765:
970:
552:
769:
1871:
1725:
2111:
760:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}
965:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}
1730:
1584:
367:
1988:
2655:
1956:
1504:
2521:
2776:
1386:
1579:
3444:
273:
2279:
1538:
2368:
1017:
1109:
517:
301:
1903:
392:
3032:
455:
1257:
1141:
1044:
3061:
2157:
1412:
2988:
2965:
2822:
2799:
1866:{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}
1720:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}
2942:
2922:
2902:
2882:
2862:
2842:
2394:
2323:
2303:
2200:
2177:
2131:
1979:
1441:
1289:
1228:
1208:
1184:
1164:
416:
2106:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}
306:
3331:.) The same is true of the set of non-left-zero-divisors and the set of non-right-zero-divisors in an arbitrary ring, commutative or not.
2529:
1908:
1456:
2402:
2664:
1294:
3694:
3681:
1543:
3625:
3309:
rings by convention, but they then suffer from having to introduce exceptions in statements such as the following:
429:
3504:
3408:
243:
3674:
2213:
3669:
1509:
183:
An element of a ring that is not a left zero divisor (respectively, not a right zero divisor) is called
2336:
982:
199:). An element of a ring that is left and right cancellable, and is hence not a zero divisor, is called
133:
1049:
3731:
460:
279:
1876:
3664:
375:
2182:
Here is another example of a ring with an element that is a zero divisor on one side only. Let
2993:
72:
3499:
3189:
434:
31:
1236:
3736:
3379:
2330:
1982:
1231:
1114:
1022:
543:
224:
3037:
8:
3741:
3328:
3121:
matrices over a field, the left and right zero divisors coincide; they are precisely the
2136:
1391:
1187:
535:
3490:
recovers the definitions of "regular" and "zero divisor" given earlier in this article.
2970:
2947:
2804:
2781:
3682:
3642:
3510:
3462:
3344:
3320:
3145:
3082:
3074:
2927:
2907:
2887:
2867:
2847:
2827:
2379:
2308:
2288:
2185:
2162:
2116:
1964:
1417:
1265:
1213:
1193:
1169:
1149:
401:
240:
237:
395:
3704:
3690:
2372:
2203:
362:{\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}
3348:
976:
177:
27:
20:
3685:; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004),
3707:
3335:
3134:
3122:
3100:
979:
of two or more nonzero rings always has nonzero zero divisors. For example, in
1959:
40:
3725:
3093:
3086:
3078:
2282:
3587:
3138:
523:
136:. An element that is a left or a right zero divisor is simply called a
1260:
3099:
A non-zero commutative ring whose only zero divisor is 0 is called an
3712:
3245:
2778:. All three of these additive maps are not zero, and the composites
2326:
422:
220:
100:
16:
Ring element that can be multiplied by a non-zero element to equal 0
2207:
3081:
has no nonzero zero divisors. Since every nonzero element is a
2650:{\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}
542:≥ 2. Examples of zero divisors in the ring of 2 × 2
1951:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}
1499:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}
425:
element of a nonzero ring is always a two-sided zero divisor.
3649:, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12
2516:{\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}
3252:
is a (two-sided) zero divisor, because any nonzero element
3327:. (This, in turn, is important for the definition of the
2864:
is a right zero divisor in the ring of additive maps from
146:
that is both a left and a right zero divisor is called a
3227:
There is no need for a separate convention for the case
2771:{\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}
2072:
2033:
1997:
1917:
1814:
1775:
1739:
1668:
1629:
1593:
1465:
928:
889:
853:
814:
778:
723:
684:
642:
597:
561:
180:, then the left and right zero divisors are the same.
3702:
3411:
3234:, because the definition applies also in this case:
3040:
2996:
2973:
2950:
2930:
2910:
2890:
2870:
2850:
2830:
2807:
2784:
2667:
2532:
2405:
2382:
2339:
2311:
2291:
2216:
2188:
2165:
2139:
2119:
1991:
1967:
1911:
1879:
1733:
1587:
1546:
1512:
1459:
1420:
1394:
1297:
1268:
1239:
1216:
1196:
1172:
1152:
1117:
1052:
1025:
985:
772:
555:
463:
437:
404:
378:
309:
282:
246:
3137:, the zero divisors are precisely the matrices with
1381:{\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}
457:
of a ring is always a two-sided zero divisor, since
2396:.) Three examples of elements of this ring are the
3641:
3438:
3055:
3026:
2982:
2959:
2936:
2916:
2896:
2876:
2856:
2836:
2816:
2793:
2770:
2649:
2515:
2388:
2362:
2317:
2297:
2273:
2194:
2171:
2151:
2125:
2105:
1973:
1950:
1897:
1865:
1719:
1573:
1532:
1498:
1435:
1406:
1380:
1283:
1251:
1222:
1202:
1178:
1158:
1135:
1103:
1038:
1011:
964:
759:
511:
449:
410:
386:
361:
295:
267:
223:ring with no nontrivial zero divisors is called a
3192:on the side on which it is regular. That is, if
3723:
3619:
2113:, and it is a right zero divisor if and only if
3637:
3635:
1574:{\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
3604:
2333:as the ring operations. (That is, our ring is
211:. A zero divisor that is nonzero is called a
3632:
3586:
3439:{\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}
3361:
3285:is not a zero divisor, because there is no
2944:is not a left zero divisor: the composite
2133:is even for similar reasons. If either of
268:{\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }
3609:, American Mathematical Soc., p. 342
3432:
3415:
3222:
3144:Left or right zero divisors can never be
1567:
1554:
1526:
1447:
380:
261:
248:
3529:Since the map is not injective, we have
2274:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}
1453:Consider the ring of (formal) matrices
546:(over any nonzero ring) are shown here:
3724:
2179:, then it is a two-sided zero-divisor.
3703:
1388:, with neither factor being zero, so
3319:, the set of non-zero-divisors is a
3301:Some references include or exclude
1533:{\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }
13:
3657:
3343:, the set of zero divisors is the
3218:, and similarly for right regular.
2990:is a two-sided zero-divisor since
2347:
2344:
2341:
372:The only zero divisor of the ring
163:may be different from the nonzero
14:
3753:
3472:Specializing the definitions of "
2363:{\displaystyle \mathrm {End} (S)}
1012:{\displaystyle R_{1}\times R_{2}}
3647:Commutative algebra, 2nd edition
3289:element that when multiplied by
2924:is not a right zero divisor and
1104:{\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}
3626:Springer Science+Business Media
3505:Glossary of commutative algebra
3476:-regular" and "zero divisor on
3067:
512:{\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}
296:{\displaystyle {\overline {2}}}
3613:
3598:
3580:
3523:
3420:
2765:
2728:
2722:
2671:
2644:
2593:
2587:
2536:
2510:
2466:
2460:
2409:
2357:
2351:
2268:
2217:
1430:
1424:
1350:
1313:
1310:
1298:
1278:
1272:
1130:
1118:
1098:
1086:
1080:
1068:
1065:
1053:
503:
491:
479:
467:
1:
3594:, Springer-Verlag, p. 98
3573:
3107:
3096:has no nonzero zero divisors.
1898:{\displaystyle x\neq 0\neq z}
1414:is a nonzero zero divisor in
538:has nonzero zero divisors if
132:. This is a partial case of
3607:Concepts in Abstract Algebra
387:{\displaystyle \mathbb {Z} }
354:
341:
328:
315:
288:
7:
3687:Algebras, rings and modules
3670:Encyclopedia of Mathematics
3493:
3370:be a commutative ring, let
3277:is the zero ring, in which
2844:is a left zero divisor and
230:
10:
3760:
3401:if the "multiplication by
113:if there exists a nonzero
52:if there exists a nonzero
18:
3689:, vol. 1, Springer,
3620:Nicolas Bourbaki (1998).
3244:is a ring other than the
3027:{\displaystyle RLP=0=PRL}
2281:. Take for the ring all
103:. Similarly, an element
71:, or equivalently if the
3516:
3362:Zero divisor on a module
3063:is not in any direction.
303:is a zero divisor since
19:Not to be confused with
3605:Charles Lanski (2005),
3592:Algebra I, Chapters 1–3
3461:-regular elements is a
3457:otherwise. The set of
3446:is injective, and that
3349:associated prime ideals
1958:is a left zero divisor
450:{\displaystyle e\neq 1}
217:nontrivial zero divisor
3440:
3313:In a commutative ring
3223:Zero as a zero divisor
3057:
3028:
2984:
2961:
2938:
2918:
2898:
2878:
2858:
2838:
2818:
2795:
2772:
2661:onto the first factor
2651:
2517:
2390:
2376:of the additive group
2364:
2319:
2299:
2275:
2196:
2173:
2153:
2127:
2107:
1975:
1952:
1899:
1867:
1721:
1575:
1534:
1500:
1448:One-sided zero-divisor
1437:
1408:
1382:
1285:
1253:
1252:{\displaystyle n>1}
1224:
1204:
1180:
1160:
1137:
1105:
1040:
1013:
966:
761:
513:
451:
412:
388:
363:
297:
269:
148:two-sided zero divisor
109:of a ring is called a
3500:Zero-product property
3441:
3305:as a zero divisor in
3073:The ring of integers
3058:
3029:
2985:
2962:
2939:
2919:
2899:
2879:
2859:
2839:
2819:
2796:
2773:
2652:
2518:
2391:
2365:
2320:
2300:
2276:
2197:
2174:
2154:
2128:
2108:
1976:
1953:
1900:
1868:
1722:
1576:
1535:
1501:
1438:
1409:
1383:
1286:
1254:
1225:
1205:
1181:
1161:
1138:
1136:{\displaystyle (1,0)}
1106:
1041:
1039:{\displaystyle R_{i}}
1014:
967:
762:
514:
452:
413:
389:
364:
298:
270:
134:divisibility in rings
3507:(Exact zero divisor)
3409:
3056:{\displaystyle LR=1}
3038:
2994:
2971:
2948:
2928:
2908:
2888:
2868:
2848:
2828:
2805:
2782:
2665:
2530:
2403:
2380:
2337:
2309:
2289:
2214:
2186:
2163:
2137:
2117:
1989:
1965:
1909:
1877:
1731:
1585:
1544:
1510:
1457:
1418:
1392:
1295:
1266:
1237:
1214:
1194:
1170:
1150:
1115:
1050:
1023:
983:
770:
553:
461:
435:
402:
376:
307:
280:
276:, the residue class
244:
213:nonzero zero divisor
3329:total quotient ring
3198:is a left regular,
2152:{\displaystyle x,z}
1407:{\displaystyle 1-g}
3705:Weisstein, Eric W.
3683:Michiel Hazewinkel
3643:Hideyuki Matsumura
3511:Zero-divisor graph
3463:multiplicative set
3436:
3321:multiplicative set
3185:, a contradiction.
3154:is invertible and
3092:More generally, a
3053:
3024:
2983:{\displaystyle RL}
2980:
2960:{\displaystyle LR}
2957:
2934:
2914:
2894:
2874:
2854:
2834:
2824:are both zero, so
2817:{\displaystyle PR}
2814:
2794:{\displaystyle LP}
2791:
2768:
2647:
2513:
2386:
2360:
2315:
2295:
2271:
2192:
2169:
2149:
2123:
2103:
2097:
2058:
2022:
1971:
1948:
1942:
1895:
1863:
1857:
1800:
1764:
1717:
1711:
1654:
1618:
1571:
1530:
1496:
1490:
1433:
1404:
1378:
1281:
1249:
1220:
1200:
1176:
1156:
1143:is a zero divisor.
1133:
1101:
1036:
1009:
962:
953:
914:
878:
839:
803:
757:
748:
709:
673:
628:
586:
509:
447:
430:idempotent element
408:
384:
359:
293:
265:
176:). If the ring is
140:. An element
111:right zero divisor
3429:
3390:. One says that
3386:be an element of
3334:In a commutative
3161:for some nonzero
3133:matrices over an
3125:. In the ring of
3123:singular matrices
3085:, this ring is a
2967:is the identity.
2937:{\displaystyle R}
2917:{\displaystyle L}
2897:{\displaystyle S}
2877:{\displaystyle S}
2857:{\displaystyle R}
2837:{\displaystyle L}
2389:{\displaystyle S}
2373:endomorphism ring
2318:{\displaystyle S}
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