8500:
42:
30:
8510:
2756:
921:
2893:
1521:
743:
4823:
4375:
2310:
5515:
5772:
2994:
4918:
4467:
2582:
766:
3354:
617:
509:
2770:
273:
1184:
1294:
6380:
5107:
4605:
4064:
1818:
6068:
5040:
1346:
5584:
6805:
5982:
6736:
6625:
6519:
6297:
5325:
2023:
4689:
438:
2181:
5216:
3708:
4244:
6209:
5907:
630:
5397:
5654:
3984:
1645:
6949:
5155:
4694:
4172:
4119:
3920:
3859:
3598:
3192:
4249:
1534:
of the parameter of a
Bernoulli distribution expressed as a probability, the beta prime distribution is the conjugate prior distribution of the parameter of a Bernoulli distribution expressed in
338:
6861:
5265:
3757:
3653:
3058:
2192:
5842:
2498:
1587:
1680:
5402:
4975:
3540:
5659:
1882:
380:
2907:
159:
3493:
2054:
4525:
2751:{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}
1030:
916:{\displaystyle {\frac {e^{-it}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-it\right)}
4828:
3600:. (This gives one way to generate random variates with compound gamma, or beta prime distributions. Another is via the ratio of independent gamma variates, as shown below.)
4380:
2083:
1732:
522:
77:
2349:
1844:
1706:
1334:
111:
6122:
6095:
5799:
3801:
3102:
6570:
3398:
3134:
6676:
6656:
6550:
6449:
3228:
2562:
2527:
1064:
451:
6975:
6887:
6429:
2888:{\displaystyle {\frac {q\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {1}{p}}\right)\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{if }}\beta p>1}
988:
3438:
3418:
1922:
172:
1084:
7158:
1210:
6978:
1516:{\displaystyle \gamma _{2}=6{\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)(5\beta -11)+(\beta -1)^{2}(\beta -2)}{\alpha (\alpha +\beta -1)(\beta -3)(\beta -4)}}.}
1737:
6308:
5520:
5045:
6741:
4530:
5912:
5987:
4987:
6681:
6575:
6454:
5270:
1930:
759:
7099:
Bourguignon, M.; Santos-Neto, M.; de Castro, M. (2021), "A new regression model for positive random variables with skewed and long tail",
7011:
Bourguignon, M.; Santos-Neto, M.; de Castro, M. (2021). "A new regression model for positive random variables with skewed and long tail".
8539:
7287:
3991:
394:
2091:
8513:
7770:
949:
6219:
7678:
738:{\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3}
5850:
4610:
8465:
5160:
8331:
7543:
7302:
7151:
3658:
5340:
4177:
8226:
7990:
6131:
5597:
4818:{\displaystyle \gamma ={\frac {n\alpha (\alpha +\beta ^{2}-2\beta +n\alpha \beta -2n\alpha +1)}{(\beta -1)(\alpha +\beta -1)}}}
4370:{\displaystyle \gamma ={\frac {2\alpha (\alpha +\beta ^{2}-2\beta +2\alpha \beta -4\alpha +1)}{(\beta -1)(\alpha +\beta -1)}}}
1592:
7664:
5115:
3443:
The mode, mean and variance of the compound gamma can be obtained by multiplying the mode and mean in the above infobox by
1539:
7985:
7929:
7827:
7589:
7227:
2305:{\displaystyle {\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}}}
1304:
286:
8271:
8005:
7858:
7533:
7277:
3925:
7735:
8503:
8175:
8151:
7730:
7144:
6896:
5804:
4124:
4071:
3867:
3806:
3545:
3139:
8534:
8372:
8249:
8210:
8182:
8156:
8074:
8000:
7423:
7171:
7093:
6890:
8360:
8326:
8192:
8187:
8032:
7840:
7538:
7292:
6820:
5224:
3716:
3612:
3017:
1201:
279:
5510:{\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})}
8110:
8023:
7995:
7904:
7853:
7725:
7508:
7473:
6811:
2451:
1650:
5767:{\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})}
8124:
8041:
7878:
7802:
7625:
7503:
7478:
7342:
7337:
7332:
6300:
4933:
3498:
8440:
8306:
8014:
7863:
7795:
7780:
7673:
7647:
7579:
7418:
7312:
7307:
7249:
7234:
2989:{\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{if }}\alpha p\geq 1}
1852:
1552:
8276:
8266:
7957:
7883:
7584:
7443:
2573:
1531:
1075:
343:
165:
8336:
8321:
8316:
8261:
8197:
8141:
7962:
7949:
7740:
7685:
7637:
7428:
7357:
7222:
125:
8455:
8231:
8050:
7832:
7785:
7654:
7630:
7610:
7453:
7327:
7207:
4913:{\displaystyle \delta ={\frac {2\alpha +\beta ^{2}-\beta +n\alpha \beta -2n\alpha }{\alpha +\beta -1}}}
3457:
2031:
749:
4475:
4462:{\displaystyle \delta ={\frac {2\alpha +\beta ^{2}-\beta +2\alpha \beta -4\alpha }{\alpha +\beta -1}}}
1000:
8460:
8244:
8205:
8079:
7916:
7760:
7705:
7603:
7567:
7438:
7403:
6383:
612:{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2}
8146:
7934:
7700:
7659:
7574:
7528:
7468:
7433:
7322:
7217:
7167:
2059:
1711:
1310:
The expected value, variance, and other details of the distribution are given in the sidebox; for
56:
8445:
8387:
8058:
7845:
7755:
7710:
7695:
7463:
7458:
7259:
7239:
2352:
2318:
1823:
1685:
1313:
90:
7615:
6100:
6073:
5777:
3762:
3349:{\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,r)G(r;\beta ,q)\;dr}
3063:
8311:
8299:
8288:
8170:
8066:
7873:
7317:
7297:
7202:
504:{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}\!}
6555:
3362:
3107:
8435:
8392:
8236:
7911:
7765:
7745:
7642:
7212:
6661:
6641:
6535:
6434:
3215:
118:
49:
2541:
2506:
1043:
8485:
8480:
8475:
8470:
8407:
8377:
8256:
7899:
7790:
7393:
7352:
7347:
7244:
6954:
6866:
6407:
6390:
955:
7690:
7131:
8:
8419:
7944:
7924:
7894:
7868:
7822:
7750:
7562:
7498:
6635:
6401:
268:{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!}
8450:
7939:
7720:
7715:
7620:
7557:
7552:
7408:
7398:
7282:
7116:
7063:
7028:
6529:
6212:
5331:
3423:
3403:
3219:
1891:
929:
1734:
the mean is infinite, in other words it has no well defined mean) and its variance is
1179:{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}
8348:
7775:
7518:
7448:
7413:
7362:
7120:
7089:
7067:
7032:
2899:
1527:
991:
444:
3014:
This generalization can be obtained via the following invertible transformation. If
7523:
7197:
7136:
7108:
7055:
7020:
1289:{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}
2529:
1337:
79:
7596:
7112:
7024:
4978:
387:
8528:
8219:
7967:
7254:
7046:
Dubey, Satya D. (December 1970). "Compound gamma, beta and F distributions".
2370:
The beta prime distribution may also be reparameterized in terms of its mean
1813:{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}}
1194:
6375:{\displaystyle \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )}
5579:{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}}
5102:{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\beta }{\alpha }})}
6800:{\displaystyle X\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha ,{\tfrac {1}{\gamma }},1)}
4600:{\displaystyle \forall i,1\leq i\leq n,X_{i}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
2565:
2533:
83:
5977:{\displaystyle X_{2}\mid \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})}
7059:
7010:
6063:{\displaystyle X_{2}\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1},1,\beta _{1})}
5035:{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
933:
6731:{\displaystyle X^{\frac {1}{\gamma }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}
6620:{\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}
6514:{\displaystyle {\dfrac {X}{x_{m}}}-1\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}
5320:{\displaystyle {\frac {X}{1+X}}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}
2018:{\displaystyle E={\frac {B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}}.}
6532:, also known as a Pareto Type II distribution, with shape parameter
4059:{\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}
623:
515:
433:{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1}
3206:
is the generalization of the beta prime when the scale parameter,
2176:{\displaystyle E=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}
41:
29:
6292:{\displaystyle \beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)}
3007:= 1 then the generalized beta prime distribution reduces to the
7098:
4527:
iid variables following the same beta prime distribution, i.e.
5902:{\displaystyle \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})}
4684:{\displaystyle S=X_{1}+...+X_{n}\sim \beta '(\gamma ,\delta )}
6389:
The beta prime distribution is a special case of the type 6
5586:
are all scale parameters for their respective distributions.
5211:{\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
6997:
6995:
3703:{\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}
2762:
1535:
995:
859:
5392:{\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})}
4239:{\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}\sim \beta '(\gamma ,\delta )}
6204:{\displaystyle \beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)}
5649:{\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})}
4469:, as the beta prime distribution is infinitely divisible.
6992:
1640:{\displaystyle {\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}
3214: = 1. It is so named because it is formed by
6777:
5809:
5736:
5664:
5551:
5479:
5407:
5150:{\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}
5085:
4992:
3663:
2956:
2824:
2795:
863:
6957:
6899:
6869:
6823:
6744:
6684:
6664:
6644:
6578:
6558:
6538:
6459:
6457:
6437:
6410:
6311:
6222:
6134:
6103:
6097:
are rate parameters for the gamma distributions, but
6076:
5990:
5915:
5853:
5807:
5780:
5662:
5600:
5523:
5405:
5343:
5273:
5227:
5163:
5118:
5048:
4990:
4936:
4831:
4697:
4613:
4533:
4478:
4383:
4252:
4180:
4127:
4074:
3994:
3928:
3870:
3809:
3765:
3719:
3661:
3615:
3548:
3501:
3460:
3426:
3406:
3365:
3231:
3142:
3110:
3066:
3020:
2910:
2773:
2585:
2544:
2509:
2454:
2321:
2195:
2094:
2062:
2034:
1933:
1894:
1855:
1826:
1740:
1714:
1688:
1653:
1595:
1555:
1349:
1316:
1213:
1087:
1046:
1003:
958:
769:
633:
525:
454:
397:
346:
289:
175:
128:
93:
59:
7166:
333:{\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}
6814:
is a generalization of the beta prime distribution.
3979:{\displaystyle kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)}
7084:Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995).
6969:
6943:
6881:
6855:
6799:
6730:
6670:
6650:
6619:
6564:
6544:
6513:
6443:
6423:
6374:
6291:
6203:
6116:
6089:
6062:
5976:
5901:
5836:
5793:
5766:
5648:
5578:
5509:
5391:
5319:
5259:
5210:
5149:
5101:
5034:
4969:
4912:
4817:
4683:
4599:
4519:
4461:
4369:
4238:
4166:
4113:
4058:
3978:
3914:
3853:
3795:
3751:
3702:
3647:
3592:
3534:
3487:
3432:
3412:
3392:
3348:
3186:
3128:
3096:
3052:
2988:
2887:
2750:
2556:
2521:
2492:
2343:
2304:
2175:
2077:
2048:
2017:
1916:
1876:
1838:
1812:
1726:
1700:
1674:
1639:
1581:
1515:
1328:
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1178:
1058:
1024:
982:
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611:
503:
432:
374:
332:
267:
153:
105:
71:
6944:{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
5837:{\displaystyle {\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}}
4167:{\displaystyle X_{2}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
4114:{\displaystyle X_{1}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
3915:{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
3854:{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
3593:{\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,q)}
3187:{\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
852:
500:
264:
150:
8526:
2365:
3197:
950:absolutely continuous probability distribution
7152:
6856:{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
5260:{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
3752:{\displaystyle Y\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
3648:{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
3454:Another way to express the compounding is if
3053:{\displaystyle y\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
2445:Two more parameters can be added to form the
5591:For gamma distribution parametrization II:
2493:{\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
1675:{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}}
7159:
7145:
7004:
6124:is the scale parameter for the beta prime.
3339:
892:
4970:{\displaystyle X\sim F(2\alpha ,2\beta )}
2042:
898:
840:
4924:
3535:{\displaystyle x\mid r\sim G(\alpha ,r)}
1877:{\displaystyle -\alpha <k<\beta }
1582:{\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta )}
1040:Beta prime distribution is defined for
8527:
7140:
7045:
375:{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
8509:
7039:
1305:regularized incomplete beta function
946:beta distribution of the second kind
7086:Continuous Univariate Distributions
2447:generalized beta prime distribution
13:
8540:Compound probability distributions
6981:generalized logistic distribution.
6756:
6708:
6597:
6491:
5942:
5867:
5614:
5357:
4534:
3286:
2852:
2840:
2811:
2780:
2421:. Under this parameterization E =
809:
789:
154:{\displaystyle x\in [0,\infty )\!}
144:
14:
8551:
7088:, Volume 2 (2nd Edition), Wiley.
6891:generalized logistic distribution
3488:{\displaystyle r\sim G(\beta ,q)}
2440:
2378:> 0 parameters ( p. 36).
2049:{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
8508:
8499:
8498:
4520:{\displaystyle X_{1},...,X_{n}n}
3009:standard beta prime distribution
1202:cumulative distribution function
1025:{\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}
40:
38:Cumulative distribution function
28:
6812:inverted Dirichlet distribution
2968:
2867:
2186:The cdf can also be written as
1032:has a beta prime distribution.
382:is the incomplete beta function
6938:
6914:
6850:
6838:
6794:
6761:
6725:
6713:
6614:
6602:
6508:
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6369:
6357:
6344:
6320:
6286:
6268:
6255:
6231:
6198:
6180:
6167:
6143:
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5617:
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5360:
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5205:
5193:
5144:
5132:
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5063:
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5017:
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4713:
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3734:
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3685:
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3563:
3529:
3517:
3482:
3470:
3387:
3369:
3336:
3318:
3312:
3294:
3270:
3240:
3181:
3157:
3047:
3035:
2861:
2855:
2849:
2843:
2835:
2814:
2742:
2730:
2619:
2589:
2487:
2463:
2381:Consider the parameterization
2296:
2284:
2270:
2231:
2111:
2098:
2006:
1994:
1986:
1962:
1950:
1937:
1911:
1898:
1798:
1785:
1782:
1770:
1765:
1747:
1602:
1576:
1564:
1504:
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1448:
1436:
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1408:
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1390:
1372:
1235:
1217:
1170:
1158:
1135:
1122:
1097:
1091:
1035:
977:
965:
818:
812:
804:
792:
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696:
661:
640:
583:
570:
567:
555:
550:
532:
369:
357:
325:
313:
258:
246:
223:
210:
185:
179:
147:
135:
1:
7078:
3603:
3400:is the gamma pdf with shape
2574:probability density function
2366:Alternative parameterization
2078:{\displaystyle k<\beta ,}
1727:{\displaystyle \beta \leq 1}
1532:conjugate prior distribution
1076:probability density function
72:{\displaystyle \alpha >0}
26:Probability density function
7:
7001:Johnson et al (1995), p 248
6636:Pareto Type IV distribution
5801:are rate parameters, while
3204:compound gamma distribution
3198:Compound gamma distribution
2344:{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
1839:{\displaystyle \beta >2}
1701:{\displaystyle \beta >1}
1329:{\displaystyle \beta >4}
106:{\displaystyle \beta >0}
10:
8556:
8332:Wrapped asymmetric Laplace
7303:Extended negative binomial
7113:10.1007/s40300-021-00203-y
7025:10.1007/s40300-021-00203-y
6301:Singh–Maddala distribution
6117:{\displaystyle \beta _{1}}
6090:{\displaystyle \beta _{k}}
5794:{\displaystyle \beta _{k}}
3796:{\displaystyle X=qY^{1/p}}
3097:{\displaystyle x=qy^{1/p}}
942:inverted beta distribution
8494:
8428:
8386:
8287:
8123:
8101:
8092:
7991:Generalized extreme value
7976:
7811:
7771:Relativistic Breit–Wigner
7487:
7384:
7375:
7268:
7188:
7179:
7168:Probability distributions
6658:and inequality parameter
6384:log logistic distribution
763:
758:
753:
748:
627:
622:
519:
514:
448:
443:
391:
386:
283:
278:
169:
164:
122:
117:
53:
48:
36:
24:
8535:Continuous distributions
6985:
6565:{\displaystyle \lambda }
4174:two iid variables, then
3393:{\displaystyle G(x;a,b)}
3129:{\displaystyle q,p>0}
1538:. The distribution is a
16:Probability distribution
7986:Generalized chi-squared
7930:Normal-inverse Gaussian
6671:{\displaystyle \gamma }
6651:{\displaystyle \alpha }
6545:{\displaystyle \alpha }
6444:{\displaystyle \alpha }
2353:hypergeometric function
938:beta prime distribution
8298:Univariate (circular)
7859:Generalized hyperbolic
7288:Conway–Maxwell–Poisson
7278:Beta negative binomial
6971:
6945:
6883:
6857:
6801:
6732:
6672:
6652:
6621:
6566:
6546:
6515:
6445:
6425:
6376:
6293:
6205:
6118:
6091:
6064:
5978:
5903:
5838:
5795:
5768:
5656:are independent, then
5650:
5580:
5511:
5399:are independent, then
5393:
5321:
5261:
5212:
5151:
5103:
5036:
4971:
4914:
4819:
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4521:
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4371:
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4168:
4115:
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3980:
3916:
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3414:
3394:
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3130:
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3054:
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2889:
2752:
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2557:{\displaystyle q>0}
2523:
2522:{\displaystyle p>0}
2494:
2345:
2306:
2177:
2137:
2079:
2050:
2019:
1918:
1878:
1840:
1814:
1728:
1702:
1676:
1641:
1583:
1545:The mode of a variate
1517:
1330:
1290:
1180:
1060:
1059:{\displaystyle x>0}
1026:
984:
917:
739:
613:
505:
434:
376:
334:
269:
155:
107:
73:
8343:Bivariate (spherical)
7841:Kaniadakis Îş-Gaussian
6972:
6970:{\displaystyle \ln X}
6946:
6893:. More generally, if
6884:
6882:{\displaystyle \ln X}
6858:
6802:
6733:
6673:
6653:
6638:with shape parameter
6622:
6567:
6547:
6516:
6446:
6426:
6424:{\displaystyle x_{m}}
6377:
6294:
6206:
6119:
6092:
6065:
5979:
5904:
5844:is a scale parameter.
5839:
5796:
5769:
5651:
5581:
5512:
5394:
5322:
5262:
5213:
5152:
5104:
5037:
4972:
4925:Related distributions
4915:
4820:
4686:
4602:
4522:
4464:
4372:
4241:
4169:
4116:
4061:
3981:
3917:
3856:
3798:
3754:
3705:
3650:
3595:
3537:
3490:
3435:
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3395:
3351:
3189:
3131:
3099:
3055:
2991:
2890:
2753:
2559:
2524:
2495:
2374:> 0 and precision
2346:
2307:
2178:
2117:
2080:
2051:
2020:
1919:
1879:
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1815:
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1703:
1677:
1642:
1584:
1518:
1331:
1291:
1181:
1061:
1027:
985:
983:{\displaystyle p\in }
918:
740:
614:
506:
435:
377:
335:
270:
156:
108:
74:
8408:Dirac delta function
8355:Bivariate (toroidal)
8312:Univariate von Mises
8183:Multivariate Laplace
8075:Shifted log-logistic
7424:Continuous Bernoulli
6955:
6897:
6867:
6821:
6742:
6682:
6662:
6642:
6576:
6556:
6552:and scale parameter
6536:
6455:
6435:
6431:and shape parameter
6408:
6391:Pearson distribution
6309:
6220:
6132:
6101:
6074:
5988:
5913:
5851:
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5660:
5598:
5521:
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5161:
5116:
5046:
4988:
4934:
4829:
4695:
4611:
4531:
4476:
4472:More generally, let
4381:
4250:
4178:
4125:
4072:
3992:
3926:
3868:
3807:
3763:
3717:
3659:
3613:
3546:
3499:
3458:
3447:and the variance by
3424:
3404:
3363:
3229:
3210:is added, but where
3140:
3108:
3064:
3018:
2908:
2771:
2583:
2542:
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2060:
2032:
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1651:
1593:
1553:
1347:
1314:
1211:
1085:
1066:with two parameters
1044:
1001:
956:
767:
631:
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452:
395:
344:
287:
173:
126:
91:
57:
8456:Natural exponential
8361:Bivariate von Mises
8327:Wrapped exponential
8193:Multivariate stable
8188:Multivariate normal
7509:Benktander 2nd kind
7504:Benktander 1st kind
7293:Discrete phase-type
6738:, or equivalently,
6402:Pareto distribution
5334:parametrization I:
5042:, or equivalently,
3290:
3220:gamma distributions
2085:this simplifies to
851:
21:
8111:Rectified Gaussian
7996:Generalized Pareto
7854:Generalized normal
7726:Matrix-exponential
7060:10.1007/BF02613934
6979:scaled and shifted
6967:
6941:
6879:
6853:
6797:
6786:
6728:
6668:
6648:
6617:
6562:
6542:
6530:Lomax distribution
6511:
6475:
6441:
6421:
6372:
6289:
6213:Dagum distribution
6201:
6114:
6087:
6060:
5974:
5899:
5834:
5832:
5791:
5764:
5759:
5687:
5646:
5576:
5574:
5507:
5502:
5430:
5389:
5332:gamma distribution
5317:
5257:
5208:
5147:
5099:
5094:
5032:
5001:
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4815:
4681:
4597:
4517:
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4367:
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4164:
4111:
4056:
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3912:
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3793:
3749:
3700:
3672:
3645:
3590:
3532:
3485:
3430:
3420:and inverse scale
3410:
3390:
3346:
3276:
3184:
3126:
3094:
3050:
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2965:
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2804:
2748:
2554:
2519:
2490:
2341:
2302:
2173:
2075:
2046:
2015:
1914:
1874:
1836:
1810:
1724:
1698:
1672:
1637:
1579:
1526:While the related
1513:
1326:
1286:
1176:
1056:
1022:
980:
930:probability theory
913:
890:
824:
735:
609:
501:
430:
372:
330:
265:
151:
103:
69:
19:
8522:
8521:
8119:
8118:
8088:
8087:
7979:whose type varies
7925:Normal (Gaussian)
7879:Hyperbolic secant
7828:Exponential power
7731:Maxwell–Boltzmann
7479:Wigner semicircle
7371:
7370:
7343:Parabolic fractal
7333:Negative binomial
7132:MathWorld article
6785:
6697:
6587:
6474:
6354:
6265:
6177:
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5758:
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5429:
5299:
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