3328:
1776:
8446:, i.e., a factorization into an open immersion followed by a proper map. The proper base change theorem is needed to show that this is well-defined, i.e., independent (up to isomorphism) of the choice of the compactification. Moreover, again in analogy to the case of sheaves on a topological space, a base change formula for
1140:
280:
3032:
2765:
3201:
5541:
6650:
3898:
5209:
4937:
6076:
4767:
2035:
7768:
9085:
8930:
685:
5689:
1014:
154:
2553:
5910:
4371:
2283:
1534:
7499:
1025:
4059:
3153:
165:
542:
8214:
2810:
8331:
1879:
1519:
7113:
7399:
4590:
1416:
7516:
flat the homotopy pullback (which is locally given by a derived tensor product) agrees with the ordinary pullback (locally given by the underived tensor product), and since the pullback along the flat maps
7054:
6766:
5401:
3961:
3323:{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}
2590:
5417:
6260:
2083:
3383:
690:
Thus, the two operations, namely forgetful functors and tensor products commute in the sense of the above isomorphism. The base change theorems discussed below are statements of a similar kind.
7251:
One advantage of this formulation is that the flatness hypothesis has been weakened. However, making concrete computations of the cohomology of the left- and right-hand sides now requires the
4424:
5042:
853:
8552:
3786:
2125:
431:
8650:
3445:
791:
6837:
7223:
6881:
5330:
5291:
4636:
3536:
1219:
8061:
5079:
4807:
4236:
8599:
5776:
6538:
4457:
6795:
5976:
3778:
8401:
4649:
6448:
6291:
4186:
3620:
2418:
6503:
7897:
8954:
8094:
7984:
7937:
7857:
6989:
6681:
6315:
6208:
5971:
5719:
4143:
3407:
1247:
1171:
311:
8015:
3586:
7798:
7566:
3488:
1359:
1325:
8436:
2173:
1944:
4111:
3741:
8979:
8828:
7326:
7289:
6529:
6362:
4500:
4269:
3646:
8691:
8501:
6412:
6139:
5947:
5239:
5068:
4967:
4797:
3709:
2803:
2582:
2448:
2316:
8471:
8248:
7818:
6103:
3676:
3062:
2343:
1936:
1909:
1282:
572:
7686:
896:
The base change theorems presented below all assert that (for different types of sheaves, and under various assumptions on the maps involved), that the following
8803:
7243:
7187:
7133:
6901:
6701:
6386:
6337:
6182:
6162:
5739:
5564:
7165:
6965:
6933:
2138:
It is conceptually convenient to organize the above base change maps, which only involve only a single higher direct image functor, into one which encodes all
8988:
8833:
1771:{\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}
1135:{\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}}
4274:
275:{\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}}
9474:
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de
Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics
5580:
905:
45:
8220:
3027:{\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}
588:
2456:
5809:
2188:
8830:
are symmetric, and in some contexts (especially smooth base change) the more familiar formulation is the other one (dealing instead with the map
7404:
Then, assuming that the schemes (or, more generally, derived schemes) involved are quasi-compact and quasi-separated, the natural transformation
9582:
7410:
7059:
3973:
3070:
3967:
is proper, but not in general. The proper base change theorem mentioned above has the following generalization: there is a quasi-isomorphism
8256:
8137:
7568:). The auxiliary assumptions related to the Tor-independence or Tor-amplitude in the preceding base change theorem also become unnecessary.
3195:
is not closed, the base change map need not be an isomorphism, as the following example shows (the maps are the standard inclusions) :
4507:
883:
451:
9539:
1787:
1427:
8709:
7338:
2760:{\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}
6994:
6706:
5335:
3906:
9941:
9383:
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3
5536:{\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}
9415:
Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), "Integral transforms and
Drinfeld centers in derived algebraic geometry",
1367:
9805:
9767:
9730:
9680:
9622:
9497:
9406:
9350:
9292:
6213:
5404:
4383:
4981:
1146:
800:
286:
7954:
Closely related to proper base change is the following fact (the two theorems are usually proved simultaneously): let
320:
Such theorems exist in different branches of geometry: for (essentially arbitrary) topological spaces and proper maps
8513:
3893:{\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}
3679:
744:
731:
9481:
9461:
9390:
2091:
2040:
8734:
Esnault, H.; Kerz, M.; Wittenberg, O. (2016), "A restriction isomorphism for cycles of relative dimension zero",
8715:
8653:
8604:
3416:
876:
756:
5204:{\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}
4932:{\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}
3336:
7252:
1525:
6842:
6645:{\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}
5303:
5252:
4597:
3497:
1180:
9797:
8020:
6071:{\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}}
4195:
8561:
4762:{\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}
7512:
of quasi-coherent sheaves. The afore-mentioned flat base change result is in fact a special case since for
6800:
4429:
9506:
Deninger, Christopher (1988), "A proper base change theorem for non-torsion sheaves in Ă©tale cohomology",
3746:
9747:
8350:
7627:
7192:
6265:
4160:
3594:
2384:
387:
9759:
9704:
7599:
is a quasi-compact, quasi-separated map of schemes, but also includes more general stacks, such as the
7263:
5744:
869:
701:
9285:
Les six opérations de
Grothendieck et le formalisme des cycles Ă©vanescents dans le monde motivique. I.
7870:
3064:
into one entity, the above statement may equivalently be rephrased by saying that the base change map
9609:
9590:
7631:
6771:
8935:
8075:
7965:
7918:
7838:
6970:
6662:
6296:
6189:
5952:
5700:
4124:
3831:
3388:
1228:
1152:
292:
7993:
7940:
3549:
7776:
7528:
6453:
2030:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}
1941:
The above-mentioned introductory example is a special case of this, namely for the affine schemes
9528:
5792:
5300:
These statements are proved using the following fact, where in addition to the above assumptions
3539:
3457:
9916:
9898:
9796:, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 5, Providence, R.I.:
8409:
2141:
9465:
7959:
7623:
3176:
36:
6417:
5803:
A far reaching extension of flat base change is possible when considering the base change map
4084:
3714:
9946:
9856:
SchnĂĽrer, O. M.; Soergel, W. (2016), "Proper base change for separated locally proper maps",
7763:{\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}
6508:
4479:
4248:
3625:
2374:
721:
28:
9381:
8666:
8476:
6391:
6114:
5922:
5218:
5047:
4946:
4776:
3684:
2773:
2561:
2427:
2291:
1334:
1298:
9845:
9815:
9740:
9690:
9632:
9446:
9330:
8449:
8226:
7803:
6081:
5695:
4460:
4078:
3654:
3448:
3040:
2321:
2086:
1914:
1887:
1260:
708:
550:
24:
9574:
9302:
8124:
In close analogy to the topological situation mentioned above, the base change map for an
5297:, this statement is paraphrased by saying that "cohomology commutes with base extension".
8:
9699:
8720:
7987:
7642:
7588:
6141:). This map is a quasi-isomorphism provided that the following conditions are satisfied:
5246:
1222:
361:
32:
9849:
9583:"Éléments de géométrie algébrique. III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents. II"
9334:
9080:{\displaystyle g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}
8959:
8925:{\displaystyle f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}}
8808:
8657:
7306:
7269:
6342:
9883:
9865:
9835:
9708:
9562:
9450:
9424:
9356:
9320:
8788:
8761:
8743:
8694:
7228:
7172:
7118:
6886:
6686:
6371:
6322:
6167:
6147:
5789:
5724:
5549:
325:
7138:
6938:
6906:
4366:{\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }
3206:
1030:
170:
9951:
9936:
9887:
9819:
9801:
9763:
9726:
9676:
9636:
9618:
9566:
9520:
9493:
9402:
9360:
9346:
9288:
7646:
7638:
7619:
7600:
7505:
7292:
4118:
3452:
3159:
2366:
337:
9752:
9540:"Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen"
8765:
5684:{\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}
1009:{\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}
149:{\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}
9875:
9718:
9668:
9604:
9570:
9554:
9515:
9485:
9454:
9434:
9394:
9338:
9298:
8753:
2176:
369:
9438:
680:{\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}
9811:
9777:
9736:
9686:
9664:
9628:
9614:
9442:
9124:
7908:
7900:
7607:
7329:
4114:
2363:
1328:
1254:
2548:{\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}
8125:
7328:
are affine (with the notation as above), the homotopy pullback is given by the
4374:
4146:
3180:
9672:
9342:
8757:
7833:
5905:{\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}
341:
9930:
9789:
9389:, Lecture Notes in Mathematics (in French), vol. 305, Berlin; New York:
9377:
8981:). For consistency, the results in this article below are all stated for the
7944:
7509:
7266:
provides a means to drop the flatness assumption, provided that the pullback
5780:
4150:
3589:
35:. More precisely, they are about the base change map, given by the following
9640:
7630:
is a variant of the proper base change, where the pullback is replaced by a
3165:
The assumptions that the involved spaces be
Hausdorff have been weakened by
2278:{\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}
9879:
9535:
4469:
3410:
9823:
9722:
7494:{\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}
9469:
7108:{\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}
4189:
4054:{\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}
9713:
3148:{\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}
9894:
9832:
Proper local complete intersection morphisms preserve perfect complexes
9558:
9489:
9398:
2421:
9087:; but readers should be sure to check this against their expectations.
8326:{\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}
8209:{\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}
8116:
extended the proper base change theorem to non-torsion Ă©tale sheaves.
6293:-modules, and its cohomology sheaves are quasi-coherent (for example,
8748:
7653:
5293:
is closely related to the cohomology of the fiber of the point under
3543:
9870:
8663:
Similar ideas are also used to construct an analogue of the functor
4585:{\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}
9921:
1528:
then gives the first map and the last map (they are edge maps) in:
9840:
9429:
9325:
3743:
is the inclusion of an open subset, such as in the above example,
2175:
at a time. In fact, similar arguments as above yield a map in the
537:{\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}
1874:{\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}
1514:{\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}
7680:
need not be flat or proper etc.), there is a quasi-isomorphism
9647:
Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008),
6111:
is not flat and therefore is not equal to its derived functor
582:-module. Indeed, such an isomorphism is obtained by observing
9529:
Finiteness theorems for Ă©tale cohomology of excellent schemes
7394:{\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}
9460:
9184:
7258:
7049:{\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}
6761:{\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}
5396:{\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}
4802:
Furthermore, if these conditions hold, then the natural map
3956:{\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}
8336:
This fact and the proper base change suggest to define the
5798:
3886:
1145:
are continuous maps between topological spaces that form a
547:
Here the subscript indicates the forgetful functor, i.e.,
4064:
1411:{\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}
9376:
9258:
9242:
3780:
is the extension by zero, i.e., its stalks are given by
1257:
of the direct image (also known as pushforward) functor
9380:; Grothendieck, Alexandre; Verdier, Jean-Louis (1972),
6255:{\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}
9652:-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory
9646:
9230:
8991:
8962:
8938:
8836:
8811:
8791:
8733:
8669:
8607:
8564:
8516:
8479:
8452:
8412:
8353:
8259:
8229:
8140:
8078:
8023:
7996:
7968:
7921:
7873:
7841:
7806:
7779:
7689:
7531:
7413:
7341:
7309:
7272:
7231:
7195:
7175:
7141:
7121:
7062:
6997:
6973:
6941:
6909:
6889:
6845:
6803:
6774:
6709:
6689:
6665:
6541:
6511:
6456:
6420:
6394:
6374:
6345:
6325:
6317:
could be a bounded complex of quasi-coherent sheaves)
6299:
6268:
6216:
6192:
6170:
6150:
6117:
6084:
5979:
5955:
5925:
5812:
5747:
5727:
5703:
5583:
5552:
5420:
5338:
5306:
5255:
5221:
5082:
5050:
4984:
4949:
4810:
4779:
4652:
4600:
4510:
4482:
4432:
4386:
4277:
4251:
4238:). In this situation, the following statements hold:
4198:
4163:
4127:
4087:
3976:
3909:
3789:
3749:
3717:
3687:
3657:
3628:
3597:
3552:
3500:
3460:
3419:
3391:
3339:
3204:
3073:
3043:
2813:
2776:
2593:
2564:
2459:
2430:
2387:
2324:
2294:
2191:
2144:
2094:
2043:
1947:
1917:
1890:
1790:
1537:
1430:
1370:
1337:
1301:
1263:
1231:
1183:
1155:
1028:
908:
803:
759:
591:
553:
454:
390:
295:
168:
48:
9414:
7572:
7571:
In the above form, base change has been extended by
3186:
3037:
To encode all individual higher derived functors of
1287:
This map exists without any assumptions on the maps
693:
16:
Relate the direct image and the pull-back of sheaves
9315:Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019),
7859:, there are two base change results referred to as
3678:(or its derived functor) has to be replaced by the
9751:
9079:
8973:
8948:
8924:
8822:
8797:
8685:
8644:
8593:
8546:
8495:
8465:
8430:
8395:
8325:
8242:
8208:
8088:
8055:
8009:
7978:
7931:
7915:is quasi-compact and provided that the torsion of
7891:
7851:
7812:
7792:
7762:
7560:
7508:for any quasi-coherent sheaf, or more generally a
7493:
7393:
7320:
7283:
7237:
7217:
7181:
7159:
7127:
7107:
7048:
6983:
6959:
6927:
6895:
6875:
6831:
6789:
6760:
6695:
6675:
6644:
6523:
6497:
6442:
6406:
6380:
6356:
6331:
6309:
6285:
6254:
6202:
6176:
6156:
6133:
6097:
6070:
5965:
5949:is the (total) derived functor of the pullback of
5941:
5904:
5770:
5733:
5713:
5683:
5558:
5535:
5395:
5324:
5285:
5233:
5203:
5062:
5036:
4961:
4931:
4791:
4761:
4630:
4584:
4494:
4451:
4419:{\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}
4418:
4365:
4263:
4230:
4180:
4137:
4105:
4053:
3955:
3892:
3772:
3735:
3703:
3670:
3640:
3614:
3580:
3530:
3482:
3439:
3401:
3377:
3322:
3147:
3056:
3026:
2797:
2759:
2576:
2547:
2442:
2412:
2337:
2310:
2277:
2167:
2119:
2077:
2029:
1930:
1903:
1873:
1770:
1513:
1410:
1353:
1319:
1276:
1241:
1213:
1165:
1134:
1008:
847:
785:
679:
566:
536:
425:
305:
274:
148:
7820:denote the inverse and direct image functors for
5784:(together with a number of technical conditions:
5037:{\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}
848:{\displaystyle (R)f_{!}\leftrightarrows (R)f^{!}}
9928:
9703:, Annals of Mathematics Studies, vol. 170,
7827:
7645:, which are foundational facts in the theory of
7618:Proper base change also holds in the context of
9855:
9314:
8547:{\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}
7595:is a perfect map (which includes the case that
5795:, the schemes involved need to be Noetherian).
3166:
6657:One of the following conditions is satisfied:
877:
9580:
9136:
7613:
3651:To obtain a base-change result, the functor
3434:
3428:
3288:
3282:
3251:
3245:
2120:{\displaystyle {\mathcal {F}}:={\tilde {M}}}
2078:{\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}
9185:Berthelot, Grothendieck & Illusie (1971
8645:{\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}
8219:is not usually an isomorphism. Instead the
8063:are finite in each of the following cases:
7649:, are a consequence of proper base change.
3440:{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}
1361:, there is a natural map (called unit map)
786:{\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}
9603:
9172:
9160:
9140:
3378:{\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}
884:
870:
360:A simple base change phenomenon arises in
9869:
9839:
9712:
9519:
9428:
9324:
8747:
8338:direct image functor with compact support
7259:Base change in derived algebraic geometry
6935:; equivalently, there exists an interval
6703:, meaning that it is quasi-isomorphic in
4359:
3421:
3312:
3238:
9505:
9317:Triangulated Categories of Mixed Motives
8113:
6876:{\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}
5799:Flat base change in the derived category
5325:{\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}
5286:{\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}
4631:{\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}
4476:is reduced and connected, then for each
3531:{\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}
2558:is an isomorphism. Indeed, we have: for
1214:{\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}
9788:
9658:
9534:
9259:Artin, Grothendieck & Verdier (1972
9243:Artin, Grothendieck & Verdier (1972
9219:
9208:
9120:
8056:{\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}
7189:has finite Tor-dimension, meaning that
4231:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}
4069:
2318:denotes the (total) derived functor of
9929:
9319:, Springer Monographs in Mathematics,
8656:. It is an important variant of usual
8594:{\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}
7225:has finite flat amplitude relative to
6683:has finite flat amplitude relative to
5915:in the derived category of sheaves on
5411:and a natural isomorphism of functors
4065:Base change for quasi-coherent sheaves
1295:. It is constructed as follows: since
9893:
9775:
9746:
9696:
9282:
9270:
9246:
9144:
9108:
9096:
8710:Grothendieck's relative point of view
7867:, respectively: base change holds if
6832:{\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}
6184:is quasi-compact and quasi-separated,
4452:{\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}
3172:
2353:
1781:Combining this with the above yields
9829:
9547:Publications Mathématiques de l'IHÉS
9231:Hotta, Takeuchi & Tanisaki (2008
9196:
9123:, the four spaces are assumed to be
7573:Ben-Zvi, Francis & Nadler (2010)
3773:{\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}
9508:Journal of Pure and Applied Algebra
9149:Cohomology and base change theorems
8396:{\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}
7218:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}
5919:similarly as mentioned above. Here
5569:
4638:is locally free and the natural map
2348:
13:
9663:, Universitext, Berlin, New York:
9287:, Société Mathématique de France,
9072:
9024:
8941:
8917:
8869:
8727:
8634:
8583:
8315:
8282:
8201:
8163:
8081:
8045:
7971:
7924:
7844:
7752:
7712:
7486:
7442:
7199:
7091:
7081:
7027:
6976:
6862:
6810:
6778:
6739:
6668:
6606:
6583:
6555:
6302:
6286:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
6272:
6262:, the bounded derived category of
6233:
6195:
6063:
6035:
6003:
5992:
5958:
5894:
5844:
5706:
5673:
5619:
5458:
5278:
5187:
5124:
5111:
5014:
4915:
4852:
4839:
4745:
4688:
4675:
4623:
4568:
4441:
4402:
4335:
4202:
4181:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}
4167:
4130:
4081:apply in the following situation:
4043:
4002:
3963:, which is a quasi-isomorphism if
3948:
3925:
3837:
3808:
3765:
3615:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}
3601:
3523:
3394:
3370:
3209:
3175:has extended the above theorem to
3140:
3099:
3006:
2952:
2895:
2849:
2710:
2671:
2619:
2540:
2492:
2413:{\displaystyle X\times _{S}T\to T}
2267:
2220:
2097:
1234:
1206:
1158:
998:
944:
732:direct image with compact support
426:{\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}
298:
138:
84:
14:
9963:
9910:
9900:Foundations of Algebraic Geometry
8558:, the individual cohomologies of
7525:are automatically derived (i.e.,
5771:{\displaystyle g:S'\rightarrow S}
3680:direct image with compact support
3425:
3242:
3187:Direct image with compact support
3179:, i.e., sheaves taking values in
694:Definition of the base change map
328:for (quasi-)coherent sheaves and
8736:Cambridge Journal of Mathematics
7892:{\displaystyle f:X\rightarrow S}
3183:(as opposed to abelian groups).
1938:finally yields the desired map.
9480:(in French), Berlin; New York:
9308:
9276:
9264:
9252:
9236:
9224:
9213:
9202:
8716:Change of base (disambiguation)
8654:cohomology with compact support
8119:
6790:{\displaystyle {\mathcal {F}}'}
2721:
355:
9942:Theorems in algebraic geometry
9858:Rend. Semin. Mat. Univ. Padova
9190:
9187:, SGA 6 IV, Proposition 3.1.0)
9178:
9166:
9154:
9130:
9114:
9102:
9090:
9029:
8949:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
8874:
8779:
8639:
8623:
8588:
8578:
8526:
8503:does hold for non-proper maps
8287:
8168:
8112:Under additional assumptions,
8089:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
8050:
8034:
7979:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
7932:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
7883:
7852:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
7717:
7447:
7388:
7359:
7253:Grothendieck spectral sequence
7154:
7142:
7096:
7076:
7043:
7008:
6984:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
6954:
6942:
6922:
6910:
6903:outside some bounded interval
6820:
6804:
6755:
6720:
6676:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
6633:
6577:
6492:
6481:
6466:
6460:
6310:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
6249:
6227:
6203:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5966:{\displaystyle {\mathcal {O}}}
5899:
5871:
5852:
5849:
5839:
5762:
5714:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5678:
5653:
5627:
5624:
5594:
5518:
5492:
5479:
5476:
5431:
5405:finitely generated projective
5387:
5374:
5368:
5355:
5342:
5198:
5168:
5149:
5146:
5140:
5025:
4995:
4926:
4896:
4877:
4874:
4868:
4756:
4726:
4713:
4710:
4704:
4579:
4549:
4531:
4525:
4514:
4446:
4436:
4413:
4396:
4390:
4355:
4346:
4316:
4298:
4292:
4281:
4223:
4217:
4138:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4097:
4007:
3930:
3814:
3790:
3727:
3575:
3563:
3477:
3471:
3402:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
3297:
3272:
3266:
3218:
3104:
3012:
2986:
2957:
2916:
2900:
2877:
2855:
2824:
2792:
2786:
2754:
2748:
2715:
2692:
2676:
2660:
2625:
2594:
2497:
2434:
2404:
2272:
2247:
2228:
2225:
2215:
2111:
2072:
2061:
2024:
2013:
1990:
1984:
1966:
1960:
1811:
1708:
1681:
1663:
1623:
1605:
1592:
1526:Grothendieck spectral sequence
1451:
1374:
1242:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1166:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1111:
1087:
1081:
1047:
1003:
978:
952:
949:
919:
832:
826:
823:
810:
804:
770:
510:
497:
480:
455:
441:, there is an isomorphism (of
306:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
251:
227:
221:
187:
143:
118:
92:
89:
59:
1:
9798:American Mathematical Society
9439:10.1090/S0894-0347-10-00669-7
9370:
8010:{\displaystyle X_{\text{et}}}
7828:Base change for Ă©tale sheaves
7652:A base-change also holds for
4502:the following are equivalent
3581:{\displaystyle \pi _{1}(X,x)}
3167:SchnĂĽrer & Soergel (2016)
2381:is universally closed (i.e.,
433:. In this situation, given a
9779:Lectures on Étale Cohomology
9521:10.1016/0022-4049(88)90102-8
7793:{\displaystyle -^{\dagger }}
7561:{\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}
6498:{\displaystyle f(x)=s=g(s')}
5332:: there is a finite complex
3177:non-abelian sheaf cohomology
2450:), then the base change map
7:
9922:Trouble with semicontinuity
8703:
7628:theorem on formal functions
7295:. In the easiest case when
6078:involves a tensor product,
4426:is locally constant, where
4075:Proper base change theorems
3903:In general, there is a map
3483:{\displaystyle \pi _{1}(X)}
10:
9968:
9760:Princeton University Press
9705:Princeton University Press
8985:situation, namely the map
8431:{\displaystyle f=p\circ j}
7672:are smooth varieties (but
7264:Derived algebraic geometry
6967:such that for any complex
5215:is an isomorphism for all
4943:is an isomorphism for all
4773:is an isomorphism for all
4242:"Semicontinuity theorem":
3648:), which need not vanish.
2168:{\displaystyle R^{r}f_{*}}
745:exceptional inverse image
702:Image functors for sheaves
289:of topological spaces and
9673:10.1007/978-3-642-82783-9
9581:Grothendieck, A. (1963),
9343:10.1007/978-3-030-33242-6
8758:10.4310/CJM.2016.v4.n2.a1
8554:of a scheme over a field
8250:satisfies an isomorphism
8104:is the characteristic of
7614:Variants and applications
7610:in characteristic zero).
5741:), provided that the map
1884:Using the adjointness of
1019:is an isomorphism, where
9776:Milne, James S. (2012),
9659:Iversen, Birger (1986),
9127:and of finite dimension.
8772:
7591:, provided that the map
6505:, then for all integers
6443:{\displaystyle s'\in S'}
5694:is an isomorphism for a
4106:{\displaystyle f:X\to S}
3736:{\displaystyle f:X\to S}
3490:(which is isomorphic to
9830:Toën, Bertrand (2012),
9466:Grothendieck, Alexandre
8510:For the structural map
7624:complex analytic spaces
7587:are (possibly derived)
7575:to the situation where
6524:{\displaystyle p\geq 1}
5793:morphism of finite type
4495:{\displaystyle p\geq 0}
4264:{\displaystyle p\geq 0}
3641:{\displaystyle x\neq 0}
3538:can be computed as the
3385:is always zero, but if
2424:for any continuous map
9917:Brian Conrad's handout
9283:Ayoub, Joseph (2007),
9175:, Proposition III.9.3)
9143:, Theorem III.12.11),
9081:
8975:
8950:
8926:
8824:
8799:
8687:
8686:{\displaystyle Rf_{!}}
8646:
8595:
8548:
8497:
8496:{\displaystyle Rf_{!}}
8467:
8432:
8397:
8327:
8244:
8210:
8090:
8057:
8011:
7980:
7960:separably closed field
7933:
7893:
7853:
7814:
7794:
7764:
7562:
7495:
7395:
7322:
7285:
7239:
7219:
7183:
7161:
7129:
7109:
7050:
6985:
6961:
6929:
6897:
6877:
6833:
6791:
6762:
6697:
6677:
6646:
6525:
6499:
6444:
6408:
6407:{\displaystyle x\in X}
6382:
6358:
6333:
6311:
6287:
6256:
6204:
6178:
6158:
6135:
6134:{\displaystyle Lg^{*}}
6099:
6072:
5967:
5943:
5942:{\displaystyle Lg^{*}}
5906:
5772:
5735:
5715:
5685:
5560:
5537:
5397:
5326:
5287:
5235:
5234:{\displaystyle s\in S}
5205:
5070:, then the natural map
5064:
5063:{\displaystyle s\in S}
5038:
4963:
4962:{\displaystyle s\in S}
4933:
4793:
4792:{\displaystyle s\in S}
4763:
4632:
4586:
4496:
4453:
4420:
4367:
4265:
4232:
4182:
4139:
4107:
4079:quasi-coherent sheaves
4055:
3957:
3894:
3774:
3737:
3705:
3704:{\displaystyle Rf_{!}}
3672:
3642:
3616:
3582:
3532:
3484:
3441:
3403:
3379:
3324:
3149:
3058:
3028:
2799:
2798:{\displaystyle s=g(t)}
2761:
2578:
2577:{\displaystyle s\in S}
2549:
2444:
2443:{\displaystyle T\to S}
2414:
2339:
2312:
2311:{\displaystyle Rf_{*}}
2279:
2169:
2121:
2079:
2031:
1932:
1905:
1875:
1772:
1515:
1412:
1355:
1354:{\displaystyle g'_{*}}
1321:
1320:{\displaystyle g'^{*}}
1278:
1243:
1215:
1167:
1136:
1010:
849:
787:
681:
568:
538:
427:
307:
276:
150:
37:natural transformation
9723:10.1515/9781400830558
9697:Lurie, Jacob (2009),
9661:Cohomology of sheaves
9082:
8976:
8951:
8927:
8825:
8800:
8712:in algebraic geometry
8688:
8647:
8596:
8549:
8498:
8468:
8466:{\displaystyle g_{*}}
8433:
8398:
8328:
8245:
8243:{\displaystyle f_{!}}
8211:
8091:
8058:
8012:
7981:
7934:
7894:
7854:
7834:Ă©tale torsion sheaves
7815:
7813:{\displaystyle \int }
7795:
7765:
7563:
7496:
7396:
7323:
7286:
7240:
7220:
7184:
7162:
7130:
7110:
7051:
6986:
6962:
6930:
6898:
6878:
6834:
6792:
6763:
6698:
6678:
6647:
6526:
6500:
6445:
6409:
6383:
6359:
6334:
6312:
6288:
6257:
6205:
6179:
6164:is quasi-compact and
6159:
6136:
6100:
6098:{\displaystyle g^{*}}
6073:
5968:
5944:
5907:
5773:
5736:
5716:
5686:
5561:
5538:
5398:
5327:
5288:
5236:
5206:
5065:
5039:
4964:
4934:
4794:
4764:
4633:
4587:
4497:
4454:
4421:
4368:
4266:
4233:
4183:
4140:
4108:
4056:
3958:
3895:
3775:
3738:
3706:
3673:
3671:{\displaystyle f_{*}}
3643:
3617:
3583:
3533:
3485:
3442:
3404:
3380:
3325:
3150:
3059:
3057:{\displaystyle f_{*}}
3029:
2800:
2762:
2579:
2550:
2445:
2415:
2340:
2338:{\displaystyle f_{*}}
2313:
2280:
2170:
2122:
2080:
2032:
1933:
1931:{\displaystyle g_{*}}
1906:
1904:{\displaystyle g^{*}}
1876:
1773:
1516:
1413:
1356:
1322:
1279:
1277:{\displaystyle f_{*}}
1244:
1216:
1168:
1137:
1011:
850:
788:
682:
578:, but regarded as an
569:
567:{\displaystyle M_{A}}
539:
428:
308:
277:
151:
9880:10.4171/RSMUP/135-13
9613:, Berlin, New York:
8989:
8960:
8936:
8834:
8809:
8789:
8723:of automorphic forms
8667:
8605:
8562:
8514:
8477:
8450:
8410:
8351:
8257:
8227:
8138:
8076:
8021:
7994:
7966:
7958:be a variety over a
7919:
7871:
7839:
7804:
7777:
7687:
7529:
7411:
7339:
7307:
7270:
7229:
7193:
7173:
7139:
7119:
7060:
6995:
6971:
6939:
6907:
6887:
6843:
6801:
6772:
6707:
6687:
6663:
6539:
6509:
6454:
6418:
6392:
6372:
6343:
6323:
6297:
6266:
6214:
6190:
6168:
6148:
6115:
6082:
5977:
5953:
5923:
5810:
5745:
5725:
5701:
5696:quasi-coherent sheaf
5581:
5574:The base change map
5550:
5418:
5336:
5304:
5253:
5219:
5080:
5048:
4982:
4947:
4808:
4777:
4650:
4598:
4508:
4480:
4461:Euler characteristic
4430:
4384:
4275:
4249:
4196:
4161:
4125:
4085:
3974:
3907:
3787:
3747:
3715:
3685:
3655:
3626:
3595:
3550:
3498:
3458:
3417:
3389:
3337:
3202:
3071:
3041:
2811:
2774:
2591:
2562:
2457:
2428:
2385:
2377:Hausdorff space and
2322:
2292:
2189:
2142:
2092:
2087:quasi-coherent sheaf
2041:
1945:
1915:
1888:
1788:
1535:
1428:
1368:
1335:
1299:
1261:
1229:
1181:
1153:
1026:
906:
860:Base change theorems
801:
757:
589:
551:
452:
388:
293:
166:
46:
21:base change theorems
19:In mathematics, the
9850:2012arXiv1210.2827T
9700:Higher Topos Theory
9417:J. Amer. Math. Soc.
9393:, pp. vi+640,
9335:2009arXiv0912.2110C
9111:, Theorem 7.3.1.16)
9054:
8899:
8721:Base change lifting
8622:
8302:
8183:
7988:constructible sheaf
7903:. It also holds if
7643:theorem of the cube
7465:
7384:
7291:is replaced by the
6573:
5870:
5652:
5546:on the category of
4025:
3447:corresponding to a
3352:
3122:
2985:
2931:
2522:
2246:
2037:and, consequently,
1849:
1746:
1573:
1489:
1389:
1350:
1223:higher direct image
977:
362:commutative algebra
336:flat, similarly in
117:
9610:Algebraic Geometry
9559:10.1007/BF02684746
9490:10.1007/BFb0066283
9399:10.1007/BFb0070714
9199:, Proposition 1.4)
9137:Grothendieck (1963
9077:
9042:
8974:{\displaystyle S'}
8971:
8946:
8922:
8887:
8823:{\displaystyle S'}
8820:
8795:
8683:
8642:
8608:
8591:
8544:
8493:
8463:
8428:
8393:
8323:
8290:
8240:
8206:
8171:
8086:
8053:
8007:
7976:
7929:
7889:
7865:smooth base change
7849:
7810:
7790:
7760:
7558:
7491:
7453:
7391:
7370:
7321:{\displaystyle S'}
7318:
7284:{\displaystyle X'}
7281:
7235:
7215:
7179:
7157:
7125:
7105:
7046:
6981:
6957:
6925:
6893:
6873:
6829:
6787:
6758:
6693:
6673:
6642:
6542:
6521:
6495:
6440:
6404:
6388:, meaning that if
6378:
6357:{\displaystyle S'}
6354:
6329:
6307:
6283:
6252:
6200:
6174:
6154:
6131:
6105:is not exact when
6095:
6068:
5973:-modules (because
5963:
5939:
5902:
5858:
5768:
5731:
5711:
5681:
5640:
5556:
5533:
5393:
5322:
5283:
5231:
5201:
5060:
5034:
4959:
4929:
4789:
4759:
4628:
4582:
4492:
4449:
4416:
4363:
4261:
4228:
4178:
4135:
4119:noetherian schemes
4103:
4070:Proper base change
4051:
4013:
3953:
3890:
3885:
3770:
3733:
3711:. For example, if
3701:
3668:
3638:
3612:
3578:
3528:
3480:
3437:
3399:
3375:
3340:
3320:
3318:
3145:
3110:
3054:
3024:
2973:
2919:
2795:
2757:
2645:
2574:
2545:
2510:
2440:
2410:
2354:Proper base change
2335:
2308:
2275:
2234:
2165:
2127:associated to the
2117:
2075:
2027:
1928:
1901:
1871:
1837:
1768:
1734:
1561:
1511:
1477:
1408:
1377:
1351:
1338:
1317:
1274:
1239:
1211:
1163:
1132:
1130:
1006:
965:
845:
783:
677:
564:
534:
423:
326:algebraic geometry
303:
272:
270:
146:
105:
9807:978-81-85931-86-9
9794:Abelian varieties
9769:978-0-691-08238-7
9732:978-0-691-14049-0
9682:978-3-540-16389-3
9624:978-0-387-90244-9
9605:Hartshorne, Robin
9499:978-3-540-05647-8
9462:Berthelot, Pierre
9408:978-3-540-06118-2
9352:978-3-030-33241-9
9294:978-2-85629-244-0
8798:{\displaystyle X}
8221:extension by zero
8004:
7647:abelian varieties
7639:see-saw principle
7620:complex manifolds
7601:classifying stack
7506:quasi-isomorphism
7293:homotopy pullback
7238:{\displaystyle g}
7182:{\displaystyle g}
7128:{\displaystyle i}
7041:
6896:{\displaystyle i}
6753:
6696:{\displaystyle f}
6381:{\displaystyle S}
6332:{\displaystyle X}
6247:
6177:{\displaystyle f}
6157:{\displaystyle S}
5734:{\displaystyle X}
5559:{\displaystyle A}
3453:fundamental group
3333:One the one hand
3306:
3232:
3160:quasi-isomorphism
2638:
2367:topological space
2114:
1120:
1061:
894:
893:
338:analytic geometry
260:
201:
9959:
9906:
9905:
9890:
9873:
9852:
9843:
9826:
9785:
9784:
9772:
9757:
9754:Étale cohomology
9743:
9716:
9693:
9655:
9643:
9600:
9599:
9598:
9589:, archived from
9587:Publ. Math. IHÉS
9577:
9544:
9524:
9523:
9502:
9457:
9432:
9411:
9388:
9364:
9363:
9328:
9312:
9306:
9305:
9280:
9274:
9268:
9262:
9256:
9250:
9240:
9234:
9233:, Theorem 1.7.3)
9228:
9222:
9217:
9211:
9206:
9200:
9194:
9188:
9182:
9176:
9173:Hartshorne (1977
9170:
9164:
9161:Hartshorne (1977
9158:
9152:
9141:Hartshorne (1977
9139:, Section 7.7),
9134:
9128:
9118:
9112:
9106:
9100:
9094:
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