813:
1972:
601:
1834:
1385:
1502:
2251:
1723:
690:
1890:
423:
1601:
211:
1266:
1215:
1162:
1111:
1058:
1007:
2109:
1646:
954:
910:
866:
467:
292:
1989:
If Rule 3 from above is true, then a bid-ask matrix (BAM) is arbitrage-free, otherwise arbitrage is present via buying from a middle vendor and then selling back to source.
254:
362:
330:
142:
2281:
2029:
633:
1528:
670:
2170:
2143:
2056:
1771:
68:
1413:
539:
1554:
1433:
516:
496:
108:
88:
2303:
Schachermayer, Walter (November 15, 2002). "The
Fundamental Theorem of Asset Pricing under Proportional Transaction Costs in Finite Discrete Time".
1902:
547:
1776:
1289:
1438:
2189:
808:{\displaystyle \Pi ={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&1&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&1\end{bmatrix}}}
1651:
1842:
369:
1562:
1728:
Similarly given a (constant) solvency cone it is possible to extract the bid–ask matrix from the bounding vectors.
147:
2341:
1221:
1170:
1117:
1066:
1013:
962:
2064:
1606:
916:
872:
828:
1530:
is the number of assets which with any non-negative quantity of them can be "discarded" (traditionally
428:
259:
2321:
223:
335:
299:
121:
2259:
2007:
609:
2308:
1507:
645:
2148:
2121:
2034:
1744:
41:
21:
1398:
524:
8:
1893:
1533:
1738:
1418:
501:
481:
93:
73:
2180:
2335:
1557:
469:. A direct exchange is always at most as expensive as a chain of exchanges.
1983:
34:
1967:{\displaystyle \prod _{s}\pi _{ij}={\frac {1}{\prod _{s}\pi _{ji}}}}
596:{\displaystyle \Pi ={\begin{bmatrix}1&x\\y&1\end{bmatrix}}}
1997:
A method to determine if a BAM is arbitrage-free is as follows.
1829:{\displaystyle \left\{{\frac {1}{\pi _{ji}}},\pi _{ij}\right\}}
25:
1380:{\displaystyle x_{ik}x_{kl}x_{lj}\geq x_{il}x_{lj}\geq x_{ij}}
1497:{\displaystyle \Pi =\left(\pi ^{ij}\right)_{1\leq i,j\leq d}}
24:
with elements corresponding with exchange rates between the
2246:{\displaystyle V_{n}\square V_{n}={\frac {v_{i}}{v_{j}}}}
518:
units of B can be exchanged for 1 unit of A. Then the
705:
562:
70:
element of the matrix is the number of units of asset
2262:
2192:
2151:
2124:
2067:
2037:
2010:
1905:
1845:
1779:
1747:
1654:
1609:
1565:
1536:
1510:
1441:
1421:
1401:
1292:
1224:
1173:
1120:
1069:
1016:
965:
919:
875:
831:
693:
648:
612:
550:
527:
504:
484:
431:
372:
338:
302:
262:
226:
150:
124:
96:
76:
44:
1718:{\displaystyle \pi ^{ij}e^{i}-e^{j},1\leq i,j\leq d}
32:(e.g. number of stocks) and not with respect to any
478:Assume a market with 2 assets (A and B), such that
2275:
2245:
2164:
2137:
2103:
2050:
2023:
1966:
1884:
1828:
1765:
1717:
1640:
1595:
1548:
1522:
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1427:
1407:
1379:
1260:
1209:
1156:
1105:
1052:
1001:
948:
904:
860:
807:
664:
627:
595:
533:
510:
490:
461:
417:
356:
324:
286:
248:
205:
136:
102:
82:
62:
498:units of A can be exchanged for 1 unit of B, and
2333:
1978:
1885:{\displaystyle \pi _{ij}={\frac {1}{\pi _{ji}}}}
418:{\displaystyle \pi _{ij}\leq \pi _{ik}\pi _{kj}}
1603:is the convex cone spanned by the unit vectors
1596:{\displaystyle K(\Pi )\subset \mathbb {R} ^{d}}
2302:
1390:
206:{\displaystyle \Pi =\left_{1\leq i,j\leq d}}
90:which can be exchanged for 1 unit of asset
294:. Any trade has a positive exchange rate.
113:
1583:
1992:
1261:{\displaystyle a_{31}a_{12}\geq a_{32}}
1210:{\displaystyle a_{21}a_{13}\geq a_{23}}
1157:{\displaystyle a_{32}a_{21}\geq a_{31}}
1106:{\displaystyle a_{12}a_{23}\geq a_{13}}
1053:{\displaystyle a_{23}a_{31}\geq a_{21}}
1002:{\displaystyle a_{13}a_{32}\geq a_{12}}
364:. Can always trade 1 unit with itself.
2334:
2298:
2296:
822:applies the following inequalities:
2293:
2104:{\displaystyle P_{n}\pi _{n}=V_{n}}
1641:{\displaystyle e^{i},1\leq i\leq m}
13:
1986:is where a profit is guaranteed.
1572:
1442:
1402:
949:{\displaystyle a_{23}a_{32}\geq 1}
905:{\displaystyle a_{13}a_{31}\geq 1}
861:{\displaystyle a_{12}a_{21}\geq 1}
694:
551:
528:
151:
14:
2353:
1974:then that subset is frictionless.
462:{\displaystyle 1\leq i,j,k\leq d}
287:{\displaystyle 1\leq i,j\leq d}
1760:
1748:
1575:
1569:
249:{\displaystyle \pi _{ij}>0}
57:
45:
1:
2286:
1979:Arbitrage in bid-ask matrices
357:{\displaystyle 1\leq i\leq d}
1279:-way trading satisfies Rule
7:
325:{\displaystyle \pi _{ii}=1}
10:
2358:
1395:If given a bid–ask matrix
672:be the number of units of
473:
1391:Relation to solvency cone
684:. The bid–ask matrix is:
137:{\displaystyle d\times d}
2276:{\displaystyle \pi _{n}}
2024:{\displaystyle \pi _{n}}
1731:
628:{\displaystyle xy\geq 1}
1523:{\displaystyle m\leq d}
114:Mathematical definition
2316:Cite journal requires
2277:
2247:
2166:
2139:
2105:
2052:
2025:
1968:
1886:
1830:
1767:
1719:
1642:
1597:
1550:
1524:
1498:
1429:
1409:
1381:
1262:
1211:
1158:
1107:
1054:
1003:
950:
906:
862:
809:
666:
665:{\displaystyle a_{ij}}
629:
597:
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512:
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463:
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358:
326:
288:
250:
207:
138:
104:
84:
64:
28:. These rates are in
2278:
2248:
2167:
2165:{\displaystyle P_{n}}
2140:
2138:{\displaystyle V_{n}}
2106:
2053:
2051:{\displaystyle P_{n}}
2026:
1993:Iterative computation
1969:
1887:
1831:
1768:
1766:{\displaystyle (i,j)}
1720:
1643:
1598:
1551:
1525:
1499:
1430:
1410:
1382:
1271:For higher values of
1263:
1212:
1159:
1108:
1055:
1004:
951:
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863:
810:
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630:
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139:
105:
85:
65:
63:{\displaystyle (i,j)}
2342:Mathematical finance
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2190:
2149:
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2035:
2008:
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1439:
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1408:{\displaystyle \Pi }
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1118:
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1014:
963:
917:
873:
829:
691:
646:
610:
606:It is required that
548:
534:{\displaystyle \Pi }
525:
502:
482:
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370:
336:
300:
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148:
122:
94:
74:
42:
2004:assets, with a BAM
1549:{\displaystyle m=d}
642:With 3 assets, let
2273:
2243:
2172:in terms of asset
2162:
2135:
2101:
2048:
2021:
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1947:
1915:
1892:then that pair is
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1962:
1938:
1906:
1880:
1803:
1435:assets such that
1428:{\displaystyle d}
511:{\displaystyle y}
491:{\displaystyle x}
103:{\displaystyle j}
83:{\displaystyle i}
2349:
2326:
2325:
2319:
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2312:
2304:
2300:
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2279:
2274:
2272:
2271:
2256:should resemble
2252:
2250:
2249:
2244:
2242:
2240:
2239:
2230:
2229:
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2202:
2201:
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2163:
2161:
2160:
2145:is the value of
2144:
2142:
2141:
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2047:
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2031:and a portfolio
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2022:
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1676:
1667:
1666:
1648:and the vectors
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2219:
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2191:
2188:
2187:
2156:
2152:
2150:
2147:
2146:
2129:
2125:
2123:
2120:
2119:
2095:
2091:
2082:
2078:
2072:
2068:
2066:
2063:
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2042:
2038:
2036:
2033:
2032:
2015:
2011:
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