4048:
2398:
3801:
2143:
1504:
3617:
4043:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}
3051:
1006:
1909:
3182:
1123:
354:
4455:
1335:
2348:
166:
3479:
1303:
1226:
461:
2881:
2743:
847:
4229:
3062:
4328:
1011:
218:
634:
4333:
2816:
3806:
2627:
3765:
3472:
1722:
2264:
2138:{\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}
50:
1231:
1016:
1128:
1868:
2636:
2517:
3402:
1793:
2476:
515:
1499:{\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
838:
770:
702:
4078:
3665:
1579:
1904:
359:
2548:. In two dimensions, volume is just area, and a volume element gives a way to determine the area of parts of the surface. Thus a volume element is an expression of the form
2546:
2236:
3229:
4234:
3321:
3275:
3694:
3796:
3769:
Given the above construction, it should now be straightforward to understand how the volume element is invariant under an orientation-preserving change of coordinates.
2259:
2872:
3612:{\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}
2371:
2207:
1641:
1606:
1330:
193:
4470:
4052:
Thus, in either coordinate system, the volume element takes the same expression: the expression of the volume element is invariant under a change of coordinates.
3046:{\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}
582:
213:
1001:{\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}
2754:
2551:
3703:
3407:
1646:
1581:
To find the volume element of the subspace, it is useful to know the fact from linear algebra that the volume of the parallelepiped spanned by the
3177:{\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)}
4055:
Note that there was nothing particular to two dimensions in the above presentation; the above trivially generalizes to arbitrary dimensions.
533:
1118:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}
4465:
1798:
349:{\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}
2481:
4450:{\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}
4516:
3622:
1535:
2343:{\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
2212:
3199:
3326:
4563:
841:
1733:
2446:
466:
161:{\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}
520:
The notion of a volume element is not limited to three dimensions: in two dimensions it is often known as the
1298:{\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}
44:
775:
707:
639:
1221:{\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }
2431:
A simple example of a volume element can be explored by considering a two-dimensional surface embedded in
2416:
456:{\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}
40:
3186:
For a regular surface, this determinant is non-vanishing; equivalently, the
Jacobian matrix has rank 2.
4558:
2738:{\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}
1877:
2522:
1906:, then the volume of that parallelepiped is the square root of the determinant of the Grammian matrix
1305:
This can be seen as a special case of the fact that differential forms transform through a pullback
3280:
3234:
3670:
4553:
548:
3775:
2747:
Here we will find the volume element on the surface that defines area in the usual sense. The
2244:
2154:
579:, the volume element is given by the product of the differentials of the Cartesian coordinates
32:
2841:
4224:{\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}
4072:
564:
537:
2353:
2177:
4471:
Spherical coordinate system § Integration and differentiation in spherical coordinates
2831:
1619:
1584:
1529:
1308:
529:
171:
8:
2406:
2163:
528:. Under changes of coordinates, the volume element changes by the absolute value of the
4323:{\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}
2239:
198:
4512:
556:
4507:, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) , vol. 10, Berlin, New York:
4480:
2411:
525:
4508:
4475:
2748:
2436:
1522:
1514:
576:
3194:
1613:
560:
4547:
4485:
2378:
545:
4490:
629:{\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}
3056:
2374:
1609:
552:
20:
2171:
2811:{\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}
3772:
In two dimensions, the volume is just the area. The area of a subset
559:. On a non-orientable manifold, the volume element is typically the
2622:{\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}
541:
28:
1008:
For example, in spherical coordinates (mathematical convention)
3760:{\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}
3467:{\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}
1717:{\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}
536:). This fact allows volume elements to be defined as a kind of
2145:
This therefore defines the volume form in the linear subspace.
36:
4466:
Cylindrical coordinate system § Line and volume elements
3404:. The Jacobian matrix of this transformation is given by
4249:
3810:
1508:
47:. Thus a volume element is an expression of the form
4336:
4237:
4081:
3804:
3778:
3706:
3673:
3625:
3482:
3410:
3329:
3283:
3237:
3202:
3065:
2884:
2844:
2757:
2639:
2554:
2525:
2484:
2449:
2356:
2267:
2247:
2215:
2180:
1912:
1880:
1801:
1736:
1649:
1622:
1587:
1538:
1338:
1311:
1234:
1131:
1014:
850:
778:
710:
642:
585:
469:
362:
221:
201:
174:
53:
570:
2170:, the volume element is a volume form equal to the
195:are the coordinates, so that the volume of any set
4449:
4322:
4223:
4042:
3790:
3759:
3688:
3659:
3611:
3466:
3396:
3315:
3269:
3223:
3176:
3045:
2866:
2810:
2737:
2621:
2540:
2511:
2470:
2365:
2342:
2253:
2238:Equivalently, the volume element is precisely the
2230:
2201:
2137:
1898:
1862:
1787:
1716:
1635:
1600:
1573:
1498:
1324:
1297:
1220:
1117:
1000:
832:
764:
696:
628:
509:
455:
348:
207:
187:
160:
563:of a (locally defined) volume form: it defines a
4545:
4345:
3984:
3919:
3906:
3844:
3737:
3725:
3707:
3152:
3066:
2439:. Such a volume element is sometimes called an
2357:
2287:
2021:
1915:
1863:{\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}
1652:
1412:
2633:lying on the surface by computing the integral
1874:, if we form a small parallelepiped with sides
2512:{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
2148:
4063:For example, consider the sphere with radius
2629:that allows one to compute the area of a set
524:, and in this setting it is useful for doing
3397:{\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}
2387:
636:In different coordinate systems of the form
2405:It has been suggested that this section be
551:, a volume element typically arises from a
4353:
4017:
4001:
3946:
3930:
3868:
3852:
2080:
1788:{\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}
1355:
4413:
2716:
2700:
2603:
2587:
2528:
2499:
2471:{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}
2458:
2300:
2116:
2112:
2096:
1730:in the subspace can be given coordinates
1283:
1274:
1265:
979:
963:
947:
614:
605:
532:of the coordinate transformation (by the
510:{\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}
437:
421:
405:
327:
311:
295:
142:
126:
110:
3189:Now consider a change of coordinates on
844:(determinant) of the coordinate change:
3700:coordinate system. The determinant is
4546:
833:{\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}
765:{\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}
697:{\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}
356:For example, in spherical coordinates
39:in various coordinate systems such as
4502:
2409:out into another article titled
3660:{\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}
2838:-dimensional space induces a metric
2519:thus defining a surface embedded in
2391:
2830:running from 1 to 2. The Euclidean
1574:{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}
1528:that is spanned by a collection of
1509:Volume element of a linear subspace
13:
4430:
4415:
4370:
4355:
4071:. This can be parametrized using
4058:
4019:
4003:
3948:
3932:
3870:
3854:
3593:
3578:
3559:
3544:
3501:
3486:
3445:
3430:
3122:
3114:
3092:
3084:
3024:
3009:
2990:
2975:
2792:
2777:
2718:
2702:
2605:
2589:
2384:written in the coordinate system.
2326:
2302:
2118:
2098:
2082:
1882:
1482:
1458:
1437:
1422:
1285:
1276:
1267:
1236:
1165:
1139:
981:
965:
949:
895:
869:
852:
616:
607:
598:
587:
439:
423:
407:
364:
329:
313:
297:
144:
128:
112:
55:
14:
4575:
1899:{\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}
571:Volume element in Euclidean space
3619:and so the metric transforms as
3476:In the new coordinates, we have
2541:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2396:
2231:{\displaystyle \omega =\star 1.}
3224:{\displaystyle f\colon U\to U,}
2174:of the unit constant function,
4527:
4215:
4117:
4111:
4085:
3993:
3822:
3816:
3716:
3696:is the pullback metric in the
3680:
3632:
3391:
3365:
3356:
3330:
3310:
3284:
3264:
3238:
3212:
3171:
3155:
2697:
2671:
2652:
2646:
2584:
2558:
2494:
2190:
2184:
2051:
2024:
1982:
1956:
1950:
1924:
1782:
1737:
1682:
1655:
1409:
1397:
1391:
1349:
1186:
1168:
1160:
1142:
937:
898:
890:
872:
827:
788:
759:
720:
691:
652:
292:
253:
234:
228:
107:
68:
1:
4537:. Addison Wesley, 2004, p. 90
4496:
3316:{\displaystyle (v_{1},v_{2})}
3270:{\displaystyle (u_{1},u_{2})}
16:Concept in integration theory
3689:{\displaystyle {\tilde {g}}}
1125:the Jacobian determinant is
7:
4459:
2149:Volume element of manifolds
534:change of variables formula
10:
4580:
4067:centered at the origin in
3791:{\displaystyle B\subset U}
3059:of the metric is given by
2152:
1608:is the square root of the
4503:Besse, Arthur L. (1987),
3798:is given by the integral
2388:Area element of a surface
2254:{\displaystyle \epsilon }
4330:and the area element is
3231:so that the coordinates
2867:{\displaystyle g=J^{T}J}
2878:, with matrix elements
2478:and a mapping function
842:changes by the Jacobian
549:differentiable manifold
45:cylindrical coordinates
4564:Multivariable calculus
4535:Spacetime and Geometry
4451:
4324:
4225:
4044:
3792:
3761:
3690:
3661:
3613:
3540:
3468:
3398:
3317:
3277:are given in terms of
3271:
3225:
3178:
3047:
2971:
2921:
2868:
2812:
2739:
2623:
2542:
2513:
2472:
2367:
2366:{\displaystyle \det g}
2344:
2255:
2232:
2203:
2202:{\displaystyle f(x)=1}
2155:Riemannian volume form
2139:
1900:
1864:
1789:
1718:
1637:
1602:
1575:
1500:
1326:
1299:
1222:
1119:
1002:
834:
766:
698:
630:
511:
457:
350:
209:
189:
162:
4452:
4325:
4226:
4073:spherical coordinates
4045:
3793:
3762:
3691:
3662:
3614:
3520:
3469:
3399:
3318:
3272:
3226:
3179:
3048:
2951:
2901:
2869:
2813:
2740:
2624:
2543:
2514:
2473:
2443:. Consider a subset
2368:
2345:
2256:
2233:
2204:
2140:
1901:
1865:
1790:
1719:
1638:
1636:{\displaystyle X_{i}}
1603:
1601:{\displaystyle X_{i}}
1576:
1501:
1327:
1325:{\displaystyle F^{*}}
1300:
1223:
1120:
1003:
840:, the volume element
835:
767:
699:
631:
512:
458:
351:
210:
190:
188:{\displaystyle u_{i}}
163:
41:spherical coordinates
27:provides a means for
4511:, pp. xii+510,
4334:
4235:
4079:
3802:
3776:
3704:
3671:
3623:
3480:
3408:
3327:
3281:
3235:
3200:
3063:
2882:
2842:
2755:
2637:
2552:
2523:
2482:
2447:
2354:
2265:
2245:
2213:
2178:
1910:
1878:
1799:
1734:
1647:
1620:
1585:
1536:
1530:linearly independent
1336:
1309:
1232:
1129:
1012:
848:
776:
708:
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