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373:
146:
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81:
182:
1963:
Cotter, John; Dowd, Kevin (December 2006). "Extreme spectral risk measures: An application to futures clearinghouse margin requirements".
558:
508:
246:
1795:
is interpreted as losses rather than payoff of a portfolio. In this case, the translation-invariance property would be given by
86:
1854:
1030:
1780:{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega :\;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1}))(Y(\omega _{2})-Y(\omega _{1}))\geq 0}
149:
1102:
949:
44:, but the converse does not always hold. An advantage of spectral measures is the way in which they can be related to
1335:
28:
of outcomes where bad outcomes are, typically, included with larger weights. A spectral risk measure is a function of
2004:
851:
2123:
1409:
376:
1567:
767:
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1159:
1798:
1280:
1187:
2079:
Acerbi, Carlo (2002), "Spectral measures of risk: A coherent representation of subjective risk aversion",
905:
412:
1508:
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2095:
2035:
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2086:
37:
1977:
548:{\displaystyle M_{\phi }:\mathbb {R} ^{S}\rightarrow \mathbb {R} }
406:
equiprobable outcomes with the corresponding payoffs given by the
338:{\displaystyle M_{\phi }(X)=-\int _{0}^{1}\phi (p)F_{X}^{-1}(p)dp}
83:(denoting the portfolio payoff). Then a spectral risk measure
52:, through the weights given to the possible portfolio returns.
2003:
Adam, Alexandre; Houkari, Mohamed; Laurent, Jean-Paul (2007).
40:) to be kept in reserve. A spectral risk measure is always a
121:{\displaystyle M_{\phi }:{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }
1902:{\displaystyle X\geq Y\implies \rho (X)\geq \rho (Y)}
1857:
1801:
1643:
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657:
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511:
476:
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354:
249:
190:
158:
134:
89:
69:
2051:"Spectral Risk Measures: Properties and Limitations"
1058:{\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }
2049:Dowd, Kevin; Cotter, John; Sorwar, Ghulam (2008).
2002:
1901:
1843:
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1541:
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2115:
2048:
2005:"Spectral risk measures and portfolio selection"
1390:{\displaystyle \rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y)}
895:{\displaystyle \phi _{s_{1}}\geq \phi _{s_{2}}}
1622:{\displaystyle \rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)}
1152:Translation-Invariance: for every portfolio
1001:
983:
1962:
1871:
1867:
1676:
1069:Positive Homogeneity: for every portfolio
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2094:
1976:
1170:
1051:
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666:
541:
527:
498:{\displaystyle \phi \in \mathbb {R} ^{S}}
485:
233:{\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (p)dp=1}
114:
1177:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
2116:
2078:
1998:
1996:
32:returns and outputs the amount of the
1844:{\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)+a}
1314:{\displaystyle \rho (X)\leq \rho (Y)}
1233:{\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)-a}
1993:
1851:, and the monotonicity property by
1400:Law-Invariance: for all portfolios
1324:Sub-additivity: for all portfolios
13:
1670:
1552:Comonotonic Additivity: for every
1042:
939:{\displaystyle {s_{1}}<{s_{2}}}
463:{\displaystyle X_{1:S},...X_{S:S}}
105:
14:
2135:
1542:{\displaystyle \rho (X)=\rho (Y)}
1410:cumulative distribution functions
1243:Monotonicity: for all portfolios
152:, integrable function defined on
148:is non-negative, non-increasing,
1965:Journal of Banking & Finance
1023:Spectral risk measures are also
377:cumulative distribution function
1027:. Every spectral risk measure
716:{\displaystyle \phi _{s}\geq 0}
2082:Journal of Banking and Finance
2072:
2042:
1987:10.1016/j.jbankfin.2006.01.008
1956:
1922:is a spectral measure of risk.
1896:
1890:
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1875:
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110:
1:
2105:10.1016/S0378-4266(02)00281-9
1949:
1637:are comonotonic if for every
1092:{\displaystyle \lambda >0}
1018:
55:
2085:, vol. 26, no. 7,
2058:CRIS Discussion Paper Series
754:{\displaystyle s=1,\dots ,S}
7:
1937:
1933:a spectral measure of risk.
1912:
1498:{\displaystyle F_{X}=F_{Y}}
848:is non-increasing, that is
10:
2140:
841:{\displaystyle \phi _{s}}
686:satisfies the conditions
1791:In some texts the input
649:spectral measure of risk
48:, and particularly to a
2124:Financial risk modeling
1944:Distortion risk measure
1270:{\displaystyle X\geq Y}
2089:, pp. 1505–1518,
2030:Cite journal requires
1909:instead of the above.
1903:
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42:coherent risk measure
18:Spectral risk measure
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1556:random variables
1465:respectively, if
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