20:
58:
3662:
1360:
2435:
1150:
631:
799:
1545:
1879:
2253:
1723:
1448:
1355:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}
2079:
943:
2245:
1131:
2866:
2591:
1155:
2782:
2170:
1781:
560:
728:
1459:
1792:
1625:
2430:{\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}
1598:
1571:
2487:
2200:
2112:
2458:
1910:
1052:
1633:
2806:
1371:
1922:
890:
880:
with zero inclination the argument of latitude is also undefined, because there is no uniquely determined line of nodes. One uses the
2205:
2754:
1060:
2507:
453:
3539:
2731:
2117:
1728:
3599:
2613:
225:
2501:
The radius (distance between the focus of attraction and the orbiting body) is related to the true anomaly by the formula
626:{\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}
294:
794:{\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}
2839:
3594:
3474:
2893:
3559:
3313:
1550:
Alternatively, a form of this equation was derived by that avoids numerical issues when the arguments are near
715:
the true anomaly is undefined, because circular orbits do not have a uniquely determined periapsis. Instead the
3632:
3271:
3262:
2999:
2800:
1540:{\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}
115:
3579:
3049:
1874:{\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}
3524:
2726:. AIAA Education Series. American Institute of Aeronautics & Astronautics. p. 212 (Eq. (5.32)).
2440:
Note that for reasons of accuracy this approximation is usually limited to orbits where the eccentricity
446:
379:
3504:
3331:
1603:
3642:
1576:
3627:
3152:
374:
289:
2787:(4 ed.). Bristol, UK; Philadelphia, PA: Institute of Physics (IoP). p. 78 (Eq. (4.65)).
3637:
2945:
2663:
1012:
993:
862:
695:
675:
245:
3499:
3101:
3021:
3009:
2490:
439:
162:
2721:
1553:
3622:
3564:
3534:
3322:
3199:
3167:
3137:
3096:
3081:
2960:
551:
347:
182:
90:
2466:
3647:
3469:
3253:
3142:
3111:
3039:
3014:
2989:
2950:
2931:
2886:
2788:
2763:
2675:
2178:
2090:
716:
220:
177:
167:
95:
8:
3509:
3304:
3044:
685:
467:
262:
100:
2792:
2767:
2679:
1718:{\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}
3182:
3071:
2969:
2699:
2443:
1895:
1037:
335:
210:
2664:"A Note on the Relations between True and Eccentric Anomalies in the Two-Body Problem"
3549:
3447:
3377:
3132:
3086:
3004:
2849:
2835:
2796:
2727:
2703:
2691:
2618:
1913:
1032:
523:
250:
187:
66:
3529:
3461:
3225:
3187:
3061:
3031:
2984:
2683:
2085:
1443:{\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}
420:
369:
134:
78:
3686:
3569:
3162:
3066:
3056:
2955:
2879:
2601:
479:
425:
330:
240:
215:
3691:
3665:
3617:
3609:
3604:
3489:
3484:
3415:
3395:
3386:
2979:
2965:
2941:
2936:
2911:
881:
877:
712:
494:
397:
313:
307:
230:
155:
149:
144:
3680:
3519:
3514:
3433:
3076:
2994:
2695:
402:
235:
192:
19:
3584:
3494:
3351:
3209:
3106:
2974:
2623:
1890:
527:
505:
110:
105:
3589:
3424:
3194:
3174:
3091:
2074:{\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left\sin {kM}}
486:
and the current position of the body, as seen from the main focus of the
284:
2853:
3157:
2871:
2687:
1627:
are always in the same quadrant, there will not be any sign problems.
364:
320:
279:
57:
3574:
2926:
2633:
483:
475:
938:{\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}
2652:
Fundamentals of
Astrodynamics and Applications by David A. Vallado
522:) that defines a position along an orbit, the other two being the
3479:
2628:
1141:
487:
2723:
An
Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics
2240:{\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}
1126:{\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}
3284:
2903:
85:
511:, and is usually restricted to the range 0–360° (0–2π rad).
2586:{\displaystyle r(t)=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu (t)}\,\!}
1573:, as the two tangents become infinite. Additionally, since
1137:
840:
is a vector pointing towards the ascending node (i.e. the
2856:(Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)
2165:{\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}
1776:{\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}
871:
2510:
2469:
2446:
2256:
2208:
2181:
2120:
2093:
1925:
1898:
1889:
The true anomaly can be calculated directly from the
1795:
1731:
1636:
1606:
1579:
1556:
1462:
1374:
1153:
1063:
1040:
893:
731:
563:
2715:
2713:
2493:, where more details about the expansion are given.
2867:
Federal
Aviation Administration - Describing Orbits
478:that defines the position of a body moving along a
2585:
2481:
2452:
2429:
2239:
2194:
2164:
2106:
2073:
1904:
1873:
1775:
1717:
1619:
1592:
1565:
1539:
1442:
1354:
1125:
1046:
937:
793:
625:
2710:
2582:
3678:
2846:An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy
2887:
2661:
1022:
447:
490:(the point around which the object orbits).
482:. It is the angle between the direction of
2496:
493:The true anomaly is usually denoted by the
3661:
2894:
2880:
2830:Murray, C. D. & Dermott, S. F., 1999,
454:
440:
2834:, Cambridge University Press, Cambridge.
2581:
2529:
1865:
1822:
1531:
1510:
1498:
1484:
1472:
1419:
1407:
1312:
1197:
2901:
1884:
18:
2746:
3679:
3540:Transposition, docking, and extraction
2719:
1027:The relation between the true anomaly
2875:
2752:
538:
31:. The center of the ellipse is point
872:Circular orbit with zero inclination
702:in the figure) of the orbiting body.
518:is one of three angular parameters (
2780:
13:
2824:
2398:
2211:
1996:
1991:
1957:
14:
3703:
3600:Kepler's laws of planetary motion
2860:
2614:Kepler's laws of planetary motion
1620:{\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}
706:
226:Kepler's laws of planetary motion
3660:
3595:Interplanetary Transport Network
3475:Collision avoidance (spacecraft)
2848:, Dover Publications, New York.
2662:Broucke, R.; Cefola, P. (1973).
924:
780:
767:
756:
748:
612:
599:
588:
580:
56:
3560:Astronomical coordinate systems
3314:Longitude of the ascending node
2756:Textbook on Spherical Astronomy
3633:Retrograde and prograde motion
2774:
2655:
2646:
2575:
2569:
2520:
2514:
2046:
2032:
2023:
2011:
1666:
1654:
1593:{\displaystyle {\frac {E}{2}}}
1:
2639:
16:Parameter of Keplerian orbits
3580:Equatorial coordinate system
2175:Omitting all terms of order
7:
2607:
533:
380:Tsiolkovsky rocket equation
10:
3708:
3332:Longitude of the periapsis
2762:. p. 120 (Eq. (87)).
1023:From the eccentric anomaly
349:Engineering and efficiency
168:Bi-elliptic transfer orbit
23:The true anomaly of point
3656:
3643:Specific angular momentum
3548:
3460:
3404:
3340:
3293:
3233:
3224:
3120:
3030:
2919:
2910:
543:For elliptic orbits, the
35:, and the focus is point
2497:Radius from true anomaly
2247:), it can be written as
2202:or higher (indicated by
1566:{\displaystyle \pm \pi }
375:Propellant mass fraction
274:Gravitational influences
3638:Specific orbital energy
1013:orbital velocity vector
994:orbital position vector
863:orbital position vector
696:orbital position vector
676:orbital velocity vector
550:can be calculated from
246:Specific orbital energy
3050:Geostationary transfer
2844:Plummer, H. C., 1960,
2587:
2491:equation of the center
2483:
2482:{\displaystyle \nu -M}
2454:
2431:
2241:
2196:
2166:
2108:
2075:
2000:
1961:
1906:
1875:
1777:
1719:
1621:
1594:
1567:
1541:
1444:
1356:
1127:
1048:
939:
795:
627:
163:Hohmann transfer orbit
40:
3623:Orbital state vectors
3565:Characteristic energy
3535:Trans-lunar injection
3323:Argument of periapsis
3000:Prograde / Retrograde
2961:Hyperbolic trajectory
2832:Solar System Dynamics
2753:Smart, W. M. (1977).
2720:Battin, R.H. (1999).
2588:
2484:
2455:
2432:
2242:
2197:
2195:{\displaystyle e^{4}}
2167:
2109:
2107:{\displaystyle J_{n}}
2076:
1977:
1941:
1907:
1885:From the mean anomaly
1876:
1778:
1720:
1622:
1595:
1568:
1542:
1445:
1357:
1128:
1049:
940:
796:
678:of the orbiting body,
628:
552:orbital state vectors
359:Preflight engineering
91:Argument of periapsis
22:
3470:Bi-elliptic transfer
2990:Parabolic trajectory
2508:
2467:
2444:
2254:
2206:
2179:
2118:
2091:
1923:
1896:
1793:
1729:
1634:
1604:
1577:
1554:
1460:
1372:
1151:
1061:
1038:
891:
729:
717:argument of latitude
561:
415:Propulsive maneuvers
3510:Low-energy transfer
2793:2005ormo.book.....R
2768:1977tsa..book.....S
2680:1973CeMec...7..388B
2668:Celestial Mechanics
686:eccentricity vector
468:celestial mechanics
392:Efficiency measures
295:Sphere of influence
264:Celestial mechanics
46:Part of a series on
3505:Inclination change
3153:Distant retrograde
2781:Roy, A.E. (2005).
2688:10.1007/BF01227859
2583:
2479:
2450:
2427:
2237:
2192:
2162:
2104:
2071:
1902:
1871:
1773:
1715:
1617:
1590:
1563:
1537:
1440:
1352:
1350:
1123:
1044:
1011:-component of the
992:-component of the
935:
861:-component of the
791:
623:
539:From state vectors
211:Dynamical friction
41:
3674:
3673:
3648:Two-line elements
3456:
3455:
3378:Eccentric anomaly
3220:
3219:
3087:Orbit of the Moon
2946:Highly elliptical
2733:978-1-60086-026-3
2619:Eccentric anomaly
2579:
2453:{\displaystyle e}
2367:
2330:
2291:
2160:
2154:
1970:
1914:Fourier expansion
1905:{\displaystyle M}
1863:
1771:
1768:
1713:
1652:
1615:
1588:
1529:
1513:
1512:
1438:
1422:
1421:
1389:
1365:or equivalently:
1346:
1313:
1282:
1234:
1198:
1121:
1047:{\displaystyle E}
1033:eccentric anomaly
933:
789:
621:
524:eccentric anomaly
514:The true anomaly
464:
463:
314:Lagrangian points
251:Vis-viva equation
221:Kepler's equation
68:Orbital mechanics
3699:
3664:
3663:
3605:Lagrangian point
3500:Hohmann transfer
3445:
3431:
3422:
3413:
3393:
3384:
3375:
3366:
3362:
3358:
3349:
3329:
3320:
3311:
3302:
3282:
3278:
3269:
3260:
3251:
3231:
3230:
3200:Heliosynchronous
3149:Lagrange points
3102:Transatmospheric
2917:
2916:
2896:
2889:
2882:
2873:
2872:
2818:
2817:
2815:
2814:
2805:. Archived from
2778:
2772:
2771:
2761:
2750:
2744:
2743:
2741:
2740:
2717:
2708:
2707:
2659:
2653:
2650:
2592:
2590:
2589:
2584:
2580:
2578:
2549:
2548:
2547:
2531:
2489:is known as the
2488:
2486:
2485:
2480:
2459:
2457:
2456:
2451:
2436:
2434:
2433:
2428:
2423:
2419:
2418:
2402:
2401:
2392:
2378:
2377:
2368:
2360:
2355:
2341:
2340:
2331:
2323:
2318:
2307:
2303:
2302:
2301:
2292:
2284:
2246:
2244:
2243:
2238:
2236:
2232:
2231:
2215:
2214:
2201:
2199:
2198:
2193:
2191:
2190:
2171:
2169:
2168:
2163:
2161:
2156:
2155:
2153:
2152:
2137:
2128:
2113:
2111:
2110:
2105:
2103:
2102:
2086:Bessel functions
2080:
2078:
2077:
2072:
2070:
2056:
2052:
2051:
2050:
2049:
2035:
2010:
2009:
1999:
1994:
1971:
1963:
1960:
1955:
1911:
1909:
1908:
1903:
1880:
1878:
1877:
1872:
1870:
1866:
1864:
1862:
1861:
1840:
1839:
1824:
1782:
1780:
1779:
1774:
1772:
1770:
1769:
1767:
1766:
1751:
1739:
1724:
1722:
1721:
1716:
1714:
1712:
1711:
1690:
1689:
1674:
1669:
1653:
1645:
1626:
1624:
1623:
1618:
1616:
1608:
1599:
1597:
1596:
1591:
1589:
1581:
1572:
1570:
1569:
1564:
1546:
1544:
1543:
1538:
1536:
1532:
1530:
1522:
1514:
1511:
1499:
1487:
1486:
1449:
1447:
1446:
1441:
1439:
1431:
1423:
1420:
1408:
1396:
1395:
1390:
1382:
1361:
1359:
1358:
1353:
1351:
1347:
1345:
1338:
1326:
1325:
1314:
1311:
1310:
1295:
1292:
1283:
1281:
1280:
1268:
1267:
1255:
1250:
1235:
1233:
1232:
1211:
1210:
1199:
1196:
1195:
1180:
1177:
1168:
1132:
1130:
1129:
1124:
1122:
1120:
1119:
1098:
1091:
1079:
1074:
1053:
1051:
1050:
1045:
1030:
971:
970:
966:
960:
956:
944:
942:
941:
936:
934:
932:
931:
930:
917:
916:
907:
826:
821:
812:
800:
798:
797:
792:
790:
788:
787:
786:
774:
773:
760:
759:
751:
745:
660:
659:
655:
649:
645:
632:
630:
629:
624:
622:
620:
619:
618:
606:
605:
592:
591:
583:
577:
549:
517:
510:
503:
499:
456:
449:
442:
421:Orbital maneuver
370:Payload fraction
350:
331:Lissajous orbits
265:
236:Orbital velocity
183:Hyperbolic orbit
79:Orbital elements
69:
60:
43:
42:
3707:
3706:
3702:
3701:
3700:
3698:
3697:
3696:
3677:
3676:
3675:
3670:
3652:
3570:Escape velocity
3551:
3544:
3525:Rocket equation
3452:
3444:
3438:
3429:
3420:
3411:
3400:
3391:
3382:
3373:
3364:
3360:
3356:
3347:
3336:
3327:
3318:
3309:
3300:
3289:
3280:
3276:
3272:Semi-minor axis
3267:
3263:Semi-major axis
3258:
3249:
3243:
3216:
3138:Areosynchronous
3122:
3116:
3097:Sun-synchronous
3082:Near-equatorial
3026:
2906:
2900:
2863:
2827:
2825:Further reading
2822:
2821:
2812:
2810:
2803:
2779:
2775:
2759:
2751:
2747:
2738:
2736:
2734:
2718:
2711:
2660:
2656:
2651:
2647:
2642:
2610:
2602:semi-major axis
2600:is the orbit's
2550:
2543:
2539:
2532:
2530:
2509:
2506:
2505:
2499:
2468:
2465:
2464:
2463:The expression
2445:
2442:
2441:
2414:
2410:
2406:
2397:
2396:
2385:
2373:
2369:
2359:
2348:
2336:
2332:
2322:
2314:
2297:
2293:
2283:
2273:
2269:
2255:
2252:
2251:
2227:
2223:
2219:
2210:
2209:
2207:
2204:
2203:
2186:
2182:
2180:
2177:
2176:
2148:
2144:
2136:
2129:
2127:
2119:
2116:
2115:
2098:
2094:
2092:
2089:
2088:
2063:
2045:
2031:
2030:
2026:
2005:
2001:
1995:
1981:
1976:
1972:
1962:
1956:
1945:
1924:
1921:
1920:
1897:
1894:
1893:
1887:
1857:
1841:
1835:
1825:
1823:
1821:
1817:
1794:
1791:
1790:
1762:
1758:
1750:
1743:
1738:
1730:
1727:
1726:
1707:
1691:
1685:
1675:
1673:
1644:
1643:
1635:
1632:
1631:
1607:
1605:
1602:
1601:
1580:
1578:
1575:
1574:
1555:
1552:
1551:
1521:
1500:
1488:
1485:
1483:
1479:
1461:
1458:
1457:
1430:
1409:
1397:
1394:
1381:
1373:
1370:
1369:
1349:
1348:
1334:
1327:
1321:
1306:
1302:
1294:
1293:
1291:
1284:
1276:
1269:
1263:
1256:
1254:
1246:
1237:
1236:
1228:
1212:
1206:
1191:
1187:
1179:
1178:
1176:
1169:
1164:
1154:
1152:
1149:
1148:
1115:
1099:
1087:
1080:
1078:
1070:
1062:
1059:
1058:
1039:
1036:
1035:
1028:
1025:
1005:
986:
968:
964:
962:
958:
953:
948:
920:
919:
918:
912:
908:
906:
892:
889:
888:
878:circular orbits
874:
855:
819:
814:
809:
804:
776:
775:
763:
762:
761:
755:
747:
746:
744:
730:
727:
726:
713:circular orbits
709:
657:
653:
651:
647:
636:
608:
607:
595:
594:
593:
587:
579:
578:
576:
562:
559:
558:
547:
541:
536:
515:
508:
501:
497:
480:Keplerian orbit
460:
431:
430:
426:Orbit insertion
416:
408:
407:
393:
385:
384:
360:
352:
348:
341:
340:
336:Lyapunov orbits
327:
326:
310:
300:
299:
275:
267:
263:
256:
255:
241:Surface gravity
216:Escape velocity
206:
198:
197:
178:Parabolic orbit
174:
173:
140:
138:
135:two-body orbits
126:
125:
116:Semi-major axis
81:
71:
67:
17:
12:
11:
5:
3705:
3695:
3694:
3689:
3672:
3671:
3669:
3668:
3666:List of orbits
3657:
3654:
3653:
3651:
3650:
3645:
3640:
3635:
3630:
3625:
3620:
3618:Orbit equation
3615:
3607:
3602:
3597:
3592:
3587:
3582:
3577:
3572:
3567:
3562:
3556:
3554:
3546:
3545:
3543:
3542:
3537:
3532:
3527:
3522:
3517:
3512:
3507:
3502:
3497:
3492:
3490:Gravity assist
3487:
3485:Delta-v budget
3482:
3477:
3472:
3466:
3464:
3458:
3457:
3454:
3453:
3451:
3450:
3442:
3436:
3427:
3418:
3416:Orbital period
3408:
3406:
3402:
3401:
3399:
3398:
3396:True longitude
3389:
3387:Mean longitude
3380:
3371:
3354:
3344:
3342:
3338:
3337:
3335:
3334:
3325:
3316:
3307:
3297:
3295:
3291:
3290:
3288:
3287:
3274:
3265:
3256:
3246:
3244:
3242:
3241:
3238:
3234:
3228:
3222:
3221:
3218:
3217:
3215:
3214:
3213:
3212:
3204:
3203:
3202:
3197:
3192:
3191:
3190:
3177:
3172:
3171:
3170:
3165:
3160:
3155:
3147:
3146:
3145:
3143:Areostationary
3140:
3135:
3126:
3124:
3118:
3117:
3115:
3114:
3112:Very low Earth
3109:
3104:
3099:
3094:
3089:
3084:
3079:
3074:
3069:
3064:
3059:
3054:
3053:
3052:
3047:
3040:Geosynchronous
3036:
3034:
3028:
3027:
3025:
3024:
3022:Transfer orbit
3019:
3018:
3017:
3012:
3002:
2997:
2992:
2987:
2982:
2980:Lagrange point
2977:
2972:
2963:
2958:
2953:
2948:
2939:
2934:
2929:
2923:
2921:
2914:
2908:
2907:
2902:Gravitational
2899:
2898:
2891:
2884:
2876:
2870:
2869:
2862:
2861:External links
2859:
2858:
2857:
2842:
2826:
2823:
2820:
2819:
2801:
2784:Orbital Motion
2773:
2745:
2732:
2709:
2674:(3): 388–389.
2654:
2644:
2643:
2641:
2638:
2637:
2636:
2631:
2626:
2621:
2616:
2609:
2606:
2594:
2593:
2577:
2574:
2571:
2568:
2565:
2562:
2559:
2556:
2553:
2546:
2542:
2538:
2535:
2528:
2525:
2522:
2519:
2516:
2513:
2498:
2495:
2478:
2475:
2472:
2449:
2438:
2437:
2426:
2422:
2417:
2413:
2409:
2405:
2400:
2395:
2391:
2388:
2384:
2381:
2376:
2372:
2366:
2363:
2358:
2354:
2351:
2347:
2344:
2339:
2335:
2329:
2326:
2321:
2317:
2313:
2310:
2306:
2300:
2296:
2290:
2287:
2282:
2279:
2276:
2272:
2268:
2265:
2262:
2259:
2235:
2230:
2226:
2222:
2218:
2213:
2189:
2185:
2159:
2151:
2147:
2143:
2140:
2135:
2132:
2126:
2123:
2114:and parameter
2101:
2097:
2082:
2081:
2069:
2066:
2062:
2059:
2055:
2048:
2044:
2041:
2038:
2034:
2029:
2025:
2022:
2019:
2016:
2013:
2008:
2004:
1998:
1993:
1990:
1987:
1984:
1980:
1975:
1969:
1966:
1959:
1954:
1951:
1948:
1944:
1940:
1937:
1934:
1931:
1928:
1901:
1886:
1883:
1882:
1881:
1869:
1860:
1856:
1853:
1850:
1847:
1844:
1838:
1834:
1831:
1828:
1820:
1816:
1813:
1810:
1807:
1804:
1801:
1798:
1784:
1783:
1765:
1761:
1757:
1754:
1749:
1746:
1742:
1737:
1734:
1710:
1706:
1703:
1700:
1697:
1694:
1688:
1684:
1681:
1678:
1672:
1668:
1665:
1662:
1659:
1656:
1651:
1648:
1642:
1639:
1614:
1611:
1587:
1584:
1562:
1559:
1548:
1547:
1535:
1528:
1525:
1520:
1517:
1509:
1506:
1503:
1497:
1494:
1491:
1482:
1478:
1475:
1471:
1468:
1465:
1451:
1450:
1437:
1434:
1429:
1426:
1418:
1415:
1412:
1406:
1403:
1400:
1393:
1388:
1385:
1380:
1377:
1363:
1362:
1344:
1341:
1337:
1333:
1330:
1324:
1320:
1317:
1309:
1305:
1301:
1298:
1290:
1287:
1285:
1279:
1275:
1272:
1266:
1262:
1259:
1253:
1249:
1245:
1242:
1239:
1238:
1231:
1227:
1224:
1221:
1218:
1215:
1209:
1205:
1202:
1194:
1190:
1186:
1183:
1175:
1172:
1170:
1167:
1163:
1160:
1157:
1156:
1134:
1133:
1118:
1114:
1111:
1108:
1105:
1102:
1097:
1094:
1090:
1086:
1083:
1077:
1073:
1069:
1066:
1043:
1024:
1021:
1020:
1019:
1003:
999:
984:
976:
975:
974:
973:
951:
929:
926:
923:
915:
911:
905:
902:
899:
896:
882:true longitude
873:
870:
869:
868:
853:
849:
844:-component of
831:
830:
829:
828:
807:
785:
782:
779:
772:
769:
766:
758:
754:
750:
743:
740:
737:
734:
708:
707:Circular orbit
705:
704:
703:
689:
679:
665:
664:
663:
662:
617:
614:
611:
604:
601:
598:
590:
586:
582:
575:
572:
569:
566:
540:
537:
535:
532:
474:is an angular
462:
461:
459:
458:
451:
444:
436:
433:
432:
429:
428:
423:
417:
414:
413:
410:
409:
406:
405:
400:
398:Gravity assist
394:
391:
390:
387:
386:
383:
382:
377:
372:
367:
361:
358:
357:
354:
353:
346:
343:
342:
339:
338:
333:
325:
324:
316:
312:
311:
306:
305:
302:
301:
298:
297:
292:
287:
282:
276:
273:
272:
269:
268:
261:
258:
257:
254:
253:
248:
243:
238:
233:
231:Orbital period
228:
223:
218:
213:
207:
204:
203:
200:
199:
196:
195:
193:Decaying orbit
190:
185:
180:
172:
171:
165:
158:
156:Transfer orbit
154:
153:
152:
150:Elliptic orbit
147:
145:Circular orbit
141:
132:
131:
128:
127:
124:
123:
118:
113:
108:
103:
98:
93:
88:
82:
77:
76:
73:
72:
65:
62:
61:
53:
52:
48:
47:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
3704:
3693:
3690:
3688:
3685:
3684:
3682:
3667:
3659:
3658:
3655:
3649:
3646:
3644:
3641:
3639:
3636:
3634:
3631:
3629:
3626:
3624:
3621:
3619:
3616:
3614:
3613:-body problem
3612:
3608:
3606:
3603:
3601:
3598:
3596:
3593:
3591:
3588:
3586:
3583:
3581:
3578:
3576:
3573:
3571:
3568:
3566:
3563:
3561:
3558:
3557:
3555:
3553:
3547:
3541:
3538:
3536:
3533:
3531:
3528:
3526:
3523:
3521:
3518:
3516:
3515:Oberth effect
3513:
3511:
3508:
3506:
3503:
3501:
3498:
3496:
3493:
3491:
3488:
3486:
3483:
3481:
3478:
3476:
3473:
3471:
3468:
3467:
3465:
3463:
3459:
3449:
3441:
3437:
3435:
3434:Orbital speed
3428:
3426:
3419:
3417:
3410:
3409:
3407:
3403:
3397:
3390:
3388:
3381:
3379:
3372:
3370:
3355:
3353:
3346:
3345:
3343:
3339:
3333:
3326:
3324:
3317:
3315:
3308:
3306:
3299:
3298:
3296:
3292:
3286:
3275:
3273:
3266:
3264:
3257:
3255:
3248:
3247:
3245:
3239:
3236:
3235:
3232:
3229:
3227:
3223:
3211:
3208:
3207:
3205:
3201:
3198:
3196:
3193:
3189:
3188:Earth's orbit
3186:
3185:
3184:
3181:
3180:
3178:
3176:
3173:
3169:
3166:
3164:
3161:
3159:
3156:
3154:
3151:
3150:
3148:
3144:
3141:
3139:
3136:
3134:
3131:
3130:
3128:
3127:
3125:
3119:
3113:
3110:
3108:
3105:
3103:
3100:
3098:
3095:
3093:
3090:
3088:
3085:
3083:
3080:
3078:
3075:
3073:
3070:
3068:
3065:
3063:
3060:
3058:
3055:
3051:
3048:
3046:
3045:Geostationary
3043:
3042:
3041:
3038:
3037:
3035:
3033:
3029:
3023:
3020:
3016:
3013:
3011:
3008:
3007:
3006:
3003:
3001:
2998:
2996:
2993:
2991:
2988:
2986:
2983:
2981:
2978:
2976:
2973:
2971:
2967:
2964:
2962:
2959:
2957:
2954:
2952:
2949:
2947:
2943:
2940:
2938:
2935:
2933:
2930:
2928:
2925:
2924:
2922:
2918:
2915:
2913:
2909:
2905:
2897:
2892:
2890:
2885:
2883:
2878:
2877:
2874:
2868:
2865:
2864:
2855:
2851:
2847:
2843:
2841:
2840:0-521-57597-4
2837:
2833:
2829:
2828:
2809:on 2021-05-15
2808:
2804:
2798:
2794:
2790:
2786:
2785:
2777:
2769:
2765:
2758:
2757:
2749:
2735:
2729:
2725:
2724:
2716:
2714:
2705:
2701:
2697:
2693:
2689:
2685:
2681:
2677:
2673:
2669:
2665:
2658:
2649:
2645:
2635:
2632:
2630:
2627:
2625:
2622:
2620:
2617:
2615:
2612:
2611:
2605:
2603:
2599:
2572:
2566:
2563:
2560:
2557:
2554:
2551:
2544:
2540:
2536:
2533:
2526:
2523:
2517:
2511:
2504:
2503:
2502:
2494:
2492:
2476:
2473:
2470:
2461:
2447:
2424:
2420:
2415:
2411:
2407:
2403:
2393:
2389:
2386:
2382:
2379:
2374:
2370:
2364:
2361:
2356:
2352:
2349:
2345:
2342:
2337:
2333:
2327:
2324:
2319:
2315:
2311:
2308:
2304:
2298:
2294:
2288:
2285:
2280:
2277:
2274:
2270:
2266:
2263:
2260:
2257:
2250:
2249:
2248:
2233:
2228:
2224:
2220:
2216:
2187:
2183:
2173:
2157:
2149:
2145:
2141:
2138:
2133:
2130:
2124:
2121:
2099:
2095:
2087:
2067:
2064:
2060:
2057:
2053:
2042:
2039:
2036:
2027:
2020:
2017:
2014:
2006:
2002:
1988:
1985:
1982:
1978:
1973:
1967:
1964:
1952:
1949:
1946:
1942:
1938:
1935:
1932:
1929:
1926:
1919:
1918:
1917:
1915:
1899:
1892:
1867:
1858:
1854:
1851:
1848:
1845:
1842:
1836:
1832:
1829:
1826:
1818:
1814:
1811:
1808:
1805:
1802:
1799:
1796:
1789:
1788:
1787:
1763:
1759:
1755:
1752:
1747:
1744:
1740:
1735:
1732:
1708:
1704:
1701:
1698:
1695:
1692:
1686:
1682:
1679:
1676:
1670:
1663:
1660:
1657:
1649:
1646:
1640:
1637:
1630:
1629:
1628:
1612:
1609:
1585:
1582:
1560:
1557:
1533:
1526:
1523:
1518:
1515:
1507:
1504:
1501:
1495:
1492:
1489:
1480:
1476:
1473:
1469:
1466:
1463:
1456:
1455:
1454:
1435:
1432:
1427:
1424:
1416:
1413:
1410:
1404:
1401:
1398:
1391:
1386:
1383:
1378:
1375:
1368:
1367:
1366:
1342:
1339:
1335:
1331:
1328:
1322:
1318:
1315:
1307:
1303:
1299:
1296:
1288:
1286:
1277:
1273:
1270:
1264:
1260:
1257:
1251:
1247:
1243:
1240:
1229:
1225:
1222:
1219:
1216:
1213:
1207:
1203:
1200:
1192:
1188:
1184:
1181:
1173:
1171:
1165:
1161:
1158:
1147:
1146:
1145:
1143:
1139:
1136:or using the
1116:
1112:
1109:
1106:
1103:
1100:
1095:
1092:
1088:
1084:
1081:
1075:
1071:
1067:
1064:
1057:
1056:
1055:
1041:
1034:
1017:
1014:
1010:
1006:
1000:
998:
995:
991:
987:
981:
980:
979:
957:then replace
954:
946:
945:
927:
921:
913:
909:
903:
900:
897:
894:
887:
886:
885:
883:
879:
867:
864:
860:
856:
850:
847:
843:
839:
836:
835:
834:
825:
817:
813:then replace
810:
802:
801:
783:
777:
770:
764:
752:
741:
738:
735:
732:
725:
724:
723:
721:
718:
714:
701:
697:
693:
690:
687:
683:
680:
677:
673:
670:
669:
668:
646:then replace
643:
639:
634:
633:
615:
609:
602:
596:
584:
573:
570:
567:
564:
557:
556:
555:
553:
546:
531:
529:
525:
521:
512:
507:
496:
495:Greek letters
491:
489:
485:
481:
477:
473:
469:
457:
452:
450:
445:
443:
438:
437:
435:
434:
427:
424:
422:
419:
418:
412:
411:
404:
403:Oberth effect
401:
399:
396:
395:
389:
388:
381:
378:
376:
373:
371:
368:
366:
363:
362:
356:
355:
351:
345:
344:
337:
334:
332:
329:
328:
322:
318:
317:
315:
309:
308:N-body orbits
304:
303:
296:
293:
291:
290:Perturbations
288:
286:
283:
281:
278:
277:
271:
270:
266:
260:
259:
252:
249:
247:
244:
242:
239:
237:
234:
232:
229:
227:
224:
222:
219:
217:
214:
212:
209:
208:
202:
201:
194:
191:
189:
186:
184:
181:
179:
176:
175:
169:
166:
164:
160:
159:
157:
151:
148:
146:
143:
142:
136:
130:
129:
122:
119:
117:
114:
112:
111:Orbital nodes
109:
107:
104:
102:
99:
97:
94:
92:
89:
87:
84:
83:
80:
75:
74:
70:
64:
63:
59:
55:
54:
51:Astrodynamics
50:
49:
45:
44:
38:
34:
30:
27:is the angle
26:
21:
3628:Perturbation
3610:
3585:Ground track
3495:Gravity turn
3446:
3439:
3432:
3423:
3414:
3394:
3385:
3376:
3369:True anomaly
3368:
3367:
3352:Mean anomaly
3350:
3330:
3321:
3312:
3303:
3283:
3270:
3261:
3254:Eccentricity
3252:
3210:Lunar cycler
3183:Heliocentric
3123:other points
3072:Medium Earth
2970:Non-inclined
2845:
2831:
2811:. Retrieved
2807:the original
2783:
2776:
2755:
2748:
2737:. Retrieved
2722:
2671:
2667:
2657:
2648:
2624:Mean anomaly
2597:
2595:
2500:
2462:
2439:
2174:
2083:
1891:mean anomaly
1888:
1785:
1549:
1452:
1364:
1135:
1026:
1015:
1008:
1001:
996:
989:
982:
977:
949:
875:
865:
858:
851:
845:
841:
837:
832:
823:
815:
805:
719:
710:
699:
691:
681:
671:
666:
641:
637:
545:true anomaly
544:
542:
528:mean anomaly
519:
513:
506:Latin letter
492:
472:true anomaly
471:
465:
188:Radial orbit
139:eccentricity
121:True anomaly
120:
106:Mean anomaly
96:Eccentricity
36:
32:
28:
24:
3590:Hill sphere
3425:Mean motion
3305:Inclination
3294:Orientation
3195:Mars cycler
3133:Areocentric
3005:Synchronous
321:Halo orbits
285:Hill sphere
101:Inclination
3681:Categories
3530:Rendezvous
3226:Parameters
3062:High Earth
3032:Geocentric
2985:Osculating
2942:Elliptical
2813:2020-08-29
2802:0750310154
2739:2022-08-02
2640:References
2460:is small.
365:Mass ratio
280:Barycenter
3575:Ephemeris
3552:mechanics
3462:Maneuvers
3405:Variation
3168:Libration
3163:Lissajous
3067:Low Earth
3057:Graveyard
2956:Horseshoe
2704:122878026
2696:0008-8714
2634:Hyperbola
2567:ν
2564:
2537:−
2474:−
2471:ν
2404:
2383:
2346:
2312:
2281:−
2258:ν
2217:
2142:−
2134:−
2122:β
2061:
2028:β
2015:−
1997:∞
1992:∞
1989:−
1979:∑
1958:∞
1943:∑
1927:ν
1855:
1849:β
1846:−
1833:
1827:β
1815:
1797:ν
1756:−
1733:β
1705:
1699:β
1696:−
1683:
1677:β
1661:−
1658:ν
1641:
1610:ν
1561:π
1558:±
1519:
1505:−
1477:
1464:ν
1428:
1414:−
1384:ν
1379:
1340:−
1332:
1319:
1300:−
1278:ν
1274:
1265:ν
1261:
1248:ν
1244:
1226:
1217:−
1204:
1185:−
1166:ν
1162:
1113:
1104:−
1093:−
1085:
1072:ν
1068:
904:
884:instead:
848:is zero).
753:⋅
742:
722:is used:
698:(segment
585:⋅
574:
565:ν
520:anomalies
504:, or the
484:periapsis
476:parameter
205:Equations
133:Types of
3341:Position
2966:Inclined
2937:Circular
2608:See also
1031:and the
667:where:
534:Formulas
526:and the
3550:Orbital
3520:Phasing
3480:Delta-v
3285:Apsides
3279:,
3077:Molniya
2995:Parking
2932:Capture
2920:General
2854:1311887
2789:Bibcode
2764:Bibcode
2676:Bibcode
2629:Ellipse
1142:tangent
1007:is the
988:is the
978:where:
857:is the
833:where:
694:is the
684:is the
674:is the
488:ellipse
3687:Orbits
3206:Other
3107:Tundra
2975:Kepler
2951:Escape
2904:orbits
2852:
2838:
2799:
2730:
2702:
2694:
2596:where
1912:via a
1812:arctan
1725:where
1474:arctan
955:> 0
901:arccos
811:< 0
739:arccos
644:< 0
571:arccos
3692:Angle
3448:Epoch
3237:Shape
3175:Lunar
3129:Mars
3121:About
3092:Polar
2912:Types
2760:(PDF)
2700:S2CID
2084:with
86:Apsis
3240:Size
3179:Sun
3158:Halo
3010:semi
2850:OCLC
2836:ISBN
2797:ISBN
2728:ISBN
2692:ISSN
1600:and
1140:and
1138:sine
1054:is:
947:(if
876:For
818:by 2
803:(if
711:For
635:(if
554:as:
3015:sub
2927:Box
2684:doi
2561:cos
2380:sin
2343:sin
2309:sin
2058:sin
1852:cos
1830:sin
1786:so
1702:cos
1680:sin
1638:tan
1516:tan
1453:so
1425:tan
1376:tan
1329:cos
1316:sin
1271:cos
1258:sin
1241:tan
1223:cos
1201:sin
1159:sin
1110:cos
1082:cos
1065:cos
961:by
650:by
500:or
466:In
137:by
3683::
3363:,
3359:,
2968:/
2944:/
2795:.
2712:^
2698:.
2690:.
2682:.
2670:.
2666:.
2604:.
2365:12
2362:13
2172:.
1916::
1144::
967:−
822:−
700:FP
656:−
640:⋅
530:.
470:,
3611:n
3443:0
3440:t
3430:v
3421:n
3412:T
3392:l
3383:L
3374:E
3365:f
3361:θ
3357:ν
3348:M
3328:ϖ
3319:ω
3310:Ω
3301:i
3281:q
3277:Q
3268:b
3259:a
3250:e
2895:e
2888:t
2881:v
2816:.
2791::
2770:.
2766::
2742:.
2706:.
2686::
2678::
2672:7
2598:a
2576:)
2573:t
2570:(
2558:e
2555:+
2552:1
2545:2
2541:e
2534:1
2527:a
2524:=
2521:)
2518:t
2515:(
2512:r
2477:M
2448:e
2425:.
2421:)
2416:4
2412:e
2408:(
2399:O
2394:+
2390:M
2387:3
2375:3
2371:e
2357:+
2353:M
2350:2
2338:2
2334:e
2328:4
2325:5
2320:+
2316:M
2305:)
2299:3
2295:e
2289:4
2286:1
2278:e
2275:2
2271:(
2267:+
2264:M
2261:=
2234:)
2229:4
2225:e
2221:(
2212:O
2188:4
2184:e
2158:e
2150:2
2146:e
2139:1
2131:1
2125:=
2100:n
2096:J
2068:M
2065:k
2054:]
2047:|
2043:n
2040:+
2037:k
2033:|
2024:)
2021:e
2018:k
2012:(
2007:n
2003:J
1986:=
1983:n
1974:[
1968:k
1965:1
1953:1
1950:=
1947:k
1939:2
1936:+
1933:M
1930:=
1900:M
1868:)
1859:E
1843:1
1837:E
1819:(
1809:2
1806:+
1803:E
1800:=
1764:2
1760:e
1753:1
1748:+
1745:1
1741:e
1736:=
1709:E
1693:1
1687:E
1671:=
1667:)
1664:E
1655:(
1650:2
1647:1
1613:2
1586:2
1583:E
1534:)
1527:2
1524:E
1508:e
1502:1
1496:e
1493:+
1490:1
1481:(
1470:2
1467:=
1436:2
1433:E
1417:e
1411:1
1405:e
1402:+
1399:1
1392:=
1387:2
1343:e
1336:E
1323:E
1308:2
1304:e
1297:1
1289:=
1252:=
1230:E
1220:e
1214:1
1208:E
1193:2
1189:e
1182:1
1174:=
1117:E
1107:e
1101:1
1096:e
1089:E
1076:=
1042:E
1029:ν
1018:.
1016:v
1009:x
1004:x
1002:v
997:r
990:x
985:x
983:r
972:)
969:l
965:π
963:2
959:l
952:x
950:v
928:|
925:r
922:|
914:x
910:r
898:=
895:l
866:r
859:z
854:z
852:r
846:n
842:z
838:n
827:)
824:u
820:π
816:u
808:z
806:r
784:|
781:r
778:|
771:|
768:n
765:|
757:r
749:n
736:=
733:u
720:u
692:r
688:,
682:e
672:v
661:)
658:ν
654:π
652:2
648:ν
642:v
638:r
616:|
613:r
610:|
603:|
600:e
597:|
589:r
581:e
568:=
548:ν
516:f
509:f
502:θ
498:ν
455:e
448:t
441:v
323:)
319:(
170:)
161:(
39:.
37:F
33:C
29:f
25:P
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
