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3586:
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2663:{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}
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is an example of a sublinear function (in fact, it is even a linear functional) that is neither positive nor a seminorm; the same is true of this map's negation
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5138:(or vice versa) and moving the closing parenthesis to the right (or left) of an adjacent summand (all other symbols remain fixed and unchanged).
12214:
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9950: – nonnegative-real-valued function on a real or complex vector space that satisfies the triangle inequality and is absolutely homogenous
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12627:
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3974:
1942:
1034:
Every subadditive symmetric function is necessarily nonnegative. A sublinear function on a real vector space is
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10433:
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12641:
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grows slower than any linear function. The two meanings should not be confused: while a Banach functional is
9336:{\displaystyle (0,1)(V-z)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{tx:0<t<1,x\in V-z\}=V-z}
8150:
2306:
11724:
9467:
The concept can be extended to operators that are homogeneous and subadditive. This requires only that the
13228:
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is sometimes used, reflecting that they are most commonly used when applying a general formulation of the
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11872:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
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2438:, any two properties among subadditivity, convexity, and positive homogeneity implies the third.
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1042:. A sublinear function on a real or complex vector space is a seminorm if and only if it is a
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5307:{\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}
4567:
3153:{\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}
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11786:
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Ceccherini-Silberstein, Tullio; Salvatori, Maura; Sava-Huss, Ecaterina (2017-06-29).
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1378:
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12250:
11937:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
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9849:, almost the opposite is true for functions of sublinear growth: every function
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4554:{\displaystyle p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{k\in K}p(x+a\mathbf {z} +bk).}
1377:
under this order. A sublinear function is minimal if and only if it is a real
240:
31:
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13137:
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11903:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
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is complex, then when it is considered as a real vector space) then the map
2025:
is any non-empty collection of sublinear functionals on a real vector space
13184:
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13020:
12914:
12909:
12894:
12873:
12837:
12744:
12564:
12383:
12373:
12280:
12082:
6724:{\displaystyle -p(-x)\leq f(x)\leq p(x)\quad {\text{ for every }}x\in X.}
1094:
215:
97:. Seminorms are themselves abstractions of the more well known notion of
90:
78:
11780:
11109:(positive homogeneity is not needed; the triangle inequality suffices).
5545:
is a real-valued sublinear function on a (real or complex) vector space
12955:
12868:
12832:
12692:
12574:
12316:
12148:
11708:
11706:
11704:
11702:
11700:
8066:
11675:
11673:
11648:
11646:
11644:
11642:
11640:
11610:
11608:
11606:
11604:
11602:
11600:
11598:
11596:
11594:
13107:
12924:
8419:) over the real or complex numbers. Then the open convex subsets of
105:
that it is not required to map non-zero vectors to non-zero values.
11697:
135:, described below, that also goes by the name "sublinear function."
13072:
13067:
13025:
13005:
12975:
12766:
11670:
11637:
11591:
9947:
9468:
8346:
5706:
5315:
1394:
1039:
86:
5729:
if this supremum is always a real number (that is, never equal to
13015:
9975:
6359:{\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}
9438:
11627:
11625:
11623:
11052:{\displaystyle p(x)-p(-x)\leq p(x-(-x))=p(x+x)\leq p(x)+p(x),}
10146:{\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}
9929: – Linear map from a vector space to its field of scalars
9046:{\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}.}
4943:
which yields many more inequalities, including, for instance,
8536:{\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}
101:, where a seminorm has all the defining properties of a norm
89:. Unlike seminorms, a sublinear function does not have to be
3032:
is a sublinear function on a real vector space then the map
12049:
11746:(2nd ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 47–48.
11620:
5180:
is a real-valued sublinear function on a real vector space
3740:{\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}
1651:
1397:, and real linear functional is a sublinear function. The
9920: – Theorem on extension of bounded linear functionals
5074:
in which an expression on one side of a strict inequality
10372:
9590:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}
3973:
is a well-defined real-valued sublinear function on the
120:. The notion of a sublinear function was introduced by
9931:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
9922:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
7809:
is positive then this list may be extended to include:
5096:
can be obtained from the other by replacing the symbol
4124:
is just the usual canonical norm on the quotient space
2138:{\displaystyle q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal {P}}\},}
11685:
11658:
9261:
9131:
8287:{\displaystyle U=\left\{x\in X:p_{U}(x)<1\right\};}
6393:
defined on a subset of a real or complex vector space
5596:
5445:
5251:
4698:
4593:
3539:
3097:
11564:
11551:{\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}
11448:
11408:
11304:
11251:
11169:
11143:
11131:
11115:
11065:
10934:
10905:
10885:
10818:
10717:
10690:
10626:
10525:
10436:
10410:
10384:
10356:
10319:
10266:
10228:
10199:
10179:
10159:
10016:
9987:
9855:
9831:
9802:
9764:
9744:
9715:
9671:
9651:
9603:
9540:
9493:
9444:
9375:
9349:
9220:
9059:
8952:
8917:
8893:
8873:
8843:
8823:
8794:
8746:
8720:
8694:
8668:
8645:
8625:
8595:
8575:
8549:
8445:
8425:
8393:
8355:
8324:
8300:
8227:
8207:
8153:
8131:
8107:
8084:
8049:
8029:
8003:
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7960:
7937:
7917:
7897:
7871:
7818:
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7771:
7751:
7729:
7707:
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7661:
7637:
7611:
7558:
7538:
7518:
7464:
7444:
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7366:
7346:
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7294:
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7115:
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7002:
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6936:
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6808:
6761:
6737:
6654:
6628:
6608:
6588:
6568:
6530:
6507:
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6443:
6423:
6399:
6379:
6285:
6265:
6239:
6216:
6196:
6173:
6153:
6133:
6102:
6082:
6062:
6042:
6022:
5998:
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5806:
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5763:
5735:
5715:
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5102:
5080:
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4101:
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3836:
3785:
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3623:
3594:
3517:
3431:
3397:
3369:
3310:
3237:
3203:
3169:
3072:
3038:
3004:
2933:
2905:
2873:
2844:
2815:
2732:
2712:
2678:
2490:
2456:
2409:
2389:
2361:
2309:
2274:
2268:
is also positively homogeneous (the latter condition
2239:
2197:
2171:
2151:
2079:
2051:
2031:
2007:
1945:
1925:
1905:
1885:
1841:
1815:
1780:
1739:
1703:
1675:
1525:
1496:
1464:
1436:
1406:
1384:
1356:
1317:
1273:
1247:
1213:
1190:
1159:
1123:
1103:
1052:
1011:
964:
927:
892:
855:
820:
770:
744:
707:
642:
598:
572:
522:
491:
465:
415:
350:
307:
273:
248:
223:
198:
173:
149:
63:
12533:
11995:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
9952:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
8067:
Relation to
Minkowski functions and open convex sets
8201:is a continuous non-negative sublinear function on
12379:Spectral theory of ordinary differential equations
11570:
11550:
11435:
11394:
11290:
11237:
11155:
11121:
11101:
11051:
10920:
10891:
10872:
10804:
10696:
10677:
10612:
10511:
10422:
10396:
10362:
10343:
10305:
10252:
10214:
10185:
10165:
10145:
10002:
9885:
9837:
9817:
9788:
9750:
9730:
9701:
9657:
9633:
9589:
9523:{\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }
9522:
9450:
9429:
9361:
9335:
9206:
9113:
9045:
8938:
8899:
8879:
8855:
8829:
8809:
8776:
8732:
8706:
8680:
8654:
8631:
8604:
8581:
8561:
8535:
8431:
8399:
8364:
8337:
8306:
8286:
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8193:
8140:
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8055:
8035:
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7757:
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7713:
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7643:
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7597:
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7524:
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7430:
7395:
7375:
7352:
7332:
7312:
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7165:
7145:
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7101:
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7008:
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6968:
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6922:
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6814:
6794:
6743:
6723:
6640:
6614:
6594:
6574:
6550:
6516:
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6473:
6429:
6405:
6385:
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6271:
6251:
6225:
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6182:
6159:
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6068:
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6004:
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5931:
5900:
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5812:
5789:
5769:
5741:
5721:
5697:
5557:
5537:
5500:
5406:
5376:
5355:
5330:
5306:
5212:
5192:
5172:
5130:
5108:
5088:
5066:
4935:
4753:
4650:
4579:
4553:
4444:
4416:
4391:{\displaystyle p(x)+ac~<~\inf _{k\in K}p(x+ak)}
4390:
4306:
4274:
4248:
4222:
4202:
4155:
4116:
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4067:
4004:
3965:
3933:
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3842:
3822:
3771:
3739:
3629:
3609:
3580:
3501:
3418:
3375:
3355:
3297:
3224:
3189:
3152:
3058:
3024:
2990:
2920:
2891:
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2830:
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2477:
2430:
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2375:
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2137:
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2037:
2017:
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1931:
1911:
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1689:
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1511:
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1422:
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1229:
1199:
1174:
1145:
1109:
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1026:
997:
942:
913:
870:
841:
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750:
728:
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613:
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558:
506:
477:
451:
366:
313:
293:
259:
231:
206:
184:
155:
69:
11898:
11712:
11679:
11652:
11614:
11395:{\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}
8098:is a convex open neighborhood of the origin in a
6368:
5752:
13220:
11238:{\displaystyle k\in p^{-1}(0)\cap (-p^{-1}(0)).}
10805:{\displaystyle p(x)=p(y+(x-y))\leq p(y)+p(x-y),}
10633:
10613:{\displaystyle 0=p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x),}
9542:
9121:which will complete the proof. One of the known
8569:and some positive continuous sublinear function
7458:is continuous if and only if its absolute value
5660:
5611:
5459:
5265:
4895:
4808:
4761:) and combining that with the conclusion gives
4621:
4501:
4352:
3588:then subadditivity also guarantees that for all
3111:
2946:
2095:
1952:
950:these definitions are not equivalent. It is a
9909: – Generalization of the concept of a norm
8375:
6930:be a sublinear function on a real vector space
6036:is a sublinear function on a real vector space
5777:is a sublinear function on a real vector space
1919:are sublinear functions on a real vector space
11899:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
10706:
9478:
1726:{\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
12519:
12035:
11925:
9207:{\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}=(0,1)(V-z),}
11766:: CS1 maint: multiple names: authors list (
10669:
10636:
9421:
9388:
9318:
9273:
9165:
9132:
9105:
9072:
9037:
8998:
8992:
8959:
8887:however is not necessarily a seminorm since
8817:which is a continuous sublinear function on
8530:
8491:
8485:
8452:
7852:
7819:
7592:
7559:
6344:
6311:
5692:
5663:
5495:
5462:
5301:
5268:
4748:
4712:
4210:is a sublinear functional on a vector space
3734:
3683:
3147:
3114:
2982:
2949:
2129:
2098:
1985:
1955:
1423:{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
10010:The triangle inequality and symmetry imply
7655:(TVS) over the real or complex numbers and
7340:is continuous at the origin if and only if
4651:{\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}
2991:{\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}
1994:{\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}
12526:
12512:
12042:
12028:
11813:: CS1 maint: location missing publisher (
10430:then nonnegative homogeneity implies that
9272:
9251:
4068:{\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}
2802:{\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}
2706:is a sublinear function on a vector space
1589:
1585:
1565:
1561:
1549:
11959:
11631:
10678:{\displaystyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}.}
10512:{\displaystyle p(0)=p(rx)=rp(x)=0p(x)=0.}
9516:
9502:
9430:{\displaystyle V-z=\{x\in X:p(x)<1\},}
9369:is convex and contains the origin. Thus
9114:{\displaystyle V=z+\{x\in X:p(x)<1\},}
7209:
6916:
6544:
5531:
5166:
5085:
5081:
4619:
4615:
4196:
4140:
4134:
3992:
3986:
3502:{\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}
3183:
3052:
3018:
2692:
2369:
2211:
1719:
1711:
1683:
1569:
1554:
1444:
1416:
1408:
784:
367:{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
360:
352:
287:
250:
225:
200:
175:
12332:Group algebra of a locally compact group
11965:Handbook of Analysis and Its Foundations
11831:
11664:
2899:must be nonnegative; that is, for every
8439:are exactly those that are of the form
8194:{\displaystyle p_{U}:X\to [0,\infty ),}
5385:
5384:on a real or complex vector space is a
3384:
3298:{\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}
2348:{\displaystyle p(x):={\sqrt {x^{2}+1}}}
1697:and moreover, every sublinear function
1035:
14:
13221:
12665:Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
11989:
7974:is a continuous sublinear function on
6976:then there exists a linear functional
6056:then there exists a linear functional
5141:
1184:The set of all sublinear functions on
738:This subadditivity condition requires
85:with only some of the properties of a
12507:
12023:
11997:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
11862:
11691:
10873:{\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}
3934:{\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}
93:-valued and also does not have to be
11874:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
10306:{\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}
7858:{\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}
7698:Then the following are equivalent:
7598:{\displaystyle \{x\in X:f(x)<1\}}
7505:{\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}
7281:{\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}
7223:is a subadditive function (that is,
6210:is a positive sublinear function on
5797:then the following are equivalent:
4314:are positive real numbers such that
694:{\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}
516:This condition holds if and only if
131:There is also a different notion in
9123:properties of Minkowski functionals
7216:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
6923:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
6551:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
5538:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
5173:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
4203:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
3190:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
3059:{\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }
3025:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
2838:which implies that at least one of
2699:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
2218:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
791:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
394:, if it has these two properties:
294:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
24:
9552:
8777:{\displaystyle p:X\to [0,\infty )}
8768:
8182:
7496:
5736:
4256:is a non-empty convex subset. If
3356:{\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}
2124:
2010:
1733:is of this form; specifically, if
1385:Examples and sufficient conditions
1362:
1219:
124:when he proved his version of the
27:Type of function in linear algebra
25:
13250:
11967:. San Diego, CA: Academic Press.
9475:to make sense of the conditions.
7153:is continuous at the origin then
6350:
5901:{\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0.}
4445:{\displaystyle \mathbf {z} \in K}
13203:
13202:
12488:
12487:
12414:Topological quantum field theory
11783:Groups, graphs, and random walks
11298:The triangle inequality implies
9944: – Length in a vector space
9938: – Function made from a set
6755:(which by definition means that
6012:is a minimal sublinear function.
5124:
5057:
5046:
5005:
4917:
4869:
4587:to both sides of the hypothesis
4532:
4475:
4432:
3823:{\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}
3197:guarantees that for all vectors
1046:or equivalently, if and only if
13190:With the approximation property
11834:The Elements of Operator Theory
11825:
11774:
11718:
11102:{\displaystyle -p(-x)\leq p(x)}
6703:
2650:
2586:
2376:{\displaystyle X:=\mathbb {R} }
2303:is necessary as the example of
1690:{\displaystyle X:=\mathbb {R} }
1451:{\displaystyle X:=\mathbb {R} }
1340:A sublinear function is called
559:{\displaystyle p(rx)\leq rp(x)}
374:), and also sometimes called a
12653:Open mapping (Banach–Schauder)
11542:
11530:
11521:
11518:
11509:
11500:
11491:
11482:
11473:
11467:
11458:
11452:
11421:
11412:
11386:
11380:
11365:
11359:
11350:
11344:
11335:
11329:
11320:
11308:
11282:
11276:
11267:
11255:
11229:
11226:
11220:
11201:
11195:
11189:
11096:
11090:
11081:
11072:
11043:
11037:
11028:
11022:
11013:
11001:
10992:
10989:
10980:
10971:
10962:
10953:
10944:
10938:
10864:
10852:
10843:
10837:
10828:
10822:
10796:
10784:
10775:
10769:
10760:
10757:
10745:
10736:
10727:
10721:
10666:
10657:
10648:
10642:
10604:
10595:
10586:
10580:
10571:
10568:
10559:
10550:
10541:
10535:
10500:
10494:
10482:
10476:
10464:
10455:
10446:
10440:
10335:
10329:
10300:
10294:
10282:
10276:
10244:
10238:
10209:
10203:
10137:
10131:
10119:
10113:
10104:
10098:
10089:
10080:
10071:
10065:
10056:
10053:
10044:
10035:
10026:
10020:
9959: – Property of a function
9880:
9874:
9865:
9859:
9774:
9768:
9709:if and only if, for any given
9696:
9690:
9681:
9675:
9628:
9622:
9613:
9607:
9569:
9563:
9549:
9512:
9412:
9406:
9248:
9236:
9233:
9221:
9198:
9186:
9183:
9171:
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9150:
9096:
9090:
9028:
9016:
8983:
8977:
8771:
8759:
8756:
8521:
8509:
8476:
8470:
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8261:
8185:
8173:
8170:
7843:
7837:
7583:
7577:
7499:
7487:
7484:
7474:
7466:
7419:
7413:
7275:
7269:
7260:
7254:
7245:
7233:
7205:
7093:
7087:
7078:
7072:
6912:
6864:
6856:
6789:
6783:
6774:
6765:
6700:
6694:
6685:
6679:
6670:
6661:
6540:
6501:that belongs to the domain of
6468:
6462:
6453:
6447:
6369:Dominating a linear functional
6335:
6329:
6305:
6299:
5972:
5963:
5954:
5948:
5889:
5880:
5871:
5865:
5753:Relation to linear functionals
5678:
5669:
5648:
5639:
5624:
5616:
5581:
5575:
5527:
5492:
5483:
5474:
5468:
5430:
5424:
5298:
5289:
5280:
5274:
5236:
5230:
5162:
5061:
5033:
5009:
4992:
4959:
4953:
4930:
4904:
4873:
4856:
4832:
4817:
4777:
4771:
4733:
4718:
4683:
4668:
4645:
4630:
4603:
4597:
4545:
4519:
4479:
4462:
4385:
4370:
4330:
4324:
4192:
4108:
4047:
4041:
4026:
3954:
3925:
3919:
3913:
3884:{\displaystyle -\ker p=\ker p}
3817:
3811:
3763:
3757:
3731:
3722:
3707:
3701:
3677:
3650:
3572:
3566:
3493:
3481:
3465:
3461:
3455:
3446:
3440:
3433:
3347:
3338:
3323:
3317:
3289:
3277:
3262:
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3247:
3241:
3179:
3144:
3135:
3126:
3120:
3082:
3076:
3048:
3014:
2979:
2970:
2961:
2955:
2886:
2877:
2854:
2848:
2793:
2784:
2775:
2769:
2742:
2736:
2688:
2644:
2638:
2632:
2620:
2614:
2608:
2580:
2574:
2562:
2559:
2550:
2541:
2528:
2522:
2510:
2498:
2478:{\displaystyle 0\leq t\leq 1,}
2446:Every sublinear function is a
2419:
2413:
2319:
2313:
2284:
2278:
2249:
2243:
2207:
2110:
2104:
2089:
2083:
2018:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
1982:
1976:
1967:
1961:
1949:
1796:
1790:
1761:
1752:
1715:
1586:
1562:
1468:
1412:
1298:
1292:
1283:
1277:
1133:
1125:
1086:{\displaystyle p(ux)\leq p(x)}
1080:
1074:
1065:
1056:
992:
986:
977:
968:
902:
896:
830:
824:
780:
688:
682:
673:
667:
658:
646:
553:
547:
535:
526:
446:
440:
428:
419:
283:
138:
13:
1:
12210:Uniform boundedness principle
11713:Narici & Beckenstein 2011
11680:Narici & Beckenstein 2011
11653:Narici & Beckenstein 2011
11615:Narici & Beckenstein 2011
11584:
11571:{\displaystyle \blacksquare }
11122:{\displaystyle \blacksquare }
10892:{\displaystyle \blacksquare }
10812:which happens if and only if
10697:{\displaystyle \blacksquare }
10363:{\displaystyle \blacksquare }
9451:{\displaystyle \blacksquare }
7552:is continuous if and only if
7177:
6474:{\displaystyle f(x)\leq p(x)}
5984:{\displaystyle p(x)+p(-x)=0.}
4398:then for every positive real
4156:{\displaystyle X\,/\,\ker p.}
2653: nonnegative homogeneity
2441:
2165:is a sublinear functional on
1490:More generally, for any real
1304:{\displaystyle p(x)\leq q(x)}
878:although some authors define
260:{\displaystyle \mathbb {C} .}
185:{\displaystyle \mathbb {K} ,}
11929:; Wolff, Manfred P. (1999).
11832:Kubrusly, Carlos S. (2011).
11291:{\displaystyle p(x+k)=p(x).}
10222:from both sides proves that
9886:{\displaystyle f(n)\in o(n)}
9702:{\displaystyle f(n)\in o(n)}
9634:{\displaystyle f(n)\in o(n)}
9462:
8639:be an open convex subset of
8376:Relation to open convex sets
6751:is a seminorm or some other
5689: is a unit scalar
5131:{\displaystyle \mathbf {z} }
4249:{\displaystyle K\subseteq X}
4005:{\displaystyle X\,/\,\ker p}
1483:{\displaystyle x\mapsto -x.}
232:{\displaystyle \mathbb {R} }
207:{\displaystyle \mathbb {K} }
7:
12874:Radially convex/Star-shaped
12859:Pre-compact/Totally bounded
11836:(Second ed.). Boston:
10344:{\displaystyle 0\leq p(x).}
10253:{\displaystyle 0\leq p(0).}
9900:
9479:Computer science definition
7765:is uniformly continuous on
7675:is a sublinear function on
7360:is uniformly continuous on
3966:{\displaystyle {\hat {p}},}
3389:reverse triangle inequality
1669:is a sublinear function on
452:{\displaystyle p(rx)=rp(x)}
10:
13255:
12560:Continuous linear operator
12353:Invariant subspace problem
11743:Introduction to Algorithms
10620:which is only possible if
9893:can be upper-bounded by a
9789:{\displaystyle f(n)<cn}
7931:is a linear functional on
7102:{\displaystyle f(z)=p(z).}
6880:{\displaystyle |f|\leq p.}
6795:{\displaystyle p(-x)=p(x)}
6167:is a linear functional on
4169:Pryce's sublinearity lemma
4117:{\displaystyle {\hat {p}}}
3391:will hold for all vectors
2431:{\displaystyle p(0)\leq 0}
2296:{\displaystyle p(0)\leq 0}
2261:{\displaystyle p(0)\leq 0}
1870:{\displaystyle p=S_{a,b}.}
998:{\displaystyle p(-x)=p(x)}
914:{\displaystyle p(x)\neq 0}
842:{\displaystyle p(x)\geq 0}
13198:
12943:
12905:Algebraic interior (core)
12887:
12785:
12673:
12647:Vector-valued Hahn–Banach
12608:
12542:
12535:Topological vector spaces
12483:
12442:
12366:
12345:
12304:
12243:
12185:
12131:
12073:
12066:
11931:Topological Vector Spaces
11901:Topological Vector Spaces
11785:. Cambridge. Lemma 5.17.
5340:seminorm associated with
5318:on the real vector space
3941:which will be denoted by
3747:is constant and equal to
3419:{\displaystyle x,y\in X,}
3225:{\displaystyle x,y\in X,}
1767:{\displaystyle a:=-p(-1)}
729:{\displaystyle x,y\in X.}
42:as is more often used in
12735:Topological homomorphism
12595:Topological vector space
12322:Spectrum of a C*-algebra
11436:{\displaystyle p(-k)=0,}
11245:It remains to show that
9963:
9818:{\displaystyle n\geq N.}
8409:topological vector space
8100:topological vector space
7653:topological vector space
7313:{\displaystyle x,y\in X}
7131:topological vector space
6147:is a real vector space,
6118:{\displaystyle f\leq p.}
5089:{\displaystyle \,<\,}
4307:{\displaystyle a,c>0}
3830:is a vector subspace of
1512:{\displaystyle a\leq b,}
943:{\displaystyle x\neq 0;}
12419:Noncommutative geometry
10003:{\displaystyle x\in X.}
9731:{\displaystyle c>0,}
8016:{\displaystyle f\leq p}
7811:
7055:{\displaystyle f\leq p}
6841:{\displaystyle f\leq p}
6641:{\displaystyle f\leq p}
6373:A real-valued function
6252:{\displaystyle f\leq p}
5932:{\displaystyle x\in X,}
5849:{\displaystyle x\in X,}
5742:{\displaystyle \infty }
3610:{\displaystyle x\in X,}
2921:{\displaystyle x\in X,}
2831:{\displaystyle x\in X,}
2067:{\displaystyle x\in X,}
1828:{\displaystyle a\leq b}
1802:{\displaystyle b:=p(1)}
1333:{\displaystyle x\in X.}
1260:{\displaystyle p\leq q}
1230:{\displaystyle X^{\#},}
1175:{\displaystyle x\in X.}
1038:if and only if it is a
1027:{\displaystyle x\in X.}
871:{\displaystyle x\in X,}
614:{\displaystyle x\in X.}
507:{\displaystyle x\in X.}
478:{\displaystyle r\geq 0}
406:Nonnegative homogeneity
267:A real-valued function
12793:Absolutely convex/disk
12475:Tomita–Takesaki theory
12450:Approximation property
12394:Calculus of variations
11572:
11552:
11437:
11396:
11292:
11239:
11157:
11156:{\displaystyle x\in X}
11123:
11103:
11053:
10922:
10893:
10874:
10806:
10698:
10679:
10614:
10513:
10424:
10398:
10397:{\displaystyle x\in X}
10364:
10345:
10307:
10254:
10216:
10187:
10167:
10147:
10004:
9913:Auxiliary normed space
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11655:, pp. 120–121.
11634:, pp. 313–315.
11617:, pp. 177–220.
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