684:
232:
1510:
679:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )&=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}\\&=\prod _{j=0}^{n-1}{\frac {\Gamma (\alpha +j\gamma )\Gamma (\beta +j\gamma )\Gamma (1+(j+1)\gamma )}{\Gamma (\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\Gamma (1+\gamma )}}\end{aligned}}}
1976:
975:
1194:
1681:
224:
711:
1505:{\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\prod _{i=1}^{n}e^{-t_{i}^{2}/2}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+j\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.}
1122:
1971:{\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \cdots \int \left|\prod _{r}{\frac {2(x,r)}{(r,r)}}\right|^{\gamma }e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}dx_{1}\cdots dx_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+d_{j}\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}}
50:
1612:
970:{\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}}
981:
237:
2291:
1186:
1638:
1539:
1998:
gave a uniform proof for all crystallographic reflection groups. Several years later he proved it in full generality, making use of computer-aided calculations by Garvan.
219:{\displaystyle Re(\alpha )>0,Re(\beta )>0,Re(\gamma )>-\min \left({\frac {1}{n}},{\frac {Re(\alpha )}{n-1}},{\frac {Re(\beta )}{n-1}}\right)}
2165:
1544:
2223:
2139:
1117:{\displaystyle =S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }}.}
2171:
2218:. Pure and Applied Mathematics (Amsterdam). Vol. 142 (3rd ed.). Elsevier/Academic Press, Amsterdam.
1650:
It is the partition function for a gas of point charges moving on a line that are attracted to the origin.
1142:
1617:
2390:
2131:
705:
Aomoto proved a slightly more general integral formula. With the same conditions as
Selberg's formula,
2095:
1518:
2126:
Andrews, George; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). "The
Selberg integral and its applications".
694:
2164:
2094:
2362:
2323:
2303:
2276:
2233:
2200:
2180:
2149:
2034:
2370:
8:
690:
2307:
2184:
2327:
2075:
2057:
2048:
Forrester, Peter J.; Warnaar, S. Ole (2008). "The importance of the
Selberg integral".
1994:
are the degrees of the generators of the ring of invariants of the reflection group.
2264:
2219:
2135:
2346:
2331:
2079:
2366:
2311:
2256:
2188:
2108:
2067:
2347:"Dunkl operators, Bessel functions and the discriminant of a finite Coxeter group"
2071:
2358:
2319:
2272:
2229:
2196:
2145:
2030:
2384:
2268:
2112:
28:
36:
1662:
20:
2315:
2192:
2260:
2017:
2130:. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 71.
2062:
693:
for well poised hypergeometric series, and some special cases of
2166:"Statistical theory of the energy levels of complex systems. V"
1661:
conjectured the following extension of Mehta's integral to all
2247:
Macdonald, I. G. (1982). "Some conjectures for root systems".
1607:{\displaystyle t_{i}={\frac {1+t'_{i}/{\sqrt {2\alpha }}}{2}}}
2292:"Some applications of hypergeometric shift operators"
1684:
1620:
1547:
1521:
1197:
1145:
984:
714:
235:
53:
2016:
1970:
1632:
1606:
1533:
1504:
1180:
1116:
969:
678:
218:
2382:
2047:
123:
2125:
1128:
1647:, who were unaware of Selberg's earlier work.
1665:, Mehta's original case corresponding to the
42:
2163:Mehta, Madan Lal; Dyson, Freeman J. (1963).
700:
2162:
1644:
2246:
2061:
1658:
1515:It is a corollary of Selberg, by setting
1398:
937:
459:
2014:
1653:
2383:
2092:
1127:A proof is found in Chapter 8 of
2344:
2289:
2249:SIAM Journal on Mathematical Analysis
2213:
1995:
2101:The Quarterly Journal of Mathematics
1985:of the roots system and the numbers
1181:{\displaystyle Re(\gamma )>-1/n}
1134:
13:
1947:
1917:
1633:{\displaystyle \alpha \to \infty }
1627:
1478:
1455:
1268:
1263:
1247:
1242:
651:
606:
571:
550:
529:
14:
2402:
2096:"On the complex Selberg integral"
697:. This is a corollary of Aomoto.
2018:"Remarks on a multiple integral"
2172:Journal of Mathematical Physics
1981:The product is over the roots
1541:, and change of variables with
1129:Andrews, Askey & Roy (1999)
2338:
2283:
2240:
2207:
2156:
2119:
2086:
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1624:
1534:{\displaystyle \alpha =\beta }
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90:
84:
66:
60:
1:
2072:10.1090/S0273-0979-08-01221-4
2001:
7:
689:Selberg's formula implies
10:
2407:
2132:Cambridge University Press
43:Selberg's integral formula
2214:Mehta, Madan Lal (2004).
701:Aomoto's integral formula
35:dimensions introduced by
1645:Mehta & Dyson (1963)
1643:This was conjectured by
27:is a generalization of
2351:Compositio Mathematica
2113:10.1093/qmath/38.4.385
2015:Selberg, Atle (1944).
1972:
1913:
1634:
1608:
1535:
1506:
1451:
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971:
809:
773:
680:
525:
331:
220:
2050:Bull. Amer. Math. Soc
1973:
1893:
1635:
1609:
1536:
1507:
1431:
1273:
1183:
1119:
1019:
972:
789:
753:
681:
499:
311:
221:
16:Mathematical function
2345:Opdam, E.M. (1993).
2290:Opdam, E.M. (1989).
1682:
1654:Macdonald's integral
1618:
1545:
1519:
1195:
1143:
982:
712:
233:
51:
2308:1989InMat..98....1O
2185:1963JMP.....4..713M
1847:
1823:
1663:finite root systems
1582:
1316:
1272:
1251:
830:
747:
729:
352:
310:
292:
29:Euler beta function
2316:10.1007/BF01388841
2093:Aomoto, K (1987).
2023:Norsk Mat. Tidsskr
1968:
1833:
1809:
1745:
1630:
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715:
695:Dyson's conjecture
676:
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2391:Special functions
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2085:
2056:(4): 489–534.
2040:
2006:
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