
5774:
5741:
1967:
591:
10191:
7997:
2177:
2136:
6771:
6065:
2741:
10769:
8248:
7747:
7120:
2029:
10740:
7586:
6516:
5633:
4126:
3248:
2706:
9510:
8999:
8159:
7705:
6267:
2544:
10476:
7797:
1742:
10807:
10011:
9800:
9603:
7989:
7210:
10438:
6993:
6735:
5885:
5708:
4018:
3284:
2770:
999:
10714:
10551:
9412:
9328:{\displaystyle Z_{0}(t)=\exp \left\{-\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}}
6958:
856:
110:
693:
10656:
10636:
10616:
10525:
10505:
10348:
10324:
10075:
9926:
9773:
9570:
9550:
9530:
9490:
9386:
9366:
8945:
8925:
8629:
8183:
6811:
6791:
5911:
4086:
3212:
2896:
1987:
1441:
787:
351:
146:
6932:
6555:
328:
9816:
6273:
10978:
4134:
2904:
599:
9644:
2189:
2295:
9006:
8256:
1842:
1151:
4620:
7895:
4772:
2817:). As a premium for the risk originating from these random fluctuations, the mean rate of return of a stock is higher than that of a bond.
7642:
The standard theory of mathematical finance is restricted to viable financial markets, i.e. those in which there are no opportunities for
1610:
1597:{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\triangleq \sigma \left({\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\cup {\mathcal {N}}\right),\quad \forall t\in }
1385:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\triangleq \sigma \left(\{\mathbf {W} (s);\;0\leq s\leq t\}\right),\quad \forall t\in .}
2410:
10200:
11080:
1007:
356:
6560:
5786:
5924:
9931:
2034:
1677:
478:
9417:
4487:
2180:
1833:
1733:
6653:
7130:
1446:
10964:
10945:
10918:
5638:
5535:
2813:
Stock prices are modeled as being similar to that of bonds, except with a randomly fluctuating component (called its
2743:), then the price of the bond evolves like the value of a risk-free savings account with instantaneous interest rate
7001:
5073:{\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)|^{2}dt<\infty }
3136:
8634:
6070:
2401:
11025:
10556:
10353:
9336:
1105:
256:
8785:
6856:
2823:
10598:
in order to cover the payment. However, in a complete market it is possible to set aside less capital (viz.
7646:. If such opportunities exists, it implies the possibility of making an arbitrarily large risk-free profit.
7591:
6188:
8358:
8188:
4582:
10080:
9608:
7862:
4549:
4471:{\displaystyle {\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))}
2775:
242:{\displaystyle {\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))}
8692:
11075:
8950:
8130:{\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)=\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)\theta _{d}(t)}
6145:
5995:
445:
10669:
10281:
10036:
8875:
8590:
7838:
7802:
7657:
6829:
4035:
1398:
8734:
7063:
5746:
5713:
5525:
1930:
539:
10116:
2141:
2100:
10822:
6740:
6038:
2711:
10745:
8224:
7717:
7096:
2662:{\displaystyle S_{0}(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T.}
1992:
10719:
1822:{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)=\sigma \left(\bigcup _{0\leq s<t}{\mathcal {F}}(s)\right),}
7564:
7551:{\displaystyle dX(t)=d\Gamma (t)+X(t)\left+\sum _{n=1}^{N}\left+\sum _{d=1}^{D}\leftdW_{d}(t)}
6485:
5611:
4095:
3217:
2675:
9807:
9803:
9495:
8984:
8144:
7681:
6234:
1420:
10446:
7752:
962:{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sum _{d=1}^{D}\int _{0}^{T}\sigma _{n,d}^{2}(s)ds<\infty }
11036:
Merton, R.C. (1970). "Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model".
10875:
10832:
10774:
9989:
9778:
9581:
8611:
can have only one money-market (bond) and hence only one risk-free rate. Therefore, if the
7956:
2814:
1486:
774:{\displaystyle \mathbf {\delta } :\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}}
64:
10414:
7205:
The corresponding SDE for the wealth process, through appropriate substitutions, becomes:
6969:
6711:
5861:
5693:
3994:
3260:
2746:
975:
846:{\displaystyle \mathbf {\sigma } :\times \mathbb {R} ^{N\times D}\rightarrow \mathbb {R} }
8:
10693:
10530:
9391:
6937:
2094:
89:
71:
52:
10887:
10879:
11017:
11009:
10891:
10865:
10837:
10827:
10641:
10621:
10601:
10510:
10490:
10333:
10309:
10060:
9911:
9897:{\displaystyle \mathbf {W} _{0}(t)\triangleq \mathbf {W} (t)+\int _{0}^{t}\theta (s)ds}
9758:
9555:
9535:
9515:
9475:
9371:
9351:
8930:
8910:
8614:
8168:
6796:
6776:
6472:{\displaystyle G(t_{m+1})-G(t_{m})=\sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m}),\quad m=0\ldots M-1,}
5896:
4071:
3197:
2881:
1972:
1426:
1258:
1254:
336:
131:
6905:
6521:
4375:{\displaystyle dY_{n}(t)=S_{n}(t)\left,\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}
3123:{\displaystyle dS_{n}(t)=S_{n}(t)\left,\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}
301:
11049:
11001:
10960:
10941:
10914:
2090:
1145:
680:{\displaystyle \mathbf {b} :\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}}
56:
48:
40:
32:
24:
10895:
9744:{\displaystyle P_{0}(A)\triangleq \mathbb {E} ,\quad \forall A\in {\mathcal {F}}(T)}
6228:
Therefore, the incremental gains at each trading interval from such a portfolio is:
11053:
11045:
11021:
10993:
10974:
10883:
10810:
36:
28:
10957:
Option pricing and portfolio optimization: modern methods of financial mathematics
10022:
9388:, in violation of point (ii), from linear algebra, it can be seen that there are
6139:
20:
2281:{\displaystyle r(t)\triangleq {\frac {1}{S_{0}(t)}}{\frac {d}{dt}}S_{0}^{a}(t),}
6899:
5777:
2390:{\displaystyle A(t)\triangleq \int _{0}^{t}{\frac {1}{S_{0}(s)}}dS_{0}^{s}(s),}
114:
75:
11069:
11005:
9097:{\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty }
8347:{\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty }
6737:
as defined earlier, to get the corresponding SDE for the gains process. Here
4762:
5893:
process, and it is the compensation received in return for investing in the
5889:
1909:{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)=\bigcap _{t<s\leq T}{\mathcal {F}}(s),}
120:
10979:"Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: the Continuous-Time Case"
5608:
It turns out that for a self-financed portfolio, the appropriate value of
1246:{\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',\;0\leq t\leq T}
9806:
with respect to each other, i.e. they are equivalent. Also, according to
4754:{\displaystyle \int _{0}^{T}|\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)|\left<\infty }
11058:
4068:
giving the rate of dividend payment per unit price of the stock at time
3991:
Note that the contribution due to the discontinuities in the bond price
11013:
7946:{\displaystyle \theta :\times \mathbb {R} ^{D}\rightarrow \mathbb {R} }
4920:{\displaystyle \int _{0}^{T}|\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)|dt<\infty }
7709:
7643:
3254:
10997:
1667:{\displaystyle \{{\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t);\;0\leq t\leq T\}}
8731:), then its rate of return is equal to the money market rate (i.e.
4029:
10935:
10908:
10870:
972:
A measurable, finite variation, singularly continuous stochastic
2093:. Because it has finite variation, it can be decomposed into an
10553:, then a conservative strategy would be to set aside an amount
2528:{\displaystyle dS_{0}(t)=S_{0}(t),\quad \forall 0\leq t\leq T,}
60:
44:
2898:
stocks, which are continuous stochastic processes satisfying:
150:
10267:{\displaystyle x\triangleq \mathbb {E} _{0}\left<\infty }
43:, and are concerned with defining the concepts of financial
1086:{\displaystyle \mathbf {S} (0)=(S_{0}(0),\ldots S_{N}(0))'}
435:{\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',}
125:
6640:{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})S_{n}(t_{m})}
10021:
A complete financial market is one that allows effective
10487:
If a particular investment strategy calls for a payment
6708:, let the time partition go to zero, and substitute for
6142:(i.e. foreknowledge of the future), it is required that
9928:-dimensional Brownian motion process on the filtration
7060:
and represents the total wealth of an investor at time
5851:{\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)}
5985:{\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{M}=T}
112:
financial assets, where one of these assets, called a
10777:
10748:
10722:
10696:
10672:
10644:
10624:
10604:
10559:
10533:
10513:
10493:
10449:
10417:
10356:
10336:
10312:
10284:
10203:
10119:
10083:
10063:
10039:
9992:
9979:{\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}
9934:
9914:
9819:
9781:
9761:
9647:
9611:
9584:
9558:
9538:
9518:
9498:
9478:
9420:
9394:
9374:
9354:
9115:
9009:
8987:
8953:
8933:
8913:
8878:
8788:
8737:
8695:
8637:
8617:
8593:
8361:
8259:
8227:
8191:
8171:
8147:
8000:
7959:
7898:
7865:
7841:
7805:
7755:
7720:
7684:
7660:
7594:
7567:
7213:
7133:
7099:
7066:
7004:
6972:
6940:
6908:
6859:
6832:
6799:
6779:
6743:
6714:
6656:
6563:
6524:
6488:
6276:
6237:
6191:
6148:
6073:
6041:
5998:
5927:
5899:
5864:
5789:
5749:
5743:
implies borrowing money from the money-market, while
5716:
5696:
5641:
5614:
5538:
5097:
4937:
4775:
4623:
4585:
4552:
4490:
4401:
4137:
4098:
4074:
4038:
3997:
3634:
3295:
3263:
3220:
3200:
3139:
2907:
2884:
2826:
2778:
2749:
2714:
2678:
2547:
2413:
2298:
2192:
2144:
2103:
2082:{\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}
2037:
1995:
1975:
1933:
1845:
1745:
1725:{\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}
1680:
1613:
1498:
1449:
1429:
1401:
1270:
1154:
1108:
1010:
978:
859:
790:
696:
602:
542:
526:{\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}
481:
448:
359:
339:
304:
259:
172:
134:
92:
10954:
8221:
Conversely, if there exists a D-dimensional process
10959:. Providence, R.I.: American Mathematical Society.
9465:{\displaystyle (\sigma _{n,1}\ldots \sigma _{n,D})}
8250:such that it satisfies the above requirement, and:
6934:, due to sources other than the investments in the
6067:, held in a portfolio during time interval at time
4539:{\displaystyle (\pi _{0},\pi _{1},\ldots \pi _{N})}
3286:must be as defined above. The solution to this is:
35:, as extensions to the one-period market models of
10801:
10763:
10734:
10708:
10682:
10650:
10630:
10610:
10590:
10545:
10519:
10499:
10470:
10432:
10403:
10342:
10318:
10294:
10266:
10185:
10102:
10069:
10049:
10005:
9978:
9920:
9896:
9794:
9767:
9743:
9630:
9597:
9564:
9544:
9524:
9504:
9484:
9464:
9406:
9380:
9360:
9327:
9096:
8993:
8970:
8939:
8919:
8888:
8851:
8774:
8723:
8681:
8623:
8603:
8572:
8346:
8242:
8210:
8177:
8153:
8129:
7983:
7945:
7884:
7851:
7815:
7791:
7741:
7699:
7670:
7626:
7580:
7550:
7194:
7114:
7084:
7049:
6987:
6952:
6926:
6890:
6842:
6805:
6785:
6765:
6729:
6700:
6639:
6549:
6510:
6471:
6261:
6217:
6177:
6130:
6059:
6027:
5984:
5905:
5879:
5850:
5768:
5735:
5702:
5682:
5627:
5596:
5512:
5072:
4919:
4753:
4606:
4571:
4538:
4470:
4374:
4120:
4080:
4060:
4012:
3980:
3614:
3278:
3242:
3206:
3186:
3122:
2890:
2870:
2797:
2764:
2735:
2700:
2661:
2527:
2389:
2280:
2171:
2130:
2081:
2023:
1981:
1961:
1908:
1821:
1724:
1666:
1596:
1477:
1435:
1411:
1384:
1245:
1136:
1085:
993:
961:
845:
773:
679:
585:
525:
467:
434:
345:
322:
287:
241:
140:
104:
10025:of the risk inherent in any investment strategy.
6701:{\displaystyle \pi _{n}(t)\triangleq \nu _{n}(t)}
2878:be the strictly positive prices per share of the
536:A measurable risk-free money market rate process
11067:
10567:
9472:) are linear combination of the volatilities of
7823:in which no such portfolio exists is said to be
7195:{\displaystyle X(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t).}
6902:and represents the income accumulated over time
1478:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)}
9414:stocks whose volatilities (given by the vector
5710:is referred to as the portfolio process. Also,
5683:{\displaystyle \pi =(\pi _{1},\ldots \pi _{N})}
5597:{\displaystyle G(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)}
4385:
8782:) and its price tracks that of the bond (i.e.
7050:{\displaystyle X(t)\triangleq G(t)+\Gamma (t)}
6816:
4088:. Accounting for this in the model, gives the
3187:{\displaystyle \sigma _{n,d}(t),\;d=1\ldots D}
10936:Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998).
10909:Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991).
10016:
8682:{\displaystyle \sigma _{n,d}=0,\;d=1\ldots D}
6131:{\displaystyle [t_{m},t_{m+1}\;m=0\ldots M-1}
690:A measurable dividend rate of return process
81:
11035:
9973:
9935:
8862:
7561:Note, that again in this case, the value of
6773:denotes the dollar amount invested in asset
6557:, while the total value of the portfolio is
2076:
2038:
1719:
1681:
1661:
1614:
1343:
1307:
520:
482:
10856:Tsekov, Roumen (2013). "Brownian Markets".
10591:{\displaystyle x=\sup _{\omega }B(\omega )}
10404:{\displaystyle (\pi _{n}(t);\;n=1\ldots N)}
1927:A share of a bond (money market) has price
1097:
10411:, such that its associated wealth process
10382:
9957:
8947:of the underlying Brownian motion process
8663:
7608:
6872:
6106:
3168:
2060:
1919:while the former is only left-continuous.
1703:
1645:
1327:
1227:
1137:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},p)}
504:
449:
288:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
86:Consider a financial market consisting of
11057:
10869:
10527:, the amount of which is unknown at time
10212:
9671:
8852:{\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)S_{0}(t)}
8363:
7939:
7925:
6891:{\displaystyle \Gamma (t)\;0\leq t\leq T}
4588:
839:
819:
739:
725:
645:
631:
596:A measurable mean rate of return process
10110:-measurable random variable, such that:
9638:for the standard market, is defined as:
10911:Brownian motion and stochastic calculus
8981:(iii) The market price of risk process
2871:{\displaystyle S_{1}(t)\ldots S_{N}(t)}
11068:
10986:The Review of Economics and Statistics
10973:
10855:
7627:{\displaystyle \pi _{n},\;n=1\ldots N}
2772:, which is random, time-dependent and
6218:{\displaystyle {\mathcal {F}}(t_{m})}
3625:and the discounted stock prices are:
10057:be a standard financial market, and
7678:, a self-financed portfolio process
2672:Thus, it can be easily seen that if
475:adapted to the augmented filtration
8573:{\displaystyle \mathbb {E} \left=1}
13:
10675:
10638:it has grown to match the size of
10287:
10261:
10169:
10086:
10042:
9940:
9727:
9716:
9614:
9492:other stocks (because the rank of
9091:
8927:is not greater than the dimension
8881:
8596:
8341:
8211:{\displaystyle \sigma _{n,\cdot }}
7868:
7844:
7808:
7663:
7235:
7100:
7035:
6860:
6835:
6194:
5067:
4914:
4748:
4607:{\displaystyle \mathbb {R} ^{N+1}}
4555:
4404:
4332:
4028:Each stock may have an associated
4020:does not appear in this equation.
3938:
3572:
3080:
2781:
2638:
2504:
2043:
1889:
1848:
1797:
1748:
1686:
1620:
1570:
1556:
1529:
1501:
1453:
1404:
1355:
1274:
1120:
1112:
956:
487:
271:
263:
175:
14:
11092:
10771:is non-singular for almost every
10103:{\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}
9631:{\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}
7885:{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}
7637:
6813:, not the number of shares held.
6035:be the number of shares of asset
4572:{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}
2798:{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}
2138:and a singularly continuous part
1253:be D-dimensional Brownian motion
10618:) and invest it so that at time
9845:
9822:
9699:
8955:
8724:{\displaystyle \delta _{n}(t)=0}
8631:-th stock entails no risk (i.e.
8165:and relates the premium for the
7714:if the associated gains process
6960:assets of the financial market.
4452:
4422:
4023:
2181:Lebesgue's decomposition theorem
1627:
1536:
1460:
1311:
1281:
1156:
1012:
1004:The initial conditions given by
784:A measurable volatility process
604:
361:
223:
193:
10955:Korn, Ralf; Korn, Elke (2001).
10938:Methods of mathematical finance
10482:
10028:
9715:
8971:{\displaystyle \mathbf {W} (t)}
8867:
8185:-the stock with its volatility
7830:
7649:
6821:
6444:
6178:{\displaystyle \nu _{n}(t_{m})}
6028:{\displaystyle \nu _{n}(t_{m})}
5494:
4390:
4353:
4331:
3959:
3937:
3593:
3571:
3101:
3079:
2708:is absolutely continuous (i.e.
2637:
2503:
1569:
1354:
468:{\displaystyle \;0\leq t\leq T}
11081:Monte Carlo methods in finance
10902:
10849:
10796:
10784:
10758:
10752:
10683:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
10585:
10579:
10459:
10453:
10427:
10421:
10398:
10376:
10370:
10357:
10295:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
10248:
10242:
10157:
10151:
10097:
10091:
10050:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
9951:
9945:
9885:
9879:
9855:
9849:
9838:
9832:
9738:
9732:
9709:
9694:
9688:
9675:
9664:
9658:
9625:
9619:
9459:
9421:
9368:is greater than the dimension
9304:
9299:
9293:
9279:
9226:
9220:
9204:
9198:
9132:
9126:
9072:
9067:
9061:
9047:
8965:
8959:
8889:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
8846:
8840:
8827:
8821:
8805:
8799:
8769:
8763:
8754:
8748:
8712:
8706:
8604:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
8538:
8533:
8527:
8513:
8460:
8454:
8438:
8432:
8322:
8317:
8311:
8297:
8237:
8231:
8124:
8118:
8105:
8099:
8056:
8050:
8041:
8035:
8017:
8011:
7978:
7966:
7935:
7917:
7905:
7879:
7873:
7852:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
7816:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
7780:
7771:
7765:
7759:
7730:
7724:
7694:
7688:
7671:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
7545:
7539:
7518:
7512:
7493:
7487:
7414:
7408:
7399:
7393:
7377:
7371:
7353:
7347:
7300:
7294:
7276:
7270:
7259:
7253:
7244:
7238:
7226:
7220:
7186:
7180:
7143:
7137:
7109:
7103:
7092:. The portfolio is said to be
7044:
7038:
7029:
7023:
7014:
7008:
6982:
6976:
6921:
6909:
6869:
6863:
6843:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
6760:
6754:
6724:
6718:
6695:
6689:
6673:
6667:
6634:
6621:
6608:
6595:
6544:
6525:
6505:
6492:
6438:
6435:
6422:
6406:
6387:
6374:
6371:
6358:
6321:
6308:
6299:
6280:
6247:
6241:
6212:
6199:
6172:
6159:
6074:
6022:
6009:
5874:
5868:
5845:
5839:
5830:
5824:
5806:
5800:
5677:
5648:
5591:
5585:
5548:
5542:
5491:
5485:
5469:
5463:
5450:
5444:
5347:
5341:
5332:
5326:
5308:
5302:
5284:
5278:
5216:
5210:
5192:
5186:
5170:
5164:
5107:
5101:
5048:
5043:
5037:
5024:
5018:
4975:
4901:
4897:
4894:
4888:
4879:
4873:
4855:
4849:
4836:
4833:
4827:
4792:
4737:
4731:
4712:
4708:
4702:
4695:
4685:
4681:
4675:
4640:
4566:
4560:
4533:
4491:
4465:
4462:
4456:
4412:
4320:
4314:
4298:
4292:
4276:
4270:
4227:
4221:
4203:
4197:
4179:
4173:
4157:
4151:
4115:
4109:
4061:{\displaystyle \delta _{n}(t)}
4055:
4049:
4007:
4001:
3915:
3909:
3851:
3845:
3836:
3830:
3794:
3788:
3772:
3766:
3700:
3694:
3675:
3669:
3654:
3648:
3560:
3554:
3534:
3528:
3470:
3464:
3428:
3422:
3406:
3400:
3334:
3328:
3312:
3306:
3273:
3267:
3237:
3231:
3162:
3156:
3068:
3062:
3046:
3040:
2997:
2991:
2973:
2967:
2949:
2943:
2927:
2921:
2865:
2859:
2843:
2837:
2792:
2786:
2759:
2753:
2724:
2718:
2695:
2689:
2626:
2620:
2605:
2599:
2564:
2558:
2497:
2494:
2488:
2470:
2464:
2458:
2455:
2449:
2433:
2427:
2381:
2375:
2351:
2345:
2308:
2302:
2272:
2266:
2230:
2224:
2202:
2196:
2166:
2160:
2125:
2119:
2054:
2048:
2012:
2006:
1950:
1944:
1900:
1894:
1859:
1853:
1808:
1802:
1759:
1753:
1697:
1691:
1639:
1633:
1591:
1579:
1548:
1542:
1512:
1506:
1472:
1466:
1412:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
1376:
1364:
1321:
1315:
1293:
1287:
1217:
1213:
1207:
1191:
1185:
1172:
1166:
1160:
1131:
1109:
1076:
1072:
1066:
1047:
1041:
1028:
1022:
1016:
988:
982:
944:
938:
835:
811:
799:
768:
756:
735:
717:
705:
674:
662:
641:
623:
611:
580:
568:
552:
546:
498:
492:
422:
418:
412:
396:
390:
377:
371:
365:
353:-dimensional Brownian process
317:
305:
282:
260:
249:that satisfies the following:
236:
233:
227:
183:
1:
10930:
10913:. New York: Springer-Verlag.
10888:10.1088/0256-307X/30/8/088901
9348:In case the number of stocks
8775:{\displaystyle b_{n}(t)=r(t)}
7085:{\displaystyle 0\leq t\leq T}
5916:
5769:{\displaystyle \pi _{n}<0}
5736:{\displaystyle \pi _{0}<0}
5523:We say that the portfolio is
1962:{\displaystyle S_{0}(t)>0}
586:{\displaystyle r(t)\in L_{1}}
157:
11050:10.1016/0022-0531(71)90038-x
10666:A standard financial market
10661:
10350:-financed portfolio process
10186:{\displaystyle P_{0}\left=1}
8689:) and pays no dividend (i.e.
6518:is the total gain over time
4395:Consider a financial market
4386:Portfolio and gain processes
3250:is its mean rate of return.
3194:gives the volatility of the
2172:{\displaystyle S_{0}^{s}(t)}
2131:{\displaystyle S_{0}^{a}(t)}
63:in terms of continuous-time
7:
10816:
10690:is complete if and only if
9577:standard martingale measure
9343:
8584:then the market is viable.
7953:such that for almost every
6817:Income and wealth processes
6766:{\displaystyle \pi _{n}(t)}
6060:{\displaystyle n=0\ldots N}
2736:{\displaystyle A(\cdot )=0}
1732:is that the latter is both
1423:0 (i.e. null under measure
10:
11097:
11038:Journal of Economic Theory
10764:{\displaystyle \sigma (t)}
10017:Complete financial markets
9552:stocks can be replaced by
9109:(iv) The positive process
8907:(ii) The number of stocks
8243:{\displaystyle \theta (t)}
7742:{\displaystyle G(T)\geq 0}
7115:{\displaystyle \Gamma (t)}
4614:valued process such that:
2024:{\displaystyle S_{0}(0)=1}
82:Financial market processes
10735:{\displaystyle N\times D}
9572:equivalent mutual funds.
8863:Standard financial market
6852:cumulative income process
6826:Given a financial market
2808:
128:free while the remaining
27:are based on the work of
10843:
7581:{\displaystyle \pi _{0}}
6511:{\displaystyle G(t_{m})}
5921:Consider time intervals
5690:and therefore sometimes
5628:{\displaystyle \pi _{0}}
4121:{\displaystyle Y_{n}(t)}
3257:-free pricing scenario,
3243:{\displaystyle b_{n}(t)}
2701:{\displaystyle S_{0}(t)}
2089:adapted, and has finite
1098:The augmented filtration
9505:{\displaystyle \sigma }
8994:{\displaystyle \theta }
8154:{\displaystyle \theta }
7707:is considered to be an
7700:{\displaystyle \pi (t)}
7588:can be determined from
6262:{\displaystyle G(0)=0,}
6138:. To avoid the case of
5088:for this portfolio is:
1922:
1607:The difference between
10940:. New York: Springer.
10809:, with respect to the
10803:
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10405:
10344:
10330:, i.e. if there is an
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1485:, then define the
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10319:{\displaystyle B}
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8940:{\displaystyle D}
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8904:(i) It is viable.
8624:{\displaystyle n}
8474:
8178:{\displaystyle n}
7859:, there exists a
6806:{\displaystyle t}
6786:{\displaystyle n}
5906:{\displaystyle n}
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