1883:
1141:
279:
1878:{\displaystyle {\begin{aligned}P(s,f\mid q=x)&={s+f \choose s}x^{s}(1-x)^{f},\\P(q=x)&={x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1} \over \mathrm {B} (\alpha ,\beta )},\\P(q=x\mid s,f)&={\frac {P(s,f\mid x)P(x)}{\int P(s,f\mid y)P(y)dy}}\\&={{{s+f \choose s}x^{s+\alpha -1}(1-x)^{f+\beta -1}/\mathrm {B} (\alpha ,\beta )} \over \int _{y=0}^{1}\left({s+f \choose s}y^{s+\alpha -1}(1-y)^{f+\beta -1}/\mathrm {B} (\alpha ,\beta )\right)dy}\\&={x^{s+\alpha -1}(1-x)^{f+\beta -1} \over \mathrm {B} (s+\alpha ,f+\beta )},\end{aligned}}}
2098:: from a given set of hyperparameters, incoming data updates these hyperparameters, so one can see the change in hyperparameters as a kind of "time evolution" of the system, corresponding to "learning". Starting at different points yields different flows over time. This is again analogous with the dynamical system defined by a linear operator, but note that since different samples lead to different inferences, this is not simply dependent on time but rather on data over time. For related approaches, see
3459:
10455:
47:
6891:
1064:). A typical characteristic of conjugate priors is that the dimensionality of the hyperparameters is one greater than that of the parameters of the original distribution. If all parameters are scalar values, then there will be one more hyperparameter than parameter; but this also applies to vector-valued and matrix-valued parameters. (See the general article on the
14427:
9952:
13174:
12275:
12667:
10306:
5614:
11763:
10671:
6674:
11216:
2085:
failures if the posterior mean is used to choose an optimal parameter setting. In general, for nearly all conjugate prior distributions, the hyperparameters can be interpreted in terms of pseudo-observations. This can help provide intuition behind the often messy update equations and help choose
10228:
11401:
11011:
10846:
9801:
9441:
8814:
9723:
9096:
2935:
15534:
12494:
11620:
12499:
10450:{\displaystyle \left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\right)^{-1}\left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {\bar {x}} \right),\,\left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\right)}
12818:
11914:
7278:
7433:
2369:
14253:
5219:
7595:
3364:
11625:
12972:
12083:
5443:
6886:{\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {n}{\sigma ^{2}}}}}\left({\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right),\left({\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {n}{\sigma ^{2}}}\right)^{-1}}
2797:
4981:
15117:
5854:
6055:
4305:
10030:
8469:
7978:
9274:
8647:
7059:
2629:
10554:
8272:
7794:
6449:
3679:
13543:
11494:
2455:
have generated the observed data. With relatively few data points, we should be quite uncertain about which exact
Poisson distribution generated this data. Intuitively we should instead take a weighted average of the probability of
849:
14746:
14586:
11073:
4108:
9795:
4706:
14026:
6597:
3827:
4413:
12368:
10300:
3985:
15280:
15686:
12077:
8116:
5749:
14184:
9947:{\displaystyle \left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right)^{-1}\left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {\bar {x}} \right),}
4849:
10733:
13345:
10137:
9279:
8652:
5358:
5689:
5294:
11276:
3160:
2802:
10896:
4551:
13921:
6226:
5089:
15425:
12374:
11500:
13743:
12662:{\displaystyle \left(\mathbf {V} ^{-1}+\mathbf {C} +{\frac {\kappa _{0}n}{\kappa _{0}+n}}(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}\right)^{-1}}
16068:
2227:
14861:
12704:
11800:
7139:
5448:
1146:
15976:
9171:
8544:
6157:
4479:
4174:
3882:
695:
10102:
16544:
14422:{\displaystyle \operatorname {CG} ({\tilde {\mathbf {x} }}\mid \alpha ,{\alpha _{0}}',{\beta _{0}}')=\operatorname {\beta '} ({\tilde {\mathbf {x} }}|\alpha ,{\alpha _{0}}',1,{\beta _{0}}')}
4766:
2232:
10727:
10519:
6668:
985:
7492:
7486:
7133:
14493:
14098:
11758:{\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}+\mathbf {C} +{\frac {\kappa _{0}n}{\kappa _{0}+n}}(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}}
13169:{\displaystyle t_{{\nu _{0}}'-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{\frac {{\kappa _{0}}'+1}{{\kappa _{0}}'({\nu _{0}}'-p+1)}}{\mathbf {V} '}^{-1}\right)}
12934:
12878:
12030:
11974:
10548:
10131:
7858:
3215:
7340:
12270:{\displaystyle t_{{\nu _{0}}'-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{\frac {{\kappa _{0}}'+1}{{\kappa _{0}}'({\nu _{0}}'-p+1)}}{\boldsymbol {\Psi }}'\right)}
5924:
3222:
16504:
10890:
4897:
1930:
14622:
14220:
12697:
11793:
11067:
10485:
10060:
4619:
3428:
13852:
13452:
8168:
5609:{\displaystyle {\begin{aligned}p({\tilde {x}}=i)&={\frac {{\alpha _{i}}'}{\sum _{i}{\alpha _{i}}'}}\\&={\frac {\alpha _{i}+c_{i}}{\sum _{i}\alpha _{i}+n}}\end{aligned}}}
5018:
2497:
16260:
12966:
11270:
9605:
8978:
6933:
6328:
3557:
3033:
479:
400:
362:
15160:
8032:
16371:
13218:
8325:
7648:
3001:
2700:
15867:
6500:
5137:
3730:
2164:
16343:
16122:
failures. Bayesians generally prefer to use the posterior mean rather than the posterior mode as a point estimate, justified by a quadratic loss function, and the use of
15908:
2671:
2519:
2397:
15570:
14782:
13259:
12849:
11945:
5777:
5417:
15027:
14649:
14247:
9471:
8844:
2964:
2449:
2423:
436:
16186:
16094:
7307:
2017:
918:
16212:
16120:
12905:
12001:
10666:{\displaystyle {\mathcal {N}}\left({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{{{\boldsymbol {\Lambda }}_{0}}'}^{-1}+{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}\right)}
9573:
9546:
9523:
8946:
8919:
8896:
8297:
7620:
7334:
6960:
5930:
4180:
2043:
944:
16140:
15996:
15842:
15707:
15301:
14942:
13942:
13564:
9957:
9599:
8972:
8351:
7864:
7674:
6472:
6351:
6247:
6076:
5110:
4572:
4326:
4006:
3702:
3580:
3056:
2691:
2063:
1967:
1016:
872:
722:
16447:
16160:
16016:
15940:
in terms of number of successes and failures depends on what function is used to extract a point estimate from the distribution. The mean of a beta distribution is
15727:
15361:
14982:
13962:
13584:
9177:
8550:
6267:
6096:
5130:
4592:
4346:
4026:
3076:
2530:
2083:
1987:
1932:. This posterior distribution could then be used as the prior for more samples, with the hyperparameters simply adding each extra piece of information as it comes.
1036:
892:
742:
16398:
13669:
13615:
13393:
8174:
5803:
5385:
2114:
Suppose a rental car service operates in your city. Drivers can drop off and pick up cars anywhere inside the city limits. You can find and rent cars using an app.
1133:
11238:
10868:
9496:
8869:
8371:
8000:
7694:
3035:, which seems to be a reasonable prior for the average number of cars. The choice of prior hyperparameters is inherently subjective and based on prior knowledge.
4904:
15787:
15767:
15747:
15401:
15381:
15341:
15321:
15002:
14962:
14922:
14902:
14882:
13784:
13764:
13366:
5797:
5437:
4870:
4639:
2649:
1101:
1062:
596:
569:
549:
13458:
11433:
11211:{\displaystyle n+\nu ,\,\left(\mathbf {V} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}\right)^{-1}}
750:
14675:
6358:
3588:
14499:
6966:
9755:
8378:
12307:
10260:
492:
may be necessary. Further, conjugate priors may give intuition by more transparently showing how a likelihood function updates a prior distribution.
3888:
15166:
7701:
6511:
3741:
15576:
10841:{\displaystyle n+\nu ,\,{\boldsymbol {\Psi }}+\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}}
4646:
13968:
12035:
5695:
14104:
10223:{\displaystyle {\mathcal {N}}({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}'+{\boldsymbol {\Sigma }})}
4772:
4353:
309:
16614:
13265:
4033:
17:
3368:
This much more conservative estimate reflects the uncertainty in the model parameters, which the posterior predictive takes into account.
1945:
It is often useful to think of the hyperparameters of a conjugate prior distribution corresponding to having observed a certain number of
9436:{\displaystyle \beta +{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n\nu }{\nu +n}}{\frac {({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{2}}}
8809:{\displaystyle \beta +{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n\nu }{\nu +n}}{\frac {({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{2}}}
2117:
Suppose you wish to find the probability that you can find a rental car within a short distance of your home address at any time of day.
100:
13802:
Same as for the normal distribution after applying the natural logarithm to the data for the posterior hyperparameters. Please refer to
16466:
11396:{\displaystyle t_{\nu '-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {\boldsymbol {\mu }},{\frac {1}{\nu '-p+1}}{\mathbf {V} '}^{-1}\right)}
8038:
2229:
Using this maximum likelihood estimate, we can compute the probability that there will be at least one car available on a given day:
5300:
3442:
2930:{\displaystyle p(x|\mathbf {x} )=\int _{\theta }p(x|\theta ){\frac {p(\mathbf {x} |\theta )p(\theta )}{p(\mathbf {x} )}}d\theta \,.}
11006:{\displaystyle t_{\nu '-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{\boldsymbol {\mu }},{\frac {1}{\nu '-p+1}}{\boldsymbol {\Psi }}'\right)}
5656:
5261:
182:
15529:{\displaystyle \propto {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )^{k}\,p^{\alpha }\,q^{\beta }}{\Gamma (\alpha )^{k}\,\Gamma (\beta )^{k}}}}
12489:{\displaystyle {\frac {\kappa _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n\mathbf {\bar {x}} }{\kappa _{0}+n}},\,\kappa _{0}+n,\,\nu _{0}+n,\,}
11615:{\displaystyle {\frac {\kappa _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n\mathbf {\bar {x}} }{\kappa _{0}+n}},\,\kappa _{0}+n,\,\nu _{0}+n,\,}
7816:
4485:
16723:
16461:
A different conjugate prior for unknown mean and variance, but with a fixed, linear relationship between them, is found in the
13858:
6163:
5024:
13675:
16021:
12813:{\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )^{T}}
11909:{\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )^{T}}
7273:{\displaystyle {\frac {\tau _{0}\mu _{0}+\tau \sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\tau _{0}+n\tau }},\,\left(\tau _{0}+n\tau \right)^{-1}}
3081:
14788:
2179:
16631:
16547:
11426:
4709:
15943:
9128:
8501:
6126:
4448:
4143:
3851:
2120:
Over three days you look at the app and find the following number of cars within a short distance of your home address:
608:
5858:
2364:{\textstyle p(x>0|\lambda \approx 2.67)=1-p(x=0|\lambda \approx 2.67)=1-{\frac {2.67^{0}e^{-2.67}}{0!}}\approx 0.93}
10070:
16313:
15878:
13180:
8494:
3498:
2525:
947:
403:
302:
265:
7590:{\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {n}{2}},\,\mathbf {\beta } +{\frac {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-\mu )^{2}}}{2}}}
16409:
12281:
11407:
11017:
10677:
10253:
10234:
9748:
9729:
4735:
3476:
1077:
192:
10703:
10495:
6626:
953:
7462:
7088:
218:
95:
16513:
14456:
14061:
7428:{\displaystyle {\mathcal {N}}\left({\tilde {x}}\mid \mu _{0}',{\frac {1}{\tau _{0}'}}+{\frac {1}{\tau }}\right)}
3359:{\textstyle p(x>0|\mathbf {x} )=1-p(x=0|\mathbf {x} )=1-NB\left(0\,|\,10,{\frac {1}{1+5}}\right)\approx 0.84}
5223:
4985:
4425:
3480:
2974:
407:
156:
12910:
12854:
12006:
11950:
10524:
10107:
7823:
9116:
8489:
2499:
for each of those
Poisson distributions, weighted by how likely they each are, given the data we've observed
2173:
2099:
5889:
16718:
16480:
16462:
10873:
10696:
2973:
as our prior distribution over the rate of the
Poisson distributions, then the posterior predictive is the
520:
295:
187:
125:
9718:{\displaystyle t_{2\alpha '}\left({\tilde {x}}\mid \mu ',{\frac {\beta '(\nu '+1)}{\alpha '\nu '}}\right)}
9091:{\displaystyle t_{2\alpha '}\left({\tilde {x}}\mid \mu ',{\frac {\beta '(\nu '+1)}{\nu '\alpha '}}\right)}
4875:
1891:
16507:
16413:
16405:
14592:
14190:
12673:
12300:
11769:
11043:
10461:
10036:
5866:
4597:
3387:
13829:
13429:
8145:
4995:
3165:
2966:, a closed-form expression can be derived. This is the posterior predictive column in the tables below.
2459:
16426:
16217:
15802:
14433:
13640:
12939:
11243:
7455:
6898:
5882:
4417:
2792:{\displaystyle p(\theta |\mathbf {x} )={\frac {p(\mathbf {x} |\theta )p(\theta )}{p(\mathbf {x} )}}\,,}
177:
146:
6289:
5214:{\displaystyle \operatorname {NB} \left({\tilde {x}}\mid \alpha ',{\frac {\beta '}{1+\beta '}}\right)}
3518:
3006:
2977:, as can be seen from the table below. The Gamma distribution is parameterized by two hyperparameters
449:
370:
332:
15123:
9121:
8005:
524:
239:
120:
16626:
16352:
13187:
8302:
7625:
2980:
15112:{\displaystyle \propto {\frac {p^{\alpha -1}e^{-\beta q}}{\Gamma (\alpha )^{r}\beta ^{-\alpha s}}}}
13811:
5626:
5618:
5231:
2937:
Generally, this integral is hard to compute. However, if you choose a conjugate prior distribution
2123:
504:
260:
172:
16319:
15884:
2654:
2502:
2380:
15540:
14752:
13797:
13229:
12827:
11923:
6050:{\displaystyle \alpha +\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,\beta +\sum _{i=1}^{n}N_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}
5755:
5395:
4300:{\displaystyle \alpha +\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,\beta +\sum _{i=1}^{n}N_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}
3469:
14627:
14225:
10025:{\displaystyle \left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right)^{-1}}
9447:
8820:
7973:{\displaystyle \nu +n,\,{\frac {\nu \sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu +n}}\!}
2940:
2428:
2402:
412:
16621:
16263:
16165:
16073:
9269:{\displaystyle {\frac {\nu \mu _{0}+n{\bar {x}}}{\nu +n}},\,\nu +n,\,\alpha +{\frac {n}{2}},\,}
8642:{\displaystyle {\frac {\nu \mu _{0}+n{\bar {x}}}{\nu +n}},\,\nu +n,\,\alpha +{\frac {n}{2}},\,}
7285:
6105:
5649:
5254:
4112:
3833:
2624:{\displaystyle p(x|\mathbf {x} )=\int _{\theta }p(x|\theta )p(\theta |\mathbf {x} )d\theta \,,}
1996:
897:
485:
151:
16191:
16099:
15847:
12883:
11979:
9551:
9528:
9501:
8924:
8901:
8874:
8279:
8267:{\displaystyle \alpha +{\frac {n}{2}},\,\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\!}
7602:
7312:
6938:
6480:
5849:{\displaystyle \operatorname {DirMult} ({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {\boldsymbol {\alpha }}')}
3710:
2022:
923:
16581:. Division of Research, Graduate School of Business Administration, Harvard University, 1961.
16346:
16125:
15981:
15911:
15827:
15824:
Denoted by the same symbols as the prior hyperparameters with primes added ('). For instance
15692:
15286:
14927:
13927:
13549:
9581:
8954:
8333:
7656:
6895:
mean was estimated from observations with total precision (sum of all individual precisions)
6457:
6336:
6232:
6061:
5095:
4557:
4311:
4120:
3991:
3687:
3565:
3041:
2676:
2048:
1952:
1044:(parameters of the prior), to distinguish them from parameters of the underlying model (here
1001:
857:
707:
599:
508:
489:
365:
54:
16432:
16145:
16001:
15712:
15346:
14967:
13947:
13569:
10492:
mean was estimated from observations with total precision (sum of all individual precisions)
10067:
mean was estimated from observations with total precision (sum of all individual precisions)
7282:
mean was estimated from observations with total precision (sum of all individual precisions)
6252:
6081:
5115:
4577:
4331:
4011:
3061:
2068:
1972:
1021:
877:
727:
16376:
13647:
13624:
13593:
13371:
11036:
5363:
4976:{\displaystyle \operatorname {NB} \left({\tilde {x}}\mid k',{\frac {1}{\theta '+1}}\right)}
4717:
2169:
1106:
1069:
992:
323:
234:
115:
85:
11223:
10853:
9481:
8854:
8356:
7985:
7679:
8:
16693:
16401:
13538:{\displaystyle \alpha +n,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\mathrm {m} }}}\!}
13401:
13222:
11489:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0},\,\kappa _{0},\,\nu _{0},\,{\boldsymbol {\Psi }}}
9102:
8475:
8122:
7800:
7439:
7081:
7065:
6619:
6603:
3380:
denote the number of observations. In all cases below, the data is assumed to consist of
327:
66:
58:
38:
13590:
of each observation (i.e. the logarithm of the ratio of each observation to the minimum
3219:
Given the posterior hyperparameters, we can finally compute the posterior predictive of
2094:
One can think of conditioning on conjugate priors as defining a kind of (discrete time)
16284:
15772:
15752:
15732:
15386:
15366:
15326:
15306:
15010:
14987:
14947:
14907:
14887:
14867:
14657:
14449:
14054:
14038:
14030:
13822:
13769:
13749:
13587:
13422:
13351:
9576:
8949:
8328:
8138:
7651:
5782:
5422:
4855:
4728:
4624:
3438:
2970:
2634:
1086:
1065:
1047:
844:{\displaystyle p(q)={q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1} \over \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}
581:
554:
534:
283:
208:
110:
80:
16674:
14741:{\displaystyle \propto {\frac {a^{\alpha -1}\beta ^{\alpha c}}{\Gamma (\alpha )^{b}}}}
6444:{\displaystyle p(\theta |\Theta ),p(\theta |\mathbf {x} ,\Theta )=p(\theta |\Theta ')}
3674:{\displaystyle p(\theta |\Theta ),p(\theta |\mathbf {x} ,\Theta )=p(\theta |\Theta ')}
2399:. But the data could also have come from another Poisson distribution, e.g., one with
15937:
15409:
14581:{\displaystyle \alpha _{0}+n\alpha ,\,\beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\!}
7054:{\displaystyle {\mathcal {N}}({\tilde {x}}|\mu _{0}',{\sigma _{0}^{2}}'+\sigma ^{2})}
6119:
4441:
4136:
3844:
2694:
2103:
1990:
1073:
701:
278:
213:
90:
62:
9790:{\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol {\mu }}}_{0},\,{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}
16574:
2095:
500:
105:
3003:, which we have to choose. By looking at plots of the gamma distribution, we pick
2045:
failures if the posterior mode is used to choose an optimal parameter setting, or
16598:. Electronic document, revision of November 13, 2005, retrieved December 2, 2005.
16450:
8464:{\displaystyle t_{2\alpha '}({\tilde {x}}\mid \mu ,\sigma ^{2}=\beta '/\alpha ')}
571:
528:
519:
The form of the conjugate prior can generally be determined by inspection of the
12363:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0},\,\kappa _{0},\,\nu _{0},\,\mathbf {V} }
10295:{\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\mu }} _{0},\,{\boldsymbol {\Lambda }}_{0}}
1040:
16262:
prior corresponds to 0 successes and 0 failures. The same issues apply to the
3980:{\displaystyle \alpha +\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,\beta +n-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}
16712:
16570:
15275:{\displaystyle p\prod _{i=1}^{n}x_{i},\,q+\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,r+n,\,s+n\!}
7789:{\displaystyle t_{2\alpha '}({\tilde {x}}|\mu ,\sigma ^{2}=\beta '/\alpha ')}
6592:{\displaystyle p({\tilde {x}}|\mathbf {x} ,\Theta )=p({\tilde {x}}|\Theta ')}
3822:{\displaystyle p({\tilde {x}}|\mathbf {x} ,\Theta )=p({\tilde {x}}|\Theta ')}
3431:
988:
496:
15681:{\displaystyle p\prod _{i=1}^{n}x_{i},\,q\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}),\,k+n\!}
3441:, then a conjugate prior exists, often also in the exponential family; see
255:
16591:
16349:. Variables with primes indicate the posterior values of the parameters.
4701:{\displaystyle \operatorname {BetaNegBin} ({\tilde {x}}|\alpha ',\beta ')}
3448:
2451:, etc. In fact, there is an infinite number of Poisson distributions that
15914:. Variables with primes indicate the posterior values of the parameters.
14021:{\displaystyle \operatorname {Lomax} ({\tilde {x}}\mid \beta ',\alpha ')}
12072:{\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}=\nu _{0}{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}
5744:{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}+\sum _{i=1}^{n}\mathbf {x} _{i}\!}
14179:{\displaystyle \alpha _{0}+n\alpha ,\,\beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}
6277:
4844:{\displaystyle k+\sum _{i=1}^{n}x_{i},\ {\frac {\theta }{n\theta +1}}\!}
4408:{\displaystyle \operatorname {BetaBin} ({\tilde {x}}|\alpha ',\beta ')}
3483: in this section. Unsourced material may be challenged and removed.
495:
The concept, as well as the term "conjugate prior", were introduced by
13340:{\displaystyle \max\{\,x_{1},\ldots ,x_{n},x_{\mathrm {m} }\},\,k+n\!}
4103:{\displaystyle p({\tilde {x}}=1)={\frac {\alpha '}{\alpha '+\beta '}}}
1949:
with properties specified by the parameters. For example, the values
3458:
442:
with respect to that likelihood function and the prior is called a
16595:
8111:{\displaystyle t_{\nu '}({\tilde {x}}|\mu ,{\sigma _{0}^{2}}')}
5353:{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}+(c_{1},\ldots ,c_{k}),}
5684:{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{k}\!}
5289:{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{k}\!}
46:
1080:, for an example where a large dimensionality is involved.)
15820:
15818:
4546:{\displaystyle \alpha +rn,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}
894:
are chosen to reflect any existing belief or information (
13916:{\displaystyle \alpha +n,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}
6221:{\displaystyle \alpha +n,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}
5084:{\displaystyle \alpha +\sum _{i=1}^{n}x_{i},\ \beta +n\!}
507:. A similar concept had been discovered independently by
16676:
Conjugate
Bayesian analysis of the Gaussian distribution
15815:
484:
A conjugate prior is an algebraic convenience, giving a
16592:
Earliest Known Uses of Some of the Words of
Mathematics
13738:{\displaystyle a+n,\,b+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\beta }\!}
3449:
When the likelihood function is a discrete distribution
3155:{\textstyle \alpha '=\alpha +\sum _{i}x_{i}=2+3+4+1=10}
16063:{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}},}
9290:
8663:
3225:
3168:
3084:
2235:
2182:
16516:
16483:
16435:
16379:
16355:
16322:
16220:
16194:
16168:
16148:
16128:
16102:
16076:
16024:
16004:
15984:
15946:
15887:
15850:
15830:
15775:
15755:
15735:
15715:
15695:
15579:
15543:
15428:
15389:
15369:
15349:
15329:
15309:
15289:
15169:
15126:
15030:
14990:
14970:
14950:
14930:
14910:
14890:
14870:
14791:
14755:
14678:
14630:
14595:
14502:
14459:
14256:
14228:
14193:
14107:
14064:
13971:
13950:
13930:
13861:
13832:
13772:
13752:
13678:
13650:
13596:
13572:
13552:
13461:
13432:
13374:
13354:
13268:
13232:
13190:
12975:
12942:
12913:
12886:
12857:
12830:
12707:
12676:
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12038:
12009:
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11953:
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11503:
11436:
11279:
11246:
11240:
observations with sum of pairwise deviation products
11226:
11076:
11046:
10899:
10876:
10870:
observations with sum of pairwise deviation products
10856:
10736:
10706:
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10527:
10498:
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6339:
6292:
6278:
When likelihood function is a continuous distribution
6255:
6235:
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6129:
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4560:
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4014:
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3591:
3568:
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2637:
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2431:
2405:
2383:
2222:{\textstyle \lambda ={\frac {3+4+1}{3}}\approx 2.67.}
2126:
2071:
2051:
2025:
1999:
1975:
1955:
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860:
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584:
557:
537:
452:
415:
373:
335:
16345:
given the observed data points, with the parameters
16162:
is more convenient mathematically, while the use of
15910:
given the observed data points, with the parameters
14856:{\displaystyle a\prod _{i=1}^{n}x_{i},\,b+n,\,c+n\!}
3371:
1888:which is another Beta distribution with parameters
16538:
16498:
16441:
16392:
16365:
16337:
16254:
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16062:
16010:
15990:
15971:{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }},}
15970:
15902:
15861:
15836:
15781:
15761:
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15701:
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15355:
15335:
15315:
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14976:
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9165:
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8539:{\displaystyle \mu _{0},\,\nu ,\,\alpha ,\,\beta }
8538:
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7328:
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7127:
7053:
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6152:{\displaystyle \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}
6151:
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6070:
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5771:
5743:
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4566:
4545:
4474:{\displaystyle \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}
4473:
4407:
4340:
4320:
4299:
4169:{\displaystyle \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}
4168:
4102:
4020:
4000:
3979:
3877:{\displaystyle \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}
3876:
3821:
3724:
3696:
3673:
3574:
3551:
3422:
3358:
3209:
3154:
3070:
3050:
3027:
2995:
2958:
2929:
2791:
2685:
2665:
2643:
2623:
2513:
2491:
2443:
2417:
2391:
2363:
2221:
2176:estimate of the parameters of the model, which is
2158:
2077:
2057:
2037:
2011:
1981:
1961:
1924:
1877:
1127:
1095:
1056:
1030:
1010:
979:
938:
912:
886:
866:
843:
736:
716:
690:{\displaystyle p(s)={n \choose s}q^{s}(1-q)^{n-s}}
689:
590:
563:
543:
473:
430:
394:
356:
16283:is rate or inverse scale. In parameterization of
15677:
15561:
15271:
15151:
14852:
14773:
14577:
14484:
14175:
14089:
13912:
13843:
13734:
13660:
13534:
13443:
13336:
13250:
13209:
12794:
12761:
12683:
12614:
12581:
12415:
11890:
11857:
11779:
11724:
11691:
11541:
10471:
10399:
10046:
9930:
8263:
8159:
7969:
7849:
7124:
6659:
6217:
6148:
6046:
5915:
5740:
5680:
5285:
5080:
5009:
4840:
4757:
4542:
4470:
4296:
4165:
3976:
3873:
1210:
1189:
643:
630:
16710:
15936:The exact interpretation of the parameters of a
13269:
10097:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}}
2377:most likely to have generated the observed data
16564:
602:, with a probability mass function of the form
15932:
15930:
15928:
15926:
15924:
15922:
15920:
6355:Conjugate prior (and posterior) distribution
4761:{\displaystyle k,\,\theta \in \mathbb {R} \!}
3584:Conjugate prior (and posterior) distribution
3078:we can compute the posterior hyperparameters
1661:
1640:
1522:
1501:
303:
16691:
13320:
13272:
12936:and with sum of pairwise deviation products
12032:and with sum of pairwise deviation products
10722:{\displaystyle \nu ,\,{\boldsymbol {\Psi }}}
10514:{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}_{0}}
6663:{\displaystyle \mu _{0},\,\sigma _{0}^{2}\!}
980:{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}
527:of a distribution. For example, consider a
16276:
16274:
16272:
7481:{\displaystyle \mathbf {\alpha ,\,\beta } }
7128:{\displaystyle \mu _{0},\,\tau _{0}^{-1}\!}
6504:Interpretation of hyperparameters
3734:Interpretation of hyperparameters
3443:Exponential family: Conjugate distributions
598:in . This random variable will follow the
16539:{\displaystyle \operatorname {\beta '} ()}
16419:
15917:
14488:{\displaystyle \alpha _{0},\,\beta _{0}\!}
14093:{\displaystyle \alpha _{0},\,\beta _{0}\!}
5387:is the number of observations in category
3437:If the likelihood function belongs to the
1083:If we sample this random variable and get
531:which consists of the number of successes
438:, the prior and posterior are then called
310:
296:
16668:
16666:
16664:
16625:
15667:
15617:
15557:
15550:
15503:
15471:
15460:
15261:
15248:
15207:
15147:
15140:
15133:
14842:
14829:
14769:
14762:
14525:
14473:
14130:
14078:
13874:
13839:
13691:
13474:
13439:
13326:
13275:
13246:
12485:
12465:
12445:
12354:
12340:
12326:
11611:
11591:
11571:
11480:
11466:
11452:
11089:
11053:
10749:
10713:
10413:
10279:
9774:
9265:
9245:
9232:
9159:
9152:
9145:
8638:
8618:
8605:
8532:
8525:
8518:
8197:
8155:
7880:
7833:
7517:
7473:
7230:
7105:
6643:
6179:
6144:
6136:
5974:
5911:
5670:
5275:
5005:
4753:
4745:
4504:
4466:
4458:
4224:
4161:
4153:
3932:
3869:
3861:
3499:Learn how and when to remove this message
3320:
3314:
2969:Returning to our example, if we pick the
2923:
2785:
2617:
2524:Generally, this quantity is known as the
2373:This is the Poisson distribution that is
16662:
16660:
16658:
16656:
16654:
16652:
16650:
16648:
16646:
16644:
16269:
12929:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}
12873:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}
12025:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}
11969:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}
10543:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}
10126:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}
7853:{\displaystyle \nu ,\,\sigma _{0}^{2}\!}
2168:Suppose we assume the data comes from a
2086:reasonable hyperparameters for a prior.
183:Integrated nested Laplace approximations
15871:
13038:
12916:
12880:; covariance matrix was estimated from
12860:
12625:
12592:
12393:
12313:
12151:
12012:
11976:; covariance matrix was estimated from
11956:
11735:
11702:
11519:
11439:
11330:
11180:
11154:
10952:
10824:
10798:
10591:
10530:
10372:
10266:
10172:
10113:
9893:
9761:
8353:, where deviations are from known mean
7676:, where deviations are from known mean
5835:
5700:
5661:
5305:
5266:
2693:are the parameters of the model. Using
14:
16711:
16672:
16608:
16606:
16604:
16306:
13806:, pp. 21–22) to see the details.
5919:{\displaystyle n=N,\alpha ,\,\beta \!}
1993:can be thought of as corresponding to
1940:
16641:
16584:
16499:{\displaystyle \operatorname {CG} ()}
11220:covariance matrix was estimated from
10885:{\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}}
10850:covariance matrix was estimated from
5640:(number of categories; i.e., size of
5245:(number of categories; i.e., size of
16612:
13803:
4892:{\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}
3481:adding citations to reliable sources
3452:
2109:
1925:{\displaystyle (\alpha +s,\beta +f)}
16692:Liu, Han; Wasserman, Larry (2014).
16601:
16579:Applied Statistical Decision Theory
16548:generalized beta prime distribution
14617:{\displaystyle \alpha _{0}/\alpha }
14215:{\displaystyle \alpha _{0}/\alpha }
12692:{\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }
11788:{\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }
11062:{\displaystyle \nu ,\,\mathbf {V} }
10480:{\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }
10055:{\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }
9525:, and precision was estimated from
4614:{\displaystyle {\frac {\beta }{r}}}
3423:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
3210:{\textstyle \beta '=\beta +n=2+3=5}
2172:. In that case, we can compute the
2089:
24:
16615:"A Compendium of Conjugate Priors"
16472:
16358:
16232:
16229:
16226:
16223:
15504:
15484:
15435:
15071:
14716:
13847:{\displaystyle \alpha ,\,\beta \!}
13526:
13447:{\displaystyle \alpha ,\,\beta \!}
13314:
10560:
10143:
8299:observations with sample variance
8163:{\displaystyle \alpha ,\,\beta \!}
8002:observations with sample variance
7622:observations with sample variance
7346:
6972:
6579:
6546:
6485:
6461:
6431:
6407:
6376:
5870:with known total population size,
5013:{\displaystyle \alpha ,\,\beta \!}
3809:
3776:
3715:
3691:
3661:
3637:
3606:
2492:{\displaystyle p(x>0|\lambda )}
1935:
1834:
1729:
1644:
1590:
1505:
1330:
1193:
958:
819:
634:
25:
16735:
16469:as conjugate mixing distribution.
16314:posterior predictive distribution
16255:{\displaystyle {\rm {Beta}}(1,1)}
16214:has the advantage that a uniform
15879:posterior predictive distribution
12961:{\displaystyle \mathbf {V} ^{-1}}
11265:{\displaystyle \mathbf {V} ^{-1}}
6928:{\displaystyle 1/\sigma _{0}^{2}}
2526:posterior predictive distribution
700:The usual conjugate prior is the
16410:multivariate normal distribution
14352:
14270:
13368:observations with maximum value
13143:
13021:
12945:
12791:
12779:
12775:
12758:
12746:
12742:
12709:
12680:
12611:
12578:
12528:
12511:
12412:
12356:
12254:
12132:
12059:
12040:
11887:
11875:
11871:
11854:
11842:
11838:
11805:
11776:
11721:
11688:
11638:
11630:
11538:
11482:
11370:
11316:
11249:
11170:
11166:
11144:
11140:
11098:
11055:
10990:
10936:
10878:
10814:
10810:
10788:
10784:
10751:
10715:
10645:
10615:
10574:
10501:
10468:
10438:
10421:
10396:
10389:
10360:
10335:
10318:
10282:
10213:
10194:
10155:
10076:
10043:
9995:
9969:
9927:
9911:
9873:
9839:
9813:
9777:
7470:
6539:
6400:
6323:{\displaystyle p(x_{i}|\theta )}
5820:
5730:
3769:
3630:
3552:{\displaystyle p(x_{i}|\theta )}
3457:
3372:Table of conjugate distributions
3284:
3247:
3038:Given the prior hyperparameters
3028:{\displaystyle \alpha =\beta =2}
2907:
2871:
2821:
2775:
2739:
2719:
2659:
2604:
2549:
2507:
2385:
2128:
1078:multivariate normal distribution
474:{\displaystyle p(x\mid \theta )}
395:{\displaystyle p(\theta \mid x)}
357:{\displaystyle p(x\mid \theta )}
277:
193:Approximate Bayesian computation
45:
16685:
16596:"conjugate prior distributions"
16455:
15769:and product of the complements
15155:{\displaystyle p,\,q,\,r,\,s\!}
8027:{\displaystyle \sigma _{0}^{2}}
3468:needs additional citations for
404:probability distribution family
219:Maximum a posteriori estimation
16533:
16530:
16493:
16490:
16366:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
16329:
16249:
16237:
15894:
15661:
15642:
15514:
15507:
15494:
15487:
15451:
15438:
15081:
15074:
14726:
14719:
14416:
14363:
14356:
14345:
14326:
14274:
14263:
14015:
13987:
13978:
13213:{\displaystyle U(0,\theta )\!}
13206:
13194:
13133:
13101:
13025:
12907:observations with sample mean
12851:observations with sample mean
12801:
12770:
12767:
12737:
12636:
12605:
12602:
12572:
12246:
12214:
12143:
12136:
12003:observations with sample mean
11947:observations with sample mean
11897:
11866:
11863:
11833:
11746:
11715:
11712:
11682:
11320:
11185:
11161:
11158:
11135:
10947:
10940:
10829:
10805:
10802:
10779:
10578:
10217:
10159:
10148:
9686:
9669:
9638:
9548:observations with sample mean
9498:observations with sample mean
9457:
9418:
9398:
9389:
9351:
9344:
9322:
9209:
9059:
9042:
9011:
8921:observations with sample mean
8898:; variance was estimated from
8871:observations with sample mean
8830:
8791:
8771:
8762:
8724:
8717:
8695:
8582:
8458:
8409:
8400:
8320:{\displaystyle \beta /\alpha }
8248:
8228:
8105:
8073:
8066:
8057:
7946:
7926:
7783:
7739:
7732:
7723:
7643:{\displaystyle \beta /\alpha }
7571:
7551:
7362:
7048:
6993:
6986:
6977:
6586:
6574:
6567:
6558:
6549:
6534:
6527:
6518:
6438:
6426:
6419:
6410:
6395:
6388:
6379:
6372:
6365:
6317:
6310:
6296:
5843:
5824:
5813:
5475:
5463:
5454:
5344:
5312:
5158:
4925:
4695:
4672:
4665:
4656:
4402:
4379:
4372:
4363:
4061:
4049:
4040:
3816:
3804:
3797:
3788:
3779:
3764:
3757:
3748:
3668:
3656:
3649:
3640:
3625:
3618:
3609:
3602:
3595:
3546:
3539:
3525:
3316:
3288:
3279:
3266:
3251:
3242:
3229:
2996:{\displaystyle \alpha ,\beta }
2975:negative binomial distribution
2953:
2947:
2911:
2903:
2895:
2889:
2883:
2876:
2867:
2858:
2851:
2844:
2825:
2816:
2809:
2779:
2771:
2763:
2757:
2751:
2744:
2735:
2723:
2714:
2707:
2608:
2599:
2592:
2586:
2579:
2572:
2553:
2544:
2537:
2486:
2479:
2466:
2306:
2293:
2280:
2265:
2252:
2239:
2153:
2135:
1919:
1895:
1862:
1838:
1810:
1797:
1745:
1733:
1702:
1689:
1606:
1594:
1563:
1550:
1473:
1467:
1461:
1443:
1432:
1426:
1420:
1402:
1386:
1362:
1346:
1334:
1312:
1299:
1270:
1258:
1239:
1226:
1176:
1152:
974:
962:
835:
823:
801:
788:
763:
757:
672:
659:
621:
615:
488:for the posterior; otherwise,
468:
456:
425:
419:
408:prior probability distribution
389:
377:
351:
339:
13:
1:
16724:Conjugate prior distributions
16557:
13790:th power of each observation
9732:with known covariance matrix
8276:precision was estimated from
4124:with known number of trials,
2159:{\displaystyle \mathbf {x} =}
2100:Recursive Bayesian estimation
27:Concept in probability theory
16695:Statistical Machine Learning
16467:generalized inverse Gaussian
16463:normal variance-mean mixture
16338:{\displaystyle {\tilde {x}}}
16018:failures, while the mode is
15903:{\displaystyle {\tilde {x}}}
10237:with known precision matrix
7982:variance was estimated from
7599:variance was estimated from
3434:in the multivariate cases).
2666:{\displaystyle \mathbf {x} }
2514:{\displaystyle \mathbf {x} }
2392:{\displaystyle \mathbf {x} }
446:for the likelihood function
126:Principle of maximum entropy
18:Conjugate prior distribution
7:
16508:compound gamma distribution
16414:multivariate t-distribution
15796:
15565:{\displaystyle p,\,q,\,k\!}
14777:{\displaystyle a,\,b,\,c\!}
13254:{\displaystyle x_{m},\,k\!}
12844:{\displaystyle \kappa _{0}}
11940:{\displaystyle \kappa _{0}}
5772:{\displaystyle \alpha _{i}}
5412:{\displaystyle \alpha _{i}}
4429:with known failure number,
96:Bernstein–von Mises theorem
10:
16740:
16416:in the multivariate cases.
16408:, respectively, or to the
15803:Beta-binomial distribution
15749:observations with product
15323:observations with product
14644:{\displaystyle \beta _{0}}
14242:{\displaystyle \beta _{0}}
9466:{\displaystyle {\bar {x}}}
8839:{\displaystyle {\bar {x}}}
7817:Scaled inverse chi-squared
5879:(number of target members)
3737:Posterior predictive
3706:Posterior hyperparameters
2959:{\displaystyle p(\theta )}
2444:{\displaystyle \lambda =2}
2418:{\displaystyle \lambda =3}
514:
431:{\displaystyle p(\theta )}
16673:Murphy, Kevin P. (2007),
16181:{\displaystyle \alpha -1}
16089:{\displaystyle \alpha -1}
13944:observations that sum to
13801:
7302:{\displaystyle \tau _{0}}
6507:Posterior predictive
6476:Posterior hyperparameters
4727:
4721:
4716:
2673:is the observed data and
2012:{\displaystyle \alpha -1}
1072:, conjugate prior of the
913:{\displaystyle \alpha =1}
525:probability mass function
121:Principle of indifference
16406:Student's t-distribution
16207:{\displaystyle \beta -1}
16115:{\displaystyle \beta -1}
15862:{\displaystyle \alpha '}
15808:
12900:{\displaystyle \nu _{0}}
12824:mean was estimated from
11996:{\displaystyle \nu _{0}}
11920:mean was estimated from
9568:{\displaystyle \mu _{0}}
9541:{\displaystyle 2\alpha }
9518:{\displaystyle \mu _{0}}
9478:mean was estimated from
8941:{\displaystyle \mu _{0}}
8914:{\displaystyle 2\alpha }
8891:{\displaystyle \mu _{0}}
8851:mean was estimated from
8292:{\displaystyle 2\alpha }
7615:{\displaystyle 2\alpha }
7329:{\displaystyle \mu _{0}}
6955:{\displaystyle \mu _{0}}
6495:{\displaystyle \Theta '}
5779:occurrences of category
5419:occurrences of category
4710:(beta-negative binomial)
3725:{\displaystyle \Theta '}
2038:{\displaystyle \beta -1}
1068:, and also consider the
939:{\displaystyle \beta =1}
505:Bayesian decision theory
173:Markov chain Monte Carlo
16135:{\displaystyle \alpha }
15991:{\displaystyle \alpha }
15837:{\displaystyle \alpha }
15702:{\displaystyle \alpha }
15296:{\displaystyle \alpha }
14937:{\displaystyle \alpha }
13937:{\displaystyle \alpha }
13559:{\displaystyle \alpha }
9594:{\displaystyle 2\beta }
8967:{\displaystyle 2\beta }
8346:{\displaystyle 2\beta }
7669:{\displaystyle 2\beta }
6467:{\displaystyle \Theta }
6346:{\displaystyle \theta }
6242:{\displaystyle \alpha }
6071:{\displaystyle \alpha }
5105:{\displaystyle \alpha }
4567:{\displaystyle \alpha }
4321:{\displaystyle \alpha }
4001:{\displaystyle \alpha }
3697:{\displaystyle \Theta }
3575:{\displaystyle \theta }
3051:{\displaystyle \alpha }
2686:{\displaystyle \theta }
2058:{\displaystyle \alpha }
1962:{\displaystyle \alpha }
1135:failures, then we have
1011:{\displaystyle \alpha }
867:{\displaystyle \alpha }
717:{\displaystyle \alpha }
578:probability of success
440:conjugate distributions
178:Laplace's approximation
165:Posterior approximation
16540:
16500:
16443:
16442:{\displaystyle \beta }
16394:
16367:
16339:
16264:Dirichlet distribution
16256:
16208:
16182:
16156:
16155:{\displaystyle \beta }
16136:
16116:
16090:
16064:
16012:
16011:{\displaystyle \beta }
15992:
15972:
15904:
15863:
15838:
15783:
15763:
15743:
15723:
15722:{\displaystyle \beta }
15703:
15682:
15641:
15603:
15566:
15530:
15397:
15383:observations with sum
15377:
15357:
15356:{\displaystyle \beta }
15337:
15317:
15297:
15276:
15234:
15193:
15156:
15113:
14998:
14978:
14977:{\displaystyle \beta }
14958:
14938:
14918:
14898:
14878:
14857:
14815:
14778:
14742:
14645:
14624:observations with sum
14618:
14582:
14559:
14489:
14423:
14243:
14222:observations with sum
14216:
14180:
14164:
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14022:
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13957:{\displaystyle \beta }
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13901:
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13780:
13766:observations with sum
13760:
13739:
13718:
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13611:
13580:
13579:{\displaystyle \beta }
13566:observations with sum
13560:
13539:
13501:
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13389:
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11970:
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11759:
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11490:
11427:normal-inverse-Wishart
11397:
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9791:
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9569:
9542:
9519:
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8840:
8810:
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8347:
8321:
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8164:
8112:
8028:
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7974:
7925:
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7790:
7690:
7670:
7644:
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7591:
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7429:
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7303:
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6956:
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6789:
6664:
6593:
6496:
6468:
6453:Prior hyperparameters
6445:
6347:
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6262:{\displaystyle \beta }
6243:
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6206:
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5636:(probability vector),
5610:
5433:
5413:
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5354:
5290:
5241:(probability vector),
5215:
5126:
5125:{\displaystyle \beta }
5106:
5085:
5054:
5014:
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4845:
4802:
4762:
4702:
4635:
4621:experiments, assuming
4615:
4588:
4587:{\displaystyle \beta }
4568:
4547:
4531:
4475:
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4341:{\displaystyle \beta }
4322:
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4021:{\displaystyle \beta }
4002:
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3878:
3823:
3726:
3698:
3683:Prior hyperparameters
3675:
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3553:
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3071:{\displaystyle \beta }
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2667:
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2625:
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2419:
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2160:
2079:
2078:{\displaystyle \beta }
2059:
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2013:
1983:
1982:{\displaystyle \beta }
1963:
1926:
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1058:
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1031:{\displaystyle \beta }
1012:
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940:
914:
888:
887:{\displaystyle \beta }
868:
845:
738:
737:{\displaystyle \beta }
718:
691:
592:
565:
545:
486:closed-form expression
475:
432:
396:
366:posterior distribution
358:
284:Mathematics portal
227:Evidence approximation
16613:Fink, Daniel (1997).
16541:
16501:
16444:
16395:
16393:{\displaystyle t_{n}}
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16091:
16070:which corresponds to
16065:
16013:
15993:
15978:which corresponds to
15973:
15905:
15864:
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15784:
15764:
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15378:
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13561:
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13388:{\displaystyle x_{m}}
13363:
13342:
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13215:
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10668:
10545:
10521:and with sample mean
10516:
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10104:and with sample mean
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7309:and with sample mean
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7069:with known precision
7056:
6957:
6935:and with sample mean
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5380:{\displaystyle c_{i}}
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2651:is a new data point,
2646:
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509:George Alfred Barnard
490:numerical integration
476:
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188:Variational inference
16514:
16481:
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