36:
112:
3496:
443:, the probability that at least one of the events happens is no greater than the sum of the probabilities of the individual events. This inequality provides an upper bound on the probability of occurrence of at least one of a countable number of events in terms of the individual probabilities of the events. Boole's inequality is named for its discoverer,
1203:
3190:
1667:
3147:
5073:
One way is to make each of them equal to 0.05/5 = 0.01, that is 1%. In other words, you have to guarantee each estimate good to 99%( for example, by constructing a 99% confidence interval) to make sure the total estimation to be good with a chance 95%. This is called the
Bonferroni Method of
1463:
3941:
3724:
3491:{\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),\quad S_{2}:=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}),\quad \ldots ,\quad S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}
989:
587:
877:
4725:
5001:
1830:
1474:
977:
2991:
1988:
1302:
4829:
2831:
2526:
2198:
4553:
1317:
3761:
3544:
736:
2444:
1198:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}
2716:
2107:
2981:
5038:
based on a random sample, and you can control each parameter separately. If you want your estimations of all five parameters to be good with a chance 95%, what should you do to each parameter?
2583:
2258:
477:
4310:
4103:
2358:
4039:
1892:
1734:
767:
2901:
4568:
4451:
4880:
5045:
is good". We can use Boole's
Inequality to solve this problem. By finding the complement of event "all five are good", we can change this question into another condition:
4141:
2930:
2749:
2616:
2291:
3753:
3536:
1662:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}
4400:
4248:
3142:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}
2861:
2024:
3977:
1746:
885:
668:
5024:
4872:
4852:
4420:
4373:
4353:
4330:
4221:
4201:
4181:
4161:
2636:
2311:
759:
639:
1904:
1214:
4736:
2754:
2449:
403:
5098:
2118:
1458:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}
4459:
5083:
3936:{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}
3719:{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}
676:
5041:
Tuning each parameter's chance to be good to within 95% is not enough because "all are good" is a subset of each event "Estimate
17:
2363:
396:
5362:
5183:
2641:
2032:
2935:
5401:
2534:
2209:
582:{\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathbb {P} }(A_{i}).}
5406:
5280:
5239:
5156:
5129:
3950:
389:
377:
336:
79:
57:
50:
4256:
4044:
2316:
267:
203:
3990:
315:
176:
1838:
1680:
5372:
5228:
Improved
Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of InclusionâExclusion Type
872:{\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}
5088:
5367:
4720:{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{\Big (}{L-1 \choose j-1}+{L-1 \choose j}{\Big )}\mathbb {P} (E)}
2866:
440:
171:
4996:{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}}
4425:
287:
5119:
1308:
346:
341:
230:
215:
44:
4108:
5203:
3174:
2906:
325:
196:
5093:
2721:
2588:
2263:
220:
61:
5146:
3732:
3515:
320:
225:
191:
1825:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}
972:{\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}
5343:
5290:
5249:
4378:
4226:
2839:
2002:
351:
245:
138:
5351:
5298:
5257:
5219:
8:
3956:
647:
597:
310:
252:
240:
235:
1983:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i});}
5385:
5331:
5009:
4857:
4837:
4405:
4358:
4338:
4315:
4206:
4186:
4166:
4146:
2621:
2296:
744:
624:
417:
297:
186:
126:
103:
5276:
5235:
5179:
5152:
5125:
1737:
1297:{\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,}
436:
356:
262:
161:
4824:{\displaystyle {\Big (}1+{L-1 \choose K}{\Big )}\mathbb {P} (E)\geq \mathbb {P} (E)}
5347:
5321:
5294:
5253:
5215:
4559:
181:
111:
2826:{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}
2521:{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}
596:
terms, Boole's inequality follows from the fact that a measure (and certainly any
5339:
5309:
5286:
5272:
5245:
5231:
257:
208:
5358:
5305:
5264:
593:
272:
5395:
5326:
3166:
605:
145:
2193:{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.}
444:
372:
282:
166:
5173:
3162:
3158:
980:
292:
133:
121:
5381:
5335:
429:
150:
96:
5206:(1936), "Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilitĂ ",
5035:
4548:{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{L \choose j}\mathbb {P} (E)}
433:
5380:
This article incorporates material from
Bonferroni inequalities on
277:
5208:
Pubbl. D. R. Ist. Super. Di Sci. Econom. E Commerciali di
Firenze
731:{\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}
4453:
to the right side of the inequality, while it contributes
621:
Boole's inequality may be proved for finite collections of
2985:
So, we can conclude that the desired inequality is true:
2439:{\displaystyle x\in B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}
5230:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1826, Berlin:
5178:. Cambridge University Press. pp. 94â99, 113â115.
5099:
Probability of the union of pairwise independent events
5012:
4883:
4860:
4840:
4739:
4571:
4462:
4428:
4408:
4381:
4361:
4341:
4318:
4259:
4229:
4209:
4189:
4169:
4149:
4111:
4047:
3993:
3959:
3764:
3735:
3547:
3518:
3193:
2994:
2938:
2909:
2869:
2842:
2757:
2724:
2711:{\displaystyle B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}
2644:
2624:
2591:
2537:
2452:
2366:
2319:
2299:
2266:
2212:
2121:
2102:{\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}}
2035:
2005:
1907:
1841:
1749:
1683:
1477:
1320:
1217:
992:
888:
770:
747:
679:
650:
627:
480:
2976:{\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A).}
1835:
One of the axioms of a probability space is that if
5018:
4995:
4866:
4846:
4823:
4719:
4547:
4445:
4414:
4394:
4367:
4347:
4324:
4304:
4242:
4215:
4195:
4175:
4155:
4135:
4097:
4033:
3971:
3935:
3747:
3718:
3530:
3490:
3141:
2975:
2924:
2895:
2855:
2825:
2743:
2710:
2630:
2610:
2578:{\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}
2577:
2520:
2438:
2352:
2305:
2285:
2253:{\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}
2252:
2192:
2101:
2018:
1982:
1886:
1824:
1728:
1661:
1457:
1296:
1197:
971:
871:
753:
730:
662:
633:
581:
5263:
4988:
4950:
4785:
4777:
4756:
4742:
4698:
4690:
4669:
4657:
4628:
4620:
4525:
4512:
3869:
3831:
3652:
3614:
5393:
5386:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
5049:P( at least one estimation is bad) = 0.05 †P( A
4558:to the left side of the inequality. However, by
4332:contributes 0 to both sides of the inequality.
3953:, and Boole's inequality is the special case of
1672:
5271:, Probability and Its Applications, New York:
5269:Bonferroni-Type Inequalities with Applications
3157:Boole's inequality may be generalized to find
5144:
4305:{\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}^{c}}
397:
4098:{\displaystyle B_{i}\in \{A_{i},A_{i}^{c}\}}
4092:
4061:
2353:{\displaystyle i<k\implies x\notin A_{i}}
5202:
5145:Casella, George; Berger, Roger L. (2002).
4834:Thus, the inequality holds for all events
3178:
3152:
2333:
2329:
404:
390:
5325:
5196:
5171:
4944:
4808:
4791:
4704:
4532:
4430:
4163:partition the sample space, and for each
4034:{\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}}
3825:
3608:
3434:
3312:
3230:
3116:
3082:
3034:
2996:
2957:
2940:
2203:by proving both directions of inclusion.
1957:
1909:
1799:
1751:
1636:
1579:
1555:
1479:
1426:
1377:
1322:
1220:
1128:
1098:
1049:
994:
947:
930:
913:
890:
845:
773:
705:
681:
555:
483:
80:Learn how and when to remove this message
27:Inequality applying to probability spaces
5357:
5304:
1887:{\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }
1729:{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }
616:
450:Formally, for a countable set of events
43:This article includes a list of general
14:
5394:
5225:
1898:subsets of the probability space then
641:events using the method of induction.
5117:
5084:Diluted inclusionâexclusion principle
3169:of events. These bounds are known as
4874:, we obtain the desired inequality:
29:
2751:, and we have the other inclusion:
979:and because the union operation is
24:
5121:The Mathematical Analysis of Logic
5034:Suppose that you are estimating 5
4760:
4673:
4632:
4516:
3982:
2896:{\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}
2808:
2774:
2560:
2503:
2469:
2446:. So the first inclusion is true:
2235:
2172:
2138:
548:
509:
49:it lacks sufficient corresponding
25:
5418:
110:
34:
4446:{\displaystyle \mathbb {P} (E)}
3949:The equalities follow from the
3370:
3363:
3254:
5384:, which is licensed under the
5165:
5138:
5111:
4915:
4905:
4818:
4812:
4801:
4795:
4714:
4708:
4603:
4593:
4542:
4536:
4494:
4484:
4440:
4434:
3908:
3898:
3796:
3786:
3691:
3681:
3579:
3569:
3485:
3439:
3357:
3317:
3248:
3235:
3133:
3120:
3099:
3086:
2967:
2961:
2950:
2944:
2330:
1974:
1961:
1816:
1803:
1653:
1640:
1602:
1583:
1572:
1559:
1449:
1430:
1121:
1102:
963:
951:
940:
934:
923:
917:
906:
894:
863:
850:
722:
709:
698:
685:
573:
560:
177:Collectively exhaustive events
13:
1:
5104:
3951:inclusionâexclusion principle
1673:Proof without using induction
4136:{\displaystyle i=1,\dots ,n}
7:
5368:Encyclopedia of Mathematics
5267:; Simonelli, Italo (1996),
5172:Venkatesh, Santosh (2012).
5151:. Duxbury. pp. 11â13.
5077:
2925:{\displaystyle B\subset A,}
2026:, so they become disjoint,
10:
5423:
5402:Probabilistic inequalities
5094:BooleâFrĂ©chet inequalities
5029:
2744:{\displaystyle x\in A_{k}}
2611:{\displaystyle x\in B_{k}}
2286:{\displaystyle x\in A_{k}}
1309:first axiom of probability
5363:"Bonferroni inequalities"
5310:"Bonferroni inequalities"
5175:The Theory of Probability
5124:. Philosophical Library.
4854:, and so by summing over
5407:Statistical inequalities
5089:SchuetteâNesbitt formula
5074:simultaneous inference.
4355:is contained in exactly
2836:By construction of each
611:
347:Law of total probability
342:Conditional independence
231:Exponential distribution
216:Probability distribution
4223:is either contained in
3748:{\displaystyle K\leq n}
3531:{\displaystyle K\leq n}
3175:Carlo Emilio Bonferroni
3171:Bonferroni inequalities
3153:Bonferroni inequalities
326:Conditional probability
64:more precise citations.
18:Bonferroni inequalities
5327:10.1214/aop/1176995765
5226:Dohmen, Klaus (2003),
5197:Other related articles
5118:Boole, George (1847).
5020:
4997:
4975:
4904:
4868:
4848:
4825:
4721:
4592:
4549:
4483:
4447:
4416:
4396:
4369:
4349:
4326:
4306:
4286:
4244:
4217:
4197:
4177:
4157:
4137:
4099:
4035:
4020:
3973:
3937:
3897:
3856:
3785:
3749:
3720:
3680:
3639:
3568:
3532:
3492:
3227:
3165:on the probability of
3143:
2977:
2926:
2897:
2857:
2827:
2812:
2778:
2745:
2712:
2697:
2632:
2612:
2579:
2564:
2522:
2507:
2473:
2440:
2425:
2354:
2307:
2287:
2254:
2239:
2194:
2176:
2142:
2103:
2088:
2020:
1999:If we modify the sets
1984:
1888:
1826:
1730:
1663:
1634:
1553:
1514:
1459:
1406:
1357:
1298:
1250:
1199:
1157:
1078:
1029:
973:
873:
842:
803:
755:
732:
670:case, it follows that
664:
635:
583:
552:
513:
268:Continuous or discrete
221:Bernoulli distribution
5314:Annals of Probability
5234:, pp. viii+113,
5148:Statistical Inference
5026:is nearly identical.
5021:
4998:
4955:
4884:
4869:
4849:
4826:
4730:which telescopes to
4722:
4572:
4550:
4463:
4448:
4417:
4397:
4395:{\displaystyle A_{i}}
4370:
4350:
4327:
4307:
4266:
4250:or disjoint from it.
4245:
4243:{\displaystyle A_{i}}
4218:
4198:
4178:
4158:
4138:
4100:
4036:
4000:
3974:
3938:
3877:
3836:
3765:
3750:
3721:
3660:
3619:
3548:
3533:
3493:
3207:
3144:
2978:
2927:
2898:
2858:
2856:{\displaystyle B_{i}}
2828:
2792:
2758:
2746:
2713:
2671:
2633:
2613:
2580:
2544:
2523:
2487:
2453:
2441:
2399:
2355:
2308:
2288:
2255:
2219:
2195:
2156:
2122:
2104:
2062:
2021:
2019:{\displaystyle A_{i}}
1995:countable additivity.
1985:
1889:
1827:
1731:
1664:
1608:
1533:
1488:
1460:
1386:
1331:
1299:
1230:
1200:
1137:
1058:
1003:
974:
874:
822:
783:
756:
733:
665:
636:
617:Proof using induction
584:
532:
493:
226:Binomial distribution
5204:Bonferroni, Carlo E.
5010:
4881:
4858:
4838:
4737:
4569:
4460:
4426:
4422:contributes exactly
4406:
4379:
4359:
4339:
4316:
4257:
4227:
4207:
4187:
4167:
4147:
4109:
4045:
3991:
3957:
3762:
3733:
3545:
3516:
3191:
2992:
2936:
2932:it is the case that
2907:
2867:
2840:
2755:
2722:
2642:
2622:
2589:
2535:
2450:
2364:
2317:
2297:
2264:
2210:
2119:
2033:
2003:
1905:
1839:
1747:
1681:
1475:
1318:
1215:
990:
886:
768:
745:
677:
648:
625:
478:
428:, says that for any
424:, also known as the
352:Law of large numbers
321:Marginal probability
246:Poisson distribution
95:Part of a series on
5006:The proof for even
4562:, this is equal to
4301:
4091:
3972:{\displaystyle K=1}
663:{\displaystyle n=1}
598:probability measure
311:Complementary event
253:Probability measure
241:Pareto distribution
236:Normal distribution
5275:, pp. x+269,
5016:
4993:
4864:
4844:
4821:
4717:
4545:
4443:
4412:
4392:
4365:
4345:
4335:Otherwise, assume
4322:
4302:
4287:
4240:
4213:
4193:
4173:
4153:
4133:
4095:
4077:
4031:
3969:
3933:
3745:
3716:
3528:
3488:
3431:
3309:
3139:
3114:
3080:
3052:
3014:
2973:
2922:
2893:
2853:
2823:
2741:
2708:
2628:
2608:
2585:. It follows that
2575:
2531:Next suppose that
2518:
2436:
2350:
2303:
2283:
2250:
2190:
2099:
2016:
1980:
1955:
1927:
1884:
1822:
1797:
1769:
1726:
1677:For any events in
1659:
1455:
1294:
1195:
969:
869:
751:
728:
660:
631:
579:
422:Boole's inequality
418:probability theory
362:Boole's inequality
298:Stochastic process
187:Mutual exclusivity
104:Probability theory
5185:978-0-534-24312-8
5019:{\displaystyle K}
4867:{\displaystyle E}
4847:{\displaystyle E}
4775:
4688:
4655:
4523:
4415:{\displaystyle E}
4368:{\displaystyle L}
4348:{\displaystyle E}
4325:{\displaystyle E}
4216:{\displaystyle E}
4196:{\displaystyle i}
4176:{\displaystyle E}
4156:{\displaystyle E}
3501:for all integers
3384:
3268:
3179:Bonferroni (1936)
3105:
3071:
3043:
3005:
2631:{\displaystyle k}
2306:{\displaystyle k}
2293:for some minimum
2112:we can show that
1946:
1918:
1788:
1760:
1738:probability space
754:{\displaystyle n}
634:{\displaystyle n}
594:measure-theoretic
414:
413:
316:Joint probability
263:Bernoulli process
162:Probability space
90:
89:
82:
16:(Redirected from
5414:
5375:
5354:
5329:
5301:
5260:
5222:
5190:
5189:
5169:
5163:
5162:
5142:
5136:
5135:
5115:
5025:
5023:
5022:
5017:
5002:
5000:
4999:
4994:
4992:
4991:
4985:
4984:
4974:
4969:
4954:
4953:
4947:
4939:
4938:
4929:
4928:
4903:
4898:
4873:
4871:
4870:
4865:
4853:
4851:
4850:
4845:
4830:
4828:
4827:
4822:
4811:
4794:
4789:
4788:
4782:
4781:
4780:
4771:
4759:
4746:
4745:
4726:
4724:
4723:
4718:
4707:
4702:
4701:
4695:
4694:
4693:
4684:
4672:
4662:
4661:
4660:
4654:
4643:
4631:
4624:
4623:
4617:
4616:
4591:
4586:
4554:
4552:
4551:
4546:
4535:
4530:
4529:
4528:
4515:
4508:
4507:
4482:
4477:
4452:
4450:
4449:
4444:
4433:
4421:
4419:
4418:
4413:
4401:
4399:
4398:
4393:
4391:
4390:
4374:
4372:
4371:
4366:
4354:
4352:
4351:
4346:
4331:
4329:
4328:
4323:
4311:
4309:
4308:
4303:
4300:
4295:
4285:
4280:
4249:
4247:
4246:
4241:
4239:
4238:
4222:
4220:
4219:
4214:
4202:
4200:
4199:
4194:
4182:
4180:
4179:
4174:
4162:
4160:
4159:
4154:
4142:
4140:
4139:
4134:
4104:
4102:
4101:
4096:
4090:
4085:
4073:
4072:
4057:
4056:
4040:
4038:
4037:
4032:
4030:
4029:
4019:
4014:
3978:
3976:
3975:
3970:
3942:
3940:
3939:
3934:
3932:
3931:
3922:
3921:
3896:
3891:
3873:
3872:
3866:
3865:
3855:
3850:
3835:
3834:
3828:
3820:
3819:
3810:
3809:
3784:
3779:
3754:
3752:
3751:
3746:
3729:holds, and when
3725:
3723:
3722:
3717:
3715:
3714:
3705:
3704:
3679:
3674:
3656:
3655:
3649:
3648:
3638:
3633:
3618:
3617:
3611:
3603:
3602:
3593:
3592:
3567:
3562:
3537:
3535:
3534:
3529:
3497:
3495:
3494:
3489:
3484:
3483:
3482:
3481:
3458:
3457:
3456:
3455:
3438:
3437:
3430:
3423:
3422:
3404:
3403:
3380:
3379:
3356:
3355:
3354:
3353:
3336:
3335:
3334:
3333:
3316:
3315:
3308:
3301:
3300:
3288:
3287:
3264:
3263:
3247:
3246:
3234:
3233:
3226:
3221:
3203:
3202:
3148:
3146:
3145:
3140:
3132:
3131:
3119:
3113:
3098:
3097:
3085:
3079:
3067:
3063:
3062:
3061:
3051:
3037:
3029:
3025:
3024:
3023:
3013:
2999:
2982:
2980:
2979:
2974:
2960:
2943:
2931:
2929:
2928:
2923:
2902:
2900:
2899:
2894:
2892:
2891:
2879:
2878:
2862:
2860:
2859:
2854:
2852:
2851:
2832:
2830:
2829:
2824:
2822:
2821:
2811:
2806:
2788:
2787:
2777:
2772:
2750:
2748:
2747:
2742:
2740:
2739:
2717:
2715:
2714:
2709:
2707:
2706:
2696:
2685:
2667:
2666:
2654:
2653:
2637:
2635:
2634:
2629:
2617:
2615:
2614:
2609:
2607:
2606:
2584:
2582:
2581:
2576:
2574:
2573:
2563:
2558:
2527:
2525:
2524:
2519:
2517:
2516:
2506:
2501:
2483:
2482:
2472:
2467:
2445:
2443:
2442:
2437:
2435:
2434:
2424:
2413:
2395:
2394:
2382:
2381:
2359:
2357:
2356:
2351:
2349:
2348:
2312:
2310:
2309:
2304:
2292:
2290:
2289:
2284:
2282:
2281:
2259:
2257:
2256:
2251:
2249:
2248:
2238:
2233:
2199:
2197:
2196:
2191:
2186:
2185:
2175:
2170:
2152:
2151:
2141:
2136:
2108:
2106:
2105:
2100:
2098:
2097:
2087:
2076:
2058:
2057:
2045:
2044:
2025:
2023:
2022:
2017:
2015:
2014:
1989:
1987:
1986:
1981:
1973:
1972:
1960:
1954:
1942:
1938:
1937:
1936:
1926:
1912:
1893:
1891:
1890:
1885:
1877:
1876:
1864:
1863:
1851:
1850:
1831:
1829:
1828:
1823:
1815:
1814:
1802:
1796:
1784:
1780:
1779:
1778:
1768:
1754:
1735:
1733:
1732:
1727:
1719:
1718:
1706:
1705:
1693:
1692:
1668:
1666:
1665:
1660:
1652:
1651:
1639:
1633:
1622:
1601:
1600:
1582:
1571:
1570:
1558:
1552:
1547:
1529:
1525:
1524:
1523:
1513:
1502:
1482:
1464:
1462:
1461:
1456:
1448:
1447:
1429:
1421:
1417:
1416:
1415:
1405:
1400:
1380:
1372:
1368:
1367:
1366:
1356:
1345:
1325:
1303:
1301:
1300:
1295:
1284:
1280:
1279:
1278:
1260:
1259:
1249:
1244:
1224:
1223:
1204:
1202:
1201:
1196:
1191:
1187:
1186:
1185:
1167:
1166:
1156:
1151:
1131:
1120:
1119:
1101:
1093:
1089:
1088:
1087:
1077:
1072:
1052:
1044:
1040:
1039:
1038:
1028:
1017:
997:
978:
976:
975:
970:
950:
933:
916:
893:
878:
876:
875:
870:
862:
861:
849:
848:
841:
836:
818:
814:
813:
812:
802:
797:
777:
776:
760:
758:
757:
752:
737:
735:
734:
729:
721:
720:
708:
697:
696:
684:
669:
667:
666:
661:
640:
638:
637:
632:
588:
586:
585:
580:
572:
571:
559:
558:
551:
546:
528:
524:
523:
522:
512:
507:
487:
486:
406:
399:
392:
182:Elementary event
114:
92:
91:
85:
78:
74:
71:
65:
60:this article by
51:inline citations
38:
37:
30:
21:
5422:
5421:
5417:
5416:
5415:
5413:
5412:
5411:
5392:
5391:
5359:Galambos, JĂĄnos
5306:Galambos, JĂĄnos
5283:
5273:Springer-Verlag
5265:Galambos, JĂĄnos
5242:
5232:Springer-Verlag
5199:
5194:
5193:
5186:
5170:
5166:
5159:
5143:
5139:
5132:
5116:
5112:
5107:
5080:
5068:
5064:
5060:
5056:
5052:
5032:
5011:
5008:
5007:
4987:
4986:
4980:
4976:
4970:
4959:
4949:
4948:
4943:
4934:
4930:
4918:
4914:
4899:
4888:
4882:
4879:
4878:
4859:
4856:
4855:
4839:
4836:
4835:
4807:
4790:
4784:
4783:
4776:
4761:
4755:
4754:
4753:
4741:
4740:
4738:
4735:
4734:
4703:
4697:
4696:
4689:
4674:
4668:
4667:
4666:
4656:
4644:
4633:
4627:
4626:
4625:
4619:
4618:
4606:
4602:
4587:
4576:
4570:
4567:
4566:
4531:
4524:
4511:
4510:
4509:
4497:
4493:
4478:
4467:
4461:
4458:
4457:
4429:
4427:
4424:
4423:
4407:
4404:
4403:
4386:
4382:
4380:
4377:
4376:
4360:
4357:
4356:
4340:
4337:
4336:
4317:
4314:
4313:
4296:
4291:
4281:
4270:
4258:
4255:
4254:
4234:
4230:
4228:
4225:
4224:
4208:
4205:
4204:
4188:
4185:
4184:
4168:
4165:
4164:
4148:
4145:
4144:
4110:
4107:
4106:
4086:
4081:
4068:
4064:
4052:
4048:
4046:
4043:
4042:
4025:
4021:
4015:
4004:
3992:
3989:
3988:
3985:
3983:Proof for odd K
3958:
3955:
3954:
3927:
3923:
3911:
3907:
3892:
3881:
3868:
3867:
3861:
3857:
3851:
3840:
3830:
3829:
3824:
3815:
3811:
3799:
3795:
3780:
3769:
3763:
3760:
3759:
3734:
3731:
3730:
3710:
3706:
3694:
3690:
3675:
3664:
3651:
3650:
3644:
3640:
3634:
3623:
3613:
3612:
3607:
3598:
3594:
3582:
3578:
3563:
3552:
3546:
3543:
3542:
3517:
3514:
3513:
3477:
3473:
3472:
3468:
3451:
3447:
3446:
3442:
3433:
3432:
3418:
3414:
3399:
3395:
3388:
3375:
3371:
3349:
3345:
3344:
3340:
3329:
3325:
3324:
3320:
3311:
3310:
3296:
3292:
3283:
3279:
3272:
3259:
3255:
3242:
3238:
3229:
3228:
3222:
3211:
3198:
3194:
3192:
3189:
3188:
3155:
3127:
3123:
3115:
3109:
3093:
3089:
3081:
3075:
3057:
3053:
3047:
3042:
3038:
3033:
3019:
3015:
3009:
3004:
3000:
2995:
2993:
2990:
2989:
2956:
2939:
2937:
2934:
2933:
2908:
2905:
2904:
2887:
2883:
2874:
2870:
2868:
2865:
2864:
2847:
2843:
2841:
2838:
2837:
2817:
2813:
2807:
2796:
2783:
2779:
2773:
2762:
2756:
2753:
2752:
2735:
2731:
2723:
2720:
2719:
2702:
2698:
2686:
2675:
2662:
2658:
2649:
2645:
2643:
2640:
2639:
2623:
2620:
2619:
2602:
2598:
2590:
2587:
2586:
2569:
2565:
2559:
2548:
2536:
2533:
2532:
2512:
2508:
2502:
2491:
2478:
2474:
2468:
2457:
2451:
2448:
2447:
2430:
2426:
2414:
2403:
2390:
2386:
2377:
2373:
2365:
2362:
2361:
2344:
2340:
2318:
2315:
2314:
2298:
2295:
2294:
2277:
2273:
2265:
2262:
2261:
2244:
2240:
2234:
2223:
2211:
2208:
2207:
2181:
2177:
2171:
2160:
2147:
2143:
2137:
2126:
2120:
2117:
2116:
2093:
2089:
2077:
2066:
2053:
2049:
2040:
2036:
2034:
2031:
2030:
2010:
2006:
2004:
2001:
2000:
1993:this is called
1968:
1964:
1956:
1950:
1932:
1928:
1922:
1917:
1913:
1908:
1906:
1903:
1902:
1872:
1868:
1859:
1855:
1846:
1842:
1840:
1837:
1836:
1810:
1806:
1798:
1792:
1774:
1770:
1764:
1759:
1755:
1750:
1748:
1745:
1744:
1714:
1710:
1701:
1697:
1688:
1684:
1682:
1679:
1678:
1675:
1647:
1643:
1635:
1623:
1612:
1590:
1586:
1578:
1566:
1562:
1554:
1548:
1537:
1519:
1515:
1503:
1492:
1487:
1483:
1478:
1476:
1473:
1472:
1437:
1433:
1425:
1411:
1407:
1401:
1390:
1385:
1381:
1376:
1362:
1358:
1346:
1335:
1330:
1326:
1321:
1319:
1316:
1315:
1268:
1264:
1255:
1251:
1245:
1234:
1229:
1225:
1219:
1218:
1216:
1213:
1212:
1175:
1171:
1162:
1158:
1152:
1141:
1136:
1132:
1127:
1109:
1105:
1097:
1083:
1079:
1073:
1062:
1057:
1053:
1048:
1034:
1030:
1018:
1007:
1002:
998:
993:
991:
988:
987:
946:
929:
912:
889:
887:
884:
883:
857:
853:
844:
843:
837:
826:
808:
804:
798:
787:
782:
778:
772:
771:
769:
766:
765:
746:
743:
742:
716:
712:
704:
692:
688:
680:
678:
675:
674:
649:
646:
645:
626:
623:
622:
619:
614:
567:
563:
554:
553:
547:
536:
518:
514:
508:
497:
492:
488:
482:
481:
479:
476:
475:
471:, ..., we have
470:
463:
456:
410:
258:Random variable
209:Bernoulli trial
86:
75:
69:
66:
56:Please help to
55:
39:
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
5420:
5410:
5409:
5404:
5377:
5376:
5355:
5320:(4): 577â581,
5302:
5281:
5261:
5240:
5223:
5210:(in Italian),
5198:
5195:
5192:
5191:
5184:
5164:
5157:
5137:
5130:
5109:
5108:
5106:
5103:
5102:
5101:
5096:
5091:
5086:
5079:
5076:
5066:
5065:is bad) + P( A
5062:
5061:is bad) + P( A
5058:
5057:is bad) + P( A
5054:
5053:is bad) + P( A
5050:
5031:
5028:
5015:
5004:
5003:
4990:
4983:
4979:
4973:
4968:
4965:
4962:
4958:
4952:
4946:
4942:
4937:
4933:
4927:
4924:
4921:
4917:
4913:
4910:
4907:
4902:
4897:
4894:
4891:
4887:
4863:
4843:
4832:
4831:
4820:
4817:
4814:
4810:
4806:
4803:
4800:
4797:
4793:
4787:
4779:
4774:
4770:
4767:
4764:
4758:
4752:
4749:
4744:
4728:
4727:
4716:
4713:
4710:
4706:
4700:
4692:
4687:
4683:
4680:
4677:
4671:
4665:
4659:
4653:
4650:
4647:
4642:
4639:
4636:
4630:
4622:
4615:
4612:
4609:
4605:
4601:
4598:
4595:
4590:
4585:
4582:
4579:
4575:
4556:
4555:
4544:
4541:
4538:
4534:
4527:
4522:
4519:
4514:
4506:
4503:
4500:
4496:
4492:
4489:
4486:
4481:
4476:
4473:
4470:
4466:
4442:
4439:
4436:
4432:
4411:
4389:
4385:
4364:
4344:
4321:
4299:
4294:
4290:
4284:
4279:
4276:
4273:
4269:
4265:
4262:
4237:
4233:
4212:
4192:
4172:
4152:
4132:
4129:
4126:
4123:
4120:
4117:
4114:
4094:
4089:
4084:
4080:
4076:
4071:
4067:
4063:
4060:
4055:
4051:
4028:
4024:
4018:
4013:
4010:
4007:
4003:
3999:
3996:
3984:
3981:
3968:
3965:
3962:
3944:
3943:
3930:
3926:
3920:
3917:
3914:
3910:
3906:
3903:
3900:
3895:
3890:
3887:
3884:
3880:
3876:
3871:
3864:
3860:
3854:
3849:
3846:
3843:
3839:
3833:
3827:
3823:
3818:
3814:
3808:
3805:
3802:
3798:
3794:
3791:
3788:
3783:
3778:
3775:
3772:
3768:
3744:
3741:
3738:
3727:
3726:
3713:
3709:
3703:
3700:
3697:
3693:
3689:
3686:
3683:
3678:
3673:
3670:
3667:
3663:
3659:
3654:
3647:
3643:
3637:
3632:
3629:
3626:
3622:
3616:
3610:
3606:
3601:
3597:
3591:
3588:
3585:
3581:
3577:
3574:
3571:
3566:
3561:
3558:
3555:
3551:
3527:
3524:
3521:
3499:
3498:
3487:
3480:
3476:
3471:
3467:
3464:
3461:
3454:
3450:
3445:
3441:
3436:
3429:
3426:
3421:
3417:
3413:
3410:
3407:
3402:
3398:
3394:
3391:
3387:
3383:
3378:
3374:
3369:
3366:
3362:
3359:
3352:
3348:
3343:
3339:
3332:
3328:
3323:
3319:
3314:
3307:
3304:
3299:
3295:
3291:
3286:
3282:
3278:
3275:
3271:
3267:
3262:
3258:
3253:
3250:
3245:
3241:
3237:
3232:
3225:
3220:
3217:
3214:
3210:
3206:
3201:
3197:
3154:
3151:
3150:
3149:
3138:
3135:
3130:
3126:
3122:
3118:
3112:
3108:
3104:
3101:
3096:
3092:
3088:
3084:
3078:
3074:
3070:
3066:
3060:
3056:
3050:
3046:
3041:
3036:
3032:
3028:
3022:
3018:
3012:
3008:
3003:
2998:
2972:
2969:
2966:
2963:
2959:
2955:
2952:
2949:
2946:
2942:
2921:
2918:
2915:
2912:
2890:
2886:
2882:
2877:
2873:
2850:
2846:
2820:
2816:
2810:
2805:
2802:
2799:
2795:
2791:
2786:
2782:
2776:
2771:
2768:
2765:
2761:
2738:
2734:
2730:
2727:
2705:
2701:
2695:
2692:
2689:
2684:
2681:
2678:
2674:
2670:
2665:
2661:
2657:
2652:
2648:
2627:
2605:
2601:
2597:
2594:
2572:
2568:
2562:
2557:
2554:
2551:
2547:
2543:
2540:
2515:
2511:
2505:
2500:
2497:
2494:
2490:
2486:
2481:
2477:
2471:
2466:
2463:
2460:
2456:
2433:
2429:
2423:
2420:
2417:
2412:
2409:
2406:
2402:
2398:
2393:
2389:
2385:
2380:
2376:
2372:
2369:
2347:
2343:
2339:
2336:
2332:
2328:
2325:
2322:
2302:
2280:
2276:
2272:
2269:
2247:
2243:
2237:
2232:
2229:
2226:
2222:
2218:
2215:
2201:
2200:
2189:
2184:
2180:
2174:
2169:
2166:
2163:
2159:
2155:
2150:
2146:
2140:
2135:
2132:
2129:
2125:
2110:
2109:
2096:
2092:
2086:
2083:
2080:
2075:
2072:
2069:
2065:
2061:
2056:
2052:
2048:
2043:
2039:
2013:
2009:
1991:
1990:
1979:
1976:
1971:
1967:
1963:
1959:
1953:
1949:
1945:
1941:
1935:
1931:
1925:
1921:
1916:
1911:
1883:
1880:
1875:
1871:
1867:
1862:
1858:
1854:
1849:
1845:
1833:
1832:
1821:
1818:
1813:
1809:
1805:
1801:
1795:
1791:
1787:
1783:
1777:
1773:
1767:
1763:
1758:
1753:
1725:
1722:
1717:
1713:
1709:
1704:
1700:
1696:
1691:
1687:
1674:
1671:
1670:
1669:
1658:
1655:
1650:
1646:
1642:
1638:
1632:
1629:
1626:
1621:
1618:
1615:
1611:
1607:
1604:
1599:
1596:
1593:
1589:
1585:
1581:
1577:
1574:
1569:
1565:
1561:
1557:
1551:
1546:
1543:
1540:
1536:
1532:
1528:
1522:
1518:
1512:
1509:
1506:
1501:
1498:
1495:
1491:
1486:
1481:
1468:and therefore
1466:
1465:
1454:
1451:
1446:
1443:
1440:
1436:
1432:
1428:
1424:
1420:
1414:
1410:
1404:
1399:
1396:
1393:
1389:
1384:
1379:
1375:
1371:
1365:
1361:
1355:
1352:
1349:
1344:
1341:
1338:
1334:
1329:
1324:
1305:
1304:
1293:
1290:
1287:
1283:
1277:
1274:
1271:
1267:
1263:
1258:
1254:
1248:
1243:
1240:
1237:
1233:
1228:
1222:
1206:
1205:
1194:
1190:
1184:
1181:
1178:
1174:
1170:
1165:
1161:
1155:
1150:
1147:
1144:
1140:
1135:
1130:
1126:
1123:
1118:
1115:
1112:
1108:
1104:
1100:
1096:
1092:
1086:
1082:
1076:
1071:
1068:
1065:
1061:
1056:
1051:
1047:
1043:
1037:
1033:
1027:
1024:
1021:
1016:
1013:
1010:
1006:
1001:
996:
968:
965:
962:
959:
956:
953:
949:
945:
942:
939:
936:
932:
928:
925:
922:
919:
915:
911:
908:
905:
902:
899:
896:
892:
880:
879:
868:
865:
860:
856:
852:
847:
840:
835:
832:
829:
825:
821:
817:
811:
807:
801:
796:
793:
790:
786:
781:
775:
750:
739:
738:
727:
724:
719:
715:
711:
707:
703:
700:
695:
691:
687:
683:
659:
656:
653:
630:
618:
615:
613:
610:
590:
589:
578:
575:
570:
566:
562:
557:
550:
545:
542:
539:
535:
531:
527:
521:
517:
511:
506:
503:
500:
496:
491:
485:
468:
461:
454:
412:
411:
409:
408:
401:
394:
386:
383:
382:
381:
380:
375:
367:
366:
365:
364:
359:
357:Bayes' theorem
354:
349:
344:
339:
331:
330:
329:
328:
323:
318:
313:
305:
304:
303:
302:
301:
300:
295:
290:
288:Observed value
285:
280:
275:
273:Expected value
270:
265:
255:
250:
249:
248:
243:
238:
233:
228:
223:
213:
212:
211:
201:
200:
199:
194:
189:
184:
179:
169:
164:
156:
155:
154:
153:
148:
143:
142:
141:
131:
130:
129:
116:
115:
107:
106:
100:
99:
88:
87:
42:
40:
33:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
5419:
5408:
5405:
5403:
5400:
5399:
5397:
5390:
5389:
5387:
5383:
5374:
5370:
5369:
5364:
5360:
5356:
5353:
5349:
5345:
5341:
5337:
5333:
5328:
5323:
5319:
5315:
5311:
5307:
5303:
5300:
5296:
5292:
5288:
5284:
5282:0-387-94776-0
5278:
5274:
5270:
5266:
5262:
5259:
5255:
5251:
5247:
5243:
5241:3-540-20025-8
5237:
5233:
5229:
5224:
5221:
5217:
5213:
5209:
5205:
5201:
5200:
5187:
5181:
5177:
5176:
5168:
5160:
5158:0-534-24312-6
5154:
5150:
5149:
5141:
5133:
5131:9780802201546
5127:
5123:
5122:
5114:
5110:
5100:
5097:
5095:
5092:
5090:
5087:
5085:
5082:
5081:
5075:
5071:
5070:
5046:
5044:
5039:
5037:
5027:
5013:
4981:
4977:
4971:
4966:
4963:
4960:
4956:
4940:
4935:
4931:
4925:
4922:
4919:
4911:
4908:
4900:
4895:
4892:
4889:
4885:
4877:
4876:
4875:
4861:
4841:
4815:
4804:
4798:
4772:
4768:
4765:
4762:
4750:
4747:
4733:
4732:
4731:
4711:
4685:
4681:
4678:
4675:
4663:
4651:
4648:
4645:
4640:
4637:
4634:
4613:
4610:
4607:
4599:
4596:
4588:
4583:
4580:
4577:
4573:
4565:
4564:
4563:
4561:
4560:Pascal's rule
4539:
4520:
4517:
4504:
4501:
4498:
4490:
4487:
4479:
4474:
4471:
4468:
4464:
4456:
4455:
4454:
4437:
4409:
4387:
4383:
4362:
4342:
4333:
4319:
4297:
4292:
4288:
4282:
4277:
4274:
4271:
4267:
4263:
4260:
4251:
4235:
4231:
4210:
4190:
4170:
4150:
4143:. These such
4130:
4127:
4124:
4121:
4118:
4115:
4112:
4087:
4082:
4078:
4074:
4069:
4065:
4058:
4053:
4049:
4026:
4022:
4016:
4011:
4008:
4005:
4001:
3997:
3994:
3980:
3966:
3963:
3960:
3952:
3947:
3928:
3924:
3918:
3915:
3912:
3904:
3901:
3893:
3888:
3885:
3882:
3878:
3874:
3862:
3858:
3852:
3847:
3844:
3841:
3837:
3821:
3816:
3812:
3806:
3803:
3800:
3792:
3789:
3781:
3776:
3773:
3770:
3766:
3758:
3757:
3756:
3742:
3739:
3736:
3711:
3707:
3701:
3698:
3695:
3687:
3684:
3676:
3671:
3668:
3665:
3661:
3657:
3645:
3641:
3635:
3630:
3627:
3624:
3620:
3604:
3599:
3595:
3589:
3586:
3583:
3575:
3572:
3564:
3559:
3556:
3553:
3549:
3541:
3540:
3539:
3525:
3522:
3519:
3510:
3508:
3504:
3478:
3474:
3469:
3465:
3462:
3459:
3452:
3448:
3443:
3427:
3424:
3419:
3415:
3411:
3408:
3405:
3400:
3396:
3392:
3389:
3385:
3381:
3376:
3372:
3367:
3364:
3360:
3350:
3346:
3341:
3337:
3330:
3326:
3321:
3305:
3302:
3297:
3293:
3289:
3284:
3280:
3276:
3273:
3269:
3265:
3260:
3256:
3251:
3243:
3239:
3223:
3218:
3215:
3212:
3208:
3204:
3199:
3195:
3187:
3186:
3185:
3182:
3180:
3176:
3172:
3168:
3167:finite unions
3164:
3160:
3136:
3128:
3124:
3110:
3106:
3102:
3094:
3090:
3076:
3072:
3068:
3064:
3058:
3054:
3048:
3044:
3039:
3030:
3026:
3020:
3016:
3010:
3006:
3001:
2988:
2987:
2986:
2983:
2970:
2964:
2953:
2947:
2919:
2916:
2913:
2910:
2888:
2884:
2880:
2875:
2871:
2848:
2844:
2834:
2818:
2814:
2803:
2800:
2797:
2793:
2789:
2784:
2780:
2769:
2766:
2763:
2759:
2736:
2732:
2728:
2725:
2703:
2699:
2693:
2690:
2687:
2682:
2679:
2676:
2672:
2668:
2663:
2659:
2655:
2650:
2646:
2625:
2603:
2599:
2595:
2592:
2570:
2566:
2555:
2552:
2549:
2545:
2541:
2538:
2529:
2513:
2509:
2498:
2495:
2492:
2488:
2484:
2479:
2475:
2464:
2461:
2458:
2454:
2431:
2427:
2421:
2418:
2415:
2410:
2407:
2404:
2400:
2396:
2391:
2387:
2383:
2378:
2374:
2370:
2367:
2345:
2341:
2337:
2334:
2326:
2323:
2320:
2300:
2278:
2274:
2270:
2267:
2245:
2241:
2230:
2227:
2224:
2220:
2216:
2213:
2204:
2187:
2182:
2178:
2167:
2164:
2161:
2157:
2153:
2148:
2144:
2133:
2130:
2127:
2123:
2115:
2114:
2113:
2094:
2090:
2084:
2081:
2078:
2073:
2070:
2067:
2063:
2059:
2054:
2050:
2046:
2041:
2037:
2029:
2028:
2027:
2011:
2007:
1997:
1996:
1977:
1969:
1965:
1951:
1947:
1943:
1939:
1933:
1929:
1923:
1919:
1914:
1901:
1900:
1899:
1897:
1881:
1878:
1873:
1869:
1865:
1860:
1856:
1852:
1847:
1843:
1819:
1811:
1807:
1793:
1789:
1785:
1781:
1775:
1771:
1765:
1761:
1756:
1743:
1742:
1741:
1739:
1723:
1720:
1715:
1711:
1707:
1702:
1698:
1694:
1689:
1685:
1656:
1648:
1644:
1630:
1627:
1624:
1619:
1616:
1613:
1609:
1605:
1597:
1594:
1591:
1587:
1575:
1567:
1563:
1549:
1544:
1541:
1538:
1534:
1530:
1526:
1520:
1516:
1510:
1507:
1504:
1499:
1496:
1493:
1489:
1484:
1471:
1470:
1469:
1452:
1444:
1441:
1438:
1434:
1422:
1418:
1412:
1408:
1402:
1397:
1394:
1391:
1387:
1382:
1373:
1369:
1363:
1359:
1353:
1350:
1347:
1342:
1339:
1336:
1332:
1327:
1314:
1313:
1312:
1310:
1291:
1288:
1285:
1281:
1275:
1272:
1269:
1265:
1261:
1256:
1252:
1246:
1241:
1238:
1235:
1231:
1226:
1211:
1210:
1209:
1192:
1188:
1182:
1179:
1176:
1172:
1168:
1163:
1159:
1153:
1148:
1145:
1142:
1138:
1133:
1124:
1116:
1113:
1110:
1106:
1094:
1090:
1084:
1080:
1074:
1069:
1066:
1063:
1059:
1054:
1045:
1041:
1035:
1031:
1025:
1022:
1019:
1014:
1011:
1008:
1004:
999:
986:
985:
984:
982:
966:
960:
957:
954:
943:
937:
926:
920:
909:
903:
900:
897:
866:
858:
854:
838:
833:
830:
827:
823:
819:
815:
809:
805:
799:
794:
791:
788:
784:
779:
764:
763:
762:
748:
741:For the case
725:
717:
713:
701:
693:
689:
673:
672:
671:
657:
654:
651:
642:
628:
609:
607:
603:
599:
595:
576:
568:
564:
543:
540:
537:
533:
529:
525:
519:
515:
504:
501:
498:
494:
489:
474:
473:
472:
467:
460:
453:
448:
446:
442:
438:
435:
431:
427:
423:
419:
407:
402:
400:
395:
393:
388:
387:
385:
384:
379:
376:
374:
371:
370:
369:
368:
363:
360:
358:
355:
353:
350:
348:
345:
343:
340:
338:
335:
334:
333:
332:
327:
324:
322:
319:
317:
314:
312:
309:
308:
307:
306:
299:
296:
294:
291:
289:
286:
284:
281:
279:
276:
274:
271:
269:
266:
264:
261:
260:
259:
256:
254:
251:
247:
244:
242:
239:
237:
234:
232:
229:
227:
224:
222:
219:
218:
217:
214:
210:
207:
206:
205:
202:
198:
195:
193:
190:
188:
185:
183:
180:
178:
175:
174:
173:
170:
168:
165:
163:
160:
159:
158:
157:
152:
149:
147:
146:Indeterminism
144:
140:
137:
136:
135:
132:
128:
125:
124:
123:
120:
119:
118:
117:
113:
109:
108:
105:
102:
101:
98:
94:
93:
84:
81:
73:
70:February 2012
63:
59:
53:
52:
46:
41:
32:
31:
19:
5379:
5378:
5366:
5317:
5313:
5268:
5227:
5211:
5207:
5174:
5167:
5147:
5140:
5120:
5113:
5072:
5048:
5047:
5042:
5040:
5033:
5005:
4833:
4729:
4557:
4334:
4252:
3986:
3948:
3945:
3728:
3511:
3506:
3505:in {1, ...,
3502:
3500:
3183:
3170:
3163:lower bounds
3156:
2984:
2835:
2530:
2360:. Therefore
2205:
2202:
2111:
1998:
1994:
1992:
1895:
1834:
1676:
1467:
1306:
1207:
881:
740:
643:
620:
606:sub-additive
601:
591:
465:
458:
451:
449:
445:George Boole
425:
421:
415:
378:Tree diagram
373:Venn diagram
361:
337:Independence
283:Markov chain
167:Sample space
76:
67:
48:
3512:Then, when
981:associative
426:union bound
293:Random walk
134:Determinism
122:Probability
62:introducing
5396:Categories
5382:PlanetMath
5352:0369.60018
5299:0869.60014
5258:1026.05009
5220:0016.41103
5105:References
5036:parameters
4183:and every
2313:such that
1311:, we have
983:, we have
761:, we have
204:Experiment
151:Randomness
97:statistics
45:references
5373:EMS Press
5361:(2001) ,
4957:⋃
4941:≥
4923:−
4909:−
4886:∑
4805:≥
4766:−
4679:−
4649:−
4638:−
4611:−
4597:−
4574:∑
4502:−
4488:−
4465:∑
4268:⋂
4125:…
4105:for each
4059:∈
4002:⋂
3916:−
3902:−
3879:∑
3838:⋃
3822:≤
3804:−
3790:−
3767:∑
3755:is even:
3740:≤
3699:−
3685:−
3662:∑
3621:⋃
3605:≥
3587:−
3573:−
3550:∑
3523:≤
3466:∩
3463:⋯
3460:∩
3425:≤
3409:⋯
3393:≤
3386:∑
3365:…
3338:∩
3303:≤
3277:≤
3270:∑
3209:∑
3107:∑
3103:≤
3073:∑
3045:⋃
3007:⋃
2954:≤
2914:⊂
2881:⊂
2809:∞
2794:⋃
2790:⊂
2775:∞
2760:⋃
2729:∈
2691:−
2673:⋃
2669:−
2618:for some
2596:∈
2561:∞
2546:⋃
2542:∈
2504:∞
2489:⋃
2485:⊂
2470:∞
2455:⋃
2419:−
2401:⋃
2397:−
2371:∈
2338:∉
2331:⟹
2271:∈
2236:∞
2221:⋃
2217:∈
2173:∞
2158:⋃
2139:∞
2124:⋃
2082:−
2064:⋃
2060:−
1948:∑
1920:⋃
1882:…
1790:∑
1786:≤
1762:⋃
1724:…
1610:∑
1535:∑
1531:≤
1490:⋃
1388:⋃
1374:≤
1333:⋃
1286:≥
1262:∩
1232:⋃
1169:∩
1139:⋃
1125:−
1060:⋃
1005:⋃
958:∩
944:−
901:∪
824:∑
820:≤
785:⋃
702:≤
549:∞
534:∑
530:≤
510:∞
495:⋃
434:countable
197:Singleton
5308:(1977),
5214:: 1â62,
5078:See also
4041:, where
3946:holds.
3538:is odd:
3173:, after
2206:Suppose
1896:disjoint
1740:we have
644:For the
278:Variance
5344:0448478
5336:2243081
5291:1402242
5250:2019293
5069:is bad)
5030:Example
4402:. Then
4375:of the
4312:, then
2260:. Then
1736:in our
1307:by the
192:Outcome
58:improve
5350:
5342:
5334:
5297:
5289:
5279:
5256:
5248:
5238:
5218:
5182:
5155:
5128:
3177:; see
2903:. For
2638:. And
1208:Since
882:Since
441:events
430:finite
139:System
127:Axioms
47:, but
5332:JSTOR
3159:upper
612:Proof
600:) is
172:Event
5277:ISBN
5236:ISBN
5180:ISBN
5153:ISBN
5126:ISBN
3987:Let
3412:<
3406:<
3290:<
3184:Let
3161:and
2324:<
1894:are
5348:Zbl
5322:doi
5295:Zbl
5254:Zbl
5216:Zbl
4253:If
3509:}.
2718:so
592:In
439:of
437:set
432:or
416:In
5398::
5371:,
5365:,
5346:,
5340:MR
5338:,
5330:,
5316:,
5312:,
5293:,
5287:MR
5285:,
5252:,
5246:MR
5244:,
4203:,
3979:.
3382::=
3266::=
3205::=
3181:.
2863:,
2833:.
2528:.
608:.
464:,
457:,
447:.
420:,
5388:.
5324::
5318:5
5212:8
5188:.
5161:.
5134:.
5067:5
5063:4
5059:3
5055:2
5051:1
5043:i
5014:K
4989:)
4982:i
4978:A
4972:n
4967:1
4964:=
4961:i
4951:(
4945:P
4936:j
4932:S
4926:1
4920:j
4916:)
4912:1
4906:(
4901:K
4896:1
4893:=
4890:j
4862:E
4842:E
4819:)
4816:E
4813:(
4809:P
4802:)
4799:E
4796:(
4792:P
4786:)
4778:)
4773:K
4769:1
4763:L
4757:(
4751:+
4748:1
4743:(
4715:)
4712:E
4709:(
4705:P
4699:)
4691:)
4686:j
4682:1
4676:L
4670:(
4664:+
4658:)
4652:1
4646:j
4641:1
4635:L
4629:(
4621:(
4614:1
4608:j
4604:)
4600:1
4594:(
4589:K
4584:1
4581:=
4578:j
4543:)
4540:E
4537:(
4533:P
4526:)
4521:j
4518:L
4513:(
4505:1
4499:j
4495:)
4491:1
4485:(
4480:K
4475:1
4472:=
4469:j
4441:)
4438:E
4435:(
4431:P
4410:E
4388:i
4384:A
4363:L
4343:E
4320:E
4298:c
4293:i
4289:A
4283:n
4278:1
4275:=
4272:i
4264:=
4261:E
4236:i
4232:A
4211:E
4191:i
4171:E
4151:E
4131:n
4128:,
4122:,
4119:1
4116:=
4113:i
4093:}
4088:c
4083:i
4079:A
4075:,
4070:i
4066:A
4062:{
4054:i
4050:B
4027:i
4023:B
4017:n
4012:1
4009:=
4006:i
3998:=
3995:E
3967:1
3964:=
3961:K
3929:j
3925:S
3919:1
3913:j
3909:)
3905:1
3899:(
3894:n
3889:1
3886:=
3883:j
3875:=
3870:)
3863:i
3859:A
3853:n
3848:1
3845:=
3842:i
3832:(
3826:P
3817:j
3813:S
3807:1
3801:j
3797:)
3793:1
3787:(
3782:K
3777:1
3774:=
3771:j
3743:n
3737:K
3712:j
3708:S
3702:1
3696:j
3692:)
3688:1
3682:(
3677:n
3672:1
3669:=
3666:j
3658:=
3653:)
3646:i
3642:A
3636:n
3631:1
3628:=
3625:i
3615:(
3609:P
3600:j
3596:S
3590:1
3584:j
3580:)
3576:1
3570:(
3565:K
3560:1
3557:=
3554:j
3526:n
3520:K
3507:n
3503:k
3486:)
3479:k
3475:i
3470:A
3453:1
3449:i
3444:A
3440:(
3435:P
3428:n
3420:k
3416:i
3401:1
3397:i
3390:1
3377:k
3373:S
3368:,
3361:,
3358:)
3351:2
3347:i
3342:A
3331:1
3327:i
3322:A
3318:(
3313:P
3306:n
3298:2
3294:i
3285:1
3281:i
3274:1
3261:2
3257:S
3252:,
3249:)
3244:i
3240:A
3236:(
3231:P
3224:n
3219:1
3216:=
3213:i
3200:1
3196:S
3137:.
3134:)
3129:i
3125:A
3121:(
3117:P
3111:i
3100:)
3095:i
3091:B
3087:(
3083:P
3077:i
3069:=
3065:)
3059:i
3055:B
3049:i
3040:(
3035:P
3031:=
3027:)
3021:i
3017:A
3011:i
3002:(
2997:P
2971:.
2968:)
2965:A
2962:(
2958:P
2951:)
2948:B
2945:(
2941:P
2920:,
2917:A
2911:B
2889:i
2885:A
2876:i
2872:B
2849:i
2845:B
2819:i
2815:A
2804:1
2801:=
2798:i
2785:i
2781:B
2770:1
2767:=
2764:i
2737:k
2733:A
2726:x
2704:j
2700:A
2694:1
2688:k
2683:1
2680:=
2677:j
2664:k
2660:A
2656:=
2651:k
2647:B
2626:k
2604:k
2600:B
2593:x
2571:i
2567:B
2556:1
2553:=
2550:i
2539:x
2514:i
2510:B
2499:1
2496:=
2493:i
2480:i
2476:A
2465:1
2462:=
2459:i
2432:j
2428:A
2422:1
2416:k
2411:1
2408:=
2405:j
2392:k
2388:A
2384:=
2379:k
2375:B
2368:x
2346:i
2342:A
2335:x
2327:k
2321:i
2301:k
2279:k
2275:A
2268:x
2246:i
2242:A
2231:1
2228:=
2225:i
2214:x
2188:.
2183:i
2179:A
2168:1
2165:=
2162:i
2154:=
2149:i
2145:B
2134:1
2131:=
2128:i
2095:j
2091:A
2085:1
2079:i
2074:1
2071:=
2068:j
2055:i
2051:A
2047:=
2042:i
2038:B
2012:i
2008:A
1978:;
1975:)
1970:i
1966:B
1962:(
1958:P
1952:i
1944:=
1940:)
1934:i
1930:B
1924:i
1915:(
1910:P
1879:,
1874:3
1870:B
1866:,
1861:2
1857:B
1853:,
1848:1
1844:B
1820:.
1817:)
1812:i
1808:A
1804:(
1800:P
1794:i
1782:)
1776:i
1772:A
1766:i
1757:(
1752:P
1721:,
1716:3
1712:A
1708:,
1703:2
1699:A
1695:,
1690:1
1686:A
1657:.
1654:)
1649:i
1645:A
1641:(
1637:P
1631:1
1628:+
1625:n
1620:1
1617:=
1614:i
1606:=
1603:)
1598:1
1595:+
1592:n
1588:A
1584:(
1580:P
1576:+
1573:)
1568:i
1564:A
1560:(
1556:P
1550:n
1545:1
1542:=
1539:i
1527:)
1521:i
1517:A
1511:1
1508:+
1505:n
1500:1
1497:=
1494:i
1485:(
1480:P
1453:,
1450:)
1445:1
1442:+
1439:n
1435:A
1431:(
1427:P
1423:+
1419:)
1413:i
1409:A
1403:n
1398:1
1395:=
1392:i
1383:(
1378:P
1370:)
1364:i
1360:A
1354:1
1351:+
1348:n
1343:1
1340:=
1337:i
1328:(
1323:P
1292:,
1289:0
1282:)
1276:1
1273:+
1270:n
1266:A
1257:i
1253:A
1247:n
1242:1
1239:=
1236:i
1227:(
1221:P
1193:.
1189:)
1183:1
1180:+
1177:n
1173:A
1164:i
1160:A
1154:n
1149:1
1146:=
1143:i
1134:(
1129:P
1122:)
1117:1
1114:+
1111:n
1107:A
1103:(
1099:P
1095:+
1091:)
1085:i
1081:A
1075:n
1070:1
1067:=
1064:i
1055:(
1050:P
1046:=
1042:)
1036:i
1032:A
1026:1
1023:+
1020:n
1015:1
1012:=
1009:i
1000:(
995:P
967:,
964:)
961:B
955:A
952:(
948:P
941:)
938:B
935:(
931:P
927:+
924:)
921:A
918:(
914:P
910:=
907:)
904:B
898:A
895:(
891:P
867:.
864:)
859:i
855:A
851:(
846:P
839:n
834:1
831:=
828:i
816:)
810:i
806:A
800:n
795:1
792:=
789:i
780:(
774:P
749:n
726:.
723:)
718:1
714:A
710:(
706:P
699:)
694:1
690:A
686:(
682:P
658:1
655:=
652:n
629:n
604:-
602:Ï
577:.
574:)
569:i
565:A
561:(
556:P
544:1
541:=
538:i
526:)
520:i
516:A
505:1
502:=
499:i
490:(
484:P
469:3
466:A
462:2
459:A
455:1
452:A
405:e
398:t
391:v
83:)
77:(
72:)
68:(
54:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
