3468:
2325:
3463:{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\(x+y)^{1}&=x+y,\\(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\(x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\(x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\(x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\(x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\(x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}
14174:
4273:
218:
11297:
2313:
7919:
6298:
34:
13271:
10928:
3839:
1993:
5410:
10556:
1442:
9064:
8658:
7610:
5994:
8109:
8887:
8491:
213:{\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}
13679:
13050:
12089:
3581:
1686:
4263:
4077:
5195:
12643:
10296:
13427:
13982:
12480:
1886:
11412:
1148:
10811:
4793:
2330:
12938:
8911:
8505:
11292:{\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}
12783:
12313:
11868:
2308:{\displaystyle {\begin{aligned}(x+1)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}
7532:
13533:
7961:
11585:
8673:
8268:
7352:
9770:
9465:
8295:
13035:
13544:
11891:
7160:
7914:{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}
6293:{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}
5004:
551:
1494:
4090:
3904:
1998:
12485:
7396:. In order to do this, one needs to give meaning to binomial coefficients with an arbitrary upper index, which cannot be done using the usual formula with factorials. However, for an arbitrary number
994:
was probably familiar with the formula to higher orders, although many of his mathematical works are lost. The binomial expansions of small degrees were known in the 13th century mathematical works of
5179:
12188:
11687:
13282:
12318:
7615:
5999:
4095:
3909:
3586:
1705:
10882:
10666:
6821:
11308:
1971:
10671:
6491:
5618:
4646:
13266:{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}
10074:
9909:
9526:
7008:
12788:
9307:
5972:
4900:
4445:
14212:
13801:
12648:
12193:
3834:{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}}
6571:
957:
13755:
11759:
6345:
5871:
5070:
4568:
6702:
6414:
5912:
5512:
5459:
1483:
768:
708:
651:
610:
317:
264:
9997:
5405:{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}
7403:
4837:
3890:
10023:
9572:
7565:
13445:
4503:
1095:
14031:
11434:
10551:{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}
9636:
9220:
4630:
1050:
10249:
10161:
9945:
4591:
9333:
8137:
10275:
10187:
13793:
10105:
7217:
10213:
4471:
1437:{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}
877:
847:
817:
9338:
10125:
9854:
9830:
9810:
9790:
9592:
12965:
15955:
9059:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}
8653:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}
7057:
1119:
is generally credited with discovering the generalized binomial theorem, valid for any real exponent, in 1665. It was discovered independently in 1670 by
424:
15943:
11872:
Using the binomial theorem, the expression on the right can be expanded, and then the real and imaginary parts can be taken to yield formulas for
14161:, Alan Turing makes reference to Isaac Newton's work on the binomial theorem during his first meeting with Commander Denniston at Bletchley Park.
9643:
904:
from the 10th century AD explains this method. By the 6th century AD, the Indian mathematicians probably knew how to express this as a quotient
5100:
14511:
8104:{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}
10925:
When working in more dimensions, it is often useful to deal with products of binomial expressions. By the binomial theorem this is equal to
16065:
15950:
11745:
890:
without replacement, were of interest to ancient Indian mathematicians. The earliest known reference to this combinatorial problem is the
8882:{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}
4937:
15933:
15928:
6725:
15938:
15923:
15037:
8486:{\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.}
15225:
7388:
generalized the binomial theorem to allow real exponents other than nonnegative integers. (The same generalization also applies to
6423:
5540:
15918:
14492:
14217:
1898:
in the first expression, and by comparison it follows that the sequence of binomial coefficients in the formula is symmetrical,
16091:
13674:{\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}
6846:
12084:{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}
9225:
1105:. However, the pattern of numbers was already known to the European mathematicians of the late Renaissance, including Stifel,
15535:
15289:
14938:
14633:
14608:
14575:
12094:
11604:
5007:
10127:
operator, the Delta operators corresponding to the above "Pochhammer" families of polynomials are the backward difference
16096:
1681:{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}
10818:
10602:
15087:
14829:
14132:
4258:{\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}
4072:{\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}
6364:
16033:
15892:
14862:
14804:
14777:
14463:
4931:
1901:
15447:
15363:
12638:{\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}
10291:
The binomial theorem can be generalized to include powers of sums with more than two terms. The general version is
17:
16028:
15960:
15585:
15440:
15408:
15167:
14702:
4927:
970:
The first known formulation of the binomial theorem and the table of binomial coefficients appears in a work by
15661:
15638:
15353:
14992:
13708:
13422:{\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}
10028:
9863:
9480:
13977:{\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}
5917:
853:'s method for finding cube roots, from around 510 CE, suggests that he knew the binomial formula for exponent
15751:
15689:
15484:
15358:
15030:
14974:
1120:
12475:{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}
1881:{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}
15237:
15215:
13692:
4796:
16060:
1106:
16045:
15811:
15425:
15247:
14969:
14202:
11407:{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}
6529:
13714:
6303:
4842:
4387:
907:
15430:
15200:
5832:
5031:
4528:
10806:{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}
6666:
5876:
5476:
5423:
1447:
732:
672:
615:
574:
281:
228:
15849:
15796:
14964:
12956:
9950:
4788:{\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}
15257:
14738:
4806:
15965:
15736:
15284:
15023:
14930:
14769:
14497:
14487:
14197:
3844:
14519:
10002:
9538:
7537:
15731:
15403:
14121:
14116:
12933:{\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}
4476:
1055:
14080:
matrices, provided that those matrices commute; this is useful in computing powers of a matrix.
13990:
11431:
th derivative of a product of two functions in a form similar to that of the binomial theorem:
9599:
15859:
15741:
15562:
15510:
15316:
15294:
15162:
14988:
14440:
However, algebra advanced in other respects. Around 1000, al-Karaji stated the binomial theorem
14187:
11741:
9186:
6505:
5417:
4596:
1987:
1976:
1699:
1016:
987:
892:
14794:
10218:
10130:
9914:
4573:
882:
Binomial coefficients, as combinatorial quantities expressing the number of ways of selecting
15985:
15844:
15756:
15413:
15348:
15321:
15311:
15232:
15220:
15205:
15177:
14453:
14192:
12941:
12778:{\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}
12308:{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}
9312:
5535:
718:
341:
14922:
14761:
14719:
10254:
10166:
15801:
15420:
15267:
14207:
13760:
11863:{\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}
11422:
11302:
10083:
9112:
7163:
5656:
5019:
1486:
662:
569:
275:
223:
8:
15821:
15746:
15633:
15590:
15341:
15326:
15157:
15145:
15132:
15092:
15072:
15000:
14923:
14762:
14483:
14084:
10286:
10192:
4800:
4450:
856:
826:
796:
378:
14143:
7937:
are zero, so this equation reduces to the usual binomial theorem, and there are at most
786:
Special cases of the binomial theorem were known since at least the 4th century BC when
15910:
15885:
15716:
15669:
15610:
15575:
15570:
15550:
15545:
15540:
15505:
15452:
15435:
15336:
15210:
15195:
15140:
15107:
15008:
14681:
14600:
14593:
14305:
14179:
14157:
14128:
14053:
13684:
10885:
10110:
9839:
9815:
9795:
9775:
9577:
8121:
7527:{\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}
983:
325:
14652:
Barth, Nils R. (2004). "Computing
Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the
16050:
15874:
15806:
15628:
15605:
15479:
15472:
15375:
15190:
15082:
14980:
14944:
14934:
14858:
14825:
14800:
14773:
14673:
14629:
14604:
14571:
14459:
14397:
14380:
14364:
14347:
14173:
9176:
9115:
7572:
7568:
787:
726:
14921:
Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial
Coefficients".
14434:
14413:
14327:
13528:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}
5632:
from each of the binomials of the product. For example, there will only be one term
16008:
15791:
15704:
15684:
15615:
15525:
15467:
15459:
15393:
15306:
15067:
14850:
14665:
14429:
14392:
14359:
14297:
11580:{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}
5621:
403:
14892:"Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo"
982:
described the triangular pattern of the binomial coefficients and also provided a
16070:
16055:
15839:
15694:
15674:
15643:
15620:
15600:
15494:
15150:
15097:
14984:
14706:
14139:
13040:
11737:
7393:
7379:
5522:-element set. This is related to binomials for the following reason: if we write
4272:
1013:
introduced the term "binomial coefficient" and showed how to use them to express
13707:
The binomial theorem is closely related to the probability mass function of the
8263:{\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}
15980:
15879:
15726:
15679:
15580:
15383:
10560:
where the summation is taken over all sequences of nonnegative integer indices
10077:
9141:
7389:
1010:
999:
975:
337:
15398:
14512:"Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle"
13711:. The probability of a (countable) collection of independent Bernoulli trials
5873:
either by definition, or by a short combinatorial argument if one is defining
964:
16085:
15854:
15709:
15595:
15299:
15274:
14677:
14148:
14103:
10893:
7347:{\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}
4510:
1098:
666:
14948:
14381:"The Binomial Theorem: A Widespread Concept in Medieval Islamic Mathematics"
15864:
15834:
15699:
15262:
14854:
14548:
9765:{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}
9460:{\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}
7385:
1116:
1110:
991:
986:
of both the binomial theorem and Pascal's triangle, using an early form of
959:, and a clear statement of this rule can be found in the 12th century text
711:
10668:
are known as multinomial coefficients, and can be computed by the formula
15112:
15054:
1131:
According to the theorem, the expansion of any nonnegative integer power
1002:. Yang Hui attributes the method to a much earlier 11th century text of
396:
13030:{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}
900:(c. 200 BC), which contains a method for its solution. The commentator
15829:
15761:
15515:
15388:
15252:
15242:
15185:
15004:
14685:
14309:
4517:, then this picture shows the infinitesimal change in the volume of an
4382:
820:
14891:
14698:
5420:. Although this formula involves a fraction, the binomial coefficient
1890:
The final expression follows from the previous one by the symmetry of
16023:
15771:
15766:
15077:
14455:
The
Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra
10595:. (For each term in the expansion, the exponents must add up to
7392:
exponents.) In this generalization, the finite sum is replaced by an
5651:, one for each way of choosing exactly two binomials to contribute a
5642:
from each binomial. However, there will be several terms of the form
5182:
4522:
979:
971:
901:
850:
357:
14669:
14301:
7155:{\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}
5624:, there will be one term in the expansion for each choice of either
344:. According to the theorem, it is possible to expand the polynomial
16018:
15520:
15046:
14328:
Jean-Claude
Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987).
14057:
9073:
The generalized binomial theorem can be extended to the case where
4378:
1003:
995:
13039:
Applying the binomial theorem to this expression yields the usual
5024:
The coefficients that appear in the binomial expansion are called
4999:{\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}
4926:
If one integrates this picture, which corresponds to applying the
546:{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}
15869:
15122:
14213:
Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
13695:
for series that the sum of this infinite series is equal to
5462:
897:
793:
mentioned the special case of the binomial theorem for exponent
16038:
15102:
14908:
Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India".
11753:
10896:
9132:. The generalized binomial theorem is valid also for elements
9081:
are complex numbers. For this version, one should again assume
790:
14040:
The binomial theorem is valid more generally for two elements
12315:
which are the usual double-angle identities. Similarly, since
653:(the two have the same value). These coefficients for varying
15117:
14288:
Coolidge, J. L. (1949). "The Story of the
Binomial Theorem".
9175:
A version of the binomial theorem is valid for the following
15015:
11749:
7948:, the series typically has infinitely many nonzero terms.
5174:{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}
13683:
Indeed, since each term of the binomial expansion is an
7927:
is a nonnegative integer, the binomial coefficients for
7373:
4295:
is the geometrically evident fact that a square of side
1975:
A simple variant of the binomial formula is obtained by
14146:, wrote that "Newton's Binomial is as beautiful as the
12183:{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}
11682:{\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}
9179:-like family of polynomials: for a given real constant
4276:
Visualisation of binomial expansion up to the 4th power
14083:
The binomial theorem can be stated by saying that the
12091:
But De Moivre's formula identifies the left side with
11637:
10823:
10607:
6671:
6534:
6308:
5922:
5881:
5837:
5668:
will be equal to the number of ways to choose exactly
5481:
5428:
5036:
4973:
4941:
4839:
and higher, become negligible, and yields the formula
3486:
th row (numbered so that the top row is the 0th row):
2322:
Here are the first few cases of the binomial theorem:
1904:
1452:
1101:
studied the eponymous triangle comprehensively in his
910:
737:
677:
620:
579:
286:
233:
39:
14566:
13993:
13804:
13763:
13717:
13547:
13448:
13285:
13053:
12968:
12791:
12651:
12488:
12321:
12196:
12097:
11894:
11762:
11607:
11437:
11311:
10931:
10821:
10674:
10605:
10299:
10257:
10221:
10195:
10169:
10133:
10113:
10086:
10031:
10005:
9953:
9917:
9866:
9842:
9818:
9798:
9778:
9646:
9602:
9580:
9541:
9483:
9341:
9315:
9228:
9189:
8914:
8676:
8508:
8298:
8140:
7964:
7613:
7540:
7406:
7220:
7060:
6849:
6728:
6669:
6532:
6426:
6367:
6306:
5997:
5920:
5879:
5835:
5750:. Rearranging factors shows that each product equals
5543:
5479:
5426:
5416:
factors in both the numerator and denominator of the
5198:
5103:
5034:
4940:
4845:
4809:
4803:
and taking limits means that the higher order terms,
4649:
4599:
4576:
4531:
4479:
4453:
4390:
4093:
3907:
3847:
3584:
2328:
1996:
1708:
1497:
1450:
1151:
1058:
1019:
859:
829:
799:
735:
675:
618:
577:
427:
284:
231:
37:
14920:
14796:
14169:
11723:
from each term gives the ordinary binomial theorem.
14737:Sokolowsky, Dan; Rennie, Basil C. (February 1979).
10076:is binomial if and only if its basis operator is a
6508:yields another proof of the binomial theorem. When
5514:can be interpreted as the number of ways to choose
4381:, this picture also gives a geometric proof of the
4081:A simple example with a specific negative value of
3895:A simple example with a specific positive value of
14592:
14131:is described by Sherlock Holmes as having written
14025:
13976:
13787:
13749:
13673:
13527:
13438:, the rational expression on the right approaches
13421:
13265:
13029:
12932:
12777:
12637:
12474:
12307:
12182:
12083:
11862:
11681:
11579:
11406:
11291:
10877:{\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}
10876:
10805:
10661:{\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}
10660:
10550:
10269:
10243:
10207:
10181:
10155:
10119:
10099:
10068:
10017:
9991:
9939:
9903:
9848:
9824:
9804:
9784:
9764:
9630:
9586:
9566:
9520:
9459:
9327:
9301:
9214:
9058:
8881:
8652:
8485:
8262:
8103:
7913:
7559:
7526:
7346:
7154:
7002:
6815:
6696:
6565:
6485:
6408:
6339:
6292:
5966:
5906:
5865:
5612:
5506:
5453:
5404:
5173:
5064:
4998:
4906:"the infinitesimal rate of change in volume of an
4894:
4831:
4787:
4624:
4585:
4562:
4497:
4465:
4439:
4257:
4071:
3884:
3833:
3462:
2307:
1965:
1880:
1680:
1477:
1436:
1089:
1044:
951:
871:
841:
811:
762:
702:
645:
604:
545:
311:
258:
212:
14481:
13946:
13921:
13481:
13468:
13302:
13289:
13237:
13224:
13189:
13176:
13147:
13134:
13112:
13099:
12883:
12870:
12731:
12718:
11512:
11499:
11369:
11356:
11223:
11196:
11127:
11100:
10732:
10678:
10470:
10416:
9712:
9699:
9410:
9397:
8860:
8833:
8762:
8735:
8445:
8418:
8375:
8357:
7684:
7671:
7423:
7410:
7303:
7282:
7143:
7122:
7110:
7089:
7077:
7064:
6816:{\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}
6493:where each subset specifies the positions of the
5215:
5202:
5120:
5107:
4735:
4722:
2293:
2269:
2256:
2206:
2193:
2165:
2144:
2116:
2103:
2081:
2068:
2046:
2033:
1843:
1830:
1771:
1758:
1514:
1501:
1405:
1392:
1354:
1333:
1289:
1276:
1238:
1225:
1193:
1180:
16083:
15009:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
14881:, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).
14736:
14595:Elements of the History of Mathematics Paperback
13450:
12976:
7958:gives the following series for the square root:
6573:Now suppose that the equality holds for a given
6416:corresponding to the three 2-element subsets of
5775:, the following are proved equal in succession:
14845:Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2001-01-01).
14488:"Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji"
14239:This is to guarantee convergence. Depending on
7575:. This agrees with the usual definitions when
5468:
1966:{\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}.}
14243:, the series may also converge sometimes when
14235:
14233:
9856:on the space of polynomials is said to be the
15031:
14422:Bulletin of the American Mathematical Society
10867:
10826:
10815:Combinatorially, the multinomial coefficient
10651:
10610:
6687:
6674:
6550:
6537:
6324:
6311:
5897:
5884:
5853:
5840:
5497:
5484:
5444:
5431:
5052:
5039:
4570:where the coefficient of the linear term (in
3578:An example illustrating the last two points:
1954:
1933:
1921:
1908:
1468:
1455:
1006:, although those writings are now also lost.
753:
740:
693:
680:
636:
623:
595:
582:
319:). Each entry is the sum of the two above it.
302:
289:
249:
236:
14647:
14645:
14418:by Victor J. Katz and Karen Hunger Parshall"
14416:Taming the unknown. A history of algebra ...
13732:
13718:
11731:
10046:
10032:
9881:
9867:
9498:
9484:
8120:, the generalized binomial series gives the
6486:{\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}
6477:
6465:
6458:
6446:
6439:
6427:
5613:{\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}
5192:. Equivalently, this formula can be written
14962:
14849:. John Wiley & Sons, Inc. p. 320.
14844:
14230:
4910:-cube as side length varies is the area of
27:Algebraic expansion of powers of a binomial
15038:
15024:
14730:
14283:
14281:
14279:
14277:
14275:
14152:. The truth is that few people notice it."
11740:the binomial theorem can be combined with
9068:
6464:
6445:
6393:
6380:
5146:
16066:Regiomontanus' angle maximization problem
14929:(2nd ed.). Addison Wesley. pp.
14642:
14628:(third ed.). Springer. p. 186.
14623:
14568:A History of Mathematics: An Introduction
14433:
14411:
14396:
14363:
14323:
14321:
14319:
14115:The binomial theorem is mentioned in the
10920:
10069:{\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}
9904:{\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}
9521:{\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}
7003:{\displaystyle _{j,k}=_{j-1,k}+_{j,k-1},}
4962:
4328:, the theorem states that a cube of side
1540:
15909:
14999:This article incorporates material from
14711:
14590:
14477:
14475:
14378:
14287:
9302:{\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}}
5967:{\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}
5013:
4271:
4267:
1690:This formula is also referred to as the
15414:Differentiating under the integral sign
14555:. Oxford University Press. p. 273.
14543:
14541:
14539:
14493:MacTutor History of Mathematics Archive
14341:
14339:
14272:
11416:
11301:This may be written more concisely, by
10884:counts the number of different ways to
7354:which is the inductive hypothesis with
5008:proof of Cavalieri's quadrature formula
3547:before combining like terms, there are
990:. The Persian poet and mathematician
336:) describes the algebraic expansion of
14:
16084:
14822:The Art of Proving Binomial Identities
14819:
14759:
14509:
14451:
14316:
14035:
12940:There are also similar formulas using
10280:
5684:
3563:after combining like terms, there are
1702:, it can be written more concisely as
15290:Inverse functions and differentiation
15019:
14792:
14717:
14651:
14547:
14472:
14345:
14109:
9474:recovers the usual binomial theorem.
7374:Newton's generalized binomial theorem
7365:and so completes the inductive step.
6357:strings of length 3 with exactly two
3570:terms, and their coefficients sum to
14565:
14536:
14336:
13987:An upper bound for this quantity is
11756:. According to De Moivre's formula,
7579:is a nonnegative integer. Then, if
3530:(the first term implicitly contains
1986:, so that it involves only a single
15001:inductive proof of binomial theorem
14991:by Bruce Colletti and Jeff Bryant,
14907:
11427:The general Leibniz rule gives the
7944:nonzero terms. For other values of
6566:{\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}
3505:(the last term implicitly contains
952:{\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}
823:cubed various binomials, including
24:
15088:Free variables and bound variables
14901:
14133:a treatise on the binomial theorem
13925:
13750:{\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}
13570:
13472:
13460:
13293:
13228:
13180:
13138:
13103:
12986:
12874:
12722:
11717:, cancelling the common factor of
11503:
11360:
11200:
11104:
10830:
10682:
10614:
10420:
10061:
9896:
9703:
9513:
9401:
9118:defined on an open disk of radius
8837:
8825:
8739:
8727:
8422:
8410:
8361:
8349:
7675:
7663:
7414:
7368:
7286:
7126:
7093:
7068:
6678:
6541:
6500:
6340:{\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}
6315:
5977:This proves the binomial theorem.
5888:
5844:
5488:
5435:
5206:
5111:
5043:
4895:{\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}
4813:
4760:
4726:
4710:
4659:
4577:
4541:
4486:
4440:{\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}
2260:
2197:
2148:
2107:
2072:
2037:
1990:. In this form, the formula reads
1937:
1912:
1834:
1762:
1505:
1459:
1396:
1337:
1280:
1229:
1184:
744:
684:
627:
586:
293:
240:
25:
16108:
15893:The Method of Mechanical Theorems
14989:"Binomial Theorem (Step-by-Step)"
14956:
14658:The American Mathematical Monthly
14591:Bourbaki, N. (18 November 1998).
14290:The American Mathematical Monthly
14070:. For example, it holds for two
5866:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}
5181:which is defined in terms of the
5065:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}
4563:{\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}
4305:can be cut into a square of side
3470:In general, for the expansion of
1485:is a positive integer known as a
15448:Partial fractions in integration
15364:Stochastic differential equation
14330:A history of Chinese mathematics
14172:
12962:is often defined by the formula
6697:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
6631:. By the inductive hypothesis,
6409:{\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}
5907:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
5507:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
5454:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
4313:, and two rectangles with sides
1478:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
763:{\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}
703:{\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}
646:{\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}
605:{\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}
312:{\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}
259:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
15586:Jacobian matrix and determinant
15441:Tangent half-angle substitution
15409:Fundamental theorem of calculus
14884:
14871:
14838:
14813:
14786:
14753:
14692:
14617:
14584:
14570:. Addison-Wesley. p. 491.
14559:
14553:History of mathematical thought
14516:Archives of Historia Matematica
14510:Landau, James A. (1999-05-08).
14435:10.1090/S0273-0979-2015-01491-6
12947:
12563:
12557:
12259:
12253:
11726:
9992:{\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}
7607:is any complex number, one has
4928:fundamental theorem of calculus
4338:can be cut into a cube of side
1103:Traité du triangle arithmétique
202:
198:
194:
190:
186:
182:
178:
167:
163:
159:
155:
151:
147:
136:
132:
128:
124:
120:
109:
105:
101:
97:
86:
82:
78:
67:
63:
52:
15662:Arithmetico-geometric sequence
15354:Ordinary differential equation
15007:, which is licensed under the
14993:Wolfram Demonstrations Project
14799:. Springer. pp. 318–319.
14503:
14445:
14405:
14372:
14014:
14006:
13962:
13952:
13936:
13928:
13912:
13904:
13878:
13870:
13865:
13852:
13782:
13770:
13709:negative binomial distribution
13702:
13457:
13403:
13385:
13379:
13367:
13364:
13352:
12983:
12854:
12842:
12838:
12828:
12807:
12798:
12698:
12688:
12667:
12658:
12579:
12570:
12504:
12495:
12275:
12266:
12212:
12203:
12177:
12168:
12153:
12144:
12126:
12098:
12075:
12051:
12042:
12004:
11676:
11670:
11630:
11624:
11619:
11613:
11571:
11565:
11560:
11554:
11546:
11540:
11535:
11523:
11469:
11463:
11458:
11452:
11448:
11438:
11325:
11312:
11005:
10978:
10959:
10932:
10346:
10300:
10189:, the ordinary derivative for
9759:
9753:
9734:
9728:
9669:
9657:
9619:
9613:
9449:
9443:
9433:
9421:
9365:
9359:
9355:
9342:
9296:
9290:
9278:
9269:
9240:
9234:
9201:
9195:
8797:
8787:
8778:
8768:
8696:
8683:
8461:
8451:
8318:
8305:
8154:
8141:
7858:
7846:
7843:
7831:
7782:
7770:
7631:
7618:
7548:
7541:
7501:
7494:
7474:
7456:
7450:
7438:
7234:
7221:
7054:. Now, the right hand side is
6976:
6966:
6953:
6950:
6926:
6916:
6903:
6900:
6882:
6866:
6853:
6850:
6804:
6791:
6776:
6763:
6742:
6729:
6073:
6061:
6058:
6046:
6043:
6031:
6015:
6002:
5951:
5939:
5604:
5592:
5586:
5574:
5571:
5559:
5556:
5544:
5286:
5274:
5266:
5248:
5242:
5230:
5159:
5147:
4932:Cavalieri's quadrature formula
4860:
4846:
4832:{\displaystyle (\Delta x)^{2}}
4820:
4810:
4767:
4757:
4666:
4650:
4548:
4532:
4405:
4391:
4178:
4171:
4159:
4153:
4111:
4098:
3992:
3985:
3973:
3967:
3925:
3912:
3824:
3807:
3731:
3713:
3602:
3589:
3246:
3233:
3045:
3032:
2870:
2857:
2721:
2708:
2598:
2585:
2501:
2488:
2430:
2417:
2385:
2372:
2346:
2333:
2014:
2001:
1722:
1709:
1657:
1645:
1642:
1630:
1622:
1604:
1598:
1586:
1583:
1571:
1553:
1541:
1165:
1152:
1072:
1059:
1033:
1020:
934:
922:
710:gives the number of different
665:. These numbers also occur in
441:
428:
278:(where the top is the 0th row
13:
1:
16092:Factorial and binomial topics
15485:Integro-differential equation
15359:Partial differential equation
14266:
11601:th derivative of a function,
10215:, and the forward difference
9528:of polynomials is said to be
5779:the number of terms equal to
4360:rectangular boxes, and three
3885:{\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}
3560:in the expansion (not shown);
15045:
14398:10.1016/0315-0860(80)90004-X
14365:10.1016/0315-0860(79)90074-0
14348:"The roots of combinatorics"
13757:with probability of success
13693:monotone convergence theorem
13541:can be written as a series:
10018:{\displaystyle n\geqslant 1}
9567:{\displaystyle \deg p_{n}=n}
7560:{\displaystyle (\cdot )_{k}}
5638:, corresponding to choosing
5469:Combinatorial interpretation
5028:. These are usually written
4797:definition of the derivative
4288:, the binomial theorem with
3544:th row of Pascal's triangle;
2290:
1126:
1097:, via "Pascal's triangle".
360:involving terms of the form
7:
15639:Generalized Stokes' theorem
15426:Integration by substitution
14970:Encyclopedia of Mathematics
14963:Solomentsev, E.D. (2001) ,
14820:Spivey, Michael Z. (2019).
14626:Mathematics and its history
14379:Yadegari, Mohammad (1980).
14165:
12482:De Moivre's formula yields
9477:More generally, a sequence
6497:in a corresponding string.
5083:
4795:Substituting this into the
4498:{\displaystyle b=\Delta x,}
2317:
1090:{\displaystyle (1+x)^{n-1}}
721:that can be chosen from an
402:of each term is a specific
10:
16113:
16097:Theorems about polynomials
15168:(ε, δ)-definition of limit
14720:"Negative Binomial Series"
14705:February 24, 2015, at the
14026:{\displaystyle e^{-p|S|}.}
11420:
10284:
9631:{\displaystyle p_{0}(0)=1}
7377:
6607:denote the coefficient of
5980:
5017:
3540:the coefficients form the
781:
770:is usually pronounced as "
16061:Proof that 22/7 exceeds π
15998:
15976:
15902:
15850:Gottfried Wilhelm Leibniz
15820:
15797:e (mathematical constant)
15782:
15654:
15561:
15493:
15374:
15176:
15131:
15053:
14824:. CRC Press. p. 71.
11732:Multiple-angle identities
10580:such that the sum of all
9215:{\displaystyle x^{(0)}=1}
9097:and define the powers of
6722:otherwise. The identity
5679:
5473:The binomial coefficient
4636:faces, each of dimension
4625:{\displaystyle nx^{n-1},}
3482:on the right side in the
1107:Niccolò Fontana Tartaglia
1045:{\displaystyle (1+x)^{n}}
15812:Stirling's approximation
15285:Implicit differentiation
15233:Rules of differentiation
14793:Olver, Peter J. (2000).
14760:Aigner, Martin (1997) .
14624:Stillwell, John (2010).
14498:University of St Andrews
14412:Stillwell, John (2015).
14223:
14203:Stirling's approximation
14198:Binomial inverse theorem
10244:{\displaystyle E^{-c}-I}
10156:{\displaystyle I-E^{-c}}
9940:{\displaystyle Qp_{0}=0}
8122:geometric series formula
7166:. On the other hand, if
6835:is also a polynomial in
6347:because there are three
5097:is given by the formula
4586:{\displaystyle \Delta x}
849:. Indian mathematician
661:can be arranged to form
16046:Euler–Maclaurin formula
15951:trigonometric functions
15404:Constant of integration
14452:Rashed, Roshdi (1994).
14122:The Pirates of Penzance
13279:th term of this sum is
11746:multiple-angle formulas
9328:{\displaystyle n>0.}
9069:Further generalizations
8891:So, for instance, when
8495:So, for instance, when
6577:; we will prove it for
5620:then, according to the
4280:For positive values of
896:by the Indian lyricist
16015:Differential geometry
15860:Infinitesimal calculus
15563:Multivariable calculus
15511:Directional derivative
15317:Second derivative test
15295:Logarithmic derivative
15268:General Leibniz's rule
15163:Order of approximation
14855:10.1002/0471200611.ch5
14458:. Kluwer. p. 63.
14188:Binomial approximation
14142:, using the heteronym
14027:
13978:
13917:
13789:
13751:
13691:, it follows from the
13675:
13574:
13529:
13423:
13267:
13031:
12934:
12779:
12639:
12476:
12309:
12184:
12085:
11864:
11683:
11589:Here, the superscript
11581:
11495:
11408:
11293:
11096:
11058:
10921:Multi-binomial theorem
10878:
10807:
10662:
10552:
10271:
10270:{\displaystyle c<0}
10245:
10209:
10183:
10182:{\displaystyle c>0}
10157:
10121:
10101:
10070:
10019:
9993:
9941:
9905:
9850:
9826:
9806:
9786:
9766:
9695:
9632:
9588:
9568:
9522:
9461:
9393:
9329:
9303:
9268:
9216:
9060:
8883:
8829:
8731:
8654:
8487:
8414:
8353:
8264:
8105:
7915:
7667:
7587:are real numbers with
7571:, here standing for a
7561:
7528:
7348:
7278:
7156:
7004:
6817:
6698:
6567:
6487:
6410:
6341:
6294:
5968:
5908:
5867:
5701:yields the sum of the
5614:
5508:
5455:
5406:
5375:
5321:
5175:
5066:
5000:
4896:
4833:
4789:
4626:
4587:
4564:
4499:
4467:
4441:
4277:
4259:
4073:
3886:
3835:
3464:
2309:
2252:
1967:
1882:
1826:
1754:
1682:
1479:
1438:
1091:
1046:
988:mathematical induction
953:
873:
843:
819:. Greek mathematician
813:
764:
704:
647:
606:
547:
369:, where the exponents
313:
260:
214:
15934:logarithmic functions
15929:exponential functions
15845:Generality of algebra
15723:Tests of convergence
15349:Differential equation
15333:Further applications
15322:Extreme value theorem
15312:First derivative test
15206:Differential operator
15178:Differential calculus
14910:Indian J. History Sci
14346:Biggs, N. L. (1979).
14193:Binomial distribution
14028:
13979:
13887:
13795:all not happening is
13790:
13788:{\displaystyle p\in }
13752:
13676:
13554:
13530:
13424:
13268:
13032:
12942:Chebyshev polynomials
12935:
12780:
12640:
12477:
12310:
12185:
12086:
11888:. For example, since
11865:
11684:
11582:
11475:
11409:
11294:
11062:
11024:
10879:
10808:
10663:
10553:
10272:
10246:
10210:
10184:
10158:
10122:
10102:
10100:{\displaystyle E^{a}}
10071:
10020:
9994:
9942:
9906:
9851:
9827:
9807:
9787:
9767:
9675:
9633:
9589:
9569:
9523:
9462:
9373:
9330:
9304:
9248:
9217:
9061:
8884:
8809:
8711:
8655:
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14768:. Springer. p.
14764:Combinatorial Theory
14523:(mailing list email)
14484:Robertson, Edmund F.
14385:Historia Mathematica
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14743:Crux Mathematicorum
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