1754:
951:
1749:{\displaystyle {\begin{aligned}XY&=\left(A+uv^{\textsf {T}}\right)\left(A^{-1}-{A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\right)\\&=AA^{-1}+uv^{\textsf {T}}A^{-1}-{AA^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1}+uv^{\textsf {T}}A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\\&=I+uv^{\textsf {T}}A^{-1}-{uv^{\textsf {T}}A^{-1}+uv^{\textsf {T}}A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\\&=I+uv^{\textsf {T}}A^{-1}-{u\left(1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u\right)v^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\\&=I+uv^{\textsf {T}}A^{-1}-uv^{\textsf {T}}A^{-1}\\&=I\end{aligned}}}
3613:
3305:
2880:
One of the issues with the formula is that little is known about its numerical stability. There are no published results concerning its error bounds. Anecdotal evidence suggests that the
Woodbury matrix identity (a general case of the Sherman–Morrison formula) may diverge even for seemingly benign
3356:
1960:
2877:. One uses the Sherman–Morrison formula to calculate the inverse (satisfying certain time-ordering boundary conditions) of the inverse propagator—or simply the (Feynman) propagator—which is needed to perform any perturbative calculation involving the spin-1 field.
587:
3001:
3108:
3119:
2258:
2838:
This formula also has application in theoretical physics. Namely, in quantum field theory, one uses this formula to calculate the propagator of a spin-1 field. The inverse propagator (as it appears in the
Lagrangian) has the form
956:
4042:
775:
216:
3608:{\displaystyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=\left(I-{\frac {A^{-1}uv^{\textsf {T}}}{1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}}\right)A^{-1}=A^{-1}-{\frac {A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1}}{1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}}}
1794:
429:
2306:
421:
271:
3903:
2141:
319:
2875:
2439:
853:
361:
2393:
622:
97:
2895:
2084:
694:
3809:
3743:
3697:
3651:
3348:
3013:
891:
3844:
2746:
2696:
2566:
2469:
2833:
3300:{\displaystyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=\left(I+wv^{\textsf {T}}\right)^{-1}A^{-1}=\left(I-{\frac {wv^{\textsf {T}}}{1+v^{\textsf {T}}w}}\right)A^{-1}}
2061:
2032:
1786:
943:
143:
3783:
3763:
3717:
3671:
2806:
2786:
2766:
2716:
2666:
2646:
2626:
2606:
2586:
2536:
2516:
2496:
2361:
2334:
2150:
2003:
1983:
914:
815:
795:
666:
646:
120:
62:
4381:
3911:
699:
4107:"Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to Changes in the Elements of a Given Column or a Given Row of the Original Matrix (abstract)"
148:
4335:; and Meyer, Carl D.; "Google's PageRank and Beyond: The Science of Search Engine Rankings", Princeton University Press, 2006, p. 156
4079:
4202:
4190:
2538:
may be manipulated and a correspondingly updated inverse computed relatively cheaply in this way. In the general case, where
2441:
does not have to be computed from scratch (which in general is expensive), but can be computed by correcting (or perturbing)
1955:{\displaystyle YX=\left(A^{-1}-{A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\right)(A+uv^{\textsf {T}})=I.}
582:{\displaystyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=A^{-1}-{A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}.}
4288:
4144:
2263:
369:
235:
3849:
2337:
2089:
283:
2889:
Following is an alternate verification of the
Sherman–Morrison formula using the easily verifiable identity
2842:
2406:
820:
328:
2366:
777:
is invertible with inverse given as above) is true, we verify the properties of the inverse. A matrix
595:
70:
2996:{\displaystyle \left(I+wv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=I-{\frac {wv^{\textsf {T}}}{1+v^{\textsf {T}}w}}}
2340:
4074:
4064:
4054:
3620:
2144:
221:
4367:
2069:
4431:
3103:{\displaystyle u=Aw,\quad {\text{and}}\quad A+uv^{\textsf {T}}=A\left(I+wv^{\textsf {T}}\right),}
679:
4436:
3788:
3722:
3676:
3630:
3314:
797:(in this case the right-hand side of the Sherman–Morrison formula) is the inverse of a matrix
4407:
4084:
2400:
858:
34:
4140:"Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in One Element of a Given Matrix"
3814:
2721:
2671:
2541:
2444:
4311:
4257:
4167:
2811:
100:
42:
38:
4319:
4189:
Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007),
4175:
2253:{\displaystyle \det \!\left(A+uv^{\textsf {T}}\right)=(1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u)\det(A)=0}
2037:
2008:
1762:
919:
8:
4069:
2396:
18:
Formula computing the inverse of the sum of a matrix and the outer product of two vectors
4344:
224:. Though named after Sherman and Morrison, it appeared already in earlier publications.
125:
4261:
4245:
3768:
3748:
3702:
3656:
2791:
2771:
2751:
2701:
2651:
2631:
2611:
2591:
2571:
2521:
2501:
2481:
2346:
2319:
1988:
1968:
899:
800:
780:
651:
631:
105:
47:
4404:
4198:
4315:
4297:
4265:
4237:
4171:
4153:
4118:
4208:
4307:
4253:
4163:
2475:
364:
30:
22:
4355:
4302:
4283:
4158:
4139:
4123:
4106:
2881:
examples (when both the original and modified matrices are well-conditioned).
4425:
4332:
4037:{\displaystyle B^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(I_{k}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.}
625:
322:
277:
65:
770:{\displaystyle 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u\neq 0\Rightarrow A+uv^{\textsf {T}}}
4058:
41:
whose inverse has previously been computed. That is, given an invertible
4249:
2403:-1 update). The computation is relatively cheap because the inverse of
274:
4412:
4241:
211:{\textstyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right){\vphantom {)}}^{\!-1}.}
29:, named after Jack Sherman and Winifred J. Morrison, computes the
4402:
2395:(depending on the point of view, the correction may be seen as a
1965:(In fact, the last step can be avoided since for square matrices
668:. The general form shown here is the one published by Bartlett.
4188:
4284:"An Inverse Matrix Adjustment Arising in Discriminant Analysis"
4228:
Hager, William W. (1989). "Updating the inverse of a matrix".
4345:
Update of the inverse matrix by the
Sherman–Morrison formula
3618:
1759:
To end the proof of this direction, we need to show that
4087:
contains an application of the
Sherman–Morrison formula.
2668:, the whole matrix is updated and the computation takes
145:
the formula cheaply computes an updated matrix inverse
4197:(3rd ed.), New York: Cambridge University Press,
220:
The
Sherman–Morrison formula is a special case of the
151:
3914:
3852:
3817:
3791:
3771:
3751:
3725:
3705:
3679:
3659:
3633:
3359:
3317:
3122:
3016:
2898:
2845:
2814:
2794:
2774:
2754:
2724:
2704:
2674:
2654:
2634:
2614:
2594:
2574:
2544:
2524:
2504:
2484:
2447:
2409:
2369:
2349:
2322:
2266:
2153:
2092:
2072:
2040:
2011:
1991:
1971:
1797:
1765:
954:
922:
902:
861:
823:
803:
783:
702:
682:
654:
634:
598:
432:
372:
331:
286:
238:
128:
108:
73:
50:
4195:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
4036:
3897:
3838:
3803:
3777:
3757:
3737:
3711:
3691:
3665:
3645:
3607:
3342:
3299:
3102:
2995:
2869:
2827:
2800:
2780:
2760:
2740:
2710:
2690:
2660:
2640:
2620:
2600:
2580:
2560:
2530:
2510:
2490:
2463:
2433:
2387:
2355:
2328:
2300:
2252:
2135:
2078:
2055:
2026:
1997:
1977:
1954:
1780:
1748:
937:
908:
885:
847:
809:
789:
769:
688:
660:
640:
616:
581:
415:
355:
313:
265:
210:
137:
114:
91:
56:
2157:
196:
4423:
2232:
2154:
4137:
4104:
2301:{\displaystyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)}
416:{\displaystyle 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u\neq 0}
4138:Sherman, Jack; Morrison, Winifred J. (1950).
4105:Sherman, Jack; Morrison, Winifred J. (1949).
2808:are unit columns, the computation takes only
2718:is a unit column, the computation takes only
266:{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
3898:{\displaystyle \left(I_{k}+VA^{-1}U\right)}
2884:
2136:{\displaystyle 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u=0}
896:We first verify that the right hand side (
4301:
4157:
4122:
3580:
3547:
3460:
3440:
3381:
3267:
3247:
3188:
3144:
3086:
3054:
2981:
2961:
2920:
2861:
2748:scalar multiplications. The same goes if
2425:
2379:
2336:is already known, the formula provides a
2287:
2207:
2178:
2105:
1934:
1886:
1853:
1710:
1679:
1629:
1596:
1563:
1518:
1468:
1435:
1407:
1376:
1342:
1292:
1259:
1231:
1200:
1150:
1082:
1049:
992:
839:
761:
715:
608:
551:
518:
454:
385:
347:
301:
247:
172:
83:
4281:
4191:"Section 2.7.1 Sherman–Morrison Formula"
4277:
4275:
4182:
696:) To prove that the backward direction
314:{\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{n}}
4424:
4403:
4227:
4131:
4098:
2474:Using unit columns (columns from the
4272:
4221:
4368:"Perturbative quantum field theory"
2648:are arbitrary vectors of dimension
13:
2870:{\displaystyle A+uv^{\textsf {T}}}
2434:{\displaystyle A+uv^{\textsf {T}}}
848:{\displaystyle A+uv^{\textsf {T}}}
356:{\displaystyle A+uv^{\textsf {T}}}
14:
4448:
4396:
4289:Annals of Mathematical Statistics
4145:Annals of Mathematical Statistics
4111:Annals of Mathematical Statistics
2518:, individual columns or rows of
2388:{\displaystyle uv^{\textsf {T}}}
617:{\displaystyle uv^{\textsf {T}}}
92:{\displaystyle uv^{\textsf {T}}}
4374:
3038:
3032:
4360:
4349:
4338:
4326:
4080:Bunch–Nielsen–Sorensen formula
4057:performs a rank-1 update to a
2343:way to compute the inverse of
2311:
2241:
2235:
2229:
2192:
2073:
1940:
1916:
743:
683:
188:
1:
4282:Bartlett, Maurice S. (1951).
4091:
2079:{\displaystyle \Rightarrow }
227:
186:
7:
4047:
2768:is a unit column. If both
2698:scalar multiplications. If
1788:in a similar way as above:
689:{\displaystyle \Leftarrow }
10:
4453:
4408:"Sherman–Morrison formula"
3627:Given a square invertible
4382:"MathOverflow discussion"
3804:{\displaystyle n\times n}
3738:{\displaystyle k\times n}
3692:{\displaystyle n\times k}
3646:{\displaystyle n\times n}
3343:{\displaystyle w=A^{-1}u}
4075:Binomial inverse theorem
4065:Woodbury matrix identity
4055:matrix determinant lemma
3621:Woodbury matrix identity
2885:Alternative verification
2835:scalar multiplications.
2363:corrected by the matrix
2145:matrix determinant lemma
671:
27:Sherman–Morrison formula
4303:10.1214/aoms/1177729698
4159:10.1214/aoms/1177729893
4124:10.1214/aoms/1177729959
3905:is invertible, we have
886:{\displaystyle XY=YX=I}
4038:
3899:
3840:
3839:{\displaystyle B=A+UV}
3805:
3779:
3759:
3739:
3713:
3693:
3667:
3647:
3609:
3344:
3301:
3104:
2997:
2871:
2829:
2802:
2782:
2762:
2742:
2741:{\displaystyle 2n^{2}}
2712:
2692:
2691:{\displaystyle 3n^{2}}
2662:
2642:
2622:
2602:
2582:
2562:
2561:{\displaystyle A^{-1}}
2532:
2512:
2492:
2465:
2464:{\displaystyle A^{-1}}
2435:
2389:
2357:
2330:
2302:
2254:
2137:
2080:
2057:
2028:
1999:
1979:
1956:
1782:
1750:
939:
910:
887:
849:
811:
791:
771:
690:
662:
642:
618:
583:
417:
357:
315:
267:
212:
139:
116:
93:
58:
4085:Maxwell stress tensor
4039:
3900:
3841:
3806:
3780:
3760:
3740:
3714:
3694:
3668:
3648:
3610:
3345:
3302:
3105:
2998:
2872:
2830:
2828:{\displaystyle n^{2}}
2803:
2783:
2763:
2743:
2713:
2693:
2663:
2643:
2623:
2603:
2583:
2563:
2533:
2513:
2493:
2466:
2436:
2390:
2358:
2331:
2303:
2255:
2138:
2081:
2058:
2029:
2000:
1980:
1957:
1783:
1751:
940:
911:
888:
850:
812:
792:
772:
691:
663:
643:
619:
584:
418:
358:
316:
268:
213:
140:
117:
94:
59:
3912:
3850:
3815:
3789:
3769:
3749:
3723:
3703:
3677:
3657:
3631:
3357:
3315:
3120:
3014:
2896:
2843:
2812:
2792:
2772:
2752:
2722:
2702:
2672:
2652:
2632:
2612:
2592:
2572:
2542:
2522:
2502:
2482:
2445:
2407:
2367:
2347:
2320:
2264:
2151:
2090:
2070:
2056:{\displaystyle YX=I}
2038:
2027:{\displaystyle XY=I}
2009:
1989:
1969:
1795:
1781:{\displaystyle YX=I}
1763:
952:
938:{\displaystyle XY=I}
920:
900:
859:
821:
801:
781:
700:
680:
652:
632:
596:
430:
370:
329:
284:
236:
191:
149:
126:
106:
71:
48:
4070:Quasi-Newton method
2308:is not invertible.
2086:) Reciprocally, if
192:
187:
4405:Weisstein, Eric W.
4034:
3895:
3836:
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