1149:
3780:
3433:
3120:
1858:
1363:
108:
series. Despite non-convergence, the asymptotic expansion is useful when truncated to a finite number of terms. The approximation may provide benefits by being more mathematically tractable than the function being expanded, or by an increase in the speed of computation of the expanded function.
3775:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}}
2880:
2182:
2553:
1622:
2715:
1613:
1196:
1499:
3311:
807:
657:
967:
1993:
326:
2396:
2765:
2282:
1152:
Plots of the absolute value of the fractional error in the asymptotic expansion of the Gamma function (left). The horizontal axis is the number of terms in the asymptotic expansion. Blue points are for
3115:{\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}
3438:
516:
125:
is the expansion parameter. The error is thus beyond all orders in the expansion parameter. It is possible to improve on the superasymptotic error, e.g. by employing resummation methods such as
1508:
2867:
58:
the series after a finite number of terms provides an approximation to a given function as the argument of the function tends towards a particular, often infinite, point. Investigations by
1372:
2610:
1935:
3366:
2807:
186:
1853:{\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}
1051:
3823:
3186:
1112:
387:
3428:
3222:
3227:
2388:
2350:
1983:
2314:
1888:
668:
2590:
1138:
1080:
1025:
996:
860:
446:
416:
355:
216:
3860:
3395:
109:
Typically, the best approximation is given when the series is truncated at the smallest term. This way of optimally truncating an asymptotic expansion is known as
357:
may be taken to be infinity.) In other words, a sequence of functions is an asymptotic scale if each function in the sequence grows strictly slower (in the limit
1358:{\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}
527:
3800:
3140:
830:
62:
revealed that the divergent part of an asymptotic expansion is latently meaningful, i.e. contains information about the exact value of the expanded function.
868:
4120:
2177:{\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}
236:
2724:. However, by truncating the series on the right to a finite number of terms, one may obtain a fairly good approximation to the value of
2548:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,}
2205:
Asymptotic expansions often occur when an ordinary series is used in a formal expression that forces the taking of values outside of its
2727:
2215:
4037:
3954:
77:
4098:
3971:
454:
2812:
17:
2710:{\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.}
4266:
3916:
4244:
3979:
4281:
4276:
1608:{\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}
4234:
1897:
4239:
4215:
3329:
1190:
4095:
Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory
2774:
4220:
4200:
4134:
4087:
3926:
3921:
158:
104:
fits the definition of asymptotic expansion as well, the phrase "asymptotic series" usually implies a
4271:
152:
First we define an asymptotic scale, and then give the formal definition of an asymptotic expansion.
97:
1494:{\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}
66:
1030:
4182:
3805:
3306:{\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}
3145:
1085:
360:
4067:
3400:
3191:
2593:
802:{\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\quad (x\to L)\ }
2355:
2319:
1952:
3889:
2293:
2206:
1617:
1863:
2597:
2561:
1503:
1367:
1117:
1059:
1004:
975:
839:
652:{\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\quad (x\to L)}
425:
395:
334:
195:
89:
3836:
3371:
8:
3949:. History of mathematics. Providence (R.I.): American mathematical society. p. 190.
3911:
3884:
189:
137:
76:
in either positive or negative powers. Methods of generating such expansions include the
4161:
4109:
3785:
3125:
815:
4251:
4033:
3950:
3901:
1891:
126:
81:
4153:
47:
4025:
3996:
3988:
3906:
2193:
1938:
962:{\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\quad (x\to L)\ .}
85:
3870:
An asymptotic expansion may be an asymptotic expansion to more than one function.
4206:
1167:. It can be seen that the least error is encountered when there are 14 terms for
4029:
1945:
and is often used to compute the zeta function by using a large enough value of
4146:
3972:"The Devil's Invention: Asymptotic, Superasymptotic and Hyperasymptotic Series"
2601:
1988:
1186:
141:
4017:
3992:
3862:
may have many asymptotic expansions (each with a different asymptotic scale).
2720:
Here, the right hand side is clearly not convergent for any non-zero value of
65:
The theory of asymptotic series was created by
Poincaré (and independently by
4260:
4126:
2288:
1148:
101:
51:
2592:
on the right hand side. The integral on the left hand side, understood as a
4210:
73:
4063:
4174:
4001:
219:
31:
55:
418:
is a continuous function on the domain of the asymptotic scale, then
321:{\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\quad (x\to L)\ .}
2869:
results in the asymptotic expansion given earlier in this article.
833:
2760:{\displaystyle \operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)}
2600:. The integral on the right hand side may be recognized as the
2877:
Using integration by parts, we can obtain an explicit formula
129:
to the divergent tail. Such methods are often referred to as
3313:. This bound is said to be "asymptotics beyond all orders".
2277:{\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.}
2209:. Thus, for example, one may start with the ordinary series
4024:, Cham: Springer International Publishing, pp. 27â51,
1053:, one can think of the asymptotic series as converging for
4143:
Asymptotic
Expansions: Their Derivation and Interpretation
3321:
4115:
Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005).
3802:
is the limit point of this asymptotic expansion (may be
2604:. Evaluating both, one obtains the asymptotic expansion
4016:
OâMalley, Robert E. (2014), O'Malley, Robert E. (ed.),
3828:
2788:
2742:
4117:
Functions of a complex variable: Theory and technique
3839:
3808:
3788:
3436:
3403:
3374:
3332:
3230:
3194:
3148:
3128:
2883:
2815:
2777:
2730:
2613:
2564:
2399:
2358:
2322:
2296:
2218:
1996:
1955:
1900:
1866:
1625:
1511:
1375:
1199:
1120:
1088:
1062:
1033:
1007:
978:
871:
842:
818:
671:
530:
457:
428:
398:
363:
337:
239:
198:
161:
511:{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)}
3854:
3817:
3794:
3774:
3422:
3389:
3360:
3305:
3216:
3180:
3134:
3114:
2861:
2801:
2759:
2709:
2584:
2547:
2382:
2344:
2308:
2287:The expression on the left is valid on the entire
2276:
2176:
1977:
1929:
1882:
1852:
1607:
1493:
1357:
1132:
1106:
1074:
1045:
1019:
990:
961:
854:
824:
801:
651:
510:
440:
410:
381:
349:
320:
210:
180:
72:The most common type of asymptotic expansion is a
4022:Historical Developments in Singular Perturbations
3188:decreases, then increases. The minimum occurs at
2862:{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}
4258:
4084:Complex variables: introduction and applications
3655:
3535:
3459:
222:of the domain, then the sequence constitutes an
2316:, while the right hand side converges only for
4121:Society for Industrial and Applied Mathematics
3430:are uniquely determined in the following way:
448:with respect to the scale as a formal series
4082:Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003).
3417:
3404:
3355:
3333:
3298:
3292:
3277:
3271:
3253:
3231:
836:notation. If one or the other holds for all
92:will often lead to an asymptotic expansion.
4093:Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013).
3629:
3628:
1941:. This expansion is valid for all complex
113:. The error is then typically of the form
4000:
3105:
2535:
2450:
54:of functions which has the property that
4058:
4056:
4054:
4015:
1147:
4197:Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals
3322:Uniqueness for a given asymptotic scale
3142:, the absolute value of the error term
2872:
998:, wherein the series converges for any
972:In contrast to a convergent series for
144:for the notation used in this article.
14:
4259:
4140:
4104:Bleistein, N., Handelsman, R. (1975),
4064:An introduction to asymptotic analysis
3944:
59:
4099:Springer Science & Business Media
4051:
3895:
3368:the asymptotic expansion of function
422:has an asymptotic expansion of order
4252:Wolfram Mathworld: Asymptotic Series
3969:
3397:is unique. That is the coefficients
1930:{\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}
147:
80:and integral transforms such as the
4195:Paris, R. B., Kaminsky, D. (2001),
3829:Non-uniqueness for a given function
3361:{\displaystyle \{\varphi _{n}(x)\}}
2596:, can be expressed in terms of the
24:
4167:Fruchard, A., SchÀfke, R. (2013),
4106:Asymptotic Expansions of Integrals
3812:
3065:
2802:{\displaystyle x=-{\tfrac {1}{t}}}
2677:
2507:
2476:
2410:
2390:and integrating both sides yields
2256:
2168:
2074:
2035:
2032:
2029:
2026:
1764:
1564:
1485:
1427:
1349:
1239:
1181:, beyond which the error diverges.
1040:
903:
27:Series of functions in mathematics
25:
4293:
4227:
4190:Asymptotics and Special functions
3878:
2200:
78:EulerâMaclaurin summation formula
181:{\displaystyle \ \varphi _{n}\ }
4169:Composite Asymptotic Expansions
3865:
2997:
937:
780:
633:
389:) than the preceding function.
296:
4009:
3963:
3938:
3917:Stationary phase approximation
3849:
3843:
3762:
3756:
3741:
3735:
3682:
3676:
3662:
3615:
3609:
3594:
3588:
3562:
3556:
3542:
3507:
3501:
3486:
3480:
3466:
3384:
3378:
3352:
3346:
3250:
3244:
3210:
3202:
3174:
3170:
3164:
3150:
3032:
3020:
3014:
3008:
2986:
2980:
2896:
2890:
2856:
2847:
2828:
2822:
2332:
2324:
2171:
2165:
2159:
2144:
2127:
2116:
2101:
2089:
2079:
2046:
2040:
1971:
1963:
1822:
1813:
1635:
1629:
1593:
1580:
1524:
1518:
1488:
1482:
1476:
1445:
1435:
1405:
1399:
1352:
1346:
1340:
1254:
1242:
1095:
1037:
950:
944:
938:
934:
928:
881:
875:
793:
787:
781:
777:
774:
768:
749:
740:
734:
681:
675:
646:
640:
634:
630:
627:
621:
608:
599:
593:
540:
534:
505:
499:
370:
309:
303:
297:
293:
290:
284:
271:
262:
256:
131:hyperasymptotic approximations
13:
1:
4076:
3980:Acta Applicandae Mathematicae
3326:For a given asymptotic scale
3316:
1921:
1805:
1046:{\displaystyle N\to \infty }
7:
4240:Encyclopedia of Mathematics
4216:A Course of Modern Analysis
4030:10.1007/978-3-319-11924-3_2
4018:"Asymptotic Approximations"
3945:Jahnke, Hans Niels (2003).
3873:
3818:{\displaystyle \pm \infty }
1143:
10:
4298:
4221:Cambridge University Press
4201:Cambridge University Press
4135:Cambridge University Press
4088:Cambridge University Press
3927:Method of steepest descent
3922:Method of dominant balance
3181:{\displaystyle |e_{n}(z)|}
1107:{\displaystyle \ x\to L\ }
382:{\displaystyle \ x\to L\ }
3423:{\displaystyle \{a_{n}\}}
3217:{\displaystyle n\sim |z|}
3932:
2383:{\displaystyle e^{-w/t}}
2345:{\displaystyle |w|<1}
1978:{\displaystyle N>|s|}
1191:Stirling's approximation
662:or the weaker condition
4183:Oxford University Press
3993:10.1023/A:1006145903624
2767:for sufficiently small
2558:after the substitution
2309:{\displaystyle w\neq 1}
1160:and red points are for
192:on some domain, and if
4235:"Asymptotic expansion"
4192:. AK Peters/CRC Press.
4141:Dingle, R. B. (1973),
4068:Heriot-Watt University
3970:Boyd, John P. (1999),
3856:
3819:
3796:
3776:
3714:
3424:
3391:
3362:
3307:
3218:
3182:
3136:
3116:
2944:
2863:
2803:
2761:
2711:
2681:
2594:Cauchy principal value
2586:
2549:
2480:
2384:
2346:
2310:
2278:
2260:
2178:
2078:
1979:
1931:
1884:
1883:{\displaystyle B_{2m}}
1854:
1768:
1661:
1609:
1568:
1495:
1431:
1359:
1182:
1134:
1108:
1076:
1047:
1021:
992:
963:
907:
856:
826:
803:
713:
653:
572:
512:
478:
442:
412:
383:
351:
322:
212:
182:
4267:Mathematical analysis
4158:Asymptotic Expansions
4131:Asymptotic Expansions
3947:A history of analysis
3890:Singular perturbation
3857:
3820:
3797:
3777:
3688:
3425:
3392:
3363:
3308:
3219:
3183:
3137:
3117:
2924:
2864:
2804:
2762:
2712:
2661:
2587:
2585:{\displaystyle u=w/t}
2550:
2460:
2385:
2347:
2311:
2279:
2240:
2207:domain of convergence
2179:
2058:
1980:
1932:
1885:
1855:
1748:
1641:
1618:Riemann zeta function
1610:
1548:
1496:
1411:
1360:
1151:
1135:
1133:{\displaystyle \ L\ }
1109:
1077:
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