2822:
2487:
2817:{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \\{\text{CH}}^{*-d}(Y,2)\to {\text{CH}}^{*}(X,2)\to {\text{CH}}^{*}(U,2)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,1)\to {\text{CH}}^{*}(X,1)\to {\text{CH}}^{*}(U,1)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,0)\to {\text{CH}}^{*}(X,0)\to {\text{CH}}^{*}(U,0)\to &{\text{ }}0\end{aligned}}}
1735:
1282:
969:
166:
635:
1848:
1980:
1573:
1565:
1395:
1172:
2445:
1103:
713:
799:
3009:
300:
2492:
2236:
2022:
1466:
225:
2158:
457:
407:
3123:
2066:
1893:
832:
3094:
1164:
874:
859:
2895:
2479:
3181:
Vladmir
Voevodsky, āMotivic cohomology groups are isomorphic to higher Chow groups in any characteristic,ā International Mathematics Research Notices 7 (2002), 351ā355.
2092:
1133:
2294:
1008:
501:
340:
320:
2368:
360:
75:
2927:
2857:
2185:
3032:
2334:
2314:
245:
509:
1758:
17:
1730:{\displaystyle \cdots \to z_{r}(X,q){\overset {d_{q}}{\to }}z_{r}(X,q-1){\overset {d_{q-1}}{\to }}\cdots {\overset {d_{1}}{\to }}z_{r}(X,0).}
1902:
1473:
1277:{\displaystyle \partial _{X,q,i}=\operatorname {id} _{X}\times \partial _{q,i}:X\times \Delta ^{q-1}\hookrightarrow X\times \Delta ^{q}}
1294:
2376:
1025:
647:
718:
2935:
250:
3034:
has pure codimension, then it yields the long exact sequence for higher Chow groups (called the localization sequence).
2193:
1988:
1411:
182:
2097:
1406:
362:, and the higher Chow groups are meant to encode the information of higher homotopy coherence. For example,
418:
368:
3194:
1896:
48:
2859:. In particular, this shows the higher chow groups naturally extend the exact sequence of chow groups.
3099:
474:
be a quasi-projective algebraic scheme over a field (āalgebraicā means separated and of finite type).
2027:
1856:
964:{\displaystyle \partial _{q,i}:\Delta ^{q-1}{\overset {\sim }{\to }}\{t_{i}=0\}\subset \Delta ^{q}.}
804:
3140:
3072:
1142:
837:
2874:
2458:
2296:
are covariant between the higher chow groups while flat maps are contravariant. Also, whenever
2071:
1112:
161:{\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Z} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)}
2267:
977:
480:
325:
305:
2347:
345:
179:
One of the motivations for higher Chow groups comes from homotopy theory. In particular, if
3125:
and then, without loss of generality, assume one vertex is the origin 0 and the other is ā.
2900:
2830:
2163:
8:
3176:
1106:
3051:
3017:
2319:
2299:
2160:
and this means, by
Proposition 1.6. in Fultonās intersection theory, that the image of
1285:
630:{\displaystyle \Delta ^{q}=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(t_{0}+\dots +t_{q}-1)),}
230:
36:
1843:{\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\operatorname {H} _{q}(z_{r}(X,\cdot )).}
3154:
3135:
3149:
1011:
3188:
55:
40:
2187:
is precisely the group of cycles rationally equivalent to zero; that is,
2243:
32:
2370:
is an algebraic vector bundle, then there is the homotopy equivalence
1975:{\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\pi _{q}z_{r}(X,\cdot )}
462:
can be thought of as the homotopy classes of homotopies of cycles.
3163:
Bloch, Spencer (1994). "The moving lemma for higher Chow groups".
1560:{\displaystyle d_{q}=\sum _{i=0}^{q}(-1)^{i}\partial _{X,q,i}^{*}}
1390:{\displaystyle \partial _{X,q,i}^{*}:z_{r}(X,q)\to z_{r}(X,q-1)}
2440:{\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,n)\cong {\text{CH}}^{*}(E,n)}
1098:{\displaystyle z_{r}(X,q)\subset Z_{r+q}(X\times \Delta ^{q})}
708:{\displaystyle 0\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq q}
54:
In more precise terms, a theorem of
Voevodsky implies: for a
1899:, higher Chow groups can also be defined as homotopy groups
171:
between motivic cohomology groups and higher Chow groups.
412:
can be thought of as the homotopy classes of cycles while
1895:
is naturally a simplicial abelian group, in view of the
1105:
for the subgroup generated by closed subvarieties that
794:{\displaystyle t_{i_{1}}=t_{i_{2}}=\cdots =t_{i_{r}}=0}
47:) and the basic theory has been developed by Bloch and
3004:{\displaystyle z(X,\cdot )/z(Y,\cdot )\to z(U,\cdot )}
3102:
3075:
3020:
2938:
2903:
2877:
2833:
2490:
2461:
2379:
2350:
2322:
2302:
2270:
2196:
2166:
2100:
2074:
2030:
1991:
1905:
1859:
1761:
1576:
1476:
1414:
1297:
1175:
1145:
1115:
1028:
980:
877:
840:
807:
721:
650:
512:
483:
421:
371:
348:
328:
308:
295:{\displaystyle \gamma \in Z_{*}(X\times \Delta ^{1})}
253:
233:
185:
78:
2024:is a closed subvariety such that the intersections
3117:
3088:
3026:
3003:
2921:
2889:
2851:
2816:
2473:
2439:
2362:
2328:
2308:
2288:
2230:
2179:
2152:
2086:
2060:
2016:
1974:
1887:
1842:
1729:
1559:
1460:
1389:
1276:
1158:
1127:
1097:
1002:
963:
853:
826:
793:
707:
629:
495:
451:
401:
354:
334:
314:
294:
239:
219:
160:
3186:
1284:is an effective Cartier divisor, there is the
3014:is a homotopy equivalence. In particular, if
2231:{\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,0)=}
39:(for smooth varieties). It was introduced by
2017:{\displaystyle V\subset X\times \Delta ^{1}}
1461:{\displaystyle (X\times \{t_{i}=0\})\cap V.}
1443:
1424:
942:
923:
247:which are rationally equivalent via a cycle
2481:there is a localization long exact sequence
640:which is an algebraic analog of a standard
220:{\displaystyle \alpha ,\beta \in Z_{*}(X)}
3153:
3105:
2455:Given a closed equidimensional subscheme
536:
102:
2153:{\displaystyle d_{1}(V)=V(0)-V(\infty )}
35:, is a precursor and a basic example of
2862:
1401:that (by definition) maps a subvariety
14:
3187:
3136:"Algebraic cycles and higher K-theory"
2339:
3162:
3133:
2868:
44:
3059:. Clay Math Monographs. p. 159.
2871:) showed that, given an open subset
452:{\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,1)}
402:{\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,0)}
322:can be thought of as a path between
3053:Lecture Notes on Motivic Cohomology
1752:-th homology of the above complex:
24:
3077:
2144:
2081:
2052:
2005:
1794:
1531:
1299:
1265:
1240:
1215:
1177:
1147:
1083:
949:
898:
879:
842:
809:
514:
280:
80:
25:
3206:
3177:An Overview of Motivic Cohomology
3134:Bloch, Spencer (September 1986).
69:, there is a natural isomorphism
3118:{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
2259:
2450:
2061:{\displaystyle V(0),V(\infty )}
1888:{\displaystyle z_{r}(X,\cdot )}
1567:which yields the chain complex
18:Bloch's higher Chow groups
3063:
3044:
2998:
2986:
2980:
2977:
2965:
2954:
2942:
2797:
2794:
2782:
2767:
2764:
2752:
2737:
2734:
2722:
2696:
2693:
2681:
2666:
2663:
2651:
2636:
2633:
2621:
2595:
2592:
2580:
2565:
2562:
2550:
2535:
2532:
2520:
2434:
2422:
2404:
2392:
2354:
2280:
2222:
2210:
2147:
2141:
2132:
2126:
2117:
2111:
2055:
2049:
2040:
2034:
1969:
1957:
1931:
1919:
1882:
1870:
1834:
1831:
1819:
1806:
1787:
1775:
1721:
1709:
1684:
1658:
1653:
1635:
1610:
1605:
1593:
1580:
1521:
1511:
1446:
1415:
1384:
1366:
1353:
1350:
1338:
1255:
1092:
1073:
1051:
1039:
997:
991:
915:
621:
618:
580:
572:
540:
532:
446:
434:
396:
384:
289:
270:
214:
208:
155:
134:
115:
112:
106:
92:
13:
1:
3165:Journal of Algebraic Geometry
3037:
2254:
1470:Define the boundary operator
827:{\displaystyle \Delta ^{q-r}}
465:
174:
3155:10.1016/0001-8708(86)90081-2
644:-simplex. For each sequence
7:
3089:{\displaystyle \Delta ^{1}}
1159:{\displaystyle \Delta ^{q}}
854:{\displaystyle \Delta ^{q}}
10:
3211:
2890:{\displaystyle U\subset X}
2474:{\displaystyle Y\subset X}
61:over a field and integers
29:Bloch's higher Chow groups
2087:{\displaystyle 0,\infty }
1744:-th higher Chow group of
1128:{\displaystyle X\times F}
868:, there is the embedding
801:, which is isomorphic to
2289:{\displaystyle f:X\to Y}
1003:{\displaystyle Z_{i}(X)}
227:are algebraic cycles in
3141:Advances in Mathematics
1897:DoldāKan correspondence
715:, the closed subscheme
496:{\displaystyle q\geq 0}
335:{\displaystyle \alpha }
315:{\displaystyle \gamma }
27:In algebraic geometry,
3119:
3090:
3028:
3005:
2923:
2891:
2853:
2825:
2818:
2475:
2448:
2441:
2364:
2363:{\displaystyle E\to X}
2330:
2316:is smooth, any map to
2310:
2290:
2232:
2181:
2154:
2088:
2062:
2018:
1976:
1889:
1844:
1731:
1561:
1510:
1462:
1391:
1278:
1160:
1129:
1099:
1004:
965:
855:
834:, is called a face of
828:
795:
709:
631:
497:
460:
453:
410:
403:
356:
355:{\displaystyle \beta }
336:
316:
296:
241:
221:
162:
31:, a generalization of
3120:
3091:
3029:
3006:
2924:
2922:{\displaystyle Y=X-U}
2892:
2854:
2852:{\displaystyle U=X-Y}
2819:
2483:
2476:
2442:
2372:
2365:
2331:
2311:
2291:
2233:
2182:
2180:{\displaystyle d_{1}}
2155:
2089:
2063:
2019:
1977:
1890:
1845:
1732:
1562:
1490:
1463:
1392:
1279:
1161:
1130:
1100:
1005:
966:
856:
829:
796:
710:
632:
498:
454:
414:
404:
364:
357:
337:
317:
297:
242:
222:
163:
3100:
3096:with a subscheme of
3073:
3018:
2936:
2901:
2875:
2863:Localization theorem
2831:
2488:
2459:
2377:
2348:
2320:
2300:
2268:
2194:
2164:
2098:
2072:
2028:
1989:
1903:
1857:
1853:(More simply, since
1759:
1574:
1474:
1412:
1295:
1173:
1143:
1113:
1026:
978:
875:
838:
805:
719:
648:
510:
481:
419:
369:
346:
326:
306:
251:
231:
183:
76:
2340:Homotopy invariance
1556:
1324:
3195:Algebraic geometry
3115:
3086:
3069:Here, we identify
3024:
3001:
2919:
2887:
2849:
2814:
2812:
2471:
2437:
2360:
2336:is contravariant.
2326:
2306:
2286:
2228:
2177:
2150:
2084:
2058:
2014:
1972:
1885:
1840:
1748:is defined as the
1727:
1557:
1530:
1458:
1387:
1298:
1286:Gysin homomorphism
1274:
1156:
1125:
1107:intersect properly
1095:
1000:
961:
851:
824:
791:
705:
627:
493:
449:
399:
352:
332:
312:
292:
237:
217:
158:
37:motivic cohomology
3027:{\displaystyle Y}
2805:
2774:
2744:
2708:
2673:
2643:
2607:
2572:
2542:
2506:
2414:
2384:
2329:{\displaystyle Y}
2309:{\displaystyle Y}
2094:are proper, then
1697:
1677:
1623:
1010:for the group of
921:
477:For each integer
426:
376:
240:{\displaystyle X}
16:(Redirected from
3202:
3172:
3159:
3157:
3126:
3124:
3122:
3121:
3116:
3114:
3113:
3108:
3095:
3093:
3092:
3087:
3085:
3084:
3067:
3061:
3060:
3058:
3048:
3033:
3031:
3030:
3025:
3010:
3008:
3007:
3002:
2961:
2928:
2926:
2925:
2920:
2896:
2894:
2893:
2888:
2858:
2856:
2855:
2850:
2823:
2821:
2820:
2815:
2813:
2806:
2803:
2781:
2780:
2775:
2772:
2751:
2750:
2745:
2742:
2721:
2720:
2709:
2706:
2700:
2680:
2679:
2674:
2671:
2650:
2649:
2644:
2641:
2620:
2619:
2608:
2605:
2599:
2579:
2578:
2573:
2570:
2549:
2548:
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2540:
2519:
2518:
2507:
2504:
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2478:
2477:
2472:
2446:
2444:
2443:
2438:
2421:
2420:
2415:
2412:
2391:
2390:
2385:
2382:
2369:
2367:
2366:
2361:
2335:
2333:
2332:
2327:
2315:
2313:
2312:
2307:
2295:
2293:
2292:
2287:
2237:
2235:
2234:
2229:
2206:
2205:
2186:
2184:
2183:
2178:
2176:
2175:
2159:
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