6329:
5097:
7317:
6218:
5656:
6917:
6448:
5843:
1301:
7928:
3638:
7103:
7048:
2568:
5595:
5933:
1869:
6007:
5362:
5308:
5225:
5166:
4986:
4881:
4824:
4763:
7399:
5132:
4316:
4252:
940:
and form the topology generated by that subcollection. We can freely use either equivalent definition above; indeed, in many cases, one of the two conditions is more useful than the other.
3069:
1105:
7241:
7175:
6775:
5695:
4650:
1331:
6246:
5796:
4607:
4571:
8025:
6681:
6576:
3331:
7681:
6506:
6135:
3934:
3569:
6540:
5439:
2957:
1366:
687:
6607:
4681:
6973:
2227:
7648:
7577:
6356:
5539:
4928:
1040:
425:
8343:
8271:
8185:
7806:
7341:
6865:
6397:
6159:
6097:
6034:
5736:
5492:
5386:
5053:
4952:
4705:
4479:
4452:
4408:
4364:
4129:
4049:
3982:
3876:
3832:
3419:
3206:
3031:
2727:
2376:
1634:
1590:
1523:
1476:
1432:
1229:
1173:
1149:
970:
641:
7970:
7459:
7132:
6824:
6733:
4341:
4277:
7521:
7499:
6056:
4501:
4216:
4151:
2835:
2594:
2051:
1758:
1723:
1684:
8153:
5876:
2757:
1195:. (An example is given at the end of the next section.) In practice, this is a rare occurrence. E.g. a subbase of a space that has at least two points and satisfies the
3788:
3516:
3101:
2931:
2793:
2675:
1075:
199:
as open sets. A slightly different definition is used by some authors, and there are other useful equivalent formulations of the definition; these are discussed below.
3474:
3395:
842:
5468:
3738:
1895:
938:
7863:
5274:
2426:
2105:
1657:
1566:
1499:
541:
488:
358:
248:
157:
8245:
7833:
7766:
7739:
7708:
3709:
2301:
2254:
1971:
1610:
1543:
1452:
1388:
1125:
565:
378:
308:
268:
177:
134:
94:
8383:
8291:
8225:
8078:
3269:
3249:
2977:
2855:
3127:
7951:
7364:
7198:
6704:
6241:
5409:
5248:
5189:
5009:
4847:
4790:
4194:
4005:
3442:
3174:
2641:
2152:
1994:
1252:
993:
753:
710:
592:
8363:
8311:
8205:
8118:
8098:
7605:
7439:
7419:
7261:
6993:
6937:
6795:
6647:
6627:
6468:
5973:
5953:
5896:
5756:
5512:
5328:
5029:
4901:
4725:
4541:
4521:
4428:
4384:
4171:
4105:
4085:
4025:
3958:
3896:
3852:
3808:
3682:
3658:
3536:
3351:
3289:
3228:
3147:
2998:
2899:
2879:
2813:
2699:
2618:
2488:
2468:
2396:
2329:
2274:
2178:
2129:
2071:
2013:
1935:
1915:
1798:
1778:
1408:
1193:
1013:
906:
886:
862:
807:
780:
730:
612:
514:
465:
445:
398:
332:
288:
225:
197:
114:
71:
911:
Thus, we can start with a fixed topology and find subbases for that topology, and we can also start with an arbitrary subcollection of the power set
5600:
5058:
2493:
7266:
6164:
7527:, which states that the product of non-empty compact spaces is compact, has a short proof if the Alexander Subbase Theorem is used.
6870:
6401:
8463:
5801:
1264:
7868:
3582:
8624:
8587:
8551:
8513:
8483:
7053:
6998:
8579:
5544:
7650:
into subfamilies that consist of exactly those cylinder sets corresponding to a given factor space. By assumption, if
5901:
1803:
5978:
5333:
5279:
5196:
5137:
4957:
4852:
4795:
4734:
7369:
5102:
4286:
4225:
3036:
1080:
8475:
7203:
7137:
6737:
5663:
4612:
1306:
2304:
1045:
However, this definition is not always equivalent to the two definitions above. There exist topological spaces
5761:
4576:
4546:
7985:
6652:
6547:
3294:
7653:
6473:
6102:
3909:
3541:
6511:
5414:
2936:
1336:
646:
6581:
4655:
1042:
This means that there can be no confusion regarding the use of nullary intersections in the definition.
6942:
3748:
2183:
7610:
8651:
8578:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
7545:
6334:
5517:
4906:
1018:
865:
493:
403:
8316:
8250:
8158:
7771:
7322:
6829:
6361:
6140:
6061:
6015:
5700:
5473:
5367:
5034:
4933:
4686:
4460:
4433:
4389:
4345:
4110:
4030:
3963:
3857:
3813:
3400:
3179:
3004:
2704:
2334:
2073:
is a real number, does not generate the usual topology. The resulting topology does not satisfy the
1615:
1571:
1504:
1457:
1413:
1210:
1154:
1130:
951:
617:
7955:
7444:
7108:
6800:
6709:
4321:
4257:
2435:, where the family of functions is the set of projections from the product to each factor, and the
948:
Less commonly, a slightly different definition of subbase is given which requires that the subbase
19:
This article is about an object in mathematical topology. For the term in highway engineering, see
7504:
7482:
6324:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}:={\mathcal {C}}_{S_{1}}\cup \cdots \cup {\mathcal {C}}_{S_{n}},}
6039:
4484:
4199:
4134:
2818:
2573:
2021:
1728:
1693:
1667:
8470:
3751:. The corresponding result for basic (rather than subbasic) open covers is much easier to prove.
908:
satisfies this condition. In general, however, there is no unique subbasis for a given topology.
8123:
5848:
2736:
8539:
7524:
7472:, the proof does not need the full strength of choice. Instead, it relies on the intermediate
3761:
3482:
3074:
2904:
2766:
2648:
1048:
3447:
3368:
815:
7473:
5444:
3714:
3362:
2447:
1874:
914:
7838:
5253:
2401:
2084:
1639:
1548:
1481:
523:
470:
340:
230:
139:
8230:
7811:
7744:
7717:
7686:
3687:
2279:
2232:
1944:
1595:
1528:
1437:
1373:
1110:
759:
550:
363:
293:
253:
162:
119:
79:
74:
8368:
8276:
8210:
8063:
3254:
3234:
2962:
2840:
8:
3747:
The
Alexander Subbase Theorem is a significant result concerning subbases that is due to
3106:
1196:
7933:
7346:
7180:
6686:
6223:
5391:
5230:
5171:
4991:
4829:
4772:
4176:
3987:
3424:
3156:
2623:
2134:
1976:
1234:
975:
735:
692:
574:
8616:
8543:
8348:
8296:
8190:
8103:
8083:
7590:
7424:
7404:
7246:
6978:
6922:
6780:
6632:
6612:
6453:
5958:
5938:
5881:
5741:
5497:
5313:
5014:
4886:
4710:
4526:
4506:
4413:
4369:
4156:
4090:
4070:
4010:
3943:
3881:
3837:
3793:
3667:
3643:
3521:
3336:
3274:
3213:
3132:
2983:
2884:
2864:
2798:
2730:
2684:
2603:
2473:
2453:
2381:
2314:
2259:
2163:
2114:
2056:
1998:
1920:
1900:
1800:
are real numbers. Together, these generate the usual topology, since the intersections
1783:
1763:
1393:
1178:
998:
891:
871:
847:
792:
765:
715:
597:
568:
499:
450:
430:
383:
317:
273:
210:
182:
99:
56:
20:
1897:
generate the usual topology. A second subbase is formed by taking the subfamily where
8630:
8620:
8593:
8583:
8573:
8557:
8547:
8519:
8509:
8489:
8479:
3572:
2858:
2436:
51:
1941:. The second subbase generates the usual topology as well, since the open intervals
8459:
2432:
2157:
517:
8606:
8040:
7979:
7975:
7714:
have a finite subcover. Being cylinder sets, this means their projections onto
7469:
4219:
2678:
1938:
8501:
3477:
7583:
sets that are the inverse projections of an open set in one factor. Given a
8645:
8612:
8531:
8523:
3899:
3150:
2597:
2440:
2308:
1687:
8597:
8561:
8493:
8569:
8634:
3365:
of a function need only be checked on a subbase of the range. That is, if
5092:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}
1662:
7501:
above, one can give a very easy proof that bounded closed intervals in
2018:
The subbase consisting of all semi-infinite open intervals of the form
7607:
of the product that does not have a finite subcover, we can partition
7312:{\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}\subseteq {\mathcal {C}}.}
810:
3576:
2108:
2074:
544:
31:
24:
8404:
8402:
3906:
The converse to this theorem also holds and it is proven by using
8399:
6213:{\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{S_{i}}}
1203:
must be a cover of that space. But as seen below, to prove the
5514:'s topology, from the definition of the topology generated by
4609:
has a finite subcover, which must necessarily be of the form
5651:{\displaystyle x\in S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U.}
2431:
Two important special cases of the initial topology are the
6912:{\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}
6443:{\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}
5541:
there must exist a finite collection of subbasic open sets
310:
satisfying one of the two following equivalent conditions:
8478:. Berlin New York: Springer Science & Business Media.
5838:{\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
1296:{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}
8043: – Collection of open sets used to define a topology
7923:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i}\in \prod _{i}X_{i}}
8227:
is closed under unions and finite intersections because
5011:
which would simultaneously also be a finite subcover of
3633:{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}
2015:
rational, are a basis for the usual
Euclidean topology.
7098:{\displaystyle S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U,}
7043:{\displaystyle Z\subseteq S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}.}
2563:{\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}}
5975:
was chosen specifically so that it was not covered by
2439:, where the family consists of just one function, the
2311:
of open sets, this means that the initial topology on
8371:
8351:
8319:
8299:
8279:
8253:
8233:
8213:
8193:
8161:
8126:
8106:
8086:
8066:
7988:
7958:
7936:
7871:
7841:
7814:
7774:
7747:
7720:
7689:
7656:
7613:
7593:
7548:
7507:
7485:
7447:
7427:
7407:
7372:
7349:
7325:
7269:
7249:
7206:
7183:
7140:
7111:
7056:
7001:
6981:
6945:
6925:
6873:
6832:
6803:
6783:
6740:
6712:
6689:
6655:
6635:
6615:
6584:
6550:
6514:
6476:
6456:
6404:
6364:
6337:
6249:
6226:
6167:
6143:
6105:
6064:
6042:
6018:
5981:
5961:
5941:
5904:
5884:
5851:
5804:
5764:
5744:
5703:
5666:
5603:
5590:{\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}}
5547:
5520:
5500:
5476:
5447:
5417:
5394:
5370:
5336:
5316:
5282:
5256:
5233:
5199:
5174:
5140:
5105:
5061:
5037:
5017:
4994:
4960:
4936:
4909:
4889:
4855:
4832:
4798:
4775:
4737:
4713:
4689:
4658:
4615:
4579:
4549:
4529:
4509:
4487:
4463:
4436:
4416:
4392:
4372:
4348:
4324:
4289:
4260:
4228:
4202:
4179:
4159:
4137:
4113:
4093:
4073:
4067:
Suppose for the sake of contradiction that the space
4033:
4013:
3990:
3966:
3946:
3912:
3884:
3860:
3840:
3816:
3796:
3764:
3717:
3690:
3670:
3646:
3585:
3544:
3524:
3485:
3450:
3427:
3403:
3371:
3339:
3297:
3277:
3257:
3237:
3216:
3182:
3159:
3135:
3109:
3077:
3039:
3007:
2986:
2965:
2939:
2907:
2887:
2867:
2843:
2821:
2801:
2769:
2739:
2707:
2687:
2651:
2626:
2606:
2576:
2496:
2476:
2456:
2404:
2384:
2337:
2317:
2282:
2262:
2235:
2186:
2166:
2137:
2117:
2087:
2059:
2024:
2001:
1979:
1947:
1923:
1903:
1877:
1806:
1786:
1766:
1731:
1696:
1670:
1642:
1618:
1598:
1574:
1551:
1531:
1507:
1484:
1460:
1440:
1416:
1396:
1376:
1339:
1309:
1267:
1237:
1213:
1181:
1157:
1133:
1113:
1083:
1051:
1021:
1001:
978:
954:
917:
894:
874:
850:
818:
795:
768:
738:
718:
695:
649:
620:
600:
577:
553:
526:
502:
492:
The collection of open sets consisting of all finite
473:
453:
433:
406:
386:
366:
343:
320:
296:
276:
256:
233:
213:
185:
165:
142:
122:
102:
82:
59:
8414:
2307:. Because continuity can be defined in terms of the
7974:Note, that in the last step we implicitly used the
4107:is an infinite set), yet every subbasic cover from
8377:
8357:
8337:
8305:
8285:
8265:
8239:
8219:
8199:
8179:
8147:
8112:
8092:
8072:
8019:
7964:
7945:
7922:
7857:
7827:
7800:
7760:
7733:
7702:
7675:
7642:
7599:
7571:
7515:
7493:
7453:
7433:
7413:
7393:
7358:
7335:
7311:
7255:
7235:
7192:
7169:
7126:
7097:
7042:
6987:
6967:
6931:
6911:
6859:
6818:
6789:
6769:
6727:
6698:
6675:
6641:
6621:
6601:
6570:
6534:
6500:
6462:
6442:
6391:
6350:
6323:
6235:
6212:
6153:
6129:
6091:
6050:
6028:
6001:
5967:
5947:
5928:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}},}
5927:
5890:
5870:
5837:
5790:
5750:
5730:
5689:
5650:
5589:
5533:
5506:
5486:
5462:
5433:
5403:
5380:
5356:
5322:
5302:
5268:
5242:
5219:
5183:
5160:
5126:
5091:
5047:
5023:
5003:
4980:
4946:
4922:
4895:
4875:
4841:
4818:
4784:
4757:
4719:
4699:
4675:
4644:
4601:
4565:
4535:
4515:
4495:
4473:
4446:
4422:
4402:
4378:
4358:
4335:
4310:
4271:
4246:
4210:
4188:
4165:
4145:
4123:
4099:
4079:
4043:
4019:
3999:
3976:
3952:
3936:(since every topology is a subbasis for itself).
3928:
3890:
3870:
3846:
3826:
3802:
3782:
3732:
3703:
3676:
3652:
3632:
3563:
3530:
3510:
3468:
3436:
3413:
3389:
3345:
3325:
3283:
3263:
3243:
3222:
3200:
3168:
3141:
3121:
3095:
3063:
3025:
2992:
2971:
2951:
2925:
2893:
2873:
2849:
2829:
2807:
2787:
2751:
2721:
2693:
2669:
2635:
2612:
2588:
2562:
2482:
2462:
2420:
2390:
2370:
2323:
2295:
2268:
2248:
2221:
2172:
2146:
2123:
2099:
2065:
2045:
2007:
1988:
1965:
1929:
1909:
1889:
1864:{\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}
1863:
1792:
1772:
1752:
1717:
1678:
1651:
1628:
1604:
1584:
1560:
1537:
1517:
1493:
1470:
1446:
1426:
1402:
1382:
1360:
1325:
1295:
1246:
1223:
1187:
1167:
1143:
1119:
1099:
1069:
1034:
1007:
987:
964:
932:
900:
880:
856:
836:
801:
774:
747:
724:
712:such that the intersection of these sets contains
704:
681:
635:
606:
586:
559:
535:
508:
482:
459:
439:
419:
392:
372:
352:
326:
302:
282:
262:
242:
219:
191:
171:
151:
128:
108:
88:
65:
6002:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
5357:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
5303:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
5220:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
5161:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
4981:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
4876:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
4819:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
4758:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}
8643:
7421:is not compact must be wrong, which proves that
3103:is Hausdorff, equality will hold if and only if
7394:{\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .}
5127:{\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,}
4311:{\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,}
4386:and there does not exist any finite subset of
4247:{\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} }
2815:could be a non-empty bounded open interval in
2701:containing two or more elements (for example,
1204:
16:Collection of subsets that generate a topology
4954:implies that there exists a finite subset of
4707:(this finite subset depends on the choice of
3064:{\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }
3033:(see the footnote for an explanation), where
1100:{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }
762:convention, then there is no need to include
8326:
8320:
8168:
8162:
7579:has, by definition, a subbase consisting of
7276:
7270:
7236:{\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}
7213:
7207:
7170:{\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}
7147:
7141:
6770:{\displaystyle \{A\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}
6747:
6741:
5690:{\displaystyle S_{i}\not \in {\mathcal {C}}}
4645:{\displaystyle \{V\}\cup {\mathcal {C}}_{V}}
4622:
4616:
4596:
4590:
3742:
3189:
3183:
3046:
3040:
3014:
3008:
2557:
2518:
2256:has a topology, is the coarsest topology on
1352:
1340:
1326:{\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }
1290:
1278:
8435:
8433:
8431:
8429:
3397:is a map between topological spaces and if
7808:that is not covered by the projections of
2450:on the space of continuous functions from
7509:
7487:
7384:
6044:
5117:
4489:
4326:
4301:
4262:
4240:
4204:
4139:
3356:
2823:
2715:
1672:
943:
8500:
8458:
8426:
7741:have no finite subcover, and since each
7479:Using this theorem with the subbase for
7401:Therefore, the original assumption that
6012:As mentioned earlier, the maximality of
5791:{\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {C}},}
4602:{\displaystyle {\mathcal {C}}\cup \{V\}}
4566:{\displaystyle V\not \in {\mathcal {C}}}
4173:that do not have any finite subcover of
8604:
8530:
8420:
8020:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i}.}
6676:{\displaystyle \cup {\mathcal {C}}_{F}}
6571:{\displaystyle \cup {\mathcal {C}}_{F}}
5660:We will now show by contradiction that
3326:{\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}
2490:has for a subbase the set of functions
571:of finite intersections of elements of
8644:
8442:Topology for the Working Mathematician
7676:{\displaystyle C_{i}\neq \varnothing }
6501:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{S_{i}}}
6130:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{S_{i}}}
1015:is the union of all sets contained in
270:is usually defined as a subcollection
8568:
8439:
8408:
4153:denote the set of all open covers of
3361:One nice fact about subbases is that
1261:The topology generated by any subset
227:be a topological space with topology
8580:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
8345:is clearly the smallest topology on
3929:{\displaystyle {\mathcal {S}}=\tau }
3564:{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}
1127:is the smallest topology containing
380:is the smallest topology containing
179:is the smallest topology containing
6535:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}.}
5434:{\displaystyle U\in {\mathcal {C}}}
5330:is not contained in any element of
2952:{\displaystyle \nu \subseteq \tau }
1361:{\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}
1333:) is equal to the trivial topology
682:{\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}
13:
7375:
7328:
7301:
7285:
7222:
7156:
6898:
6756:
6662:
6602:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}}
6588:
6557:
6518:
6480:
6429:
6340:
6300:
6270:
6253:
6192:
6146:
6109:
6021:
5994:
5984:
5917:
5907:
5830:
5820:
5780:
5682:
5582:
5523:
5479:
5426:
5373:
5349:
5339:
5295:
5285:
5212:
5202:
5153:
5143:
5108:
5084:
5074:
5064:
5040:
4973:
4963:
4939:
4912:
4868:
4858:
4811:
4801:
4750:
4740:
4692:
4676:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{V}}
4662:
4631:
4582:
4558:
4466:
4439:
4395:
4351:
4292:
4231:
4116:
4036:
3969:
3915:
3863:
3819:
3553:
3406:
2959:). Then the topology generated by
2031:
1855:
1831:
1741:
1703:
1690:open intervals either of the form
1621:
1577:
1510:
1463:
1419:
1312:
1270:
1216:
1160:
1136:
1086:
1024:
957:
918:
844:there is a unique topology having
819:
412:
14:
8663:
7978:(which is actually equivalent to
7670:
7468:Although this proof makes use of
6968:{\displaystyle Z\subseteq S_{i}.}
4849:which in particular implies that
2222:{\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}
2180:defined by a family of functions
1343:
1320:
1281:
864:as a subbase. In particular, the
7768:is compact, we can find a point
7643:{\displaystyle C=\cup _{i}C_{i}}
7366:which contradicts the fact that
6578:denote the union of all sets in
2398:ranges over all open subsets of
1686:has a subbase consisting of all
7572:{\displaystyle \prod _{i}X_{i}}
7523:are compact. More generally,
6351:{\displaystyle {\mathcal {C}}.}
5534:{\displaystyle {\mathcal {S}},}
4923:{\displaystyle {\mathcal {S}}.}
1612:then the topology generated by
1454:then the topology generated by
1035:{\displaystyle {\mathcal {B}}.}
420:{\displaystyle \tau ^{\prime }}
23:. For the frequency range, see
8465:General Topology: Chapters 1–4
8338:{\displaystyle \{X\}\cup \nu }
8266:{\displaystyle X\not \in \nu }
8180:{\displaystyle \{X\}\cup \nu }
8139:
8127:
8054:
7801:{\displaystyle x_{i}\in X_{i}}
7336:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
6860:{\displaystyle i=1,\ldots ,n,}
6392:{\displaystyle i=1,\ldots ,n,}
6154:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
6092:{\displaystyle i=1,\ldots ,n,}
6029:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5731:{\displaystyle i=1,\ldots ,n.}
5487:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
5381:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5048:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4947:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
4731:We will begin by showing that
4700:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4474:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4447:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4403:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4359:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4124:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
4044:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
3977:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
3871:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
3827:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
3777:
3765:
3505:
3499:
3460:
3414:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
3381:
3201:{\displaystyle \{X\}\cup \nu }
3090:
3078:
3026:{\displaystyle \{X\}\cup \nu }
2920:
2908:
2782:
2770:
2722:{\displaystyle X=\mathbb {R} }
2664:
2652:
2548:
2542:
2530:
2512:
2500:
2371:{\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}
2362:
2356:
2203:
2040:
2025:
1960:
1948:
1858:
1846:
1840:
1825:
1819:
1807:
1744:
1732:
1712:
1697:
1629:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
1585:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
1518:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
1471:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
1427:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
1224:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
1168:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
1144:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
1064:
1052:
965:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
927:
921:
828:
822:
636:{\displaystyle U\subsetneq X,}
1:
8452:
7982:) to ensure the existence of
7965:{\displaystyle \blacksquare }
7454:{\displaystyle \blacksquare }
7127:{\displaystyle Z\subseteq U,}
6819:{\displaystyle Z\subseteq A.}
6728:{\displaystyle A\subseteq X,}
6099:there exists a finite subset
4336:{\displaystyle \mathbb {S} ,}
4272:{\displaystyle \mathbb {S} .}
4254:that is a maximal element of
643:there are finitely many sets
543:This means that every proper
202:
8392:
8155:, it is easy to verify that
7516:{\displaystyle \mathbb {R} }
7494:{\displaystyle \mathbb {R} }
6706:Observe that for any subset
6609:(which is an open subset of
6331:which is a finite subset of
6051:{\displaystyle \mathbb {S} }
4930:The theorem's hypothesis on
4496:{\displaystyle \mathbb {S} }
4218:by subset inclusion and use
4211:{\displaystyle \mathbb {S} }
4146:{\displaystyle \mathbb {S} }
4131:has a finite subcover. Let
3878:has a finite subcover, then
2830:{\displaystyle \mathbb {R} }
2589:{\displaystyle K\subseteq X}
2046:{\displaystyle (-\infty ,a)}
1753:{\displaystyle (b,\infty ),}
1718:{\displaystyle (-\infty ,a)}
1679:{\displaystyle \mathbb {R} }
1303:(including by the empty set
7:
8508:. Boston: Allyn and Bacon.
8034:
3790:be a topological space. If
1256:
782:in the second definition.)
10:
8668:
8605:Willard, Stephen (2004) .
8411:, p. 392 Appendix A2.
8148:{\displaystyle (X,\tau ),}
5871:{\displaystyle x\in S_{i}}
3749:James Waddell Alexander II
2752:{\displaystyle Y\in \tau }
1661:The usual topology on the
1107:of the topology such that
594:Explicitly, given a point
18:
7343:has a finite subcover of
6826:In particular, for every
6649:denote the complement of
5494:is a subbasis generating
5099:). But this contradicts
3834:such that every cover of
3783:{\displaystyle (X,\tau )}
3756:Alexander subbase theorem
3743:Alexander subbase theorem
3511:{\displaystyle f^{-1}(B)}
3208:is the smallest topology
3096:{\displaystyle (X,\tau )}
2926:{\displaystyle (X,\tau )}
2788:{\displaystyle (X,\tau )}
2670:{\displaystyle (X,\tau )}
1205:Alexander subbase theorem
1070:{\displaystyle (X,\tau )}
8476:Éléments de mathématique
8047:
7542:The product topology on
6470:so let us replace every
6220:forms a finite cover of
5955:was chosen (recall that
3469:{\displaystyle f:X\to Y}
3390:{\displaystyle f:X\to Y}
837:{\displaystyle \wp (X),}
8440:Muger, Michael (2020).
7134:which is equivalent to
6995:was arbitrary, we have
6358:Observe that for every
6058:implies that for every
5463:{\displaystyle x\in U.}
5411:there also exists some
5276:that is not covered by
4652:for some finite subset
3733:{\displaystyle i\in I.}
3711:for sufficiently large
2681:topological space with
2331:is given by taking all
1890:{\displaystyle a\leq b}
1545:is also a subbasis for
1207:, one must assume that
933:{\displaystyle \wp (X)}
8540:Upper Saddle River, NJ
8379:
8359:
8339:
8307:
8287:
8267:
8241:
8221:
8201:
8181:
8149:
8114:
8094:
8074:
8021:
7966:
7947:
7924:
7859:
7858:{\displaystyle X_{i}.}
7829:
7802:
7762:
7735:
7704:
7677:
7644:
7601:
7573:
7517:
7495:
7455:
7435:
7415:
7395:
7360:
7337:
7313:
7257:
7237:
7194:
7171:
7128:
7099:
7044:
6989:
6969:
6933:
6913:
6861:
6820:
6791:
6771:
6729:
6700:
6677:
6643:
6623:
6603:
6572:
6536:
6502:
6464:
6444:
6393:
6352:
6325:
6237:
6214:
6155:
6131:
6093:
6052:
6030:
6003:
5969:
5949:
5935:which contradicts how
5929:
5892:
5878:would then imply that
5872:
5839:
5792:
5752:
5732:
5691:
5652:
5591:
5535:
5508:
5488:
5464:
5435:
5405:
5382:
5358:
5324:
5304:
5270:
5269:{\displaystyle x\in X}
5244:
5221:
5185:
5162:
5128:
5093:
5049:
5025:
5005:
4982:
4948:
4924:
4897:
4877:
4843:
4820:
4786:
4759:
4721:
4701:
4677:
4646:
4603:
4567:
4537:
4517:
4497:
4475:
4448:
4424:
4404:
4380:
4360:
4337:
4312:
4273:
4248:
4212:
4190:
4167:
4147:
4125:
4101:
4081:
4051:has a finite subcover.
4045:
4021:
4001:
3978:
3954:
3930:
3892:
3872:
3848:
3828:
3804:
3784:
3734:
3705:
3678:
3664:basic neighborhood of
3654:
3634:
3565:
3532:
3512:
3470:
3438:
3415:
3391:
3357:Results using subbases
3347:
3333:is a proper subset of
3327:
3285:
3265:
3245:
3224:
3202:
3170:
3143:
3123:
3097:
3065:
3027:
3001:is equal to the union
2994:
2973:
2953:
2927:
2895:
2875:
2851:
2831:
2809:
2789:
2753:
2723:
2695:
2671:
2637:
2614:
2590:
2564:
2484:
2464:
2422:
2421:{\displaystyle Y_{i},}
2392:
2372:
2325:
2297:
2270:
2250:
2223:
2174:
2148:
2125:
2101:
2100:{\displaystyle a<b}
2067:
2047:
2009:
1990:
1967:
1931:
1911:
1891:
1865:
1794:
1774:
1754:
1719:
1680:
1653:
1652:{\displaystyle \tau .}
1630:
1606:
1586:
1562:
1561:{\displaystyle \tau .}
1539:
1519:
1495:
1494:{\displaystyle \tau .}
1472:
1448:
1428:
1404:
1384:
1362:
1327:
1297:
1248:
1225:
1189:
1169:
1145:
1121:
1101:
1071:
1036:
1009:
989:
966:
944:Alternative definition
934:
902:
882:
858:
838:
803:
776:
749:
726:
706:
683:
637:
608:
588:
561:
537:
536:{\displaystyle \tau .}
510:
484:
483:{\displaystyle \tau .}
461:
441:
421:
394:
374:
354:
353:{\displaystyle \tau .}
328:
304:
284:
264:
244:
243:{\displaystyle \tau .}
221:
193:
173:
153:
152:{\displaystyle \tau ,}
130:
110:
90:
67:
8380:
8360:
8340:
8308:
8293:is not a topology on
8288:
8268:
8242:
8240:{\displaystyle \tau }
8222:
8202:
8182:
8150:
8120:is an open subset of
8115:
8095:
8075:
8022:
7967:
7948:
7925:
7860:
7830:
7828:{\displaystyle C_{i}}
7803:
7763:
7761:{\displaystyle X_{i}}
7736:
7734:{\displaystyle X_{i}}
7705:
7703:{\displaystyle C_{i}}
7678:
7645:
7602:
7574:
7518:
7496:
7474:Ultrafilter principle
7456:
7436:
7416:
7396:
7361:
7338:
7314:
7258:
7243:is a finite cover of
7238:
7195:
7172:
7129:
7100:
7045:
6990:
6970:
6934:
6914:
6862:
6821:
6792:
6772:
6730:
6701:
6678:
6644:
6624:
6604:
6573:
6537:
6503:
6465:
6450:is a finite cover of
6445:
6394:
6353:
6326:
6238:
6215:
6156:
6132:
6094:
6053:
6031:
6004:
5970:
5950:
5930:
5893:
5873:
5840:
5793:
5753:
5733:
5692:
5653:
5592:
5536:
5509:
5489:
5465:
5436:
5406:
5383:
5359:
5325:
5305:
5271:
5245:
5222:
5186:
5163:
5129:
5094:
5050:
5026:
5006:
4983:
4949:
4925:
4898:
4878:
4844:
4821:
4787:
4760:
4722:
4702:
4678:
4647:
4604:
4568:
4538:
4518:
4498:
4476:
4449:
4425:
4405:
4381:
4361:
4338:
4313:
4274:
4249:
4213:
4191:
4168:
4148:
4126:
4102:
4082:
4046:
4022:
4002:
3979:
3955:
3931:
3893:
3873:
3849:
3829:
3805:
3785:
3735:
3706:
3704:{\displaystyle x_{i}}
3679:
3660:if and only if every
3655:
3640:converges to a point
3635:
3566:
3533:
3513:
3471:
3439:
3416:
3392:
3348:
3328:
3286:
3266:
3246:
3225:
3203:
3171:
3144:
3124:
3098:
3066:
3028:
2995:
2974:
2954:
2928:
2896:
2876:
2852:
2832:
2810:
2790:
2754:
2724:
2696:
2672:
2638:
2620:is an open subset of
2615:
2591:
2565:
2485:
2465:
2448:compact-open topology
2423:
2393:
2373:
2326:
2298:
2296:{\displaystyle f_{i}}
2271:
2251:
2249:{\displaystyle Y_{i}}
2224:
2175:
2149:
2126:
2102:
2068:
2048:
2010:
1991:
1968:
1966:{\displaystyle (a,b)}
1932:
1912:
1892:
1866:
1795:
1775:
1755:
1720:
1681:
1654:
1631:
1607:
1605:{\displaystyle \tau }
1587:
1563:
1540:
1538:{\displaystyle \tau }
1520:
1496:
1473:
1449:
1447:{\displaystyle \tau }
1429:
1405:
1385:
1383:{\displaystyle \tau }
1363:
1328:
1298:
1249:
1226:
1190:
1170:
1146:
1122:
1120:{\displaystyle \tau }
1102:
1072:
1037:
1010:
990:
967:
935:
903:
883:
868:of all topologies on
859:
839:
804:
777:
750:
727:
707:
684:
638:
609:
589:
562:
560:{\displaystyle \tau }
538:
511:
485:
462:
442:
422:
395:
375:
373:{\displaystyle \tau }
355:
329:
305:
303:{\displaystyle \tau }
285:
265:
263:{\displaystyle \tau }
245:
222:
194:
174:
172:{\displaystyle \tau }
154:
131:
129:{\displaystyle \tau }
111:
91:
89:{\displaystyle \tau }
68:
8378:{\displaystyle \nu }
8369:
8349:
8317:
8297:
8286:{\displaystyle \nu }
8277:
8251:
8231:
8220:{\displaystyle \nu }
8211:
8191:
8159:
8124:
8104:
8084:
8073:{\displaystyle \nu }
8064:
7986:
7956:
7934:
7869:
7839:
7812:
7772:
7745:
7718:
7687:
7654:
7611:
7591:
7546:
7505:
7483:
7445:
7425:
7405:
7370:
7347:
7323:
7267:
7247:
7204:
7181:
7138:
7109:
7054:
6999:
6979:
6943:
6923:
6871:
6830:
6801:
6781:
6738:
6710:
6687:
6653:
6633:
6613:
6582:
6548:
6512:
6474:
6454:
6402:
6362:
6335:
6247:
6224:
6165:
6141:
6103:
6062:
6040:
6016:
5979:
5959:
5939:
5902:
5882:
5849:
5802:
5762:
5742:
5701:
5664:
5601:
5545:
5518:
5498:
5474:
5445:
5415:
5392:
5368:
5334:
5314:
5280:
5254:
5231:
5197:
5172:
5138:
5103:
5059:
5035:
5015:
4992:
4958:
4934:
4907:
4887:
4853:
4830:
4796:
4773:
4735:
4711:
4687:
4656:
4613:
4577:
4547:
4527:
4507:
4485:
4461:
4434:
4414:
4390:
4370:
4366:is an open cover of
4346:
4322:
4287:
4258:
4226:
4200:
4177:
4157:
4135:
4111:
4091:
4071:
4031:
4011:
3988:
3964:
3944:
3910:
3882:
3858:
3838:
3814:
3794:
3762:
3715:
3688:
3668:
3644:
3583:
3542:
3522:
3483:
3448:
3425:
3401:
3369:
3337:
3295:
3291:(that is, the union
3275:
3264:{\displaystyle \nu }
3255:
3244:{\displaystyle \nu }
3235:
3214:
3180:
3157:
3133:
3107:
3075:
3037:
3005:
2984:
2972:{\displaystyle \nu }
2963:
2937:
2905:
2885:
2865:
2850:{\displaystyle \nu }
2841:
2819:
2799:
2767:
2737:
2705:
2685:
2649:
2624:
2604:
2574:
2494:
2474:
2454:
2402:
2382:
2335:
2315:
2280:
2260:
2233:
2184:
2164:
2135:
2115:
2085:
2057:
2022:
1999:
1977:
1945:
1921:
1901:
1875:
1804:
1784:
1764:
1729:
1694:
1668:
1640:
1636:will be a subset of
1616:
1596:
1572:
1549:
1529:
1505:
1482:
1458:
1438:
1414:
1394:
1374:
1337:
1307:
1265:
1235:
1211:
1179:
1155:
1131:
1111:
1081:
1077:with subcollections
1049:
1019:
999:
976:
952:
915:
892:
872:
848:
816:
793:
766:
760:nullary intersection
736:
732:and is contained in
716:
693:
647:
618:
598:
575:
567:can be written as a
551:
524:
500:
471:
451:
431:
404:
384:
364:
341:
318:
294:
274:
254:
231:
211:
183:
163:
140:
120:
100:
80:
57:
8575:Functional Analysis
8538:(Second ed.).
7525:Tychonoff's theorem
4430:(so in particular,
4222:to find an element
4087:is not compact (so
3122:{\displaystyle Y=X}
2355:
96:is a subcollection
8617:Dover Publications
8544:Prentice Hall, Inc
8471:Topologie Générale
8375:
8355:
8335:
8303:
8283:
8263:
8237:
8217:
8197:
8177:
8145:
8110:
8090:
8070:
8017:
7962:
7946:{\displaystyle C.}
7943:
7930:is not covered by
7920:
7909:
7855:
7825:
7798:
7758:
7731:
7700:
7673:
7640:
7597:
7569:
7558:
7513:
7491:
7451:
7431:
7411:
7391:
7359:{\displaystyle X,}
7356:
7333:
7309:
7253:
7233:
7193:{\displaystyle X.}
7190:
7167:
7124:
7095:
7040:
6985:
6965:
6929:
6909:
6857:
6816:
6787:
6767:
6725:
6699:{\displaystyle X.}
6696:
6673:
6639:
6619:
6599:
6568:
6532:
6498:
6460:
6440:
6389:
6348:
6321:
6236:{\displaystyle X.}
6233:
6210:
6151:
6127:
6089:
6048:
6026:
5999:
5965:
5945:
5925:
5888:
5868:
5835:
5788:
5748:
5728:
5687:
5648:
5587:
5531:
5504:
5484:
5460:
5431:
5404:{\displaystyle X,}
5401:
5378:
5354:
5320:
5300:
5266:
5250:there exists some
5243:{\displaystyle X,}
5240:
5217:
5184:{\displaystyle X.}
5181:
5158:
5134:which proves that
5124:
5089:
5045:
5021:
5004:{\displaystyle X,}
5001:
4978:
4944:
4920:
4893:
4873:
4842:{\displaystyle X,}
4839:
4816:
4785:{\displaystyle X.}
4782:
4755:
4717:
4697:
4673:
4642:
4599:
4563:
4533:
4523:is an open set of
4513:
4493:
4471:
4457:The maximality of
4444:
4420:
4400:
4376:
4356:
4333:
4308:
4269:
4244:
4208:
4189:{\displaystyle X.}
4186:
4163:
4143:
4121:
4097:
4077:
4041:
4017:
4000:{\displaystyle X,}
3997:
3984:is a subbasis for
3974:
3950:
3926:
3888:
3868:
3844:
3824:
3800:
3780:
3730:
3701:
3674:
3650:
3630:
3561:
3528:
3508:
3466:
3437:{\displaystyle Y,}
3434:
3411:
3387:
3343:
3323:
3313:
3281:
3261:
3241:
3220:
3198:
3169:{\displaystyle X,}
3166:
3139:
3119:
3093:
3061:
3023:
2990:
2969:
2949:
2923:
2891:
2871:
2847:
2827:
2805:
2785:
2749:
2731:Euclidean topology
2719:
2691:
2667:
2636:{\displaystyle Y.}
2633:
2610:
2586:
2560:
2480:
2460:
2418:
2388:
2368:
2338:
2321:
2293:
2266:
2246:
2219:
2170:
2147:{\displaystyle a.}
2144:
2121:
2097:
2063:
2043:
2005:
1989:{\displaystyle a,}
1986:
1963:
1927:
1907:
1887:
1861:
1790:
1770:
1750:
1715:
1676:
1649:
1626:
1602:
1582:
1558:
1535:
1515:
1491:
1468:
1444:
1424:
1400:
1380:
1358:
1323:
1293:
1247:{\displaystyle X.}
1244:
1221:
1185:
1165:
1141:
1117:
1097:
1067:
1032:
1005:
988:{\displaystyle X.}
985:
962:
930:
898:
878:
854:
834:
799:
772:
748:{\displaystyle U.}
745:
722:
705:{\displaystyle B,}
702:
679:
633:
604:
587:{\displaystyle B.}
584:
557:
533:
506:
480:
467:must also contain
457:
437:
417:
390:
370:
350:
324:
314:The subcollection
300:
280:
260:
240:
217:
189:
169:
159:in the sense that
149:
126:
106:
86:
63:
21:Subbase (pavement)
8626:978-0-486-43479-7
8589:978-0-07-054236-5
8553:978-0-13-181629-9
8532:Munkres, James R.
8515:978-0-697-06889-7
8485:978-3-540-64241-1
8460:Bourbaki, Nicolas
8358:{\displaystyle X}
8306:{\displaystyle X}
8207:. In particular,
8200:{\displaystyle X}
8187:is a topology on
8113:{\displaystyle Y}
8093:{\displaystyle Y}
8080:is a topology on
8031:
8030:
7900:
7600:{\displaystyle C}
7549:
7465:
7464:
7434:{\displaystyle X}
7414:{\displaystyle X}
7256:{\displaystyle X}
7177:being a cover of
6988:{\displaystyle i}
6932:{\displaystyle X}
6790:{\displaystyle X}
6642:{\displaystyle Z}
6622:{\displaystyle X}
6463:{\displaystyle X}
5968:{\displaystyle x}
5948:{\displaystyle x}
5891:{\displaystyle x}
5845:so the fact that
5751:{\displaystyle i}
5507:{\displaystyle X}
5323:{\displaystyle x}
5024:{\displaystyle X}
4896:{\displaystyle X}
4720:{\displaystyle V}
4536:{\displaystyle X}
4516:{\displaystyle V}
4423:{\displaystyle X}
4379:{\displaystyle X}
4318:by definition of
4166:{\displaystyle X}
4100:{\displaystyle X}
4080:{\displaystyle X}
4027:by elements from
4020:{\displaystyle X}
3953:{\displaystyle X}
3891:{\displaystyle X}
3854:by elements from
3847:{\displaystyle X}
3803:{\displaystyle X}
3677:{\displaystyle x}
3653:{\displaystyle x}
3531:{\displaystyle X}
3421:is a subbase for
3346:{\displaystyle X}
3298:
3284:{\displaystyle X}
3223:{\displaystyle X}
3142:{\displaystyle Y}
2993:{\displaystyle X}
2894:{\displaystyle Y}
2874:{\displaystyle Y}
2859:subspace topology
2808:{\displaystyle Y}
2759:be any non-empty
2694:{\displaystyle X}
2613:{\displaystyle U}
2483:{\displaystyle Y}
2463:{\displaystyle X}
2437:subspace topology
2391:{\displaystyle U}
2324:{\displaystyle X}
2269:{\displaystyle X}
2173:{\displaystyle X}
2124:{\displaystyle b}
2066:{\displaystyle a}
2008:{\displaystyle b}
1930:{\displaystyle b}
1910:{\displaystyle a}
1793:{\displaystyle b}
1773:{\displaystyle a}
1592:is any subset of
1403:{\displaystyle X}
1390:is a topology on
1188:{\displaystyle X}
1008:{\displaystyle X}
901:{\displaystyle S}
881:{\displaystyle X}
857:{\displaystyle S}
802:{\displaystyle S}
775:{\displaystyle X}
725:{\displaystyle x}
607:{\displaystyle x}
509:{\displaystyle B}
460:{\displaystyle B}
440:{\displaystyle X}
393:{\displaystyle B}
327:{\displaystyle B}
283:{\displaystyle B}
220:{\displaystyle X}
192:{\displaystyle B}
109:{\displaystyle B}
66:{\displaystyle X}
52:topological space
8659:
8652:General topology
8638:
8608:General Topology
8601:
8565:
8527:
8497:
8446:
8445:
8437:
8424:
8418:
8412:
8406:
8386:
8384:
8382:
8381:
8376:
8364:
8362:
8361:
8356:
8344:
8342:
8341:
8336:
8312:
8310:
8309:
8304:
8292:
8290:
8289:
8284:
8272:
8270:
8269:
8264:
8246:
8244:
8243:
8238:
8226:
8224:
8223:
8218:
8206:
8204:
8203:
8198:
8186:
8184:
8183:
8178:
8154:
8152:
8151:
8146:
8119:
8117:
8116:
8111:
8099:
8097:
8096:
8091:
8079:
8077:
8076:
8071:
8058:
8026:
8024:
8023:
8018:
8013:
8012:
8007:
8003:
8002:
7971:
7969:
7968:
7963:
7952:
7950:
7949:
7944:
7929:
7927:
7926:
7921:
7919:
7918:
7908:
7896:
7895:
7890:
7886:
7885:
7864:
7862:
7861:
7856:
7851:
7850:
7834:
7832:
7831:
7826:
7824:
7823:
7807:
7805:
7804:
7799:
7797:
7796:
7784:
7783:
7767:
7765:
7764:
7759:
7757:
7756:
7740:
7738:
7737:
7732:
7730:
7729:
7709:
7707:
7706:
7701:
7699:
7698:
7682:
7680:
7679:
7674:
7666:
7665:
7649:
7647:
7646:
7641:
7639:
7638:
7629:
7628:
7606:
7604:
7603:
7598:
7578:
7576:
7575:
7570:
7568:
7567:
7557:
7531:
7530:
7522:
7520:
7519:
7514:
7512:
7500:
7498:
7497:
7492:
7490:
7460:
7458:
7457:
7452:
7440:
7438:
7437:
7432:
7420:
7418:
7417:
7412:
7400:
7398:
7397:
7392:
7387:
7379:
7378:
7365:
7363:
7362:
7357:
7342:
7340:
7339:
7334:
7332:
7331:
7318:
7316:
7315:
7310:
7305:
7304:
7295:
7294:
7289:
7288:
7262:
7260:
7259:
7254:
7242:
7240:
7239:
7234:
7232:
7231:
7226:
7225:
7199:
7197:
7196:
7191:
7176:
7174:
7173:
7168:
7166:
7165:
7160:
7159:
7133:
7131:
7130:
7125:
7104:
7102:
7101:
7096:
7085:
7084:
7066:
7065:
7049:
7047:
7046:
7041:
7036:
7035:
7017:
7016:
6994:
6992:
6991:
6986:
6974:
6972:
6971:
6966:
6961:
6960:
6938:
6936:
6935:
6930:
6918:
6916:
6915:
6910:
6908:
6907:
6902:
6901:
6891:
6887:
6886:
6866:
6864:
6863:
6858:
6825:
6823:
6822:
6817:
6796:
6794:
6793:
6788:
6776:
6774:
6773:
6768:
6766:
6765:
6760:
6759:
6734:
6732:
6731:
6726:
6705:
6703:
6702:
6697:
6682:
6680:
6679:
6674:
6672:
6671:
6666:
6665:
6648:
6646:
6645:
6640:
6628:
6626:
6625:
6620:
6608:
6606:
6605:
6600:
6598:
6597:
6592:
6591:
6577:
6575:
6574:
6569:
6567:
6566:
6561:
6560:
6541:
6539:
6538:
6533:
6528:
6527:
6522:
6521:
6507:
6505:
6504:
6499:
6497:
6496:
6495:
6494:
6484:
6483:
6469:
6467:
6466:
6461:
6449:
6447:
6446:
6441:
6439:
6438:
6433:
6432:
6422:
6418:
6417:
6398:
6396:
6395:
6390:
6357:
6355:
6354:
6349:
6344:
6343:
6330:
6328:
6327:
6322:
6317:
6316:
6315:
6314:
6304:
6303:
6287:
6286:
6285:
6284:
6274:
6273:
6263:
6262:
6257:
6256:
6242:
6240:
6239:
6234:
6219:
6217:
6216:
6211:
6209:
6208:
6207:
6206:
6196:
6195:
6185:
6181:
6180:
6160:
6158:
6157:
6152:
6150:
6149:
6136:
6134:
6133:
6128:
6126:
6125:
6124:
6123:
6113:
6112:
6098:
6096:
6095:
6090:
6057:
6055:
6054:
6049:
6047:
6035:
6033:
6032:
6027:
6025:
6024:
6008:
6006:
6005:
6000:
5998:
5997:
5988:
5987:
5974:
5972:
5971:
5966:
5954:
5952:
5951:
5946:
5934:
5932:
5931:
5926:
5921:
5920:
5911:
5910:
5897:
5895:
5894:
5889:
5877:
5875:
5874:
5869:
5867:
5866:
5844:
5842:
5841:
5836:
5834:
5833:
5824:
5823:
5814:
5813:
5797:
5795:
5794:
5789:
5784:
5783:
5774:
5773:
5757:
5755:
5754:
5749:
5737:
5735:
5734:
5729:
5696:
5694:
5693:
5688:
5686:
5685:
5676:
5675:
5657:
5655:
5654:
5649:
5638:
5637:
5619:
5618:
5596:
5594:
5593:
5588:
5586:
5585:
5576:
5575:
5557:
5556:
5540:
5538:
5537:
5532:
5527:
5526:
5513:
5511:
5510:
5505:
5493:
5491:
5490:
5485:
5483:
5482:
5469:
5467:
5466:
5461:
5440:
5438:
5437:
5432:
5430:
5429:
5410:
5408:
5407:
5402:
5387:
5385:
5384:
5379:
5377:
5376:
5363:
5361:
5360:
5355:
5353:
5352:
5343:
5342:
5329:
5327:
5326:
5321:
5309:
5307:
5306:
5301:
5299:
5298:
5289:
5288:
5275:
5273:
5272:
5267:
5249:
5247:
5246:
5241:
5226:
5224:
5223:
5218:
5216:
5215:
5206:
5205:
5190:
5188:
5187:
5182:
5167:
5165:
5164:
5159:
5157:
5156:
5147:
5146:
5133:
5131:
5130:
5125:
5120:
5112:
5111:
5098:
5096:
5095:
5090:
5088:
5087:
5078:
5077:
5068:
5067:
5054:
5052:
5051:
5046:
5044:
5043:
5030:
5028:
5027:
5022:
5010:
5008:
5007:
5002:
4987:
4985:
4984:
4979:
4977:
4976:
4967:
4966:
4953:
4951:
4950:
4945:
4943:
4942:
4929:
4927:
4926:
4921:
4916:
4915:
4902:
4900:
4899:
4894:
4882:
4880:
4879:
4874:
4872:
4871:
4862:
4861:
4848:
4846:
4845:
4840:
4825:
4823:
4822:
4817:
4815:
4814:
4805:
4804:
4791:
4789:
4788:
4783:
4764:
4762:
4761:
4756:
4754:
4753:
4744:
4743:
4726:
4724:
4723:
4718:
4706:
4704:
4703:
4698:
4696:
4695:
4682:
4680:
4679:
4674:
4672:
4671:
4666:
4665:
4651:
4649:
4648:
4643:
4641:
4640:
4635:
4634:
4608:
4606:
4605:
4600:
4586:
4585:
4572:
4570:
4569:
4564:
4562:
4561:
4542:
4540:
4539:
4534:
4522:
4520:
4519:
4514:
4503:implies that if
4502:
4500:
4499:
4494:
4492:
4480:
4478:
4477:
4472:
4470:
4469:
4453:
4451:
4450:
4445:
4443:
4442:
4429:
4427:
4426:
4421:
4409:
4407:
4406:
4401:
4399:
4398:
4385:
4383:
4382:
4377:
4365:
4363:
4362:
4357:
4355:
4354:
4342:
4340:
4339:
4334:
4329:
4317:
4315:
4314:
4309:
4304:
4296:
4295:
4278:
4276:
4275:
4270:
4265:
4253:
4251:
4250:
4245:
4243:
4235:
4234:
4217:
4215:
4214:
4209:
4207:
4196:Partially order
4195:
4193:
4192:
4187:
4172:
4170:
4169:
4164:
4152:
4150:
4149:
4144:
4142:
4130:
4128:
4127:
4122:
4120:
4119:
4106:
4104:
4103:
4098:
4086:
4084:
4083:
4078:
4056:
4055:
4050:
4048:
4047:
4042:
4040:
4039:
4026:
4024:
4023:
4018:
4006:
4004:
4003:
3998:
3983:
3981:
3980:
3975:
3973:
3972:
3959:
3957:
3956:
3951:
3935:
3933:
3932:
3927:
3919:
3918:
3897:
3895:
3894:
3889:
3877:
3875:
3874:
3869:
3867:
3866:
3853:
3851:
3850:
3845:
3833:
3831:
3830:
3825:
3823:
3822:
3809:
3807:
3806:
3801:
3789:
3787:
3786:
3781:
3739:
3737:
3736:
3731:
3710:
3708:
3707:
3702:
3700:
3699:
3683:
3681:
3680:
3675:
3659:
3657:
3656:
3651:
3639:
3637:
3636:
3631:
3629:
3628:
3617:
3613:
3612:
3595:
3594:
3570:
3568:
3567:
3562:
3557:
3556:
3537:
3535:
3534:
3529:
3517:
3515:
3514:
3509:
3498:
3497:
3475:
3473:
3472:
3467:
3443:
3441:
3440:
3435:
3420:
3418:
3417:
3412:
3410:
3409:
3396:
3394:
3393:
3388:
3352:
3350:
3349:
3344:
3332:
3330:
3329:
3324:
3312:
3290:
3288:
3287:
3282:
3270:
3268:
3267:
3262:
3250:
3248:
3247:
3242:
3229:
3227:
3226:
3221:
3207:
3205:
3204:
3199:
3175:
3173:
3172:
3167:
3148:
3146:
3145:
3140:
3129:). Note that if
3128:
3126:
3125:
3120:
3102:
3100:
3099:
3094:
3070:
3068:
3067:
3062:
3032:
3030:
3029:
3024:
2999:
2997:
2996:
2991:
2978:
2976:
2975:
2970:
2958:
2956:
2955:
2950:
2932:
2930:
2929:
2924:
2900:
2898:
2897:
2892:
2880:
2878:
2877:
2872:
2856:
2854:
2853:
2848:
2836:
2834:
2833:
2828:
2826:
2814:
2812:
2811:
2806:
2794:
2792:
2791:
2786:
2758:
2756:
2755:
2750:
2728:
2726:
2725:
2720:
2718:
2700:
2698:
2697:
2692:
2676:
2674:
2673:
2668:
2642:
2640:
2639:
2634:
2619:
2617:
2616:
2611:
2595:
2593:
2592:
2587:
2569:
2567:
2566:
2561:
2489:
2487:
2486:
2481:
2469:
2467:
2466:
2461:
2433:product topology
2427:
2425:
2424:
2419:
2414:
2413:
2397:
2395:
2394:
2389:
2377:
2375:
2374:
2369:
2354:
2346:
2330:
2328:
2327:
2322:
2302:
2300:
2299:
2294:
2292:
2291:
2275:
2273:
2272:
2267:
2255:
2253:
2252:
2247:
2245:
2244:
2228:
2226:
2225:
2220:
2215:
2214:
2196:
2195:
2179:
2177:
2176:
2171:
2158:initial topology
2153:
2151:
2150:
2145:
2130:
2128:
2127:
2122:
2106:
2104:
2103:
2098:
2079:separation axiom
2072:
2070:
2069:
2064:
2052:
2050:
2049:
2044:
2014:
2012:
2011:
2006:
1995:
1993:
1992:
1987:
1972:
1970:
1969:
1964:
1936:
1934:
1933:
1928:
1916:
1914:
1913:
1908:
1896:
1894:
1893:
1888:
1870:
1868:
1867:
1862:
1799:
1797:
1796:
1791:
1779:
1777:
1776:
1771:
1759:
1757:
1756:
1751:
1724:
1722:
1721:
1716:
1685:
1683:
1682:
1677:
1675:
1658:
1656:
1655:
1650:
1635:
1633:
1632:
1627:
1625:
1624:
1611:
1609:
1608:
1603:
1591:
1589:
1588:
1583:
1581:
1580:
1567:
1565:
1564:
1559:
1544:
1542:
1541:
1536:
1524:
1522:
1521:
1516:
1514:
1513:
1500:
1498:
1497:
1492:
1477:
1475:
1474:
1469:
1467:
1466:
1453:
1451:
1450:
1445:
1433:
1431:
1430:
1425:
1423:
1422:
1409:
1407:
1406:
1401:
1389:
1387:
1386:
1381:
1367:
1365:
1364:
1359:
1332:
1330:
1329:
1324:
1316:
1315:
1302:
1300:
1299:
1294:
1274:
1273:
1253:
1251:
1250:
1245:
1230:
1228:
1227:
1222:
1220:
1219:
1201:separation axiom
1194:
1192:
1191:
1186:
1174:
1172:
1171:
1166:
1164:
1163:
1150:
1148:
1147:
1142:
1140:
1139:
1126:
1124:
1123:
1118:
1106:
1104:
1103:
1098:
1090:
1089:
1076:
1074:
1073:
1068:
1041:
1039:
1038:
1033:
1028:
1027:
1014:
1012:
1011:
1006:
994:
992:
991:
986:
971:
969:
968:
963:
961:
960:
939:
937:
936:
931:
907:
905:
904:
899:
887:
885:
884:
879:
863:
861:
860:
855:
843:
841:
840:
835:
808:
806:
805:
800:
781:
779:
778:
773:
754:
752:
751:
746:
731:
729:
728:
723:
711:
709:
708:
703:
688:
686:
685:
680:
678:
677:
659:
658:
642:
640:
639:
634:
613:
611:
610:
605:
593:
591:
590:
585:
566:
564:
563:
558:
542:
540:
539:
534:
515:
513:
512:
507:
489:
487:
486:
481:
466:
464:
463:
458:
446:
444:
443:
438:
426:
424:
423:
418:
416:
415:
399:
397:
396:
391:
379:
377:
376:
371:
360:This means that
359:
357:
356:
351:
333:
331:
330:
325:
309:
307:
306:
301:
289:
287:
286:
281:
269:
267:
266:
261:
249:
247:
246:
241:
226:
224:
223:
218:
198:
196:
195:
190:
178:
176:
175:
170:
158:
156:
155:
150:
135:
133:
132:
127:
115:
113:
112:
107:
95:
93:
92:
87:
72:
70:
69:
64:
8667:
8666:
8662:
8661:
8660:
8658:
8657:
8656:
8642:
8641:
8627:
8590:
8554:
8516:
8502:Dugundji, James
8486:
8455:
8450:
8449:
8438:
8427:
8419:
8415:
8407:
8400:
8395:
8390:
8389:
8370:
8367:
8366:
8350:
8347:
8346:
8318:
8315:
8314:
8298:
8295:
8294:
8278:
8275:
8274:
8252:
8249:
8248:
8232:
8229:
8228:
8212:
8209:
8208:
8192:
8189:
8188:
8160:
8157:
8156:
8125:
8122:
8121:
8105:
8102:
8101:
8085:
8082:
8081:
8065:
8062:
8061:
8059:
8055:
8050:
8041:Base (topology)
8037:
8032:
8008:
7998:
7994:
7990:
7989:
7987:
7984:
7983:
7976:axiom of choice
7957:
7954:
7953:
7935:
7932:
7931:
7914:
7910:
7904:
7891:
7881:
7877:
7873:
7872:
7870:
7867:
7866:
7846:
7842:
7840:
7837:
7836:
7819:
7815:
7813:
7810:
7809:
7792:
7788:
7779:
7775:
7773:
7770:
7769:
7752:
7748:
7746:
7743:
7742:
7725:
7721:
7719:
7716:
7715:
7694:
7690:
7688:
7685:
7684:
7661:
7657:
7655:
7652:
7651:
7634:
7630:
7624:
7620:
7612:
7609:
7608:
7592:
7589:
7588:
7563:
7559:
7553:
7547:
7544:
7543:
7536:
7508:
7506:
7503:
7502:
7486:
7484:
7481:
7480:
7466:
7446:
7443:
7442:
7426:
7423:
7422:
7406:
7403:
7402:
7383:
7374:
7373:
7371:
7368:
7367:
7348:
7345:
7344:
7327:
7326:
7324:
7321:
7320:
7300:
7299:
7290:
7284:
7283:
7282:
7268:
7265:
7264:
7248:
7245:
7244:
7227:
7221:
7220:
7219:
7205:
7202:
7201:
7182:
7179:
7178:
7161:
7155:
7154:
7153:
7139:
7136:
7135:
7110:
7107:
7106:
7080:
7076:
7061:
7057:
7055:
7052:
7051:
7050:Recalling that
7031:
7027:
7012:
7008:
7000:
6997:
6996:
6980:
6977:
6976:
6956:
6952:
6944:
6941:
6940:
6924:
6921:
6920:
6903:
6897:
6896:
6895:
6882:
6878:
6874:
6872:
6869:
6868:
6831:
6828:
6827:
6802:
6799:
6798:
6797:if and only if
6782:
6779:
6778:
6761:
6755:
6754:
6753:
6739:
6736:
6735:
6711:
6708:
6707:
6688:
6685:
6684:
6667:
6661:
6660:
6659:
6654:
6651:
6650:
6634:
6631:
6630:
6614:
6611:
6610:
6593:
6587:
6586:
6585:
6583:
6580:
6579:
6562:
6556:
6555:
6554:
6549:
6546:
6545:
6523:
6517:
6516:
6515:
6513:
6510:
6509:
6490:
6486:
6485:
6479:
6478:
6477:
6475:
6472:
6471:
6455:
6452:
6451:
6434:
6428:
6427:
6426:
6413:
6409:
6405:
6403:
6400:
6399:
6363:
6360:
6359:
6339:
6338:
6336:
6333:
6332:
6310:
6306:
6305:
6299:
6298:
6297:
6280:
6276:
6275:
6269:
6268:
6267:
6258:
6252:
6251:
6250:
6248:
6245:
6244:
6225:
6222:
6221:
6202:
6198:
6197:
6191:
6190:
6189:
6176:
6172:
6168:
6166:
6163:
6162:
6145:
6144:
6142:
6139:
6138:
6119:
6115:
6114:
6108:
6107:
6106:
6104:
6101:
6100:
6063:
6060:
6059:
6043:
6041:
6038:
6037:
6020:
6019:
6017:
6014:
6013:
5993:
5992:
5983:
5982:
5980:
5977:
5976:
5960:
5957:
5956:
5940:
5937:
5936:
5916:
5915:
5906:
5905:
5903:
5900:
5899:
5883:
5880:
5879:
5862:
5858:
5850:
5847:
5846:
5829:
5828:
5819:
5818:
5809:
5805:
5803:
5800:
5799:
5779:
5778:
5769:
5765:
5763:
5760:
5759:
5743:
5740:
5739:
5702:
5699:
5698:
5681:
5680:
5671:
5667:
5665:
5662:
5661:
5633:
5629:
5614:
5610:
5602:
5599:
5598:
5581:
5580:
5571:
5567:
5552:
5548:
5546:
5543:
5542:
5522:
5521:
5519:
5516:
5515:
5499:
5496:
5495:
5478:
5477:
5475:
5472:
5471:
5446:
5443:
5442:
5425:
5424:
5416:
5413:
5412:
5393:
5390:
5389:
5372:
5371:
5369:
5366:
5365:
5348:
5347:
5338:
5337:
5335:
5332:
5331:
5315:
5312:
5311:
5294:
5293:
5284:
5283:
5281:
5278:
5277:
5255:
5252:
5251:
5232:
5229:
5228:
5227:does not cover
5211:
5210:
5201:
5200:
5198:
5195:
5194:
5173:
5170:
5169:
5168:does not cover
5152:
5151:
5142:
5141:
5139:
5136:
5135:
5116:
5107:
5106:
5104:
5101:
5100:
5083:
5082:
5073:
5072:
5063:
5062:
5060:
5057:
5056:
5039:
5038:
5036:
5033:
5032:
5031:by elements of
5016:
5013:
5012:
4993:
4990:
4989:
4972:
4971:
4962:
4961:
4959:
4956:
4955:
4938:
4937:
4935:
4932:
4931:
4911:
4910:
4908:
4905:
4904:
4903:by elements of
4888:
4885:
4884:
4867:
4866:
4857:
4856:
4854:
4851:
4850:
4831:
4828:
4827:
4826:was a cover of
4810:
4809:
4800:
4799:
4797:
4794:
4793:
4774:
4771:
4770:
4749:
4748:
4739:
4738:
4736:
4733:
4732:
4712:
4709:
4708:
4691:
4690:
4688:
4685:
4684:
4667:
4661:
4660:
4659:
4657:
4654:
4653:
4636:
4630:
4629:
4628:
4614:
4611:
4610:
4581:
4580:
4578:
4575:
4574:
4557:
4556:
4548:
4545:
4544:
4528:
4525:
4524:
4508:
4505:
4504:
4488:
4486:
4483:
4482:
4465:
4464:
4462:
4459:
4458:
4438:
4437:
4435:
4432:
4431:
4415:
4412:
4411:
4394:
4393:
4391:
4388:
4387:
4371:
4368:
4367:
4350:
4349:
4347:
4344:
4343:
4325:
4323:
4320:
4319:
4300:
4291:
4290:
4288:
4285:
4284:
4261:
4259:
4256:
4255:
4239:
4230:
4229:
4227:
4224:
4223:
4203:
4201:
4198:
4197:
4178:
4175:
4174:
4158:
4155:
4154:
4138:
4136:
4133:
4132:
4115:
4114:
4112:
4109:
4108:
4092:
4089:
4088:
4072:
4069:
4068:
4061:
4035:
4034:
4032:
4029:
4028:
4012:
4009:
4008:
4007:every cover of
3989:
3986:
3985:
3968:
3967:
3965:
3962:
3961:
3960:is compact and
3945:
3942:
3941:
3914:
3913:
3911:
3908:
3907:
3883:
3880:
3879:
3862:
3861:
3859:
3856:
3855:
3839:
3836:
3835:
3818:
3817:
3815:
3812:
3811:
3810:has a subbasis
3795:
3792:
3791:
3763:
3760:
3759:
3745:
3716:
3713:
3712:
3695:
3691:
3689:
3686:
3685:
3669:
3666:
3665:
3645:
3642:
3641:
3618:
3608:
3604:
3600:
3599:
3590:
3586:
3584:
3581:
3580:
3552:
3551:
3543:
3540:
3539:
3523:
3520:
3519:
3490:
3486:
3484:
3481:
3480:
3449:
3446:
3445:
3426:
3423:
3422:
3405:
3404:
3402:
3399:
3398:
3370:
3367:
3366:
3359:
3338:
3335:
3334:
3302:
3296:
3293:
3292:
3276:
3273:
3272:
3271:does not cover
3256:
3253:
3252:
3236:
3233:
3232:
3215:
3212:
3211:
3181:
3178:
3177:
3158:
3155:
3154:
3134:
3131:
3130:
3108:
3105:
3104:
3076:
3073:
3072:
3038:
3035:
3034:
3006:
3003:
3002:
2985:
2982:
2981:
2964:
2961:
2960:
2938:
2935:
2934:
2906:
2903:
2902:
2886:
2883:
2882:
2866:
2863:
2862:
2842:
2839:
2838:
2822:
2820:
2817:
2816:
2800:
2797:
2796:
2768:
2765:
2764:
2738:
2735:
2734:
2714:
2706:
2703:
2702:
2686:
2683:
2682:
2650:
2647:
2646:
2625:
2622:
2621:
2605:
2602:
2601:
2575:
2572:
2571:
2495:
2492:
2491:
2475:
2472:
2471:
2455:
2452:
2451:
2428:as a subbasis.
2409:
2405:
2403:
2400:
2399:
2383:
2380:
2379:
2347:
2342:
2336:
2333:
2332:
2316:
2313:
2312:
2287:
2283:
2281:
2278:
2277:
2276:such that each
2261:
2258:
2257:
2240:
2236:
2234:
2231:
2230:
2210:
2206:
2191:
2187:
2185:
2182:
2181:
2165:
2162:
2161:
2136:
2133:
2132:
2116:
2113:
2112:
2086:
2083:
2082:
2078:
2058:
2055:
2054:
2023:
2020:
2019:
2000:
1997:
1996:
1978:
1975:
1974:
1946:
1943:
1942:
1922:
1919:
1918:
1902:
1899:
1898:
1876:
1873:
1872:
1805:
1802:
1801:
1785:
1782:
1781:
1765:
1762:
1761:
1730:
1727:
1726:
1695:
1692:
1691:
1671:
1669:
1666:
1665:
1641:
1638:
1637:
1620:
1619:
1617:
1614:
1613:
1597:
1594:
1593:
1576:
1575:
1573:
1570:
1569:
1550:
1547:
1546:
1530:
1527:
1526:
1525:for a topology
1509:
1508:
1506:
1503:
1502:
1501:Thus any basis
1483:
1480:
1479:
1462:
1461:
1459:
1456:
1455:
1439:
1436:
1435:
1434:is a basis for
1418:
1417:
1415:
1412:
1411:
1395:
1392:
1391:
1375:
1372:
1371:
1338:
1335:
1334:
1311:
1310:
1308:
1305:
1304:
1269:
1268:
1266:
1263:
1262:
1259:
1236:
1233:
1232:
1215:
1214:
1212:
1209:
1208:
1200:
1180:
1177:
1176:
1175:does not cover
1159:
1158:
1156:
1153:
1152:
1135:
1134:
1132:
1129:
1128:
1112:
1109:
1108:
1085:
1084:
1082:
1079:
1078:
1050:
1047:
1046:
1023:
1022:
1020:
1017:
1016:
1000:
997:
996:
977:
974:
973:
956:
955:
953:
950:
949:
946:
916:
913:
912:
893:
890:
889:
873:
870:
869:
849:
846:
845:
817:
814:
813:
794:
791:
790:
767:
764:
763:
758:(If we use the
737:
734:
733:
717:
714:
713:
694:
691:
690:
673:
669:
654:
650:
648:
645:
644:
619:
616:
615:
614:in an open set
599:
596:
595:
576:
573:
572:
552:
549:
548:
525:
522:
521:
501:
498:
497:
496:of elements of
472:
469:
468:
452:
449:
448:
432:
429:
428:
411:
407:
405:
402:
401:
400:: any topology
385:
382:
381:
365:
362:
361:
342:
339:
338:
319:
316:
315:
295:
292:
291:
275:
272:
271:
255:
252:
251:
232:
229:
228:
212:
209:
208:
205:
184:
181:
180:
164:
161:
160:
141:
138:
137:
136:that generates
121:
118:
117:
101:
98:
97:
81:
78:
77:
58:
55:
54:
28:
17:
12:
11:
5:
8665:
8655:
8654:
8640:
8639:
8625:
8602:
8588:
8566:
8552:
8528:
8514:
8498:
8484:
8454:
8451:
8448:
8447:
8425:
8423:, pp. 82.
8413:
8397:
8396:
8394:
8391:
8388:
8387:
8374:
8354:
8334:
8331:
8328:
8325:
8322:
8302:
8282:
8262:
8259:
8256:
8247:is. But since
8236:
8216:
8196:
8176:
8173:
8170:
8167:
8164:
8144:
8141:
8138:
8135:
8132:
8129:
8109:
8089:
8069:
8052:
8051:
8049:
8046:
8045:
8044:
8036:
8033:
8029:
8028:
8016:
8011:
8006:
8001:
7997:
7993:
7961:
7942:
7939:
7917:
7913:
7907:
7903:
7899:
7894:
7889:
7884:
7880:
7876:
7854:
7849:
7845:
7822:
7818:
7795:
7791:
7787:
7782:
7778:
7755:
7751:
7728:
7724:
7713:
7697:
7693:
7672:
7669:
7664:
7660:
7637:
7633:
7627:
7623:
7619:
7616:
7596:
7586:
7566:
7562:
7556:
7552:
7538:
7537:
7534:
7529:
7511:
7489:
7463:
7462:
7450:
7430:
7410:
7390:
7386:
7382:
7377:
7355:
7352:
7330:
7308:
7303:
7298:
7293:
7287:
7281:
7278:
7275:
7272:
7252:
7230:
7224:
7218:
7215:
7212:
7209:
7189:
7186:
7164:
7158:
7152:
7149:
7146:
7143:
7123:
7120:
7117:
7114:
7094:
7091:
7088:
7083:
7079:
7075:
7072:
7069:
7064:
7060:
7039:
7034:
7030:
7026:
7023:
7020:
7015:
7011:
7007:
7004:
6984:
6964:
6959:
6955:
6951:
6948:
6928:
6906:
6900:
6894:
6890:
6885:
6881:
6877:
6867:the fact that
6856:
6853:
6850:
6847:
6844:
6841:
6838:
6835:
6815:
6812:
6809:
6806:
6786:
6764:
6758:
6752:
6749:
6746:
6743:
6724:
6721:
6718:
6715:
6695:
6692:
6670:
6664:
6658:
6638:
6618:
6596:
6590:
6565:
6559:
6553:
6531:
6526:
6520:
6493:
6489:
6482:
6459:
6437:
6431:
6425:
6421:
6416:
6412:
6408:
6388:
6385:
6382:
6379:
6376:
6373:
6370:
6367:
6347:
6342:
6320:
6313:
6309:
6302:
6296:
6293:
6290:
6283:
6279:
6272:
6266:
6261:
6255:
6232:
6229:
6205:
6201:
6194:
6188:
6184:
6179:
6175:
6171:
6148:
6122:
6118:
6111:
6088:
6085:
6082:
6079:
6076:
6073:
6070:
6067:
6046:
6023:
5996:
5991:
5986:
5964:
5944:
5924:
5919:
5914:
5909:
5898:is covered by
5887:
5865:
5861:
5857:
5854:
5832:
5827:
5822:
5817:
5812:
5808:
5787:
5782:
5777:
5772:
5768:
5758:was such that
5747:
5727:
5724:
5721:
5718:
5715:
5712:
5709:
5706:
5684:
5679:
5674:
5670:
5647:
5644:
5641:
5636:
5632:
5628:
5625:
5622:
5617:
5613:
5609:
5606:
5584:
5579:
5574:
5570:
5566:
5563:
5560:
5555:
5551:
5530:
5525:
5503:
5481:
5459:
5456:
5453:
5450:
5428:
5423:
5420:
5400:
5397:
5375:
5364:). But since
5351:
5346:
5341:
5319:
5297:
5292:
5287:
5265:
5262:
5259:
5239:
5236:
5214:
5209:
5204:
5180:
5177:
5155:
5150:
5145:
5123:
5119:
5115:
5110:
5086:
5081:
5076:
5071:
5066:
5042:
5020:
5000:
4997:
4975:
4970:
4965:
4941:
4919:
4914:
4892:
4883:is a cover of
4870:
4865:
4860:
4838:
4835:
4813:
4808:
4803:
4781:
4778:
4768:
4752:
4747:
4742:
4729:
4728:
4716:
4694:
4670:
4664:
4639:
4633:
4627:
4624:
4621:
4618:
4598:
4595:
4592:
4589:
4584:
4560:
4555:
4552:
4532:
4512:
4491:
4468:
4455:
4441:
4419:
4397:
4375:
4353:
4332:
4328:
4307:
4303:
4299:
4294:
4279:Observe that:
4268:
4264:
4242:
4238:
4233:
4206:
4185:
4182:
4162:
4141:
4118:
4096:
4076:
4063:
4062:
4059:
4054:
4053:
4052:
4038:
4016:
3996:
3993:
3971:
3949:
3925:
3922:
3917:
3904:
3903:
3887:
3865:
3843:
3821:
3799:
3779:
3776:
3773:
3770:
3767:
3744:
3741:
3729:
3726:
3723:
3720:
3698:
3694:
3673:
3663:
3649:
3627:
3624:
3621:
3616:
3611:
3607:
3603:
3598:
3593:
3589:
3560:
3555:
3550:
3547:
3527:
3507:
3504:
3501:
3496:
3493:
3489:
3478:if and only if
3476:is continuous
3465:
3462:
3459:
3456:
3453:
3433:
3430:
3408:
3386:
3383:
3380:
3377:
3374:
3358:
3355:
3342:
3322:
3319:
3316:
3311:
3308:
3305:
3301:
3280:
3260:
3240:
3219:
3197:
3194:
3191:
3188:
3185:
3165:
3162:
3138:
3118:
3115:
3112:
3092:
3089:
3086:
3083:
3080:
3060:
3057:
3054:
3051:
3048:
3045:
3042:
3022:
3019:
3016:
3013:
3010:
2989:
2968:
2948:
2945:
2942:
2922:
2919:
2916:
2913:
2910:
2901:inherits from
2890:
2870:
2846:
2825:
2804:
2795:(for example,
2784:
2781:
2778:
2775:
2772:
2762:
2748:
2745:
2742:
2717:
2713:
2710:
2690:
2666:
2663:
2660:
2657:
2654:
2632:
2629:
2609:
2585:
2582:
2579:
2559:
2556:
2553:
2550:
2547:
2544:
2541:
2538:
2535:
2532:
2529:
2526:
2523:
2520:
2517:
2514:
2511:
2508:
2505:
2502:
2499:
2479:
2459:
2417:
2412:
2408:
2387:
2367:
2364:
2361:
2358:
2353:
2350:
2345:
2341:
2320:
2309:inverse images
2290:
2286:
2265:
2243:
2239:
2218:
2213:
2209:
2205:
2202:
2199:
2194:
2190:
2169:
2143:
2140:
2131:also contains
2120:
2096:
2093:
2090:
2076:
2062:
2042:
2039:
2036:
2033:
2030:
2027:
2004:
1985:
1982:
1962:
1959:
1956:
1953:
1950:
1926:
1906:
1886:
1883:
1880:
1860:
1857:
1854:
1851:
1848:
1845:
1842:
1839:
1836:
1833:
1830:
1827:
1824:
1821:
1818:
1815:
1812:
1809:
1789:
1769:
1749:
1746:
1743:
1740:
1737:
1734:
1714:
1711:
1708:
1705:
1702:
1699:
1674:
1648:
1645:
1623:
1601:
1579:
1557:
1554:
1534:
1512:
1490:
1487:
1465:
1443:
1421:
1399:
1379:
1357:
1354:
1351:
1348:
1345:
1342:
1322:
1319:
1314:
1292:
1289:
1286:
1283:
1280:
1277:
1272:
1258:
1255:
1243:
1240:
1218:
1198:
1184:
1162:
1138:
1116:
1096:
1093:
1088:
1066:
1063:
1060:
1057:
1054:
1031:
1026:
1004:
995:In this case,
984:
981:
959:
945:
942:
929:
926:
923:
920:
897:
877:
853:
833:
830:
827:
824:
821:
798:
789:subcollection
788:
771:
756:
755:
744:
741:
721:
701:
698:
676:
672:
668:
665:
662:
657:
653:
632:
629:
626:
623:
603:
583:
580:
556:
532:
529:
505:
490:
479:
476:
456:
436:
414:
410:
389:
369:
349:
346:
323:
299:
279:
259:
239:
236:
216:
204:
201:
188:
168:
148:
145:
125:
105:
85:
62:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
8664:
8653:
8650:
8649:
8647:
8636:
8632:
8628:
8622:
8618:
8614:
8613:Mineola, N.Y.
8610:
8609:
8603:
8599:
8595:
8591:
8585:
8581:
8577:
8576:
8571:
8570:Rudin, Walter
8567:
8563:
8559:
8555:
8549:
8545:
8541:
8537:
8533:
8529:
8525:
8521:
8517:
8511:
8507:
8503:
8499:
8495:
8491:
8487:
8481:
8477:
8473:
8472:
8467:
8466:
8461:
8457:
8456:
8443:
8436:
8434:
8432:
8430:
8422:
8417:
8410:
8405:
8403:
8398:
8372:
8352:
8332:
8329:
8323:
8300:
8280:
8260:
8257:
8254:
8234:
8214:
8194:
8174:
8171:
8165:
8142:
8136:
8133:
8130:
8107:
8087:
8067:
8057:
8053:
8042:
8039:
8038:
8027:
8014:
8009:
8004:
7999:
7995:
7991:
7981:
7977:
7972:
7959:
7940:
7937:
7915:
7911:
7905:
7901:
7897:
7892:
7887:
7882:
7878:
7874:
7852:
7847:
7843:
7820:
7816:
7793:
7789:
7785:
7780:
7776:
7753:
7749:
7726:
7722:
7711:
7695:
7691:
7667:
7662:
7658:
7635:
7631:
7625:
7621:
7617:
7614:
7594:
7584:
7582:
7564:
7560:
7554:
7550:
7540:
7539:
7533:
7532:
7528:
7526:
7477:
7475:
7471:
7461:
7448:
7428:
7408:
7388:
7380:
7353:
7350:
7306:
7296:
7291:
7279:
7273:
7250:
7228:
7216:
7210:
7187:
7184:
7162:
7150:
7144:
7121:
7118:
7115:
7112:
7105:we thus have
7092:
7089:
7086:
7081:
7077:
7073:
7070:
7067:
7062:
7058:
7037:
7032:
7028:
7024:
7021:
7018:
7013:
7009:
7005:
7002:
6982:
6962:
6957:
6953:
6949:
6946:
6939:implies that
6926:
6904:
6892:
6888:
6883:
6879:
6875:
6854:
6851:
6848:
6845:
6842:
6839:
6836:
6833:
6813:
6810:
6807:
6804:
6784:
6762:
6750:
6744:
6722:
6719:
6716:
6713:
6693:
6690:
6668:
6656:
6636:
6616:
6594:
6563:
6551:
6542:
6529:
6524:
6491:
6487:
6457:
6435:
6423:
6419:
6414:
6410:
6406:
6386:
6383:
6380:
6377:
6374:
6371:
6368:
6365:
6345:
6318:
6311:
6307:
6294:
6291:
6288:
6281:
6277:
6264:
6259:
6230:
6227:
6203:
6199:
6186:
6182:
6177:
6173:
6169:
6120:
6116:
6086:
6083:
6080:
6077:
6074:
6071:
6068:
6065:
6010:
5989:
5962:
5942:
5922:
5912:
5885:
5863:
5859:
5855:
5852:
5825:
5815:
5810:
5806:
5785:
5775:
5770:
5766:
5745:
5725:
5722:
5719:
5716:
5713:
5710:
5707:
5704:
5677:
5672:
5668:
5658:
5645:
5642:
5639:
5634:
5630:
5626:
5623:
5620:
5615:
5611:
5607:
5604:
5577:
5572:
5568:
5564:
5561:
5558:
5553:
5549:
5528:
5501:
5457:
5454:
5451:
5448:
5421:
5418:
5398:
5395:
5344:
5317:
5290:
5263:
5260:
5257:
5237:
5234:
5207:
5191:
5178:
5175:
5148:
5121:
5113:
5079:
5069:
5018:
4998:
4995:
4968:
4917:
4890:
4863:
4836:
4833:
4806:
4792:Suppose that
4779:
4776:
4766:
4745:
4714:
4668:
4637:
4625:
4619:
4593:
4587:
4553:
4550:
4530:
4510:
4456:
4454:is infinite).
4417:
4373:
4330:
4305:
4297:
4282:
4281:
4280:
4266:
4236:
4221:
4183:
4180:
4160:
4094:
4074:
4065:
4064:
4058:
4057:
4014:
3994:
3991:
3947:
3939:
3938:
3937:
3923:
3920:
3901:
3885:
3841:
3797:
3774:
3771:
3768:
3757:
3754:
3753:
3752:
3750:
3740:
3727:
3724:
3721:
3718:
3696:
3692:
3684:contains all
3671:
3661:
3647:
3625:
3622:
3619:
3614:
3609:
3605:
3601:
3596:
3591:
3587:
3578:
3574:
3558:
3548:
3545:
3525:
3502:
3494:
3491:
3487:
3479:
3463:
3457:
3454:
3451:
3431:
3428:
3384:
3378:
3375:
3372:
3364:
3354:
3340:
3320:
3317:
3314:
3309:
3306:
3303:
3299:
3278:
3258:
3238:
3230:
3217:
3195:
3192:
3186:
3163:
3160:
3152:
3151:proper subset
3136:
3116:
3113:
3110:
3087:
3084:
3081:
3058:
3055:
3052:
3049:
3043:
3020:
3017:
3011:
3000:
2987:
2966:
2946:
2943:
2940:
2917:
2914:
2911:
2888:
2868:
2860:
2844:
2802:
2779:
2776:
2773:
2760:
2746:
2743:
2740:
2732:
2711:
2708:
2688:
2680:
2661:
2658:
2655:
2645:Suppose that
2643:
2630:
2627:
2607:
2599:
2583:
2580:
2577:
2554:
2551:
2545:
2539:
2536:
2533:
2527:
2524:
2521:
2515:
2509:
2506:
2503:
2497:
2477:
2457:
2449:
2444:
2442:
2441:inclusion map
2438:
2434:
2429:
2415:
2410:
2406:
2385:
2365:
2359:
2351:
2348:
2343:
2339:
2318:
2310:
2306:
2288:
2284:
2263:
2241:
2237:
2216:
2211:
2207:
2200:
2197:
2192:
2188:
2167:
2159:
2154:
2141:
2138:
2118:
2110:
2094:
2091:
2088:
2080:
2060:
2053:alone, where
2037:
2034:
2028:
2016:
2002:
1983:
1980:
1957:
1954:
1951:
1940:
1924:
1904:
1884:
1881:
1878:
1852:
1849:
1843:
1837:
1834:
1828:
1822:
1816:
1813:
1810:
1787:
1767:
1747:
1738:
1735:
1709:
1706:
1700:
1689:
1688:semi-infinite
1664:
1659:
1646:
1643:
1599:
1555:
1552:
1532:
1488:
1485:
1441:
1397:
1377:
1368:
1355:
1349:
1346:
1317:
1287:
1284:
1275:
1254:
1241:
1238:
1206:
1202:
1182:
1114:
1094:
1091:
1061:
1058:
1055:
1043:
1029:
1002:
982:
979:
941:
924:
909:
895:
875:
867:
851:
831:
825:
812:
796:
786:
783:
769:
761:
742:
739:
719:
699:
696:
674:
670:
666:
663:
660:
655:
651:
630:
627:
624:
621:
601:
581:
578:
570:
554:
546:
530:
527:
519:
503:
495:
494:intersections
491:
477:
474:
454:
434:
408:
387:
367:
347:
344:
337:the topology
336:
321:
313:
312:
311:
297:
277:
257:
250:A subbase of
237:
234:
214:
200:
186:
166:
146:
143:
123:
103:
83:
76:
60:
53:
49:
45:
41:
37:
33:
26:
22:
8607:
8574:
8535:
8505:
8469:
8464:
8441:
8421:Munkres 2000
8416:
8056:
7980:Zorn's lemma
7973:
7580:
7541:
7478:
7470:Zorn's Lemma
7467:
7441:is compact.
6543:
6011:
5659:
5192:
4988:that covers
4730:
4410:that covers
4220:Zorn's Lemma
4066:
3905:
3755:
3746:
3360:
3209:
2979:
2644:
2445:
2430:
2155:
2017:
1663:real numbers
1660:
1369:
1260:
1044:
947:
910:
866:intersection
784:
757:
334:
206:
47:
43:
39:
35:
29:
8365:containing
5388:does cover
4769:a cover of
3518:is open in
3231:containing
2857:denote the
2229:where each
2111:containing
2081:, since if
888:containing
447:containing
8453:References
8409:Rudin 1991
7200:Moreover,
6629:) and let
5798:then also
5697:for every
5597:such that
5441:such that
5310:(that is,
4543:such that
3538:for every
3363:continuity
2837:) and let
2763:subset of
2305:continuous
203:Definition
8524:395340485
8462:(1989) .
8393:Citations
8373:ν
8333:ν
8330:∪
8281:ν
8261:ν
8235:τ
8215:ν
8175:ν
8172:∪
8137:τ
8068:ν
7960:◼
7902:∏
7898:∈
7865:But then
7786:∈
7671:∅
7668:≠
7622:∪
7551:∏
7449:◼
7381:∈
7297:⊆
7280:∪
7217:∪
7151:∪
7116:⊆
7087:⊆
7074:∩
7071:⋯
7068:∩
7025:∩
7022:⋯
7019:∩
7006:⊆
6950:⊆
6893:∪
6846:…
6808:⊆
6751:∪
6717:⊆
6657:∪
6552:∪
6424:∪
6378:…
6295:∪
6292:⋯
6289:∪
6187:∪
6161:such that
6078:…
5990:∩
5913:∩
5856:∈
5826:∩
5816:∈
5776:∈
5717:…
5640:⊆
5627:∩
5624:⋯
5621:∩
5608:∈
5578:∈
5562:…
5452:∈
5422:∈
5345:∩
5291:∩
5261:∈
5208:∩
5149:∩
5114:∈
5080:⊆
5070:∩
4969:∩
4864:∩
4807:∩
4746:∩
4626:∪
4588:∪
4298:∈
4237:∈
3924:τ
3775:τ
3722:∈
3623:∈
3592:∙
3549:∈
3492:−
3461:→
3382:→
3310:ν
3307:∈
3300:⋃
3259:ν
3239:ν
3196:ν
3193:∪
3088:τ
3059:τ
3056:⊆
3053:ν
3050:∪
3021:ν
3018:∪
2967:ν
2947:τ
2944:⊆
2941:ν
2918:τ
2845:ν
2780:τ
2747:τ
2744:∈
2729:with the
2679:Hausdorff
2662:τ
2581:⊆
2552:⊆
2537:∣
2531:→
2349:−
2204:→
2032:∞
2029:−
1882:≤
1856:∞
1844:∩
1832:∞
1829:−
1742:∞
1704:∞
1701:−
1644:τ
1600:τ
1553:τ
1533:τ
1486:τ
1442:τ
1378:τ
1344:∅
1321:∅
1282:∅
1276:⊆
1115:τ
1095:τ
1092:⊆
1062:τ
919:℘
820:℘
811:power set
664:…
625:⊊
555:τ
528:τ
475:τ
413:′
409:τ
368:τ
345:τ
335:generates
298:τ
258:τ
235:τ
167:τ
144:τ
124:τ
84:τ
8646:Category
8598:21163277
8572:(1991).
8562:42683260
8536:Topology
8534:(2000).
8506:Topology
8504:(1966).
8494:18588129
8258:∉
8035:See also
7585:subbasic
7581:cylinder
5678:∉
4554:∉
3577:sequence
2109:open set
1939:rational
1257:Examples
545:open set
516:forms a
75:topology
50:) for a
48:prebasis
40:subbasis
32:topology
25:Sub-bass
8474:].
7587:family
6919:covers
6777:covers
6243:Define
5055:(since
3900:compact
3071:(since
2733:). Let
2598:compact
1231:covers
809:of the
44:prebase
36:subbase
8635:115240
8633:
8623:
8596:
8586:
8560:
8550:
8522:
8512:
8492:
8482:
8060:Since
6975:Since
5470:Since
5193:Since
4573:then
4283:Since
3758:: Let
2570:where
2378:where
2107:every
1760:where
1151:, yet
972:cover
8468:[
8048:Notes
7835:onto
7710:does
7683:then
7535:Proof
7319:Thus
7263:with
6508:with
4060:Proof
3444:then
3176:then
3149:is a
2881:that
2677:is a
1973:with
569:union
518:basis
73:with
8631:OCLC
8621:ISBN
8594:OCLC
8584:ISBN
8558:OCLC
8548:ISBN
8520:OCLC
8510:ISBN
8490:OCLC
8480:ISBN
8100:and
6544:Let
3575:(or
3251:yet
2933:(so
2761:open
2600:and
2446:The
2156:The
2092:<
1937:are
1917:and
1871:for
1780:and
1410:and
785:For
520:for
207:Let
38:(or
34:, a
8313:an
7712:not
6683:in
6137:of
6036:in
6009:).
5738:If
4767:not
4765:is
4683:of
4481:in
3940:If
3898:is
3662:sub
3573:net
3353:).
3210:on
3153:of
2980:on
2861:on
2596:is
2470:to
2303:is
2160:on
1725:or
1568:If
1478:is
1370:If
787:any
689:of
547:in
427:on
290:of
116:of
30:In
8648::
8629:.
8619:.
8615::
8611:.
8592:.
8582:.
8556:.
8546:.
8542::
8518:.
8488:.
8428:^
8401:^
8385:).
8273:,
7476:.
6265::=
4727:).
3579:)
3571:A
2443:.
1318::=
46:,
42:,
8637:.
8600:.
8564:.
8526:.
8496:.
8444:.
8353:X
8327:}
8324:X
8321:{
8301:X
8255:X
8195:X
8169:}
8166:X
8163:{
8143:,
8140:)
8134:,
8131:X
8128:(
8108:Y
8088:Y
8015:.
8010:i
8005:)
8000:i
7996:x
7992:(
7941:.
7938:C
7916:i
7912:X
7906:i
7893:i
7888:)
7883:i
7879:x
7875:(
7853:.
7848:i
7844:X
7821:i
7817:C
7794:i
7790:X
7781:i
7777:x
7754:i
7750:X
7727:i
7723:X
7696:i
7692:C
7663:i
7659:C
7636:i
7632:C
7626:i
7618:=
7615:C
7595:C
7565:i
7561:X
7555:i
7510:R
7488:R
7429:X
7409:X
7389:.
7385:S
7376:C
7354:,
7351:X
7329:C
7307:.
7302:C
7292:F
7286:C
7277:}
7274:U
7271:{
7251:X
7229:F
7223:C
7214:}
7211:U
7208:{
7188:.
7185:X
7163:F
7157:C
7148:}
7145:U
7142:{
7122:,
7119:U
7113:Z
7093:,
7090:U
7082:n
7078:S
7063:1
7059:S
7038:.
7033:n
7029:S
7014:1
7010:S
7003:Z
6983:i
6963:.
6958:i
6954:S
6947:Z
6927:X
6905:F
6899:C
6889:}
6884:i
6880:S
6876:{
6855:,
6852:n
6849:,
6843:,
6840:1
6837:=
6834:i
6814:.
6811:A
6805:Z
6785:X
6763:F
6757:C
6748:}
6745:A
6742:{
6723:,
6720:X
6714:A
6694:.
6691:X
6669:F
6663:C
6637:Z
6617:X
6595:F
6589:C
6564:F
6558:C
6530:.
6525:F
6519:C
6492:i
6488:S
6481:C
6458:X
6436:F
6430:C
6420:}
6415:i
6411:S
6407:{
6387:,
6384:n
6381:,
6375:,
6372:1
6369:=
6366:i
6346:.
6341:C
6319:,
6312:n
6308:S
6301:C
6282:1
6278:S
6271:C
6260:F
6254:C
6231:.
6228:X
6204:i
6200:S
6193:C
6183:}
6178:i
6174:S
6170:{
6147:C
6121:i
6117:S
6110:C
6087:,
6084:n
6081:,
6075:,
6072:1
6069:=
6066:i
6045:S
6022:C
5995:S
5985:C
5963:x
5943:x
5923:,
5918:S
5908:C
5886:x
5864:i
5860:S
5853:x
5831:S
5821:C
5811:i
5807:S
5786:,
5781:C
5771:i
5767:S
5746:i
5726:.
5723:n
5720:,
5714:,
5711:1
5708:=
5705:i
5683:C
5673:i
5669:S
5646:.
5643:U
5635:n
5631:S
5616:1
5612:S
5605:x
5583:S
5573:n
5569:S
5565:,
5559:,
5554:1
5550:S
5529:,
5524:S
5502:X
5480:S
5458:.
5455:U
5449:x
5427:C
5419:U
5399:,
5396:X
5374:C
5350:S
5340:C
5318:x
5296:S
5286:C
5264:X
5258:x
5238:,
5235:X
5213:S
5203:C
5179:.
5176:X
5154:S
5144:C
5122:,
5118:S
5109:C
5085:C
5075:S
5065:C
5041:C
5019:X
4999:,
4996:X
4974:S
4964:C
4940:S
4918:.
4913:S
4891:X
4869:S
4859:C
4837:,
4834:X
4812:S
4802:C
4780:.
4777:X
4751:S
4741:C
4715:V
4693:C
4669:V
4663:C
4638:V
4632:C
4623:}
4620:V
4617:{
4597:}
4594:V
4591:{
4583:C
4559:C
4551:V
4531:X
4511:V
4490:S
4467:C
4440:C
4418:X
4396:C
4374:X
4352:C
4331:,
4327:S
4306:,
4302:S
4293:C
4267:.
4263:S
4241:S
4232:C
4205:S
4184:.
4181:X
4161:X
4140:S
4117:S
4095:X
4075:X
4037:S
4015:X
3995:,
3992:X
3970:S
3948:X
3921:=
3916:S
3902:.
3886:X
3864:S
3842:X
3820:S
3798:X
3778:)
3772:,
3769:X
3766:(
3728:.
3725:I
3719:i
3697:i
3693:x
3672:x
3648:x
3626:I
3620:i
3615:)
3610:i
3606:x
3602:(
3597:=
3588:x
3559:.
3554:B
3546:B
3526:X
3506:)
3503:B
3500:(
3495:1
3488:f
3464:Y
3458:X
3455::
3452:f
3432:,
3429:Y
3407:B
3385:Y
3379:X
3376::
3373:f
3341:X
3321:Y
3318:=
3315:V
3304:V
3279:X
3218:X
3190:}
3187:X
3184:{
3164:,
3161:X
3137:Y
3117:X
3114:=
3111:Y
3091:)
3085:,
3082:X
3079:(
3047:}
3044:X
3041:{
3015:}
3012:X
3009:{
2988:X
2921:)
2915:,
2912:X
2909:(
2889:Y
2869:Y
2824:R
2803:Y
2783:)
2777:,
2774:X
2771:(
2741:Y
2716:R
2712:=
2709:X
2689:X
2665:)
2659:,
2656:X
2653:(
2631:.
2628:Y
2608:U
2584:X
2578:K
2558:}
2555:U
2549:)
2546:K
2543:(
2540:f
2534:Y
2528:X
2525::
2522:f
2519:{
2516:=
2513:)
2510:U
2507:,
2504:K
2501:(
2498:V
2478:Y
2458:X
2416:,
2411:i
2407:Y
2386:U
2366:,
2363:)
2360:U
2357:(
2352:1
2344:i
2340:f
2319:X
2289:i
2285:f
2264:X
2242:i
2238:Y
2217:,
2212:i
2208:Y
2201:X
2198::
2193:i
2189:f
2168:X
2142:.
2139:a
2119:b
2095:b
2089:a
2077:1
2075:T
2061:a
2041:)
2038:a
2035:,
2026:(
2003:b
1984:,
1981:a
1961:)
1958:b
1955:,
1952:a
1949:(
1925:b
1905:a
1885:b
1879:a
1859:)
1853:,
1850:a
1847:(
1841:)
1838:b
1835:,
1826:(
1823:=
1820:)
1817:b
1814:,
1811:a
1808:(
1788:b
1768:a
1748:,
1745:)
1739:,
1736:b
1733:(
1713:)
1710:a
1707:,
1698:(
1673:R
1647:.
1622:S
1578:S
1556:.
1511:B
1489:.
1464:B
1420:B
1398:X
1356:.
1353:}
1350:X
1347:,
1341:{
1313:S
1291:}
1288:X
1285:,
1279:{
1271:S
1242:.
1239:X
1217:B
1199:1
1197:T
1183:X
1161:B
1137:B
1087:B
1065:)
1059:,
1056:X
1053:(
1030:.
1025:B
1003:X
983:.
980:X
958:B
928:)
925:X
922:(
896:S
876:X
852:S
832:,
829:)
826:X
823:(
797:S
770:X
743:.
740:U
720:x
700:,
697:B
675:n
671:S
667:,
661:,
656:1
652:S
631:,
628:X
622:U
602:x
582:.
579:B
531:.
504:B
478:.
455:B
435:X
388:B
348:.
322:B
278:B
238:.
215:X
187:B
147:,
104:B
61:X
27:.
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.