3771:
4546:
3299:
739:
4054:
4441:
1158:
3047:
3616:
3499:
400:
3950:
4609:
3104:
2001:
1060:
619:
3380:
5158:
1358:
529:
470:
301:
791:
4705:
3627:
1753:
2668:
3176:
2003:
for example, the absolute values of the terms tend to 1 (because their valuations tend to 0), so the series is not convergent (such series are sometimes known as "pseudo-convergent").
3870:
951:
909:
833:
2946:
4446:
5084:
4253:
4121:
4090:
3184:
871:
4792:
2992:
2887:
2193:
2220:
1837:
4325:
1225:
4968:
4299:
3820:
2821:
2722:
2617:
2552:
2418:
2345:
2103:
1883:
1725:
179:
5049:
5027:
4345:
4202:
3955:
3130:
1387:
109:
87:
1420:
337:
4350:
2762:
2506:
2053:
1655:
1509:
239:
4836:
2299:
2142:
1607:
4999:
4732:
1071:
1296:
1254:
4904:
1482:
4860:
4222:
4180:
4157:
2841:
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2458:
2438:
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2260:
2240:
2029:
1773:
1675:
1635:
1553:
1529:
1440:
219:
199:
2997:
3507:
5590:
4971:
5501:
630:
3385:
5385:
342:
3875:
4551:
3052:
1900:
959:
540:
5343:
Sitzungsberichte der
Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch – Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.)
3307:
5089:
3766:{\displaystyle \sum _{(i,j)\in I\times I}f_{i}g_{j}=\left(\sum _{i\in I}f_{i}\right)\left(\sum _{i\in I}g_{i}\right).}
1304:
475:
416:
247:
5453:
5476:
4657:
1730:
2622:
5563:
4742:) which are multiplied and added in the same way as in the case of ordinary Witt vectors (which is obtained when
3138:
4913:
can be regarded as a field of Hahn series with real coefficients and value group the surreal numbers themselves.
3825:
3776:
This notion of summable family does not correspond to the notion of convergence in the valuation topology on
4735:
4541:{\displaystyle f(a+\varepsilon ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}}
2892:
5626:
5621:
3294:{\displaystyle \sum _{i\in I}f_{i}:=\sum \limits _{e\in \Gamma }\left(\sum _{i\in I}f_{i}(e)\right)T^{e}.}
4758:
elements, this construction gives a (ultra)metrically complete algebraically closed field containing the
2678:: it turns out that this is also a field, with much the same algebraic closedness properties as the full
120:
5054:
5029:
is a directed union of Hahn fields (and is an extension of the Levi-Civita field). The construction of
4227:
4095:
4136:
4067:
2032:
1485:
4768:
2951:
2846:
2147:
747:
5424:
5360:
5338:
4049:{\displaystyle {\big (}\sum \limits _{k\leq n}T^{\frac {k}{k+1}}+T^{k+1}{\big )}_{n\in \mathbb {N} }}
2198:
1782:
44:
4304:
1181:
5528:
4927:
4258:
3779:
2780:
2681:
2576:
2511:
2377:
2304:
2062:
1842:
1684:
1172:
876:
138:
56:
5032:
5010:
4330:
4185:
3109:
1366:
838:
92:
70:
1392:
4436:{\displaystyle {\bigg (}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}{\bigg )}_{\!n\in \mathbb {N} }}
2266:): in fact, it is possible to give a somewhat analogous description of the algebraic closure of
309:
4128:
116:
1153:{\displaystyle \left\{-{\frac {1}{p}},-{\frac {1}{p^{2}}},-{\frac {1}{p^{3}}},\ldots \right\}}
914:
796:
4839:
2747:
2491:
2038:
1890:
1886:
1640:
1494:
224:
4806:
2269:
2112:
1558:
5558:
4977:
4710:
5489:
5463:
5408:
5354:
1272:
1230:
8:
2554:
is itself real-closed. This fact can be used to analyse (or even construct) the field of
2461:
1488:
132:
64:
40:
4865:
1445:
5537:
4845:
4207:
4165:
4142:
4124:
2826:
2727:
2467:
2443:
2423:
2353:
2245:
2225:
2014:
1758:
1660:
1620:
1538:
1514:
1425:
204:
184:
112:
5604:
5499:(2001), "The algebraic closure of the power series field in positive characteristic",
953:
is finite because a well-ordered set cannot contain an infinite decreasing sequence).
5449:
5376:
4917:
4132:
2485:
2106:
1776:
1678:
5399:
5599:
5585:
5572:
5547:
5510:
5485:
5459:
5433:
5415:
5404:
5394:
5350:
2570:
52:
5515:
5437:
5380:
3042:{\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {supp} f_{i}\subset \Gamma }
5419:
5368:
5170:
4921:
3611:{\displaystyle \sum _{i\in I}f_{i}+g_{i}=\sum _{i\in I}f_{i}+\sum _{i\in I}g_{i}}
2056:
1893:
or
Puiseux series, the formal sums used in defining the elements of the field do
1063:
48:
1167:
because the denominators in the exponents are unbounded. (And if the base field
4910:
2555:
2263:
1164:
36:
5615:
5577:
5523:
5496:
4759:
4646:(or their algebraic closure), the field of Hahn–Witt series with value group
4624:
2371:
32:
2558:(which is isomorphic, as an ordered field, to the field of Hahn series with
5551:
5471:
4636:
5005:
4620:
2671:
2559:
1614:
734:{\displaystyle fg=\sum _{e\in \Gamma }\sum _{e'+e''=e}c_{e'}d_{e''}T^{e}}
55:
to a non-commutative setting). They allow for arbitrary exponents of the
20:
3494:{\displaystyle (f_{i}+g_{i})_{i\in I},(f_{i}g_{j})_{(i,j)\in I\times I}}
407:
60:
111:). Hahn series were first introduced, as groups, in the course of the
5542:
2440:
infinitesimal (greater than 0 but less than any positive element of
395:{\displaystyle \operatorname {supp} f:=\{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}
4651:
3945:{\displaystyle (T^{\frac {n}{n+1}}+T^{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}
241:(an ordered group) is the set of formal expressions of the form
4604:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}\longrightarrow K\left\right]}
3099:{\displaystyle \{i\in I\mid e\in \operatorname {supp} f_{i}\}}
2562:
coefficients and value group the surreal numbers themselves).
1617:
the only spherically complete valued field with residue field
1610:
4970:, with the additional imposition that the coefficients be a
1996:{\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }
1055:{\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }
614:{\displaystyle f+g=\sum _{e\in \Gamma }(c_{e}+d_{e})T^{e}}
4765:, hence a more or less explicit description of the field
4974:: the set of coefficients less than a given coefficient
1422:(in other words, the smallest element of the support of
5526:(2001), "Power series and đť‘ť-adic algebraic closures",
2724:: e.g., it is algebraically closed or real closed when
5341:(1907), "Über die nichtarchimedischen Größensysteme",
2262:
is of characteristic zero, it is exactly the field of
5448:. Mathematics Studies. Vol. 141. North-Holland.
5092:
5057:
5035:
5013:
4980:
4930:
4868:
4848:
4809:
4771:
4713:
4660:
4619:
The construction of Hahn series can be combined with
4554:
4449:
4353:
4333:
4307:
4261:
4230:
4210:
4188:
4168:
4145:
4098:
4070:
3958:
3878:
3828:
3782:
3630:
3510:
3388:
3310:
3187:
3141:
3112:
3055:
3000:
2954:
2895:
2849:
2829:
2783:
2750:
2730:
2684:
2625:
2579:
2514:
2494:
2470:
2446:
2426:
2380:
2356:
2307:
2272:
2248:
2228:
2201:
2150:
2115:
2065:
2041:
2017:
1903:
1845:
1785:
1761:
1733:
1687:
1663:
1643:
1623:
1561:
1541:
1517:
1497:
1448:
1428:
1395:
1369:
1307:
1275:
1233:
1184:
1074:
1062:
is a Hahn series (over any field) because the set of
962:
917:
879:
841:
799:
750:
633:
543:
478:
419:
345:
312:
250:
227:
207:
187:
141:
95:
73:
5276:
Alling (1987, §6.23, (3) and (4) (pp. 218–219))
5446:Foundations of Analysis over Surreal Number Fields
5152:
5078:
5043:
5021:
4993:
4962:
4898:
4854:
4830:
4786:
4754:is the algebraic closure of the finite field with
4726:
4699:
4603:
4540:
4435:
4339:
4319:
4293:
4247:
4216:
4196:
4174:
4151:
4115:
4084:
4048:
3944:
3864:
3814:
3765:
3610:
3493:
3374:
3293:
3170:
3124:
3098:
3041:
2986:
2940:
2881:
2835:
2815:
2756:
2736:
2716:
2662:
2611:
2546:
2500:
2476:
2452:
2432:
2412:
2362:
2339:
2293:
2254:
2234:
2214:
2187:
2136:
2097:
2047:
2023:
1995:
1877:
1831:
1767:
1747:
1719:
1669:
1649:
1629:
1601:
1547:
1523:
1503:
1476:
1434:
1414:
1381:
1352:
1290:
1248:
1219:
1152:
1054:
945:
903:
865:
827:
785:
733:
613:
523:
464:
394:
331:
295:
233:
213:
193:
173:
103:
81:
5591:Transactions of the American Mathematical Society
5561:(2001), "Operators on generalized power series",
4419:
4413:
4356:
3375:{\displaystyle (f_{i})_{i\in I},(g_{i})_{i\in I}}
2035:(but not necessarily of characteristic zero) and
1264:
5613:
5502:Proceedings of the American Mathematical Society
5381:"The universality of formal power series fields"
5153:{\displaystyle T_{n+1}=\mathbb {R} \left\right]}
4059:
2777:One can define a notion of summable families in
1353:{\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}
524:{\displaystyle g=\sum _{e\in \Gamma }d_{e}T^{e}}
465:{\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}
296:{\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}
5557:
5210:, Duke Mathematical Journal, vol. 1, n°2, 1942.
2420:is totally ordered by making the indeterminate
1178:, then this Hahn series satisfies the equation
4700:{\displaystyle \sum _{e\in \Gamma }c_{e}p^{e}}
5386:Bulletin of the American Mathematical Society
5267:Alling (1987, theorem of §6.55 (p. 246))
4027:
3961:
1748:{\displaystyle \Gamma \subseteq \mathbb {R} }
3093:
3056:
2663:{\displaystyle \{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}
2657:
2626:
389:
358:
3171:{\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}}
59:so long as the set supporting them forms a
4347:is strictly positive. Indeed, the family
2301:in positive characteristic as a subset of
5603:
5576:
5541:
5514:
5414:
5398:
5113:
5072:
5037:
5015:
4948:
4932:
4884:
4774:
4483:
4427:
4190:
4078:
4040:
3936:
3848:
3830:
2173:
1741:
97:
75:
47:in 1907 (and then further generalized by
3865:{\displaystyle \mathbb {Q} \left\right]}
5584:
5522:
5495:
5375:
5258:Alling (1987, §6.23, (2) (p. 218))
4750:is the group of rationals or reals and
3382:are summable, then so are the families
2619:consisting of series whose support set
2006:
119:and then studied by him in relation to
5614:
5470:
5443:
5197:Neumann (1949), Lemmas (3.2) and (3.3)
2941:{\displaystyle f_{i}\in K\left\right]}
2772:
2464:on the coefficients of the series. If
5588:(1949), "On ordered division rings",
5474:(1993), "Maximally complete fields",
4443:is always summable, so we can define
4204:, then we can evaluate every element
5359:
5337:
2767:
4614:
4548:. This defines a ring homomorphism
4472:
3967:
3218:
3143:
3002:
2105:is algebraically closed. Thus, the
16:Mathematical formal infinite series
13:
5420:"Maximal fields with valuations I"
5079:{\displaystyle T_{0}=\mathbb {R} }
4672:
4654:) would be the set of formal sums
4588:
4558:
4278:
4248:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}
4234:
4116:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}
4102:
3799:
3228:
3119:
3036:
2925:
2800:
2751:
2701:
2635:
2596:
2531:
2495:
2397:
2324:
2082:
2042:
1862:
1734:
1704:
1644:
1579:
1498:
1463:
1376:
1325:
654:
567:
496:
437:
367:
268:
228:
158:
14:
5638:
5605:10.1090/S0002-9947-1949-0032593-5
5051:resembles (but is not literally)
4085:{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
2573:, one can consider the subset of
2460:) or, equivalently, by using the
1889:. However, unlike in the case of
4787:{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}
4746:is the group of integers). When
2987:{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
2882:{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
2188:{\displaystyle {\overline {K}}]}
786:{\displaystyle \sum _{e'+e''=e}}
39:(themselves a generalization of
5564:Illinois Journal of Mathematics
5400:10.1090/s0002-9904-1939-07110-3
5319:
5310:
5297:
5288:
5279:
2215:{\displaystyle {\overline {K}}}
1832:{\displaystyle |f|=\exp(-v(f))}
43:) and were first introduced by
35:. They are a generalization of
5270:
5261:
5252:
5239:
5226:
5213:
5200:
5191:
5182:
4957:
4954:
4939:
4936:
4893:
4890:
4875:
4872:
4825:
4822:
4816:
4813:
4569:
4514:
4508:
4503:
4497:
4465:
4453:
4386:
4380:
4375:
4369:
4320:{\displaystyle a+\varepsilon }
3925:
3879:
3648:
3636:
3474:
3462:
3458:
3434:
3416:
3389:
3357:
3343:
3325:
3311:
3270:
3264:
3049:is well-ordered, and each set
2969:
2955:
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1562:
1555:has characteristic zero, then
1535:the terminology). In fact, if
1471:
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1265:Properties of the valued field
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5438:10.1215/s0012-7094-42-00922-0
5331:
5208:Maximal fields with valuation
4963:{\displaystyle \mathbb {R} ]}
4794:or its spherical completion.
4294:{\displaystyle K\left\right]}
4060:Evaluating analytic functions
3952:is summable but the sequence
3815:{\displaystyle K\left\right]}
2816:{\displaystyle K\left\right]}
2717:{\displaystyle K\left\right]}
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1720:{\displaystyle K\left\right]}
1259:
1163:is well-ordered; it is not a
904:{\displaystyle d_{e''}\neq 0}
174:{\displaystyle K\left\right]}
5223:, definition on p. 303)
5044:{\displaystyle \mathbb {T} }
5022:{\displaystyle \mathbb {T} }
4340:{\displaystyle \varepsilon }
4197:{\displaystyle \mathbb {R} }
3125:{\displaystyle e\in \Gamma }
2222:is the algebraic closure of
2207:
2156:
1382:{\displaystyle e\in \Gamma }
866:{\displaystyle c_{e'}\neq 0}
104:{\displaystyle \mathbb {R} }
82:{\displaystyle \mathbb {Q} }
7:
5477:L'Enseignement mathématique
5164:
4797:
4736:TeichmĂĽller representatives
3135:We may then define the sum
2889:is a family of Hahn series
1415:{\displaystyle c_{e}\neq 0}
1363:is defined as the smallest
29:Hahn–Mal'cev–Neumann series
10:
5643:
5444:Alling, Norman L. (1987).
5236:, theorem 1 (p. 889))
1298:of a non-zero Hahn series
332:{\displaystyle c_{e}\in K}
5586:Neumann, Bernhard Hermann
5425:Duke Mathematical Journal
5365:Gesammelte Abhandlungen I
4327:, where the valuation of
1897:converge: in the case of
410:. The sum and product of
27:(sometimes also known as
5529:Journal of Number Theory
5176:
1839:, with respect to which
1227:so it is algebraic over
946:{\displaystyle e'+e''=e}
828:{\displaystyle (e',e'')}
744:(in the latter, the sum
121:Hilbert's second problem
5524:Kedlaya, Kiran Sridhara
5497:Kedlaya, Kiran Sridhara
2994:is summable if the set
2757:{\displaystyle \Gamma }
2501:{\displaystyle \Gamma }
2048:{\displaystyle \Gamma }
1650:{\displaystyle \Gamma }
1504:{\displaystyle \Gamma }
234:{\displaystyle \Gamma }
5578:10.1215/ijm/1258138061
5559:Hoeven, van der, Joris
5552:10.1006/jnth.2000.2630
5247:Proc. Amer. Math. Soc.
5234:Bull. Amer. Math. Soc.
5154:
5080:
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4788:
4728:
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4635:: for example, over a
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2137:{\displaystyle K((T))}
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4862:can be described as
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5627:Mathematical series
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4056:does not converge.
3822:. For instance, in
3178:as the Hahn series
2948:, then we say that
2462:lexicographic order
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2768:Summable families
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2235:{\displaystyle K}
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2159:
2107:algebraic closure
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