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1642:
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1685:
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2115:
Set Theory: An
Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics; V. 76)
882:
1955:
170:
2094:
1920:
28:
independently introduced by
Solovay and Reinhardt. They display a variety of reflection properties.
1717:
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790:
638:
500:
462:
2270:
1997:
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1796:
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1202:
1182:
1162:
1155:
Supercompact cardinals have reflection properties. If a cardinal with some property (say a 3-
678:
382:
315:
175:
63:
1047:
764:
1690:
1488:
1336:
Finding a canonical inner model for supercompact cardinals is one of the major problems of
104:
1316:
1296:
1246:
8:
2158:
1159:) that is witnessed by a structure of limited rank exists above a supercompact cardinal
1816:
1753:
1711:
1710:
Supercompactness has a combinatorial characterization similar to the property of being
1337:
1027:
1007:
826:
618:
406:
275:
152:
129:
109:
2241:, pp.281--282. Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 42 no. 1, 1974.
2164:
2140:
2118:
2089:
2220:
2206:
2154:
2251:
456:
57:
25:
2160:
The Higher
Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings
2264:
2077:
1156:
601:{\displaystyle ^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}
2209:(1971). "On the Role of Supercompact and Extendible Cardinals in Logic".
2132:
613:
147:
2193:
2224:
17:
2254:". Israel Journal of Mathematics, vol 236, iss. 1 (2020), pp.473--500.
1243:
then it holds everywhere because a bijection between the powerset of
2196:", pp.2450--2451. Topology and its Applications, vol. 158 (2011).
2080:
which holds for an inaccessible cardinal iff it is supercompact.
1293:
would be a witness of limited rank for the failure of GCH at
2137:
Set theory, third millennium edition (revised and expanded)
2239:
754:{\displaystyle \{x\in ^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U}
2252:
The super tree property at the successor of a singular
1637:{\displaystyle (M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)}
997:{\displaystyle \{x\in ^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}
2026:
2000:
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1140:{\displaystyle \{x\in ^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}
2065:
2012:
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1235:
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1179:, then a cardinal with that property exists below
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118:
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879:with the additional property that every function
2262:
1680:{\displaystyle \vert M'\vert <\vert M\vert }
1343:The least supercompact cardinal is the least
2131:
2112:
2060:
2027:
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448:{\displaystyle \vert A\vert \geq \kappa }
255:
2153:
2205:
1414:{\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})}
379:Alternatively, an uncountable cardinal
2263:
2066:{\displaystyle \{X\mid f(X)=B\cap X\}}
1750:be the set of all nonempty subsets of
220:{\displaystyle j(\kappa )>\lambda }
1313:so it would also have to exist below
920:{\displaystyle f:^{<\kappa }\to A}
31:
1987:{\displaystyle X\in P_{\kappa }(A)}
13:
2076:Magidor obtained a variant of the
1813:is supercompact iff for every set
1461:
14:
2282:
2100:List of large cardinal properties
1221:generalized continuum hypothesis
1945:{\displaystyle f(X)\subseteq X}
1421:with cardinality of the domain
356:-supercompact for all ordinals
2244:
2231:
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1631:
1576:
1569:, there exists a substructure
1550:
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1370:
1363:such that for every structure
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202:
1:
2212:Israel Journal of Mathematics
2105:
1833:(equivalently every cardinal
1150:
1024:. Here "constant on a set in
2179:
2013:{\displaystyle B\subseteq A}
1478:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}
7:
2250:S. Hachtman, S. Sinapova, "
2083:
1786:{\displaystyle <\kappa }
103:means that there exists an
10:
2287:
2163:(2nd ed.). Springer.
1644:with smaller domain (i.e.
495:, in the following sense.
2095:Strongly compact cardinal
1286:{\displaystyle \nu ^{++}}
2117:. Elsevier Science Ltd.
1263:and a cardinal at least
1219:is supercompact and the
1004:is constant on a set in
787:. A normal measure over
369:{\displaystyle \lambda }
349:{\displaystyle \lambda }
305:{\displaystyle \lambda }
94:{\displaystyle \lambda }
49:{\displaystyle \lambda }
1846:{\displaystyle \alpha }
1806:{\displaystyle \kappa }
1770:which have cardinality
1356:{\displaystyle \kappa }
1236:{\displaystyle \kappa }
1212:{\displaystyle \kappa }
1192:{\displaystyle \kappa }
1172:{\displaystyle \kappa }
688:{\displaystyle \kappa }
533:is defined as follows:
392:{\displaystyle \kappa }
325:{\displaystyle \kappa }
185:{\displaystyle \kappa }
73:{\displaystyle \kappa }
2067:
2014:
1988:
1946:
1911:
1853:), for every function
1847:
1827:
1807:
1787:
1764:
1744:
1701:
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1479:
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1327:
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1173:
1141:
1064:
1063:{\displaystyle a\in A}
1044:" means that there is
1038:
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998:
921:
873:
837:
823:is a fine ultrafilter
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780:{\displaystyle a\in A}
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120:
95:
74:
50:
2113:Drake, F. R. (1974).
2068:
2015:
1994:, then there is some
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1947:
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1745:
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1500:
1498:{\displaystyle \phi }
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666:
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22:supercompact cardinal
2194:Kunen and set theory
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1317:
1306:{\displaystyle \nu }
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1267:
1256:{\displaystyle \nu }
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292:contains all of its
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1740:
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1353:
1338:inner model theory
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1303:
1283:
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1223:(GCH) holds below
1209:
1199:. For example, if
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312:-sequences. Then
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146:into a transitive
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126:from the universe
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2090:Indestructibility
1826:{\displaystyle A}
1763:{\displaystyle A}
1687:) that satisfies
1037:{\displaystyle U}
1017:{\displaystyle U}
836:{\displaystyle U}
628:{\displaystyle U}
416:{\displaystyle A}
336:means that it is
285:{\displaystyle M}
162:{\displaystyle M}
139:{\displaystyle V}
119:{\displaystyle j}
32:Formal definition
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1453:, and for every
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1450:
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1444:
1420:
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1387:
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