580:
870:
379:
705:
188:
365:
575:{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime \prime }(s)}{\zeta (s)}}=\left({\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\right)^{\prime }+\left({\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\right)^{2}=\sum {\frac {c_{n}}{n^{s}}}.}
946:
653:
253:
697:
865:{\displaystyle \Lambda (n)\log(n)+\sum _{d\,|\,n}\Lambda (d)\Lambda \!\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\log ^{2}\left({\frac {n}{d}}\right).}
65:
264:
882:
986:
1069:
949:
612:
215:
209:
The strange-looking expression on the left side of
Selberg's identity is (up to smaller terms) the sum
1064:
978:
971:
586:
676:
666:
1048:
1012:
606:
48:
8:
876:
875:
This variant of
Selberg's identity is proved using the concept of taking derivatives of
1036:
1002:
670:
982:
183:{\displaystyle \sum _{p<x}(\log p)^{2}+\sum _{pq<x}\log p\log q=2x\log x+O(x)}
59:
There are several different but equivalent forms of
Selberg's identity. One form is
1028:
371:
44:
1044:
1008:
590:
360:{\displaystyle c_{n}=\Lambda (n)\log n+\sum _{d\,|\,n}\Lambda (d)\Lambda (n/d)}
1058:
20:
40:
36:
32:
665:
sometimes also refers to the following divisor sum identity involving the
1019:
Selberg, Atle (1949), "An elementary proof of the prime-number theorem",
1040:
28:
1032:
597: = 1 with coefficient 2, which gives the dominant term 2
1004:
Démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers
394:
885:
708:
679:
615:
382:
267:
218:
68:
657:
16:
Approximate identity involving logarithms of primes
970:
940:
864:
691:
647:
574:
359:
247:
182:
39:. The identity, discovered jointly by Selberg and
774:
1056:
941:{\displaystyle f^{\prime }(n)=f(n)\cdot \log(n)}
948:in Section 2.18 of Apostol's book (see also
810:
804:
753:
747:
319:
313:
1018:
968:
1057:
973:Introduction to Analytic Number Theory
1000:
27:is an approximate identity involving
648:{\displaystyle \sum _{n<x}c_{n}.}
1007:, SĂ©minaire Bourbaki, vol. 1,
248:{\displaystyle \sum _{n<x}c_{n}}
13:
891:
771:
759:
709:
498:
477:
441:
391:
337:
325:
281:
14:
1081:
658:Another variation of the identity
193:where the sums are over primes
977:. New York: Springer. p.
962:
935:
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917:
911:
902:
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204:
177:
171:
98:
85:
1:
955:
370:are the coefficients of the
54:
7:
10:
1086:
43:, was used in the first
1070:Mathematical identities
1001:Pisot, Charles (1949),
692:{\displaystyle n\geq 1}
942:
866:
693:
649:
576:
361:
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184:
943:
867:
694:
667:von Mangoldt function
650:
577:
362:
250:
185:
969:Apostol, T. (1976).
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877:arithmetic functions
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677:
613:
607:asymptotic expansion
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265:
216:
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49:prime number theorem
258:where the numbers
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862:
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689:
663:Selberg's identity
645:
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245:
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180:
128:
84:
25:Selberg's identity
979:46 (Section 2.19)
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567:
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45:elementary proof
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625:<
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78:<
1029:doi
952:).
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