Algorithms for calculating variance

12278: 13823: 11550: 13098: 5714: 12273:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} _{N}(X,Y)={\frac {C_{N}}{N}}&={\frac {\operatorname {Cov} _{N-1}(X,Y)\cdot (N-1)+(x_{n}-{\bar {x}}_{n})(y_{n}-{\bar {y}}_{n-1})}{N}}\\&={\frac {\operatorname {Cov} _{N-1}(X,Y)\cdot (N-1)+(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})(y_{n}-{\bar {y}}_{n})}{N}}\\&={\frac {\operatorname {Cov} _{N-1}(X,Y)\cdot (N-1)+{\frac {N-1}{N}}(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})(y_{n}-{\bar {y}}_{n-1})}{N}}\\&={\frac {\operatorname {Cov} _{N-1}(X,Y)\cdot (N-1)+{\frac {N}{N-1}}(x_{n}-{\bar {x}}_{n})(y_{n}-{\bar {y}}_{n})}{N}}.\end{aligned}}} 11293: 13818:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {x}}_{n+k}&={\bar {x}}_{n}&\,+\,&{\frac {\sum _{i=n+1}^{n+k}w_{i}(x_{i}-{\bar {x}}_{n})}{\sum _{i=1}^{n+k}w_{i}}}\\{\bar {y}}_{n+k}&={\bar {y}}_{n}&\,+\,&{\frac {\sum _{i=n+1}^{n+k}w_{i}(y_{i}-{\bar {y}}_{n})}{\sum _{i=1}^{n+k}w_{i}}}\\C_{n+k}&=C_{n}&\,+\,&\sum _{i=n+1}^{n+k}w_{i}(x_{i}-{\bar {x}}_{n+k})(y_{i}-{\bar {y}}_{n})\\&=C_{n}&\,+\,&\sum _{i=n+1}^{n+k}w_{i}(x_{i}-{\bar {x}}_{n})(y_{i}-{\bar {y}}_{n+k})\\\end{alignedat}}} 6440: 5096: 10806: 5709:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{3,X}=M_{3,A}+M_{3,B}&{}+\delta ^{3}{\frac {n_{A}n_{B}(n_{A}-n_{B})}{n_{X}^{2}}}+3\delta {\frac {n_{A}M_{2,B}-n_{B}M_{2,A}}{n_{X}}}\\M_{4,X}=M_{4,A}+M_{4,B}&{}+\delta ^{4}{\frac {n_{A}n_{B}\left(n_{A}^{2}-n_{A}n_{B}+n_{B}^{2}\right)}{n_{X}^{3}}}\\&{}+6\delta ^{2}{\frac {n_{A}^{2}M_{2,B}+n_{B}^{2}M_{2,A}}{n_{X}^{2}}}+4\delta {\frac {n_{A}M_{3,B}-n_{B}M_{3,A}}{n_{X}}}\end{aligned}}} 6001: 4575: 11288:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {x}}_{n}&={\bar {x}}_{n-1}&\,+\,&{\frac {x_{n}-{\bar {x}}_{n-1}}{n}}\\{\bar {y}}_{n}&={\bar {y}}_{n-1}&\,+\,&{\frac {y_{n}-{\bar {y}}_{n-1}}{n}}\\C_{n}&=C_{n-1}&\,+\,&(x_{n}-{\bar {x}}_{n})(y_{n}-{\bar {y}}_{n-1})\\&=C_{n-1}&\,+\,&(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})(y_{n}-{\bar {y}}_{n})\end{alignedat}}} 2761: 6435:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=x-m\\m'&=m+{\frac {\delta }{n}}\\M_{2}'&=M_{2}+\delta ^{2}{\frac {n-1}{n}}\\M_{3}'&=M_{3}+\delta ^{3}{\frac {(n-1)(n-2)}{n^{2}}}-{\frac {3\delta M_{2}}{n}}\\M_{4}'&=M_{4}+{\frac {\delta ^{4}(n-1)(n^{2}-3n+3)}{n^{3}}}+{\frac {6\delta ^{2}M_{2}}{n^{2}}}-{\frac {4\delta M_{3}}{n}}\end{aligned}}} 9854: 7657: 3436: 4249: 3049: 9138: 5958: 6884:

Choi and Sweetman offer two alternative methods to compute the skewness and kurtosis, each of which can save substantial computer memory requirements and CPU time in certain applications. The first approach is to compute the statistical moments by separating the data into bins and then computing the

8032:

The second approach from Choi and Sweetman is an analytical methodology to combine statistical moments from individual segments of a time-history such that the resulting overall moments are those of the complete time-history. This methodology could be used for parallel computation of statistical

6889:

for higher moments. One benefit is that the statistical moment calculations can be carried out to arbitrary accuracy such that the computations can be tuned to the precision of, e.g., the data storage format or the original measurement hardware. A relative histogram of a random variable can be

431: 2455: 7381: 1822:

is small. However, the results of both of these simple algorithms ("naïve" and "two-pass") can depend inordinately on the ordering of the data and can give poor results for very large data sets due to repeated roundoff error in the accumulation of the sums. Techniques such as

8396: 870:

are small then there are no problems with the sum of its squares, on the contrary, if they are large it necessarily means that the variance is large as well. In any case the second term in the formula is always smaller than the first one therefore no cancellation may occur.

242: 13039: 5027:

arithmetic. Consider the sample (4, 7, 13, 16) from an infinite population. Based on this sample, the estimated population mean is 10, and the unbiased estimate of population variance is 30. Both the naïve algorithm and two-pass algorithm compute these values correctly.

9340: 9552: 7389: 2447: 3180: 4570:{\displaystyle {\begin{aligned}n_{AB}&=n_{A}+n_{B}\\\delta &={\bar {x}}_{B}-{\bar {x}}_{A}\\{\bar {x}}_{AB}&={\bar {x}}_{A}+\delta \cdot {\frac {n_{B}}{n_{AB}}}\\M_{2,AB}&=M_{2,A}+M_{2,B}+\delta ^{2}\cdot {\frac {n_{A}n_{B}}{n_{AB}}}\\\end{aligned}}} 3874:, but might not be as efficient because of the division operation inside the loop. For a particularly robust two-pass algorithm for computing the variance, one can first compute and subtract an estimate of the mean, and then use this algorithm on the residuals. 2769: 8946: 6890:

constructed in the conventional way: the range of potential values is divided into bins and the number of occurrences within each bin are counted and plotted such that the area of each rectangle equals the portion of the sample values within that bin:

8027: 10390: 806: 5801: 1676: 2135: 536:

used to perform the computation. Thus this algorithm should not be used in practice, and several alternate, numerically stable, algorithms have been proposed. This is particularly bad if the standard deviation is small relative to the mean.

2260: 9859:

and again choosing a value inside the range of values will stabilize the formula against catastrophic cancellation as well as make it more robust against big sums. Taking the first value of each data set, the algorithm can be written as:

8664: 8841: 8163: 4841: 13924: 5066:). Again the estimated population variance of 30 is computed correctly by the two-pass algorithm, but the naïve algorithm now computes it as −170.66666666666666. This is a serious problem with naïve algorithm and is due to 10798: 11539: 6006: 11416: 7878: 269: 2756:{\displaystyle \sigma _{n}^{2}={\frac {(n-1)\,\sigma _{n-1}^{2}+(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})(x_{n}-{\bar {x}}_{n})}{n}}=\sigma _{n-1}^{2}+{\frac {(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})(x_{n}-{\bar {x}}_{n})-\sigma _{n-1}^{2}}{n}}.} 1966: 613: 5101: 3185: 7194: 5047:), which gives rise to the same estimated variance as the first sample. The two-pass algorithm computes this variance estimate correctly, but the naïve algorithm returns 29.333333333333332 instead of 30. 1551: 8262: 5806: 64: 12852: 9849:{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (X-k_{x},Y-k_{y})={\dfrac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-k_{x})(y_{i}-k_{y})-(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-k_{x}))(\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-k_{y}))/n}{n}}.} 7652:{\displaystyle \theta _{n}^{(h)}=\sum _{k=1}^{K}{\Big (}x_{k}-m_{1}^{(h)}{\Big )}^{n}\,H(x_{k})\,\Delta x_{k}={\frac {1}{A}}\sum _{k=1}^{K}{\Big (}x_{k}-m_{1}^{(h)}{\Big )}^{n}h(x_{k})\,\Delta x_{k}} 9166: 3431:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{2,n}&=M_{2,n-1}+(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})(x_{n}-{\bar {x}}_{n})\\\sigma _{n}^{2}&={\frac {M_{2,n}}{n}}\\s_{n}^{2}&={\frac {M_{2,n}}{n-1}}\end{aligned}}} 3139: 4686: 2272: 7137: 11555: 4254: 3044:{\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {n-2}{n-1}}\,s_{n-1}^{2}+{\frac {(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})^{2}}{n}}=s_{n-1}^{2}+{\frac {(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})^{2}}{n}}-{\frac {s_{n-1}^{2}}{n-1}},\quad n>1} 10253: 10181: 9133:{\displaystyle \mu _{c}=m_{1,c}\qquad \sigma _{c}^{2}=\theta _{2,c}\qquad \alpha _{3,c}={\frac {\theta _{3,c}}{\sigma _{c}^{3}}}\qquad \alpha _{4,c}={\frac {\theta _{4,c}}{\sigma _{c}^{4}}}-3} 8938: 6958: 5793: 8940:) are then used to compute the central moments of the concatenated time-history. Finally, the statistical moments of the concatenated history are computed from the central moments: 7731: 5050:

While this loss of precision may be tolerable and viewed as a minor flaw of the naïve algorithm, further increasing the offset makes the error catastrophic. Consider the sample (

3488: 2022: 1866:

only once; for example, when the data is being collected without enough storage to keep all the values, or when costs of memory access dominate those of computation. For such an

7886: 10259: 4622: 13090: 5953:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{skewness}}=g_{1}={\frac {{\sqrt {n}}M_{3}}{M_{2}^{3/2}}},\\&{\text{kurtosis}}=g_{2}={\frac {nM_{4}}{M_{2}^{2}}}-3.\end{aligned}}} 644: 8207: 8432: 3534: 7768: 1562: 10660: 10623: 8234: 2027: 6471: 868: 8485: 7033: 6997: 8733: 8713: 8508: 5993: 4719: 3172: 9544: 8462: 7692: 2144: 9514: 8871: 8556: 7060: 5744: 1864: 8693: 7186: 831:

is to the mean value the more accurate the result will be, but just choosing a value inside the samples range will guarantee the desired stability. If the values

8741: 8548: 8528: 8254: 8059: 8054: 7157: 4241: 4221: 892: 829: 636: 6877:, for the incremental and the pairwise cases, and subsequently Pébaÿ et al. for weighted and compound moments. One can also find there similar formulas for 4724: 13834: 10676: 11421: 7776: 426:{\displaystyle s^{2}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}-\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)^{2}\right)\cdot {\frac {n}{n-1}}.} 11301: 14394:"Numerically Stable, Scalable Formulas for Parallel and Online Computation of Higher-Order Multivariate Central Moments with Arbitrary Weights" 14321:. Department of Computer Science, Stanford University. Technical Report STAN-CS-79-773, supported in part by Army contract No. DAAGEI-‘E-G-013. 10811: 14505: 4203:

Chan et al. note that Welford's online algorithm detailed above is a special case of an algorithm that works for combining arbitrary sets

1893: 559: 7376:{\displaystyle m_{n}^{(h)}=\sum _{k=1}^{K}x_{k}^{n}H(x_{k})\,\Delta x_{k}={\frac {1}{A}}\sum _{k=1}^{K}x_{k}^{n}h(x_{k})\,\Delta x_{k}} 14038: 8391:{\displaystyle \gamma _{n,q}=m_{n,q}\gamma _{0,q}\qquad \quad {\textrm {for}}\quad n=1,2,3,4\quad {\text{ and }}\quad q=1,2,\dots ,Q} 237:{\displaystyle \sigma ^{2}={\overline {(x^{2})}}-{\bar {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-(\sum _{i=1}^{N}x_{i})^{2}/N}{N}}.} 1481: 13034:{\displaystyle C_{X}=C_{A}+C_{B}+({\bar {x}}_{A}-{\bar {x}}_{B})({\bar {y}}_{A}-{\bar {y}}_{B})\cdot {\frac {n_{A}n_{B}}{n_{X}}}.} 11541:. Even greater accuracy can be achieved by first computing the means, then using the stable one-pass algorithm on the residuals. 3054:

These formulas suffer from numerical instability , as they repeatedly subtract a small number from a big number which scales with

9335:{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-(\sum _{i=1}^{n}x_{i})(\sum _{i=1}^{n}y_{i})/n}{n}}.} 14333: 8033:

moments with subsequent combination of those moments, or for combination of statistical moments computed at sequential times.

2442:{\displaystyle {\bar {x}}_{n}={\frac {(n-1)\,{\bar {x}}_{n-1}+x_{n}}{n}}={\bar {x}}_{n-1}+{\frac {x_{n}-{\bar {x}}_{n-1}}{n}}} 14132: 14122: 13978: 6473:, only one division operation is needed and the higher-order statistics can thus be calculated for little incremental cost. 4193: 4627: 3061: 14434:

Choi, Myoungkeun; Sweetman, Bert (2010). "Efficient Calculation of Statistical Moments for Structural Health Monitoring".

13103: 14381:. Technical Report SAND2008-6212, TRN: US201201%%57, DOE Contract Number: AC04-94AL85000 – via UNT Digital Library. 7065: 12846:

Likewise, there is a formula for combining the covariances of two sets that can be used to parallelize the computation:

10673:

A stable one-pass algorithm exists, similar to the online algorithm for computing the variance, that computes co-moment

10187: 10115: 9489:

As for the variance, the covariance of two random variables is also shift-invariant, so given any two constant values

14079: 8876: 1874:

is required between quantities from which the required statistics can be calculated in a numerically stable fashion.

6896: 13940: 14363:. Sponsoring Org.: USDOE. Albuquerque, NM, and Livermore, CA (United States): Sandia National Laboratories (SNL). 14500: 14192: 10588:

A slightly more accurate compensated version performs the full naive algorithm on the residuals. The final sums

4581:

This may be useful when, for example, multiple processing units may be assigned to discrete parts of the input.

5749: 895: 8022:{\displaystyle \theta _{n}^{(h)}={\frac {1}{I}}\sum _{k=1}^{K}{\Big (}x_{k}-m_{1}^{(h)}{\Big )}^{n}h(x_{k})} 14361:"Formulas for Robust, One-Pass Parallel Computation of Covariances and Arbitrary-Order Statistical Moments" 10385:{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{n}}.} 7697: 3444: 1975: 801:{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-K)^{2}-(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-K))^{2}/n}{n-1}}.} 4587: 14315: 13052: 8735:

can then be inversely transformed into raw moments representing the complete concatenated time-history

5004: 3441:

This algorithm was found by Welford, and it has been thoroughly analyzed. It is also common to denote

502:

This algorithm can easily be adapted to compute the variance of a finite population: simply divide by

14270: 14210:

Ling, Robert F. (1974). "Comparison of Several Algorithms for Computing Sample Means and Variances".

13935: 8168: 5067: 3871: 1671:{\displaystyle {\text{sample variance}}=s^{2}={\dfrac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}},} 1475:

An alternative approach, using a different formula for the variance, first computes the sample mean,

533: 525: 2130:{\textstyle \sigma _{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}_{n}\right)^{2}} 8404: 5008: 3493: 23: 14151:

Welford, B. P. (1962). "Note on a method for calculating corrected sums of squares and products".

7736: 8212: 546: 10628: 10591: 2255:{\textstyle s_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}_{n}\right)^{2}} 14476: 6448: 834: 529: 248: 51: 8659:{\displaystyle \gamma _{n,c}=\sum _{q=1}^{Q}\gamma _{n,q}\quad \quad {\text{for }}n=0,1,2,3,4} 8467: 7002: 6966: 8718: 8698: 8493: 5966: 4691: 3894: 3889:

The algorithm can be extended to handle unequal sample weights, replacing the simple counter

3144: 3058:. A better quantity for updating is the sum of squares of differences from the current mean, 1824: 35: 9519: 8437: 7665: 2263: 436:

Therefore, a naïve algorithm to calculate the estimated variance is given by the following:

14360: 14007: 9492: 8849: 7038: 5722: 5024: 1842: 14104: 8836:{\displaystyle m_{n,c}={\frac {\gamma _{n,c}}{\gamma _{0,c}}}\quad {\text{for }}n=1,2,3,4} 8672: 8158:{\displaystyle (\gamma _{0,q},\mu _{q},\sigma _{q}^{2},\alpha _{3,q},\alpha _{4,q})\quad } 7162: 2138: 8: 1871: 39: 14451: 14413: 14289: 14227: 14170: 14085: 14030: 8533: 8513: 8239: 8039: 7142: 6886: 4226: 4206: 1836: 877: 814: 621: 553:, a property which can be used to avoid the catastrophic cancellation in this formula. 550: 256: 13049:

A version of the weighted online algorithm that does batched updated also exists: let

6817:# Caution: If all the inputs are the same, M2 will be 0, resulting in a division by 0. 4836:{\textstyle {\bar {x}}_{AB}={\frac {n_{A}{\bar {x}}_{A}+n_{B}{\bar {x}}_{B}}{n_{AB}}}} 14473: 14417: 14372: 14128: 14118: 14075: 13974: 14455: 14293: 14251:

John D. Cook Consulting: Expert consulting in applied mathematics & data privacy

14089: 14061: 14443: 14405: 14364: 14337: 14279: 14246: 14219: 14162: 14110: 14067: 14026: 14022: 13945: 13919:{\displaystyle \operatorname {Cov} _{N}(X,Y)={\frac {C_{N}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}} 5012: 1867: 1109:

This formula also facilitates the incremental computation that can be expressed as

14109:(2nd ed.). Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 6885:

moments from the geometry of the resulting histogram, which effectively becomes a

14187: 13968: 10109:

The two-pass algorithm first computes the sample means, and then the covariance:

7694:

indicates the moments are calculated from the histogram. For constant bin width

1095:# use n instead of (n-1) if want to compute the exact variance of the given data 6874: 5079: 5070:

in the subtraction of two similar numbers at the final stage of the algorithm.

252: 14409: 14392:

Pébaÿ, Philippe; Terriberry, Timothy; Kolla, Hemanth; Bennett, Janine (2016).

10793:{\textstyle C_{n}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}}_{n})(y_{i}-{\bar {y}}_{n})} 8530:

sets can be combined by addition, and there is no upper limit on the value of

3881:

below illustrates how to merge multiple sets of statistics calculated online.

14494: 14447: 14311: 14153: 14003: 11534:{\textstyle {\frac {n-1}{n}}(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})(y_{n}-{\bar {y}}_{n-1})} 6476:

An example of the online algorithm for kurtosis implemented as described is:

14114: 14071: 14008:"Algorithms for computing the sample variance: Analysis and recommendations" 11411:{\textstyle (x_{n}-{\bar {x}}_{n})={\frac {n-1}{n}}(x_{n}-{\bar {x}}_{n-1})} 7873:{\displaystyle m_{n}^{(h)}={\frac {1}{I}}\sum _{k=1}^{K}x_{k}^{n}\,h(x_{k})} 14316:"Updating Formulae and a Pairwise Algorithm for Computing Sample Variances" 14307: 13999: 1556:

and then computes the sum of the squares of the differences from the mean,

14284: 14265: 12506:

A small modification can also be made to compute the weighted covariance:

3544:# For a new value new_value, compute the new count, new mean, the new M2. 3539:

An example Python implementation for Welford's algorithm is given below.

14138: 14231: 14174: 14034: 9149: 6878: 6814:# Note, you may also calculate variance using M2, and skewness using M3 5078:

Terriberry extends Chan's formulae to calculating the third and fourth

14377: 14481: 11298:

The apparent asymmetry in that last equation is due to the fact that

27: 14471: 14393: 14368: 14223: 14166: 1881:

and (estimated) variance of the sequence, for an additional element

5087: 5083: 4584:

Chan's method for estimating the mean is numerically unstable when

3697:# Retrieve the mean, variance and sample variance from an aggregate 1961:{\textstyle {\overline {x}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} 31: 9345:

For the algorithm above, one could use the following Python code:

7139:

is the total area of the histogram. After this normalization, the

608:{\displaystyle \operatorname {Var} (X-K)=\operatorname {Var} (X).} 1685:

is the standard deviation. This is given by the following code:

532:

of the result to be much less than the inherent precision of the

3893:

with the sum of weights seen so far. West (1979) suggests this

10665:

be zero, but the second pass compensates for any small error.

8490:

The benefit of expressing the statistical moments in terms of

3870:

This algorithm is much less prone to loss of precision due to

1546:{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{j=1}^{n}x_{j}}{n}},} 14391: 1878: 1835:

It is often useful to be able to compute the variance in a

14266:"Updating Mean and Variance Estimates: An Improved Method" 7035:

represent the frequency and the relative frequency at bin

5746:

are again the sums of powers of differences from the mean

14063:

Numerically stable parallel computation of (co-)variance

4194:

Weighted arithmetic mean § Weighted sample variance

6873:

Pébaÿ further extends these results to arbitrary-order

5023:

Assume that all floating point operations use standard

11424: 11304: 10679: 10631: 10594: 7068: 5752: 5003:

This can be generalized to allow parallelization with

4727: 3134:{\textstyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{2}} 3064: 2147: 2030: 1896: 1098:# use (n-1) if data are samples of a larger population 13837: 13101: 13055: 12855: 11553: 10809: 10262: 10190: 10118: 9631: 9555: 9522: 9495: 9169: 8949: 8879: 8852: 8744: 8721: 8701: 8695:

represents the concatenated time-history or combined

8675: 8559: 8536: 8516: 8496: 8470: 8440: 8407: 8265: 8242: 8215: 8171: 8062: 8042: 7889: 7779: 7739: 7700: 7668: 7392: 7197: 7165: 7145: 7041: 7005: 6969: 6899: 6451: 6004: 5969: 5804: 5725: 5099: 4694: 4681:{\displaystyle \delta ={\bar {x}}_{B}-{\bar {x}}_{A}} 4630: 4590: 4252: 4229: 4209: 3496: 3447: 3183: 3147: 2772: 2458: 2275: 1978: 1845: 1588: 1565: 1484: 880: 837: 817: 647: 624: 562: 272: 67: 7132:{\textstyle A=\sum _{k=1}^{K}h(x_{k})\,\Delta x_{k}} 3553:# count aggregates the number of samples seen so far 50:

A formula for calculating the variance of an entire

9148:Very similar algorithms can be used to compute the 4624:and both are large, because the numerical error in 13918: 13817: 13084: 13033: 12272: 11533: 11410: 11287: 10792: 10654: 10617: 10384: 10247: 10175: 9848: 9538: 9508: 9334: 9132: 8932: 8865: 8835: 8727: 8707: 8687: 8658: 8542: 8522: 8502: 8479: 8456: 8426: 8390: 8248: 8228: 8201: 8157: 8048: 8021: 7872: 7762: 7725: 7686: 7651: 7375: 7180: 7151: 7131: 7054: 7027: 6991: 6952: 6465: 6434: 5987: 5952: 5787: 5738: 5708: 4835: 4713: 4680: 4616: 4569: 4235: 4215: 3550:# M2 aggregates the squared distance from the mean 3528: 3482: 3430: 3166: 3133: 3043: 2755: 2441: 2254: 2129: 2016: 1960: 1858: 1670: 1545: 886: 862: 823: 800: 630: 607: 425: 255:estimate of the population variance from a finite 236: 10248:{\displaystyle {\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}/n} 10176:{\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}/n} 7989: 7947: 7605: 7563: 7482: 7440: 3884: 3547:# mean accumulates the mean of the entire dataset 1877:The following formulas can be used to update the 14492: 14306: 14200:, 3rd edn., p. 232. Boston: Addison-Wesley. 13998: 13970:Accuracy and Reliability in Scientific Computing 4688:is not scaled down in the way that it is in the 14212:Journal of the American Statistical Association 14060:Schubert, Erich; Gertz, Michael (9 July 2018). 13962: 13960: 8933:{\displaystyle \theta _{n}=\operatorname {E} )} 7188:can be calculated from the relative histogram: 34:may involve sums of squares, which can lead to 14106:Accuracy and Stability of Numerical Algorithms 7733:these two expressions can be simplified using 6953:{\displaystyle H(x_{k})={\frac {h(x_{k})}{A}}} 4121:# Bessel's correction for weighted samples 1827:can be used to combat this error to a degree. 14059: 12775:# Bessel's correction for sample variance 12474:# Bessel's correction for sample variance 8846:Known relationships between the raw moments ( 8434:is generally taken to be the duration of the 1830: 638:any constant, which leads to the new formula 14433: 14103:Higham, Nicholas J. (2002). "Problem 1.10". 13957: 9484: 8236:can be expressed in terms of the equivalent 5982: 5976: 16:Important algorithms in numerical statistics 14429: 14427: 14332:Terriberry, Timothy B. (15 October 2008) . 13044: 14331: 13994: 13992: 13990: 10395:The two-pass algorithm may be written as: 5073: 30:for this problem is that formulas for the 14376: 14359:Pébay, Philippe Pierre (September 2008). 14283: 13966: 13681: 13677: 13525: 13521: 13353: 13349: 13163: 13159: 11194: 11190: 11075: 11071: 10982: 10978: 10871: 10867: 8464:time-history, or the number of points if 7850: 7635: 7513: 7493: 7359: 7277: 7115: 5788:{\textstyle \sum (x-{\overline {x}})^{k}} 2817: 2495: 2316: 540: 494:Var = (SumSq − (Sum × Sum) / n) / (n − 1) 26:. A key difficulty in the design of good 14424: 1818:This algorithm is numerically stable if 14436:Journal of Structural Health Monitoring 14334:"Computing Higher-Order Moments Online" 14314:; LeVeque, Randall J. (November 1979). 14150: 13987: 13828:The covariance can then be computed as 11544:Thus the covariance can be computed as 8056:sets of statistical moments are known: 3878: 14493: 14247:"Accurately computing sample variance" 14102: 14472: 14358: 7726:{\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x} 5082:, needed for example when estimating 4198: 1968:denotes the sample mean of the first 1470: 874:If just the first sample is taken as 14506:Statistical deviation and dispersion 14263: 14245:Cook, John D. (30 September 2022) . 14244: 14209: 14055: 14053: 14051: 14044:from the original on 9 October 2022. 11418:, so both update terms are equal to 9155: 3483:{\displaystyle M_{k}={\bar {x}}_{k}} 2017:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} 7159:raw moments and central moments of 20:Algorithms for calculating variance 13: 14300: 8893: 8471: 7754: 7717: 7701: 7636: 7514: 7360: 7278: 7116: 4617:{\displaystyle n_{A}\approx n_{B}} 45: 14: 14517: 14465: 14048: 13085:{\displaystyle w_{1},\dots w_{N}} 510: − 1 on the last line. 13941:Squared deviations from the mean 5963:For the incremental case (i.e., 894:the algorithm can be written in 42:when dealing with large values. 14385: 14352: 14325: 14193:The Art of Computer Programming 9069: 9014: 8979: 8800: 8617: 8616: 8360: 8354: 8326: 8318: 8317: 8202:{\displaystyle q=1,2,\ldots ,Q} 8154: 3031: 14257: 14238: 14203: 14181: 14144: 14096: 14027:10.1080/00031305.1983.10483115 14006:; LeVeque, Randall J. (1983). 13863: 13851: 13808: 13790: 13767: 13764: 13752: 13729: 13652: 13640: 13617: 13614: 13596: 13573: 13437: 13425: 13402: 13335: 13303: 13247: 13235: 13212: 13145: 13113: 13092:denote the weights, and write 12986: 12974: 12952: 12942: 12939: 12927: 12905: 12895: 12254: 12242: 12219: 12216: 12204: 12181: 12157: 12145: 12139: 12127: 12086: 12068: 12045: 12042: 12024: 12001: 11977: 11965: 11959: 11947: 11906: 11894: 11871: 11868: 11850: 11827: 11821: 11809: 11803: 11791: 11750: 11732: 11709: 11706: 11694: 11671: 11665: 11653: 11647: 11635: 11583: 11571: 11528: 11510: 11487: 11484: 11466: 11443: 11405: 11387: 11364: 11340: 11328: 11305: 11278: 11266: 11243: 11240: 11222: 11199: 11159: 11141: 11118: 11115: 11103: 11080: 11008: 10958: 10932: 10897: 10847: 10821: 10787: 10775: 10752: 10749: 10737: 10714: 10370: 10364: 10342: 10339: 10333: 10311: 10281: 10269: 10197: 10125: 9825: 9822: 9796: 9772: 9769: 9766: 9740: 9716: 9710: 9684: 9681: 9655: 9624: 9586: 9574: 9562: 9312: 9278: 9275: 9241: 9188: 9176: 8927: 8924: 8915: 8902: 8899: 8151: 8063: 8016: 8003: 7981: 7975: 7906: 7900: 7867: 7854: 7796: 7790: 7679: 7673: 7632: 7619: 7597: 7591: 7510: 7497: 7474: 7468: 7409: 7403: 7356: 7343: 7274: 7261: 7214: 7208: 7175: 7169: 7112: 7099: 7022: 7009: 6986: 6973: 6941: 6928: 6916: 6903: 6342: 6314: 6311: 6299: 6205: 6193: 6190: 6178: 5776: 5756: 5226: 5200: 4805: 4773: 4735: 4666: 4644: 4395: 4366: 4343: 4321: 3885:Weighted incremental algorithm 3468: 3315: 3303: 3280: 3277: 3259: 3236: 3122: 3109: 3086: 2974: 2955: 2932: 2887: 2868: 2845: 2717: 2705: 2682: 2679: 2661: 2638: 2599: 2587: 2564: 2561: 2543: 2520: 2492: 2480: 2415: 2371: 2324: 2313: 2301: 2283: 2011: 1979: 1641: 1634: 1612: 1491: 857: 838: 764: 760: 741: 717: 705: 685: 599: 593: 581: 569: 263:observations, the formula is: 208: 173: 116: 97: 84: 1: 14477:"Sample Variance Computation" 13951: 9143: 8427:{\displaystyle \gamma _{0,q}} 3905:weighted_incremental_variance 3529:{\displaystyle S_{k}=M_{2,k}} 549:with respect to changes in a 524:can be very similar numbers, 7763:{\displaystyle I=A/\Delta x} 5770: 4721:case. In such cases, prefer 2230: 2105: 1903: 101: 7: 13929: 10655:{\textstyle \sum _{i}y_{i}} 10618:{\textstyle \sum _{i}x_{i}} 10104: 8873:) and the central moments ( 8715:. These combined values of 8229:{\displaystyle \gamma _{n}} 4157:sample_reliability_variance 896:Python programming language 10: 14522: 14404:(4). Springer: 1305–1325. 12514:online_weighted_covariance 5031:Next consider the sample ( 5018: 4191: 1831:Welford's online algorithm 14410:10.1007/s00180-015-0637-z 14271:Communications of the ACM 14015:The American Statistician 13936:Kahan summation algorithm 10668: 9485:With estimate of the mean 6466:{\displaystyle \delta /n} 5068:catastrophic cancellation 5025:IEEE 754 double-precision 4127:sample_frequency_variance 3872:catastrophic cancellation 863:{\displaystyle (x_{i}-K)} 534:floating-point arithmetic 14448:10.1177/1475921709341014 14398:Computational Statistics 14198:Seminumerical Algorithms 14137:Metadata also listed at 13045:Weighted batched version 12811:sample_reliability_covar 12508: 12282: 10397: 9862: 9347: 8480:{\displaystyle \Delta t} 7028:{\displaystyle H(x_{k})} 6992:{\displaystyle h(x_{k})} 6478: 6445:By preserving the value 4845: 3899: 3541: 2264:unbiased sample variance 1839:, inspecting each value 1687: 1111: 900: 24:computational statistics 14264:West, D. H. D. (1979). 14115:10.1137/1.9780898718027 14072:10.1145/3221269.3223036 9868:shifted_data_covariance 9160:The naïve algorithm is 8728:{\displaystyle \gamma } 8708:{\displaystyle \gamma } 8503:{\displaystyle \gamma } 5995:), this simplifies to: 5988:{\displaystyle B=\{x\}} 5074:Higher-order statistics 4714:{\displaystyle n_{B}=1} 3167:{\displaystyle M_{2,n}} 448:← 0, Sum ← 0, SumSq ← 0 14501:Statistical algorithms 13967:Einarsson, Bo (2005). 13920: 13902: 13819: 13718: 13562: 13468: 13391: 13278: 13201: 13086: 13035: 12781:sample_frequency_covar 12274: 11535: 11412: 11289: 10794: 10713: 10656: 10619: 10386: 10310: 10249: 10226: 10177: 10154: 9850: 9795: 9739: 9654: 9540: 9539:{\displaystyle k_{y},} 9510: 9336: 9301: 9264: 9217: 9134: 8934: 8867: 8837: 8729: 8709: 8689: 8660: 8599: 8544: 8524: 8504: 8481: 8458: 8457:{\displaystyle q^{th}} 8428: 8392: 8250: 8230: 8203: 8159: 8050: 8023: 7944: 7874: 7834: 7764: 7727: 7688: 7687:{\displaystyle ^{(h)}} 7662:where the superscript 7653: 7560: 7437: 7377: 7324: 7242: 7182: 7153: 7133: 7095: 7056: 7029: 6993: 6954: 6467: 6436: 5989: 5954: 5789: 5740: 5710: 4837: 4715: 4682: 4618: 4571: 4237: 4217: 3530: 3484: 3432: 3168: 3135: 3085: 3045: 2757: 2443: 2256: 2204: 2139:biased sample variance 2131: 2079: 2018: 1962: 1947: 1860: 1672: 1611: 1547: 1523: 888: 864: 825: 802: 740: 684: 632: 609: 541:Computing shifted data 427: 367: 314: 238: 196: 154: 14285:10.1145/359146.359153 13921: 13882: 13820: 13686: 13530: 13442: 13359: 13252: 13169: 13087: 13036: 12808:# Reliability weights 12275: 11536: 11413: 11290: 10795: 10693: 10657: 10620: 10387: 10290: 10250: 10206: 10178: 10134: 9851: 9775: 9719: 9634: 9541: 9511: 9509:{\displaystyle k_{x}} 9337: 9281: 9244: 9197: 9135: 8935: 8868: 8866:{\displaystyle m_{n}} 8838: 8730: 8710: 8690: 8661: 8579: 8545: 8525: 8505: 8482: 8459: 8429: 8393: 8251: 8231: 8204: 8160: 8051: 8024: 7924: 7875: 7814: 7765: 7728: 7689: 7654: 7540: 7417: 7378: 7304: 7222: 7183: 7154: 7134: 7075: 7057: 7055:{\displaystyle x_{k}} 7030: 6994: 6955: 6468: 6437: 5990: 5955: 5790: 5741: 5739:{\displaystyle M_{k}} 5711: 5015:, and to covariance. 4838: 4716: 4683: 4619: 4572: 4238: 4218: 4192:Further information: 4154:# Reliability weights 3895:incremental algorithm 3531: 3485: 3433: 3169: 3136: 3065: 3046: 2758: 2444: 2257: 2184: 2132: 2059: 2019: 1963: 1927: 1861: 1859:{\displaystyle x_{i}} 1825:compensated summation 1673: 1591: 1548: 1503: 906:shifted_data_variance 889: 865: 826: 803: 720: 664: 633: 610: 428: 347: 294: 239: 176: 134: 36:numerical instability 22:play a major role in 13973:. SIAM. p. 47. 13835: 13099: 13053: 12853: 11551: 11422: 11302: 10807: 10677: 10629: 10592: 10260: 10188: 10116: 9553: 9520: 9493: 9167: 8947: 8877: 8850: 8742: 8719: 8699: 8688:{\displaystyle _{c}} 8673: 8669:where the subscript 8557: 8534: 8514: 8494: 8468: 8438: 8405: 8263: 8240: 8213: 8169: 8060: 8040: 7887: 7777: 7737: 7698: 7666: 7390: 7195: 7181:{\displaystyle x(t)} 7163: 7143: 7066: 7039: 7003: 6967: 6897: 6449: 6002: 5967: 5802: 5750: 5723: 5097: 4725: 4692: 4628: 4588: 4250: 4227: 4207: 3494: 3445: 3181: 3145: 3062: 2770: 2456: 2273: 2145: 2028: 1976: 1894: 1843: 1563: 1482: 878: 835: 815: 645: 622: 560: 270: 65: 14139:ACM Digital Library 14066:. 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