4653:
are tolerance factorable, but not strongly tolerance factorable. Actually, every subvariety of the variety of lattices is tolerance factorable, and the only strongly tolerance factorable subvariety other than itself is the trivial subvariety (consisting of one-element lattices). This is because every
3164:
1854:
4533:
4439:
4343:
3947:
4621:
1710:
946:
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2718:
1292:
1257:
772:
3667:
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1629:
2930:
1925:
4173:
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2026:
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1953:
1547:
1406:
1154:
1046:
662:
486:
186:
162:
142:
5138:
Gerasin, S. N., Shlyakhov, V. V., and
Yakovlev, S. V. 2008. Set coverings and tolerance relations. Cybernetics and Sys. Anal. 44, 3 (May 2008), 333–340.
58:
with empty family of operations, tolerance relations are simply reflexive symmetric relations. A set that possesses a tolerance relation can be described as a
3293:
is that for a tolerance relation the uniqueness condition may fail, and even if it does not, the quotient algebra may not inherit the identities defining the
4445:
3839:
4351:
4260:
3904:
4544:
1634:
855:
2935:
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4715:
3610:
1193:
1578:
2873:
1859:
4778:(with a preface by J.Larmor ed.). New York: 3 East 14th Street: The Walter Scott Publishing Co., Ltd. pp.
3286:, the uniqueness condition always holds true and the quotient algebra defined here coincides with the usual one.
4126:
2632:
369:
337:
305:
273:
237:
4737:
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3461:
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2433:
1324:
3330:
3294:
2549:
1163:
3329:
belongs to, so that the quotient algebra may fail to be a member of the variety again. Therefore, for a
1435:
5165:
3159:{\displaystyle \{f(c_{1},\dots ,c_{n})\colon c_{i}\in C_{i}\}\subseteq (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}
1849:{\displaystyle \{f(c_{1},\dots ,c_{n})\colon c_{i}\in C_{i}\}\subseteq (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}
4218:
66:/indistinguishability phenomena. The importance of those for mathematics had been first recognized by
4051:
2668:
777:
193:
4645:, the quotient lattices need not be distributive or modular again. In other words, the varieties of
3865:
3335:
2386:
2338:
1505:
1411:
1300:
1115:
4680:
2331:
and satisfies all the three conditions in the cover definition. (The last condition is shown using
2065:
1365:
817:
5185:
5170:
4779:
3811:
2280:
2242:
2186:
2149:
2031:
4812:
Chajda, Ivan; Radeleczki, Sándor (2014). "Notes on tolerance factorable classes of algebras".
2517:
2117:
609:
4089:
4025:
3958:
2091:
1473:
583:
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667:
525:
5113:
5056:
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4963:
4906:
4841:
4646:
4634:
4178:
3768:
3750:
3730:
3578:
3558:
3429:
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3300:
3265:
3233:
2787:
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2218:
1999:
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451:
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5021:
4971:
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4857:
8:
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4675:
4642:
3738:
3718:
3714:
3710:
3691:
3673:
Every strongly tolerance factorable variety is tolerance factorable, but not vice versa.
3357:
3290:
3283:
2781:
2737:
2733:
2721:
2236:
1994:
1957:
1075:
1059:
1054:
641:
411:
267:
197:
189:
188:
that satisfies certain conditions. The two definitions are equivalent, since for a fixed
83:
55:
47:
43:
32:
4845:
4787:
4754:
4662:
to a sublattice of the quotient lattice over a tolerance relation of a sublattice of a
4198:
3845:
3791:
3742:
3722:
3698:
3695:
2827:
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2608:
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1938:
1932:
1532:
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1031:
647:
551:
493:
471:
171:
147:
127:
121:
118:
39:
36:
4528:{\displaystyle \{a\wedge _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge _{L/{\sim }}B}
5101:
5091:
5044:
5001:
4951:
4946:
4929:
4894:
4829:
4758:
4732:
4711:
3687:
2274:
232:
51:
20:
4849:
67:
42:
that is compatible with all operations of the structure. Thus a tolerance is like a
5139:
5117:
5083:
5060:
5035:
Grätzer, George; Wenzel, G. H. (1990). "Notes on tolerance relations of lattices".
5017:
4967:
4941:
4910:
4884:
4853:
4821:
4746:
2676:
2672:
2360:
2308:
1110:
165:
63:
4434:{\displaystyle \{a\vee _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee _{L/{\sim }}B}
5109:
5052:
5009:
4959:
4902:
4837:
4655:
4650:
4638:
4627:
4121:
4117:
3786:
3754:
3734:
2725:
2626:
2428:
2332:
2059:
1990:
446:
5149:
4663:
2177:
999:
24:
5143:
5087:
4825:
5159:
5048:
5005:
4955:
4898:
4889:
4872:
4833:
3701:
and it is trivial that the variety of sets is strongly tolerance factorable.
3746:
3726:
2270:
4683:—a generalization to formalize indifference in social choice theory
3694:
with no operations at all. In this case, tolerance relations are simply
4750:
4659:
4338:{\displaystyle A\vee _{L/{\sim }}B,A\wedge _{L/{\sim }}B\in L/{\sim }}
4686:
62:. Tolerance relations provide a convenient general tool for studying
3942:{\displaystyle A=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\downarrow } A}
5105:
4616:{\displaystyle (L/{\sim },\vee _{L/{\sim }},\wedge _{L/{\sim }})}
3458:, the uniqueness condition is true, so that the quotient algebra
1705:{\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})\in {\mathcal {C}}}
5152:, FORMALIZED MATHEMATICS, Vol. 2, No. 1, January–February 1991.
2720:. Therefore, the two definitions are equivalent. A tolerance is
3721:
that are groups when some of their operations are forgot, e.g.
941:{\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})\sim f(b_{1},\dots ,b_{n})}
2743:
3012:{\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})\in A/{\sim }}
2713:{\displaystyle {\mathcal {C}}\mapsto {\sim _{\mathcal {C}}}}
1287:{\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\subseteq C}
1252:{\displaystyle \textstyle C\subseteq \bigcup {\mathcal {S}}}
1955:
satisfies the first two conditions, but not conversely. A
767:{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}\in A}
4641:
over tolerance relations. However, unlike in the case of
1961:
is a tolerance relation that also forms a set partition.
192:, the tolerance relations in the two definitions are in
4992:
Czédli, Gábor (1982). "Factor lattices by tolerances".
4871:
Chajda, Ivan; Niederle, Josef; Zelinka, Bohdan (1976).
3662:{\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })\in {\mathcal {V}}}
1266:
1231:
1217:{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}
4870:
4547:
4448:
4354:
4263:
4221:
4201:
4181:
4129:
4120:
is strongly tolerance factorable. That is, given any
4092:
4054:
4028:
3987:
3961:
3907:
3868:
3848:
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3794:
3771:
3613:
3581:
3561:
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3464:
3432:
3412:
3370:
3338:
3303:
3268:
3236:
3181:
3028:
2938:
2876:
2850:
2830:
2810:
2790:
2754:
2685:
2635:
2611:
2582:
2552:
2520:
2485:
2465:
2436:
2413:
2389:
2369:
2341:
2317:
2283:
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2221:
2189:
2152:
2120:
2094:
2068:
2034:
2002:
1975:
1964:
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1637:
1581:
1555:
1535:
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1476:
1438:
1414:
1394:
1368:
1327:
1303:
1265:
1230:
1196:
1166:
1142:
1118:
1083:
1034:
1007:
954:
858:
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780:
696:
670:
650:
612:
586:
560:
528:
502:
474:
454:
419:
372:
340:
308:
276:
240:
205:
174:
150:
130:
91:
1624:{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}}
4873:"On existence conditions for compatible tolerances"
4807:
4805:
4803:
4615:
4527:
4433:
4337:
4249:
4207:
4187:
4167:
4104:
4078:
4040:
4011:
3973:
3941:
3890:
3854:
3830:
3800:
3777:
3757:are also strongly tolerance factorable trivially.
3661:
3599:
3567:
3547:
3502:
3450:
3418:
3398:
3348:
3321:
3274:
3254:
3219:
3158:
3011:
2924:
2862:
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2659:
2617:
2597:
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2020:
1981:
1947:
1919:
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1704:
1623:
1567:
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1251:
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990:
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844:
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766:
682:
656:
630:
598:
572:
540:
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480:
460:
437:
390:
358:
326:
294:
258:
223:
180:
156:
136:
109:
5157:
4811:
4633:In particular, we can form quotient lattices of
3360:, we may consider the following two conditions.
270:is a tolerance relation, the congruence lattice
4800:
3169:Then this provides a natural definition of the
2925:{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in A/{\sim }}
1920:{\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}
1156:that satisfies the following three conditions.
4733:"Tolerance space theory and some applications"
5034:
4864:
164:. A tolerance relation can also be seen as a
16:Math relation that is reflexive and symmetric
5028:
4493:
4449:
4399:
4355:
3096:
3029:
1786:
1719:
1489:
1477:
1451:
1439:
1344:
1338:
985:
955:
4705:
3952:In particular, the following results hold.
1297:In particular, no two distinct elements of
144:that is compatible with every operation in
4483:
4389:
2744:Quotient algebras over tolerance relations
4945:
4888:
4730:
4710:. American Mathematical Soc. p. 20.
4168:{\displaystyle (L,\vee _{L},\wedge _{L})}
3513:(Strong tolerance factorability) for any
488:that satisfies the following conditions.
4987:
4985:
4983:
4981:
4771:
3607:, the uniqueness condition is true, and
2660:{\displaystyle {\sim }\mapsto A/{\sim }}
391:{\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)}
359:{\displaystyle \operatorname {Cong} (A)}
327:{\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)}
295:{\displaystyle \operatorname {Cong} (A)}
259:{\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)}
5077:
3548:{\displaystyle (A,F)\in {\mathcal {V}}}
3399:{\displaystyle (A,F)\in {\mathcal {V}}}
991:{\displaystyle \{(a,b)\colon a\sim b\}}
5158:
5071:
4991:
4927:
4706:Kearnes, Keith; Kiss, Emil W. (2013).
3717:. In particular, this is true for all
2507:{\displaystyle a\sim _{\mathcal {C}}b}
401:
4978:
4921:
4012:{\displaystyle a\vee b\sim a\wedge b}
3503:{\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })}
3220:{\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })}
1432:, then there is a two-element subset
1058:is a tolerance relation that is also
302:is a subset of the tolerance lattice
2736:. Thus the two characterizations of
2598:{\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}}
2452:{\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}}
1350:{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{D\}}
4930:"Semigroups of tolerance relations"
3737:, etc. Therefore, the varieties of
2569:{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
1321:are comparable. (To see this, take
1183:{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
366:is not necessarily a sublattice of
13:
5132:
3654:
3540:
3391:
3364:(Tolerance factorability) for any
3341:
2703:
2688:
2589:
2561:
2495:
2443:
2392:
2344:
1965:Equivalence of the two definitions
1697:
1616:
1511:
1463:{\displaystyle \{s,t\}\subseteq S}
1417:
1330:
1306:
1272:
1243:
1209:
1199:
1175:
1121:
14:
5197:
4877:Czechoslovak Mathematical Journal
2146:. Using graph theoretical terms,
4731:Sossinsky, Alexey (1986-02-01).
4708:The Shape of Congruence Lattices
4250:{\displaystyle A,B\in L/{\sim }}
3713:, every tolerance relation is a
196:. The tolerance relations on an
46:, except that the assumption of
5037:Acta Scientiarum Mathematicarum
4994:Acta Scientiarum Mathematicarum
4814:Acta Scientiarum Mathematicarum
4079:{\displaystyle a\leq c,d\leq b}
1502:is not contained in any set in
1408:is not contained in any set in
807:{\displaystyle a_{i}\sim b_{i}}
4765:
4724:
4699:
4610:
4548:
4162:
4130:
3929:
3915:
3891:{\displaystyle A\in L/{\sim }}
3646:
3614:
3594:
3582:
3532:
3520:
3497:
3465:
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