2751:
2158:
426:
886:. This is a theorem due to Alex Lubotzky and Michael Larsen. A new proof is given by Jokke Häsä and Alexander Stasinski which yields a more general result, namely it gives an explicit value (in terms of simple combinatorics) of the abscissa of convergence of any "Mellin zeta function" of the form
2449:
1781:
1286:
729:
262:
1007:
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587:
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1110:
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254:
1195:
421:{\displaystyle \sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}\prod _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\frac {1}{\langle \alpha ^{\lor },m_{1}\lambda _{1}+\cdots +m_{r}\lambda _{r}\rangle ^{s}}},}
821:
456:
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198:
175:
66:
2153:{\displaystyle \zeta _{SU(3)}'(-a)={\frac {2^{-a+1}(a!)^{2}}{(2a+1)!}}\zeta '(-3a-1)+2^{-a+2}\sum _{k=0}^{(a-1)/2}{a \choose 2k}\zeta (-a-2k)\zeta '(-2a+2k).}
2611:
74:
40:
study of their special values (among other things). Note that in, Witten zeta functions do not appear as explicit objects in their own right.
2552:
2652:"On the number of $ n$ -dimensional representations of $ \operatorname{SU}(3)$ , the Bernoulli numbers, and the Witten zeta function"
2792:
2507:
1432:
1776:{\displaystyle \zeta _{SU(3)}(a)={\frac {2^{a+2}}{1+(-1)^{a}2}}\sum _{k=0}^{}{2a-2k-1 \choose a-1}\zeta (2k)\zeta (3a-k).}
1115:
68:
is a compact semisimple Lie group, the associated Witten zeta function is (the meromorphic continuation of) the series
1368:
2483:
522:
1281:{\displaystyle {\Bigl \{}{\frac {2}{3}}{\Bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\frac {1}{2}}-k,k\in \mathbb {N} {\Bigr \}},}
2811:
1524:
1014:
2444:{\displaystyle \zeta _{SU(3)}''(-a)=2^{-a+2}\sum _{k=0}^{a/2}{a \choose 2k}\zeta '(-a-2k)\zeta '(-2a+2k).}
846:
724:{\displaystyle \zeta _{SU(3)}(s)=\sum _{x=1}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{\frac {1}{(xy(x+y)/2)^{s}}}.}
2785:
1291:
29:
461:
2165:
1788:
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2816:
798:
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2766:
2778:
1002:{\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(x_{1},\dots ,x_{r})^{s}}},}
2224:
1827:
1069:
8:
1342:
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2702:
2620:
2587:
2561:
2550:
Larsen, Michael; Lubotzky, Alexander (2008). "Representation growth of linear groups".
2532:
2204:
826:
742:
494:
203:
183:
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2571:
2516:
2471:
2690:
2502:
2475:
200:
is connected and simply connected, the correspondence between representations of
2762:
220:
and of its Lie algebra, together with the Weyl dimension formula, implies that
1336:
are well defined at all integers, and have been computed by
Kazuhiro Onodera.
1288:
and all of those singularities are simple poles. In particular, the values of
2805:
2724:
2675:
2583:
2528:
37:
157:
where the sum is over equivalence classes of irreducible representations of
2667:
36:. These zeta functions were introduced by Don Zagier who named them after
147:{\displaystyle \zeta _{G}(s)=\sum _{\rho }{\frac {1}{(\dim \rho )^{s}}},}
25:
17:
2635:
2606:
1070:
Singularities and values of the Witten zeta function associated to SU(3)
1066:
is a product of linear polynomials with non-negative real coefficients.
2575:
2520:
2466:
Zagier, Don (1994), "Values of Zeta
Functions and Their Applications",
2716:
2566:
33:
2750:
2625:
2707:
2758:
759:
is simple and simply connected, the abscissa of convergence of
2468:
First
European Congress of Mathematics Paris, July 6–10, 1992
2691:"A functional relation for Tornheim's double zeta functions"
2261:
2227:
2207:
2168:
1864:
1830:
1791:
1564:
1527:
1512:{\displaystyle \zeta _{SU(3)}'(0)=\log(2^{4/3}\pi ).}
1435:
1371:
1345:
1294:
1203:
1181:
1118:
1079:
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894:
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745:
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54:
1168:{\displaystyle \{s\in \mathbb {C} ,\Re (s)>2/3\}}
2443:
2245:
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2193:
2152:
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1816:
1775:
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1357:
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1001:
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169:
146:
60:
2612:Transactions of the American Mathematical Society
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2085:
2067:
1728:
1687:
1422:{\displaystyle \zeta _{SU(3)}(0)={\frac {1}{3}},}
1270:
1233:
1223:
1206:
2803:
2607:"Representation growth of compact linear groups"
2549:
2786:
2604:
2503:"On quantum gauge theories in two dimensions"
2553:Journal of the European Mathematical Society
1162:
1119:
478:
465:
403:
337:
1175:, and it can be extended meromorphicaly in
575:{\displaystyle \zeta _{SU(2)}(s)=\zeta (s)}
2793:
2779:
2605:Häsä, Jokke; Stasinski, Alexander (2019).
734:
2706:
2634:
2624:
2565:
1536:
1264:
1183:
1129:
2688:
2804:
2508:Communications in Mathematical Physics
2500:
2470:, Birkhäuser Basel, pp. 497–512,
2465:
2649:
1549:{\displaystyle a\in \mathbb {N} ^{*}}
1059:{\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{r})}
2745:
2496:
2494:
879:{\displaystyle \kappa =|\Phi ^{+}|}
458:denotes the set of positive roots,
13:
2357:
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14:
2828:
2491:
1329:{\displaystyle \zeta _{SU(3)}(s)}
2749:
1556:be a positive integer. We have
484:{\displaystyle \{\lambda _{i}\}}
28:that encodes the degrees of the
24:, is a function associated to a
2501:Witten, Edward (October 1991).
2682:
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788:{\displaystyle \zeta _{G}(s)}
491:is a set of simple roots and
249:{\displaystyle \zeta _{G}(s)}
43:
2765:. You can help Knowledge by
2476:10.1007/978-3-0348-9112-7_23
1190:{\displaystyle \mathbb {C} }
1112:is absolutely convergent in
582:, the Riemann zeta function.
7:
1197:. Its singularities are in
514:
30:irreducible representations
10:
2833:
2744:
2689:Onodera, Kazuhiro (2014).
816:{\displaystyle r/\kappa }
451:{\displaystyle \Phi ^{+}}
735:Abscissa of convergence
2761:-related article is a
2445:
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2195:
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22:Witten zeta function
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2162:If a is even, then
1889:
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1785:If a is odd, then
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180:In the case where
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