4585:
7702:
2727:
2422:
3017:
2079:
1664:
966:
7950:
4290:
7274:
2433:
2131:
8303:
6435:
2742:
5904:
9380:
8748:
5190:
1738:
1362:
6633:
701:
8149:
7772:
4580:{\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)}
3189:
7697:{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}
2722:{\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,}
2417:{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,}
6134:
1270:
686:
8160:
3924:
174:
6193:
9579:
3012:{\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},s,a{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}
3740:
7174:
3320:
5610:
6887:
4743:
9136:
4968:
4857:
8515:
287:
3568:
5384:
3427:
4984:
526:
2074:{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}
8985:
4046:
1659:{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}
961:{\displaystyle \Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}}
6450:
8373:
7261:
6974:
1018:
7945:{\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).}
4249:
8007:
3047:
9099:
8857:
1727:
6675:
5595:
396:
7762:
5955:
1105:
8298:{\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}
6715:
4101:
542:
7999:
4134:
4168:
6430:{\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}
8779:
3761:
1334:
61:
9412:
8406:
5234:
9463:
4282:
2120:
8447:
1070:
317:
9128:
9030:
3589:
6982:
5936:
5899:{\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}
355:
6170:
3204:
4194:
9995:
Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent",
432:
9375:{\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}
6722:
9056:
8743:{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}
4596:
8507:
8487:
8467:
4868:
4754:
189:
3449:
5272:
5185:{\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}
3335:
443:
9435:
8872:
3945:
6628:{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}
9705:
10283:
9886:
8311:
7182:
6895:
10292:
10137:
9977:
9895:
974:
8144:{\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}
4199:
3184:{\displaystyle \zeta (s,\alpha )=L(0,s,\alpha )=\Phi (1,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}.}
9061:
8784:
1675:
9832:
Cai, Xing Shi; López, José L. (10 June 2019). "A note on the asymptotic expansion of the Lerch's transcendent".
6641:
9947:
6129:{\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}
1265:{\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}
5390:
681:{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}
10319:
8860:
362:
7710:
9955:
6691:
4065:
7963:
3919:{\displaystyle \chi _{s}(z)=2^{-s}z\Phi (z^{2},s,1/2)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}}
169:{\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}
9427:
4139:
4106:
9959:
9574:{\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {K}}(w,x,s)=\sum _{k=0}^{\infty }{e^{2k\pi ix} \over (w+k)^{s}}}
9431:
8756:
5255:)<1/2. Note a general resemblance to a similar series representation for the Hurwitz zeta function.
1286:
9423:
9388:
8378:
5198:
7266:
8182:
10081:
Johansson, F.; Blagouchine, Ia. (2019), "Computing
Stieltjes constants using complex integration",
4254:
3735:{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi (-1,s,1/2)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}}
2090:
8411:
7169:{\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}
1034:
296:
9951:
9761:
3577:
1341:
971:
and then interchanging the sum and integral. The resulting integral representation converges for
9104:
8993:
3315:{\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)=z\Phi (z,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}.}
3437:
5912:
324:
9967:
6882:{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }^{s-1}e^{2k\pi ai}}
6142:
3749:
3326:
3038:
1089:
1029:
36:
4738:{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}
4173:
10302:
10147:
10112:
10073:
10042:
Jackson, M. (1950), "On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series
10026:
9905:
9773:
9614:
5237:
401:
9606:
4963:{\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}
4852:{\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}
8:
10205:
10186:
9035:
9777:
282:{\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}
10259:
10209:
10116:
10090:
10030:
10004:
9859:
9841:
9618:
8492:
8472:
8452:
3933:
3563:{\displaystyle \eta (s)=\Phi (-1,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}}
10288:
10274:
10256:
10213:
10133:
10034:
9983:
9973:
9891:
9881:
9863:
9785:
9622:
6685:
6173:
5379:{\displaystyle \left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }
3034:
The Lerch zeta function and Lerch transcendent generalize various special functions.
9917:
5263:
10241:
10201:
10120:
10100:
10061:
10014:
9963:
9851:
9812:
9781:
9740:
9706:"The Analytic Continuation of the Lerch Transcendent and the Riemann Zeta Function"
9602:
9592:
5939:
1096:
32:
9855:
10298:
10143:
10108:
10069:
10022:
9901:
9610:
10222:
1283:
counterclockwise around the positive real axis, not enclosing any of the points
10065:
9817:
9800:
1280:
692:
10018:
3422:{\displaystyle \zeta (s)=\Phi (1,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
10313:
10163:
9913:
9760:
Gottschalk, J. E.; Maslen, E. N. (1988). "Reduction formulae for generalized
9455:
6678:
5946:
5259:
4059:
3195:
44:
40:
23:
9745:
9728:
521:{\displaystyle \,\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,s,\alpha ).}
10277:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010),
10246:
10229:
9921:
4103:
may be expressed as a finite sum over the
Hurwitz zeta function. Suppose
9634:
9628:
17:
10104:
10009:
9597:
8980:{\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}
10264:
9972:. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press.
4041:{\displaystyle \psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )}
9884:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
9459:
10174:
10095:
9846:
2736:(and more generally wherever the integrals converge). Furthermore,
10165:
C and
Mathematica Programs for Calculation of Lerch's Transcendent
9987:
9946:
5266:. It may be written as the following series, which is valid for
7766:
The representation as a generalized hypergeometric function is
4978:
A series representation for the Lerch transcendent is given by
10278:
9877:
8368:{\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }
10254:
8291:
691:
The proof is based on using the integral definition of the
10038:. (Includes various basic identities in the introduction.)
9801:"Asymptotic expansions of the Hurwitz–Lerch zeta function"
7256:{\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}
6969:{\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}
1076:
outside the unit disk. The integral formula also holds if
9962:; Jeffrey, Alan (2015) . "9.55.". In Zwillinger, Daniel;
9688:
9686:
9684:
9682:
9680:
9678:
10273:
10227:
10220:
1013:{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}
536:
The Lerch transcendent has an integral representation:
9675:
9467:
7851:
5203:
4109:
2794:
2625:
2557:
2320:
2252:
10127:
9466:
9422:
The Lerch transcendent is implemented as LerchPhi in
9391:
9139:
9107:
9064:
9038:
8996:
8875:
8787:
8759:
8518:
8495:
8475:
8455:
8414:
8381:
8314:
8163:
8010:
7966:
7775:
7713:
7277:
7185:
6985:
6898:
6725:
6694:
6644:
6453:
6196:
6145:
5958:
5915:
5613:
5393:
5275:
5201:
4987:
4871:
4757:
4599:
4293:
4257:
4202:
4176:
4142:
4068:
3948:
3764:
3592:
3452:
3338:
3207:
3050:
2745:
2436:
2134:
2093:
1741:
1678:
1365:
1289:
1108:
1037:
977:
704:
545:
446:
404:
365:
327:
299:
192:
64:
10080:
293:
The transcendent only converges for any real number
47:, who published a paper about the function in 1887.
1356:A Hermite-like integral representation is given by
10162:Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. (2002),
10128:Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002),
9573:
9406:
9374:
9122:
9093:
9050:
9024:
8979:
8851:
8773:
8742:
8501:
8481:
8461:
8441:
8400:
8367:
8297:
8143:
7993:
7944:
7756:
7696:
7255:
7168:
6968:
6881:
6709:
6669:
6627:
6429:
6164:
6128:
5930:
5898:
5589:
5378:
5228:
5184:
4962:
4851:
4737:
4579:
4276:
4244:{\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}
4243:
4188:
4162:
4128:
4095:
4040:
3918:
3734:
3562:
3421:
3314:
3183:
3011:
2721:
2416:
2114:
2073:
1721:
1658:
1328:
1264:
1064:
1012:
960:
680:
520:
426:
390:
349:
311:
281:
168:
10228:Kanemitsu, S.; Tanigawa, Y.; Tsukada, H. (2004).
10221:Kanemitsu, S.; Tanigawa, Y.; Tsukada, H. (2015).
10161:
9805:Journal of Mathematical Analysis and Applications
5148:
5135:
2638:
2610:
2570:
2542:
2333:
2305:
2265:
2237:
1351:
10311:
9799:Ferreira, Chelo; López, José L. (October 2004).
9759:
9994:
9912:
9692:
9669:
9657:
9645:
10180:(Provides numerous references and preprints.)
9798:
9726:
5219:
5206:
2964:
2928:
2824:
2788:
2678:
2647:
2373:
2342:
9094:{\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}
8852:{\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}
1722:{\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}
531:
10187:"Approximation of the Lerch Zeta Function"
10184:
6670:{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}
1344:of the integrand. The integral assumes Re(
10245:
10132:, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,
10094:
10008:
9845:
9834:Integral Transforms and Special Functions
9816:
9744:
9596:
9072:
8767:
8361:
8242:
8186:
4973:
4156:
2999:
2709:
2404:
2064:
1649:
1471:
1255:
985:
671:
447:
43:. It is named after Czech mathematician
9969:Table of Integrals, Series, and Products
9831:
5590:{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left}
3329:is a special case of both of the above:
10284:NIST Handbook of Mathematical Functions
10230:"A generalization of Bochner's formula"
10223:"A generalization of Bochner's formula"
10041:
9923:Higher Transcendental Functions, Vol. I
9887:NIST Handbook of Mathematical Functions
9875:
7955:
391:{\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}
10312:
9698:
9635:https://arxiv.org/pdf/math/0506319.pdf
7757:{\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}
10255:
9454:
6710:{\displaystyle s\rightarrow -\infty }
4096:{\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )}
7994:{\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}
5262:in the first parameter was given by
4129:{\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}
55:The Lerch zeta function is given by
9470:
4163:{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }
368:
13:
10206:10.1023/B:LIMA.0000033779.41365.a5
9515:
9401:
9392:
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6312:
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6111:
6013:
6008:
5959:
5949:in the third variable is given by
5696:
5664:
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3237:
3142:
3099:
3022:The last formula is also known as
2886:
2861:
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108:
14:
10331:
10155:
9729:"Generalized Lerch zeta function"
8774:{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
8190:
4058:For λ rational, the summand is a
1329:{\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i}
989:
29:Hurwitz–Lerch zeta function
9407:{\displaystyle \Re a\to \infty }
8401:{\displaystyle z\in \Omega _{a}}
5229:{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
3029:
2125:Similar representations include
10194:Lithuanian Mathematical Journal
9948:Gradshteyn, Izrail Solomonovich
9931:. (See § 1.11, "The function Ψ(
9825:
9792:
8059:
10287:, Cambridge University Press,
9890:, Cambridge University Press,
9753:
9720:
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9651:
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9161:
9143:
9032:be its Taylor coefficients at
9019:
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3775:
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3522:
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1701:
1688:
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1446:
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1369:
1352:Other integral representations
1308:
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214:
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151:
138:
86:
68:
1:
9956:Geronimus, Yuri Veniaminovich
9856:10.1080/10652469.2019.1627530
9441:
8408:, an asymptotic expansion of
6444:= 0 has the following series
4277:{\displaystyle \omega ^{q}=1}
4053:
3432:Other special cases include:
2115:{\displaystyle \Re (a)>0.}
50:
10185:Garunkstis, Ramunas (2004).
8442:{\displaystyle \Phi (z,s,a)}
7265:An asymptotic series in the
5604:is a positive integer, then
5243:The series is valid for all
4590:Various identities include:
1065:{\displaystyle \Phi (z,s,a)}
312:{\displaystyle \alpha >0}
7:
9960:Tseytlin, Michail Yulyevich
9417:
7960:The polylogarithm function
1099:representation is given by
10:
10336:
10083:Mathematics of Computation
9818:10.1016/j.jmaa.2004.05.040
9786:10.1088/0305-4470/21/9/015
9693:Guillera & Sondow 2008
9670:Bateman & Erdélyi 1953
9658:Guillera & Sondow 2008
9646:Bateman & Erdélyi 1953
9123:{\displaystyle \Re s>0}
9025:{\displaystyle C_{n}(z,a)}
10019:10.1007/s11139-007-9102-0
7267:incomplete gamma function
3198:is another special case:
10066:10.1112/jlms/s1-25.3.189
9952:Ryzhik, Iosif Moiseevich
9762:hypergeometric functions
5931:{\displaystyle \psi (n)}
532:Integral representations
437:The two are related, as
350:{\displaystyle |z|<1}
179:A related function, the
10234:Hardy-Ramanujan Journal
10130:The Lerch zeta-function
9929:, New York: McGraw-Hill
9876:Apostol, T. M. (2010),
9746:10.2140/pjm.1974.53.189
6165:{\displaystyle (s)_{k}}
3578:Dirichlet beta function
27:, sometimes called the
10279:"Lerch's Transcendent"
9878:"Lerch's Transcendent"
9727:B. R. Johnson (1974).
9575:
9519:
9460:"Note sur la fonction
9408:
9376:
9236:
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1066:
1030:analytically continues
1014:
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682:
522:
428:
392:
351:
313:
283:
240:
170:
112:
10247:10.46298/hrj.2004.150
9997:The Ramanujan Journal
9576:
9499:
9430:, and as lerchphi in
9409:
9377:
9210:
9125:
9096:
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3750:Legendre chi function
3737:
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3424:
3381:
3327:Riemann zeta function
3317:
3264:
3186:
3126:
3039:Hurwitz zeta function
3014:
2732:holding for positive
2724:
2419:
2117:
2076:
1724:
1661:
1331:
1267:
1090:Hurwitz zeta function
1067:
1015:
963:
859:
744:
683:
523:
429:
427:{\displaystyle |z|=1}
393:
352:
314:
284:
220:
171:
92:
37:Hurwitz zeta function
35:that generalizes the
10320:Zeta and L-functions
10260:"Lerch Transcendent"
10172:Ramunas Garunkstis,
10054:J. London Math. Soc.
9464:
9389:
9137:
9105:
9062:
9036:
8994:
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8453:
8412:
8379:
8312:
8161:
8008:
7964:
7956:Asymptotic expansion
7773:
7711:
7275:
7183:
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5238:binomial coefficient
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3450:
3336:
3205:
3048:
3041:is the special case
2743:
2434:
2132:
2091:
1739:
1676:
1363:
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1035:
975:
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543:
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402:
363:
325:
297:
190:
62:
9778:1988JPhA...21.1983G
9660:, Lemma 2.1 and 2.2
9051:{\displaystyle x=0}
6440:A special case for
2890:
2506:
2201:
1933:
1518:
1432:
894:
817:
608:
10275:Olver, Frank W. J.
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