4325:
25:
1585:
2005:
3510:
2709:
1371:
1813:
3251:
can sometimes be confusing. For instance, "strong convergence" for vectors in a normed space sometimes refers to norm-convergence, which is very often distinct from (and stronger than) than SOT-convergence when the normed space in question is
3402:
3122:
3799:
1768:
3695:
1580:{\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).}
2543:
510:
1349:
1670:
2000:{\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),}
1710:
1171:
5707:
860:
is the topology of pointwise convergence. Because the inner product is a continuous function, the SOT is stronger than WOT. The following example shows that this inclusion is strict. Let
2457:
5490:
902:
3178:
2765:
5580:
2798:
2949:
1028:
are precisely those that are continuous in the WOT (actually, the WOT is the weakest operator topology that leaves continuous all strongly continuous linear functionals on the set
2341:
221:
3393:, the weak topology can be very different than the weak operator topology. And while the WOT is formally weaker than the SOT, the SOT is weaker than the operator norm topology.
1262:. Since every finite-rank operator is trace-class, this implies that WOT is weaker than the Ï-weak topology. To see why the claim is true, recall that every finite-rank operator
584:
3739:
2997:
1801:
373:
5617:
3204:
1103:
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3249:
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1123:
1015:
817:
413:
393:
288:
265:
245:
186:
162:
3839:
768:
3505:{\displaystyle \{{\text{WOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}B(X,Y)\},}
4534:
5814:
4868:
4214:
3005:
5513:
6081:
4990:
4050:
3747:
4522:
5809:
3877:
1715:
3599:
6074:
4923:
4040:
2704:{\displaystyle N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},}
2092:. (Because WOT coincides with the Ï-weak topology on bounded sets, multiplication is not jointly continuous in the Ï-weak topology.)
89:
418:
5959:
4895:
4167:
4022:
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1272:
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57:
5172:
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4659:
3894:
3593:
is a formally weaker topology than the SOT, but they nevertheless share some important properties. For example,
2381:
4953:
6191:
5446:
5364:
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4328:
4101:
4035:
3863:
1590:
Extending slightly, one can say that the weak-operator and Ï-weak topologies agree on norm-bounded sets in
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1213:
or Ï-weak topology. The weak-operator and Ï-weak topologies agree on norm-bounded sets in
907:
683:
589:
5260:
2199:
2095:
However, a weaker claim can be made: multiplication is separately continuous in WOT. If a net
6131:
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4244:
4162:
4131:
4111:
4096:
4091:
4086:
2999:. Thus, a topological base for the SOT is given by open neighborhoods of the form
138:
4517:
3923:
6208:
6101:
5996:
5150:
5135:
5061:
4863:
4856:
4823:
4783:
4749:
4741:
4669:
4637:
4502:
4434:
4106:
4060:
4008:
4003:
3974:
3117:{\displaystyle N(T,F,\epsilon ):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon ,x\in F\},}
2534:
3933:
6146:
5720:
5668:
5328:
5194:
4841:
4831:
4450:
4402:
4295:
4147:
3948:
2149:
We can extend the definitions of SOT and WOT to the more general setting where
1024:
on the set of bounded operators on a
Hilbert space that are continuous in the
6319:
6186:
6169:
6126:
5889:
5861:
5725:
5338:
5292:
5227:
5078:
5073:
5066:
4687:
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4593:
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4385:
4300:
4224:
3953:
3938:
3928:
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3288:
142:
5237:
5232:
4692:
4682:
4555:
4545:
4390:
4370:
4290:
3943:
3913:
1065:
of operators in the WOT is the same as the closure of that set in the SOT.
3794:{\displaystyle {\overline {S}}^{\text{SOT}}={\overline {S}}^{\text{WOT}},}
3515:
and these inclusions may or may not be strict depending on the choices of
6121:
6097:
6011:
5526:
5442:
5348:
5333:
5313:
5287:
5252:
4803:
4766:
4439:
4219:
4209:
4116:
3918:
1190:
2861:
is a locally convex topological vector space when endowed with the WOT.
2060:
be the unilateral shift. Appealing to Cauchy-Schwarz, one has that both
6116:
5282:
5263: ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H
5247:
5088:
4836:
4598:
4152:
3984:
3208:
2132:
2037:, as an immediate consequence of its definition, is continuous in WOT.
1062:
4339:
3804:
in other words, SOT-closure and WOT-closure coincide for convex sets.
1763:{\displaystyle \sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,}
6288:
6174:
6141:
5358:
4603:
4567:
3690:{\displaystyle (B(X,Y),{\text{SOT}})^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}})^{*}.}
24:
5624:
5508:
5434:
5394:
5297:
5120:
134:
5830:
5429:
4512:
3311:
is the coarsest topology that makes the linear functionals in
937:
of right shifts. An application of Cauchy-Schwarz shows that
505:{\displaystyle |y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}}
754:
1344:{\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.}
3885:
2040:
Multiplication is not jointly continuous in WOT: again let
2017:
Therefore every norm-bounded set is compact in WOT, by the
294:
of the following type: choose a finite number of vectors
3216:
The different terminology for the various topologies on
1665:{\displaystyle S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},}
6096:
5749:
5675:
5637:
5598:
5546:
5449:
5400:
3840:
Topologies on the set of operators on a
Hilbert space
3750:
3706:
3602:
3564:
3541:
3521:
3405:
3379:
3344:
3317:
3297:
3258:
3222:
3186:
3133:
3008:
2957:
2909:
2874:
2832:
2806:
2773:
2720:
2546:
2504:
2469:
2384:
2349:
2303:
2260:
2234:
2202:
2196:
is the space of bounded linear operators of the form
2167:
2078:
2046:
1816:
1776:
1718:
1681:
1607:
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1078:
1034:
1003:
976:
943:
910:
866:
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805:
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725:
686:
660:
627:
592:
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401:
381:
354:
327:
300:
276:
253:
233:
194:
174:
150:
2459:. The resulting family of seminorms generates the
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
5777:
5701:
5650:
5611:
5574:
5484:
5418:
4215:Spectral theory of ordinary differential equations
3793:
3733:
3689:
3585:
3547:
3527:
3504:
3385:
3365:
3330:
3303:
3279:
3243:
3198:
3172:
3116:
2991:
2943:
2895:
2853:
2818:
2792:
2759:
2703:
2525:
2490:
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2370:
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2286:
2246:
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2188:
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2052:
1999:
1795:
1762:
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1664:
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1165:
1117:
1097:
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929:
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672:
646:
613:
578:
530:
504:
407:
387:
367:
340:
313:
282:
259:
239:
215:
180:
156:
6317:
1705:{\displaystyle \sum \nolimits _{i}\lambda _{i}}
1166:{\displaystyle T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0}
5702:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
3209:Relationships between different topologies on
1176:
6082:
5846:
5810:Mathematical formulation of quantum mechanics
4355:
3871:
1598:): Every trace-class operator is of the form
3496:
3470:
3464:
3438:
3432:
3406:
3108:
3087:
3066:
3036:
2986:
2977:
2965:
2958:
2917:
2910:
2392:
2385:
2311:
2304:
1742:
1729:
1201:), and it generates the w*-topology on
1092:
1079:
924:
911:
210:
195:
3396:In general, the following inclusions hold:
2452:{\displaystyle \|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|}
822:
799:, the bounded operators on a Hilbert space
6089:
6075:
5853:
5839:
4362:
4348:
3878:
3864:
1061:). Because of this fact, the closure of a
1057:of bounded operators on the Hilbert space
5685:
5485:{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
5475:
897:{\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}
887:
109:Learn how and when to remove this message
4168:Group algebra of a locally compact group
3173:{\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}
2903:is generated by the family of seminorms
2760:{\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}
767:The WOT is the weakest among all common
415:lies in the neighborhood if and only if
5575:{\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}
4369:
3823:Combinatorial Set Theory of C*-algebras
2793:{\displaystyle \Lambda \subseteq Y^{*}}
6318:
5815:Ordinary Differential Equations (ODEs)
4929:BanachâSteinhaus (Uniform boundedness)
2944:{\displaystyle \|\cdot \|_{x},x\in X,}
755:Relationship with other topologies on
6070:
5834:
4343:
3859:
2336:{\displaystyle \|\cdot \|_{x,y^{*}}}
216:{\displaystyle \langle Tx,y\rangle }
47:adding citations to reliable sources
18:
6152:Topologies on spaces of linear maps
2024:
1683:
579:{\displaystyle T_{i}\subseteq B(H)}
13:
5860:
5643:
5604:
5566:
5410:
2774:
2690:
2565:
1754:
586:of bounded operators converges to
14:
6342:
5977:Compact operator on Hilbert space
5307:Subsets / set operations
5084:Differentiation in Fréchet spaces
3734:{\displaystyle S\subseteq B(X,Y)}
2072:is the identity operator for all
4324:
4323:
4250:Topological quantum field theory
3475:operator-norm-open sets in
2992:{\displaystyle \|T\|_{x}=\|Tx\|}
1796:{\displaystyle T_{\alpha }\to T}
368:{\displaystyle \varepsilon _{i}}
23:
16:Weak topology on function spaces
5612:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
3199:{\displaystyle \epsilon >0.}
2010:by invoking, for instance, the
1098:{\displaystyle \{T_{\alpha }\}}
375:indexed by the same finite set
34:needs additional citations for
5772:
5753:
5569:
5563:
5479:
5471:
5413:
5407:
5001:Lomonosov's invariant subspace
4924:BanachâSchauder (open mapping)
3814:
3728:
3716:
3675:
3663:
3651:
3645:
3633:
3621:
3609:
3603:
3580:
3568:
3493:
3481:
3461:
3449:
3429:
3417:
3360:
3348:
3274:
3262:
3238:
3226:
3155:
3143:
3081:
3069:
3060:
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3030:
3012:
2890:
2878:
2848:
2836:
2819:{\displaystyle \epsilon >0}
2742:
2730:
2648:
2642:
2630:
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2606:
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2550:
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2353:
2287:{\displaystyle y^{*}\in Y^{*}}
2212:
2183:
2171:
1991:
1982:
1913:
1803:in WOT. For every trace-class
1787:
1571:
1562:
1482:
1157:
1044:
1038:
954:
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573:
567:
485:
481:
478:
465:
456:
443:
437:
423:
348:, and positive real constants
1:
4046:Uniform boundedness principle
3807:
2012:dominated convergence theorem
4886:Singular value decomposition
3777:
3757:
2498:. Equivalently, the WOT on
270:Explicitly, for an operator
7:
6331:Topology of function spaces
5651:{\displaystyle L^{\infty }}
5419:{\displaystyle ba(\Sigma )}
5288:Radially convex/Star-shaped
3851:Weak-star operator topology
3833:
2228:. In this case, each pair
2068:converges to 0 in WOT. But
1720:
1211:weak-star operator topology
1177:Weak-star operator topology
10:
6347:
5946:Hilbert projection theorem
5778:{\displaystyle W(X,L^{p})}
4189:Invariant subspace problem
2800:is also a finite set, and
963:{\displaystyle T^{n}\to 0}
904:and consider the sequence
647:{\displaystyle y\in H^{*}}
6326:Topological vector spaces
6297:
6276:
6268:Transpose of a linear map
6260:
6239:
6160:
6109:
6025:
5969:
5938:
5925:CauchyâSchwarz inequality
5912:
5868:
5792:
5377:
5324:Algebraic interior (core)
5306:
5215:
5049:
4939:CauchyâSchwarz inequality
4894:
4822:
4668:
4582:Function space Topologies
4581:
4495:
4378:
4319:
4278:
4202:
4181:
4140:
4079:
4021:
3967:
3909:
3902:
3847: â Mathematical term
3338:continuous; when we take
930:{\displaystyle \{T^{n}\}}
712:{\displaystyle y(T_{i}x)}
614:{\displaystyle T\in B(H)}
321:, continuous functionals
4158:Spectrum of a C*-algebra
2866:strong operator topology
2535:basic open neighborhoods
2533:is formed by taking for
2221:{\displaystyle T:X\to Y}
1026:strong operator topology
829:strong operator topology
823:Strong operator topology
58:"Weak operator topology"
4255:Noncommutative geometry
2537:those sets of the form
5779:
5703:
5652:
5613:
5576:
5486:
5420:
4589:BanachâMazur compactum
4379:Types of Banach spaces
4311:TomitaâTakesaki theory
4286:Approximation property
4230:Calculus of variations
3795:
3735:
3691:
3587:
3586:{\displaystyle B(X,Y)}
3549:
3529:
3506:
3443:SOT-open sets in
3411:WOT-open sets in
3387:
3367:
3366:{\displaystyle B(X,Y)}
3332:
3305:
3281:
3280:{\displaystyle B(X,Y)}
3245:
3244:{\displaystyle B(X,Y)}
3200:
3174:
3118:
2993:
2945:
2897:
2896:{\displaystyle B(X,Y)}
2855:
2854:{\displaystyle B(X,Y)}
2820:
2794:
2761:
2705:
2527:
2526:{\displaystyle B(X,Y)}
2492:
2491:{\displaystyle B(X,Y)}
2461:weak operator topology
2453:
2372:
2371:{\displaystyle B(X,Y)}
2337:
2288:
2248:
2247:{\displaystyle x\in X}
2222:
2190:
2189:{\displaystyle B(X,Y)}
2086:
2054:
2029:The adjoint operation
2019:BanachâAlaoglu theorem
2001:
1797:
1764:
1706:
1666:
1581:
1505:
1426:
1345:
1302:
1243:in WOT if and only Tr(
1167:
1125:in SOT if and only if
1119:
1099:
1051:
1011:
991:
964:
931:
898:
854:
813:
792:
745:
713:
674:
673:{\displaystyle x\in H}
648:
615:
580:
532:
531:{\displaystyle i\in I}
506:
409:
389:
369:
342:
315:
284:
267:in the Hilbert space.
261:
241:
217:
188:to the complex number
182:
158:
127:weak operator topology
5956:Polarization identity
5899:Orthogonal complement
5805:Finite element method
5800:Differential operator
5780:
5704:
5653:
5614:
5577:
5487:
5421:
5261:Convex series related
5057:Abstract Wiener space
4984:hyperplane separation
4539:Minkowski functionals
4423:Polarization identity
4306:BanachâMazur distance
4269:Generalized functions
3796:
3736:
3692:
3588:
3550:
3530:
3507:
3388:
3368:
3333:
3331:{\displaystyle X^{*}}
3306:
3282:
3246:
3201:
3180:is a finite set, and
3175:
3119:
2994:
2946:
2898:
2856:
2821:
2795:
2762:
2706:
2528:
2493:
2454:
2373:
2338:
2289:
2249:
2223:
2191:
2087:
2055:
2002:
1798:
1765:
1707:
1667:
1582:
1485:
1406:
1346:
1282:
1168:
1120:
1100:
1070:polarization identity
1052:
1012:
997:does not converge to
992:
990:{\displaystyle T^{n}}
965:
932:
899:
855:
814:
793:
746:
744:{\displaystyle y(Tx)}
714:
675:
649:
616:
581:
533:
507:
410:
390:
370:
343:
341:{\displaystyle y_{i}}
316:
314:{\displaystyle x_{i}}
292:base of neighborhoods
285:
262:
242:
218:
183:
159:
5930:Riesz representation
5885:L-semi-inner product
5747:
5673:
5635:
5596:
5544:
5447:
5398:
5387:Absolute continuity
5041:Schauder fixed-point
5031:Riesz representation
4991:Kakutani fixed-point
4959:Freudenthal spectral
4445:L-semi-inner product
4051:Kakutani fixed-point
4036:Riesz representation
3748:
3704:
3600:
3562:
3539:
3519:
3403:
3377:
3342:
3315:
3295:
3256:
3220:
3184:
3131:
3006:
2955:
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2872:
2830:
2804:
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2718:
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2301:
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2232:
2200:
2165:
2076:
2044:
1814:
1774:
1716:
1679:
1605:
1372:
1273:
1257:finite-rank operator
1129:
1109:
1076:
1068:It follows from the
1050:{\displaystyle B(H)}
1032:
1001:
974:
970:in WOT. But clearly
941:
908:
864:
853:{\displaystyle B(H)}
835:
803:
791:{\displaystyle B(H)}
773:
723:
684:
658:
625:
590:
548:
516:
419:
399:
379:
352:
325:
298:
274:
251:
231:
192:
172:
168:sending an operator
148:
129:, often abbreviated
43:improve this article
6305:Biorthogonal system
6137:Operator topologies
5951:Parseval's identity
5920:Bessel's inequality
5470:
5208:measurable function
5158:Functional calculus
5021:Parseval's identity
4934:Bessel's inequality
4881:Polar decomposition
4660:Uniform convergence
4418:Inner product space
4235:Functional calculus
4194:Mahler's conjecture
4173:Von Neumann algebra
3887:Functional analysis
1950:
1882:
1712:converges. Suppose
1658:
1530:
1451:
1337:
1146:
123:functional analysis
5820:Validated numerics
5775:
5731:Sobolev inequality
5699:
5648:
5609:
5572:
5501:Bounded variation
5482:
5450:
5435:Banach coordinate
5416:
5354:Minkowski addition
5016:M. Riesz extension
4496:Banach spaces are:
4260:Riemann hypothesis
3959:Topological vector
3791:
3731:
3687:
3583:
3545:
3525:
3502:
3383:
3363:
3328:
3301:
3291:on a normed space
3277:
3241:
3196:
3170:
3114:
2989:
2941:
2893:
2851:
2816:
2790:
2757:
2701:
2523:
2488:
2449:
2368:
2333:
2284:
2244:
2218:
2186:
2082:
2050:
1997:
1936:
1925:
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1857:
1793:
1760:
1702:
1662:
1644:
1623:
1577:
1516:
1437:
1341:
1323:
1251:) converges to Tr(
1163:
1132:
1115:
1095:
1047:
1022:linear functionals
1007:
987:
960:
927:
894:
850:
809:
788:
741:
709:
670:
644:
621:in WOT if for all
611:
576:
528:
502:
405:
385:
365:
338:
311:
280:
257:
237:
213:
178:
154:
6313:
6312:
6202:in Hilbert spaces
6064:
6063:
6007:Sesquilinear form
5960:Parallelogram law
5904:Orthonormal basis
5828:
5827:
5540:MorreyâCampanato
5522:compact Hausdorff
5369:Relative interior
5223:Absolutely convex
5190:Projection-valued
4799:Strictly singular
4725:on Hilbert spaces
4486:of Hilbert spaces
4337:
4336:
4240:Integral operator
4017:
4016:
3785:
3780:
3765:
3760:
3700:Consequently, if
3672:
3630:
3548:{\displaystyle Y}
3528:{\displaystyle X}
3476:
3444:
3412:
3386:{\displaystyle X}
3304:{\displaystyle X}
2767:is a finite set,
2145:are normed spaces
2085:{\displaystyle n}
2053:{\displaystyle T}
1980:
1916:
1848:
1820:
1675:where the series
1614:
1560:
1378:
1118:{\displaystyle 0}
1010:{\displaystyle 0}
812:{\displaystyle H}
408:{\displaystyle S}
388:{\displaystyle I}
283:{\displaystyle T}
260:{\displaystyle y}
240:{\displaystyle x}
181:{\displaystyle T}
157:{\displaystyle H}
139:bounded operators
133:, is the weakest
119:
118:
111:
93:
6338:
6284:Saturated family
6182:Ultraweak/Weak-*
6091:
6084:
6077:
6068:
6067:
5894:Prehilbert space
5855:
5848:
5841:
5832:
5831:
5784:
5782:
5781:
5776:
5771:
5770:
5738:TriebelâLizorkin
5708:
5706:
5705:
5700:
5698:
5694:
5693:
5688:
5657:
5655:
5654:
5649:
5647:
5646:
5618:
5616:
5615:
5610:
5608:
5607:
5581:
5579:
5578:
5573:
5562:
5561:
5491:
5489:
5488:
5483:
5478:
5469:
5464:
5425:
5423:
5422:
5417:
5278:
5256:
5238:Balanced/Circled
5036:Robinson-Ursescu
4954:EberleinâĆ mulian
4874:Spectral theorem
4670:Linear operators
4467:Uniformly smooth
4364:
4357:
4350:
4341:
4340:
4327:
4326:
4245:Jones polynomial
4163:Operator algebra
3907:
3906:
3880:
3873:
3866:
3857:
3856:
3827:
3818:
3800:
3798:
3797:
3792:
3787:
3786:
3783:
3781:
3773:
3767:
3766:
3763:
3761:
3753:
3740:
3738:
3737:
3732:
3696:
3694:
3693:
3688:
3683:
3682:
3673:
3670:
3641:
3640:
3631:
3628:
3592:
3590:
3589:
3584:
3554:
3552:
3551:
3546:
3534:
3532:
3531:
3526:
3511:
3509:
3508:
3503:
3477:
3474:
3445:
3442:
3413:
3410:
3392:
3390:
3389:
3384:
3372:
3370:
3369:
3364:
3337:
3335:
3334:
3329:
3327:
3326:
3310:
3308:
3307:
3302:
3286:
3284:
3283:
3278:
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3247:
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3205:
3203:
3202:
3197:
3179:
3177:
3176:
3171:
3127:where as before
3123:
3121:
3120:
3115:
2998:
2996:
2995:
2990:
2973:
2972:
2950:
2948:
2947:
2942:
2925:
2924:
2902:
2900:
2899:
2894:
2860:
2858:
2857:
2852:
2825:
2823:
2822:
2817:
2799:
2797:
2796:
2791:
2789:
2788:
2766:
2764:
2763:
2758:
2710:
2708:
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