4347:
5627:
6600:, each independently, for rational power functions in the mid 17th century, who both then used it to derive the power rule for integrals as the inverse operation. This mirrors the conventional way the related theorems are presented in modern basic calculus textbooks, where differentiation rules usually precede integration rules.
3756:
5188:
4639:
6592:, each working independently. At the time, they were treatises on determining the area between the graph of a rational power function and the horizontal axis. With hindsight, however, it is considered the first general theorem of calculus to be discovered. The power rule for differentiation was derived by
6603:
Although both men stated that their rules, demonstrated only for rational quantities, worked for all real powers, neither sought a proof of such, as at the time the applications of the theory were not concerned with such exotic power functions, and questions of convergence of infinite series were
2385:
is not a rational number, irrational power functions are not well defined for negative bases. In addition, as rational powers of −1 with even denominators (in lowest terms) are not real numbers, these expressions are only real valued for rational powers with odd denominators (in lowest terms).
1441:
is any real number. Although it is feasible to define the value as the limit of a sequence of rational powers that approach the irrational power whenever we encounter such a power, or as the least upper bound of a set of rational powers less than the given power, this type of definition is not
3841:
5410:
3461:
3167:
4978:
4400:
3346:
6417:
2640:
as was covered above, or is not a real number, so the limit does not exist as a real-valued derivative. For the two cases that do exist, the values agree with the value of the existing power rule at 0, so no exception need be made.
7129:
However, due to the multivalued nature of complex power functions for non-integer exponents, one must be careful to specify the branch of the complex logarithm being used. In addition, no matter which branch is used, if
2805:
approaches 0 as y approaches 0. Thus, it would be problematic to ascribe any particular value to it, as the value would contradict one of the two cases, dependent on the application. It is traditionally left undefined.
3846:
2114:
6271:
6120:
1325:
5373:
5994:
3006:
2481:
6990:
2293:
118:
4342:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left\\&=\lim _{h\to 0}\left\\&=nx^{n-1}\end{aligned}}}
1906:
5622:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}
4936:
6694:
5721:
4726:
3422:
2916:
6514:
3751:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}
5183:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}
4799:
3200:
6276:
1241:
4834:
1969:
7104:
6919:
5822:
4634:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}
1494:
6570:
5850:
5401:
3833:
2849:
1178:
6450:
6031:
4973:
1686:
5788:
5321:
2023:
1568:
7282:
2749:
7314:
5893:
1783:
6817:
1733:
1639:
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1130:
1012:
6161:
2363:
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1357:
4867:
3805:
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7048:
6762:
2636:
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1836:
1521:
3456:
2803:
2776:
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6726:
6634:
4387:
1805:
5264:
5216:
3195:
3001:
2968:
2942:
2699:
2557:
2414:
7260:
7236:
7148:
7124:
7013:
6861:
6837:
6534:
5913:
5650:
5236:
4659:
2580:
2501:
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1592:
1439:
1150:
1088:
1032:
6166:
8465:
2030:
8453:
6036:
1811:
function, the inverse function of the exponential function, as demonstrated by Euler. Since the latter two functions are equal for all values of
5918:
2421:
8575:
8460:
6921:, then it is straightforward to show that, on each branch of the complex logarithm, the same argument used above yields a similar result:
214:
8443:
8438:
8448:
8433:
7547:
1847:
7735:
8428:
3162:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}
1252:
5326:
8045:
7799:
7491:
7169:
2190:
475:
455:
7597:
7346:
951:
514:
6924:
4876:
37:
8543:
8402:
7519:
7466:
7435:
7404:
7371:
6650:
5733:
A more straightforward generalization of the power rule to rational exponents makes use of implicit differentiation.
1442:
amenable to differentiation. It is therefore preferable to use a functional definition, which is usually taken to be
470:
193:
5659:
4664:
3360:
2854:
8606:
7957:
7873:
6455:
460:
8538:
8470:
8095:
7950:
7918:
7677:
6728:
and the x-axis, was a logarithmic function, whose base was eventually discovered to be the transcendental number
5858:
791:
465:
445:
127:
3341:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}
8601:
8171:
8148:
7863:
4753:
4735:
Upon proving that the power rule holds for integer exponents, the rule can be extended to rational exponents.
8616:
8611:
8261:
8199:
7994:
7868:
7540:
573:
520:
406:
7747:
7725:
7174:
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232:
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8570:
6637:
315:
8555:
8321:
7935:
7757:
6870:
5793:
824:
437:
275:
247:
1445:
7940:
7710:
7194:
6641:
6551:
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3810:
2826:
1186:
1155:
695:
659:
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320:
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199:
6422:
5999:
4941:
1912:
8359:
8306:
6729:
6597:
5739:
5272:
2645:
1977:
1595:
7767:
7053:
300:
8475:
8246:
7794:
7533:
7396:
5727:
1528:
594:
159:
7265:
2706:
8241:
7913:
7287:
6544:
The power rule for integrals was first demonstrated in a geometric form by
Italian mathematician
5266:
by applying the power rule for integer exponents using the chain rule, as shown in the next step.
1741:
1644:
1360:
908:
700:
589:
6780:
4746:
This proof is composed of two steps that involve the use of the chain rule for differentiation.
1696:
1602:
1380:
1093:
975:
8369:
8251:
8072:
8020:
7826:
7804:
7672:
6577:
6412:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}
6125:
2816:
944:
873:
834:
718:
654:
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7458:
7452:
7427:
7421:
2332:
2120:
1333:
8495:
8354:
8266:
7923:
7858:
7831:
7821:
7742:
7730:
7715:
7687:
7159:
6545:
4839:
3777:
2301:
918:
584:
360:
305:
266:
172:
7018:
6867:
of 0 and any branch cut connected to it, and we use the conventional multivalued definition
6735:
2615:
2507:
2161:
1815:
1500:
8311:
7930:
7777:
7239:
7189:
7164:
7050:, or define positive integral complex powers through complex multiplication, and show that
3429:
2781:
2754:
2649:
2587:
1571:
1359:. It can be derived by inverting the power rule for differentiation. In this equation C is
923:
903:
829:
498:
422:
396:
310:
7389:
6702:
6610:
4363:
3758:
By the principle of mathematical induction, the statement is true for all natural numbers
1790:
8:
8331:
8256:
8143:
8100:
7851:
7836:
7667:
7655:
7642:
7602:
7582:
5241:
5193:
3174:
2980:
2947:
2921:
2678:
2536:
2393:
898:
868:
858:
745:
599:
401:
257:
140:
135:
1840:
their derivatives are also equal, whenever either derivative exists, so we have, by the
8420:
8395:
8226:
8179:
8120:
8085:
8080:
8060:
8055:
8050:
8015:
7962:
7945:
7846:
7720:
7705:
7650:
7617:
7245:
7221:
7133:
7109:
6998:
6846:
6822:
6581:
6519:
5898:
5635:
5238:
is a nonzero natural number. This can be generalized to rational exponents of the form
5221:
4644:
2565:
2486:
2368:
1577:
1424:
1135:
1073:
1017:
863:
766:
750:
690:
685:
680:
644:
525:
449:
355:
350:
154:
149:
8560:
8384:
8316:
8138:
8115:
7989:
7982:
7885:
7700:
7592:
7515:
7487:
7462:
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7400:
7367:
7342:
1808:
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549:
432:
385:
242:
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8518:
8301:
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8035:
7977:
7969:
7903:
7816:
7577:
7572:
6573:
3767:
781:
675:
649:
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427:
391:
8580:
8565:
8349:
8204:
8184:
8153:
8130:
8110:
8004:
7660:
7607:
6644:
in the mid 17th century, who demonstrated that the associated definite integral,
5653:
4394:
913:
786:
740:
735:
622:
535:
480:
6572:, and during the mid 17th century for all rational powers by the mathematicians
8490:
8389:
8236:
8189:
8090:
7893:
6840:
2971:
796:
604:
376:
7908:
7015:
is a positive integer, then there is no need for a branch cut: one may define
8595:
8364:
8219:
8105:
7809:
7784:
7184:
6589:
1051:
776:
540:
295:
252:
8374:
8344:
8209:
7772:
7179:
6864:
6593:
1055:
530:
280:
7622:
7564:
7150:
is not a positive integer, then the function is not differentiable at 0.
6585:
1050:
can also be differentiated using this rule. The power rule underlies the
1035:
893:
8339:
8271:
8025:
7898:
7762:
7695:
5404:
4870:
4740:
2703:
from our scheme of exponentiation is due to the fact that the function
1841:
1059:
1047:
1039:
639:
563:
285:
189:
6266:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}
8533:
8281:
8276:
7587:
1043:
568:
558:
8528:
8030:
7556:
965:
634:
381:
338:
27:
7126:, from the definition of the derivative and the binomial theorem.
2109:{\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}
8379:
7632:
7510:
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and
Edwards, Bruce H. (2003).
6732:. The modern notation for the value of this definite integral is
5190:
Thus, the power rule applies for rational exponents of the form
2503:
is a rational number with odd denominator (in lowest terms) and
1376:
To start, we should choose a working definition of the value of
8548:
7612:
7366:(3 ed.). Texas: Publish or Perish, Inc. pp. 336–342.
4351:
6863:
is a complex number in a slit complex plane that excludes the
6115:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}
7627:
7512:
Calculus of a Single
Variable: Early Transcendental Functions
6548:
in the early 17th century for all positive integer values of
3765:
2329:
This necessarily leads to the same result. Note that because
7525:
5895:
Differentiating both sides of the equation with respect to
7454:
The
History of the Calculus and its Conceptual Development
7423:
The
History of the Calculus and its Conceptual Development
1320:{\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}
6699:
representing the area between the rectangular hyperbola
5368:{\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},}
1973:
as was required. Therefore, applying the chain rule to
7486:(2 ed.). Heidelberg: Springer-Verlag. p. 46.
5989:{\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}
4730:
2814:
2476:{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}
7290:
7268:
7248:
7224:
7136:
7112:
7056:
7021:
7001:
6927:
6873:
6849:
6825:
6783:
6738:
6705:
6653:
6613:
6556:
6554:
6522:
6458:
6425:
6279:
6169:
6128:
6039:
6002:
5921:
5901:
5861:
5830:
5796:
5742:
5662:
5638:
5413:
5381:
5329:
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5224:
5196:
4981:
4944:
4879:
4842:
4807:
4756:
4667:
4647:
4403:
4366:
3844:
3813:
3780:
3464:
3432:
3363:
3203:
3177:
3009:
2983:
2950:
2924:
2857:
2829:
2784:
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2709:
2681:
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2618:
2590:
2568:
2539:
2510:
2489:
2424:
2396:
2371:
2335:
2304:
2288:{\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}
2193:
2164:
2123:
2033:
1980:
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1850:
1818:
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1699:
1647:
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1531:
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1427:
1383:
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1255:
1189:
1158:
1138:
1096:
1076:
1020:
978:
40:
7341:. New York: Chelsea Publishing Company. p. 45.
5725:
3353:
Suppose the statement holds for some natural number
2389:
Finally, whenever the function is differentiable at
1046:
operation on the space of differentiable functions,
1598:. First, we may demonstrate that the derivative of
7395:. New Jersey: Princeton University Press. p.
7388:
7308:
7276:
7254:
7230:
7142:
7118:
7098:
7042:
7007:
6984:
6913:
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6831:
6811:
6756:
6720:
6688:
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6564:
6528:
6508:
6444:
6411:
6265:
6155:
6114:
6025:
5988:
5907:
5887:
5844:
5816:
5782:
5715:
5644:
5632:From the above results, we can conclude that when
5621:
5395:
5367:
5315:
5258:
5230:
5210:
5182:
4967:
4930:
4861:
4828:
4793:
4720:
4653:
4633:
4381:
4341:
3827:
3799:
3750:
3450:
3416:
3340:
3189:
3161:
2995:
2962:
2936:
2910:
2843:
2797:
2770:
2743:
2693:
2665:
2630:
2603:
2574:
2551:
2522:
2495:
2475:
2408:
2377:
2357:
2319:
2287:
2176:
2145:
2108:
2017:
1963:
1900:
1830:
1799:
1777:
1727:
1680:
1633:
1586:
1562:
1515:
1488:
1433:
1411:
1351:
1319:
1235:
1172:
1144:
1124:
1082:
1026:
1006:
112:
6636:was resolved by Flemish Jesuit and mathematician
4279:
4266:
4229:
4216:
4188:
4175:
4107:
4094:
4050:
4037:
4006:
3993:
1259:
16:Method of differentiating single term polynomials
8593:
6985:{\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}
4931:{\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}
4152:
3947:
3877:
3282:
3233:
3103:
3066:
2426:
113:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
6689:{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}
2809:
972:is used to differentiate functions of the form
5716:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}
4721:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}
3417:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}
2911:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}
1901:{\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1}
1065:
7541:
6509:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}
2365:does not have a conventional definition when
945:
7481:
4352:Generalization to negative integer exponents
1246:The power rule for integration states that
7242:has an odd denominator, then the domain of
3350:Therefore, the base case holds either way.
1371:
7548:
7534:
6772:
2418:the defining limit for the derivative is:
952:
938:
8576:Regiomontanus' angle maximization problem
7514:(3rd edition). Houghton Mifflin Company.
7270:
6679:
5838:
5810:
5389:
5352:
5337:
4816:
3821:
2837:
1270:
1229:
1166:
73:
8419:
4794:{\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}
7924:Differentiating under the integral sign
7482:Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009).
476:Differentiating under the integral sign
8594:
7361:
7336:
4738:
2778:approaches 1 as x approaches 0, while
7800:Inverse functions and differentiation
7529:
7450:
7419:
7170:Inverse functions and differentiation
6777:If we consider functions of the form
4829:{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}
7413:
7386:
4731:Generalization to rational exponents
2186:we may use the same definition with
6914:{\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}
5817:{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }
13:
7598:Free variables and bound variables
7504:
7339:Differential and Integral Calculus
7300:
6767:
4270:
4220:
4179:
4098:
4041:
3997:
1489:{\displaystyle x^{r}=\exp(r\ln x)}
22:Part of a series of articles about
14:
8628:
8403:The Method of Mechanical Theorems
6565:{\displaystyle {\displaystyle n}}
5845:{\displaystyle r\in \mathbb {Q} }
5396:{\displaystyle r\in \mathbb {Q} }
4393:is a positive integer. Using the
3828:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2844:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
1236:{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,.}
1173:{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
7958:Partial fractions in integration
7874:Stochastic differential equation
6445:{\displaystyle r={\frac {p}{q}}}
6026:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
4968:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
1964:{\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}
8096:Jacobian matrix and determinant
7951:Tangent half-angle substitution
7919:Fundamental theorem of calculus
5783:{\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}
5316:{\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}
4641:In conclusion, for any integer
2851:. It is required to prove that
2018:{\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}
8172:Arithmetico-geometric sequence
7864:Ordinary differential equation
7475:
7444:
7380:
7355:
7330:
7303:
7291:
7212:
7099:{\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}}
7071:
7065:
7031:
7025:
6979:
6964:
6942:
6936:
6908:
6893:
6793:
6787:
6751:
6745:
4522:
4508:
4159:
3954:
3908:
3895:
3884:
3737:
3725:
3717:
3705:
3689:
3677:
3533:
3514:
3289:
3263:
3251:
3240:
3110:
3073:
3059:
3053:
2970:, depending on how the set of
2725:
2713:
2433:
2346:
2336:
2276:
2266:
2257:
2247:
2235:
2231:
2222:
2219:
2210:
2207:
2048:
2042:
1990:
1984:
1945:
1939:
1930:
1924:
1889:
1883:
1866:
1860:
1766:
1763:
1757:
1751:
1709:
1703:
1662:
1656:
1615:
1609:
1544:
1538:
1483:
1468:
1393:
1387:
1204:
1198:
1106:
1100:
988:
982:
107:
101:
92:
86:
70:
64:
1:
7995:Integro-differential equation
7869:Partial differential equation
7200:
2751:has no limit at (0,0), since
1563:{\displaystyle \exp(x)=e^{x}}
407:Integral of inverse functions
7555:
7457:. New York: Dover. pp.
7323:
7277:{\displaystyle \mathbb {R} }
7175:Linearity of differentiation
2810:Proofs for integer exponents
2744:{\displaystyle f(x,y)=x^{y}}
1572:natural exponential function
7:
8149:Generalized Stokes' theorem
7936:Integration by substitution
7426:. New York: Dover. p.
7309:{\displaystyle (0,\infty )}
7284:. Otherwise, the domain is
7240:lowest terms representation
7238:is a rational number whose
7153:
6273:Applying laws of exponents,
5888:{\displaystyle y^{q}=x^{p}}
1778:{\displaystyle \ln(f(x))=x}
1681:{\displaystyle f'(x)=e^{x}}
1066:Statement of the power rule
825:Calculus on Euclidean space
248:Logarithmic differentiation
10:
8633:
7678:(ε, δ)-definition of limit
7195:Vector calculus identities
6812:{\displaystyle f(z)=z^{c}}
6642:Alphonse Antonio de Sarasa
6539:
2918:The base case may be when
1728:{\displaystyle f(x)=e^{x}}
1634:{\displaystyle f(x)=e^{x}}
1412:{\displaystyle f(x)=x^{r}}
1125:{\displaystyle f(x)=x^{r}}
1007:{\displaystyle f(x)=x^{r}}
8571:Proof that 22/7 exceeds π
8508:
8486:
8412:
8360:Gottfried Wilhelm Leibniz
8330:
8307:e (mathematical constant)
8292:
8164:
8071:
8003:
7884:
7686:
7641:
7563:
6764:, the natural logarithm.
6638:Grégoire de Saint-Vincent
6598:Gottfried Wilhelm Leibniz
6156:{\displaystyle y=x^{p/q}}
2483:which yields 0 only when
1366:
1090:be a function satisfying
559:Summand limit (term test)
8322:Stirling's approximation
7795:Implicit differentiation
7743:Rules of differentiation
7391:e: The Story of a Number
7362:Spivak, Michael (1994).
7205:
5728:implicit differentiation
2611:is not well-defined for
2561:For all other values of
2358:{\displaystyle (-1)^{r}}
2146:{\displaystyle rx^{r-1}}
1372:Proof for real exponents
1352:{\displaystyle r\neq -1}
243:Implicit differentiation
233:Differentiation notation
160:Inverse function theorem
8607:Mathematical identities
8556:Euler–Maclaurin formula
8461:trigonometric functions
7914:Constant of integration
7337:Landau, Edmund (1951).
6773:Complex power functions
6452:, we can conclude that
4862:{\displaystyle y^{n}=x}
4356:For a negative integer
3800:{\displaystyle y=x^{n}}
2320:{\displaystyle -x>0}
701:Helmholtz decomposition
8525:Differential geometry
8370:Infinitesimal calculus
8073:Multivariable calculus
8021:Directional derivative
7827:Second derivative test
7805:Logarithmic derivative
7778:General Leibniz's rule
7673:Order of approximation
7310:
7278:
7256:
7232:
7144:
7120:
7100:
7044:
7043:{\displaystyle f(0)=0}
7009:
6986:
6915:
6857:
6833:
6813:
6758:
6757:{\displaystyle \ln(x)}
6722:
6690:
6630:
6578:Evangelista Torricelli
6566:
6536:is a rational number.
6530:
6510:
6446:
6413:
6267:
6157:
6116:
6027:
5990:
5909:
5889:
5846:
5818:
5784:
5717:
5646:
5623:
5397:
5369:
5317:
5260:
5232:
5212:
5184:
4969:
4932:
4863:
4830:
4795:
4722:
4655:
4635:
4383:
4343:
3829:
3801:
3752:
3452:
3418:
3342:
3191:
3163:
2997:
2964:
2938:
2912:
2845:
2799:
2772:
2745:
2695:
2667:
2632:
2631:{\displaystyle h<0}
2605:
2576:
2553:
2524:
2523:{\displaystyle r>1}
2497:
2477:
2410:
2379:
2359:
2321:
2289:
2178:
2177:{\displaystyle x<0}
2147:
2110:
2019:
1965:
1902:
1832:
1831:{\displaystyle x>0}
1801:
1779:
1729:
1682:
1635:
1588:
1564:
1517:
1516:{\displaystyle x>0}
1490:
1435:
1413:
1353:
1321:
1237:
1174:
1146:
1126:
1084:
1028:
1008:
835:Limit of distributions
655:Directional derivative
316:Faà di Bruno's formula
114:
8602:Differentiation rules
8444:logarithmic functions
8439:exponential functions
8355:Generality of algebra
8233:Tests of convergence
7859:Differential equation
7843:Further applications
7832:Extreme value theorem
7822:First derivative test
7716:Differential operator
7688:Differential calculus
7311:
7279:
7257:
7233:
7160:Differentiation rules
7145:
7121:
7101:
7045:
7010:
6987:
6916:
6858:
6834:
6814:
6759:
6723:
6691:
6631:
6567:
6546:Bonaventura Cavalieri
6531:
6511:
6447:
6414:
6268:
6158:
6117:
6028:
5991:
5910:
5890:
5847:
5819:
5785:
5718:
5647:
5624:
5398:
5370:
5318:
5261:
5233:
5213:
5185:
4970:
4933:
4864:
4831:
4796:
4723:
4656:
4636:
4384:
4344:
3830:
3802:
3753:
3453:
3451:{\displaystyle n=k+1}
3419:
3343:
3192:
3164:
2998:
2965:
2939:
2913:
2846:
2800:
2798:{\displaystyle 0^{y}}
2773:
2771:{\displaystyle x^{0}}
2746:
2696:
2668:
2666:{\displaystyle 0^{0}}
2633:
2606:
2604:{\displaystyle h^{r}}
2577:
2554:
2525:
2498:
2478:
2411:
2380:
2360:
2322:
2290:
2179:
2148:
2111:
2020:
1966:
1903:
1833:
1802:
1780:
1730:
1683:
1636:
1589:
1565:
1518:
1491:
1436:
1414:
1354:
1322:
1238:
1175:
1147:
1127:
1085:
1029:
1009:
919:Mathematical analysis
830:Generalized functions
515:arithmetico-geometric
361:Leibniz integral rule
115:
8617:Theorems in calculus
8612:Theorems in analysis
8509:Miscellaneous topics
8449:hyperbolic functions
8434:irrational functions
8312:Exponential function
8165:Sequences and series
7931:Integration by parts
7451:Boyer, Carl (1959).
7420:Boyer, Carl (1959).
7288:
7266:
7262:is understood to be
7246:
7222:
7190:Table of derivatives
7165:General Leibniz rule
7134:
7110:
7054:
7019:
6999:
6925:
6871:
6847:
6823:
6781:
6736:
6721:{\displaystyle xy=1}
6703:
6651:
6629:{\displaystyle r=-1}
6611:
6552:
6520:
6456:
6423:
6277:
6167:
6126:
6037:
6000:
5919:
5899:
5859:
5828:
5794:
5740:
5660:
5636:
5411:
5379:
5327:
5273:
5242:
5222:
5194:
4979:
4942:
4877:
4840:
4805:
4754:
4665:
4645:
4401:
4382:{\displaystyle n=-m}
4364:
3842:
3811:
3778:
3462:
3430:
3361:
3201:
3175:
3007:
2981:
2948:
2922:
2855:
2827:
2782:
2755:
2707:
2679:
2650:
2616:
2588:
2566:
2537:
2508:
2487:
2422:
2394:
2369:
2333:
2302:
2191:
2162:
2121:
2116:which simplifies to
2031:
1978:
1913:
1848:
1816:
1800:{\displaystyle \ln }
1791:
1742:
1697:
1645:
1603:
1578:
1529:
1501:
1446:
1425:
1381:
1334:
1330:for any real number
1253:
1187:
1156:
1136:
1094:
1074:
1018:
976:
924:Nonstandard analysis
397:Lebesgue integration
267:Rules and identities
38:
8496:List of derivatives
8332:History of calculus
8247:Cauchy condensation
8144:Exterior derivative
8101:Lagrange multiplier
7837:Maximum and minimum
7668:Limit of a sequence
7656:Limit of a function
7603:Graph of a function
7583:Continuous function
6668:
6607:The unique case of
5259:{\displaystyle p/q}
5211:{\displaystyle 1/n}
3190:{\displaystyle n=1}
2996:{\displaystyle n=0}
2963:{\displaystyle n=1}
2937:{\displaystyle n=0}
2694:{\displaystyle x=0}
2552:{\displaystyle r=1}
2409:{\displaystyle x=0}
595:Cauchy condensation
402:Contour integration
128:Fundamental theorem
55:
8429:rational functions
8396:Method of Fluxions
8242:Alternating series
8139:Differential forms
8121:Partial derivative
8081:Divergence theorem
7963:Quadratic integral
7731:Leibniz's notation
7721:Mean value theorem
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8176:Types of series
8135:Advanced topics
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